Matematiika Lyhyt oppimäärä

05-06 Lukion preliminääri Matematiika Lyhyt oppimäärä Preliminäärin saa pitää aikaisintaan torstaina. syyskuuta 05. Palautelomake löytyy osoitteesta www.mfka.fi/prelit Käyttöoikeus: Preliminäärin käyttöoikeus myönnetään oppilasryhmittäin (oppilasryhmä 6 oppilasta). Kokeen voi monistaa (koetta saa käyttää) seuraavasti: tilattu oppilasryhmä = maks 6 oppilasta tilattu oppilasryhmää = maks 7 oppilasta jne. MFKA-Kustannus Oy Asemamiehenkatu 4, 0050 HELSINKI puh. 00 6 - sähköposti: mfka@mfka.fi

Preliminäärikoe Tehtävät Lyhyt matematiikka syksy 05 / 4 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Eräät tehtävät sisältävät useita osioita [merkittynä a), b) jne], jolloin kaikkien kohtien käsittely kuuluu tehtävän täydelliseen suorittamiseen.. Jokaiseen kohdan laskuun vaaditaan välivaiheita näkyviin. Pelkästä tuloksesta laskimella ei pisteitä. a) Laske lausekkeen arvo ( x ) (x + 5), kun x = 7. b) Sievennä (( x + ) ( x ) ): c) Sievennä 5 0 + 5 5. Ratkaise yhtälöt. a) ( x 6) = b) x 4 = 8 c) ( x + ) = ( x + )( x ). a) Lääkäri on määrännyt potilaalle lääkekuurin. Reseptissä lukee, että kuuri sisältää XXVIII kappaletta tabletteja. Lääkettä otetaan kaksi tablettia kaksikertaa vuorokaudessa. Kuinka monta vuorokautta kuuri kestää? b) Toimit sairaanhoitajana. Potilaalle on määrätty lääkettä, jonka vahvuus on,4 mg/ml. Ohjeen mukainen annostus on 0 μg/kg/vrk. Lääkettä annetaan kerran vuorokaudessa. Kuinka monta millilitraa lääkettä pitää antaa 90 kg painavalle potilaalle? 4. a) Vuoden elintarvikkeen (Sadonkorjuupuuro, Fazer) tuoteselosteessa lukee, että yksi annos ( dl hiutaleita) sisältää rasvaa 4,4 grammaa. Mikä on tuotteen rasvaprosentti, kun 500 g pakkaus sisältää,5 annosta? b) Tavaratalon erikoispäiville tilataan erä tuotteita. Kauppias haluaa tuotteista 0 % voiton sisäänostohinnasta. Lisäksi hän mainostaa, että nämä erikoistuotteet myydään puoleen hintaan. Kuinka monta prosenttia tuotteen ns. normaalin myyntihinnan pitää olla suurempi kuin sisäänostohinta, jotta molemmat ehdot toteutuvat? MFKA/MAOL v 006

Preliminäärikoe Tehtävät Lyhyt matematiikka syksy 05 / 4 5. Laske kolmion ACD hypotenuusan pituus ja kolmion ABE kateettien pituudet. D E,0 cm A 4,0 cm B,0 cm C 6. Suorat y = x, y = x + 4 ja y = x + 4 rajaavat koordinaatistossa kolmion. Piirrä suorat koordinaatistoon. Laske suorien leikkauspisteet. Merkitse kaikkien suorien leikkauspisteet kuvaan. Laske muodostuneen kolmion pinta-ala hyödyntäen suorien leikkauspisteitä. 7. Korissa on sinisiä, valkoisia ja sinivalkoisia palloja yhteensä 4 kappaletta. Valkoista väriä on pallossa ja näistä palloista 75 % on kokonaan valkoisia. a) Määritä erilaisten pallojen lukumäärät. Korista nostetaan yhtä aikaa neljä palloa. Mikä on todennäköisyys, että b) kaikki pallot ovat sinisiä? c) kaikki neljä ovat sinivalkoisia? MFKA/MAOL v 006

Preliminäärikoe Tehtävät Lyhyt matematiikka syksy 05 / 4 8. On kaksi lukujonoa, joiden molempien. jäsen on. Ensimmäisen jonon peräkkäisten jäsenten erotus on 5. Toisen jonon peräkkäisten jäsenten suhde on 5. Laske molemmista jonoista 6 ensimmäisen jäsenen summa. Laske toisen lukujonon jäsenten summan suhde ensimmäisen lukujonon jäsenten summaan. 9. Piirrä koordinaatistoon jokin kaikkialla kasvavan funktion kuvaaja. Millaisia arvoja funktion derivaattafunktio saa, jos itse funktio on kaikkialla kasvava? Osoita, että funktio 5 f ( x) = x + x + on kaikilla muuttujan arvoilla kasvava. 0. Ympyräkartion korkeuden ja pohjaympyrän halkaisijan suhde on :. Kuinka moninkertainen kartion sivujana on verrattuna pohjan säteeseen? Määritä kartion vaipan pinta-alan lauseke pohjaympyrän säteen avulla. Laske sen avulla, kuinka suuri on tällaisen kartion tasoon avatun vaipan (s-säteinen sektori) keskuskulma asteen tarkkuudella.. Hopea-atomin (massaluku 06) massan määrä ajan funktiona on t f ( t) = 0,975 alkuperäinen massa, missä muuttujan t yksikkö on minuutti. Osoita funktion avulla, että ko. isotoopin puoliintumisaika on 4 minuuttia. Kuinka monta sekuntia kestää, että isotoopista on hajonnut 0 %?. Kuinka monta prosenttia (0, % prosentin tarkkuudella) lääkeriippuvuutta aiheuttavan lääkkeen annostusta on vähennettävä viikoittain, kun viikossa viikkoannos on saatava ehdottomasti alle 500. osaan alkuperäisestä viikkoannoksesta? Tämän jälkeen viikkoannosta ei enää pienennetä, mutta lääkettä otetaan vielä kaksi kertaa. Kuinka monta millilitraa lääkettä otetaan koko aikana yhteensä, kun ensimmäisen viikon viikkoannos on 500,0 ml?. Yliopiston pääsykokeen monivalintaosiossa on 60 kysymystä. Oikeasta vaihtoehdosta saa pisteen ja väärästä vaihtoehdosta saa pistettä. Tyhjästä saa 0 pistettä. Usean vuoden tilastojen perusteella on havaittu, että kokeesta saadut pistemäärät ovat likimain normaalisti jakautuneet. Mitkä ovat kokeen keskiarvo ja keskihajonta, kun tiedetään, että alle 45 pistettä saa 75, % kokeen tekijöistä ja alle pistettä saa 6, % kokeen tekijöistä. MFKA/MAOL v 006

Preliminäärikoe Tehtävät Lyhyt matematiikka syksy 05 4 / 4 4. Pekka ja Lotta neuvottelivat pankissa kymmenen vuotta vanhan asuntolainan ehdot uusiksi. Aikaisempi laina oli tasaerälaina. Nyt heidän taloudellinen tilanne on kohonnut, joten he päätyivät tasalyhennyslainaan. Lainan pääoma on nyt 5 764 euroa. Pankin viitekorko on 6 kk:n euribor (sopimuspäivänä 0,07 %) ja korkomarginaali,5 %. Lainan kuukausittainen maksuerä oli korko + 500 euron lyhennys. Mikä on heidän viimeisen maksuerän suuruus? Kuinka paljon he maksavat lainasta yhteensä korkoa? 5. a) Pisteen A(6, ) paikkavektorin a ja pisteestä B(0, 4) alkavan vektorin b = 4i t j pistetulo on 6. Laske vektoreiden välinen kulma. π b) Erään aurinkoisen kevätpäivän lämpötila noudatti funktiota f ( x) =,5cos ( x + 8) +, missä muuttuja on tunteja keskiyöstä ja muuttuja on ilmaistu radiaaneissa. Mitkä olivat vuorokauden maksimi ja minimilämpötilat. MFKA/MAOL v 006

Preliminäärikoe RATKAISUT Lyhyt matematiikka syksy 05 / 9. RATKAISU: a) ( x ) (x + 5) = x x 5 = x 7 = -(-7) - 7 = 7-7 = 0 sievennys ja TAI oikea sijoitus ja oikea tulos sijoitus + tulos b) ( x + ) ( x ) ( ) x + x + = = = : sulkeiden poisto ja kokonaisuuden jakaminen kakkosella, josta oikea tulos c) 0 + 5 + 5 5 6 6 6 = = : 5 = = 5 5 5 5 5 5 0 kun tunnettu merkinnät 5 =, 5 = ja 5 = 5, niin 5 murtoluvuilla laskeminen. RATKAISU: a) b) ( x 6) = x = x = 5 x = 5 x 4 = 8 sulkeiden poisto ja ratkaisu x = ± 4 x = ± 8 positiivinen ratkaisu ja negatiivinen ratkaisu v 006

Preliminäärikoe RATKAISUT Lyhyt matematiikka syksy 05 / 9 c) x ( x + ) + x + = x = ( x + )( x ) x = x = sulkeiden poisto ja ratkaisu. RATKAISU: a) tabletteja yhteensä XXVIII kpl eli 8 kpl vuorokaudessa otetaan 4 tablettia 8:4 = 7 V: 7 vrk b) yksikön muunnos,4 mg = 400 µg tai 0 µg = 0,0 mg p 90 kg painavalle potilaalle annetaan lääkettä 90 0 = 800 (µg) joka millilitroina on 0, 75 400 V: 0,75 ml 4. RATKAISU: 500g a) Yksi annos painaa = 40g.,5 TAI koko paketissa on rasvaa,5 4,4g = 55g. 4,4 55 Tuotteen rasvaprosentti on = = 0, 40 500 V: % b) Ostohinta a voitto 0,a Normaalihinta b = ( a + 0,a) =,4a,4a a Normaalihinta on =, 4 kertainen eli a 40 % suurempi kuin sisäänostohinta v 006

Preliminäärikoe RATKAISUT Lyhyt matematiikka syksy 05 / 9 5. RATKAISU: Hypotenuusa AD (= x) saadaan Pythagoraan lauseella. x = ( 4 + ) +. josta x = 5 + 9 = 4 5, 8095 V: AD on 5,8 cm. Kolmion ABE kateetit saadaan verrannolla, kun on osoitettu kolmioiden yhdenmuotoisuus. Kun on mainittu, että kolmiot ovat yhdenmuotoiset. Kun yhdenmuotoisuus on osoitettu KK-lauseen avulla eli todettu että molemmissa kolmioissa on kaksi yhtä suurta kulmaa ja mainittu, että kulma A on yhteinen molemmille kolmioilla ja molemmissa kolmioissa on 90 asteen kulma. Merkitään BE = y ja AE = z. Tällöin saadaan verrannot 5 = = y z 4 4, josta 4 y = ja y =, 05798 4 V:, cm. 0 4 z = 0 ja z =, 4997 4 V:,4 cm. TAI Kulma CAD (=α) on tan α =, 5 o josta α 9,96. BE Sivu BE saadaan lausekkeesta sin α =, josta BE, 057988 4 AE Sivu AE saadaan lausekkeesta cosα =, josta AE, 4997 4 V:, cm V:,4 cm v 006

Preliminäärikoe RATKAISUT Lyhyt matematiikka syksy 05 4 / 9 6. RATKAISU: *Suorat piirretty oikein *Suorien y = x ja y = x + 4 leikkauspisteet laskettu oikein x = x + 4 4x = 4 x = y = * Suorien y = x ja y = x + 4 leikkauspisteet laskettu oikein x = x + 4 4x = x = y = *Kolmas leikkauspiste saadaan suoraan yhtälöistä (0, 4) *Leikkauspisteet merkitty kuvaan oikein *Kolmion pinta-alan voi laskea monella tapaa: laskulauseke esim. A(kolmio)= A(suorakulmio)-[A()+A()+A()] oikeat lukuarvot A( kolmio) = + + = 9 (,5 + +,5) = 9 5 = 4 v 006

Preliminäärikoe RATKAISUT Lyhyt matematiikka syksy 05 5 / 9 7. RATKAISU: a) sinisiä kpl valkoisia 0,75 = 9 kpl sinivalkoisia 9 = kpl b) P(kaikki 4 sinisiä) =P(. pallo sininen ja. pallo sininen ja. pallo sininen ja 4. pallo sininen) 0 9 5 = = 0,04658 4 V: 0,047 tai 0,05 c) P(kaikki 4 sinivalkoisia) =P(. pallo sinivalkoinen ja ja 4. pallo sinivalkoinen) 0 = 4 0 = V: nolla 8. RATKAISU: Ensimmäinen jono on aritmeettinen lukujono: a =, d = 5 ja a = + ( n ) ( 5) = 5n + 8 n a = 5 6 + 8 = 7 6 + ( 7) 69 S6 = 6 = 6 = 55 Toinen jono on geometrinen lukujono: a =, q = 5 S 6 ( 5) = ( 5) 6 0 0 = 7,699... 0 7,6 0 Summien suhde on 7,699... 0 55 0 = 8669 v 006

Preliminäärikoe RATKAISUT Lyhyt matematiikka syksy 05 6 / 9 9. RATKAISU: Kuvaaja Kuvaaja voi olla suora, pariton potenssifunktio tai paloittain määritelty funktio, joka ei ole vähenevä millään muuttujan arvolla. Derivoitavuutta ei tarvitse tässä kohtaa huomioida. Kaikkialla kasvavan funktion derivaattafunktion arvot ovat aina positiivisia tai nolla. f '( x) + 4 = 5x x 4 f '( x) = 0, kun 5x + x = 0, josta x (5x + ) = 0 ja tulon nollasäännöllä nollakohdat. x = 0, josta x = 0 5x 5x + = 0 = x = 5 Funktiolla on vain yksi nollakohta, Koska funktion kulkusuunta voi muuttua vain derivaatan nollakohdassa, niin lasketaan derivaattafunktion arvot nollakohdan molemmilta puolilta 4 f '( ) = 5 ( ) + ( ) = 8 ja ja, josta ei tule reaalisia nollakohtia. 4 f '() = 5 + = 8 eli derivaatan arvot ovat positiivisia muualla kuin kohdassa x = 0, jossa 5 derivaatan arvo on nolla, niin itse funktio f ( x) = x + x + on kaikilla muuttujan arvoilla kasvava. v 006

Preliminäärikoe RATKAISUT Lyhyt matematiikka syksy 05 7 / 9 0. RATKAISU: Sivujana s: ( ) s = r + r = 0r, josta s = 0 r Sivujana on tällöin 0 r = r 0, kertainen pohjan säteeseen verrattuna. Vaipan pinta-ala on = π r s A v = π r 0 r = 0 π r Keskuskulma: α A v = π s = π r s 60 o α π ( r 0) = 0 π r, josta o 60 α 0 π r == o 60 0π r ja α = o 60 0 o 4 0. RATKAISU: merkitään alkuperäistä massaa kirjaimella a. 4 f (4) = 0,975 a = 0, 499976a eli alkuperäisestä massasta on jäljellä puolet, joten puoliintumisaika on 4 min. + Kun isotoopista on hajonnut 0 %, niin sitä on jäljellä 90 % t Saadaan yhtälö 0,975 a = 0,9a, jonka ratkaisu on lg( 0, 9 ) t =, 6478 (min) lg( 0, 975) V:,6478... 60s = 8,869... s 9s v 006

Preliminäärikoe RATKAISUT Lyhyt matematiikka syksy 05 8 / 9. RATKAISU:. RATKAISU: Muutoksia eli vähennyskertoimella kertomisia on kpl. Kun on kulunut viikkoa ensimmäisestä annoksesta, otetaan. annos. Viikoittainen vähennys saadaan yhtälöstä x a = a, josta 500 x = ± ± 0,759 500 Viikoittainen vähennysprosentti on tällöin 00 % 75,4% = 4,6% Viikkoannokset muodostavat geometrisen lukujonon. Lääkettä otetaan yhteensä S = S + a eli 0,754 S = 500 + 500 0,754 0,754 S = 09,447+,00555 0,45486 V: 0 ml Kokeen pistemäärä x ~ N( x, s) Tiedetään, että P( x < 45) = 0, 75 eli Φ( z ) = 0, 75. Taulukosta saadaan, että 45 68 Lisäksi tiedetään, että P( x < ) = 0, 06 eli Φ( z ) = 0,06 = 0, 97. Taulukosta sekä symmetrian avulla saadaan, että z =, 5. Normitetuista arvoista saadaan yhtälöpari 45 x z45 = = 0,68 s 45 x = 0,68s 45 x = 0,68s, josta ja edelleen. x x =,5 s + x =,5 s z = =,5 s Yhteenlaskulla saadaan =,s, josta s = 4,9... 5 pistettä. x = 45 0,68 4,9... = 4,846584 5 pistettä v 006

Preliminäärikoe RATKAISUT Lyhyt matematiikka syksy 05 9 / 9 4. RATKAISU: Vuotuinen korko 0,07 %+,5 % =, %,% Maksuerän korko = 0,% 5764 Maksukertoja = 05,58 06 kpl. 500 Viimeinen lyhennys 5764 05 500 = 64 (euroa), josta korko 64 0,00 = 0, 9 (euroa) Viimeinen maksuerä 64 + 0,9 = 64,9 Ensimmäisen erän korko 5764 0,00 = 58, 04 (euroa) Toisen erän korko ( 5764 500 ) 0,00 = 57, 49 (euroa) Korot muodostavat aritmeettisen lukujonon, jossa a = 0,9, a = 58, 06 04 ja d = 58,04 57,49 = 0, 55 0,9 + 58,5 S06 = 06 = 6,9 5. RATKAISU: a) Paikkavektori a = 6 i + j Pistetulo a b = 6 4 + ( t) = 6, josta t = 4 a = 6 + = 40 ja b = 4 + ( 4) = Vektoreiden välinen kulman o α = 6,4 cosα = 6, josta 40 π b) Funktion osan cos ( x + 8) arvot vaihtelevat ja välillä, joten funktion suurin arvo on f suurin ( x) =,5 +, =, 7 astetta ja pienin arvo on ( x) =,5 ( ) +, =, f pienin v 006