Luento 5: Voima ja Liikemäärä

Luento 5: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä

Johdanto Dynamiikka tutkii voimia ja niiden aiheuttamaa liikettä Newtonin liikelait (Newton s laws of motion) Pohjautuvat kokeellisiin havaintoihin (julk. 1687) Ovat samalla klassisen mekaniikan perusta Voimat jaetaan kontaktivoimiin (contact forces) ja pitkän kantaman voimiin (long range forces) Voima vektorisuure: sillä on suunta ja suuruus. [F] = N (newton)

Luennon sisältö Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä

Superpositioperiaate Kappaleeseen kohdistuvien (eri) voimien yhteisvaikutus sama, kuin jos siihen kohdistuisi yksi voima, joka on voimien vektorisumma Voimatehtävien ratkaisu perustuu tähän periaatteeseen Superpositioperiaatteen käänteissovellus Kappaleen tiettyyn pisteeseen kohdistuva voima voidaan aina jakaa komponentteihin Erittäin käytännöllinen tehtävien ratkaisemisessa F 1 F F y F F 2 F x

Nettovoima eli resultantti Kaikkien kappaleeseen kohdistuvien voimien summa F net = R = F i Voidaan aina laskea yhteen komponenteittain R x = i F ix, R y = i F iy, R z = i F iz Voiman itseisarvo saadaan F net = R = R 2 x + R 2 y + R 2 z

Newtonin 1. laki Kappale, johon vaikuttava nettovoima on nolla ( F net = 0), liikkuu tasaisella nopeudella v = v 0 a = d v dt = 0 Toisin sanoen sen kiihtyvyys nolla, ja sen liiketila ei muutu. Tätä kappaleen ominaisuutta pyrkiä jatkamaan liiketilaansa kutsutaan inertiaksi Newtonin 1. lakia kutsutaan usein inertian laiksi

Tasapaino Kappale tasapainossa (in equilibrium), kun siihen vaikuttavien voimien resultantti on nolla F net = R = F i = 0, eli komponenttimuodossa F i,k = 0 missä k = x, y, z k Huomaa, että vakionopeudella liikkuva kappale on tasapainossa i

Inertiaalikoordinaatistoista Inertiaalikoordinaatisto (inertial frame of reference) tasaisella nopeudella liikkuva koordinaatisto Newtonin 1. laki voimassa vain inertiaalikoordinaatistossa Seuraus koordinaatistojen yhdenvertaisuusperiaatteesta: voiman suuruus ei saa riippua koordinaatiston valinnasta! Ei-inertiaalinen koordinaatisto kiihtyvässä liikkeessä Myös normaalikiihtyyys kiihtyvää liikettä Normaalikiihtyvyys muuttaa koordinaatiston liikesuuntaa

Massa Mikäli kappaleeseen vaikuttavien voimien resultantti 0, kappale kiihtyvässä liikkeessä = Kappaleen vauhti tai nopeuden suunta muuttuu Kokeellisesti havaittu, että nettovoima F net = R ja kiihtyvyys a samansuuntaisia vektoreita Tämän seurauksena tietylle kappaleelle nettovoiman ja kiihtyvyyden suhde vakio Vakiota kutsutaan massaksi m = F net a

Newtonin 2. laki Kappaleeseen vaikuttavien voimien resultantti on (inertiaalikoordinaatistossa) F net = R = F i = m a, eli komponenttimuodossa F i,k = ma k missä k = x, y, z k i! Huomaa, että m a ei ole voima se on seuraus voimasta

Massa vs. paino Massa kuvaa kappaleen inertiaominaisuutta Paino on voima, joka kappaleeseen kohdistuu gravitaatiokentässä Maan pinnan lähellä painon w ja massan m välillä pätee w = m g Kokeissa on todettu, että inertiaali- ja gravitaatiomassat ovat ainakin 12 numeron tarkkuudella samat

Newtonin 3. laki Kun kaksi kappaletta vuorovaikuttaa, ne kohdistavat toisiinsa yhtäsuuret, mutta vastakkaissuuntaiset voimat (voima ja vastavoima) F AB = F BA Huomaa, että kappaleiden ei tarvitse olla kosketuksissa Newtonin 3. laki pätee myös pitkän kantaman voimille Huomaa, että voima ja vastavoima kohdistuvat eri kappaleisiin F F F F

Jännitys Jos samaan kappaleeseen kohdistuu kaksi samansuuruista, mutta vastakkaissuuntaista voimaa, kappale jännityksessä Kappale vetojännityksessä (tension), kun kyseessä vetovoimat Työntövoimien tapauksessa kappale puristusjännityksessä (compression) F 2 = F 1 F 1

Vapaakappalekuvio Free body diagram Kuvio, jossa vain tarkasteltava kappale (tai sen osa) ja kaikki siihen kohdistuvat voimat Kappaleen ympäristöä ei piirretä vapaakappalekuvioon F N w 1 F w 2 Kappale VKK 1 VKK 2

Esimerkki Piirrä parin kanssa vapaakappalekuviot allaolevasta kuvasta. VKK 1 : jossa massaan 1 vaikuttavat voimat ja VKK 2 : massaan 2 vaikuttavat voimat. m 1 θ m 2

Hiukkasen tasapaino Tasapainotilassa hiukkanen on levossa tai liikkuu vakionopeudella inertiaalikoordinaatistossa, jolloin hiukkaseen vaikuttava nettovoima on F i = 0, F i = 0 F net = i Tasapainoehdot voidaan kirjoittaa komponenteittain F k,i = 0, missä k = x, y, z i i

Tasapainotehtävien ratkaisu 1. Piirrä yksinkertaistettu kuva tilanteesta (kappaleet, kulmat,... ) 2. Piirrä vapaakappalekuvio tilanteesta tärkeä 3. Mieti kappaleeseen kohdistuvat vuorovaikutukset (kontaktivoimat, köydet, painovoima), älä piirrä kappaleen itsensä aiheuttamia voimia 4. Valitse probleemaan sopiva koordinaatisto 5. Jaa voimat komponentteihin (muista etumerkit!) 6. Kirjoita tasapainoyhtälöt 7. Jos tarvitaan, jatka kohdasta 2 muille kappaleille 8. Ratkaise yhtälöt ja tarkista ratkaisu

Esimerkki jatkuu Äsken piirtämiesi vapaakappalekuvioiden pohjalta, määritä parisi kanssa systeemin tasapainoehdot. m 1 θ m 2

Tukivoimat Kun kappale lepää esim tasolla, kohdistuu siihen tukivoima (voima, joka pitää sen paikoillaan) Tukivoima voidaan esittää kontaktitasoa vastaan kohtisuoran normaalivoiman N sekä tason suuntaisen kitkavoiman (friction) f summana Tasapaino = N + f = w

Liikekitka Kun kappale on kontaktissa toisen kanssa tai liikkuu väliaineessa, kohdistuu siihen liikettä vastustavia kitkavoimia Esim. kun kappale on kontaktissa toisen kanssa ja liikkuu sen suhteen, vaikuttaa kappaleeseen ns. liikekitka (kinetic friction) f k = µ k N, missä µ k on liikekitkakerroin (coefficient of kinetic friction) Pyörivälle kappaleelle voidaan määritellä vierintäkitka (rolling friction) ja vierintäkitkakerroin µ r vastaavasti f r = µ r N,

Lepokitka Kun kappale on levossa alustaansa nähden, puhutaan lepokitkasta Lepokitka esitetään lähtökitkakertoimen (coefficient of static friction) µ s avulla f s µ s N Lepokitka saavuttaa maksiminsa juuri ennen kuin kappale lähtee liikkeelle Jos kappaleeseen ei vaikuta muita tason suuntaisia voimia, lepokitka on nolla F, f µ s N µ k N F = F 0 t f t

Esimerkki jatkuu Ratkaise äsken johtamistasi tasapainoehdoista minimikitkakerroin, jotta massat pysyvät paikoillaan silloinkin kun m 2 m 1 sin θ. y x N T x T m 1 θ m 2 w 1 θ w 2 VKK 1 VKK 2

Hiukkasen dynamiikka Jos kappale ei ole tasapainossa, käytetään Newtonin 2. lakia F net = m a On kuitenkin muistettava, että m a ei ole voima, eikä sitä piirretä vapaakappalekuvioon Muutoin tehtävien ratkaisuperiaate sama kuin tasapainotehtävissä

Esimerkki Tehtävä YF Ch. 5-2 5.7!"#$%&''#()*+ YF Ex. 5-8. Henkilö, jonka massa on 50,0 kg, seisoo -2 vaa an päällä hississä. Jos hissin kiihtyvyys on 2,0 m s ylöspäin, niin mitä vaaka näyttää? ay 2,0 m s, m 50 kg F on vaa an henkilöön sp Henkilö, jonka massakohdistama on 50.0 voima, kg, seisoo vaa an päällä hississä. henkilön Josliikeyhtälö hissinon kiihtyvyys on 2.0 m s 2 y: Fy F w may ylöspäin, F niin mitä sp m ay g 590 N vaaka näyttää? F F 590 N ps sp eli vaaka näyttää n. 60 kg VKK y S-104.1010 Fysiikka I (AUT, BIO, EST, TLT) M. Sopanen 2007 Ratkaisu a y = 2.0 m s 2, m = 50.0 kg Olkoon F sp on vaa an henkilöön kohdistama voima, jolloin henkilö liikeyhtälö on F sp w a y y : F y = F sp w = ma y F ps = F sp = 590 N = F sp = m(a y + g) = 590 N eli vaaka näyttää noin 60 kg. Mitä tapahtuu, kun hissin vauhti tasaantuu?

Väliaineen vastus Kappaleeseen kohdistuu sen liikettä vastustava kitkavoima sen kulkiessa väliaineen läpi Eräs tällainen kitkavoima on ilmanvastus, joka on pienillä nopeuksilla suoraan verrannollinen nopeuteen f = k v Suuremmilla nopeuksilla ilmanvastus on verrannollinen nopeuden neliöön f = Dv 2 e T Vastustava kitkavoima johtuu pohjimmiltaan siitä, että kappale joutuu liikkuessaan siirtämään oman tilavuutensa verran väliainetta, joka vastustaa sitä "tahmeudellaan"

Yleinen liike väliaineessa Kun kappale putoaa väliaineessa, sen liikeyhtälö pystysuunnassa on F y = mg + ( kv) = ma Lopullista nopeutta, jonka kappale saavuttaa, kutsutaan lopputai tasapainonopeudeksi (terminal velocity) v t Loppunopeus saadaan merkitsemällä a = 0 mg = kv t = v t = mg k Laskettiin 1. laskuharjoituksessa hieman eri merkinnöin

Dynamiikka ympyräliikkeessä Tasaisessa ympyräliikkeessä normaalikiihtyvyys a rad = v 2 R, missä R on ympyrän säde, on vakio Newtonin toisen lain mukaan myös hiukkaseen vaikuttava nettovoima on itseisarvoltaan vakio F net = ma rad = m v 2 Voiman suunta ei ole vakio, vaan osoittaa kohti ympyrän keskipistettä R

Esimerkki Tehtävä Pieni kappale, jonka massa on 1.0 kg ja joka on sidottu 0.6 m pituisen köyden päähän, pyörii 60 kierrosta minuutissa pystytasossa. Laske köysivoiman suuruus, kun 1. kapple on ympyräradan korkeimmassa kohdassa 2. kappale on radan alimmassa kohdassa 3. köysi on vaakasuorassa Mikä pitää olla kappaleen vauhti radan ylimmässä kohdassa, jotta köysi pysyisi vielä suorana?

Ratkaisu ω = 2π 60 1/min 60 s min 1 = 6.28 s 1, a N = v 2 R = ω2 R a) F y = mg T 1 = ma y = mω 2 R = T 1 = mω 2 R mg = 14 N b) F y = mg + T 2 = mω 2 R = T 2 = mω 2 R + mg = 33 N c) F x = T 3 = mω R = T 3 = mω 2 R = 24 N d) F y = mg = mω2 R = v = Rg = 2.4 m s 1

Esimerkki YF Ch. 5-4 5.17 YF Ch. 5-4!"#$%&''# ()*!"#$%&''# ()* YF Ex. 5-21. Laske kiertoheilurin kiertoaika, kun Tehtävä heilurin kulma ja langan pituus tunnetaan. YF Ex. 5-21. Laske kiertoheilurin kiertoaika, kun VKK heilurin kulma ja langan pituus y tunnetaan. L Laske kiertoheilurin kiertoaika, kun T VKK R y heilurin kulma ja langan pituus L tunnetaan. T m x: F sin R x T max ma x rad y: Fy T cos mg 0 m T mg Ratkaisu cos x: Fx T sin max ma x S-104.1010 Fysiikka I (AUT, BIO, EST, TLT) M. Sopanen rad 2007 y: Fy T cos mg 0 w mg F x = T sin β = ma x = Tma rad F y = T cos β mg = 0 cos S-104.1010 Fysiikka I (AUT, BIO, EST, TLT) M. Sopanen 2007 w

Ratkaisu F x = T sin β = ma x = ma rad F y = T cos β mg = 0 = T = mg cos β = m v 2 R = P = 2πR v = 2πR Rg tan β = 2π = v = Rg tan β = 2πR P R g tan β = 2π L sin β g tan β L cos β = 2π g

Johdanto Esimerkiksi kahden kappaleen törmäyksissä on vaikea määrittää minkäsuuruiset ja -suuntaiset voimat vaikuttavat kappaleisiin Tällaisia ongelmia on usein helpointa käsitellä impulssin (impulse) ja liikemäärän (momentum) avulla Ratkaistaan käyttäen liikemäärän säilymisen periaatetta Vaikuttavia voimia ei tällöin tarvitse edes tuntea

Newtonin toinen laki Newtonin toinen laki (N-II) m-massaiselle kappaleelle Kiihtyvyys on a = dv/dt N-II voidaan lausua muodossa F = F net = m a = m d v dt = d(m v) dt Yhtälö F net = m a ei ole Newtonin toinen laki yleisimmässä muodossaan Siinä on jo oletettu, että kappaleen massa säilyy vakiona Määritellään seuraavaksi liikemäärä, jonka avulla N-II voidaan yleistää

Liikemäärä Määritellään kappaleen liikemääräksi p = m v Liikemäärä Liikemäärä on vektori, jolla sama suunta kuin nopeusvektorilla. Liikemäärä voidaan lausua komponenteittain p x = mv x, p y = mv y ja p z = mv z

Newtonin 2. lain yleinen muoto Liikemäärän avulla lausuttuna Newtonin toinen laki saadaan muotoon F net = d p dt = Kappaleeseen vaikuttava nettovoima on yhtä suuri kuin kappaleen liikemäärän muutos ajan suhteen Voimassa vain inertiaalikoordinaatistoissa. Yleisempi kuin F net = m a, koska voidaan käyttää myös silloin kun massa muuttuu liikkeen aikana (raketti)