DSP:n kertausta Kerrataan/käydään läpi: ffl Spektri, DFT, DTFT ja FFT ffl signaalin jaksollisuuden ja spektrin harmonisuuden yhteys ffl aika-taajuusresoluutio Spektri, DFT, DTFT ja aika-taajuusresoluutio Napataan kiinni signaali s(n) = h i ja sen DFT S(k) = n= s[n]exp( jnk Λ ß=); jotka löytyvät kuviosta. Esim. arvot S() ja S(7) voidaan laskea samalla kaavalla, mutta lopputuloksena on se, että DFT on jaksollinen, tässä tapauksessa jaksonpituudella eli S() = S() = S();S() = S(6) = S(); jne. DFT S(k) sisältää siis saman informaation kuin alkuperäinen signaali s(n), vieläpä ilman redundanssia, mikä on hyvä juttu esim. signaalia kompressoitaessa. Sen sijaan signaalia analysoitaessa on usein käyttökelpoista käyttää redundantimpaa taajuusesitysmuotoa. Jos katsotaan esimerkiksi DFTn tappia S[] = n= s[n]exp( jn Λ ß=); se kertoo signaalin s(n) ja signaalin exp( jn Λ ß=) sisätulon, toisin sanoen suurin piirtein sen, kuinka paljon signaalia exp( jn Λ ß=) sisältyy signaaliin s(n) (matemaattisesti innokkaat voivat miettiä tätä tarkemmin muistelemalla vektorien sisätuloa C n :ssä). Ja signaali exp( jn Λ ß=) on yksinkertaisesti kompleksinen eksponenttisignaali, jonka jakso on näytettä, joten se voidaan yhtä hyvin kirjoittaa muodossa exp( jn!); missä! = Λ ß=. Ja kun tähän asti ollaan tultu, voidaan saman tien antaa kulmalle! muitakin reaaliarvoja kuin ; ß=; Λ ß=; Λ ß=; Λ ß=. Esimerkiksi jos! =: Λ ß, niin summa n= s[n] exp( jn!)
signaali s(n).... DFT:n amplitudi 6.... DFT:n vaihe.... Kuvio : Aaltomuoto ja sen DFT (amplitudi ja vaihe erikseen). kertoo suunnilleen kuinka paljon signaalia exp( jn!) (kompl. eksp.signaali, jakso ) sisältyy signaaliin s(n). Jos sama homma tehdään isolle nipulle!:n arvoja ja piirretään funktion S(!) = n= s[n] exp( jn!); eli DTFTn (diskreettiaikainen Fourier muunnos) kuvaaja saadaan kuvio. Havaitaan että myös DTFT on jaksollinen jaksolla ß (näppärä juttu koska tämä ei riipu signaalin pituudesta), ja sen näyteet arvoilla ; ß=; Λ ß=; Λ ß=; Λ ß= antavat täsmälleen DFT:n näytteet. Signaalin DTFT:n amplitudin neliötä js(!)j sanotaan signaalin spektriksi (itseasiassa spektrin voi määritellä monella tavalla, mutta tämä määritelmä kelpaa meille). Mitä iloa tästä spektristä sitten on? Esimerkiksi seuraava: otetaan tappia sinisignaalia s(n) = sin(n Λ ß=); jonka jaksonpituus on. Signaali ja sen DFTn amplitudi löytyy kuviosta. Koska s(n) on täysin jaksollinen signaali, voisimme odottaa että sen DFTssä olisi vain tätä taajuutta vastaava komponentti (sekä lisäksi negatiivisella taajuudella koska s(n) on reaalinen, mutta tällä ei tässä niin väliä), mutta DFT:ssä näyttääkin olevan iso nippu eri taajuuksia. Selitys on siinä, että sinin taajuutta ß= ei esiinny DFTssä, jonka pituus on, vaan lähimmät taajuudet ovat Λ ß= ja Λ ß=. Jos signaalin pituus sattuisi olemaan monikerta jaksonpituudesta, DFTssä olisi vain yksi nollasta eroava alkio.
signaali s(n).... DTFT:n amplitudi 6 DTFT:n vaihe 6 Kuvio : DTFT. Puhdas sini.. 6 7 8 9 DFT:n amplitudin neliö 6 7 8 9 Kuvio : tappia sinisignaalia jonka jaksonpituus on ja sinisignaalin spektri.
Jos kuitenkin DFT:n sijaan lasketaankin spektri, käy kuten kuvio kertoo: spektripiikki on levinnyt koko taajuusalueelle, kuitenkin siten että oikean taajuuden kohdalla on suurin piikki. Interpoloitu DFT antaa tässä reilumman kuvan signaalista, sillä sen arvot eivät riipu niin paljon siitä miten signaalin (mahdollinen) jaksonpituus ja ikkunan pituus sopivat toisiinsa. Puhdas sini.. 6 7 8 9 Spektri 6 Kuvio : tappia sinisignaalia jonka jaksonpituus on ja spektri. Sinisignaalin taajuuden estimointia pohtimalla tulee ilmi hiukan yleisempi aika-taajuusresoluution ns. Heisenbergin epätarkkuusperiaate: jos signaalin aikaresoluutio on hyvä, sen taajuusresoluutio ei voi olla kovin hyvä, ja päinvastoin. Signaalin aikaresoluutio tarkoittaa tässä ikkunan (=signaalin) pituutta ja taajuusresoluutio suurin piirtein sitä, kuinka tarkka sen interpoloitu FFT on. Ajatellaan että otetaan jostain pidemmästä signaalista esim. tapin mittainen ikkuna, jolloin tiedämme melko tarkkaan ( näytteen tarkkuudella) missä päin signaalia tämä ikkuna on. Sen sijaan tapin ikkunasta on vaikea tehdä kovin tarkkaa taajuusanalyysiä: kyseessä voisi olla tietyntaajuinen sini ja hiukan kohinaa tai aikalaillaeritaajuinen sini ja hiukan enemmän kohinaa. Sen sijaan jos alkuperäisestä signaalista otetaan :n tapin mittainen ikkuna, voimme jo aika hyvin diskriminoida edellisten taajuusvaihtoehtojen välillä, mutta nyt aikaresoluutio on heikompi, koska käytetty ikkuna on pidempi. Edellinen periaate voidaan formuloida matemaattisesti aavistuksen verran tarkemmin, mutta tämän kurssin kannalta järkevää lienee pitää mielessä vain periaate: mitä pidempi ikkuna, sen parempi taajuusresoluutio (mutta huonompi aikaresoluutio).
Jaksollinen signaali! harmoninen spektri Nollilla jatkettu signaali! spektri Soinnillisen puheen (esim. vokaalit) aaltomuoto on usein lähes jaksollinen. Signaalin jaksollisuus taas näkyy Fourier-muunnoksessa niin, että sen DFT on harmoninen, eli siinä kaikki energia on perustaajuudella f ja sen monikerroilla f ; f ; f ;:::. Mutta miksi? Selitys (hankala). Lasketaan kylmästi S (!) = N n= s (n) exp( jn!); missä s (n) on N:n pituinen ei-jaksollinen signaali. Jos nyt eli kaksi jaksoa signaalia s (n), niin S (!) = = N n= N n= Vastaavalla meiningillä voidaan todeta Eli herää kysymys miten s (n) =[s (n) s (n)] s (n) exp( jn!) s (n)exp( jn!)+ N n= = S (!) + exp( jn!)s (!) = S (!)( + exp( jn!)): s (n) exp( j(n + N)!) S K (!) =S (!)[+exp( jn!)+:::+ exp( j(k )N!)] : E K (!) =+exp( jn!)+:::+ exp( j(k )N!) käyttäytyy kun K kasvaa. Koska E K (!) on geometrinen sarja, saadaan (pikku muistelulla/taulukkokirjalla) E K (!) = exp( jnk!) exp( jn!) : Tämän funktion nimittäjä on kun! =; ß=N; Λß=N;:::;(N )Λß=N, jolloin myös osoittaja on, joten osamäärä voidaan tällaisella taajuudella ffi laskea l Hospitalin säännön avulla lim E exp( jnk!) K(!) = lim!!ffi!!ffi exp( jn!) = d d! d d! ( exp( jnk!))j!=ffi ( exp( jn!))j!=ffi = exp( jnkffi)( jnk) exp( jnffi)( jn) = jnk jn = K:
Lisäksi E K (!) =kun! on ß=(NK):n monikerta jos se ei ole samalla ß=N:n monikerta. Siis: kun signaalista s (n) otetaan K jaksoa, sen DTFT on KS (!) kun! on ß=N:n monikerta ja nolla kun! on ß :n monikerta (paitsi ß=N:n monikerroissa). Kuva havainnollistaa tilannetta. NK Tämä selitys ei välttämättä ole kaikkein havainnollisin joten katsotaan vielä toinen... Aapo AapoAapo Aapo x 8 Spektri Spektri Spektri 8 8 6 6 6 6 6 Kuvio : Monistettuja signaaleja ja niiden spektrit. Selitys (helpompi ja epätarkempi). Otetaan taas K kopoita N:n pituisesta signaalista s (n) signaaliin s K (n). Lasketaan sen DFT S K (k) (ei siis interpoloitu), jolloin käänteinen DFT eli signaali s K (n) saadaan summaamalla signaalit S K (k)exp jnk ß NK kaikkien indeksien k =; ;:::;NK yli. Nyt indeksejä ;K;K; :::; (N )K vastaavat eksponenttifunktiot ovat jaksollisia jaksonpituudella N. Onko näin? Kyllä vain, koska signaalin exp jnk ß NK jaksonpituus on NK=k,ja N on tämän monikerta silloin kun k on K:n monikerta (voi olla muulloinkin mutta ei murehdita siitä kun tämä on epätarkka selitys). Siis: olemme todenneet että signaalin s K (n) DFT:n ;K;:::;(N )K:nnet tapit vastaavat signaaleja, joiden jaksonpituuden monikerta N on. Tämä on kaiken kaikkiaan hyvä juttu, koska tiedämme että signaali s K (n) itsessään on jaksollinen ja sen jaksonpituus on N, joten mitkä tahansa arvot S K (k):n tapeissa nro. ;K;K; (N )K antavat käänteissignaalin, jonka jaksonpituus on N (voi 6
olla N= tai N= jne. mutta enintään N). Kääntäen: muiden tappien kuin joka K:nnen on oltava nollia, koska muulloin ne aiheuttaisivat käänteisessä DFT:ssä summautuneina signaalin, jonka jakso ei ole N. No ei kovin selvä tämäkään selitys. Selitys (selityskyky olematon mutta menee muistisääntönä). Kun aikatason signaalista tehdään K kopiota, sen spektriin interpoloituu K nollaa jokaisen tapin väliin. Eli siis signaalin kopioiminen aikatasossa aiheuttaa spektriin nollia. Toinen operaatio jolle on usein käyttöä on nollien lisääminen aikatason signaalin perään ennen DFT:n laskentaa. Oletetaan, että meillä on esim. 6:n näytteen pituinen signaali s (n) johon lisäämme loppuun nollia siten että signaalin pituus on, merkitään tätä signaalia s (n) (jonka alussa majailee siis s (n) ja lopussa nippu nollia). Jos laskemme alkuperäisen ja toisaalta nollilla jatketun (engl. zero-padded) jonon DFT:n, käy kuten kuvio 6 kertoo: DFT interpoloituu. Miksi? Tämä selittyy helposti spektrin laskennan avulla. Nimittäin spektrin S (!) näytteet taajuuksilla! =; ß=6; Λ ß=6;:::; Λ ß=6 saadaan kaavasta S (!) = n= s [n] exp( jn!): Signaalin s (n) spektrissä on laskettuna taajuudet! =; ß=;:::; Λ ß= kaavasta S (!) = n= s [n] exp( jn!): Mutta hetkinen! Koska jonon s (n) ensimmäiset 6 arvoa ovat samat kuin jonossa s (n) ja loput ovat nollia, voidaan todeta että S (!) = n= s [n] exp( jn!); joka on siis täsmälleen sama kuin S (!). Siis: nollilla jatketun jonon spektri on täsmälleen sama kuin alkuperäisenkin, mutta sen DFT:ssä on tiuhempi näytteistys. Hyvä puoli nollilla jatketun jonon DFT:n laskemisessa on sen nopeus, koska se toteutetaan FFT:n avulla (DFT on siis se muunnnos, ja FFT taas algoritmi, usein kyllä FFT:llä viitataan molempiin.) Matlabilla nollilla jatketun jonon DFT:n saa laskettua komennolla fft(x, n) missä n on haluttu pituus. 7
signaali, pituus 6 jatkettu signaali, pituus Kuvio 6: Signaali, nollilla jatkettu signaali ja molempien DFTt. 8