Mekaniikka, osa 2 Perttu Lantto Luentokalvot perustuvat kirjaan: University physics, 13 th International Edition H. D. Young & R. A. Freedman (Pearson, 2012) 7. maaliskuuta 2016
Osa V Luku 13: Gravitaatio
Nestemekaniikka Luku 13: Gravitaatio (L8) 13.2 Paino määrittelee miten kahden kappaleen toisiinsa kohdistama gravitaatiovoima lasketaan. 13.2 Paino kappaleessa käsitellään kappaleen painon yhteyttä yleisiin gravitaatiovoiman yhtälöihin. kappaleessa opetellaan tulkitsemaan ja käyttämään yleisiä gravitaatioyhtälöitä. ympyränmuotoisella radalla käsitellään ja miten se liittyy satelliitin vauhtiin, rataperiodiin ja mekaaniseen energiaan. kappaleessa kuvaillaan ja opetellaan käyttämään planeettojen liikkeitä kuvaavia lakeja. kappaleessa osoitetaan, että pallomaisten kappaleiden gravitaatiovuorovaikutuksen voi kuvata niiden keskipisteissä olevien massojen vuorovaikutuksena. liittyvät toisiinsa, sillä jälkimmäinen aiheuttaa gravitaatiovuorovaikutuksen muutoksen. selitetään klassisesti sekä niihin liittyvät Einsteinin suhteellisuusteorian käsitteet Schwarzchildin säde ja tapahtumahorisontti.
Gravitaatio Luku 13: Gravitaatio (L8) 13.2 Paino Newtonin 1600-luvulla kehittämät gravitaatiolait antavat vastauksen ensimmäisiin fysiikan kysymyksiin planeettojen ja kuun liikkeistä kappaleiden putoamiseen. Gravitaatio on yksi neljästä luonnon perusvuorovaikutuksesta ja niistä ensimmäinen, jota tutkittiin systemaattisesti. Yksi tärkeimmistä gravitaatioteorioiden sovellutuksista on taivaanmekaniikka (celestial mechnics) eli avaruudessa olevien kappaleiden dynamiikan tutkimus, joka mahdollistaa esim. satelliittiien, planeettojen ja komeettojen ratojen laskemisen. Gravitaatiovuorovaikuksen kuvaavat peruslait ovat universaaleja eli ne pätevät kaikkien massallisten kappalien välillä koosta riippumatta. Saturnuksen renkaat koostuvat lukemattomista kappaleista. Kiertäväkö ne samalla vauhdilla vai ovat sisemmät kappaleet nopeampia tai hitaampia kuin ulommat?
13.2 Paino Gravitaation aiheuttamasta vetovoimasta tunnetuin on paino eli painovoima, mikä vetää meitä kohti maapalloa. Sama voima vaikuttaa planeettojen ja kuun liikkeisiin, joita tutkimalla Isaac Newton löysi yleisen kaikkien kappaleiden välillä vaikuttavan gravitaatiovetovoiman. Newton julkaisi gravitaatiolain (law of gravitation) vuonna 1687: Jokainen universumin hiukkanen vetää toista hiukkasta puoleensa voimalla, joka on suoraan verrannollinen niiden massojen tuloon ja kääntäen verrannollinen niiden etäisyyden neliöön. Kumpaankin hiukkaseen (kuva 13.1) kohdistuvan voiman magnitudi on siis: Koska gravitaatiovoima hiipuu nopeasti ( 1 r 2 ), kaukaisten kappaleiden, vaikka kuinka massiivisten (esim. mustien aukkojen, jättiläistähtien), gravitaatiovoimat ovat häviävän pieniä. Kaksi kappaletta muodostaa vuorovaikutusparin eli gravitaatiovoima vaikuttaa kumpaankin samalla suuruudella. F g = Gm 1m 2 r 2 (13.1) missä G on gravitaatiovakio (gravitational constant) (G g). 13.1 Kahden massan väliset gravitaatiovoimat.
13.2 Paino Gravitaatio ja pallosymmetriset kappaleet Osoitetaan myöhemmin, että gravitaatiovuorovaikutus voidaan käsitellä pallosymmetriselle massajakaumalle (kiinteä pallo tai pallonkuori) siten, että massa keskitetään pallon keskipisteeseen (kuva 13.2). Eli jos Maata mallinnetaan pallosymmetrisenä kappaleena, jonka massa on m E, sen ulkopuoliseen hiukkaseen tai pallosymmetriseen kappaleeseen (m) kohdistama gravitaatiovoima on F g = Gm Em r 2 (13.2) ja vastaavan voiman kohdistaa kappale Maahan. Maapallon sisällä tilanne on toinen eli mitä syvemmällä kappale on, sitä pienempi gravitaatiovoima kohti keskipistettä siihen kohdistuu. Tällöin osa massasta vetää vastakkaiseen suuntaan ja lopulta maapallon keskipisteessä gravitaatiovoima on nolla. Suuret kappaleet (kuva 13.3) asettuvat pallon muotoon minimoidakseen gravitaatiovoimat. 13.2 Pallosymmetrisen kappaleen gravitaatioefekti sen ulkopuolella. 13.3 Jupiter ja sen pieni kuu, Amalthea.
Gravitaatiovakio G:n määrittäminen 13.2 Paino Universaalin gravitaatiovakion G määrittämiseksi pitää mitata kahden kappaleen välinen gravitaatiovoima, kun niiden etäisyys tiedetään. Voima on laboratorimittakaavan kappaleille erittäin pieni mutta Sir Henry Cavendish käytti kuvan 13.4 kiertovaakaa (torsional balance) G:n mittaamiseen 1798. Kun kvartsilangalla roikkuvat pienemmät pallot (m 1 ) tuodaan lähelle kahta suurempaa palloa (m 2 ), ne hakevat uuden tasapainopisteen, jossa isojen pallojen aiheuttama gravitaatiovetovoima ja langan elastinen voima ovat tasapainossa. Lankaan kiinnitetyn peilin kautta heijastunut lasersäde kertoo heilurin kulmamuutoksen, joka kalibroinnin jälkeen kertoo G:n arvon. [CODATA: G = 6.67408(31) 10 11 N m 2 /kg 2 (yksikkönä myös m 3 /kg s 2 )] Eri lähteistä tulevat gravitaatiovoimat vektorisummataan. 13.4 Cavendish vaa an toimintaperiaate.
13.2 Paino Esimerkki 13.1:Gravitaatiovoiman laskeminen Cavendishin vaa an pienemmän pallon massa on m 1 = 0.0100kg ja lähemmän suuremman pallon m 2 = 0.500kg. Niiden keskipisteiden välinen etäisyys on r = 0.0500m. Määritetään kumpaankin palloon vaikuttava gravitaatiovoima F g. Koska kappaleet ovat pallosymmetrisiä, voidaan voima laskea samoissa paikoissa olevien hiukkasten välille. Kumpikin pallo kokee saman voiman toisesta pallosta. Newtonin gravitaatiolaki antaa: F g = Gm 1m 2 r 2 = 1.33 10 10 N = (6.67 10 11 N m 2 /kg 2 )(0.0100kg)(0.500kg) (0.0500m) 2 Näinkin pieni voima voitiin mitata pari vuosisataan sitten. Vain hyvin massiivinen kappale, kuten maapallo, aiheuttaa gravitaatiovoiman, jonka voimme tuntea.
13.2 Paino Esimerkki 13.2: Lasketaan esimerkin 13.1 pallojen kiihtyvyydet inertiaalikoordinaatiston suhteen, kun ne ovat 0.0500 m etäisyydellä toisistaan. Kaikki muut kappaleet ovat kaukana kummastakin. Kummatkin pallot aiheuttavat saman Esimerkissä 13.1 lasketun gravitaatiovetovoiman toisiinsa ja muut kappaleet voidaan unohtaa. Kiihtyvyyden suuruudet a 1 ja a 2 eivät ole samat, koska massat ovat erit: a 1 = Fg = 1.33 10 10 N = 1.33 10 m 1 0.0100kg 8 m/s 2 a 2 = Fg m 2 = 1.33 10 10 N 0.500kg = 2.66 10 10 m/s 2 Suuremman kappaleen massa on 50-kertainen, joten sen kiihtyvyys on 50-osa pienemmän kiihtyvyydestä. Kiihtyvyydet eivät ole vakioita vaan kasvavat, mitä lähemmäs kappaleet tulevat toisiaan.
Esimerkki 13.3: Useat tähden kuuluvat kahden tai useamman tähden systeemeihin, joita pitävät koossa keskinäiset gravitaatiovetovoimat. Kuvan 13.5 kolmen tähden systeemin eräänä hetkenä tähdet ovat 45 kolmion kärjissä. Määritetään kahden suuremman tähden gravitaatiovetovoima, joka kohdistuu pienimpään. Kokonaisvoima on vektorisumma: F = F 1 + F 2. Lasketaan ensin voimien magnitudit pienimmän pallon kohdalla: F 1 = (6.67 10 11 N m 2 /kg 2 )(8.00 10 30 kg)(1.00 10 30 kg) (2.00 10 12 m) 2 +(2.00 10 12 m) 2 = 6.67 10 25 N F 2 = (6.67 10 11 N m 2 /kg 2 )(8.00 10 30 kg)(1.00 10 30 kg) (2.00 10 12 m) 2 = 1.33 10 26 N = F 2x, F 2y = 0 Ensimmäisen tähden voiman x- ja y-komponentit ovat: F 1x = (6.67 10 25 N)(cos45 ) = 4.72 10 25 N F 1y = (6.67 10 25 N)(sin45 ) = 4.72 10 25 N F x = F 1x +F 2x = 1.81 10 26 N F y = F 1y +F 2y = 4.72 10 25 N 13.2 Paino F:n magnitudi on: F = F 2 x +F 2 y = 1.87 10 26 N Kulma x-akselin suhteen: θ = arctan Fy = 14.6 F eli F ei x osoita kahden tähden massakeskipisteeseen. Vaikka voima on valtava, sen aiheuttama kiihtyvyys ei: a = F/m = (1.87 10 26 N)/(1.00 10 30 kg) = 1.87 10 4 m/s 2. 13.5 Kahden isomman tähden pieneen tähteen kohdistama gravitaatiovoima.
Gravitaatiovoimien merkitys 13.2 Paino Kuten edelliset esimerkit osoittavat gravitaatiovoimat ovat häviävän pieniä ja siksi merkityksettömiä pienten esineiden välillä. Sitä vastoin suuressa planeettojen, tähtien ja galaksien mittakaavassa, gravitaatio on tärkein vuorovaikutus, joka pitää planeetat koossa ja radoillaan. Se myös pitää materian riittävän tiheänä ja kuumana tähtien ytimessä, jotta ydinten fuusioreaktiot ovat mahdollisia. Gravitaation tekee kosmisessa skaalassa tärkeäksi sen pitkä kaukovuorovaikutus eli se vaikuttaa kappaleiden välillä ilman kosketusta. Näin toimivat sähkö- ja magneettiset voimatkin, jotka kosmisessa mittakaavassa ovat kuitenkin vähemmän merkityksellisiä. Suuressa skaalassa materia on sähköisesti neutraalia eli siinä on sama määrä positiivisia ja negatiivisia varauksia, minkä vuoksi sähkömagneettiset vuorovaikutukset tähtien ja planeettojen välillä ovat hyvin pieniä tai katoavat. Vahvan ja heikon vuorovaikutuksen kantama on ainoastaa atomin ytimen ( 10 14 m) luokkaa, joten ne voidaan unohtaa muissa ilmiöissä kuin atomi- ja molekyylispektroskopiassa sekä ydin- ja hiukkasfysiikassa. Kaikkia perusvuorovaikutuksia kuvataan yleisesti kentillä, joita eri hiukkaset häiritsevät ja häiriö välittyy kentän kautta toisiin hiukkasiin. 13.6 Galaksimme, Linnunrata, koostuu n. 10 11 tähdestä. Sen pitää kasassa ja sen rakenteen määrää gravitaatiovetovoima.
13.2 Paino Luku 13: Gravitaatio (L8) 13.2 Paino Paino määriteltiin aikaisemmin Maan kappaleeseen kohdistamana vetovoimana. Yleisempi määritelmä on: Kappaleen paino on kokonaisgravitaatiovoima, jonka muut universumin kappaleet siihen kohdistaa. Lähellä Maata muut gravitaatiovoimien lähteet voidaan unohtaa ja vastaavasti Kuun pinnalla on hyvä approksimaatio käsitellä ainoastaan sen gravitaatiovetovoimaa. Jos Maa mallinnetaan pallosymmetrisenä (m E ja R E ), sen pinnalla pieneen kappaleeseen m kohdistuva paino w on: w = F g = Gm Em R 2 E (13.3) Toisaalta painovoima w on voima, joka aiheuttaa vapaan pudotuksen kiihtyvyyden g (Newtonin 2. laki: w = mg). Nämä yhdistämällä saadaan kiihtyvyydeksi Maan pinnalla: g = Gm E R 2 E (13.4) Gravitaatiokiihtyvyyden g riippumattomuus massasta m siis seuraa suoraan gravitaatiolaista. Koska R E = 6.38 10 6 m ja g = 9.80m/s 2 on voitu määrittää mittaamalla, saadaan Maan massa ratkaistua (kuten Cavendish teki määritettyään G:n): m E = gr2 E G = 5.98 1024 kg, joka on lähellä tämän hetken parasta arviota: m E = 5.9722(6) 10 24 kg
13.2 Paino Luku 13: Gravitaatio (L8) 13.2 Paino Etäisyydellä r Maan keskipisteestä (korkeudella r R E pinnalta) painoksi saadaan Kuva 13.8 esittää, miten astronautin paino muuttuu eri korkeuksilla, kun häneen Maan pinnalla kohdistuu 700 N painovoima. w = F g = Gm Em r 2 (13.5) Kappaleen paino pienenee kääntäen verrannollisesti etäisyyden neliöön Maan keskipisteestä (kuva 13.7). 13.7 Korkealla lentokoneessa paino 13.8 Astronautin kokema Maan aiheiuttama painovoima. on hieman pienempi.
13.2 Paino Luku 13: Gravitaatio (L8) 13.2 Paino Vaikka Maan massa on suunnilleen jakautunut pallosymmetrisesti, se ei ole tasaisesti jakautunut. määritetään pallosymmetriaoletuksella tilavuus: V E = 4 3 πr3 E = 4 3 π(6.38 106 m) 3 = 1.09 10 21 m 3 Nyt Maan keskitiheys voidaan laskea: ρ = m E = 5.97 1024 kg V E 1.09 10 21 m 3 = kg/m 3 Kuitenkin sedimenttikivien (2000kg/m 3 ) ja basaltin (3300kg/m 3 ) keskitiheydet ovat huomattavasti alempia eli Maan syvempien osien pitää olla huomattavasti tiheämpiä. Geofysikaalisten mallien mukaan (kuva 13.9) sula ulkoydin onkin jo tiheydeltään n. 10000kg/m 3 ja kiiinteän rauta-nikkeli sisäydin n. 13000kg/m 3. 13.9 Maan tiheys pienenee etäisyyden kasvaessa keskipisteestä.
13.2 Paino Luku 13: Gravitaatio (L8) 13.2 Paino Esimerkki 13.4: Gravitaatio Marsissa Painoltaan 3430 N robottilaskeutuja lähetetään Marsiin, jonka säde on R M = 3.40 10 6 m ja massa m M = 6.42 10 23 kg. Lasketaan laskeutujan paino F g ja kiihtyvyys g M Marsin pinnalla. Kun tiedetään gravitaatiokiihtyvyys ja laskeutujan paino Maassa, ratkaistaan sen massa, joka säilyy samana paikasta riippumatta: m = w g = 3430N 9.80m/s 2 = 350kg. Käytetään gravitaatiovoiman yhtälöä (13.3) mutta korvataan Maan säde ja massa Marsin vastaavilla: F g = Gm Mm R 2 M = (6.67 10 11 N m 2 /kg 2 )(6.42 10 23 kg)(350kg) (3.40 10 6 m) 2 = 1.30 10 3 N Kiihtyvyys saadaan gravitaatiovoimasta: g M = Fg m = 1.30 103 N = 3.7m/s 350kg 2 Marsin massa on vain 6.42 10 23 kg 5.98 10 24 100% = 11% maan kg massasta. Kuitenkin gravitaatiokiihtyvyys Marsissa g M ja siten myös kappaleen paino on 3.7m/s 2 9.8m/s 2 100% 40% vastaavista Maassa. Tämä johtuu siitä, että Marsin säde on vain 3.40 106 m 6.38 10 6 100% 53% Maan m säteestä ja gravitaatiokiihtyvyys planeetan pinnalla on sen massan lisäksi kääntäen verrannollinen sen säteeseen yhtälön (13.4) mukaisesti: g = Gm M R M 2 = 3.7m/s 2
13.2 Paino Aikaisemmin approksimoitiin, että gravitaatiovoiman suunta ja suuruus ovat vakioita, jolloin gravitaatiopotentiaalienergia on U = mgy. Tämä ei kuitenkaan päde tilanteisiin, joissa korkeus Maan pinnasta ja siis myös etäisyys Maan keskipisteestä r muuttuu paljon, sillä Maan gravitaatiovetovoima pinnan yläpuolella muuttuu yhtälön (12.5) mukaisesti F g = Gm E m/r 2. Tällöin tarvitaan yleisempi gravitaatiopotentiaalin lauseke, joka saadaan, kun lasketaan gravitaatiovoiman F ulospäin suuntautuvan radiaalikomponentin F r tekemä työ, kun kappale (m) siirtyy suoraan poispäin Maan keskipisteestä r 1 r 2 (tai päinvastoin): r2 W grav = F r dr (13.6) r 1 Koska kappaleeseen kohdistuva gravitaatiovoima F g suuntautuu keskipistettä kohti, F r on vastakkaismerkkinen eli negatiivinen yhtälöön (13.5) verrattuna: F r = Gm Em r 2 (13.7) Kun se sijoitetaan yhtälöön (13.6) ja integroidaan: r2 dr W grav = Gm E m r 1 r 2 = Gm Em r 2 Gm Em r 1 (13.8)
13.2 Paino Kappaleen kulkeman reitin ei tarvitse olla suora vaan se voi myös mutkitella (kuva 13.10): tehdyn työn määrä ei riipu reitistä vaan ainoastaan alku- ja loppuetäisyyksistä r Maan keskipisteestä eli gravitaatiovoima on aina konservatiivinen. Työtä vastaava potentiaalienergia U määritellään W grav = U 1 U 2, jota vertaamalla saadaan gravitaatiopotentiaalienergia: U = Gm Em r (13.9) 13.10 Gravitaatiovoiman tekemä työ kappaleeseen, jonka korkeus muuttuu.
13.2 Paino Kun etäisyys maan keskipisteestä kasvaa (Kuva 13.11), gravitaatiovoima tekee negatiivista työtä ja U kasvaa eli tulee vähemmän negatiiviseksi. Kun kappale putoaa kohti Maata, r pienenee, gravitaation tekemä työ on positiivista ja gravitaatiopotentiaalienergia pienenee eli tulee negatiivisemmaksi. Gravitaatiopotentiaalienergia on aina negatiivinen, sillä sen nollakohta on, kun kappale on äärettömän kaukana Maasta (r = ). Potentiaalin nollakohta voidaan valita myös maan pinnalle eli U = 0, kun r = R E, lisäämällä Gm E m/r E yhtälöön (13.19). Se ei ole kuitenkaan tarpeen ja toisi vain ylimääräisen termin vaikuttamatta kappaleiden väliseen potentiaalienergiaeroon, mikä on ainoa fysikaalisesti merkittävä suure. Jos gravitaatiovoima on ainoa työtä tekevä voima, mekaaninen kokonaisenergia on vakio eli konservoitunut, mitä voidaan käyttää pakonopeuden (escape speed) laskemisessa eli kappaleen planeetalta irrottautumiseen tarvittava vauhti. 13.11 Astronautin ja maapallon gravitaatiopotentiaalienergia U keskipiste-etäisyyden funktiona.
13.2 Paino Esimerkki 13.5: Maasta Kuuhun Jules Vernen 1865 kirjoittamassa tarinassa kolme miestä matkusti Kuuhun ammuksella, joka ammuttiin pystysuoraan valtavalla Floridan maaperään upotetulla tykillä. Lasketaan miniminopeus tykin suulla, kun (a) ammus nousee Maan säteen verran pinnan yläpuolelle (b) ammius karkaa Maan vetovoiman piiristä (pakonopeus). Jätetään ilmanvastus, Maan pyöriminen ja Kuun gravitaatiovetovoima huomioimatta. Ammuksen lähdettyä tykinsuusta siihen kohdistuu vain konservatiivinen gravitaatiovoima, joten ongelmat (kuva 13.12) voidaan ratkaista mekaanisen energian säilymislailla: K 1 +U 1 = K 2 +U 2 (a) Nyt r 1 = R E, r 2 = 2R E ja v 2 = 0, ratkaistaan v 1 : ( 1 2 mv2 1 + Gm Em R E v 1 = = Gm E R E ) ( = 0+ Gm ) Em 2R E (6.67 10 11 N m 2 /kg 2 )(5.97 10 24 kg) 6.38 10 6 m = 7900m/s = 28400km/h 13.12 Ongelmat kuvina.
13.2 Paino Esimerkki 13.5: Maasta Kuuhun (b) Nyt r 1 = R E ja r 2 = U 2 = 0 ja v 2 = 0 K 2 = 0 eli energian säilymisehto on: ( 1 2 mv2 1 + Gm Em R E v 1 = = 2Gm E R E ) = 0+0 2(6.67 10 11 N m 2 /kg 2 )(5.97 10 24 kg) 6.38 10 6 m = 1.12 10 4 m/s = 40200km/h (b) Pakonopeus ei riipu kappaleen massasta tai laukaisusuunnasta. (b) Käytännössä voidaan hyödyntää myös maan pyörimisauhti 410 m/s laukaisemalla raketti itäänpäin. (b) Pakonopeus voidaan yleistää M massaiselle pallomaiselle R-säteiselle kappaleelle: v 1 = 2GM/R, mikä antaa esim. Marsille 5.02 10 3 m/s, Jupiterille 5.95 10 4 m/s ja Auringolle 6.18 10 5 m/s. 13.12 Ongelmat kuvina.
13.2 Paino Gravitaatiopotentiaalienergian approksimaatio Osoitetaan, että gravitaatiopotentiaalienergian yhtälöstä (13.9) seuraa U = mgy lähellä Maan pintaa. Kirjoitetaan yhtälö (13.8) uuteen muotoon: W grav = Gm Em r 2 Gm Em r 1 W = Gm E m r 1 r 2 r 1 r 2 Jos kappale on lähellä maanpintaa eli r 1 r 2 R E, voidaan jakaja kirjoittaa: W = Gm E m r 1 r 2 R 2 E Yhtälön (13.4) mukaan g = Gm E /RE 2 ja jos muutetaan etäisyysero maapallon ytimestä korkeuseroksi y 1 y 2 maanpinnalta, joten W = mg(r 1 r 2 ) = mg(y 1 y 2 ) = U 1 U 2 Eli saadaan gravitaatiopotentiaalienergiaksi U = mgy, yhtälö (7.2), joka on siis erikoistapaus yleisemmästä yhtälöstä (13.9)
Luku 13: Gravitaatio (L8) 13.2 Paino Korkeasta tornista maanpinnan suuntaisesti (tangentiaalisesti, A B) ammutun kappaleen alkunopeudesta (radat kuvassa 13.14). Mitä suurempi alkunopeus on, sitä pidemmälle kappaleen parabolinen rata kantaa maanpinnalla (rata 1) ja suurilla nopeuksilla maapallon kaarevuudella on merkitystä (rata 2). Kun nopeus on tarpeeksi suuri, maapallo kaareutuu koko radan matkalla pois kappaleen alta ja se palaa lähtöpisteeseensä, jossa sen nopeus on sama kuin alkunopeus, jos siihen ei kohdistu hidastavia voimia kuten ilmanvastusta (rata 3). Radoilla 3-5 kappale ei palaa maahan vaan siitä tulee satelliitti. Kaikki radat 1-5 ovat suljettuja ratoja (closed orbits), jokta ovat ellipsejä tai niiden segmenttejä (radat 1 ja 2). Rata 4 on ellipsiradan erikoistapaus eli ympyrärata. Radat 6 ja 7 ovat avoimia ratoja (open orbits) eli niille kulkeva kappale ei palaa koskaan lähtöpisteeseensä vaan etääntyvät Maasta yhä kauemmas. 12.13 Hubble-avaruusteleskooppi (13.2 m, 11000 kg). 12.14 Erilaisia kappaleen ratoja.
Satelliittien ympyräradat 13.2 Paino Ympyrärata (circular orbit) (rata 4 kuvassa 13.14) on yksinkertaisin ja tärkeä tapaus, sillä useat satelliitit ja planeetat auringon ympärillä kiertävät lähes ympyränmuotoisilla radoilla. Ympyräradalla satelliittiin kohdistuu ainoastaan Maan gravitaatiovetovoima F = F g = Gm E m/r 2 (kuva 12.15), jonka suunta on kohti radan keskipistettä. Tällöin satelliitti on tasaisessa (uniform) ympyräliikkeessä (kappale 5.4) eli sen ratavauhti on vakio, koska kiihtyvyys on aina kohtisuorassa etenemissuuntaa vastaan ( a v). Se ei putoa kohti maata vaan pikemminkin Maan ympäri eli ratavauhti on juuri sopiva pitämään satelliitin vakioetäisyydellä r Maan keskipisteestä, jolloin sen radiaalinen kiihtyvyys kohti keskipistettä on a = a rad = v 2 /r. Newtonin 2. lain ( F = m a) mukaan ratanopeus v ja ratasäde r riippuvat toisistaan: Gm E m r 2 = mv2 r v = GmE r (13.10) 12.15 Maan aiheuttama gravitaatiovetovoima F g antaa satelliitille sentripetaali- eli keskeiskiihtyvyyden, joka pitää sen radallaan.
Satelliittien ympyräradat 13.2 Paino Yhtälön (13.10) mukaan satelliitin rataliike ei riipu sen massasta m. Avaruussukkulan mukana ympyräradalla liikkuva astronauttikin on satelliitti, johon vaikuttaa vain Maan vetovoima. Hänellä on siis sama ratavauhti ja keskeiskiihtyvyys kuin sukkulalla eli mikään ei vedä tai työnnä häntä sukkulan lattiaan tai seinämiin. Astronautti kokee siten näennäisen painottomuuden (apparent weightlessness) kuten vapaassa pudotuksessa (esim. sirkuslaitteessa). Oikea painottomuus (true weightlessness) toteutuu vain äärettömän kaukana kaikista massallisista kappaleista, jolloin kappale ei koe lainkaan gravitaatiovoimia. Näennäinen painottomuus ei ole ainoastaan ympyräradan ominaisuus vaan sen kokee kappale kaiken tyyppisillä radoilla 1-7 kuvassa 12.14, joilla ainoa vaikuttava voima on gravitaatio. 12.16 Kiertoradalla avaruusaluksessa olevat astronautit kokevat näennäisen painottomuuden.
Satelliittien ympyräradat 13.2 Paino Ympyräradalla satelliitin vauhti on matka 2πr jaettuna periodilla T eli kiertoajalla: v = 2πr T (13.11) Periodin riippuvuus ratasäteestä saadaan, kun sijoitetaan vauhti yhtälöstä (13.10): T = 2πr v r = 2πr = 2πr3/2 (13.12) Gm E GmE Yhtälöiden mukaan mitä suurempi rata on, sitä hitaampi vauhti ja pidempi kiertoaika, esim. ISS-avaruusasemalla matalalla radalla (r = 6800km) v = 7.7km/s ja T = 93min, kun taas Kuulla (r = 384000km) v = 1.0km/s ja T = 27.3d. 12.1 Pluton kauemmilla radoilla olevilla pienillä satelliiteilla on hitaampi ratavauhti ja pidempi periodi kuin suuremmalla Charon-kuulla lähiradalla.
Satelliittien ympyräradat 13.2 Paino Jos verrataan yhtälöä (13.10) v = GmE r ja Esimerkin 13.5 pakonopeuden yhtälöä v 1 = 2GmE nähdään, että R E pakonopeus R-säteiseltä planeetalta on 2-kertaa suurempi kuin samansäteisellä ympyräradalla olevan satelliitin nopeus. Eli minkä tahansa planeetan, riippumatta sen massasta, ympärillä ympyräradalla kiertävän satelliitin vauhdin tarvitsee kasvaa vain 2-kertaiseksi, jotta se voi paeta planeetan vaikutuspiiristä. Käyttämällä yhtälöä (13.10) voimme laskea kappaleen mekaanisen kokonaisenergian ympyräradalla: E = K +U = 1 ( 2 mv2 + Gm Em r = 1 ( ) 2 m GmE r ( GmE m r ) (13.13) ) = Gm Em 2r Eli mekaaninen kokonaisenergia on negatiivinen ja puolet potentiaalienergiasta. E kasvaa eli tulee vähemmän negatiiviseksi, kun radan säde r kasvaa. Matalalla kiertoradalla ilmakehän yläosien ilmanvastus tekee satelliittiin jarruttavaa, negatiivista työtä, jolloin mekaaninen kokonaisenergia pienenee ja r pienenee, kunnes satelliitti joko palaa ilmakehässä tai osuu maahan.
Esimerkki 13.6: Satelliitin rata 13.2 Paino Satelliitti (m = 1000 kg) halutaan saattaa 300 km korkeudella Maan pinnasta olevalle ympyräradalle. (a) Mikä satelliitin vauhti, kiertoaika ja radiaalinen kiihtyvyys on tällä radalla? (b) Kuinka paljon työtä on tehtävä, jotta satelliitti saadaan radalle. (c) Kuinka paljon lisätyötä on tehtävä, jotta radalla oleva satelliitti voi paeta Maasta? (a) r = (6380+300)km = 6.68 10 6 m, jolloin yhtälö (13.10) antaa ratavauhdiksi: v = GmE r (6.67 10 11 N m 2 /kg 2 )(5.97 10 24 kg) = = 7720m/s 6.68 10 6 m (a) Radan kiertoaika: T = 2πr v = 2π(6.68 106 m) = 5440s = 90.6min 7720m/s (a) Radiaalinen kiihtyvyys: a rad = v2 r = (7720m/s)2 6.68 10 6 m = 8.92m/s2, joka on n. 10% pienempi kuin g maanpinnalla. (b) Yhtälö (13.13) antaa kokonaisenergian radalla: E 2 = Gm Em 2r = (6.67 10 11 N m 2 /kg 2 )(5.97 10 24 kg)(1000kg) 2(6.68 10 6 m) = 2.98 10 10 J ja koska K 1 = 0, laukaisualustalla kokonaisenergia on E 1 = Gm Em R E = (6.67 10 11 N m 2 /kg 2 )(5.97 10 24 kg)(1000kg) (6.68 10 6 m) = 6.24 10 10 J. Tehty työ vastaa energiaeroa: W = E 2 E 1 = 3.26 10 10 J. (c) Koska mekaaninen kokonaisenergia E = 0 äärettömän kaukana, on lisätyön vastattava energiaa E 2 radalla eli W = 2.98 10 10 J.
Saksalainen Johannes Kepler kehitti vuosina 1601-19 Tycho Brahen havaintoihin perustuvat lait planeettojen liikkeestä: 1 Jokainen planeetta liikkuu elliptistä rataa Auringon, joka on ellipsin toisessa polttopisteessä, ympäri. 2 Auringon ja planeetan välinen viiva piirtää tietyssä ajassa saman pinta-alan kaikissa osissa rataa. 3 Planeettojen kiertoajat ovat verrannollisia niiden ratojen isoakselin pituuden 3 2 -potenssiin. Kepler ei tiennyt miksi lait toimivat vaan vasta Newton vuosisadan loppupuolella osoitti, että ne voidaan johtaa liike- ja gravitaatiolaeista. 13.18 Ellipsin geometria. SP ja S P etäisyyksien summa on sama kaikissa käytän kohdissa.
Keplerin ensimmäinen laki Aurinko on ellipsin (kuva 13.18) toisessa polttopisteessä S ja planeetta kiertää sitä ellipsiradalla pisteessä P. Ellipsiradan kahden pisteen suurin etäisyys on isoakseli, (major axis), josta puolet on isoakselin puolikas a (semi-major axis). Ellipsiradan minkä tahansa pisteen P polttopisteistä (focus, mon. foci) S ja S mitattujen etäisyyksien SP JA S P summa pysyy vakiona. Polttopisteiden etäisyys ellipsin keskipisteestä on ea, missä parametri e [0, 1] on epäkeskisyys eli eksentrisyys (eccentricity), joka ympyrälle on e = 0. Planeettojen radat ovat melko ympyrämäisiä, esim. Venusksella e = 0.007, Maalla 0.017 mutta Merkuriuksella jo 0.206. Ellipsiradan Aurinkoa lähin kohta on periheli (perihelion) ja kauimmainen apheli (aphelion). Newton osoitti, että kappaleen, johon vaikuttaa vetovoima 1/r 2, suljetut radat ovat joko ympyrämäisiä tai ellipsejä. Lisäksi avoimet radat (6 ja 7 kuvassa 13.14) ovat joko parabelejä tai hyperbelejä. 13.18 Ellipsin geometria. SP ja S P etäisyyksien summa on sama kaikissa käytän kohdissa.
Keplerin toinen laki Pienellä aikavälilä dt Auringon S ja planeetan P välinen viiva SP kääntyy kulman dθ verran (kuva 13.19b), jolloin se piirtää kolmion, jonka pinta-ala on da = 1 2 r rdθ = 1 2 r2 dθ. Nopeus, jolla viiva piirtää pinta-alan eli ns. sektorinopeus (sector velocity), saadaan: da dt = 1 2 r2dθ dt (13.14) Keplerin toisen lain mukaan sektorinopeus on vakio kaikissa radan osissa. Tästä sauraa, että kun planeetta on lähellä Aurinkoa, r on pieni ja kulmavauhti dθ/dt suuri. Kaukana auringosta päinvastoin. Koska tangentiaalisen ratanopeusvektorin v radiaaliviivan suhteen kohtisuora komponentti on v = vsinφ (kuva 13.19b) ja se myös vastaa etäisyysmuutosta rdθ aikavälillä dt eli v = rdθ/dt, voidaan se sijoittaa yhtälöön (13.14) ja saadaan: da dt = 1 rvsinφ (13.15) 2 13.19 (a) Planeetta P liikkuu ellipsiradalla Auringon (S) ympäri. (b,c) Planeetan nopeus vaihtelee niin, että SP viivan tietyssä ajassa piirtämä pinta-ala pysyy vakiona.
Keplerin toinen laki Koska rvsinφ = r v, saadaan yhtälöstä (13.15): da dt = 1 1 1 r v = r m v = 2 2m 2m L = L 2m (13.16) Keplerin 2. laki eli sektorinopeuden vakioisuus tarkoittaa, että myös (rata)impulssimomentti säilyy. Osoitetaan, että planeetan rataimpulssimomentti pitää olla vakio. Yhtälön (10.26) mukaan L:n muutosnopeus vastaa Auringon planeettaan kohdistaman voiman F vääntömomenttia τ, joka on nolla, koska F r: d L dt = τ = r F = 0 F on esimerkki ns. keskeisvoimasta (central force), jolle L säilyy. 13.19 (a) Planeetta P liikkuu ellipsiradalla Auringon (S) ympäri. (b,c) Planeetan nopeus vaihtelee niin, että SP viivan tietyssä ajassa piirtämä pinta-ala pysyy vakiona. Koska aina L r ja L F, niin rataimpulssimomentin magnitudin lisäksi myös sen suunta säilyy eli rataliike tapahtuu tasossa.
Keplerin kolmas laki Yhtälö (13.12) osoitti, että ympyräradalla satelliitin periodi eli kiertoaika riippuu radan säteestä: T r 3/2. Newton osoitti, että tämä pätee myös elliptisille radoille, kun säde r korvataan a:lla eli isoakselin puolikkaalla, joten planeetalle Auringon (massa m S ) ympärillä: T = 2πa3/2 GmS (13.17) Kiertoaika ei siis riipu radan eksentrisyydestä e. Asteroidilla hyvin eksentrisellä (e 1) radalla, jonka isoakselin puolikas on a, on sama kiertoaika kuin planeetalla a-säteisellä ympyräradalla. Ainoa ero on, että asteroidin nopeus muuttuu eri kohdissa rataa mutta planeetan vauhti on vakio kaikissa ympyräradan kohdissa. 13.19 (a) Planeetta P liikkuu ellipsiradalla Auringon (S) ympäri. (b,c) Planeetan nopeus vaihtelee niin, että SP viivan tietyssä ajassa piirtämä pinta-ala pysyy vakiona.
Keplerin kolmas laki Esimerkki 13.7: Ratanopeudet Missä kohdassa kuvan 13.19 rataa planeetta liikkuu nopeimmin ja hitaimmin? Mekaaninen energia säilyy, joten perihelissä (lähimpänä Aurinkoa) potentiaalienergia U = Gm S m/r on minimissään (suurin negatiivinen arvo, kun r on pieni) eli positiivinen kineettinen energia K = 1 2 mv2 ja siis myös vauhti v on suurimmillaan. Aphelissä, kun r on suurimmillaan ja U on suurimmillaan (pieni negatiivinen arvo), K ja siis myös vauhti on pienimmillään. Esimerkki 13.8: Keplerin kolmas laki Pallas-asteroidilla kiertoaika on T = 4.62 vuotta ja radan eksentrisyys on e = 0.233. Mikä on radan isoakselin puolikas a? Nyt m S = 1.99 10 30 kg, T = 4.62a = 4.62 3.1536 10 7 s = 1.46 10 8 s. Eksentrisyyttä ei nyt tarvita, sillä a ratkaistaan yhtälöstä (13.17): ( ) a = GmS T 2 1/3 4π = 4.15 10 11 2 m Etäisyys sopi Marsin ja Jupiterin välisen asteroidivyön etäisyyteen Auringosta.
Keplerin kolmas laki Esimerkki 13.9: Halleyn komeetta Halleyn komeetta liikkuu hyvin elliptisellä radalla Auringon ympäri (kuva 13.20). Periheli ja apheli etäisyydet ovat 8.75 10 7 km ja 5.26 10 9 km. Lasketaan radan isoakselin puolikas a, eksentrisyys e ja kiertoaika T. Kuvasta (13.18) nähdään, että isoakseli on perihelin ja aphelin summa, joten: a = (8.75 107 +5.26 10 9 )km 2 = 2.67 10 9 km Komeetan etäisyys Auringosta perihelissä on a ea = 8.75 10 7 km eli eksentrisyys on e = 1 8.75 107 km a = 1 8.75 107 km 2.67 10 9 km = 0.967 Kiertoajaksi saadaan yhtälöstä (13.17): T = 2πa3/2 = 2.38 10 9 s = 75.4vuotta GmS Viimeksi komeetta oli lähelle maata 1986 ja seuraavan kerran vuonna 2061. 13.20 (a) Halleyn komeetan rata. (b) Halleyn komeetta vuonna 1986 lähellä Maata.
Massakeskipiste planeettojen liikkeessä Aiempi käsittely olettaa, että Aurinko pysyy paikoillaan, kun planeetat kiertävät sitä. Koska planeetta kuitenkin vaikuttaa Aurinkoon samalla voimalla kuin Aurinko siihen mutta vastakkaiseen suuntaan, kummatkin kiertävät todellisuudessa yhteistä massakeskipistettä (kuva 13.12). Auringon massa on kuitenkin n. 750 kertaa kaikkien planeettojen massojen yhteenlaskettu massa, joten Aurinkokunnan massakeskipiste on hyvin lähellä Auringon keskipistettä. Herkillä teleskoopeilla voidaan kuitenkin havaita kaukaisten tähtien näennäistä huojumista massakeskipisteen ympärillä ja siten epäsuorasti havaita planeettoja, jotka ovat liian himmeitä nähtäväksi suoraan. Newtonin planeettaliikkeiden analyysi ja lopputulos, että niihin pätevät samat lait kuin maanpäällisiin ilmiöihin eli ns. Newtonilainen synteesi (Newtonian synthesis) on eräs merkittävimmistä yhtenäistävistä periaatteista tieteessä. Välittömän ympäristömme tieteellisen tutkimuksen tulokset voidaan siis yleistää suoraan maailmankaikkeuden mittakaavan käsittelyyn. 13.21 Tähti ja planeetta liikkuvat radoillaan yhteisen massakeskipisteen ympärillä.
Pistemassa pallomaisen kuoren ulkopuolella Osoitetaan, että kahden pallomaisen massajakauman gravitaatiovuorovaikutus voidaan käsitellä niiden keskipisteissä olevien kokonaismassojen vuorovaikutuksena. Newton venytti gravitaatiolakinsa julkaisuaan vuosia ennen kuin sai tämän todistettua. Pallonkuoren rengaselementin (kuva 13.22) kaikki massapisteet m i ovat samalla etäisyydellä s pallon ulkopuolella olevasta massasta m pisteessä P, joten niiden välinen gravitaatiopotentiaalienergia on U i = Gmm i s. Koko renkaan massa on dm = i m i, joten sen potentiaalienergia du = i U i on: du = i ( Gmm ) i = Gm s s i m i = GmdM s (13.18) Koska renkaan leveys on Rdφ ja kehä 2πRsinφ, saadaan renkaan pinta-alaksi da = 2πR 2 sinφdφ. 13.22 Massapisteen m vuorovaikutus pallonkuoren elementin kanssa.
Pistemassa pallomaisen kuoren ulkopuolella Renkaan massan dm ja koko ohuen pallonkuoren massan M suhde on sama kuin pinta-alojen suhde: dm M = 2πR2 sinφdφ 4πR 2 = 1 sinφdφ (13.19) 2 Pistemäisen massan m ja renkaan välinen gravitaatiopotentiaalienergia on siten: du = GMmsinφdφ 2s (13.20) josta kokonaisenergia saadaan integroimalla. Kirjoitetaan integrandi yhden muuttujan s avulla eli poistetaan riippuvuus kulmasta φ [0,180 ]. Kuvasta 13.22b saadaan: s 2 = (r Rcosφ) 2 +(Rsinφ) 2 = r 2 2rRcosφ+R 2 (13.21) 13.22 Massapisteen m vuorovaikutus pallonkuoren elementin kanssa.
Pistemassa pallomaisen kuoren ulkopuolella Differentioidaan yhtälö (13.21) puolittain muuttujien suhteen: 2s ds = 2rR sin φ dφ, jolloin saadaan yhtälöön (13.20) sijoittamalla: du = GMm sds 2s rr = GMm ds (13.22) 2rR Integroidaan välillä r R s r +R: U = GMm 2rR r+r r R U = GMm r ds = GMm [(r +R) (r R)] (13.23) 2rR (13.24) Potentiaali on siis sama kuin jos pallonkuoren massa olisi sen keskipisteessä. Koska gravitaatiovoima on F r = du/dr, myös voima voidaan laskea samoin. 13.22 Massapisteen m vuorovaikutus pallonkuoren elementin kanssa.
Pallomaisten massojen välinen gravitaatiovoima Koska pallosymmetrinen massajakauma voidaan ajatella sisäkkäisten pallonkuorien yhdistelmänä, saadaan myös kokonaisvoima pallonkuorien aiheuttamien voimien superpositiona. Eli minkä tahansa pallosymmetrisen massajakauman ja pistemassan gravitaatiovuorovaikutus saadaan keskittämällä pallon massa sen keskipisteeseen. Newtonin 3. lain mukaan pistemassa m aiheuttaa saman voiman pallosymmetriseen massajakaumaan M. Jos siis pistemassa m vaihdetaan pallosymmetriseksi massajakaumaksi saman pisteen P ympärille, sama vuorovaikutus on kahden pallosymmetrisen massajakauman m ja M välillä. 13.23 Massapisteen m vuorovaikutus pallonkuoren elementin kanssa.
Pistemassa pallomaisen kuoren sisäpuolella Kuva 13.23 esittää tilannetta, kun massapiste m on pallosymmetrisen massajakauman sisällä. Tilanne on muuten sama kuin pisteelle ulkopuolella mutta integrointiväli muuttuu välille R r s R+r: U = GMm 2rR R+r R e U = GMm R ds = GMm [(R+r) (R r)] (13.25) 2rR (13.26) Nyt potentiaali ei riipu etäisyydestä pallon keskipisteestä, r, vaan pallon säteestä R eli potentiaali on vakio sen sisällä. Kun siis pistemassa m liikkuu pallonkuoren sisällä, siihen ei tehdä työtä, joten siihen kohdistuva voima on nolla. Pistemassaan m vaikuttava voima pallosymmetrisen massan sisällä voidaankin yleisesti laskea siten, että otetaan huomioon vain säteen r sisällä olevan massajakauman vaikutus laittamalla se pallon keskipisteeseen. 13.23 Massapisteen m vuorovaikutus pallonkuoren elementin kanssa pallon sisällä.
Pistemassa pallomaisen kuoren sisäpuolella Esimerkki 13.10: Matka maan keskipisteeseen Poraamme reiän Maapallon läpi sen keskipisteen kautta ja pudotamme kirjepaketin reikään. Johdetaan yhtälö, joka kuvaa kirjepakettiin kohdistuvaa gravitaatiovoimaa, kun Maan tiheys oletetaan vakioksi (ei kovin realistista). Pakettiin kohdistuva voima riippuu ainoastaan keskipiste-etäisyyden r sisäpuolella olevasta Maan massasta M keskitettynä keskipisteeseen. Tasanjakautuneelle pallosymmetrisellä massajakaumalla massa M riippuu suoraan pallon tilavuudesta, joten sen suhde Maan M massaan m E on: = 4 3 πr3 m 4 = r3 r E 3 πr3 R E E 3 M = m 3 E R E 3 Gravitaatiovoima m-massaiseen ( ) kirjepakettiin on: F g = GMm r 2 = Gm r r 2 m 3 E R E 3 = Gm Em R E 3 r Eli pallon sisällä voima on suoraan verrannollinen etäisyyteen keskipisteestä r. Pinnalla r = R E, joten F g = Gm Em R E 2 kuten pitääkin. 13.24 Reikä keskipisteen kautta Maan läpi.
Koska Maapallo pyörii, se ei tarkalleen ottaen ole inertiaalikoordinaatisto, joten kappaleen kokema painovoima ei ole sama kuin Maan gravitaatiovetovoima eli ns. todellinen paino (true weight) w 0. Kuva 13.25 esittää tilannetta, jossa kolme havaitsijaa pitelee jousivaakaa, joka havaitsee jännitysvoiman F ja siten sitä vastaavan paikasta riippuvan näennäisen painon (apparent weight) w. Pyörivässä koordinaatistossa kappale siis ei ole tarkalleen ottaen täysin tasapainossa. Pallosymmetrisen Maan approksimaatiossa todellisen painon magnitudi kaikkialla Maan pinnalla on w 0 = w 0 = Gm E m/r 2 R. Navoilla ei olla pyörivässä koordinaatistossa, joten näennäisen paino on sama kuin todellinen eli w = w 0. 12.25 Voimat ja kiihtyvyydet eri paikoissa pyörivällä Maapallolla.
Ekvaattorilla kappale liikkuu R E -säteistä ympyrää vauhdilla v, joten voimien summana saatavan, sisäänpäin suuntautuvan, nettovoiman pitää vastata keskeiskiihtyvyyttä: Fi = w 0 + F = a rad w 0 F = mv2 R E Näennäinen paino w vastaa suuruudeltaan jännitysvoimaa F mutta on vastakkaissuuntainen, joten: Pallosymmetrisen Maan ekvaattorilla kiihtyvyys on v 2 = (465m/s)2 R E 6.38 10 6 m = 0.0339m/s 2 pienempi kuin todellinen gravitaatiokiihtyvyys, joka havaitaan navoilla. w = F = w 0 mv2 R E (13.27) Jos Maa ei pyörisi, vapaa kappale olisi vapaassa pudotuksessa g 0 = w 0 /m. Pyörimisen vuoksi siihen kohdistuu kiihtyvyys g = g 0 a rad, jonka suuruus saadaan yhtälöstä (13.27): g = w/m = g 0 v2 R E. Ekvaattorilla (Maan pyörähdysaika T = 86164 s, kun ei huomioida rataliikettä Auringon ympäri) vauhti on: v = 2π(6.38 106 m) = 465m/s 86164s 12.25 Voimat ja kiihtyvyydet eri paikoissa pyörivällä Maapallolla.
Ekvaattorin ja napojen välisillä alueilla todellinen paino w 0 ja keskihakuvoima eivät vaikuta samansuuntaisesti, jolloin tarvitaan vektoriyhtälö näennäiselle painolle (kuva 13.25): w = w 0 m a rad = m g 0 m a rad (13.28) Kiihtyvyys g on 0 0.0339m/s 2 pienempi kuin g 0. Näennäisen painon suunta poikkeaa todellisen painovoiman suunnasta pienen kulman β 0.1 verran (enemmän pyörimisakselin suuntaiseksi). Taulukossa 13.1. on näennäisiä gravitaatiokiihtyvyyksiä g eri leveyspiireillä. Vaihteluun vaikuttaa myös Maan epäsäännöllinen muoto, paikalliset tiheysvaihtelut ja korkeuserot.
Pakonopeus tähdeltä Luku 13: Gravitaatio (L8) Vaikka musta aukko (black hole) on pohjimmiltaan Einsteinin yleisen suhteellisuusteorian heiniä, myös Newtonilainen mekaniikka voi selventää sen perusteita. Auringon (M = 1.99 10 30 kg, R = 6.96 10 8 m) keskitiheys on ρ = M V = 1410kg/m3 ja sen lämpötila vaihtelee 5800 K (pinta) ja 1.5 10 7 K (ydin) välillä eli aine ei ole nestemäisessä tai kiinteässä olomuodossa. Siitä huolimatta gravitaatiovoiman vuoksi kaasun keskitiheys Auringossa on 41% suurempi kuin veden ja 1200 kertaa suurempi kuin ilman Maapallolla. Pakonopeus Auringon pinnalta voidaan arvioida Esimerkin 13.5 mukaan, kun M = ρv = ρ ( 4 3 πr3) : v = 2GM 8πGρ R = R (13.29) 3 Kappaleen massasta riippumaton pakonopeus v = 6.18 10 5 m/s = 2.2 10 6 km/h, joka on noin 1 500 valonnopeudesta. Yhtälön (13.29) mukaan pakonopeus saman keskitiheyden ρ tähdille riippuu suoraan tähden säteestä R eli jos tähden säde olisi 500-kertainen Auringon säteeseen verrattuna, pakonopeus olisi suurempi kuin valonnopeus c. John Mitchell huomasi tämän jo 1793 ja oli ensimmäinen, joka ehdotti nykyisin mustaksi aukoksi kutsumaamme kappaletta, josta emittoituva valo palaisi takaisin sitä kohti.
Schwarzschildin säde ja tapahtumahorisontti Yhtälön (13.29) mukaan M-massainen kappale on musta aukko, jos sen sade R on sama tai pienempi kuin tietty kriittinen säde. Asettamalla v = c saadaan oikea tulos kriittiselle säteelle mutta vain sattumalta, sillä silloin tehdään kaksi toisensa täysin kompensoivaa virhettä. Valon kineettinen energia ei ole mc 2 /2 (valolla ei ole massaa) ja mustan aukon gravitaatiopotentiaalienergia ei ole yhtälön (13.9) mukainen ( GMm/r). Karl Schwarzschild johti vuonna 1916 Einsteinin yleisestä suhteellisuusteoriasta kriittisen säteen, ns. Schwarzschildin säteen R S lausekkeen, joka sattuu olemaan sama kuin yhtälö (13.29), kun v = c: c = 2GM R S R S = 2GM c 2 (13.30) Jos kappaleen (massa M) säde on pienempi kuin R S, mikään kappale, eikä myöskään valo, voi karata kappaleen pinnalta (säteen R S sisältä) eli kappale on musta aukko.
Schwarzschildin säde ja tapahtumahorisontti Mustaa aukkoa (kuva 13.26) ympäröivää R S -säteistä pallonpintaa sanotaan tapahtumahorisontiksi (event horizon), sillä sen sisäpuolelta ei voida havaita tapahtumia, koska informaatio (fotonien välittämä) ei pääse sieltä karkaamaan. Ulkopuolinen havaitsija voi ainoastaan mitata mustan aukon massan (gravitaatiovoimista), sähköisen varauksen (sähköisistä voimista) ja impulssimomentin (pyörivä musta aukko venyttää avaruutta ympärillään ja samalla raahaa avaruuden kappaleita mukanaan) aiheuttamia ilmiöitä. Kun kappale joutuu tapahtumahorisontin sisälle, kaikki informaatio siitä menetään. 13.26 Schwarzschildin säde R S ja valon (a) karkaaminen (R > R S ) ja (b) jääminen (R < R S ) kappaleelle.
Schwarzschildin säde ja tapahtumahorisontti Esimerkki 13.11: Musta aukko Astrofysiikan teorian mukaan loppuun palanut tähti, jonka massa on vähintään kolmen Auringon verran, romahtaa omasta gravitaatiostaan johtuen mustaksi aukoksi. Mikä sen tapahtumahorisontin säde on? Lasketaan siis Schwarzschildin säde (M = 3(1.99 10 30 kg) = 6.0 10 30 kg): R S = 2GM c 2 = 2(6.67 10 11 N m 2 /kg 2 )(6.0 10 30 kg) (3.00 10 8 m/s) 2 = 8.9 10 3 m = 8.9km Tällaisen mustan aukon keskitiheys on: ρ = M 4 = 6.0 1030 kg 3 πr3 4 3 π(8.9 103 m) = 3 2.0 1018 kg/m 3 joka on noin 10 15 kertaa normaali materian tiheys (atomin ytimen tiheys). Oikeastaan mikään ei estä kappaleen romahtamista edelleen ja massa päätyykin lopulta yksittäiseksi pisteeksi, singulariteetiksi, tapahtumahorisontin keskipisteeseen. Pisteen tilavuus on nolla, joten tiheys on ääretön.
Vierailu mustaan aukkoon Katsokaa Interstellar! Kaukana mustasta aukosta Newtonin gravitaatiolait ovat voimassa, kuten tavallisillekin saman massaisille objekteille. Lähellä tapahtumahorisonttia asiat muuttuvat dramaattisesti johtuen suhteellisuusteoreettisista efekteistä. Kun astronautti lähestyy tapahtumahorisonttia, hänen lähettämänsä radiosignaali kokee gravitaatiopunasiirtymän (gravitational red shift) eli ulkopuolisen havaitsijan pitää virittää vastaanotintaan jatkuvasti kohti matalampia taajuuksia. Tämä johtuu siitä, että astronautin aika kuluu sitä hitaammin verrattuna ulkopuolisen havaitsijan aikaan mitä lähempänä astronautti on tapahtumahorisonttia. Tämän ns. aikadilataation (time dilation) vuoksi astonautti vanhenee huomattavan hitaasti ja ulkopuoliset havaitsijat eivät ehtisi havaita hänen saapumistaan tapahtumahorisonttiin ihmisen eliniän aikana. Astronautti saavuttaa omasta mielestään tapahtumahorisontin varsin nopeasti mutta kehon eri osiin kohdistuvat erisuuruiset gravitaatiovoimat venyttäisivät kehoa kohti keskipistettä ja puristaisivat kohtisuorassa suunnassa. Nämä ns. vuorovesivoimat repisivät kehon atomeiksi ja atomit edelleen osiinsa ennen tapahtumahorisonttia.
Mustien aukkojen havaitseminen Vaikka itse mustasta aukosta ei valo pääse karkuun ja sitä ei voi siis havaita suoraan, voidaan sen ympärillä pyörivä kertymäkiekko (accretion disk) havaita. Siinä esim. viereisestä auringosta (kuva 13.27) peräisin oleva kaasu ja pöly menettävät mekaanista energiaansa kitkan vuoksi ja putoavat vähitellen kohti mustaa aukkoa. Samallla materia tihenee ja kuumenee jopa yli T = 10 6 K lämpötilaan, jolloin se emittoi näkyvän valon lisäksi myös voimakasta röntgensäteilyä ennen tapahtumahorisonttia, jota on havainnoitu useista kohteista. Tällaisten mustien aukkojen massa on muutamia kertoja Auringon massa. 12.27 Mustan aukon lähellä oleva tähti menettää materiaa mustalle aukolle.
Mustien aukkojen havaitseminen Lisäksi jatkuvasti saadaan lisää todisteita ns. supermassiivisista mustista aukoista (supermassive black holes). Eräs tällainen on oman galaksimme, Linnunradan (Milky Way), keskuksessa n. 26000 valovuoden päässä Jousimiehen (Sagittarius) tähdistön suunnassa oleva kohde. Siellä otetuista kuvista (kuva 13.28) nähdään, että useat tähdet liikkuvat radiolähteen Sgr A ympärillä jopa 1500 km/s nopeuksilla. Ratoja analysoimalla saadaan niiden periodi T selvitettyä ja Keplerin 3. lakia (13.17) käyttäen voidaan laskea tuntematon massa: T = 2πa3/2 m X = 4π2 a 3 GmX GT 2. On esitetty, että jopa 10 9 kertaa Auringon massaisia mustia aukkoja voisi esiintyä toisten galaksien keskipisteissä. 12.28 Linnunradan keskuksen ympärillä 13 vuoden aikana liikkuneiden tähtien radat. Niiden mukaan keskuksessa on 8.2 10 36 kgeli4.1 10 6 kertaa Auringon massainen näkymätön objekti. Sen tapahtumahorisontin Scwartzschildin säteeksi on arvioitu 1.1 10 10 m eli alle 0.1 AU. (1AU = 1.4960 10 11 m)
13. luvun yhteenveto Luku 13: Gravitaatio (L8) Newtonin gravitaatiolaki Satelliittien radat F g = Gm 1m 2 r 2 m 1 S F g (2 on 1) r S F g (1 on 2) (13.1) Gm E v = B r (speed in circular orbit) (13.10) v S a S S F g R E r a S S F g v S F g (1 on 2) 5 F g (2 on 1) m 2 Gravitaatiovoima, paino ja gravitaatiopotentiaalienergia T = 2pr v 3>2 = 2pr r 2pr = A Gm E 1Gm E (period in circular orbit) (13.12) Mustat aukot S F g a S v S w = F g = Gm Em 2 R E (weight at earth s surface) g = Gm E 2 R E (acceleration due to gravity at earth s surface) U =- Gm Em r (13.3) (13.4) (13.9) Earth, mass m E w (N) R E56.38310 6 m mass m w5gm E m/r 2 0 r (3 10 6 m) 0 r2r E(3 10 6 m) R S R S = 2GM If all of the body is inside its c 2 Schwarzschild radius R S = 2GM/c 2, (Schwarzschild radius) (13.30) the body is a black hole. B