Kevään 06 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspie CAS -atkaisut Nämä atkaisut tety alusta loppuun TI-Nspie CX CAS -ojelmistolla ja tallennettu lopuksi PDF -muotoon. Takoituksena on avainnollistaa, miten tietokoneella voidaan akentaa lyyen ja pitkän matematiikan vastauksia. TI-Nspie on matematiikan ja luonnontieteiden ojelmisto, jolla opiskelijat tulevissa Digabi ja Abitti -kokeissa voivat laatia koko vastauksensa kätevästi yden ojelman sisällä. Mikä täkeintä, ei sovelluksissa tedyt osiot linkittyvät automaattisesti yteen, nopeuttaen ja selkeyttäen vastaamisposessia. Muokattaessa esim. funktion lauseketta tekstin seassa, muuttuu funktion kuvaaja automaattisesti. Koevastauksen laatimisessa voidaan esimekiksi yödyntää. Muistiinpanot -sovellusta (peustelut, kaavat, laskut) Kuvaajat -sovellusta (kuvaajat ja niiden tulkinta, analyyttisen geometian ongelmat) Geometia -sovellusta (geometisten kuvioiden piitäminen ja tutkiminen, voimakuvioiden piitäminen) DataQuest -sovellusta (datan analysointi) Mateiaalia, ojeita, videoita sekä lisätietoja opettajille tajottavasta koulutuksesta osoitteessa: www.nspie.fi Opiskelijat voivat ankkia ojelmiston vuosilisenssin vekkokaupasta,90 intaan. 5. Tetävä Vaitoetoja yteensä 7 kpl. a) Voittavia vaitoetoja. Voitto 5, tappio. Odotusavo 6 7 + 5 = 7 7 b) Voittavia vaitoetoja, voitto, tappio. Odotusavo 7-7 + = 7 7 c) Voittavia vaitoetoja 8, voitto, tappio. Odotusavo 7-8 8 + 7 7 = 7 Vastaus a) -, b) -, c) - 7 7 7 maa_k6 Sivu aie: 7
6. Tetävä Lasketaan pojoisen napapiiin säde kuvanmukaisesti muodostuvasta suoakulmaisesta kolmiosta sin 90-66.5 = 67, josta = sin.5 67 = 50. a) Kysytty tunnelin pituus on alemmassa kuvassa suoakulmaisen kolmion ypotenuusa.5 67 66.5 cm 50. + 50. = 59.7 b) Kaaen lyyemman kaaen pituus on /-osa koko napapiiin pituudesta, eli 50. = 990.5 Vastaus a) 59 km b) 99 km 90 7. Tetävä Olkoon kysytyn ympyän säde x. Pytagoaan lauseen avulla isosta kolmiosta saadaan sinisen ja vieän janan yteispituudeksi 5 - =. Tällöin vieän janan pituus on - +x =-x A 5 0.59 cm Pytagoaan lause kolmiolle AED +x = + -x, josta x solve +x = + -x,x x= 5 E D Vastaus: Kysytyn ympyän säde on 5 maa_k6 Sivu aie: 7
8. Tetävä a) Tason ytälö on muotoa a x+b y+c z+d=0. Koska xy -tasossa x+y=, on oltava x+ y+c z-=0, josta voidaan atkaista c tunnetun pisteen,, 6 avulla: solve + +c 6-=0,c c= 7 6 b) Tason ja x-akselin leikkauspisteen x-koodinaatti: solve x+ y=,x y=0 x= Tason ja y-akselin leikkauspisteen y-koodinaatti: solve x+ y=,y x=0 y= Tason ja z-akselin leikkauspisteen z-koodinaatti: solve 0+ 0-7 8 z-=0,z z= 6 7 Vastaus: a) Tason ytälö on x+ y- 7 6 z-=0. b) Akseleiden leikkauspisteet ovat, 0, 0, 0,,0 ja 0, 0, -8/7 Tetävä 9. x ₁ = ja y ₂ = 0 x ₁ =0 x ₁ +y ₁ x ₂ = = +0 =0.5 y ₂ = 0 0.5.9076 x ₂ +y ₂ x ₃ = = 0.5+.9076 0 y ₃ = 6.08.57 6.08 A A 5 6 7 B 0.5 6.08.77.78 C 0..9076.57.5.6597.7 D Jatketaan laskemista taulukkolaskentaa yödyntäen Suteellinen vie.7596-.7857.7596 0.008 8 9 0 Vastaus: 0. % 5 6 7 maa_k6 Sivu aie: 7
Tetävä 9. Edosta -0 g x 6 kaikillla eaaliluvuilla voidaan päätellä, että g on määitelty kodassa x=0. Funktio on deivoituva kodassa x=0, mikäli aja-avo lim f 0+ -f 0 on olemassa. lim f 0+ -f 0 = lim g -0 g 0 = lim g = lim g Koska -0 g x 6, lim g =0 Funktio f on siis deivoituva kodassa x=0. Tetävä 0. a) Viimeinen luku on sama kuin jakojäännös jaettuna luvulla 0 Koska 06 6 mod 0 myös 06 06 6 06 mod 0. Kaikki luvun 6 potenssit päättyvät lukuun 6 (todistus seuaavalla sivulla), joten myös 06 06 viimeinen luku on 6. b) 06 06 =0 log 0606 =0 06 log 06, jossa 06 log 06 0 666.8590 06 06 =0 666.859 =0 0.859 0 666, jossa 0 0.859 7.689 Kaksi ensimmäistä lukua ovat siis 7 ja. c) Luvussa on edellisen kymmenpotenssiesityksen peusteella 666+=666 numeoa. maa_k6 Sivu aie: 7
Väite: Luvun 6 n viimeinen numeo on 6, kun n on luonnollinen luku. Todistetaan väite induktiolla: I: Väite tosi, kun n=, koska 6 =6. I: Oletetaan, että väite pätee jollakin n I: Tutkitaan päteekö väite, avolla n+ 6 n+ = 6 n 6 = 6 n 5+ = 6 n 5+6 n Luvun 6 n 5 = 6 n- 5 = 6 n- 0 viimeinen numeo on 0. Luvun 6 n viimeinen numeo on I peusteella 6, joten summan 6 n 5+6 n viimeinen numeo on 6 Tetävä Olkoon tölkin pojan ala ja kokeus. Tällöin tölkin tilavuus on V= Koska tilavuus on 000 m, kokeus on toisaalta := 000 Muodostetaan funktio, joka kuvaa kustannuksia inta := + 000. Funktion deivaattafunktio on K inta K zeos K inta K, 5 = 8-000, jonka nollakota on. Tallennetaan kyseinen avo muistiin ₀:= 5 Funktion saa pienimmän avonsa (>0) deivaatan nollakodassa (deivaatan kuvaaja). kokeus Lasketaan kysytty sude pojan alkaisija = ₀ = ₀ Vastaus: Kysytty sude on 5 maa_k6 Sivu 5 aie: 7
Deivaattafunktion kuvaaja 500 y f x = 8 x- 000, x x>0 0 ₀ x 5 00 Tetävä a) Funktio sin t on jaksollinen, jakso. Laskettaessa f lasketaan määätty integaali kaden kokonaisen jakson yli. Laskettaessa f lasketaan määätty integaali yden kokonaisen jakson yli ja keotaan kadella, joten f = f. b) Jaetaan tetävä kateen osaan: Kun 0 x, x f x = sin t dt = -cos x. 0 Kun <x, x f x = sin t dt+ sin t dt = cos x +. 0 5.9 y f x = sin x x 7 f x = -cos x, 0 x cos x +, <x 5 maa_k6 Sivu 6 aie: 7
Tetävä. Kolmion pinta-ala on sama kuin puolet kolmion sivuvektoeiden istitulovektoin pituudesta A= u v /. Tallennetaan muistiin funktio, joka laskee kolmion pinta-aloja: nom cossp u,v ala u,v := Tällöin takojen pinta-alat ovat: A = ala 0 b 0, 0 0 c b c B = ala a 0 0, 0 0 c a c C = ala a 0 0, 0 b 0 a b Tällöin A +B +C = expand ja D = expand b c a b +c +b c D = ala a b 0, a 0 c + a c + a b a b + a c a b + b c a b +c +b c + a c + b c maa_k6 Sivu 7 aie: 7