761111P PERUSMEKANIIKKA

761111P PERUSMEKANIIKKA Anita Aikio Fysikaalisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2008 2014-2016 muokkauksia Pertti Rautiainen Luentokalvot perustuvat kirjan H. D. Young and R. A. Freedman: UNIVERSITY PHYSICS lukuihin 1-14

Sisältö 1 Yksiköt, fysikaaliset suureet ja vektorit 1 1.1 Mitä fysiikka on......................... 1 1.2 Mallit ja teoriat......................... 2 1.3 Suureet ja mittayksiköt..................... 3 1.4 Yksiköiden väliset muunnokset.................. 4 1.5 Epätarkkuus ja merkitsevät numerot............... 4 1.6 Suuruusluokat......................... 5 1.7 Vektorit ja niiden yhteenlasku.................. 5 1.8 Vektorin komponentit...................... 7 1.9 Yksikkövektorit......................... 8 1.10 Vektoreiden tulo........................ 9 2 Suoraviivainen liike 12 2.1 Siirtymä ja keskimääräinen nopeus................ 12 2.2 Hetkellinen nopeus....................... 13 2.3 Keskimääräinen ja hetkellinen kiihtyvyys............. 14 2.4 Tasaisesti kiihtyvä liike..................... 15 2.5 Vapaa putoamisliike....................... 17 2.6 Nopeus ja paikka integroimalla.................. 17 i

SISÄLTÖ ii 2.7 Paikan korkeamman asteen derivaatat?.............. 18 3 Kaksi- ja kolmiulotteinen liike 19 3.1 Paikka- ja nopeusvektorit.................... 19 3.2 Kiihtyvyysvektori........................ 20 3.3 Heittoliike........................... 21 3.4 Ympyräliike........................... 23 3.5 Suhteellinen nopeus....................... 26 4 Newtonin lait 28 4.1 Voima ja vuorovaikutus..................... 28 4.2 Newtonin 1. laki........................ 29 4.3 Newtonin 2. laki........................ 30 4.4 Inertiaalikoordinaatisto..................... 31 4.5 Massa ja paino......................... 32 4.6 Newtonin 3. laki........................ 32 4.7 Vapaakappalekuvat ja Newtonin lakien käyttö........... 33 5 Newtonin lakien sovellutuksia 34 5.1 Hiukkasten tasapainotila..................... 34 5.2 Hiukkasten dynamiikkaa..................... 34 5.3 Kitkavoimat.......................... 35 5.4 Pyörimisliikkeen dynamiikkaa.................. 38 5.5 Luonnon perusvoimat...................... 39

SISÄLTÖ iii 6 Työ ja kineettinen energia 41 6.1 Työ.............................. 41 6.2 Työ ja kineettinen energia.................... 43 6.3 Työ ja kineettinen energia muuttuvan voiman tapauksessa..... 44 6.4 Teho.............................. 48 7 Potentiaalienergia ja energian säilyminen 49 7.1 Gravitaatiopotentiaalienergia................... 49 7.2 Kimmoisa potentiaalienergia................... 53 7.3 Konservatiiviset ja ei-konservatiiviset voimat........... 56 7.4 Konservatiivinen voima ja potentiaalienergia........... 58 7.5 Energiadiagrammit....................... 59 8 Liikemäärä, impulssi ja törmäykset 61 8.1 Liikemäärä ja impulssi...................... 61 8.2 Liikemäärän säilyminen..................... 64 8.3 Kimmottomat törmäykset.................... 65 8.4 Kimmoisat törmäykset...................... 66 8.5 Massakeskipiste......................... 67 8.6 Raketti............................. 70 9 Jäykän kappaleen pyöriminen 71 9.1 Kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys................. 71 9.2 Pyöriminen vakiokulmakiihtyvyyden tapauksessa......... 74 9.3 Pyörimisliike etenevän liikkeen avulla............... 75 9.4 Pyörimisliikkeen energia ja hitausmomentti............ 76

SISÄLTÖ iv 9.5 Yhdensuuntaisten akselien teoreema (Steinerin sääntö)...... 78 9.6 Hitausmomentti jatkuvasti jakautuneelle massalle......... 79 10 Pyörimisliikkeen dynamiikka 80 10.1 Voiman momentti eli vääntömomentti.............. 80 10.2 Jäykän kappaleen pyöriminen vääntömomentin vaikutuksesta... 82 10.3 Jäykän kappaleen pyöriminen liikkuvan akselin ympäri....... 83 10.4 Pyörimisliikkeen työ ja teho................... 86 10.5 Liikemäärämomentti....................... 87 10.6 Liikemäärämomentin säilyminen................. 90 11 Tasapaino ja kimmoisuus 92 11.1 Jäykän kappaleen tasapainoehdot................ 92 11.2 Painopiste........................... 93 11.3 Jäykän kappaleen tasapaino-ongelmat.............. 95 11.4 Jännitys, suhteellinen venymä ja kimmokerroin.......... 95 12 Nesteiden ja kaasujen mekaniikka 97 12.1 Tiheys............................. 97 12.2 Paine.............................. 98 12.3 Noste ja Arkhimedeen periaate.................. 102 12.4 Pintajännitys.......................... 103 12.5 Nesteen virtaus ja jatkuvuusyhtälö................ 104 12.6 Bernoullin yhtälö........................ 105

SISÄLTÖ v 13 Gravitaatio 107 13.1 Newtonin painovoimalaki.................... 107 13.2 Paino.............................. 109 13.3 Gravitaatiopotentiaalienergia................... 111 13.4 Satelliittien liike......................... 112 13.5 Planeettojen liike Auringon ympäri................ 114 13.6 Planeettojen liike taivaalla.................... 116 13.7 Mustat aukot.......................... 117 14 Värähdysliike 119 14.1 Värähdysliikkeen aiheuttajat................... 119 14.2 Yksinkertainen harmoninen liike................. 121 14.3 Harmonisen liikkeen energia................... 124 14.4 Harmonisen liikkeen sovelluksia................. 125 14.5 Matemaattinen heiluri...................... 126 14.6 Fysikaalinen heiluri....................... 127 14.7 Vaimennetut värähtelyt..................... 129 14.8 Pakotetut värähtelyt ja resonanssi................ 130

Esipuhe Nämä luentokalvot on tehty kurssia 761111P PERUSMEKANIIKKA varten 1. Luentokalvot perustuvat pääosin kirjaan "H. D. Young and R. A. Freedman: University Physics, Addison Wesley Longman, Inc.", asioiden esitysjärjestys vastaa kirjan 13. laitosta. Myös aiemmat laitokset (10.-12.) käyvät oppikirjasta. Luentokalvot on hyvä ottaa luennolle mukaan joko printattuna tai läppärille/tabletille siirrettynä. Kalvojen tärkeä tehtävä on opettaa suomenkielinen terminologia englantilaisen rinnalla. Toiveena siis on, että opiskelijat lukevat myös englanninkielistä oppikirjaa, josta myös laskuharjoitustehtävät valitaan. Luennoilla näytetään myös muita kuvakalvoja sekä lasketaan melko runsaasti esimerkkilaskuja (oppikirjasta ja muualta). Oppikirja sisältää paljon hyviä esimerkkilaskuja, joista vain osa käydään luennolla läpi, kannattaa siis tutustua! Syksyn 2016 kurssilla käytetään luentomonistetta, jonka alkuperäisen version on tehnyt Anita Aikio. Monisteen tekstiä olen muokannut varsin vähän, lähinnä tehnyt pieniä muutoksia sinne tänne. Olen myös sisällyttänyt joitakin Markku Pirttijärven tekemiä muutoksia. Suurempia muutoksia olen tehnyt lukuun 13 Gravitaatio. Antoisaa fysiikan opiskelua! FT Anita Aikio etunimi.sukunimi@oulu. Oulu, syksy 2008 FT Pertti Rautiainen etunimi.sukunimi@oulu. Oulu, syksy 2014, 2015, 2016 1 Luentokalvojen levittäminen sähköisessä tai muussa muodossa on ilman lupaa kielletty. vi

Luku 1 Yksiköt, fysikaaliset suureet ja vektorit Johdanto Miksi fysiikkaa pitäisi opiskella? useimmat luonnontieteet perustuvat fysiikkaan fysiikka on insinööritieteiden ja teknologian perusta 1.1 Mitä fysiikka on Fysiikka on kokeellinen luonnontiede. Fysiikka tutkii luontoa sekä sen ilmiöitä, ja pyrkii löytämään näistä säännönmukaisuuksia ja mahdollisimman syvällisiä lainalaisuuksia. Nämä kuvataan täsmällisten käsitteiden ja niiden välisten riippuvuuksien avulla. Fysiikan ja erityisesti mekaniikan peruskäsitteistö on muodostunut ihmisen jokapäiväisen ympäristön ja sen ilmiöiden pohjalta. Uudet ja monimutkaisemmat käsitteet voidaan määritellä peruskäsitteistä lähtien. Kaikista näistä seikoista johtuen fysiikka on eksakti luonnontiede, joka on perustana muille luonnontieteille ja useimmille soveltaville tieteille. Mekaniikka on ns. klassista fysiikkaa ja se tarkastelee kappaleiden ja nesteiden liikettä ja dynamiikkaa, sekä mm. mekaanisia aaltoja. On syytä huomata, että vaikka 1900-luvulla kehitettiin yleisemmät teoriat, yleinen ja erikoinen suhteellisuusteoria, sekä kvanttimekaniikka, klassinen fysiikka toimii omalla sovellusalueel- 1

LUKU 1. YKSIKÖT, FYSIKAALISET SUUREET JA VEKTORIT 2 laan edelleen erinomaisesti ja se on em. modernimpia teorioita yksinkertaisempi matemaattisesti ja osin myös käsitteellisesti. 1.2 Mallit ja teoriat Fysiikassa käytetään käsitteitä suure (physical quantity), laki (law), periaate (principle), malli (model) ja teoria (theory). Suure Fysikaalinen suure voidaan muodostaa havaintomaailman perusteella, esim. pituus, massa, aika ja nopeus, tai suureen mittaamiseen perustuen, esim. sähkövaraus, magneettikenttä, energia. Jälkimmäiselläkin tavalla muodostettujen suureiden on oltava tietysti yhteensopivia havaintojen kanssa, esim. lämpötila, paine ja voima. Suure on ominaisuus, joka voidaan mitata tai laskea. Fysikaaliset suureet määritelläänkin joko tiettyyn mittaukseen perustuen (perussuureet) tai toisten suureiden avulla (johdannaissuureet). Laki ja periaate Fysiikan laki määrittelee fysikaalisten suureiden välisiä riippuvuuksia tietyssä tilanteessa. Tällaiset lait kirjoitetaan tavallisesti matemaattisten yhtälöiden muotoon. Periaate on lakia yleisempi eikä sitä voi pukea yhden yhtälön muotoon, esim. energiaperiaate. Malli Malli on kuvaus tarkasteltavasta fysikaalisesta systeemistä. Esim. massapiste painovoimakentässä on putoavan kappaleen malli. Mallin tulisi sisältää kaikki oleelliset systeemin ominaisuudet, mutta samalla olla kuitenkin riittävän yksinkertainen, jotta halutut asiat voidaan ratkaista mallin avulla. Mallia voidaan täydentää tai muuttaa tarvittaessa. Hyvän mallin avulla voidaan myös simuloida tarkasteltavaa systeemiä. Teoria Teoria koostuu perusolettamuksista eli postulaateista, periaatteista, mallista sekä näistä seuraavista laeista. Teorian (mallin) tulisi kyetä ennustamaan suoritettavien kokeiden tuloksia, ainakin tietyllä tarkkuudella. Esim. Newtonin painovoimateoria ennustaa taivaankappaleiden liikkeet tietyllä tarkkuudella.

LUKU 1. YKSIKÖT, FYSIKAALISET SUUREET JA VEKTORIT 3 On syytä huomata, että fysiikassa sanalla teoria tarkoitetaan huomattavasti syvällisempää tietämyksen tasoa kuin arkikielessä, jonka lause se on vain teoriaa on fysiikan viitekehyksessä lähinnä typerä. 1.3 Suureet ja mittayksiköt Fysikaalisia suureita mitataan näiden yksiköillä (eli mittayksiköillä). Tieteessä ja tekniikassa käytetty yksikköjärjestelmä on nimeltään International System, SI (tunnetaan myös nimellä metric system). SI-järjestelmän perussuureet ja niiden yksiköt on esitetty oheisessa taulukossa. perussuure tunnus perusyksikkö tunnus pituus s, l, d, r,... metri m massa m, M kilogramma kg aika t, T τ sekunti s sähkövirta I, i ampeeri A lämpötila T kelvin K valovoima I kandela cd ainemäärä n mooli mol Suureen arvon esityksessä kannattaa usein käyttää etuliitettä, joka voidaan merkitä myös omalla symbolillaan. Toisaalta kaikkein isoimmat ja pienimmät etuliitteet esiintyvät sen verran harvoin, etteivät niiden merkitykset ole välttämättä läheskään kaikille lukijoille tuttuja tällöin kymmenen potenssit ovat suositeltavampi esitystapa. SI-järjestelmän etuliitteet, niiden symbolit ja niitä vastaavat kertoimet on annettu alla olevassa taulukossa.

LUKU 1. YKSIKÖT, FYSIKAALISET SUUREET JA VEKTORIT 4 kerroin etuliite kerroin etuliite kerroin etuliite 10 24 yotta Y 10 3 kilo k 10 6 mikro µ 10 21 zetta Z 10 2 hehto h 10 9 nano n 10 18 exa E 10 1 deka da 10 12 piko p 10 15 peta P 10 0 10 15 femto f 10 12 tera T 10 1 desi d 10 18 atto a 10 9 giga G 10 2 sentti c 10 21 zepto z 10 6 mega M 10 3 milli m 10 24 yocto y 1.4 Yksiköiden väliset muunnokset Suureen dimensio kertoo suureen riippuvuuden käytetyn yksikköjärjestelmän perussuureista (tai perusyksiköistä). Eri suureilla voi olla sama yksikkö, esim. energialla ja voiman momentilla. Kerto- ja jakolaskuissa yksiköitä käsitellään kuten algebrallisia symboleja. Dimensiotarkastelulla voidaan joskus selvittää suureiden välisiä riippuvuuksia. 1.5 Epätarkkuus ja merkitsevät numerot Kaikissa mittauksissa on epätarkkuutta (uncertainty). Mittauksen epätarkkuus eli virhe (error) saadaan joko suoraan mittalaitteesta, tilastollisesti useasta havainnosta tai muuten arvioimalla. Mittaustuloksen tarkkuus (accuracy) ilmoitetaan tavallisesti virherajojen avulla. Usein esitetään sekä absoluuttiset että suhteelliset virherajat (fractional or percent error). Virherajojen sijasta mitatun arvon epätarkkuus voidaan ilmoittaa merkitsevien numeroiden (signicant gures) avulla. Jos esim. olemme mitanneet kirjan paksuudeksi 4.7 cm (luennoilla käytetään desimaalierottimena pistettä), on suureessa kaksi merkitsevää numeroa. Tällöin ensimmäinen numero on tarkka, mutta toinen epätarkka ja mittauksen epätarkkuus on 1 mm suuruusluokkaa. On myös syytä huomata, että pelkkä mittalaitteen lukematarkkuus ei välttämättä kuvaa virheen suuruutta, vaan mittaustapahtumaan voi sisältyä systemaattista virhettä. Esim. kellon lukemat voi lukea sekunnin tarkkuudella, mutta sen näyttämä aika poikkeaa vyöhykeajasta useilla minuuteilla. Myös virheiden jakauma voi olla mielenkiinnon kohteena.

LUKU 1. YKSIKÖT, FYSIKAALISET SUUREET JA VEKTORIT 5 Kun lukuja kerrotaan tai jaetaan keskenään, lopputuloksen merkitsevien numeroiden lukumäärä ei voi olla suurempi kuin epätarkimman luvun. Yhteen- ja vähennyslaskussa desimaalipisteen paikka on ratkaiseva. Lopputulokseen jätetään yhtä monta desimaalipisteen jälkeistä numeroa kuin epätarkimmassa luvussa oli. 1.6 Suuruusluokat Joskus suuretta ei voida laskea tarkasti, koska tarvittavia mittaustuloksia ei ole tai koska kaava on liian monimutkainen, ja joudutaan tekemään yksinkertaistavia approksimaatioita. Tällöin voidaan usein kuitenkin arvioida (eli approksimoida) suureen suuruusluokka (order-of-magnitude). Suureiden suuruusluokkien arvioimiseksi voidaan laskemisessa käyttää esim. yhden numeron tarkkuuksia tai jopa vain kymmenen potensseja. 1.7 Vektorit ja niiden yhteenlasku Eräät fysikaaliset suureet voidaan ilmoittaa lukuarvon ja yksikön avulla. Tällaisia ovat esimerkiksi kahden tapahtuman aikaväli, kappaleen massa ja lämpötila tietyssä paikassa. Nämä ovat skalaarisuureita. Skalaarit noudattavat tavallisia laskusääntöjä. Toisten suureiden määrittelemiseksi tarvitaan edellisten lisäksi myös suunta, esim. nopeus, voima ja sähkökenttä tietyssä paikassa. Nämä ovat vektorisuureita. Vektorit noudattavat ns. vektorialgebraa. Vektoreita merkitään yleensä lihavilla kirjaimilla ja/tai merkitsemällä symbolin päälle viiva tai nuoli. Piirroksissa vektoreita merkitään nuolilla. Vektorisuureen itseisarvolla tarkoitetaan sen suuruutta, kun suuntaa ei määritellä. Se on siis skalaarisuure. Vektorin A itseisarvo A merkitään tavallisesti A. Tätä kutsutaan myös vektorin A normiksi.

LUKU 1. 6 YKSIKÖT, FYSIKAALISET SUUREET JA VEKTORIT Vektorien yhteenlasku voidaan tehdä piirtämällä vektorit peräkkäin. Fysikaa- C listen vektorisuureiden yksiköiden on oltava samat, jotta ne voidaan laskea yhteen. Vektorien summaa sanotaan B re- sultantiksi ja se on myös vektori, jonka yksikkö on sama kuin yhteenlaskettavien A vektoreiden yksikkö. Esim. ~ =A ~ +B ~. C Vektoreiden yhteenlasku on ja (1.1) vaihdannainen, ~ +B ~ =B ~ +A ~ A (1.2) ~ + B) ~ +C ~ =A ~ + (B ~ + C). ~ (A (1.3) liitännäinen Vektorin ~ A A vastavektoriksi sanotaan vek- A toria, jonka suuruus on sama, mutta suunta vastakkainen, kuin vektorin ~. A Vektorin ~ A ~. vastavektoria merkitään -A A B B A Vektorien ~ ja B ~ erotuksella (vähennysa A B laskulla) tarkoitetaan summaa ~ B ~ =A ~ + ( B) ~. A (1.4) B

LUKU 1. YKSIKÖT, FYSIKAALISET SUUREET JA VEKTORIT 7 1.8 Vektorin komponentit Vektorien yhteenlasku graasesti on työlästä ja epätarkkaa. Tarkastellaan seuraavaksi vektorien komponenttiesitystä, jota käyttäen vektorien yhteenlasku yleensä suoritetaan. Otetaan käyttöön suorakulmainen (x,y)-koordinatisto. Mikä tahansa xy-tasossa sijaitseva vektori A voidaan nyt esittää x- ja y-akselin suuntaisten komponenttien A x ja A y avulla, A = A x + A y. (1.5) y Vektorin A komponentit voidaan määritellä vektorin pituuden A sekä vektorin ja x-akselin välisen kulman θ avulla seuraavasti A A y = A sinθ A x = A cos θ (1.6) A y = A sin θ (1.7) θ A x = A cosθ x Huomaa, että kulma θ mitatataan x-akselista vastapäivään positiivisena. Huom. jos esim. A x osoittaa positiivisen x-akselin suuntaan, niin A x on yksinkertaisesti sen itseisarvo, jos A taas osoittaa negatiivisen x-akselin suuntaan, A x on sen itseisarvon vastaluku. Vektori voidaan täydellisesti määritellä kahdella eri tavalla, antamalla sen 1. suuruus ja suunta (A ja θ) 2. komponentit (A x ja A y ) Jos komponentit tunnetaan ja halutaan määritellä vektorin suuruus ja suunta, käytetään Pythagoraan lausetta ja geometriaa seuraavasti A = A 2 x + A2 y (1.8)

LUKU 1. YKSIKÖT, FYSIKAALISET SUUREET JA VEKTORIT 8 ja θ = arctan A y A x. (1.9) Vektorien yhteenlaskussa summa- eli resultanttivektorin komponentit saadaan laskemalla yhteen summattavien vektorien komponentit. Siis yhteenlaskulle saadaan ja r = A + B (1.10) r x = A x + B x (1.11) r y = A y + B y. (1.12) Kaavat voidaan yleistää kolmiulotteiseen avaruuteen. Tällöin esim. vektorin A normi (suuruus) on A = A 2 x + A2 y + A2 z. (1.13) 1.9 Yksikkövektorit Yksikkövektori (unit vector) on vektori, jonka pituus on 1 ja jolla ei ole yksikköä. Sen tehtävänä on osoittaa suunta avaruudessa. Yksikkövektoreita merkitään yleensä "hatulla"(ˆ) vektorimerkin sijaan. Vektori voidaan esittää komponenttimuodossa yksikkövektoreiden avulla A = A x î + A y ĵ + A zˆk (1.14) Vektorin A suuntainen yksikkövektori saadaan jakamalla vektori pituudellaan, Â = A A. (1.15)

LUKU 1. YKSIKÖT, FYSIKAALISET SUUREET JA VEKTORIT 9 1.10 Vektoreiden tulo Vektoreiden A ja B skalaaritulo eli pistetulo (dot product) on määritelty seuraavasti A B = A B cos θ = AB cos θ, (1.16) missä θ on vektoreiden A ja B välinen kulma. Pistetulo noudattaa vaihdanta- ja osittelulakia: A B = B A A ( B + C) = A B + A C. Pistetulo A B voidaan tulkita A:n ja vektorin B A:n suuntaisen komponentin tuloksi A(B cos θ) tai B:n ja vektorin A B:n suuntaisen komponentin tuloksi B(A cos θ). Skalaaritulon tulos on skalaari (ei vektori) ja se voi olla positiivinen ( 90 < θ < 90 ) negatiivinen (90 < θ < 270 ) nolla (θ = 90 tai θ = 90 ). B θ Bcosθ B θ Acosθ A A Siis kahdelle toisiaan vastaan kohtisuoralle vektorille ( A B) pistetulo on nolla, A B = 0. Yksikkövektoreille on voimassa î î = ĵ ĵ = ˆk ˆk = 1 (1.17) î ĵ = î ˆk = ĵ ˆk = 0 (1.18) Nyt kahden vektorin pistetulo voidaan esittää komponenttien avulla muodossa (osoita!)

LUKU 1. YKSIKÖT, FYSIKAALISET SUUREET JA VEKTORIT 10 A B = A x B x + A y B y + A z B z (1.19) Vektoreiden A ja B vektoritulo eli ristitulo (cross product) on määritelty seuraavasti A B = AB sin θˆn, (1.20) missä θ on vektoreiden A ja B välinen kulma ja ˆn on molempia vektoreita vastaan kohtisuora yksikkövektori, jonka suunta saadaan esim. oikean käden säännöllä (kun sormet osoittavat kiertymäkulman ristitulon 1. vektorista 2. vektorin suuntaan, näyttää pystyssä oleva peukalo ristitulon suunnan). Siis ristitulon tulos on aina vektori. Vektoritulon itseisarvo on luonnollisesti A B = AB sin θ. (1.21) Ristitulo on liitännäinen, mutta ei ole vaihdannainen, sillä A B = B A, (1.22) A x B B θ A θ B A B x A

LUKU 1. YKSIKÖT, FYSIKAALISET SUUREET JA VEKTORIT 11 Kahden vektorin välinen ristitulo voidaan tulkita A:n ja vektorin B A:ta vastaan kohtisuoran komponentin tuloksi A(B sin θ) tai B:n ja vektorin A B:ta vastaan kohtisuoran komponentin tuloksi B(A sin θ). Kahden samansuuntaisen vektorin ristitulo on nolla ja yksikkövektoreille î î = ĵ ĵ = ˆk ˆk = 0 (1.23) sekä î ĵ = ĵ î = ˆk (1.24) ĵ ˆk = ˆk ĵ = î (1.25) ˆk î = î ˆk = ĵ. (1.26) Ristitulo komponenttimuodossa saadaan helpoiten käyttämällä determinanttiesitystä A B = î ĵ ˆk A x A y A z B x B y B z = î(a yb z A z B y ) + ĵ(a zb x A x B z ) + ˆk(A x B y A y B x )

Luku 2 Suoraviivainen liike Johdanto Mekaniikka voidaan jakaa kolmeen osaan: 1. Kinematiikka tarkastelee hiukkasen paikan muutosta ajan funktiona. 2. Dynamiikka tarkastelee liikeen ja liikkeen aiheuttajan (esim. voima) välistä suhdetta. 3. Statiikka tutkii tasapainotiloja 2.1 Siirtymä ja keskimääräinen nopeus Tarkastellaan hiukkasen liikettä x-akselilla, joka voi kuvata esim. auton liikettä suoralla tiellä. Merkitään hiukkasen paikkaa liikkeen alussa ja lopussa x 1 ja x 2, sekä näiden erotusta x = x 2 x 1. (2.1) Kreikan kielen kirjain ("delta") tarkoittaa suureen muutosta ja se lasketaan vähentämällä alkuarvo loppuarvosta. Suure x on siirtymä (displacement), erotuksena käsitteestä matka (distance), jolla tarkoitetaan tavallisesti liikkeen radan pituutta. Nämä kaksi käsitettä poikkeavat toisistaan mm. edestakaisen tai käyräviivaisen liikkeen tapauksessa. 12

LUKU 2. SUORAVIIVAINEN LIIKE 13 Kun tunnetaan siirtymä x ja siihen käytetty aika t, voidaan määritellä keskimääräinen nopeus suoraviivaisessa liikkeessä v av x v av x = x 2 x 1 t 2 t 1 = x t, (2.2) missä alaindeksissä av tarkoittaa keskimääräistä (average) ja x nopeuden komponenttia. Jos muita komponentteja ei ole, voidaan indeksi x jättää pois. Nopeus on vektorisuure (kts. Luku 3), mutta yo. kaavassa vektorimerkki on jätetty pois, koska tarkastelemme vektorin tiettyä komponenttia. Sen sijaan vauhti on aina skalaari (sillä ei siis ole suuntaa). Molempien yksikkö on m/s. x x 2 P 2 x(t) Kuvassa kappaleen paikka esitetään ajan funktiona, x = x(t). Kun kappale on pisteessä P 1 hetkellä t 1 ja pisteessä P 2 hetkellä t 2, saadaan kappaleen keskimääräinen nopeus pisteiden P 1 ja P 2 kautta kulkevan suoran kulmakertoimena. x 1 x=x 2 -x 1 P 1 t=t 2 -t 1 t t 1 t 2 2.2 Hetkellinen nopeus Hiukkasen keskinopeus tai -vauhti ei kerro paljoa siitä, miten hiukkanen on kullakin ajanhetkellä liikkunut. Kun lyhennetään tarkasteluaikavälin pituutta t, saadaan tästä parempi kuva. Hiukkasen hetkellinen nopeus v x-akselin suuntaan määritelläänkin raja-arvona x v x = lim t 0 t = dx dt. (2.3)

LUKU 2. SUORAVIIVAINEN LIIKE 14 x x(t) P 2 Graasessa esityksessä, jossa suoraviivaisessa liikkeessä olevan kappaleen paikka esitetään ajan funktiona, x = x(t), hetkellinen nopeus vastaa käyrän tangenttia. Kuvassa hetkellinen nopeus pisteessä P 1 hetkellä t 1 saadaan laskemalla tangentin kulmakerroin. x 1 P 1 t 1 t 2.3 Keskimääräinen ja hetkellinen kiihtyvyys Edellä nopeus tarkoitti paikan muutosta ajan suhteen. Kiihtyvyys (acceleration) tarkoittaa vastaavasti nopeuden muutosta ajan suhteen. Keskimääräinen kiihtyvyys a av x suoraviivaisessa liikkeessä x-akselin suuntaan on siten a av x = v 2x v 1x t 2 t 1 = v x t. (2.4) Kiihtyvyyden yksikkö on m/s 2. Myös kiihtyvyys on yleisesti vektorisuure. Ylläoleva kaava kuvaa siten kiihtyvyyden tietyn komponentin suuruutta (suoraviivaisessa liikkeessähän sekä nopeudella että kiihtyvyydellä on vain tämä yksi komponentti). Hiukkasen hetkellinen kiihtyvyys a x-akselin suuntaan määritellään raja-arvona v x a x = lim t 0 t = dv x dt. (2.5) Graasesti kiihtyvyys saadaan funktion v = v(t) tangenttina. Jos nopeus on positiivinen suure, negatiivinen kiihtyvyys tarkoittaa hidastuvaa liikettä.

LUKU 2. SUORAVIIVAINEN LIIKE 15 Derivaatan määrittämistä käyrän tangentin avulla voidaan sanoa graaseksi derivoinniksi. Siten saadaan siis nopeus matkasta ja kiihtyvyys nopeudesta. 2.4 Tasaisesti kiihtyvä liike Yksinkertaisin kiihtyvä liike on sellainen, jossa kiihtyvyys a on vakio ajan suhteen. Tällöin yhtälössä 2.4 esiintyvä keskimääräinen kiihtyvyys on sama kuin hetkellinen kiihtyvyys. Nyt valitsemme alkuajankohdaksi t 1 = 0 ja myöhempää ajanhetkeä t 2 merkitsemme t:llä. Alkunopeuden x-komponenttia merkitsemme symbolilla v 0x ja loppunopeuden x-komponenttia ajanhetkellä t symbolilla v x. Tällöin yhtälö 2.4 kirjoitetaan muodossa a x = v x v 0x t 0, (2.6) josta saamme ratkaistua nopeuden v x = v 0x + a x t. (2.7) Saadaksemme kappaleen paikan ajan funktiona, käytämme kaavaa 2.2 siten, että merkitsemme hetkellä t = 0 kappaleen alkupistettä symbolilla x 0 ja jonain myöhempänä hetkenä t symbolilla x, v av x = x x 0 t. (2.8) Kun kiihtyvyys on vakio, v t-käyrä on suora ja tällöin keskimääräinen nopeus välillä 0 t on v av x = v 0x + v x, (2.9) 2 missä v 0x on nopeus ajanhetkellä t = 0 ja v x ajanhetkellä t. Sijoittamalla nyt yhtälö 2.7 yhtälöön 2.9, saadaan v av x = v 0x + 1 2 a xt. (2.10)

LUKU 2. SUORAVIIVAINEN LIIKE 16 Asettamalla yhtälöt 2.10 ja 2.8 yhtäsuuriksi ja ratkaisemalla paikka x saadaan x = x 0 + v 0x t + 1 2 a xt 2. (2.11) v Tulos voidaan tulkita myös graasesti. Nicole Oresme (1323 1382) huomasi, että v(t)-käyrän, alkuhetken (t = 0) ja tarkasteluhetken t rajaamien suorien rajoittama pintaalan avulla saatiin lasketuksi kuljettu matka. v(t) = v o + at A 2 = 1/2 at 2 v o A 1 = v o t 0 t at v o t Yhtälöt 2.7 ja 2.11 ovat suoraviivaisen liikkeen perusyhtälöt, kun kiihtyvyys on vakio. Niiden avulla voidaan johtaa muut yhtälöt. Jos esimerkiksi yhtälöstä 2.7 ratkaistaan t ja sijoitetaan se yhtälöön 2.11, saadaan v 2 x = v2 0x + 2a x(x x 0 ). (2.12) Kinematiikan tehtävien ratkaisuohjeet: 1. Piirrä kuva 2. Valitse koordinaatisto ja sen origo sekä piirrä ne kuvaan. 3. Luettele annetut suureet ja niiden arvot merkkeineen ja yksiköineen sekä tuntemattomat suureet 4. Etsi tai johda yhtälö, jossa ratkaistava suure on ainoa tuntematon. 5. Arvioi tulosta (suuruusluokka, yksiköt, mahdoll. graanen ratkaisu)

LUKU 2. SUORAVIIVAINEN LIIKE 17 2.5 Vapaa putoamisliike Kun kappaleeseen vaikuttaa vain gravitaatiovoima, sen sanotaan olevan vapaassa putoamisliikkeessä. Muut voimat kuten väliaineen vastus on tällöin eliminoitu. Kokeellisesti voidaan todeta, että kaikki kappaleet massasta riippumatta saavat saman vakiokiihtyvyyden g (samassa gravitaatiokentässä). Maan pinnalla gravitaatiokiihtyvyys g on n. 9.81 m/s 2, Kuun pinnalla n. 1,6 m/s 2 ja Auringon pinnalla n. 270 m/s 2. Putoamisliikkeen tarkastelussa käytetään koordinaatistoa, jonka y-akseli osoittaa ylöspäin, jolloin g = a y ĵ, missä a y = 9.81 m/s 2. Koska vapaa putoaminen on tasaisesti kiihtyvää liikettä, voidaan yhtälöihin 2.7-2.12 sijoittaa putoamisliikkeen tarkastelua varten a y = -g. Tällöin esim. yhtälö 2.7 tulee muotoon y ja yhtälö 2.11 muotoon v y = v 0y gt (2.13) g y = y 0 + v 0y t 1 2 gt2. (2.14) 2.6 Nopeus ja paikka integroimalla Edellä on tarkasteltu kappaleen nopeutta ja paikkaa tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä. Kun kiihtyvyys vaihtelee ajan mukana, voidaan nopeus laskea integroimalla tunnetusta, ajasta riippuvasta kiihtyvyydestä a(t) ja alkunopeudesta v 0 seuraavasti v = v 0 + t 0 adt. (2.15) Saadusta nopeudesta v(t) voidaan edelleen laskea kappaleen paikka, kun alkupiste x 0 tunnetaan x = x 0 + t 0 vdt. (2.16) Harjoitustehtävä: Johda kaavat 2.15 ja 2.16 nopeuden ja kiihtyvyyden määritelmästä. Mihin tulokseen päädyt, kun asetat kiihtyvyyden a vakioksi?

LUKU 2. SUORAVIIVAINEN LIIKE 18 2.7 Paikan korkeamman asteen derivaatat? Edellä olevasta tarkastelusta huomaamme, että nopeus on paikan derivaatta ajan suhteen, kiihtyvyys vastaavasti nopeuden derivaatta ajan suhteen. Toisin sanoen kiihtyvyys on paikan toinen derivaatta ajan suhteen. Entä korkeamman kertaluvun derivaatat? Jos kiihtyvyys on vakio, sen derivaatta on tietenkin nolla. Mutta jos kiihtyvyys muuttuu ajan funktiona, niin sille voidaan määrittää nollasta poikkeava derivaatta. Tähän ei sisälly kuitenkaan enää varsinaista fysiikkaa, kuten kiihtyvyyteen liittyvä voiman käsite. Esimerkiksi koneenrakennukseen liittyvissä ongelmissa voi kuitenkin olla mielekästä tarkastella paikkavektorin kolmatta ja neljättä derivaattaa, joille on annettu harvoin käytetyt nimet nykäys (engl. jerk) ja napse (engl. jounce).

Luku 3 Kaksi- ja kolmiulotteinen liike Johdanto Edellä on tarkasteltu suoraviivaista eli yksiulotteista liikettä. Luonnossa tapahtuvia liikkeitä voidaan usein kuvata kaksiulotteisina, tasoliikkeenä. Joskus tarvitaan myös kolmatta ulottuvuutta. 3.1 Paikka- ja nopeusvektorit Tarkastellaan hiukkasta, joka on pisteessä P tiettynä hetkenä. Hiukkasen paikkavektori r tietyllä hetkellä on vektori, joka lähtee koordinaatiston origosta ja päättyy pisteeseen P r = xî + yĵ + zˆk. (3.1) Liikkuessaan pisteestä P 1 pisteeseen P 2 hiukkasen keskimääräinen nopeus vektoriesityksenä on (vrt. yhtälö??) v av = r 2 r 1 t 2 t 1 = r t. (3.2) Siirtymävektorin r komponentit ovat ( x, y, z). Hetkellinen nopeus on r v = lim t 0 t = d r dt. (3.3) 19

LUKU 3. KAKSI- JA KOLMIULOTTEINEN LIIKE 20 Nopeusvektorin v suuruus tietyllä hetkellä on hiukkasen nopeus ko. hetkellä ja suunta on hiukkasen (liike)suunta ko. hetkellä. Kussakin radan pisteessä nopeusvektori on ratakäyrän tangentin suuntainen. y Kuvassa on kaksiulotteinen ratakäyrä xy-koordinaatistossa. Kappaleen nopeus on ratakäyrän tangentin suuntainen. Kuvassa on näytetty nopeusvektorin x ja y komponentit. Nopeusvektorin ja x akselin välinen kulma saadaan kaavasta v y P1 α v v x tan α = v y v x. x Nopeusvektorin komponentit ovat yhtälön 3.3 mukaan v x = dx dt, v y = dy dt, v z = dz dt. (3.4) Nopeusvektori voidaan siis kirjoittaa muodossa v = d r dt = dx dt î + dy dt ĵ + dz ˆk. (3.5) dt Toisin sanoen nopeusvektori on paikkavektorin ensimmäinen aikaderivaatta. 3.2 Kiihtyvyysvektori Kuten suoraviivaisessakin liikkeessä, kiihtyvyys kuvaa nopeuden muutosnopeutta. Kaksi- tai kolmiulotteisessa liikkeessä myös nopeusvektorin suunta voi muuttua. Hiukkasen keskimääräinen kiihtyvyys a av pisteestä P 1 pisteeseen P 2 siirryttäessä on a av = v 2 v 1 t 2 t 1 = v t. (3.6)

LUKU 3. KAKSI- JA KOLMIULOTTEINEN LIIKE 21 Hiukkasen hetkellinen kiihtyvyys a pisteessä P 1 on v a = lim t 0 t = d v dt. (3.7) Hiukkasen hetkellinen kiihtyvyysvektori a osoittaa aina käyrän radan sisäpuolelle. Vaikka hiukkanen liikkuisi tasaisella vauhdilla, käyrää rataa kulkiessaan sillä on määritelmän 3.7 mukaan aina kiihtyvyyttä, sillä silloin hiukkasen nopeusvektorin suunta muuttuu. Kiihtyvyysvektorin komponentit ovat yhtälön 3.7 mukaan a x = dv x dt, a y = dv y dt, a z = dv z dt. (3.8) Käyttäen hyväksi kaavaa 3.4 voidaan kiihtyvyyden komponentit lausua paikkakoordinaattien avulla seuraavasti a x = d2 x dt 2, a y = d2 y dt 2, a z = d2 z dt 2. (3.9) eli kiihtyvyysvektori on paikkavektorin toinen aikaderivaatta. 3.3 Heittoliike Heittoliike on tasoliikettä, jossa liikkeen kahta komponenttia (vaaka- ja pystysuoraa) voidaan tarkastella erikseen. Heittoliike tapahtuu tavallisesti Maan vetovoimakentässä, joten liike koostuu vapaasta putoamisesta vakiokiihtyvyydellä g ja tasaisesta vaakasuuntaisesta liikkeestä vakionopeudella. Valitaan tarkastelun koordinaatiston y-akselin suunta ylöspäin ja x-akseli liikkeen vaakasuuntaan. Nyt kiihtyvyyden komponentit ovat a x = 0, a y = g. (3.10) Alkunopeus v 0 voidaan jakaa kahteen komponenttiin v 0x = v 0 cos α 0, v 0y = v 0 sin α 0, (3.11)

LUKU 3. KAKSI- JA KOLMIULOTTEINEN LIIKE 22 missä α 0 on lähtönopeusvektorin kulma x-akselin kanssa. y 14 12 10 8 v y v α v 0x v v y v 0x α v 6 4 v 0y 2 v 0 α 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 v0x x v y v 0x α = α 0 v Huomaa, että vaakasuora nopeus v x = v 0x pysyy vakiona, kun taas pystysuora nopeus v y ja täten myös kulma α muuttuvat radalla. Kun ilman vastusta ei ole, rata on symmetrinen lakipisteen suhteen ja jos liike lähtee maasta, on maahantulonopeuden suuruus sama kuin lähtönopeuden ja kulma yhtäsuuri, mutta vastakkaissuuntainen. Kaavojen 2.7 ja 2.11 mukaan saadaan kummallekin paikkakoordinaatille x ja y (valitaan x 0 = 0) sekä nopeuskomponentille v x ja v y v x = v 0x (3.15) v y = v 0y gt (3.16) x = v 0x t (3.17) y = y 0 + v 0y t 1 2 gt2 (3.18) Heittoliikkeessä olevan kappaleen kulkemaa reittiä kutsutaan lentoradaksi (trajectory), joka on muodoltaan paraabeli (y = bx cx 2 ). Vaakasuoraa etäisyyttä alkupisteestä loppupisteeseen kutsutaan kantamaksi (range, R) ja vastaavaa aikaa lentoajaksi. Mieti, millä ehdolla saat laskettua ajan, joka kuluu lakipisteen saavuttamiseen!

LUKU 3. KAKSI- JA KOLMIULOTTEINEN LIIKE 23 Jos ilmanvastus otetaan huomioon, tilanne on monimutkaisempi. Ilman vastustava voima (air drag) riippuu nopeudesta siten, että nopeuden kasvaessa voima kasvaa. Tällöin kappaleen kiihtyvyys ei ole enää vakio eikä sen lentorata paraabeli, vaan kappaleen maksimikorkeus ja maksimietäisyys pienenevät. Aerodynaamisesti muotoilluilla kappaleilla (esim. lennokki keihäs, mäkihyppääjä) tilanne voikin sitten olla päinvastainen. 3.4 Ympyräliike TASAINEN YMPYRÄLIIKE Kun hiukkanen liikkuu pitkin ympyrän kehää vakiovauhdilla, liikettä kutsutaan tasaiseksi ympyräliikkeeksi. Hiukkasen nopeus on joka hetki ympyrän tangentin suuntainen. Nopeuden itseisarvo, vauhti, on vakio, mutta suunta muuttuu koko ajan, jolloin siis nopeus (vektorisuure!) muuttuu. Hiukkanen on kiihtyvässä liikkeessä. Tarkastellaan aikaväliä t, jolla r = r 2 r 1 ja v = v 2 v 1. Koska v 2 = v 1, nähdään että v ja siten myös kiihtyvyys a ovat ympyrän keskipistettä kohti. Koska lisäksi r 1 = r 2 = R, voidaan yhdenmuotoisista kolmiosta OP 1 P 2 ja ABC kirjoittaa v = r R v = v 1 r. (3.19) R v 1 v 2 P 2 r 2 O Dq Dr v 1 C Dv v 1 B r 1 P 1 v 2 A Dq

LUKU 3. KAKSI- JA KOLMIULOTTEINEN LIIKE 24 Keskimääräinen kiihtyvyys aikavälillä t on tällöin a av = v t = v 1 r R t. (3.20) Hetkellisen kiihtyvyyden suuruus pisteessä P 1 saadaan kun piste P 2 liikkuu lähemmäksi pistettä P 1 aikavälin t pienetessä v 1 r a = lim t 0 R t = v 1 R lim r t 0 t = v 1 R v 1. (3.21) Yllä saatu tulos pisteelle P 1 voidaan yleistää mille tahansa ympyrän kehällä olevalle pisteelle, jolloin ns. keskeiskiihtyvyydeksi saadaan a rad = v2 R, (3.22) missä alaindeksi "rad"tulee sanasta "radiaalinen"ja tarkoittaa sitä, että kiihtyvyysvektorin suunta on kohti ympyrän keskipistettä. v a rad v v a rad r a rad Jos ympyrän säteen (radius) suuntainen yksikkövektori on ˆr, radiaalikiihtyvyys vektoriesityksenä on a rad = v2 ˆr. (3.23) R v a rad a rad v a rad v Koska vauhti on nyt vakio, kiihtyvyys on aina kohtisuorassa hetkellistä nopeutta vastaan. Tätä kiihtyvyyttä kutsutaan joskus myös nimellä keskihakukiihtyvyys (centripetal acceleration).

LUKU 3. KAKSI- JA KOLMIULOTTEINEN LIIKE 25 Tasaisessa ympyräliikkeessä oleva hiukkanen tekee yhden kierroksen ympyrän kehällä ajassa T, joka on ns. jakson pituus (period). Tässä ajassa hiukkanen kulkee matkan 2πR, joten hiukkasen nopeus on v = 2πR T. (3.24) Sijoittamalla yo. nopeuden lauseke yhtälöön 3.22 saadaan keskihakukiihtyvyydelle myös tällainen lause: a rad = 4π2 R T 2. (3.25) EPÄTASAINEN YMPYRÄLIIKE Jos hiukkasen vauhti ympyrän kehällä vaihtelee, kyseessä on epätasainen ympyräliike. Tyypillinen tilanne on pystysuora ympyrärata. Tällöin hiukkasen radiaalinen kiihtyvyys on edelleen kohti ympyrän keskipistettä ja kaava 3.22 a rad = v 2 /R antaa sen suuruuden, mutta koska vauhti v vaihtelee, myöskin radiaalikiihtyvyyden suuruus vaihtelee. Nyt lisäksi hiukkasella on radan tangentin suuntaista kiihtyvyyttä, a tan a tan = d v dt = dv dt. (3.26) Hiukkasen kokonaiskiihtyvyys on nyt vektorisumma radiaali- ja tangentiaalikiihtyvyydestä, a = a rad + a tan. Huomaa, että a rad a tan. Tangentiaalikiihtyvyys on saman suuntainen kuin kappaleen nopeus, jos hiukkasen nopeus kasvaa ja vastakkaissuuntainen jos hiukkanen hidastuu. Kuvassa painovoimakentässä oleva kappale lähtee ympyrän yläpisteestä nopeudella v ja hetkellisesti tangentiaalinen kiihtyvyys on nolla.

LUKU 3. KAKSI- JA KOLMIULOTTEINEN LIIKE 26 Neljäsosan radasta kuljettuaan hiukkasen vauhti on kasvanut, koska tangentiaalinen kiihtyvyys on samansuuntainen kuin nopeus. Alimmassa pisteessä vauhti on maksimissaan ja tangentiaalinen kiihtyvyys nolla. Tällöin myös radiaalinen kiihtyvyys on maksimissaan. Kolme neljäsosaa radasta kuljettuaan vauhti on hidastunut, koska nyt tangentiaalinen kiihtyvyys on vastakkaissuuntainen nopeudelle. a tan v a rad v a rad a rad v a rad v a tan 3.5 Suhteellinen nopeus Kappaleiden paikat ja nopeudet annetaan aina jonkin toisen kappaleen tai sen pisteen suhteen (eli siitä mitattuna). Tavallisimpia ovat esim. havaitsija, maapallo ja aurinko. Jos kaksi havaitsijaa mittaa kappaleen nopeuden ja toinen havaitsija on liikkeessä suhteessa toiseen, he saavat eri tulokset. Tietyn havaitsijan mittaama nopeus on suhteellinen nopeus (relative velocity). Tarkastellaan kahta koordinaatistoa A ja B sekä pistettä P. Vektorien yhteenlasku antaa r P/A = r P/B + r B/A, (3.27)

LUKU 3. KAKSI- JA KOLMIULOTTEINEN LIIKE 27 missä r P/A on pisteen P si- y B jainti koordinaatistossa A, r P/B on pisteen P sijainti koordinaatistossa B ja r B/A on koordinaatiston B origon sijainti koordinaatistossa A. Alaindeksi luetaan seuraavasti: r P/A on pisteen P etäisyys suhteessa (koordinaatisto) A:han. Huomaa myös, miten alaindeksit järjestäytyvät yo. kaavassa: (P/A) = (P/B)(B/A), ne voi siis ajatella suhdeluvuiksi, jotka kerrotaan keskenään. y A r B/A r P/B r P/A x A P x B Jos nyt haluamme määrittää pisteen P nopeuden koordinaatistossa A, v P/A, kun tiedämme pisteen nopeuden koordinaatistossa B, v P/B ja koordinaatiston B nopeuden koordinaatiston A suhteen, v B/A, voimme derivoida kaavan 3.27 ajan suhteen, jolloin saamme d r P/A dt = d r P/B dt mikä on nopeuden määritelmän 3.3 mukaan + d r B/A dt, (3.28) v P/A = v P/B + v B/A. (3.29) Ylläoleva kaava on Galilein nopeusmuunnos ja se on voimassa, kun nopeudet ovat paljon pienempiä kuin valonnopeus. Koordinaatistot ovat samanarvoisessa asemassa keskenään ja v A/B = v B/A, (3.30) siis esim. asemalla seisojan mittaamana juna liikkuu pohjoiseen nopeudella v, kun taas junassa istujan mittaamana asemalla seisoja liikkuu etelään samalla nopeudella.

Luku 4 Newtonin lait Johdanto Edelliset kappaleet ovat käsitelleet kinematiikkaa: kuinka liike tapahtuu. Tässä kappaleessa tutustumme kappaleiden dynamiikkaan, liikkeen suhteeseen sen aiheuttaviin voimiin. Kinematiikan käsitteitä ovat siirtymä, nopeus ja kiihtyvyys. Nyt tarvitsemme uusia käsitteitä: voima ja massa. Dynamiikan perusperiaatteet ovat Newtonin liikelait, joita on kolme. Näitä periaatteita ei voi johtaa muista periaatteista tai laeista ja ne ovat klassisen mekaniikan eli Newtonin mekaniikan perusta. Lait on esittänyt Sir Isaac Newton v. 1687 kirjassaan Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. 4.1 Voima ja vuorovaikutus Voima (force) kuvaa kuinka kaksi kappaletta tai kappale ja sen ympäristö vuorovaikuttavat keskenään. Voima voidaan mitata. Jos voima liittyy tilanteeseen, jossa kaksi kappaletta koskettavat toisiaan, kyseessä on kontaktivoima. Tälläinen voima vaikuttaa esim. käden ja kappaleen välillä kädellä kappaletta työnnettäessä tai vetäessä. Pitkän kantaman voimat vaikuttavat myös silloin, kun kappaleet eivät kosketa toisiaan. Tälläinen voima on esim. gravitaatiovoima, joka pitää Maan kiertämässä Aurinkoa. Voima on vektorisuure: sillä suuruus ja suunta. Kun kaksi voimaa F 1 ja F 2 vaikuttavat yhtäaikaa pisteeseen A kappaleessa, vaikutus on sama kuin kappaleeseen vaikuttaisi vain yksi voima R, joka on ko. kahden voiman vektorisumma R = F 1 + F 2. Yleistäen: Tietyllä ajanhetkellä kappaleen 28

LUKU 4. NEWTONIN LAIT 29 johonkin pisteeseen vaikuttavien voimien F 1, F 2, F 3... kokonaisvaikutus on sama kuin vektorisummalla R = F 1 + F 2 + F 3... = Σ F, (4.1) missä vektoria R kutsutaan kokonais- eli nettovoimaksi. Kaavaa 4.1 sanotaan voimien superpositioperiaatteeksi. 4.2 Newtonin 1. laki Galileon ja eräiden muiden (esim. Kopernikus, Kepler) työn pohjalta Isaac Newton julkaisi 1. lakinsa vuonna 1687. Se voidaan muotoilla seuraavasti. Kappale, johon mikään nettovoima ei vaikuta, pysyy levossa tai tasaisessa suoraviivaisessa liikkeessä. Tämä laki tunnetaan myös nimellä jatkavuuslaki ja hitauslaki, koska se sisältää yhden kaikkien kappaleiden ominaisuuden: hitauden eli inertian: Kappaleet pyrkivät säilyttämään liiketilansa. Newtonin 1. laki koskee siis tilannetta, jossa netto- eli kokonaisvoima on nolla. Newtonin 1. lakia voidaan siis soveltaa tilanteissa, joissa Σ F = 0. (4.2) Tämä sama ehto määrittää myös kappaleen tasapainotilan (equilibrium), siis tasapainotilassa kappale on paikoillaan tai jatkaa tasaista suoraviivaista liikettään. Jotta kaava 4.2 on voimassa, sen täytyy olla voimassa jokaiselle voiman komponentille erikseen ΣF x = 0, ΣF y = 0, ΣF z = 0. (4.3) Voimien täytyy myös vaikuttaa samaan pisteeseen kappaleessa. Useissa tapauksissa kappaletta kuvataan ns. pistemäisellä kappaleella (point particle).

LUKU 4. NEWTONIN LAIT 30 4.3 Newtonin 2. laki Newtonin 1. lain perusteella voidaan sanoa, että kappaleen massa on sen kyky vastustaa liiketilansa muutosta eli se on kappaleen hitauden eli inertian mitta. Massa on skalaarisuure. Massan mittaamiseen voidaan esim. käyttää sen liiketilan muutoksen havaitsemista tunnetun voiman vaikutuksen alaisena seuraavalla tavalla. (a) t = 0 v A0 = 0 A B v B0 = 0 (b) t = t v A A B v B Tarkastellaan kahta kappaletta A ja B, joihin vaikuttaa yhtäsuuri voima, kuvan tapauksessa sama jousi. (a) Aluksi kappaleet ovat kiinni toisissaan kitkattomalla alustalla ja (b) sitten kiinnitys poistetaan, jolloin jousi pääsee venymään täyteen mittaansa. Kun mitataan tietyssä ajassa t tapahtunut nopeusmuutos, v A = v A v A0 = v A ja v b = v B v B0 = v B, havaitaan että kappaleiden nopeusmuutosten suhde v A / v B on vakio riippumatta tarkastelun aikavälistä t. Eri kappalepareille saadaan erilaiset suhdeluvut. On siis mahdollista määritellä kutakin kappaletta kuvaava vakio tällaisen vertailun perusteella. Tämä vakio on kappaleen massa; m A kappaleelle A ja m B kappaleelle B. On käytännöllistä määritellä kappaleen massa siten, että suurempaa nopeuden muutosta vastaa pienempi massa ja päin vastoin, ja koska v = a t hyvin pienillä arvoilla t, voidaan kirjoittaa m A m B = v B v A = a B a A. (4.4) Vertaamalla kappaleita tällä tavoin tunnettuun 1 kg massaiseen kappaleeseen voi-

LUKU 4. NEWTONIN LAIT 31 daan kappaleiden massat määrittää. Kokeellisesti siis a 1/m. Kokeellisesti voidaan myös todeta, että a F, missä F on kappaleeseen vaikuttava kokonaisvoima. Siten a F/m eli a = kf/m, missä k on yksikköjärjestelmästä määräytyvä vakio. SI-järjestelmässä k = 1, joten F = ma. Yleistäen vektorimerkinnöin Σ F = m a. (4.5) Tämä on Newtonin 2. laki ja se kertoo, että kun ulkoinen nettovoima vaikuttaa kappaleeseen, sen liike kiihtyy. Kiihtyvyyden suunta on sama kuin nettovoiman suunta. Kappaleen saama kiihtyvyys on nettovoima jaettuna kappaleen massalla. SI-järjestelmässä voiman yksikkö on nimeltään newton (N) ja 1 N = 1 kg m/s 2. Jatkossa Newtonin 2. lakia käytetään yleensä komponenttimuodossa ΣF x = ma x, ΣF y = ma y, ΣF z = ma z. (4.6) 4.4 Inertiaalikoordinaatisto Intertiaalikoordinaatisto on koordinaatisto, jossa Newtonin 1. laki on voimassa. Myös muut Newtonin lait ovat voimassa inertiaalikoordinaatistossa. Inertiaalikoordinaatistoksi voidaan valita mikä tahansa koordinatisto, joka ei ole kiihtyvässä liikkeessä. Täysin absoluuttista inertiaalikoordinaatistoa on vaikea löytää, oikeastaan se vaatisi absoluuttisen avaruuden olemassaoloa. Mitä sitten tapahtuu, jos meillä on kiihtyvässä liikkeessä oleva koordinaatisto? Maapalloon kiinnitetty koordinaatisto on tavallisin approksimaatio intertiaalikoordinaatistolle. Tosin maapallokin pyörii akselinsa ympäri ja liikkuu radallaan Auringon ympäri, mutta näistä aiheutuva kiihtyvyys voidaan useissa tapauksissa unohtaa. Mitä sitten tapahtuu, jos meillä on kiihtyvässä liikkeessä oleva koordinaatisto? Tällöin voimme havaita näennäisvoimia, joita ei ole olemassa inertiaalikoordinaatistossa. Esimerkkejä näennäisvoimista ovat keskipakoisvoima ja Coriolis-voima. Useimmissa tapauksissa niiden ilmestyminen johtuu huonosta koordinaatiston valinnasta

LUKU 4. NEWTONIN LAIT 32 (älä esim. piirrä näennäisvoimia vapaakappalekuviin!!!), mutta on joitakin käytännön tilanteita, joissa vaikkapa Coriolis-voima on mielekäs käsite, esim. ilmakehän dynamiikkaa tarkasteltaessa. 4.5 Massa ja paino Kappaleen massa on sen hitauden mitta ja massa on kappaleen ominaisuus. Kappaleen paino sen sijaan on voima, jonka Maa tai jokin muu iso kappale kohdistaa tarkasteltavaan kappaleeseen. Kappaleen paino Maassa ja Kuussa ovat erilaiset. Määritellään paino w siten, että kappaleen paino on siihen kohdistuva gravitaatiovoima, w = m g, (4.7) missä g on gravitaatiovoiman aiheuttama kiihtyvyys, joka Maan pinnalla on n. 9.81 m/s 2. Todellisuudessa g:n arvo Maan pinnalla vaihtelee välillä 9.78 9.83 m/s 2 johtuen mm. siitä, että maapallo ei ole täysin pallon muotoinen ja toisaalta se pyörii akselinsa ympäri. Huomaa, että kappaleen paino on sen liiketilasta riippumaton. Henkilö, jonka massa on 60 kg, painaa 60 kg 9.81 m/s 2 = 589 N Maan pinnalla. Kuun pinnalla sama henkilö painaa 60 kg 1.60 m/s 2 = 96 N. 4.6 Newtonin 3. laki Voimat esiintyvät aina kappaleiden välillä pareittain. Siten jos kappale A vaikuttaa kappaleeseen B voimalla F AB, niin kappale B vaikuttaa kappaleeseen A voimalla F BA ja F AB = F BA. (4.8) Tämä on Newtonin 3. laki eli voiman ja vastavoiman laki. Voima (action) ja sen vastavoima (reaction) ovat siis yhtä suuria, mutta vastakkaissuuntaisia. On syytä huomata, että voima ja sen vastavoima vaikuttavat eri kappaleisiin eivätkä sen vuoksi kumoa toisiaan!

LUKU 4. NEWTONIN LAIT 33 4.7 Vapaakappalekuvat ja Newtonin lakien käyttö Ratkaistaessa mekaniikan laskuja Newtonin lakien avulla, on tarpeellista piirtää tarkasteltavasta kappaleesta vapaakappalekuva (free-body diagram). Vapaakappalekuvaan piirretään vektoreina kaikki muiden kappaleiden siihen kohdistamat voimat. Kuvaan ei saa piirtää kappaleen muihin kappaleisiin kohdistamia voimia. Jos tarkasteltavana on useita kappaleita, kullekin pitää tehdä oma vapaakappalekuvansa. Dynamiikan tehtävien ratkaisuohjeet: 1. Piirrä hyvä kuva ja valitse kappale, jota tarkastelet. 2. Merkitse vapaakappalekuvaan kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat. ÄLÄ merkitse kappaleen kohdistamia voimia muihin kappaleisiin. 3. Valitse tarkoituksenmukainen inertiaalikoordinaatisto. 4. Jaa voimat komponentteihinsa valitussa koordinaatistossa. 5. Kirjoita liikeyhtälöt komponenttimuodossa ΣF x = ma x jne. sekä ratkaise tuntemattomat suureet. 6. Arvioi tuloksia: (a) tarkista merkit (b) tarkista yksiköt, muista että 1 N = 1 kg m/s 2 (c) arvioi suuruusluokkia Tehtäviä ratkottaessa tarvitaan usein painon w lisäksi normaalivoimaa N, jota kirjassa merkitään symbolilla η. Normaalivoima on tukivoima, joka kohdistuu pinnalla sijaitsevaan kappaleeseen. Normaalivoima on kohtisuorassa pintaa vastaan. Usein tarvittava voima on myös jännitys T (tension). Kun kappaleen, esim. köyden, molempiin päihin kohdistuu voima, sanotaan köyden olevan jännittynyt. Jos köysi on tasapainossa, sen massaa ei huomioida, eikä siihen vaikuta voimia muuaalle kuin sen päihin, köyden jännitys on sama köyden jokaisessa pisteessä.

Luku 5 Newtonin lakien sovellutuksia Johdanto Tässä kappaleessa lasketaan esimerkkejä (luennolla!) Newtonin lakien sovellutuksista sekä määritellään kitkavoima. 5.1 Hiukkasten tasapainotila Hiukkasen tasapainotilaa tarkestellessa sovelletaan kaavoja 4.2: Σ F = 0 ja 4.3: ΣF x = 0, ΣF y = 0, ΣF z = 0. 5.2 Hiukkasten dynamiikkaa Hiukkasten dynamiikkaa ratkottaessa tarvitaan kaavaa 4.5: Σ F = m a tai 4.6:ΣF x = ma x, ΣF y = ma y, ΣF z = ma z. 34

LUKU 5. NEWTONIN LAKIEN SOVELLUTUKSIA 35 NÄENNÄINEN PAINO Kappaleen ollessa paikallaan tai tasaisessa liikkeessä sen paino voidaan mitata määrittämällä se tukivoima, joka kumoaa kappaleeseen kohdistuvan painovoiman. Jos kappale on kiihtyvässä liikkeessä, voi tarvittava tukivoima muuttua sen johdosta. Tukivoiman avulla määriteltyä painoa sanotaan näennäiseksi painoksi (apparent weight). Kappaleen todellinen paino ei kuitenkaan riipu liiketilasta. Jos tarkastellaan vain pystysuunnassa tapahtuvaa liikettä (esim. hissi) ja suunta ylöspäin otetaan positiiviseksi y-suunnaksi, voidaan tukivoima eli näennäinen paino kirjoittaa N = m(g + a y ). (5.1) Kun hissi kiihtyy alaspäin, tukivoima pienenee ja hississäolijan näennäinen paino myös pienenee (todellinen paino pysyy vakiona). Jos hissin kiihtyvyys alaspäin voisi kasvaa arvoon g olisi hississäolija näennäisesti painoton. 5.3 Kitkavoimat KINEETTINEN JA STAATTINEN KITKA Kitkavoima f (friction force) on kappaleiden välisiin kosketuksiin liittyvä makroskooppinen voima. Tavallisin esimerkki on jollakin pinnalla lepäävä kappale, jonka liikkuessa tai pyrkiessä liikkumaan syntyy liikettä vastustava kosketuksesta aiheutuva voima, kitkavoima. Käytännössä kitka voi olla hyödyllinen, jolloin sitä pyritään suurentamaan, tai se voi olla haitallinen, jolloin sitä pyritään taas pienentämään. Kitka- ja normaalivoima ovat molemmat kontaktivoimia, jotka mikroskooppisella tasolla ovat seurausta molekyylien välisistä (sähköisistä) voimista kahden eri epätasaisen pinnan välillä paikoissa, jossa ne koskettavat toisiaan. Kappaleen liukuessa pinnalla siihen vaikuttaa liukukitka f k, liukumista jarruttamaan pyrkivä voima. Englanninkielinen termi kinetic friction voidaan myös kääntää nimellä kineettinen kitka ja liikekitka. Kokeellisesti on havaittu, että liukukitka on useassa tapauksessa suoraan verrannollinen normaalivoiman N suuruuteen, f k = µ k N, (5.2)

LUKU 5. NEWTONIN LAKIEN SOVELLUTUKSIA 36 missä verrannollisuuskerroin µ k on nimeltään liukukitkakerroin tai liikekitkakerroin. Kitkakerroin on laaduton suure, koska sekä f k että N ovat voimia. Huomaa, että normaalivoima on kohtisuoraan pintaa vastaan, kun taas kitkavoima on pinnan suuntainen, joten yo. yhtälössä ei ole vektorimerkintöjä. Lepokitka f s eli staattinen kitka (static friction) vastustaa pinnalla lepäävän kappaleen liikkeellelähtöä. Lepokitkan suuruus riippuu muista kappaleeseen vaikuttavista voimista, mutta lepokitkan suurin arvo f s(max), juuri ennen kappaleen liikkeelle lähtöä, noudattaa riippuvuutta f s(max) = µ s N, f s µ s N, (5.3) missä µ s on lepokitkakerroin. Tavallisesti µ s > µ k. Kitkakertoimien suuruus riippuu mm. kappaleen ja pinnan materiaalista, siitä onko pinta kuiva vai märkä ja jossain tapauksessa myös kappaleen nopeudesta. Seuraavassa kitkakertoimia kahden kappaleen välillä tarkastellaan kuitenkin aina vakiona. Alla olevassa taulukossa on tyypillisiä kitkakertoimien arvoja. materiaali lepokitkakerroin, µ s liukukitkakerroin, µ k teräs teräksellä 0.74 0.57 alumiini teräksellä 0.61 0.47 lasi lasilla 0.94 0.40 teon teonilla 0.04 0.04 kumi betonilla (kuiva) 1.0 0.8 kumi betonilla (märkä) 0.30 0.25 VIERIMISKITKA Raskasta laatikkoa on paljon helpompi siirtää pyörien päällä kuin vetämällä sitä pitkin lattiaa. Vierimiskitkakerroin (coecient of rolling friction) µ r on se horisontaalinen voima, joka tarvitaan tasaisen nopeuden ylläpitämiseen tasaisella pinnalla, jaettuna pinnan aiheuttamalla normaalivoimalla. Vierimiskitkakertoimet ovat pieniä, esim. 0.002-0.003 teräspyörille teräsraiteilla ja 0.01-0.02 kumirenkaille asfaltilla.

LUKU 5. NEWTONIN LAKIEN SOVELLUTUKSIA 37 VÄLIAINEEN VASTUS JA PUTOAMISEN RAJANOPEUS Kappaleen pudotessa väliaineessa on liike vapaan putoamisen kaltaista vain pienillä nopeuksilla, esim. alkuvaiheessa kappaleen lähtiessä levosta. Väliaine vastustaa liikettä voimalla f, joka on verrannollinen kappaleen nopeuteen (pienillä nopeuksilla) f = kv (5.4) tai nopeuden neliöön (suurilla nopeuksilla) f = Dv 2, (5.5) missä vakiot k ja D riippuvat väliaineen ominaisuuksista sekä kappaleen muodosta ja asennosta. Ilman vastustavaa voimaa kutsutaan nimellä ilmanvastus (air drag). Kappale saavuttaa vähitellen väliaineen vastuksesta riippuvan rajanopeutensa v t (terminal speed), joka pienillä nopeuksilla (kaava 5.4) on ja suurilla nopeuksilla (kaava 5.5) v t = mg k (5.6) v t = mg D. (5.7) Koska vakiot k ja D eivät riipu kappaleen massasta, mutta riippuvat koosta ja muodosta, esim. palloksi rypistetty paperiarkki putoaa nopeammin kuin sileä arkki, jolle k on suurempi. Toisaalta edellä olevista rajanopeuden kaavoista näemme, että jos kyseessä ovat samankokoiset ja -muotoiset esineet, niin väliaineen vastuksen vuoksi raskaampi saavuttaa suuremman nopeuden. Ilmassa pudotetuille kappaleille saadaan seuraavia rajanopeuksia (kaava (5.13)): ihminen ilman laskuvarjoa: 200300 km/h, laskuvarjohyppääjä: 25 km/h, rautapallo, jonka säde 2 cm: 290 km/h ja vesipisara: 35 km/h.

LUKU 5. NEWTONIN LAKIEN SOVELLUTUKSIA 38 v Nopeus ajan funktiona ei väliaineen vastusta v t väliaineen vastus mukana 0 t 5.4 Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Kappaleessa 3.5 käsiteltiin tasaista pyörimisliikettä, jonka kiihtyvyys oli kaavan 3.22 mukaan a rad = v2 R, (5.8) missä v ja R ovat liikkeen ratanopeus (vauhti) ja ympyrän säde. Dynamiikan peruslain F = ma mukaan kappaleeseen täytyy silloin vaikuttaa jokin voima, jonka suuruus on F = mv2 R. (5.9) Tasaisen ympyräliikkeen voi aiheuttaa mikä tahansa nettovoima (esim. gravitaatio, köysi tai kitka), joka suuntautuu ympyrän keskipisteeseen ja jolla on vakiosuuruus. Huomaa, että suure mv 2 /R ei ole itsessään voima, se esiintyy vain yhtälön F = ma oikealla puolella terminä ma! Ympyrää ajavassa autossa istu-

LUKU 5. NEWTONIN LAKIEN SOVELLUTUKSIA 39 va matkustaja pyrkii liikkumaan kohti auton ulkolaitaa, ikään kuin "keskipakovoima"vaikuttaisi matkustajaan. Mutta auto on tällöin kiihtyvässä liikkeessä eikä se ole inertiaalikoordinaatisto. Inertiaalikoordinaatistossa keskipakovoimaa ei ole olemassa. PYSTYSUORA PYÖRIMISLIIKE Pystysuora ympyräliike ei yleensä ole tasaista pyörimisliikettä. Jos sidomme narun palloon ja pyöritämme sitä pystysuorassa tasossa, toteamme heti, että nopeus v ei ole vakio. Missään muualla kuin radan ylimmässä ja alimmassa kohdassa voima ja kiihtyvyys eivät osoita kohti ympyrän keskipistettä, tämä johtuu maan vetovoiman vaikutuksesta palloon. Tällaista liikettä on helpointa tarkastella energia-käsitteen avulla (luku 7). 5.5 Luonnon perusvoimat Edellä olemme keskustelleet erilaisista voimista: esim. paino, jännitys, kitka, ilmanvastus ja normaalivoima. Kuinka paljon erilaisia voimia on olemassa? Nykykäsityksen mukaan kaikki voimat ovat ilmentymiä neljästä perusvoimasta (fundamental force) tai vuorovaikutuksesta kappaleiden välillä. Gravitaatiovuorovaikutus (gravitational interaction) aiheuttaa esim. kappaleen painon kun se on toisen kappaleen luomassa gravitaatiokentässä se saa esimerkiksi kappaleet putoamaan maanpinnalle. Gravitaatiovuorovaikutuksen vuoksi planeetat kiertävät Aurinkoa. Se on heikoin neljästä vuorovaikutuksesta, mutta sen vaikutus ulottuu kauas (kantama on ääretön). Sähkömagneettinen vuorovaikutus (electromagnetic interaction) synnyttää sähköisiä ja magneettisia ilmiöitä. Atomit koostuvat varatuista hiukkasista, jotka vuorovaikuttavat keskenään. Esim. kontaktivoimat (normaalivoima, kitka, ilmanvastus yms.) johtuvat aineen atomien sähköisestä vuorovaikutuksesta ympäristön atomien kanssa. Magneettiset voimat johtuvat perimmältään sähköisten varausten liikkeestä aineessa. Sähkömagneettinen voima on paljon voimakkaampi kuin gravitaatiovoima. Huomaa kuitenkin, että useat makroskooppiset kappaleet (tähdet, planeetat) ovat varaukseltaan lähes neutraaleja, joten niiden liikettä hallitsee gravitaatio. Vahva vuorovaikutus (strong interaction) pitää atomin ytimen kasassa. Koska

LUKU 5. NEWTONIN LAKIEN SOVELLUTUKSIA 40 atomin ytimessä on yleensä useita positiivisesti varattuja protoneita, jotka hylkivät toisiaan, tarvitaan voima, joka kumoaa sähköisen poistovoiman. Tämän vuoksi vahvaa vuorovaikutusta kutsutaan myös ydinvoimaksi (nuclear force). Sen kantama on paljon lyhyempi kuin sähköisen voiman, mutta sen voimakkuus pienillä etäisyyksillä on paljon suurempi. Ydinvoiman vaikutuksesta korkeaenergisten hiukkasten törmätessä syntyy epästabiileita hiukkasia. Heikko vuorovaikutus (weak interaction) vaikuttaa alkeishiukkasten välillä. Se on vastuussa mm. beta-hajoamisena tunnetusta radioaktiivisesta hajoamisesta, jossa radioaktiivisen aineen atomiytimessä neutroni muuttuu protoniksi, emittoiden elektronin ja antineutriinon. Heikon vuorovaikutuksen kantama on paljon lyhempi kuin vahvan vuorovaikutuksen ja se on myös nimensä mukaan heikompi. Standardimallin (Standard Model) mukaan perusvoimat ovat seurausta välittäjähiukkasten (bosoneitten) vaihdosta. Jokaisella perusvoimalla on oma välittäjähiukkasensa: vahvalla vuorovaikutuksella gluoni, sähkömagneettisella vuorovaikutuksella fotoni ja heikolla vuorovaikutuksella W- ja Z-bosoni. Standardimalli sisältää em. kolme perusvoimaa. Sen sijaan gravitaatiota ei ole vielä onnistuttu sisällyttämään standardimalliin eikä gravitaatiota mahdollisesti välittävää välittäjähiukkasta, gravitonia, ole löydetty. Fyysikot ovat myös pyrkineet kehittämään ns. suuren yhtenäisteorian, Grand Uni- ed Theory (GUT), joka menisi standardimallia pidemmälle ja yhdistäisi sähkömagneettisen, heikon vuorovaikutuksen ja vahvan vuorovaikutuksen yhdeksi vuorovaikutukseksi. Lopullinen tavoite on teoria kaikesta, Theory of Everything (TOE), joka selittäisi kaikki neljä vuorovaikutusta, myös gravitaation.

Luku 6 Työ ja kineettinen energia Johdanto Kaikki mekaniikan probleemat voidaan periaatteessa ratkaista Newtonin lakien avulla, liikeyhtälöistä. Työ- ja energiakäsitteiden käyttöönottaminen kuitenkin yksinkertaistaa monia tarkasteluita ja niitä voidaan soveltaa muillekin fysiikan osa-alueille kuin mekaniikkaan. Energian säilymislaki on fysiikan perusperiaatteita ja sen mukaan energia on suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen, mutta sitä ei voida tuottaa tai tuhota. 6.1 Työ Vakiovoiman F tekemä työ (work) W liikkuvaan kappaleeseen on missä s on kappaleen siirtymä voiman F suuntaan. W = F s, (6.1) F F s Jos voima ja siirtymä ovat eri suuntaisia, täytyy yhtälö 6.2 kirjoittaa muotoon W = F s cos φ, (6.2) 41

LUKU 6. TYÖ JA KINEETTINEN ENERGIA 42 missä φ on siirtymän ja voiman välinen kulma. Koska voima ja siirtymä ovat vektorisuureita, voidaan yhtälö 6.2 kirjoittaa yleisessä muodossa W = F s (6.3) F F φ Fcosφ s tai W = F x x + F y y + F z z, kun F = F x î + F y ĵ + F zˆk ja s = x î + yĵ + zˆk. Huomaa, että työ on skalaarisuure, vaikka voima ja siirtymä ovat vektorisuureita! Työn SI-yksikkö on nimeltään joule (J) ja 1 J = 1 Nm. Voiman kappaleeseen tekemä työ ei siis riipu kappaleen liiketilasta, asennosta eikä kappaleeseen vaikuttavista muista mahdollisista voimista, vaan se riippuu ainoastaan vektoreista F ja s. Jos F s, niin W = F s = 0. Siksi esim. keskihakuvoima ei tee työtä, vaikka antaa kappaleelle kiihtyvyyden. Jos vektoreiden F ja s välinen kulma on > 90, niin W < 0. Jos työ on negatiivinen, kyseessä on kappaleen tekemä työ. Koska kappaleiden välisille voimille pätee F AB = F BA Newtonin 3. lain mukaan, seuraa myös, että (kappaleeseen tehty työ) = -(kappaleen tekemä työ) W AB = W BA. Liikettä vastustavan kitkavoiman tekemä työ on tyypillinen esimerkki negatiivisesta eli kappaleen tekemästä työstä. Jos F = f k ja φ = 180, W = F s = f k s. Huomaa kuitenkin, ettei kitkan tekemä työ ole aina negatiivinen.

LUKU 6. TYÖ JA KINEETTINEN ENERGIA 43 f k s 6.2 Työ ja kineettinen energia Tarkastellaan kappaleeseen työtä tekevän voiman vaikutusta kappaleen liiketilaan ensin suoraviivaisessa liikkeessä. Kun vakiovoima F vaikuttaa kappaleeseen, hiukkasen kiihtyvyys on vakio ja F = ma. Oletetaan, että hiukkasen nopeus muuttuu arvosta v 1 arvoon v 2 kun hiukkasen siirtymä on s = x 2 x 1. Tällöin kaavasta 2.12 saadaan v 2 2 = v2 1 + 2as (6.4) ja tästä edelleen Nyt siis voima F on ja työ W a = v2 2 v2 1 2s F = ma = m v2 2 v2 1 2s. (6.5) (6.6) W = F s = m v2 2 2 mv2 1 2 = K 2 K 1, (6.7) missä kappaleen nopeuden suuruudesta v riippuva skalaarisuure K on K = 1 2 mv2 (6.8) kineettinen eli liike-energia (kinetic energy). Kineettisen energian yksiköksi tulee myös joule (J): [K]= kgm 2 /s 2 = kgm/s 2 m= Nm= J. Siis nettovoiman tekemä työ W tot muuttuu kappaleen etenevän liikkeen kineettiseksi energiaksi ja vastaavasti liiketilaansa muuttamalla kappale voi tehdä työtä

LUKU 6. TYÖ JA KINEETTINEN ENERGIA 44 W tot = K 2 K 1 = K (6.9) Yo. kaava tunnetaan nimellä työ-energia teoreema ja se on voimassa vain inertiaalikoordinaatistossa. Huomaa kuitenkin, että W tot ja K 2 K 1 suureiden numeroarvot ovat erisuuret eri koordinaatistoissa. 6.3 Työ ja kineettinen energia muuttuvan voiman tapauksessa Työ-energiateoreema on voimassa yleisesti, ei ainoastaan vakiovoimille ja yksiulotteisessa tapauksessa. Tarkastellaan seuraavaksi yksiulotteista tapausta, jossa voima F on x-akselin suuntainen. Nyt voima voi muuttua paikan funktiona, jolloin innitesimaalisen siirtymän dx aikana tehty työ on dw = F (x)dx. (6.10) Kun tarkastellaan alkupisteen x 1 ja loppupisteen x 2 välillä tehtyä työtä, täytyy kaikki innitesimaaliset elementit summata, jolloin W = x 2 x 1 F (x)dx. (6.11) Graasesti voiman tekemä työ on voimaa esittävän käyrän pinta-ala alku- ja loppupisteiden välillä:

LUKU 6. TYÖ JA KINEETTINEN ENERGIA 45 F F(x) W x 1 x 2 x Tarkastellaan seuraavaksi jousta. Kun jousta venytetään matka x, tarvitaan ulkoinen voima F jousen molempiin päihin. Jos venymä ei ole liian suuri, on ulkoinen voima F suoraan verronnollinen venymään x, F (x) = kx, (6.12) missä k on vakio, joka tunnetaan nimellä jousivakio (spring constant, force constant). Yo. kaava on nimeltään Hooken laki. Se esitetään usein muodossa F (x) = kx, missä F on nyt jousen kappaleeseen kohdistama voima! Kun venytämme jousta, teemme työtä. Jos jousen toinen pää on kiinnitetty seinään ja venytämme jousta toisesta päästä normaalipituudesta (origo) matkan X, teemme työn W = X F (x)dx = X kxdx = 1 2 kx2. (6.13) 0 0 Sama tulos voidaan saada graasesti:

LUKU 6. TYÖ JA KINEETTINEN ENERGIA 46 F kx F= kx W= 1/2 kx 2 X x Huom. Nyt jousen kappaleeseen tekemä työ on W = 1 2 kx2. Jos jousi on jo alkutilanteessa venynyt matkan x 1 ja sitä venytetään lisää, niin että lopullinen venymä on x 2, on tehty työ x 2 x 2 W = F (x)dx = kxdx = x 1 x 1 1 2 kx2 2 1 2 kx2 1. (6.14) Jos jousta puristetaan kasaan, sekä F että dx tulevat negatiivisiksi, jolloin yo. kaava on jälleen voimassa.

LUKU 6. TYÖ JA KINEETTINEN ENERGIA 47 TYÖ-ENERGIA -TEOREEMA KÄYRÄVIIVAISELLE LIIKKEELLE F P 2 Kun hiukkanen liikkuu pisteestä P 1 pisteeseen P 2 käyrää pitkin, voidaan käyrä jakaa innitesimaalisen pieniin siirtymiin d l. Kukin elementti on tällöin käyrän tangentti tarkasteltavassa pisteessä. Kun voiman F ja siirtymän d l välinen kulma on φ on voiman tekemä työ siirtymän d l aikana P 1 F φ dl F dw = F cos φdl = F dl = F d l, (6.15) missä F = F cos φ on voiman F komponentti siirtymän d l suuntaan. Kokonaistyö, kun hiukkanen siirtyy pisteestä P 1 pisteeseen P 2, on tällöin W = P 2 P 1 F cos φdl = P 2 P 1 F dl = P 2 P 1 F d l. (6.16) Kaavassa 6.16 esiintyvää integraalia sanotaan viivaintegraaliksi. Kaavasta 6.16 nähdään myös, että ainoastaan hiukkasen radan suuntainen voiman komponentti tekee työtä hiukkaseen ja muuttaa sen liike-energiaa. Sen sijaan voiman kohtisuora komponentti F = F sin φ muuttaa ainoastaan hiukkasen nopeuden suuntaa.

LUKU 6. TYÖ JA KINEETTINEN ENERGIA 48 6.4 Teho Työn määrän tai suuruuden lisäksi on usein merkitystä sillä kuinka kauan työn tekeminen kestää, kuinka "tehokasta"se on. Keskimääräinen teho P av on tehty työ W aikayksikössä t P av = W (6.17) t ja hetkellinen teho (instantaneous power) saadaan, kun tarkasteltava aikaväli lähenee nollaa, W P = lim t 0 t = dw dt. (6.18) Tehon SI-yksikkö on watti (W) ja 1 W = 1 J/s= 1 Nm/s. Edelleen laajalti käytetty tehon yksikkö on hevosvoima (hp = horse power) ja 1 hp = 746 W = 0.746 kw. Jos voima F vaikuttaa kappaleeseen, joka liikkuu nopeudella v, voidaan kirjoittaa P = dw dt = F dl dt = F v. (6.19) Hetkellinen teho P voidaan ilmaista myös hetkellisen voiman F ja nopeuden v avulla P = F v. (6.20)

Luku 7 Potentiaalienergia ja energian säilyminen Johdanto Edellisessä luvussa määriteltiin kineettinen energia, joka liittyy kappaleen liikkeeseen, ja tässä luvussa määritellään potentiaalienergia, joka liittyy kappaleen paikkaan. Näiden avulla voidaan muotoilla mekaanisen energian säilymislaki. Säilymislait ovat keskeisiä luonnon ilmiöiden selittämisessä ja ennustamisessa, ja yleinen energian säilymislaki on yksi tärkeimmistä laeista. 7.1 Gravitaatiopotentiaalienergia Edellisessä kappaleessa opimme, että kappaleiden välisiin vuorovaikutuksiin liittyvät voimat tekevät työtä, kun kappaleiden paikat muuttuvat toistensa suhteen. Tarkastellaan kappaletta, jolla on massa m ja joka liikkuu pitkin pystysuoraa y- akselia. Kappaleeseen vaikuttavat voimat ovat paino w = mg ja mahdollisesti jotkut muut voimat, joiden vektorisumma on F other. Painon kappaleeseen tekemä työ W grav, kun kappale putoaa korkeudelta y 1 korkeudelle y 2, saadaan kaavasta 6.3 W grav = F s = w(y 1 y 2 ) = mgy 1 mgy 2. (7.1) Huom! Edellisessä matka s = y 1 y 2 eikä toisin päin: nyt tarkastellaan yksiulotteista tapausta ja työn määritelmässä voiman suuntainen siirtymä vastaa positiivista työtä, vastakkaiseen suuntaan oleva negatiivista. Kaava pätee myös kun 49

LUKU 7. POTENTIAALIENERGIA JA ENERGIAN SÄILYMINEN 50 y 2 > y 1, jolloin työ tulee negatiiviseksi. Kaava 7.1 osoittaa, että painon tekemä työ voidaan ilmaista kappaleen alku- ja loppukorkeuteen liittyvän suureen mgy avulla. Kyseistä suuretta kutsutaan nimellä gravitaatiopotentiaalienergia (gravitational potential energy), U U = mgy. (7.2) Gravitaatiopotentiaalienergian yksikkö on joule (J), kuten energian yleensäkin. Nyt voimme ilmaista painon tekemän työn kaavassa 7.1 potentiaalienergian avulla seuraavasti Gravitaatiopotentiaalienergia U W grav = U 1 U 2 = (U 2 U 1 ) = U, (7.3) U 1 = mgy 1 y 1 sillä U = U 2 U 1. Negatiivinen etumerkki voidaan ymmärtää seuraavasti. Kun kappale liikkuu alaspäin, y 2 < y 1, painovoima tekee positiivista työtä ja U < 0, siis potentiaalienergia pienenee. Kun kappale liikkuu ylöspäin, sen potentiaalienergia kasvaa, mutta painovoima tekee negatiivista työtä. y 2 U= U 2 U 1 < 0 W grav = U > 0 U 2 = mgy 2 Gravitaatiopotentiaalienergia liittyy aina kahden kappaleen muodostamaan systeemiin (esim. kappale ja maapallo), mutta usein puhutaan toisen kappaleen potentiaalienergiasta toisen muodostamassa kentässä. Gravitaatiopotentiaalienergiaan voidaan lisätä tai siitä voidaan vähentää vakio tarkasteltavien ilmiöiden muuttumatta. Tämä tarkoittaa sitä, että gravitaatiopotentiaalienergian nollakohta voidaan valita vapaasti.

LUKU 7. POTENTIAALIENERGIA JA ENERGIAN SÄILYMINEN 51 MEKAANISEN ENERGIAN SÄILYMINEN (VAIN GRAVITAATIOVOIMA) Oletetaan seuraavaksi, että kappaleen paino on ainoa vaikuttava voima, joten F other = 0. Kappale voi nyt liikkua ylös- tai alaspäin ja kappaleen vauhti on v 1 korkeudella y 1 ja v 2 korkeudella y 2. Työ-energiateoreeman mukaan tehty kokonaistyö on yhtäsuuri kuin muutos kappaleen kineettisessä energiassa, W tot = K = K 2 K 1. Kun gravitaatio on ainoa vaikuttava voima, W tot = W grav = U = (U 2 U 1 ) kaavan 7.3 mukaan. Siis K = U ja toisella tavoin ilmaistuna K 1 + U 1 = K 2 + U 2. (7.4) Nyt suure E = K + U, kineettisen ja potentiaalienergian summa, on systeemin mekaaninen kokonaisenergia. Systeemillä tarkoitamme kappaletta ja gravitaation aiheuttajaa, yleensä maapalloa. Kaavojen 6.8 ja 13.9 avulla ilmaistuna yllä oleva yhtälö saadaan muotoon 1 2 mv2 1 + mgy 1 = 1 2 mv2 2 + mgy 2. (7.5) Koska paikat y 1 ja y 2 voidaan valita mielivaltaisesti, voidaan todeta yleisesti, että E = K + U = vakio (7.6) Yllä olevat kaavat sisältävät mekaanisen energian säilymislain: kun vain gravitaatio tekee työtä, systeemin mekaaninen kokonaisenergia säilyy. Säilymislakia kutsutaan myös nimellä "energiaperiaate". MUIDEN VOIMIEN VAIKUTUS Nyt oletamme, että F other 0 ja tämän voiman tekemä työ on W other. Kokonaistyö on tällöin W tot = W other + W grav, joka on yhtäsuuri kuin kineettisen energian muutos työ-energiateoreeman mukaan, jolloin W other + W grav = K 2 K 1. (7.7) Kun sijoitamme kaavaan gravitaatiotyön lausekkeen kaavasta 7.3, saamme W other (U 2 U 1 ) = K 2 K 1. (7.8)

LUKU 7. POTENTIAALIENERGIA JA ENERGIAN SÄILYMINEN 52 Järjestämällä termejä, saamme K 1 + U 1 + W other = K 2 + U 2. (7.9) Siis muiden kuin gravitaatiovoiman tekemä työ on yhtäsuuri kuin muutos systeemin mekaanisessa kokonaisenergiassa E = K + U. Kun W other on positiivinen, systeemin mekaaninen kokonaisenergia kasvaa ja kun W other on negatiivinen, systeemin mekaaninen kokonaisenergia pienenee. GRAVITAATIOPOTENTIAALIENERGIA KÄYRÄVIIVAISEN LIIKKEEN TAPAUK- SESSA Edellä on oletettu, että siirtymä tapahtuu pystysuorassa suunnassa. Tarkastelemme nyt siirtymää, jolle s = xî + yĵ, joten gravitaatiovoiman tekemä työ on W grav = w s = mgĵ ( xî + yĵ) = mg y. (7.10) Siis gravitaatiovoiman tekemä työ ei riipu lainkaan vaakasiirtymästä, ainoastaan pystysuuntaisesta siirtymästä y.

LUKU 7. POTENTIAALIENERGIA JA ENERGIAN SÄILYMINEN 53 Mekaanisen energian tehtävien ratkaisuohjeet: 1. Mieti, ratkeaako tehtävä paremmin Newtonin lakien avulla vai energiayhtälöä (esim. kaava 7.9) käyttäen. Energiayhtälöllä on erityisen käyttökelpoinen, kun tehtävässä esiintyy paikasta riippuva voima (esim. jousi) tai käyräviivainen liike. Energiayhtälöllä EI voi tarkastella liikkeen aikariippuvuutta. 2. Päätä, mitkä ovat tarkastelun alku- ja lopputilat ja käytä niiden kuvaamiseen indeksejä 1 ja 2, vastaavasti. 3. Piirrä kuva ja valitse koordinaatisto, erityisesti taso jolla y = 0. Valitse positiivinen y-suunta ylöspäin. 4. Luettele kaikki alku- ja lopputilaan liittyvät suureet (K ja U ) ja merkitse tunnettujen suureiden arvot näkyviin. 5. Mieti, onko mukana voimaa, joka ei ole gravitaatiovoima (tai myöh. esille tuleva kimmoisa voima) ja jonka tekemä työ, W other, on otettava huomioon. Sovella kaavaa 7.9; jos W other = 0, kaava 7.9 yksinkertaistuu mekaanisen energian säilymislaiksi. 6. Ratkaise yhtälöstä tuntematon suure. 7.2 Kimmoisa potentiaalienergia Kappale on kimmoisa, jos se palautuu alkuperäiseen muotoonsa sen jälkeen kun sitä on venytetty tai puristettu kasaan. Esimerkkinä kimmoisasta kappaleesta tarkastelemme ideaalista jousta. Ideaalisella jousella tarkoitamme jousta, joka palautuu täysin muotoonsa ja jonka massa on nolla. Jouseen on kiinnitetty kappale, jonka massa on m. Kappaleessa 6.4 totesimme, että ulkoisen voiman jouseen tekemä työ, kun se venytetään venymästä x 1 venymään x 2, on missä k on jousen jousivakio. W = 1 2 kx2 2 1 2 kx2 1, (7.11) Kuten kappaleessa 6.4 todettiin, jousen kappaleeseen tekemä työw el on yhtäsuuri, mutta vastakkaismerkkinen W el = ( 1 2 kx2 2 1 2 kx2 1 ) = U, (7.12)

LUKU 7. POTENTIAALIENERGIA JA ENERGIAN SÄILYMINEN 54 missä kimmoisa potentiaalienergia (elastic potential energy) U on määritelty U = 1 2 kx2. (7.13) Kun jousta venytetään tasapainoasemastaan, jousen kimmoisa potentiaalienergia kasvaa, mutta jousen kappaleeseen tekemä työ on negatiivistä. Kun venynyt jousi vapautetaan, kappaleen potentiaalienergia pienenee ja jousen kappaleeseen tekemä työ on positiivista. Tärkeä ero gravitaatio- ja kimmoisan potentiaalienergian välillä on se, että kimmoisan potentiaalienergian nollakohtaa ei voida vapaasti valita, vaan nollakohdaksi täytyy valita jousen tasapainoasema! Kuten gravitaatiopotentiaalienergiankin tapauksessa, voidaan nytkin johtaa muotoa 7.4 ja 7.9 olevat yhtälöt, kuitenkin niin että U tarkoittaa nyt kimmoisaa potentiaalienergiaa. Nyt oletamme koko ajan, että gravitaatiovoima ei tee työtä kappaleeseen. Siten saamme mekaanisen kokonaisenergian säilymislain nojalla 1 2 mv2 + 1 2 kx2 = vakio. (7.14) Alla oleva kuva esittää kolmea eri ajanhetkeä. Ylimmässä osassa jousi, johon on kiinnitetty massa m, on venytetty ääriasentoon A. Kaikki energia on jousen potentiaalienergiana 1 2 ka2. Keskimmäisessä osassa jousi+kappale on vapautettu ja systeemillä on sekä kineettistä että potentiaalienergiaa. x = A x = 0 v x = A E = 0 + 1 ka 2 2 E = 1 mv 2 + 1 kx 2 2 2 v max E = 1 mv 2 max + 0 2 A

LUKU 7. POTENTIAALIENERGIA JA ENERGIAN SÄILYMINEN 55 Alimmassa osassa jousi ohittaa juuri tasapainokohdan x = 0, jolloin potentiaalienergia on nolla ja kaikki energia on kineettistä energiaa 1 2 mv2 max. Tässä kohdassa nopeus siis saavuttaa maksimiarvonsa v max. Tämän jälkeen kappale jatkaa matkaansa vasemmalle ja jousi puristuu kasaan. Toisessa ääriasennossa x = A ja kappale pysähtyy. Jälleen koko energia on jousen potentiaalienergiana U = 1 2 k( A)2 = 1 2 ka2. x = A x = 0 x = A E = 0 + 1 ka 2 2 Vieressä v olevassa kuvassa on esitetty potentiaalienergia E = 1 mv2 + U 1 kx, 2 2 2 kineettinen energia K ja näiden summa, kokonaisenergia v max E, paikan funktiona. Huomaa, että kokonaisenergia E = 1 mv 2 max + on0 2 vakio! A Energia K U +A E x Jos tilanteessa vaikuttaa muita voimia (esim. kitka), niiden tekemä työ W other voidaan otta huomioon kaavan 7.9 mukaisesti, K 1 + U 1 + W other = K 2 + U 2. (7.15)

LUKU 7. POTENTIAALIENERGIA JA ENERGIAN SÄILYMINEN 56 GRAVITAATIOPOTENTIAALIENERGIA JA ELASTINEN POTENTIAALIENER- GIA YHDESSÄ Jos kimmoisan potentiaalienergian lisäksi kappaleella on gravitaatiopotentiaalienergiaa, kuten alaspäin riippuvan jousen tapauksessa, voimme kaavojen 7.9 ja 7.15 mukaisesti kirjoittaa K 1 + U grav,1 + U el,1 + W other = K 2 + U grav,2 + U el,2. (7.16) Tällöin muiden kuin gravitaatio- tai kimmoisan voiman tekemä työ on yhtä suuri kuin muutos systeemin mekaanisessa kokonaisenergiassa E = K + U, missä U on summa gravitaatiopotentiaalienergiasta ja kimmoisasta potentiaalienergiasta. 7.3 Konservatiiviset ja ei-konservatiiviset voimat Painovoiman ja jousivoiman tekemä työ riippuu vain kappaleen alku- ja loppupaikoista. Työ ei riipu siitä tiestä, jota pitkin kappale on liikkunut, ja erityisesti, jos kappale palaa lähtöpaikkaansa on työ nolla. Tällainen voima on konservatiivinen voima (conservative force). Sen tekemä työ on reversiibeli. Kitkavoiman tekemä työ taas tavallisesti riippuu kappaleen kulkemasta tiestä. Tällainen voima on epäkonservatiivinen (nonconservative).

LUKU 7. POTENTIAALIENERGIA JA ENERGIAN SÄILYMINEN 57 B (1) (2) Määritellään, että konservatiivinen voima on sellainen voima, jonka tekemä työ ei riipu kappaleen kulkemasta tiestä A W (1) A B = W (2) A B (7.17) ja konservatiivisen voiman tekemä työ suljetulla tiellä häviää W (1) A B + W (2) B A = 0. (7.18) (1) B (2) Näistä ehdoista seuraa, että konservatiivinen voima riippuu vain paikasta, mutta ei ajasta tai kappaleen nopeudesta. A Konservatiivisen voiman tekemä työ voidaan myös lausua potentiaalienergiafunktion alku- ja loppuarvojen avulla (kts. kappale 7.5). ENERGIAN SÄILYMISLAKI Epäkonservatiivisia voimia ei voida esittää potentiaalienergian avulla, mutta niiden vaikutuksesta systeemin sisäinen energia (internal energy) voi muuttua, mikä voi näkyä esim. kappaleen lämpötilan nousuna. Tarkastellaan esimerkkinä kappaletta, joka liukuu epätasaisella pinnalla. Kitka tekee negatiivista työtä kappaleeseen ja sekä kappaleen että pinnan sisäinen energia kasvavat (molempien lämpötila nousee). Tällöin sisäisen energian muutos U int on U int = W other, (7.19) missä W other on kitkan tekemä työ. Yleisessä tapauksessa W other on minkä tahansa epäkonservatiivisen voiman tekemä työ. Sijoittamalla yo. yhtälö kaavoihin 7.9,

LUKU 7. POTENTIAALIENERGIA JA ENERGIAN SÄILYMINEN 58 7.15 tai 7.16 saamme ja edelleen K 1 + U 1 U int = K 2 + U 2 (7.20) K + U + U int = 0. (7.21) Tämä on energian säilymislaki, jonka mukaan tietyssä prosessissa systeemin kineettinen, potentiaali tai sisäinen energia voivat muuttua, mutta energiamuutosten kokonaissumma on aina nolla. Energiaa ei siis voida synnyttää eikä tuhota, se voi vain muuttaa muotoaan. 7.4 Konservatiivinen voima ja potentiaalienergia Tarkastellaan suoraviivaista liikettä x-akselin suunnassa. Konservatiivisen voiman x-komponentti on tällöin F x (x) ja potentiaalienergia on U(x). Kaavojen 7.3 ja 7.12 mukaan konservatiivisen voiman tekemä työ W ja potentiaalienergian muutos U riippuvat toisistaan seuraavasti: W = U. (7.22) Työ, jonka konservatiivinen voima tekee pienen siirtymän x aikana on tällöin likiarvoisesti F x (x) x, jolloin sijoittamalla yo. yhtälöön saamme F x (x) x = U F x (x) = U x. (7.23) Kun annamme x 0, saamme tarkasti F x (x) = du(x) dx. (7.24) Miinusmerkki tarkoittaa sitä, että konservatiivinen voima pyrkii saattamaan systeemin mahdollisimman alhaiselle energiatasolle. Tarkista kaavan voimassaolo kimmoisalle voimalle!

LUKU 7. POTENTIAALIENERGIA JA ENERGIAN SÄILYMINEN 59 VOIMA JA POTENTIAALIENERGIA KOLMIULOTTEISESSA TAPAUKSESSA Jos potentiaalienergiafunktio U on x:n, y:n ja z:n funktio, voidaan konservatiivisen voiman F komponentit laskea osittaisderivaattojen avulla F x = U x, F y = U y, F z = U z. (7.25) Kaava voidaan ilmaista myös vektorimuodossa ( U F = x î + U ĵ + U ) ˆk y z = U, (7.26) missä = xî + yĵ + z ˆk on nimeltään gradientti. Konservatiivinen voima voidaan siis laskea skalaarisesta potentiaalienergiafunktiosta. Tarkista yo. kaava gravitaatiopotententiaalienergiafunktiolle! 7.5 Energiadiagrammit Potentiaalienergiafunktion kuvaajan avulla voidaan määrittää systeemin tasapainoasemat. Tarkastellaan seuraavalla sivulla olevaa kuvaa. Ylemmässä paneelissa on esitetty jonkin hiukkasen potentiaalifunktio U(x), jonka minimit edustavat stabiileja tasapainoasemia (stable equilibrium) ja maksimit epästabiileja tasapainoasemia (unstable equilibrium). Tasapainoasemassa F x = 0. Stabiilin tasapainoaseman tapauksessa hiukkasen siirtyessä hieman pois tasapanoasemasta, siihen vaikuttaa palauttava voima. Epästabiilissa tasapainoasemassa hiukkaseen vaikuttaa voima, joka työntää sen vielä kauemmaksi tasapainoasemasta (voima esitetty alemmassa paneelissa).

LUKU 7. POTENTIAALIENERGIA JA ENERGIAN SÄILYMINEN 60 epästabiili tasapainoasema stabiili tasapainoasema

Luku 8 Liikemäärä, impulssi ja törmäykset Johdanto Useassa tapauksessa, esim. törmäysprobleemoissa, ei tunneta tarkasti vaikuttavien voimien suuruuksia ja suuntia jokaisena ajanhetkenä, joten näitä tilanteita ei voida tarkastella pelkästään Newtonin lakien avulla. Tässä kappaleessa tutustutaan kahteen uuteen käsitteeseen, liikemäärään ja impulssiin, joiden avulla tällaisia hankalia tilanteita voidaan tarkastella. 8.1 Liikemäärä ja impulssi Tarkastellaan hiukkasta, jonka massa m on vakio. Koska a = d v/dt, Newtonin 2. lain mukaan Σ F = m d v dt = d (m v). (8.1) dt Näin ollen nettovoima Σ F, joka vaikuttaa hiukkaseen, on yhtäsuuri kuin tulon m v aikaderivaatta. Kyseistä tuloa kutsutaan nimellä hiukkasen liikemäärä (linear momentum), p p = m v. (8.2) Liikemäärävektorin suunta on sama kuin nopeuden suunta ja sen SI-yksikkö on kg m/s. Sijoittamalla kaava 8.2 kaavaan 8.1 saadaan Newtonin 2. laki liikemäärän avulla 61

LUKU 8. LIIKEMÄÄRÄ, IMPULSSI JA TÖRMÄYKSET 62 Σ F = d p dt, (8.3) joka on voimassa vain inertiaalikoordinaatistossa. Siis kun kappaleen massa on vakio, kappaleeseen vaikuttava nettovoima on yhtäsuuri kuin kappaleen liikemäärän muutos aikayksikössä. Nopea liikemäärän muutos vastaa siis isoa voimaa ja hidas muutos pienempää voimaa (esim. autojen turvatyynyt). Liikemäärää tarkastellaan usein sen komponenttien avulla, jolloin kaavan 8.2 mukaan p x = mv x, p y = mv y, p z = mv z. (8.4) Tarkastellaan seuraavaksi hiukkasta, johon vaikuttaa vakiona pysyvä kokonaisvoima F tot ajan t = t 2 t 2. Nettovoiman impulssi, J, määritellään J = F tot t. (8.5) Impulssi on vektorisuure, jonka suunta on sama kuin nettovoiman F tot. Kun voima on vakio, saadaan kaavasta 8.3 F tot t = p 2 p 1, mikä on sama kuin kaavan 8.5 oikea puoli, joten J = p 2 p 1 = p, (8.6) voiman impulssi jollakin aikavälillä on yhtäsuuri kuin hiukkasen liikemäärän muutos samana aikana. Impulssi-liikemääräteoreema pätee, vaikka voima ei olisikaan vakio tarkasteltavana aikavälinä, jolloin impulssi lasketaan kaavasta J = t 2 t 1 F tot (t)dt. (8.7)

LUKU 8. LIIKEMÄÄRÄ, IMPULSSI JA TÖRMÄYKSET 63 Kun F tot riippuu ajasta, voidaan määritellä keskimääräinen voima F av aikavälillä t, jolle pätee J = F av t. (8.8) Kaavan 8.8 graanen tulkinta on seuraava. Alla oleva kuva esittää kokonaisvoiman x-komponenttia ajan funktiona. Kuten on tuttua integraalilaskennan perusteista, t 2 kaava J x = F tot,x (t)dt osoittaa voiman impulssin x-koordinaatin aikavälillä t 1 t 1 t 2 olevan käyrän F tot,x ja suorien t = t 1 ja t = t 2 rajoittama pinta-ala (merk. sinisellä). Voima voi riippua monimutkaisesti ajasta (kuvassa se on Gaussin käyrän muotoinen), mutta voiman impulssi saadaan laskettua pinta-alana yksinkertaisemmin, jos keskimääräisen voiman x-komponentti (F av ) x tunnetaan (viivoitettu alue). Vastaava tarkastelu voidaan tehdän voiman ja impulssin y- ja z-komponenteille.

LUKU 8. LIIKEMÄÄRÄ, IMPULSSI JA TÖRMÄYKSET 64 LIIKEMÄÄRÄN JA KINEETTISEN ENERGIAN VERTAILU Kun kappaleeseen vaikuttaa vakiovoima F ajan t, on kappaleen liikemäärän muutos aikavälillä t sama kuin impulssi impulssi-liikemääräteoreeman mukaan, p = J = F t. Työ-energiateoreeman mukaan vakiovoiman tekemä työ matkalla s muuttuu kappaleen kineettiseksi energiaksi, jolloin K = W tot = F s. Siis liikemäärän muutos on sama kuin vakiovoima kertaa aika ja kineettisen energian muutos on vakiovoima kertaa matka. Sekä kappaleen liikemäärä että kineettinen energia riippuvat kappaleen nopeudesta. Siksi aina kappaleen kineettisen energian muuttuessa muuttuu myös sen liikemäärä. Entä muuttuuko aina kappaleen liikemäärän muuttuessa myös kappaleen kineettinen energia? Vastaus: Liikemäärä on vektorisuure, kun taas kineettinen energia on skalaari: vakiovauhdilla liikkuvan kappaleen suunnan muuttuessa liikemäärä muuttuu, mutta kineettinen energia ei muutu. 8.2 Liikemäärän säilyminen Tarkastellaan systeemiä, joka koostuu kahdesta hiukkasesta, A ja B. Voimia, joilla hiukkaset A ja B vaikuttavat toisiinsa sanotaan sisäisiksi voimiksi (internal forces). Jos hiukkasiin vaikuttaa systeemin ulkopuolinen kappale voimilla, kyseessä ovat ulkopuoliset voimat (external forces). Jos ulkoisia voimia ei ole, systeemi on eristetty (isolated). Tarkastellaan seuraavaksi kahta astronauttia, jotka leijuvat avaruudessa painottomina, mutta koskettavat toisiaan. Astronautti A vaikuttaa voimalla F AB astronauttiin B ja astronautti B vaikuttaa voimalla F BA astronauttiin A. Newtonin 3. lain mukaan voimat ovat yhtä suuria, mutta vastakkaissuuntaisia ( F BA = F AB ). Tällöin kaavan 8.3 mukaan F BA + F AB = d p A dt + d p B dt = d dt ( p A + p B ) = 0. (8.9) Kun merkitsemme systeemin kokonaisliikemäärää P :llä, P = p A + p B, (8.10)

LUKU 8. LIIKEMÄÄRÄ, IMPULSSI JA TÖRMÄYKSET 65 voimme merkitä d P dt = 0. (8.11) Yleisesti voidaan todeta seuraava. Jos systeemiin vaikuttavien ulkoisten voimien vektorisumma on nolla, systeemin kokonaisliikemäärä säilyy. Tämä on ns. liikemäärän säilymislaki. Systeemissä voi olla mikä tahansa lukumäärä kappaleita (A, B,...), jolloin P = p A + p B +... = m A v A + m B v B +... = vakio, (8.12) kun ulkoinen nettovoima F ext = 0. 8.3 Kimmottomat törmäykset Törmäys (collision) on kappaleiden välinen hetkellinen vuorovaikutus, jonka kesto voi vaihdella tapauksesta riippuen. Useimmiten törmäysprobleemoissa kappaleiden väliset voimat ovat paljon suurempia kuin ulkoiset voimat, jolloin ulkoiset voimat voidaan jättää huomiotta ja tarkastella systeemiä eristettynä systeeminä. Törmäys voi olla kimmoinen tai kimmoton, joissa molemmissa siis kappaleiden yhteinen liikemäärä säilyy. Kimmoinen törmäys (elastic collision) on sellainen, jossa myös kappaleiden yhteinen kineettinen energia säilyy. Esimerkiksi kovien biljardipallojen törmäys on hyvin lähellä kimmoista törmäystä. Samoin kenttien välittämissä ja erityisesti atomi- ja hiukkasmittakaavan törmäyksissä täydellinen kimmoisuus on tavallista. Kimmoton törmäys (inelastic collision) on törmäys, jossa kappaleiden yhteinen kineettinen energia vähenee, koska sitä "kuluu"mm. kappaleiden muodonmuutoksiin yms. "häviöihin". Atomi- ja hiukkastasolla kineettistä energiaa voi varastoitua viritystiloihin. Täydellisesti kimmottomassa törmäyksessä kappaleet tarttuvat yhteen.

LUKU 8. LIIKEMÄÄRÄ, IMPULSSI JA TÖRMÄYKSET 66 Tarkastelemme nyt kahta kappaletta, joiden massat ovat m A ja m B. Kimmottomassa törmäyksessäkin liikemäärä säilyy, m A v A1 + m B v B1 = m A v A2 + m B v B2, (8.13) missä alaindeksi 1 viittaa tilanteseen ennen törmäystä ja 2 tilanteeseen törmäyksen jälkeen. Jos törmäys on täysin kimmoton, kappaleet tarttuvat törmäyksessä toisiinsa ja jatkavat matkaa yhteisellä nopeudella v 2, jolloin liikemäärän säilymislaiksi saadaan m A v A1 + m B v B1 = (m A + m B ) v 2. (8.14) 8.4 Kimmoisat törmäykset Kimmoisa törmäys tapahtuu, kun törmäävien kappaleiden välillä vaikuttavat voimat ovat konservatiivisia. Kun kaksi teräspalloa törmäävät, ne litistyvät hieman kosketuskohdasta, mutta palautuvat alkuperäiseen muotoonsa törmäyksen jälkeen. Osa kineettisestä energiasta varastoituu hetkeksi kimmoisaksi potentiaalienergiaksi, mutta palautuu takaisin kineettiseksi energiaksi törmäyksen jälkeen. Tarkastellaan seuraavaksi yksiulotteista tapausta, jossa kaikki nopeudet ovat samansuuntaisia. Valitaan täksi suunnaksi x-akseli. Tällöin kappaleiden A ja B törmätessä saadaan kineettisen energian säilymisestä 1 2 m Av 2 A1 + 1 2 m Bv 2 B1 = 1 2 m Av 2 A2 + 1 2 m Bv 2 B2. (8.15) Nyt x-suuntainen liikemäärä säilyy Kaavasta 8.16 saamme m A v A1 + m B v B1 = m A v A2 + m B v B2. (8.16) ja kaavasta 8.15 m A (v A1 v A2 ) = m B (v B2 v B1 ) (8.17) joka edelleen voidaan kirjoittaa m A (v 2 A1 v2 A2 ) = m B(v 2 B2 v2 B1 ), (8.18) m A (v A1 v A2 )(v A1 + v A2 ) = m B (v B2 v B1 )(v B2 + v B1 ). (8.19)

LUKU 8. LIIKEMÄÄRÄ, IMPULSSI JA TÖRMÄYKSET 67 Jakamalla yhtälö 8.19 puolittain yhtälöllä 8.17 saamme v A1 + v A2 = v B2 + v B1 (8.20) ja edelleen termejä järjestelemällä v B2 v A2 = (v B1 v A1 ). (8.21) Yksiulotteisessa kimmoisassa törmäyksessä kahden kappaleen välillä kappaleiden välinen suhteellinen nopeus pysyy samana, mutta merkki vaihtuu. Tarkastellaan kahta erikoistapausta. (1) Kappaleiden massat ovat yhtäsuuret, m A = m B. Tällöin liikemäärän säilymisestä 8.16 ja kaavasta 8.20 saadaan v B2 = v A1, v A2 = v B1, (8.22) siis kappaleet "vaihtavat"nopeuksiaan. Jos esim. kappale B on aluksi levossa, v B1 = 0, niin v A2 = 0, siis kappale A jää lepoon törmäyksen jälkeen. (2) Toinen kappale on aluksi levossa, v B1 = 0, mutta massat ovat erisuuret, m A m B. Tällöin kaavoista 8.16 ja 8.20 saadaan ja v A2 = m A m B m A + m B v A1 (8.23) v B2 = 2m A m A + m B v A1. (8.24) Mitä tapahtuu kun m A m B ja m A m B? Kahden kappaleen törmäys johtaa yleisessä tapauksessa tasoliikkeeseen. Tällöin saadaan liikemäärän säilymislaista kaksi yhtälöä ja kimmoisen törmäyksen tapauksessa kolmas yhtälö kineettisen energian säilymisestä, jolloin voidaan ratkaista kolme suuretta, kun muut tunnetaan. 8.5 Massakeskipiste Edellä olemme tarkastelleet kappaleen mallina hiukkasta tai massapistettä. Osoittautuukin, että pian määriteltävä kappaleen tai hiukkasjoukon (eli systeemin) massakeskipiste noudattaa massapisteen etenevän liikkeen dynamiikkaa, mutta esim.

LUKU 8. LIIKEMÄÄRÄ, IMPULSSI JA TÖRMÄYKSET 68 systeemin pyörimisliikkeen kuvaamiseksi sen massan jakautuma on otettava huomioon. Oletetaan, että meillä on useita hiukkasia, joiden massat ovat m 1, m 2 jne. Massan m 1 koordinaatit ovat (x 1,y 1 ), m 2 koordinaatit (x 2,y 2 ) jne. Massakeskipisteen (center of mass) koordinaatit (x cm,y cm ) ovat tällöin x cm = m 1x 1 + m 2 x 2 + m 3 x 3 +... m 1 + m 2 + m 3 +... y cm = m 1y 1 + m 2 y 2 + m 3 y 3 +... m 1 + m 2 + m 3 +... Vektorimerkintänä massakeskipisteen r cm paikkavektori on = = m i x i i i m i (8.25) m i y i i m i. (8.26) i r cm = m 1 r 1 + m 2 r 2 + m 3 r 3 +... m 1 + m 2 + m 3 +... = m i r i i m i, (8.27) i missä r i on massan m i paikkavektori. Usein voidaan päätellä kappaleen symmetrian perusteella yksi tai useampia massakeskipisteen komponenteista. Mikäli kappaleella on symmetria-akseleita tai tasoja tai symmetriakeskuksia, sisältävät nämä myös kappaleen massakeskipisteen (olettaen, että kappaleen tiheys on vakio). Kun kappaletta kuvataan massapisteellä, sen paikka on kappaleen massakeskipiste. Massakeskipisteen paikan mukaan määräytyy esim. kappaleen potentiaalienergia gravitaatiokentässä ja siksi kappale asettuu sellaiseen paikkaan ja asentoon, jossa massakeskipiste on niin alhaalla kuin mahdollista.

LUKU 8. LIIKEMÄÄRÄ, IMPULSSI JA TÖRMÄYKSET 69 MASSAKESKIPISTEEN LIIKE Ottamalla aikaderivaatta yhtälöstä 8.27 saadaan massakeskipisteen nopeudeksi v cm v cm = m 1 v 1 + m 2 v 2 + m 3 v 3 +... m 1 + m 2 + m 3 +... = m i v i i m i, (8.28) i missä v 1 on hiukkasen 1 nopeus jne. Kun merkitään massapistejoukon kokonaismassaa M = m 1 + m 2 + m 3 +..., saadaan systeemin kokonaisliikemääräksi M v cm = m 1 v 1 + m 2 v 2 + m 3 v 3 +... = P. (8.29) Derivoimalla kaava 8.29 ajan suhteen saadaan M a cm = m 1 a 1 + m 2 a 2 + m 3 a 3 +..., (8.30) missä a cm on massakeskipisteen kiihtyvyys. Newtonin toisen lain mukaan m 1 a 1 on yhtäsuuri kuin hiukkaseen m 1 vaikuttava kokonaisvoima ja sama pätee myös muille hiukkasille, joten yhtälön oikea puoli on yhtä suuri kuin hiukkasjoukkoon vaikuttava kokonaisvoima Σ F. Kukin voima voidaan luokitella joko ulkoiseksi, F ext tai sisäiseksi, F int, joten saamme Σ F = Σ F ext + Σ F int = M a cm. (8.31) Newtonin kolmannen lain nojalla sisäisten voimien summat kumoutuvat pareittain ja Σ F int = 0. Tällöin saamme Σ F ext = M a cm. (8.32) Kun hiukkasjoukkoon vaikuttaa ulkoisia voimia, hiukkasjoukon massakeskipiste liikkuu kuin kokonaismassa olisi keskittynyt massakeskipisteeseen ja siihen vaikuttaisi ulkoisten voimien vektorisumma. Kaava 8.32 voidaan esittää myös muodossa Σ F ext = d P dt, (8.33)

LUKU 8. LIIKEMÄÄRÄ, IMPULSSI JA TÖRMÄYKSET 70 missä P = p 1 + p 2 + p 3 +... Kaava 8.3 kuvaa yksittäisen hiukkasen liikemäärän muutosta, kun taas kaava 8.33 kuvaa hiukkasjoukon liikemäärän muutosta. Hiukkasjoukon kokonaisliikemäärää voi muuttaa vain ulkoinen voima. Kun systeemiin vaikuttava ulkoinen nettovoima on nolla, liikemäärä P on vakio ja kaavan 8.29 mukaan v cm on myös vakio. 8.6 Raketti Liikemäärän säilyminen on hyödyllinen tapauksissa, jossa systeemin sisällä massat muuttuvat. Tällöin Newtonin II lakia, Σ F = M a, ei voida soveltaa suoraan. Tällainen tilanne on esim. raketin tapauksessa. Rakettimoottorin työntövoima (thrust) eteenpäin perustuu liikemäärän säilymiseen, kun pakokaasu ohjataan suurella nopeudella taaksepäin. Systeemin kokonaismassa pysyy vakiona, mutta polttoaine, joka aluksi oli raketin sisällä ja näinollen osa raketin kokonaismassaa, palaa, jolloin raketin massa pienenee. Polttoaineen massa siirtyy raketin ulkopuolelle kaasuna suurella nopeudella v ex (raketin koordinaatistossa). Voidaan osoittaa (kts. kirja), että kaukana avaruudessa leijuvan (kaukana suurista gravitaatiovoimista) raketin kiihtyvyys a inertiaalikoordinaatistossa on a = v ex m dm dt, (8.34) missä v ex on pakokaasujen nopeus rakettiin nähden (esim. 4000 m/s) ja dm/dt on poltoaineen palamisnopeus (esim. 10 000 kg/s). Huom: vastoin melko yleistä harhaluuloa raketti ei siis ponnista mistään koska sen toiminta perustuu yksinkertaisesti liikemäärän säilymislakiin, se toimii myös tyhjiössä.

Luku 9 Jäykän kappaleen pyöriminen Johdanto Tässä luvussa tarkastellaan jäykän kappaleen pyörimisliikettä. Jäykkä kappale (rigid body) on malli kiinteästä aineesta muodostuvalle kappaleelle. Jäykän kappaleen osaset pysyvät paikoillaan toistensa suhteen, vaikka kappaleen eri kohtiin voi kohdistua voimia ja kappaleen liiketila voi muuttua. 9.1 Kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys Tarkastellaan seuraavassa jäykän kappaleen pyörimistä kiinteän akselin (xed axis) ympäri. Kiinteä akseli on kiinnitetty kappaleeseen ja se säilyttää suuntansa, mutta akseli voi olla etenevässä liikkeessä kappaleen mukana. Jos akseli on lisäksi kiinnitetty paikoillaan olevaan inertiaalikoordinaatistoon, on kyseessä puhdas pyörimisliike. 71

LUKU 9. JÄYKÄN KAPPALEEN PYÖRIMINEN 72 y Kappaleen asento pyörimisessä akselin ympäri määritellään kulman θ = s r (9.1) avulla jonkin referenssi-asennon ja jonkin pyörimisakselista z etäisyydellä r olevan pisteen avulla, missä s on pisteen kierrossa kulkema matka (siis kaaren pituus). z r θ s x Tällä tavoin määriteltynä kokonaisen kierroksen kulma on ympyrän kehän pituus 2πr jaettuna säteellä r, jolloin kulmaksi tulee 2π. Tämä on puhdas luku, mutta sen perään voidaan myös kirjoittaa yksiköksi radiaani (rad), joten 2π rad = 360. (9.2) KULMANOPEUS Keskimääräinen kulmanopeus (average angular velocity) ω av z aikavälillä t = t 2 t 1 määritellään ω av z = θ 2 θ 1 t 2 t 1 = θ t, (9.3) missä θ = θ 2 θ 1 on kulmamuutos kyseisellä aikavälillä. Alaindeksi z osoittaa, että kappale pyörii z-akselin ympäri, xy-tasossa. Hetkellinen kulmanopeus ω z määritellään vastaavasti θ ω z = lim t 0 t = dθ dt. (9.4) Jos kulma θ on ilmaistu radiaaneina, tulee kulmanopeuden yksiköksi rad/s (tai 1/s).

LUKU 9. JÄYKÄN KAPPALEEN PYÖRIMINEN 73 z ω ω z > 0 Kiinteän kappaleen jokaisella pisteellä on sama kulmanopeus. Kulmanopeus ω z on positiivinen, jos kulma θ kasvaa ajan mukana. Kulmanopeus voidaan määritellä myös vektorisuureena, jolloin se on pyörimisakselin suuntainen. Pyörimisliikkeen suunnan voi päätellä vektorin ω suunnasta, ns. "oikean käden säännön"avulla. Tällöin kun sormet kiertyvät pyörimissuuntaan, pystyssä oleva peukalo osoittaa vektorin suunnan. ω ω z < 0 Kappaleissa 9.3 ja 9.4 käytämme suuretta ω, kulmanopeuden itseisarvo, joka on aina positiivinen. Jos pyörimisliikkeen jakso on T, on sen taajuus f = 1/T ja kulmanopeus (käytetään myös nimitystä kulmataajuus, kts. luku 14) ω = 2π T = 2πf. (9.5) Taajuuden yksikkö on hertsi (1 Hz = 1/s ), kierrosta sekunnissa tai kierrosta minuutissa (rev/min eli rpm). Tällöin f f = 1 rev/s ω = 2π rad/s = 1 rev/min = 1 rpm ω = 2π 60 rad/s

LUKU 9. JÄYKÄN KAPPALEEN PYÖRIMINEN 74 KULMAKIIHTYVYYS Kun jäykän kappaleen kulmanopeus muuttuu, sillä on kulmakiihtyvyyttä. Keskimääräinen kulmakiihtyvyys (average angular acceleration) α av z α av z = ω 2z ω 1z t 2 t 1 = ω t (9.6) ja hetkellinen kulmakiihtyvyys α z vastaavasti α z = lim t 0 ω z t = dω z dt. (9.7) Kulmakiihtyvyyden yksikkö on rad/s 2 eli 1/s 2. Koska kaavan 9.4 mukaan ω z = dθ/dt, voimme sijoittaa tämän kaavaan 9.7 ja saamme α z = d dθ dt dt = d2 θ dt 2 (9.8) Alaindeksi z kertoo, että myös kulmakiihtyvyysvektori on pyörimisakselin suuntainen: se on samansuuntainen kuin kulmanopeusvektori, jos kulmanopeus kasvaa ja vastakkaissuuntainen jos kulmanopeus pienenee. Kappaleissa 2 ja 3 määriteltyä nopeutta v ja kiihtyvyyttä a kutsutaan joskus lineaariseksi nopeudeksi ja lineaariseksi kiihtyvyydeksi erotuksena vastaavista kulmasuureista. 9.2 Pyöriminen vakiokulmakiihtyvyyden tapauksessa Kuten edellisen kappaleen kaavoista voidaan huomata, pyörimisliikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden määritelmät ovat täsmälleen samaa muotoa kuin etenevälle liikkeelle, jota on käsitelty luvuissa 2 ja 3. Pyörimisliikkeessä tapaus, jossa kulmakiihtyvyys on vakio on samankaltainen kuin etenevän liikkeen tapaus, jossa on vakiokiihtyvyys, joten alla olevat yhtälöt voidaan johtaa samalla tavalla. Tällöin kulmanopeudeksi ω z ajanhetkellä t saadaan (vrt. kaava 2.7, v x = v 0x + a x t)

LUKU 9. JÄYKÄN KAPPALEEN PYÖRIMINEN 75 ω z = ω 0z + α z t, (9.9) missä ω 0z on alkukulmanopeus. Kun alkukulma on θ 0, on θ θ 0 = 1 2 (ω 0z + ω z )t (9.10) ja kaavan 2.11 mukaan θ = θ 0 + ω 0z t + 1 2 α zt 2. (9.11) Kaavaa 2.12 vastaa ω 2 z = ω2 0z + 2α z(θ θ 0 ). (9.12) 9.3 Pyörimisliike etenevän liikkeen avulla y Kun jäykkä kappale pyörii kiinteän akselin ympäri, jokainen kappaleen piste liikkuu ympyräradalla. Tarkastellaan pistettä P, joka on etäisyydellä r pyörimisakselista. Kaavan 9.1 mukaan z r θ v P s ω x s = rθ. (9.13) Ottamalla tästä aikaderivaatta saadaan ds dt = rdθ dt. (9.14)

LUKU 9. JÄYKÄN KAPPALEEN PYÖRIMINEN 76 Nyt voimme vielä ottaa itseisarvon yhtälön molemmista puolista. Merkitsemme, että v = ds/dt ja ω = dθ/dt, saamme v = rω. (9.15) Yo. kaava liittää siis yhteen lineaarisen vauhdin v ja kulmavauhdin (kulmanopeuden iteseisarvon) ω, jotka molemmat ovat aina positiivisia suureita. Sen sijaan ω z on kulmanopeus, joka voi olla positiivinen tai negatiivinen. Huom. ω on sama kappaleen kaikille pisteille, mutta v riippuu pisteen etäisyydestä pyörimisakselista. Kaavasta 9.15 nähdään, että mitä kauempana pyörimisakselista piste on (mitä suurempi r), sitä suurempi on pisteen vauhti. Nopeuden suunta on jokaisessa pisteessä ympyrän tangentin suuntainen. Kiihtyvyyden tangentiaalinen komponentti a tan kertoo vauhdin muutosnopeuden, joten ottamalla yhtälöstä 9.15 aikaderivaatta saadaan a tan = r dω dt = rα. (9.16) Kuten aiemmin, kiihtyvyyden radiaalikomponentti a rad antaa pisteen keskihakukiihtyvyyden, joka kaavan 9.15 avulla saadaan muotoon a rad = v2 r = ω2 r. (9.17) 9.4 Pyörimisliikkeen energia ja hitausmomentti Tarkastellaan jäykän kappaleen pyörimistä kiinteän akselin ympäri, jolloin kappaleen jokaisen massaelementin m i liike on ympyräliikettä kohtisuoralla etäisyydellä r i pyörimisakselista (massaelementtien ei tarvitse sijaita samassa tasossa). Yksittäisen massaelementin kineettinen energia on K = 1 2 m iv 2 i = 1 2 m ir 2 i ω2, (9.18)

LUKU 9. JÄYKÄN KAPPALEEN PYÖRIMINEN 77 missä v i = r i ω. Koko kappaleen pyörimisliikkeen kineettinen energia on K = 1 2 m iv 2 i = 1 2 m ir 2 i ω2 = 1 ( ) m i r 2 i 2 i i i ω 2 (9.19) Määritellään nyt, että suluissa oleva lauseke on kappaleen hitausmomentti (moment of inertia) I: I = m 1 r 2 1 + m 2r 2 2 +... = i m i r 2 i. (9.20) Hitausmomentin yksikkö on kgm 2. Kappaleen hitausmomentti riippuu pyörimisakselin paikasta kappaleessa ja kappaleen massan jakautumisesta pyörimisakselin suhteen. Saman kokonaismassan samalle aineelle ollessa kyseessä, kummassa tapauksessa on suurempi hitausmomentti: (a) massa on pallon muodossa vai (b) massa on ohuen levyn muodossa? Kaavan 9.6 avulla voidaan laskea hitausmomentti jatkuvasti jakautuneelle massalle. Eri kappaleille laskettuja hitausmomentteja on taulukoitu, kts. oheinen taulukko.

LUKU 9. 78 JÄYKÄN KAPPALEEN PYÖRIMINEN Kappaleiden hitausmomentteja 1 I = 12 ML2 Sauva, akseli keskipisteen kautta I = 13 ML2 I = 3 Ma2 Sauva, akseli Suorakaiteen muotoinen ohut Suorakaiteen muotoinen ohut levy, toisen pään kautta levy, akseli keskipisteen kautta akseli toisen sivun suuntainen 1 I = 1 M(R12 + R22) 2 Ontto sylinteri, akseli kp:n kautta 1 1 I = 12 M(a2 + b2) I = 2 MR2 Umpisylinteri, akseli kp:n kautta I = 25 MR2 I = MR2 Ohutseinäinen sylinteri, akseli kp:n kautta Ohutseinäinen ontto Umpipallo, akseli kp:n kautta pallo, akseli kp:n kautta Jäykän kappaleen pyörimisliikkeen kineettinen energia K= 1 2 Iω 2 2 I = 3 MR2 K on siis. Kappaleen hitausmomentti on pyörimisliikkeessä etenevän liikkeen massaa vastaavassa asemassa, vrt. K = 1/2 mv 2 ja K = 1/2 Iω 2. Siten se on myös pyörimisliikkeen hitautta eli inertiaa kuvaava suure. 9.5 Yhdensuuntaisten akselien teoreema (Steinerin sääntö) Tietyllä kappaleella voi olla äärettömän monta hitausmomenttia, koska kappaleessa voi olla äärettömän monta akselia, joiden ympäri se voi pyöriä. Olkoon kappaleen, M, hitausmomentti massakeskipisteen kautta kulkevan akselin läpi Icm. Tällöin voidaan laskea hitausmomentti Ip minkä tahansa muun yhdensuuntaisen akselin kanssa, joka on on etäisyydellä d alkuperäisestä akselista jonka massa on

LUKU 9. JÄYKÄN KAPPALEEN PYÖRIMINEN 79 I p Icm yhdensuuntaisten akselien teoreeman (parallel axis theorem) eli Steinerin säännön avulla: d I p = I cm + Md 2. Kuten yo. kaavasta havaitaan, kappaleella on pienempi hitausmomentti massakeskipisteen kautta kulkevalla akselilla kuin millään muulla samansuuntaisella akselilla. 9.6 Hitausmomentti jatkuvasti jakautuneelle massalle Kun halutaan laskea hitausmomentti jatkuvasti jakautuneen massan tapauksessa, tulee kaavan 9.20 summasta integraali. Kappale voidaan kuvitella jaetuiksi pieniin massaelementteihin dm, joiden etäisyys pyörimisakselista on r (muuttuja). Tällöin kaavan 9.20 mukaan I = r 2 dm. Jotta integraali voidaan laskea, täytyy r ja dm lausua saman integrointimuuttujan avulla, joka voi olla esim. pituus-, pinta-ala- tai tilavuuselementti.

Luku 10 Pyörimisliikkeen dynamiikka Johdanto Tässä luvussa tarkastellaan pyörimisliikkeen dynamiikkaa ja tutustutaan tärkeään säilymislakiin, liikemäärämomentin säilymiseen. 10.1 Voiman momentti eli vääntömomentti Kappaleen lähteminen pyörimään tai sen pyörimisessä tapahtuvat muutokset pyörimisen hidastuminen tai nopeutuminen johtuvat kappaleeseen kohdistuvasta voimasta. F Voiman F pyrkimys kiertää kappaletta pisteen O suhteen on suoraan verrannollinen voiman suuruuteen F. Se myös riippuu voiman vaikutussuunnan ja pisteen O välisestä kohtisuorasta etäisyydestä r, mitä kutsutaan vipuvarreksi (lever arm tai moment arm). O r r φ F φ F Määrittelemme voiman momentin eli vääntömomentin (torque) τ pisteen 80

LUKU 10. PYÖRIMISLIIKKEEN DYNAMIIKKA 81 O suhteen seuraavasti τ = r F = rf = rf sin φ. (10.1) Momentin SI-yksikkö on Nm. Se on sama kuin energian yksikkö, mutta momentti ei ole kuitenkaan energiasuure. Momentti on dynamiikassa voiman luonteinen suure ja vektori, kun taas energia on skalaari. Yhtälö 10.1 voidaan ilmaista vektoriyhtälönä seuraavasti τ = r F. (10.2) Huomaa, että vääntömomentti on kohtisuorassa sekä vektoreita F että r vastaan. Jos F ja r sijaitsevat pyörimistasossa, τ on pyörimisakselin suuntainen ja sen suunta saadaan oikean käden säännön mukaan. Tässä luvussa käsiteltävissä tilanteissa vääntömomenttia ei tarvitse käsitellä vektorina valitsemalla positiivinen kiertosuunta. Kun vääntömomentti aiheuttaa kiertymisen positiiviseen kiertosuuntaan (ω > 0), myöskin vääntömomentti τ > 0. τ > 0 τ τ < 0 O r O r F + F + τ ω > 0

LUKU 10. PYÖRIMISLIIKKEEN DYNAMIIKKA 82 10.2 Jäykän kappaleen pyöriminen vääntömomentin vaikutuksesta z Tarkastellaan kiinteästä z-akselista etäisyydellä r olevaa massapistettä m, johon vaikuttaa voima F. Voiman momentti z-akselin suhteen on τ z = F r. Jos massapiste voi liikkua vain ympyrärataa akselin ympäri, saa se ratakiihtyvyyden a = rα z, joten O r m F F Siten F = ma = mrα z. (10.3) τ z = F r = mr 2 α z. (10.4) Koska massapisteen hitausmomentti z-akselin suhteen on saadaan I = mr 2, (10.5) τ z = Iα z. (10.6) Tämä voidaan yleistää koskemaan myös jäykkää kappaletta (eikä ainoastaan yhtä massapistettä), jolloin alla olevassa yhtälössä Στ z on kappaleeseen vaikuttavien ulkoisten momenttien summa ja I on kappaleen hitausmomentti Στ z = Iα z. (10.7) Saatu tulos on dynamiikan peruslaki pyörimisliikkeelle vastaten etenevän liikkeen yhtälöä Σ F = m a. Se pätee, paitsi kappaleen pyörimisliikkeessä kiinteän akselin ympäri, myös pyörimisliikkeessä massakeskipisteen kautta kulkevan akselin ympäri, vaikka massakeskipiste olisi samalla etenevässä liikkeessä.

LUKU 10. PYÖRIMISLIIKKEEN DYNAMIIKKA 83 Pyörimisliikkeen dynamiikan tehtävien ratkaisuohjeet: 1. Piirrä hyvä kuva ja valitse kappale tai kappaleet, joita tarkastelet. 2. Merkitse kuvaan kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat. 3. Valitse kullekin kappaleelle koordinaatisto ja MERKITSE POSITIIVINEN PYÖ- RIMISSUUNTA kullekin kappaleelle. Jos tiedät etukäteen, mihin suuntaan kappale pyörii, valitse ko. suunta positiiviseksi. 4. Sovella Newtonin 2. lakia etenevään liikkeeseen ( F = m a) ja pyörimislikkeen dynamiikan peruslakia (τ z = Iα z ) pyörimisliikkeeseen. Usein tarvitset myös kaavaa τ = r F. 5. Kappaleiden välinen liike voi olla kytkeytynyttä: kirjoita tällöin sopiva yhtälö (esim. a = rα) näkyviin. 6. Arvioi tuloksia: (a) tarkista merkit (b) tarkista yksiköt, muista että 1 Nm = 1 kg m 2 /s 2 (c) arvioi suuruusluokkia 10.3 Jäykän kappaleen pyöriminen liikkuvan akselin ympäri Voidaan osoittaa, että jäykän kappaleen liike voidaan aina jakaa massakeskipisteen etenevään liikkeeseen ja pyörimisliikkeeseen massakeskipisteen ympäri. Tällaisessa tapauksessa kappaleen kineettinen kokonaisenergia on summa massakeskipisteen etenevän liikkeen ja pyörimisliikkeen massakeskipisteen ympäri kineettisestä energiasta K = 1 2 Mv2 cm + 1 2 I cmω 2. (10.8)

LUKU 10. PYÖRIMISLIIKKEEN DYNAMIIKKA 84 VIERIMINEN ILMAN LIUKUMISTA Tärkeä erikoistapaus yhdistetystä etenemis- ja pyörimisliikkeestä on vieriminen ilman liukumista (rolling without slipping). Tarkasteltava kappale voi olla esim. rengas tai pallo, jonka säde on R. Yhden kierähdyksen aikana rengas etenee kehänsä pituuden verran, 2πR ja siihen kuluu aikaa T = 2π/ω, missä ω on kappaleen kulmanopeus. Tällöin massakeskipisteen nopeus maan suhteen on v cm = 2πR/T = Rω. (10.9) R v cm v cm 2πR Toisaalta tiedetään yhtälön 9.15 perusteella, että renkaan reunalla pyörimisliikkeeseen nopeus pyörimisakselin suhteen on v = Rω. (10.10) Kun tarkastellaan jonkin renkaan reunalla olevan pisteen nopeutta maahan sidotussa koordinaatistossa, täytyy laskea yhteen massakeskipisteen nopeus v cm ja pisteen nopeus massakeskipisteen suhteen v (Galilein nopeusmuunnos, kaava 3.29): v = v cm + v. (10.11)

LUKU 10. PYÖRIMISLIIKKEEN DYNAMIIKKA 85 Pyörän ylimmässä kohdassa vektorit ovat samansuuntaiset jolloin v = 2ωR, kun taas siinä pisteessä, joka koskettaa maahan, nopeusvektorit ovat vastakkaissuuntaisia ja nopeus on hetkellisesti nolla. Kun yhtälö 10.9 derivoidaan ajan suhteen, saadaan a cm = Rα, (10.12) missä α on kappaleen kulmakiihtyvyys. YHDISTETYN PYÖRIMISLIIKKEEN JA ETENEVÄN LIIKKEEN DYNAMIIKKA Kun kappale on sekä etenevässä liikkeessä että pyörii, sen massakeskipisteeseen voidaan soveltaa kappaleessa 8.6 esitettyä kaavaa Σ F ext = M a cm, (10.13) missä Σ F ext on ulkoisten voimien vektorisumma, M on kappaleen kokonaismassa ja a cm on massakeskipisteen kiihtyvyys. Pyörimisliikkeeseen voidaan soveltaa kaavaa 10.7, kun pyörimisliikkeen kiinteä akseli (z-akseli), joka kulkee massakeskipisteen läpi, on symmetria-akseli. Tällöin Στ z = I cm α z, (10.14) missä Στ z on ulkoisten vääntömomenttien summa ja I cm on hitausmomentti massakeskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen; α z on kulmakiihtyvyys. VIERIMISKITKA Jos sekä vierivä kappale että pinta, jota pitkin vieriminen tapahtuu, ovat jäykkiä kappaleita, voidaan vierimiskitka jättää huomiotta. (Sen sijaan vierimiseen tarvitaan aina staattista kitkaa). Vierimiskitka aiheutuu siitä, että pinta kappaleen edessä muotoutuu, jolloin normaalivoiman vääntömomentti pyrkii vastustamaan pyörimistä. Lisäksi muotoutuneen pinnan kohdalla rengas liukuu hiukan. Nämä kaksi seikkaa aiheuttavat vierimiskitkan (rolling friction). Myöskin vierivä kappale (esim. auton rengas) voi olla muotoutuva, mikä aiheuttaa vierimiskitkaa.

LUKU 10. PYÖRIMISLIIKKEEN DYNAMIIKKA 86 10.4 Pyörimisliikkeen työ ja teho ds F tan Oletetaan, että tangentiaalinen voima F tan vaikuttaa horisontaalitasossa pyörivään levyyn, jonka säde on R. Levy pyörii innitesimaalisen kulman dθ ajassa dt, jolloin tietty piste levyn kehällä pyörii matkan ds = Rdθ. Työ, jonka tangentiaalinen voima tekee, on tällöin R dθ z dw = F tan ds = F tan Rdθ. (10.15) Koska tulo F tan R on voiman F tan aiheuttama vääntömomentti τ z, on dw = τ z dθ. (10.16) Kokonaistyö, jonka vääntömomentti τ z tekee kääntäessään levyä kulmasta θ 1 kulmaan θ 2 on tällöin W = θ 2 θ 1 τ z dθ. (10.17) Jos vääntömomentti τ on vakio kulmamuutoksen θ = θ 2 θ 1 aikana, saadaan W = τ z (θ 2 θ 1 ) = τ z θ. (10.18) Yhtälö 10.17 on analoginen etenevän liikkeen yhtälön W = F dx kanssa ja yhtälö 10.18 yhtälön W = F s kanssa.

LUKU 10. PYÖRIMISLIIKKEEN DYNAMIIKKA 87 Kun vääntömomentti tekee työtä pyörivään jäykkään kappaleeseen, sen kineettinen energia muuttuu (vrt. työ-energia teoreema kappaleessa 6). Jos kappaleen kulmanopeus alussa on ω 1 ja työn tekemisen jälkeen ω 2, saamme W tot = 1 2 Iω2 2 1 2 Iω2 1. (10.19) Tämä voidaan todistaa seuraavasti: dw W = = τ z dθ = Iα z dθ = I dω z dt dθ dθ = Idω z dt = Idω zω z dw = ω 2 ω 1 = I 1 2 ω2 2 I 1 2 ω2 1 Iω z dω z = I ω 2 1 / ω 1 2 ω2 z Työhön liittyvä teho P saadaan ottamalla aikaderivaatta yhtälön 10.16 molemmista puolista, jolloin dw dt = τ dθ z dt = τ zω z. (10.20) Siis P = τ z ω z. (10.21) Yhtälö on samaa muotoa kuin yhtälö P = F v etenevälle liikkeelle. 10.5 Liikemäärämomentti Etenevälle liikkeelle olemme määritelleet liikemäärän p (momentum), jota joskus kutsutaan myös nimellä lineaarinen liikemäärä (linear momentum). Pyörimisliikkeelle määrittelemme liikemäärämomentin L. Se määritellään samaan tapaan kuten voiman momentti τ = r F. Hiukkaselle, jonka massa on m, nopeus v, liikemäärä p = m v ja paikkavektori r suhteessa inertiaalikoordinaatiston origoon O, liikemäärämomentti (angular momentum) L on

LUKU 10. PYÖRIMISLIIKKEEN DYNAMIIKKA 88 L = r p = r m v. (10.22) Huom: liikemäärämomenttia kutsutaan toisinaan myös pyörimismääräksi tai impulssimomentiksi. Liikemäärämomentti riippuu origon O valinnasta, koska määritelmä sisältää paikkavektorin r origosta. Liikemäärämomentin yksikkö on kgm 2 /s. ω L Jos esim. r ja v ovat xy-tasossa, L on z-akselin suunnassa (joko positiiviseen tai negatiiviseen suuntaan) ja sen suuruus on O r m mv Oheisessa kuvassa φ = 90, jolloin r sin φ = r. L = rmv sin φ = mvr. (10.23) Kun voima F vaikuttaa kappaleeseen, sen nopeus ja liikemäärä muuttuvat, jolloin myös liikemäärämomentti voi muuttua. Liikemäärän aikaderivaatta tuottaa: d L dt = d ( r m v) = (d r m v) + ( r md v dt dt dt ) = ( v m v) + ( r m a) = 0 + ( r F ) = τ Siis liikemäärämomentin muutosnopeus on yhtäsuuri kuin siihen vaikuttava vääntömomentti, Σ τ = d L dt. (10.24) Tämä yhtälö vastaa etenevän liikkeen yhtälöä Σ F = d p/dt.

LUKU 10. PYÖRIMISLIIKKEEN DYNAMIIKKA 89 Kaavasta 10.23 saadaan ympyräradalla (säde R) olevan hiukkasen liikemäärämomentiksi ympyrän keskipisteen suhteen L = mvr = m(rω)r = mr 2 ω = Iω. (10.25) z Jäykän kappaleen liikemäärämomentti voidaan johtaa kaavan 10.25 avulla, kun jäykkä kappale pyörii symmetria-akselinsa ympäri. Tällöin ω L L= Ιω L = I ω, (10.26) missä I on kappaleen hitausmomentti pyörimisakselinsa (symmetria-akselin) suhteen. Nyt vektorit ω ja L ovat samansuuntaisia ja pyörimisakselin suuntaisia. Niiden suunta saadaan oikean käden säännön avulla (kun sormet osoittavat pyörimissuuntaan, peukalo osoittaa ω tai L vektorin suunnan). Kun pyörimisakseli ei ole symmetria-akseli, liikemäärämomentti L ei ole yleensä pyörimisakselin suuntainen, vaan se tekee kartioliikettä pyörimisakselin ympäri. Massapistejoukon etenevän liikkeen tarkastelussa todettiin, että joukon sisäiset voimat eivät vaikuta koko systeemin massakeskipisteen dynamiikkaan, vaan ainoastaan ulkoiset voimat. Sama pätee myös pyörimisliikkeen dynamiikkaan ja yhtälö 10.24 voidaan kirjoittaa koko massapistejoukolle muodossa L= Ιω Σ τ ext = d L dt ω L. (10.27) missä on Σ τ ext massapisteisiin vaikuttavien ulkoisten vääntömomenttien summa ja L on massapisteiden liikemäärämomenttien summa. Hiukkasjoukon kokonaisliikemäärämomentin muutos on sama kuin hiukkasiin vaikuttavien ulkoisten voimien momenttien summa.

LUKU 10. PYÖRIMISLIIKKEEN DYNAMIIKKA 90 10.6 Liikemäärämomentin säilyminen = d L/dt, voidaan päätellä liikemäärämo- Koska kaavan 10.27 mukaan Σ τ ext mentin säilymislaki: Jos Σ τ ext = 0, niin L = vakio.. (10.28) eli kun systeemiin vaikuttavien ulkoisten voimien momenttien summa on nolla, niin systeemin liikemäärämomentti säilyy vakiona. Liikemäärämomentin säilymislaki on jälleen analoginen etenevän liikkeen liikemäärän säilymislain kanssa. Huomaa erityisesti tämän lain yleisyys: Se on voimassa kaikenlaisille massajakautumille (niin massapistejoukolle kuin jäykälle kappaleellekin) ja myös hitausmomentin muuttuessa. Huomaa kuitenkin, että esim. massapistejoukossa yksittäisten kappaleiden liikemäärämomentit eivät ole välttämättä vakioita, vaan liikemäärämomentti voi tavallaan järjestäytyä uudelleen joukon sisällä. Esimerkiksi, jos L z = Iω z on vakio (ulkoisten voimien momenttien summa on nolla) ja hitausmomentti muuttuu, niin I 1 ω 1z = I 2 ω 2z. (10.29) Kaavan ilmaisemaa lainalaisuutta hyödyntävät esim. piruettia tekevät taitoluistelijat.

LUKU 10. PYÖRIMISLIIKKEEN DYNAMIIKKA 91 SUORAVIIVAINEN LIIKE massa m (lineaarinen) nopeus v v = rω tangentiaalinen kiihtyvyys a tan a tan = rα paikka x = x 0 + v 0 t + 1 2 at2 kineettinen energia K = 1 2 mv2 voima F dynamiikan perusyhtälö Σ F = m a liikemäärä p p = m v dynamiikan perusyhtälö Σ F = d p/dt liikemäärän säilyminen Σ F ext = 0 p= vakio PYÖRIMISLIIKE hitausmomentti I I = mr 2 kulmanopeus ω kulmakiihtyvyys α kulma (asento) θ = θ 0 + ω 0 t + 1 2 αt2 kineettinen energia K = 1 2 Iω2 voiman momentti τ τ = r F τ = r F = rf = rf sin φ dynamiikan perusyhtälö pyörimisliikkeelle Στ z = Iα z liikemäärämomentti L L = r p L = I ω, kun pyörimisakseli= symmetria-akseli dynamiikan perusyhtälö pyörimisliikkeelle Σ τ = d L/dt pyörimisliikemäärän säilyminen Σ τ ext = 0 L= vakio

Luku 11 Tasapaino ja kimmoisuus Johdanto Tässä luvussa tarkastelemme jäykän kappaleen tasapainoehtoja ja tutustumme lyhyesti kappaleisiin, jotka eivät ole jäykkiä esittelemällä kimmokertoimen. 11.1 Jäykän kappaleen tasapainoehdot Jäykän kappaleen sanotaan olevan tasapainossa (equilibrium), jos seuraavat kaksi ehtoa ovat molemmat voimassa: 1. kappaleen massakeskipisteen kiihtyvyys on nolla ja 2. kappaleen kulmakiihtyvyys minkä tahansa akselin suhteen on nolla. Tasapainossa oleva kappale voi siis liikkua tasaisella nopeudella tai pyöriä vakiokulmanopeudella. Jos myös nämä nopeudet ovat nollia, niin kappaleen sanotaan olevan staattisessa tasapainossa. 92

LUKU 11. TASAPAINO JA KIMMOISUUS 93 Tasapainossa olevan kappaleen massakeskipiste ei ole kiihtyvässä liikkeessä, jolloin ulkoisten voimien vektorisumman minkä tahansa pisteen suhteen täytyy hävitä eli ΣF x = 0, ΣF y = 0, ΣF z = 0. (11.1) Tämä on ns. ensimmäinen tasapainoehto. Jos kappaleella ei ole kulmakiihtyvyyksiä minkään akselin suhteen, täytyy kaikkien ulkoisten voimien momenttien vektorisumman myös hävitä τ = 0, (11.2) tämä on toinen tasapainoehto. 11.2 Painopiste Maan vetovoima vaikuttaa kappaleen jokaiseen massaelementtiin. Painovoiman kappaleeseen aiheuttamaa vääntömomenttia laskettaessa painovoima voidaan ajatella kohdistuvaksi pisteeseen, jota kutsutaan kappaleen painopisteeksi eli gravitaatiokeskipisteeksi (center of gravity, cg). Gravitaatiovuorovaikutukseen liittyvä kiihtyvyys g muuttuu maasta mitatun etäisyyden funktiona (kts. luku 12). Käytännössä kappaleiden korkeus on kuitenkin niin pieni, että g voidaan ajatella vakioksi kappaleen eri osissa. Johdetaan seuraavaksi lauseke painovoiman aiheuttamalle vääntömomentille. Ajatellaan nyt mielivaltaisen muotoisen kappaleen muodostuvan partikkeleista. Tarkastellaan yhtä partikkelia, jonka massa on m i ja jolle paikkavektori on r i. Partikkeliin kohdistuva painovoima on w = m i g ja vääntömomentti vapaasti sijoitetun origon O suhteen on τ i = r i w i = r i m i g. Kappaleeseen kohdistuva kokonaisvääntömomentti on τ = τ i = r 1 m 1 g + r 2 m 2 g +... = (m 1 r 1 + m 2 r 2 +...) g = ( i m i r i ) g

LUKU 11. TASAPAINO JA KIMMOISUUS 94 Kerrotaan ja jaetaan tämä kappaleen kokonaismassalla M = m 1 + m 2 +... = i m i, jolloin τ = m 1 r 1 + m 2 r 2 +... m 1 + m 2 +... M g = i m i r i i m i M g, missä ensimmäinen termi on massakeskipisteen paikkavektorin r cm määritelmä ja M g on kappaleen paino w, joten τ = r cm M g = r cm w. (11.3) Gravitaation aiheuttama vääntömomentti voidaan laskea laittamalla kappaleen kokonaispaino w vaikuttamaan kappaleen massakeskipisteeseen r cm. Jos g:llä on sama arvo kappaleen kaikissa pisteissä (kuten yllä on oletettu), massakeskipiste ja painopiste yhtyvät. Jatkossa, ellei toisin mainita, painopiste ja massakeskipiste oletetaan identtisiksi. Massakeskipiste voitiin laskea yhtälöillä 8.26 ja 8.27. Kaavasta 11.3 nähdään myös, että gravitaatiovoiman aiheuttama vääntömomentti kappaleen painopisteen suhteen häviää (koska tällöin r cm = 0). Symmetriselle kappaleelle painopiste on kappaleen geometrinen keskipiste. Epäsymmetriselle kappaleelle painopiste voidaan määrittää esim. ripustamalla se eri kohdista roikkumaan ja määrittämällä pystysuorien viivojen leikkauspiste, sillä tasapainossa olevan kappaleen painopiste sijaitsee suoraan ripustuspisteen alapuolella. Vastaavasti kahdesta pisteestään ripustetun tai tuetun tasapainossa olevan kappaleen painopiste on näiden pisteiden kautta kulkevien pystysuorien välissä.

LUKU 11. TASAPAINO JA KIMMOISUUS 95 11.3 Jäykän kappaleen tasapaino-ongelmat Tasapainotehtävien ratkaisuohjeet: 1. Piirrä hyvä kuva ja valitse kappale tai kappaleet, joita tarkastelet. 2. Merkitse kuvaan oikeisiin kohtiin kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat. 3. Valitse kullekin kappaleelle koordinaatisto ja merkitse positiivinen pyörimissuunta kullekin kappaleelle. 4. Valitse pisteet, joiden suhteen lasket vääntömomentit. Valitse pisteitä, joden kautta voimien vaikutussuorat kulkevat, sillä näiden pisteiden kautta kulkeva vääntömomentti on nolla. 5. Kirjoita näkyviin tasapainoehdot. 6. Varmista, että sinulla on riittävä määrä yhtälöitä: yksi yhtälö jokaista tuntematonta muuttujaa kohti. 11.4 Jännitys, suhteellinen venymä ja kimmokerroin Kiinteä aine voi muuttaa muotoaan ulkoisten voimien vaikutuksen alaisena. Jos kappale palaa alkuperäiseen muotoonsa voiman vaikutuksen lakattua, on kappale kimmoinen, esim. jousi. Kun ulkoista voimaa (esim. pinta-alaa kohti) sanotaanjännitykseksi (stress) ja suhteellista muodon muutosta suhteelliseksi venymäksi (strain), määritellään kimmokerroin yleisesti muodossa kimmokerroin = jännitys suhteellinen venymä, (11.4) mikä tunnetaan nimellä Hooken laki. Youngin moduli on tavallisin kimmokertoimista ja sille käytetään siksi myös pelkkää kimmokerroin-nimeä. Se kuvaa kappaleen, esim. tangon venymistä tai puristumista. Määritellään nyt jännitys (tensile stress) σ = F A, (11.5)

LUKU 11. TASAPAINO JA KIMMOISUUS 96 missä F on tangon päähän kohdistuva voima (huom. skalaari!) ja A on tangon poikkileikkauksen pinta-ala. Huomaa, että aiemmin olemme puhuneet köyden jännityksestä T (tension), jota olemme käyttäneet voiman tapaan ja jonka yksikkö on N. Sen sijaan kaavan 11.5 jännitys on voima pinta-alaa kohti ja sen yksikkö on 1 pascal= 1 Pa= 1 N/m 2. Suhteellinen venymä (tensile strain) on ɛ = l l, (11.6) missä l on tangon alkuperäinen pituus ja l pituuden muutos. Kokeellisesti on voitu havaita, että tarpeeksi pienillä jännityksen arvoilla jännityksen ja suhteellisen venymän suhde on aineelle vakio ja sitä kutsutaan nimellä Youngin moduli (Young's modulus) Y = σ ɛ = F A l l. (11.7) Myös Youngin modulin yksiköksi tulee Pa. Materiaali, jolla on iso Y on lähes venymätön (esim. teräs 2 10 11 Pa ja kumi 5 10 8 Pa). Muita kimmokertoimia ovat mm. leikkausmoduli (shear modulus) ja puristusmoduli (bulk modulus).

Luku 12 Nesteiden ja kaasujen mekaniikka Johdanto Englanninkielessä on termi uid, joka tarkoittaa sekä nesteitä että kaasuja. Oleellista on että molemmat voivat virrata. Kaasua voidaan yleensä puristaa helposti kokoon kun taas neste on lähes kokoonpuristumatonta. Tässä kappaleessa tarkastellaan nesteiden ja kaasujen statiikkaa ja dynamiikkaa. Jotta välttyisimme toistamasta ilmaisua "neste tai kaasu", puhumme seuraavassa yleensä vain nesteestä tarkoittaen kumpaakin. 12.1 Tiheys Kullekin aineelle voidaan määrittää tiheys (density) ρ, ρ = m V, (12.1) missä m on massa ja V tilavuus. Homogeenisella aineella tiheys on vakio, mutta joskus tiheys voi vaihdella paikan funktiona (esim. ilman tiheys pienenee ylöspäin mentäessä), jolloin kaava 12.1 määrittää keskimääräisen tiheyden. Tiheys riippuu yleisesti lämpötilasta ja paineesta. Tiheyden SI-yksikkö on 1 kg/m 3. Koska 1 l= 1 dm 3 ja litra vettä painaa 1 kg, on veden tiheys 1.00 10 3 kg/m 3. Esim. raudan tiheys on 7.8 10 3 kg/m 3 ja ilman tiheys (20 C) 1.20 kg/m 3. Tiheyksiä 97

LUKU 12. NESTEIDEN JA KAASUJEN MEKANIIKKA 98 ilmoitetaan usein myös yksiköissä g/cm 3, muuntokerroin on tällöin tietenkin 1000: veden tiheys on 1.00 g/cm 3. Ominaispaino (specic gravity) on aineen tiheyden suhde veden tiheyteen 4 C lämpötilassa. Maapallon keskitiheys on n. 5500 kg/m 3. Koska esimerkiksi graniitin tiheys on n. 2700 kg/m 3, niin voimme päätellä Maan keskiosien tiheyden olevan huomattavasti suurempi. Maan ytimen tiheys voi olla jopa 13 000 kg/m 3. Entäpä muualla maailmankaikkeudessa? Jos puhutaan tavallisesta aineesta, niin maailmankaikkeudessa on ainoastaan n. 1 protoni neljässä kuutiometrissä, 4 5 10 28 kg/m 3. Tähän verrattuna maailmankaikkeudessa on noin viisinkertainen määrä pimeää materiaa, joka voi olla esimerkiksi eksoottisia hiukkasia. Toisessa suunnassa ääripää löytyy neutronitähtien keskustoista, joissa tiheys voi saavuttaa arvon 10 18 kg/m 3. 12.2 Paine Kun neste tai kaasu on levossa, se kohdistaa kohtisuoran voiman mitä tahansa pintaa vastaan, joka on nesteessä tai kaasussa. Voima aiheutuu neste- tai kaasumolekyylien törmäyksistä pintaa vastaan. Jos tarkastelemme kuvitteellista pintaa nesteessä, neste kohdistaa yhtäsuuren, mutta vastakkaissuuntaisen voiman pintaan eri puolilta. OlkoondA pieni pintaelementti ja kohtisuora (normaali)voima df. Paine (pressure) p määritellään normaalivoimaksi yksikköpinta-alaa kohti p = df da. (12.2) Jos paine on sama koko pinnan alueella A, on p = F A. (12.3) Paineen SI-yksikkö on pascal (Pa), 1 Pa= 1 N/m 2. Käytössä on myös yksikkö bar, 1 bar=10 5 Pa ja millibar, 1 mbar=100 Pa.

LUKU 12. NESTEIDEN JA KAASUJEN MEKANIIKKA 99 Ilmanpaine on ilmakehän paine maan pinnalla. Se aiheutuu ilmakehän painosta maan vetovoimakentässä. Ilmanpaine vaihtelee sään ja korkeuden mukana. Normaaliilmakehän paine meren pinnalla on määritelty tarkasti arvoksi 101 325 Pa ja 1 atm = 1.013 10 5 Pa = 1013 mbar. HYDROSTAATTINEN PAINE JA PASCALIN LAKI Jos nesteen paino voidaan jättää huomiotta, nesteen paine on sama koko tilavuudessa. Useimmiten tilanne ei ole tämä. F ylä = (p + dp)a y A dy y+dy y F ala = pa dw=ρgady Tarkastellaan tilannetta, jossa tiheys ρ ja maan vetovoiman kiihtyvyys g ovat vakioita nesteessä. Neste (ja sen jokainen elementti) on tasapainossa. Tarkastellaan ohutta elementtiä, jonka paksuus on dy ja jonka pinta-ala on A. Elementin alaosan korkeus astian pohjasta on y ja yläpinnan korkeus on y + dy. Elementin tilavuus on dv = Ady, massa dm = ρady ja paino dw = dmg = ρgady. Neste-elementin alapinnalla olkoon paine p ja yläpinnalla paine p + dp. Koska neste-elementti on tasapainossa, paineen ja painon aiheuttamien y-suuntaisten voimien summa on nolla: pa (p + dp)a ρgady = 0, josta saadaan dp = ρg. (12.4) dy

LUKU 12. NESTEIDEN JA KAASUJEN MEKANIIKKA 100 Yhtälön mukaan ylöspäin mentäessä paine pienenee (miinusmerkki). Kun merkitään painetta nesteen pinnalla p 0 ja painetta syvyydellä h pinnan alapuolella p, saamme edellisen yhtälön ratkaisuksi p = p 0 + ρgh. (12.5) Siis nesteen omasta painosta aiheutuva paine syvyydellä h on ρgh, joka on yhtäsuuri joka suuntaan. Tätä sanotaan hydrostaattiseksi paineeksi ja se esiintyy nesteillä ja kaasuilla. Staattisessa tilanteessa siis paine nesteessä samalla korkeudella/syvyydellä on kaikkialla sama. p o h p= p o + ρgh sama p Kaavan 12.5 mukaan paineen p 0 kasvaessa nesteen pinnalla myös paine p millä tahansa korkeudella kasvaa samalla määrällä. Tämän havaitsi jo 1653 ranskalainen tutkija ja loso Blaise Pascal. Pascalin laki kuuluu: Suljetussa astiassa olevaan nesteeseen kohdistuva ulkoinen paine vaikuttaa saman suuruisena kaikkialla nesteessä ja kaikkiin astian seinämiin. Tämän periaatteen soveltamiseen perustuu esim. hydraulinen nosturi (tunkki), kts. kuva.

LUKU 12. NESTEIDEN JA KAASUJEN MEKANIIKKA 101 Paine p vaikuttaa suurempaan pintaalaan A2 ja tuottaa voiman pa2 (=F2), joka on suurempi kuin voima F1. ABSOLUUTTINEN PAINE, MITTAPAINE JA PAINEMITTARIT Ns. tyhjässäkin autonrenkaassa on tavallisesti ilmaa. Tällöin siellä on myös ilmanpainetta. Jos renkaan venttiili on auki, renkaan paine on yhtä suuri kuin ulkoilmanpaine eli noin 1 atm. Renkaaseen laitetaan tavallisesti n. 2 atm ylipainetta ulkoilmanpaineeseen nähden. Tätä kutsutaan myös nimellä mittapaine (gauge pressure) ja kaavassa 12.5 se vastaa termiä p p 0. Tällöin renkaan absoluuttinen paine on n. 3 atm. Jos renkaan absoluuttinen paine on pienempi kuin ulkoilmanpaine, renkaassa sanotaan olevan osittainen tyhjiö ja sen mittapaine on negatiivinen. Kaasun paineen mittaamiseen voidaan käyttää esim. manometriä, jossa käytetään hyväksi nesteen tunnettua tiheyttä ja yhtälöä 12.5. Tällä tavoin saadaan mitatuksi kaasun paine ympäröivän ilmakehän paineen suhteen (mittapaine). Ilmanpaine voidaan taas mitata barometrillä, joka on tunnetulla nesteellä täytetty ylösalaisin oleva ja yläpäästään suljettu putki. Paineen mittauksessa käytetään tunnettuna nesteenä usein elohopeaa Hg (ρ Hg = 13.6 10 3 kg/m 3 ), ja sen avulla määritelläänkin eräs paineen yksikkö, 1 torri = 1 mmhg eli elohopeamillimetri. Edelleen 760 torria = 1 atm = 101.3 kpa eli normaaliilmakehä.

LUKU 12. NESTEIDEN JA KAASUJEN MEKANIIKKA 102 12.3 Noste ja Arkhimedeen periaate Kokonaan tai osaksi nesteeseen (tai kaasuun) upotettuun kappaleeseen kohdistuu nesteen paineen aiheuttamia voimia. Koska paine syvemmällä on suurempi, kappaleeseen kohdistuva nettovoima on ylöspäin. Tämä voima on noste (buoyancy). Nosteen suuruus voidaan päätellä siitä, että kappaleen syrjäyttämä neste oli tasapainossa. Arkhimedeen periaate sanoo: Nesteessä tai kaasussa olevaan kappaleeseen vaikuttaa noste, joka on yhtä suuri kuin kappaleen syrjäyttämän neste- tai kaasumäärän paino. Nosteen suunta on ylöspäin ja vaikutuspiste on kappaleen syrjäyttämän nesteen painopiste. Kaavana ilmaistuna Arkhimedeen periaate kuuluu: F B = ρ f V g. (12.6) missä F B on nostevoima, ρ f on nesteen tiheys ja V on kappaleen syrjäyttämän nesteen tilavuus. Kappaleen näennäinen paino nesteessä on kappaleen todellinen paino miinus nostevoima. Jos kappale kelluu, sen paino on yhtäsuuri kuin nostevoima ja näennäinen paino on tällöin nolla. kg Arkhimedeen periaate: Nostevoima on yhtä suuri kuin kappaleen syrjäyttämän vesimäärän paino kg T T=w T+F B =w => T=w-F B w T F B w 3 kg vettä F B = 3 kg 9,80 m/s 2 = 29,4 N

LUKU 12. NESTEIDEN JA KAASUJEN MEKANIIKKA 103 12.4 Pintajännitys (Pertti Rautiainen) Veden pinnalla seisovan vesimittarin tai muun hyönteisen/hämähäkin jalka painaa kalvomaista vedenpintaa kuopalle, mutta jalka ei mene läpi veden pinnasta. Ilmiö johtuu veden pintajännityksestä (surface tension). Vedessä olevat molekyylit vetävät toisiaan puoleensa ja veden sisässä olevaan molekyyliin ei kohdistu nettovoimaa, mutta pinnalla oleviin molekyyleihin kohdistuu alaspäin suuntautuva nettovoima. Tämän vuoksi neste pyrkii minimoimaan pinta-alansa. Vapaasti putoava vesipisara ei ole pisaramainen vaan suunnilleen pallon muotoinen, koska pallon pinta-ala tiettyä tilavuutta kohti on pienin. Nestepintojen kaareutuminen astian reunoilla johtuu koheesiovoiman (saman aineen molekyylien välinen vetovoima) ja adheesiovoiman (eri aineiden molekyylien välinen vetovoima) yhteisvaikutuksesta. Jos nesteen ja astian seinämän välinen adheesio on nesteen koheesiota voimakkaampi, neste kiipeää seinämää ylöspäin ja sen pinta kaartuu ylöspäin. Kun koheesio on adheesiota voimakkaampi, nesteen pinta kaartuu alaspäin. Sellaisella nesteellä, jonka pinta kaartuu ylöspäin, on taipumus nousta ylöspäin ohuessa putkessa. Tämä on ns. kapillaari-ilmiö.

LUKU 12. NESTEIDEN JA KAASUJEN MEKANIIKKA 104 12.5 Nesteen virtaus ja jatkuvuusyhtälö Ideaalinen neste on kokoonpuristumaton ja siinä ei esiinny sisäistä kitkaa, jota sanotaan myös viskositeetiksi. Sisäinen kitka johtuu nesteen osasten liikkeestä toistensa suhteen ja vuorovaikutuksesta liikkeen aikana. Virtaus voi olla laminaarista (pyörteetöntä) tai turbulenttia (pyörteistä). Stationäärisessä virtauksessa (steady ow) nesteen virtausnopeus on ajan suhteen vakio (vaikka se voi olla erilainen eri pisteissä). Yksittäisen nestehiukkasen rata on vuoviiva (ow line), kun taas virtausviiva (streamline) on käyrä, jonka tangentti kussakin pisteessä on nesteen nopeus ko. kohdassa. Stationäärisessä virtauksessa vuoviiva ja virtausviiva yhtyvät. Seuraavassa tarkastelemme vain stationääristä tilannetta. Virtausviivat, jotka kulkevat kuvitellun poikkipinnan läpi, muodostavat yhdessä vuoputken (ow tube). Vuoputkessa virtausviivat eivät leikkaa toisiaan eivätkä läpäise vuoputken seiniä. JATKUVUUSYHTÄLÖ Tarkastellaan vuoputkea kahden paikoillaan pysyvän poikkipinnan, A 1 ja A 2, välillä. Nesteen nopeudet näiden kohtien läpi ovat v 1 ja v 2. Pienellä aikavälillä dt pinnan A 1 läpi kulkeva neste etenee matkan v 1 dt, joten vuoputken sisään tulee nestemäärää, jonka tilavuus on dv 1 = A 1 v 1 dt. Samassa ajassa pinnan A 2 läpi poistuu nestemäärä dv 2 = A 2 v 2 dt. Oheisessa kuvassa aikaväli dt on korvattu hieman pidemmällä aikavälillä t. s 2 = v 2 t A 2 s 1 = v 1 t A 1 Sisään: V 1 = A 1 v 1 t Ulos: V 2 = A 2 v 2 t Jos neste on kokoonpuristumaton, sen tiheys ρ on vakio joka pisteessä. Tällöin pinnan A 1 läpi tulevan nestemäärän massa on dm 1 = ρa 1 v 1 dt ja pinnan A 2 läpi poistuvan nestemäärän massa on puolestaan

LUKU 12. NESTEIDEN JA KAASUJEN MEKANIIKKA 105 dm 2 = ρa 2 v 2 dt. Koska kokonaismassa vuoputkessa on vakio, täytyy dm 1 = dm 2, joten ρa 1 v 1 dt = ρa 2 v 2 dt ja A 1 v 1 = A 2 v 2. (12.7) Tämä on jatkuvuusyhtälö (continuity equation) kokoonpuristumattomalle nesteelle. Kokoonpuristumattoman nesteen virratessa (myös todellisessa putkessa) ohuemmasta kohdasta paksumpaan se hidastuu. Kaavaa johtaessa havaitsimme, että tulo Av on dv /dt eli nopeus millä nestetilavuus läpäisee putken poikkipinta-alan. Tätä kutsutaan nimellä tilavuusvirtausnopeus (volume ow rate) dv dt = Av (12.8) ja sen yksikkö on l/s tai m 3 /s. Jos nesteen tiheys ei ole vakio, vaan ρ 1 pinnan A 1 kohdalla ja ρ 2 pinnan A 2 kohdalla, tulee jatkuvuusyhtälöksi ρ 1 A 1 v 1 = ρ 2 A 2 v 2. (12.9) 12.6 Bernoullin yhtälö Tarkastellaan nyt ideaalinesteen laminaarista virtausta putkessa, jonka poikkileikkaus ja korkeus muuttuvat. Valitaan putkesta palanen vuoputkea, jonka toisen pään korkeus on y 1, poikkipinta-ala A 1, nesteen nopeus v 1 ja paine p 1. Vastaavat suureet putken toiselle päälle ovat y 2, A 2, v 2 ja p 2. A 2 p 2 y A 1 v 2 1 p 1 y 1 v 2

LUKU 12. NESTEIDEN JA KAASUJEN MEKANIIKKA 106 Vuoputken palaseen voidaan soveltaa työ-energiateoreemaa, jonka mukaan vuoputkeen tehty työ on yhtäsuuri kuin sen mekaanisen energian muutos. Tässä tapauksessa työn tekee paine-ero p 1 p 2 ja mekaaninen energia koostuu vuoputken nesteen kineettisestä ja potentiaalienergiasta. Koska neste on kokoonpuristumatonta, sen tilavuus ei muutu ja varsin suoraviivaisesti voidaan johtaa tulos: p 1 p 2 = 1 2 ρ(v2 2 v2 1 ) + ρg(y 2 y 1 ). (12.10) Ensimmäinen termi yhtälön oikealla puolella on paineen muutos, joka liittyy nesteen nopeuden muutokseen ja toinen termi on paine-ero, joka aiheutuu nesteen painosta ja korkeuserosta. Huomaa, että jos y 1 = y 2, toinen termi häviää ja jos tällöin v 2 > v 1, niin p 1 > p 2 eli nesteen virratessa nopeammin staattinen paine p pienenee. Yhtälö 12.10 esitetään tavallisesti muodossa p 1 + ρgy 1 + 1 2 ρv2 1 = p 2 + ρgy 2 + 1 2 ρv2 2, (12.11) ja se on nimeltään Bernoullin yhtälö, joka voidaan myös kirjoittaa muodossa p + ρgy + 1 2 ρv2 = vakio. (12.12) Virtaavassa nesteessä siis staattinen paine p, termi ρgy ja dynaaminen paine eli patopaine 1/2ρv 2 yhteenlaskettuna antavat vakion laskettuna pitkin virtausviivaa. Huom. ρgy on samaa muotoa kuin hydrostaattinen paine, mutta tässä kaavassa se ei ole nestepatsaan korkeus, vaan nesteen (virtausviivan) korkeus tietyltä referenssitasolta.

Luku 13 Gravitaatio Johdanto Tässä kappaleessa tarkastellaan gravitaatiovuorovaikutusta. Gravitaatio on yksi neljästä perusvuorovaikutuksesta ja se on niistä ensimmäinen, jota alettiin tutkia. Taivaanmekaniikka (celestial mechanics) kehittyi 1500- ja 1600-luvuilla tehtyjen havaintojen pohjalta (Kopernikus, Brahe, Kepler ja Newton). 13.1 Newtonin painovoimalaki Johannes Kepler (1571-1630) löysi 1600-luvun alussa kolme planeettojen liikettä kuvailevaa lakia käyttämällä Tyko Brahen (1546-1601) tekemiä havaintoja. Keplerin lait olivat kuitenkin puhtaasti matemaattisia lainalaisuuksia ilman taustalla olevaa fysikaalista teoriaa. Voidakseen selittää havaitut planeettojen liikkeet aurinkokunnassa Newton (1642-1727) postuloi painovoimalain. Hän päätteli, että kappaleiden välinen vetovoima on kääntäen verrannollinen niiden etäisyyden neliöön eli F g 1/r 2. Olettamalla, että vetovoima on verrannollinen kappaleiden massoihin m 1 ja m 2, voidaan kirjoittaa Newtonin yleinen painovoima- eli gravitaatiolaki F g = Gm 1m 2 r 2, (13.1) 107

LUKU 13. GRAVITAATIO 108 missä G= 6.673 10 11 Nm 2 /kg 2 on verrannollisuuskerroin, ns. gravitaatiovakio (gravitational constant). Se on universaali vakio eli sama kaikille kappaleille (Maa, Mars, Aurinko jne.). Sir Henry Cavendish (1731-1810) mittasi vakion G arvon 1798 torsiovaa'alla (kuvassa, Wikimedia Commons: Chris Burks). Pallosymmetristen kappaleiden, esim. planeettojen, etäisyyksiä tulee mitata niiden keskipisteistä gravitaatiolain soveltamista varten, sillä tällaisen kappaleen massa voidaan ajatella keskittyneeksi kappaleen keskipisteeseen. Gravitaatiovoimat vaikuttavat aina hiukkasten välisen suoran suuntaisesti ja ne muodostavat voimavastavoima parin. Koska kyseessä on vetovoima, voidaan painovoimalaki kirjoittaa vektorimuodossa F g = GmM r 2 ˆr, (13.2) missä ˆr on planeetan paikkavektorin r suuntainen yksikkövektori voiman lähteestä M kohti kappaletta m, johon painovoima vaikuttaa.

LUKU 13. GRAVITAATIO 109 F g m r M Puhtaasti paikkavektorin avulla kirjoitettuna gravitaatiolaki on huomaa nimittäjässä olevan nyt r 3! (ˆr = r/r) F g = GmM r 3 r, (13.3) Jos toinen kappaleista on Maa, jonka massa on m E, voidaan yhtälö 13.1 kirjoittaa muotoon F g = Gm Em r 2. (13.4) Huomaa, että yllä oleva yhtälö pätee vain kappaleille (massa m), jotka sijaitsevat Maan pinnan ulkopuolella. Voidaan osoittaa, että esimerkiksi homogeeniselle pallolle gravitaatiovoima pallon sisällä on suoraan verrannollinen etäisyyteen keskipisteestä, eli gravitaatiovoima pienenee. Maapallo ei ole homogeeninen pallo, vaan sen tiheys kasvaa keskustaan päin. Joka tapauksessa Maan keskipisteessä maapallosta itsestään aiheutuva gravitaatiovoima on nolla. 13.2 Paino Määritellään paino w siten, että kappaleen paino on siihen kaikkien muiden maailmankaikkeudessa olevien kappaleiden kohdistama gravitaatiovoima. Jos maapallo oletetaan palloksi, jonka säde on R E ja massa m E, pienen kappaleen, jonka massa on m (m m E ), paino w maapallon pinnalla on w = Gmm E R 2 E, (13.5)

LUKU 13. GRAVITAATIO 110 sillä muiden kappaleiden kohdistama gravitaatiovoima tarkasteltavaan kappaleeseen on paljon pienempi kuin maapallon aiheuttama voima. Aiemmin olemme todenneet, että Newtonin 2. lain mukaan w = mg, joten Maan pinnalla (r = R E ) g = Gm E R 2 E, (13.6) missä g on painovoimakentän voimakkuus, josta käytetään myös nimeä maan vetovoiman kiihtyvyys. Tämän yhtälön avulla voidaan esimerkiksi laskea Maan massa. Kun asetetaan R E =6378 km ja g = 9.81 m/s 2, saadaan Maan massaksi m E = 5.98 10 24 kg. Maan vetovoiman kiihtyys etäisyyden r funktiona maapallon ulkopuolella on nyt g = Gm E r 2. (13.7) Mitattu maan vetovoiman kiihtyys poikkeaa kaavan 13.6 antamasta arvosta kolmesta syystä: (1) maapallolla on tiheysvaihteluita, (2) maapallo ei ole täysin pallon muotoinen, vaan litistynyt navoilta ja (3) maapallo pyörii. Gravitaatiovoiman F g ja gravitaatiokiihtyvyyden g riippuvuus etäisyydestä 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 4 5 etäisyys Maan keskipisteestä (R E )

LUKU 13. GRAVITAATIO 111 13.3 Gravitaatiopotentiaalienergia Tarkasteltaessa aikaisemmin gravitaatiopotentiaalienergiaa on oletettu, että gravitaatiovoima on vakio etäisyyden suhteen. Nyt tästä oletuksesta luovutaan. Kappaleessa 7.2 todettiin, että painon tekemä työ on potentiaalienergian avulla ilmaistuna W grav = (U 2 U 1 ) = U. (13.8) Laskemme nyt painon tekemän työn maapallon gravitaatiovoimalle: W grav = r 2 r 2 F r dr = r 1 r 1 ( = Gm E m r 2 / 1 ) r 1 r = U 2 + U 1 Gm E m dr = Gm E m r 2 = G m Em r 2 r 2 r 1 G m Em r 1 1 r 2dr Toteamme, että gravitaatiopotentiaalienergia on U = Gmm E r. (13.9) Gravitaatiopotentiaalienergia on aina negatiivinen suure ja se lähestyy nollaa, kun kappaleen (massa m) etäisyys lähestyy ääretöntä. Kuten aiemminkin, vain potentiaalienergian muutoksilla on merkitystä ja kaavaan 13.9 voitaisiin lisätä jokin vakio. Kun kappale liikkuu Maasta poispäin, sen gravitaatiopotentiaalienergia kasvaa.

LUKU 13. GRAVITAATIO 112 13.4 Satelliittien liike Yllä oleva kuva on uudelleen piirretty versio Sir Isaac Newtonin tekemästä kuvasta. Siinä hyvin korkean (kuvitteellisen) tornin laelta ammutaan vaakasuorasti tykinkuula. Matalilla lähtönopeuksilla (radat 1 ja 2) kuulan lentorata on lähes paraabeli ja se osuu maahan. Tarpeeksi nopeutta kasvatettaessa kuula joutuu elliptiselle radalle (3) ja siitä tulee maan kiertolainen. Tässä tilanteessa, vaikka kuula on koko ajan vapaassa putoamisliikkeessä, maapallon kaarevuuden ja radan kaarevuuden johdosta kuula ei koskaan osu maahan. Hieman tästä nopeutta kasvatettaessa rata on ympyrä (4, erikoistapaus ellipsistä) ja edelleen nopeutta kasvatettaessa jälleen ellipsi (5). Ratojen (3) ja (5) ero on siinä, että radalla (3) lähtöpiste sijaitsee radan apogeum (kaukaisimmassa) pisteessä, kun taas radalla (5) radan perigeum (lähimmässä) pisteessä. Jos nopeutta edelleen kasvatetaan, niin tietyn rajanopeuden jälkeen kuula joutuu paraabeliradalle (6), eikä jää enää kiertämään Maata (rata ei ole suljettu). Käyrää (6) vastaava nopeus on ns. pakonopeus. Nopeutta edelleen kasvatettaessa radasta tulee hyperbeli (7), joka ei myöskään ole suljettu rata. Seuraavassa keskitytään ympyräradan tapaukseen (4). Aurinkoa kiertävien planeettojen ja Maata kiertävän kuun ja useiden satelliittien radat ovat likimain ympyröitä.