1 Funktiot ja raja-arvot Y100 27.10.2008 ja 29.10.2008 Aki Hagelin aki.hagelin@helsinki.fi Department of Psychology / Cognitive Science University of Helsinki
2 Funktiot (Lue Häsä & Kortesharju sivut 4-9) Funktio muodostuu kolmesta osasta. Funktion määrittelyjoukosta, funktion maalijoukosta sekä riippuvuussäännöstä. Funktion riippuvuussääntö liittää määrittelyjoukon ja maalijoukon arvot toisiinsa niin, että jokaista määrittelyjoukon arvoa vastaa täsmälleen yksi maalijoukon arvo. Määrittelyjoukko muodostuu esim. luvuista mutta määrittelyjoukkoon ei saa ottaa mukaan lukuja,joihin riippuvuussääntöä ei voi soveltaa. Esimerkiksi 1 x ei ole määritelty, kun x = 0. Niinpä esim. jos funktion f riippuvuussääntöä kuvaa lauseke f(x) = 1 x, ei määrittelyjoukkoon voi ottaa mukaan lukua 0. Funktion f määrittelyjoukoksi kelpaa sen sijaan kaikki muut reaaliluvut. f :n määrittelyjoukkoa voikin merkitä tällöin seuraavasti: R \ {0} (reaaliluvut poislukien 0).
Funktioiden kuvaajista 3 Funktioista, joilla on vain yksi muuttuja, voi hahmotella kaksiulotteisen kuvan. x-akseli (vaaka-akseli) voi kuvata esim. muuttujan saamia arvoja, jolloin y-akseli (pystyakseli) puolestaan kuvaa funktion saamia arvoja. Funktion riippuvuussääntö liittää jokaiseen muuttujan arvoon täsmälleen yhden funktion saaman arvon. Mitähän tämä mahtaa tarkoittaa funktion kuvassa?
Funktioiden kuvaajista Funktioista, joilla on vain yksi muuttuja, voi hahmotella kaksiulotteisen kuvan. x-akseli (vaaka-akseli) voi kuvata esim. muuttujan saamia arvoja, jolloin y-akseli (pystyakseli) puolestaan kuvaa funktion saamia arvoja. Funktion riippuvuussääntö liittää jokaiseen muuttujan arvoon täsmälleen yhden funktion saaman arvon. Mitähän tämä mahtaa tarkoittaa funktion kuvassa? Kuva 2: Vasemmalla 1 x. Onko oikeanpuoleinen funktio? 3
Käsitteistä lisää 4 Määrittelyjoukkoa voi rajoittaa tarvittaessa. Muodostettaessa neliön pinta-alaa sivun suhteen kuvaava funktio A, on ihan järkevää ottaa funktion määrittelyjoukoksi reaaliluvut negatiivisia lukuunottamatta. (Mitä negatiivinen sivun pituus s oikein kuvaisi?) Tällöin funktion muuttujan (eli sivun pituuden) arvo on 0 tai suurempi. Riippuvuussääntö lausekkeena on A(s) = s 2. Funktiota merkitään jollakin kirjaimella, esim. f :llä tai m:llä. Myös muuttujaa merkitään jollakin kirjaimella, vaikkapa s:llä tai x:llä. Funktion f saamaa arvoa pisteessä x merkitään f(x):llä. Vastaavasti funktion m saamaa arvoa pisteessä t merkitään m(t):llä. Merkintätapa f(x) = x+2 ilmoittaa funktion f riippuvuussäännön lausekkeen. f :n arvo pisteessä 5 on f(5) = 5+2 = 7. Huomasithan eron: Funktio on f, funktion f arvo pisteessä x on f(x).
Funktioiden muodostamisesta 5 Funktiolla voidaan kuvata monenlaisia riippuvuuksia. Voidaan kuvata metsän yhteyttämisnopeutta vuoden eri kuukausina. Tarkastella eläinpopulaation kokoa ajan suhteen tai vaikkapa eläinpopulaation kasvunopeutta ajan suhteen. Esimerkki: Lämpötila Celsius-asteikolta voidaan muuttaa Fahrenheit-asteikolle. Riippuvuussäännön mukaan lämpötila Fahrenheit-asteina on 9 5 kertaa lämpötila Celsius-asteina ynnä 32. Kirjoitetaan tämä funktiona. Merkitään funktiota esim. symbolilla F (niinkuin Fahrenheit) ja muuttujaa c:llä (niinkuin Celsius). Tällöin riippuvuussäännön lauseke on F(c) = 9 5 c+32. Mieti, mikä voisi olla luonteva määrittelyjoukko? Mitä arvoja lämpötilamuuttuja c voisi saada? Onko joitain arvoja, joita määrittelyjoukkoon ei haluta mukaan? Voisikohan muodostetun funktion kääntää, eli ilmoittaa funktion avulla miten Fahrenheit-asteet muutetaan Celsius-asteiksi?
Yhdistetty funktio 6 Pohditaanpa tilannetta, jossa on tarkasteltavana kaksi funktiota, f ja g. Merkitään niiden muuttujia x:llä ja y:llä. Jos g:n arvojoukko eli arvot g(y) kuuluvat f :n määrittelyjoukkoon, voidaan tarkastella f :n arvoja pisteissä g(y) - ts. selvittää arvot f(g(y)). Voidaan siis muodostaa f :n ja g:n yhdistetty funktio f g. Esimerkki: Tarkastellaan tapausta, missä f(x) = x 2 ja g(y) = y + 1. Yhdistetty funktio voidaan muodostaa huoletta, koska f ja g ovat määriteltyjä kaikilla reaaliluvuilla. Yhdistetyn funktion lauseke on (kun f :ään yhdistetään g: f g(y) = (g(y)) 2 = (y+1) 2. Mitähän olisi g f(x)? (Siis kun funktioon g yhdistetään funktio f.)
Paloittain määritelty funktio Esimerkki: Kuvataan funktion avulla tuulen voimakkuuden ja metsän myrskytuhojen arvn yhteyttä. Pienillä tuulen nopeuksilla tuhoja ei synny. Hieman suuremmilla tuulen nopeuksilla myrskytuhoja alkaa syntyä. Aluksi vähemmän mutta tuulen nopeuden kasvaessa yhä enemmän, kunnes saavutetaan niin suuri tuulen nopeus, ettei tuhojen arvo enää kasva tuulen nopeuden kasvaessa. (Jolloin siis vähempikin nopeus riittää tuhoamaan talousmetsän.) Merkitään tuhojen arvoa (euroa/hehtaari) kuvaavaa funktiota h:lla ja muuttujaa, eli tuulen nopeutta, v:llä. Havaittiin, että tuhoja ei syntynyt, kun tuulen nopeus oli alle 18 m/s. Tällöin h(v) = 0. Tämän jälkeen tuhot noudattivat kutakuinkin lauseketta ( v 18 8 ) 2, kunnes tuulen nopeus kasvoi 35 m/s:iin. Tämän jälkeen tuhot pysyivät vakiona, nimittäin h(v) = 4,515625. Kuinka tuulen nopeutta kuvaava lause kirjoitetaan? 7
Paloittain määritelty funktio 2 8 h(v) = 0,kun 0 v < 18 ( v 18 8 ) 2,kun 18 v < 35 4, 515625,kun 35 Kirjoitetaan siis aaltosulkein riveittäin eri palat, joista funktio muodostuu. Samalla kerrotaan millä muuttujan arvoilla mitäkin funktion lauseketta käytetään. Mikä on funktion h määrittelyjoukko? Voiko v saada negatiivisia arvoja?
9 Raja-arvo (Lue Häsä & Kortesharju sivut 9-14) Funktion f raja-arvo pisteessä x on intuitiivisesti se arvo, minkä funktio saa hyvin lähellä pistettä x. Tarkasteltaessa funktion f raja-arvoa pisteessä x, voi raja-arvo olla eri riippuen siitä tarkastellaanko f :n arvoja x:n lähellä x:ää suuremmmilla vai x:ää pienemmillä muuttujan arvoilla. Ts. riippuen siitä lähestytäänkö x:ää oikealta vai vasemmalta.
Raja-arvo 2 10 Kuva 4: Mikä mahtaa olla vasemmanpuoleisen funktion raja-arvo kohdassa x = 1? Entä oikeanpuoleisen?
Raja-arvo 2 10 Kuva 5: Mikä mahtaa olla vasemmanpuoleisen funktion raja-arvo kohdassa x = 1? Entä oikeanpuoleisen? Entä, kun x kasvaa rajatta?
Raja-arvo 2 11 Tehdään edelliset tarkastelut myös laskemalla. Edellisen kalvon vasemmanpuoleisen kuvan funktio on polynomi p(x) = x 3 + 2x 2 x 2. lim x 1 x3 + 2x 2 x 2 = 1 3 + 2 1 2 1 2 = 0 Oikeanpuoleisessa { kuvassa ollut paloittain määritelty funktio oli y 2,kun y < 1 g(y) = Funktion palat on määritelty 3y+2,kun y 35 erikseen kohdassa y = 1. Lasketaan siksi erikseen raja-arvo oikealta ja vasemmalta. lim x 1 x 1 g(y) = lim 3y+2 = 3+2 = 5 + + lim g(y) = lim x 1 x 1 y2 = 1 2 = 1
Raja-arvo 3 12 Voidaan yleistää havainto niin, että funktiolla on olemassa raja-arvo pisteessä a, täsmälleen silloin, kun funktion oikean ja vasemman puoleiset raja-arvot pisteessä a ovat samat. (Kumpi valittaisiinkaan raja-arvoksi, jos funktiolla olisi pisteessä kaksi eri vaihtoehtoa raja-arvoksi?) Voitiin myös huomata, että kummatkin funktiot näyttivät kasvavan rajatta, kun muuttujan arvo kasvoi rajatta.
Jatkuvuus 13 Edellisen kuvan oikeanpuoleisesta osasta voitiin havaita seuraavaa. Jos funktion oikean ja vasemman puoleinen raja-arvo eivät ole jossakin pisteessä samat, funktio on epäjatkuva. Tämä ei kuitenkaan vielä riitä yksin jatkuvuuden määritelmäksi. Funktion f jatkuvuus pisteessä a vaatii, että lim x a f(x) on olemassa ja että lim x a f(x) = f(a). Miksiköhän jatkuvuudessa pitää vaatia, että funktion raja-arvo halutussa pisteessä on sama kuin funktion arvo kyseisessä pisteessä? Keksitkö esimerkin? Luentomonisteesta löytyy, jos ei itse meinaa keksiä!
Raja-arvoesimerkki 14 Tarkastellaan rationaalifunktiota r(x) = x2 +1 x 2 1. Mikä on r:n määrittelyjoukko? Onko r:llä raja-arvoa, kun x? (Raja-arvoja äärettömyydessä koskevat säännöt. Ks. Häsä & Kortesharju s. 12)
Raja-arvoesimerkki 14 Kuva 6: Mikä onkaan kuvan funktion määrittelyjoukko? Entä onko raja-arvoa äärettömyydessä?