KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme
Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa työn ja energian näkökulmasta Ymmärtää käsitteet Voiman tekemä työ Teho ja hyötysuhde Konservatiiviset voimat ja periaatteet Työn ja energian periaate Energian säilymisen periaate Osata näiden avulla ratkaista ongelmia, joissa esiintyy voima, nopeus ja siirtymä Sisältö: Voiman tekemä työ Työn ja energian periaate Teho ja hyötysuhde Konservatiiviset voimat Energian säilymisen periaate Esimerkkitehtäviä
Sovelluksia Vuoristoradan suunnittelussa hyödynnetään painovoimaa, joka antaa vauhtia vaunuille. Dynamiikan keinoin voidaan ratkaista myös matkustajiin kohdistuvat voimat.
Voiman tekemä työ (Kirjan luku 14.1) Voima tekee työtä kappaleeseen, kun kappaleella on siirtymä voiman suuntaan Jos voima ei ole saman suuntainen kuin siirtymä, työtä tekee ainoastaan voiman komponentti, joka on siirtymän suuntainen. Kun voima pysyy vakiona, työ on voiman siirtymän suuntaisen komponentin ja siirtymän tulo U 1 2 = F c cos θ (s 2 s 1 ) U 1 2 = F c cos θ s 2ds s 1
Voiman tekemä työ (Kirjan luku 14.1) Kun siirtymä ja voima kirjoitetaan vektorimuodossa, voidaan työ esittää pistetulona. du = F dr Muuttuvan voiman tekemä kokonaistyö saadaan integroimalla Kun voima on muuttuva, täytyy kirjoittaa yhtälöt differentiaalimuodossa. Voiman vaikutuksesta partikkeli siirtyy differentiaalisen pienen matkan, dr. Matkan suuruus on ds. Työ on: du = Fds cos θ U 1 2 = = r 1 r 2F dr s 1 s 2F cos θ ds
Esimerkkejä Määritä voiman tekemä työ kun kappale siirtyy 2m. 20 N 3 4 5 2m F = 6s 2 N 2m Työtä tekee voiman siirtymän suuntainen komponentti. U = 4 5 20N 2m = 32 J Kun voima on muuttuva, työ määritellään integroimalla. U = s 1 s 1Fds = 0 2 6s 2 ds = 6 3 s3 0 2 = 2(2 3 ) = 16 (J)
Voiman tekemä työ (Kirjan luku 14.1) Painon tekemä työ y s y s y 1 s 1 y 2 s 2 W dr W dr = dxi + dyj + dzk y 2 s 2 x y 1 s 1 x W = Wj U 1 2 = W(s 2 s 1 ) U 1 2 = W(s 2 s 1 ) U 1 2 = r 1 r 2( Wj ) (dxi + dyj + dzk) = W(y 2 y 1 ) = W(y 2 y 1 ) = y 2 Wdy = W(y2 y 1 ) = W y = W y y 1 = W y
Voiman tekemä työ (Kirjan luku 14.1) Jousivoiman tekemä työ du = F s ds = ks ds Kokonaistyö, kun partikkeli siirtyy pisteestä s 1 pisteeseen s 2, saadaan integroimalla U 1 2 = s 1 s 2 Fs ds = s 1 s 2 ks ds U 1 2 = ( 1 2 ks 2 2 1 2 ks 1 2 )
Voiman tekemä työ Kitkavoiman tekemä työ U 1 2 = μ k Ns Todellisuudessa kitkallinen liukuminen aiheuttaa lämpenemistä, eli kappaleen sisäinen energia kasvaa. On ymmärrettävä, että kitkavoiman tekemä työ, μ k Ns, sisältää kitkavoiman tekemän ulkoisen työn sekä sisäisen työn, joka muuttuu sisäiseksi energiaksi.
Työn ja energian periaate (kirjan luvut 14.2 ja 14.3) Kaikkien voimien tekemän työn summa on yhtä suuri kuin kappaleen liike-energian muutos ΣU 1 2 = 1 2 mv 2 2 1 2 mv 1 2 T 1 + ΣU 1 2 = T 2 Periaate johdetaan liikeyhtälöstä ja kinematiikan yhtälöistä (johtoon voi tutustua kirjassa). Työn ja energian periaatetta voidaan käyttää liikeyhtälön sijasta kinetiikan ongelmien ratkaisemiseen, kun halutaan selvittää voima, nopeus ja siirtymä.
Esimerkki Seinän ja 10 kg painoisen laatikon välissä on jousi. Määritä laatikon nopeus, kun s = 0.5 m. Laatikko ja jousi ovat levossa kun s = 0. Kitkaa ei huomioida. Työ ja vapaakappalekuva. Ratkaistaan liikkeen s suuntaisten voimien tekemät työt sekä niiden tekemä kokonaistyö. 500 N voiman tekemä työ, U F. 10 9.81 N N F s U F = 500N 4 5 0.5m = 200 J Jousivoiman tekemä työ, U S. (U S ) 1 2 = ( 1 2 ks 2 2 1 2 ks 1 2 ) U S = 1 2 500 N m Kokonaistyö. 0.5m 2 = 62.5 J ΣU = U F + U S = 137.5 J Työn ja energian periaate. T 1 + ΣU 1 2 = T 2 1 2 mv 1 2 + ΣU = 1 2 mv 2 2 0 + 137.5J = 1 2 (10kg)v 2 2 v 2 = 137.5J/5kg = 5.24 m s
Teho ja hyötysuhde (Kirjan luku 14.4) Teho määritellään tehdyn työn määränä aikaintervallia kohti P = du dt Vektorimuodossa P = du dt = F dr dt = F dr dt Koneen hyötysuhde määritellään koneen tuottaman tehon ja koneeseen syötetyn tehon suhteena ε = power output power input P = F v = Fv cos θ Tehon yksikkö P = W = J/s P = hp = 746W
Esimerkki Määritä voiman F teho, kun s = 5m. Kun s = 0, laatikon nopeus on v = 1 m/s. Kitkaa ei huomioida. Laatikon paino on 20 kg. Tunnemme voiman sekä kappaleen nopeuden liikkeen alussa (s = 0). Liikeyhtälön avulla määritetään kiihtyvyys. Kinematiikan yhtälöillä saadaan kiihtyvyyden avulla nopeus, kun s = 5m. Teho saadaan nopeuden ja voiman tulosta. + ΣF x = ma x a = F m = 10s 20 = 1 2 s ads = vdv s 0 s a ds = v v 0 vdv 0 5 1 2 s ds = 1 v vdv 1 4 52 = 1 2 v2 1 2 12 v 5m = 3.674 m/s Teho P = F v P(5m) = 10 5 N(3.674 m s ) = 184 W
Konservatiiviset voimat ja potentiaalienergia (Kirjan luku 14.5) Voima on konservatiivinen jos sen tekemä työ ei riipu reitistä Painovoima ja jousivoima ovat konservatiivisia Kitkavoima on ei-konservatiivinen, koska sen tekemä työ riippuu kappaleen kulkemasta reitistä Mekaniikassa tärkeitä potentiaalienergian muotoja ovat painovoimaan liittyvä potentiaalienergia, V g, ja jousivoimaan liittyvä potentiaalienergia, V e. Potentiaalienergia on energiaa, joka riippuu paikasta, mitattuna kiinteästä vertailutasosta tai pisteestä. Potentiaalienergia kuvaa konservatiivisen voiman tekemää työtä, kun se liikkuu takaisin vertailupisteeseen.
Konservatiiviset voimat ja potentiaalienergia (Kirjan luku 14.5) Kun partikkeliin kohdistuu painovoima ja jousivoima, sen potentiaalienergia on summa: V = V g + V e Konservatiivisten voimien tekemä työ on potentiaalienergian muutos U 1 2 = V 1 V 2
Energian säilymisen periaate (Kirjan luku 14.6) Konservatiivisten voimien tekemä työ on potentiaalienergian muutos (ΣU 1 2 ) cons = V 1 V 2 Kokonaistyö on konservatiivisten voimien tekemän työn ja ei-konservatiivisten voimien tekemän työn summa ΣU 1 2 = (ΣU 1 2 ) cons +(ΣU 1 2 ) noncons Sijoitetaan konservatiivisten voimien tekemä työ työn ja energian periaatteen lausekkeeseen. T 1 + V 1 + (ΣU 1 2 ) noncons = T 2 + V 2 Kun vain konservatiiviset voimat tekevät työtä: T 1 + V 1 = T 2 + V 2 Mekaanisen energian säilymislaki Työn ja energian periaate T 1 + ΣU 1 2 = T 2 Mekaanisen energian säilymislain mukaan liike- ja potentiaalienergian summa on vakio liikkeen aikana. Energiaa ei häviä, vaan se muuttaa muotoaan.
Esimerkki Piirretään kuvaan laatikko alkutilanteessa ja lopputilanteessa. Määritellään vertailutaso laatikon alareunaan alkutilassa. Oletetaan, että lopputilanteessa kaikki jouset ovat puristuneina. Laatikko päästetään putoamaan asemastaan 1.5 m levyn yläpuolella. Laatikon massa on 35 kg. Määritä levyä tukevien jousten puristuma, kun laatikko on hetkellisesti pysähdyksissä iskeydyttyään levyyn. 35 9.81 N 1 35 9.81 N 2 Datum h = 1.5m + s A s C = s A s A s B = s A 0.075m Sovelletaan energian säilymisen periaatetta tehtävän ratkaisemiseen. = 0 = 0 = 0 T 1 + V 1 = T 2 + V 2 V 2 = V g2 + V e2 = mgh + 1 2 ks A 2 + 1 2 k s B 2 + 1 2 ks A 2 = 0
Esimerkki Laatikko päästetään putoamaan asemastaan 1.5 m levyn yläpuolella. Laatikon massa on 35 kg. Määritä levyä tukevien jousten puristuma, kun laatikko on hetkellisesti pysähdyksissä iskeydyttyään levyyn. 35 9.81 N 1 35 9.81 N 2 Datum h = 1.5m + s A s C = s A Sijoitetaan tunnetut arvot yhtälöön ja ratkaistaan jousien puristuma, s A. s A s B = s A 0.075m V 2 = mgh + 1 2 ks A 2 + 1 2 k s B 2 + 1 2 ks A 2 = 0 = 35(9.81)(1.5 + s A ) + 1 2 ks A 2 + 1 2 k (s A 0.075) 2 + 1 2 ks A 2 = 0 Ratkaistaan toisen asteen yhtälö. s A = 0.170 m Jousen B puristuma on s B = s A 0.075m s B = 0.095 m
Yhteenveto Määrittelimme voiman tekemän työn Sovelsimme työn ja energian periaatetta, jolla voidaan ratkaista ongelmia, joihin liittyy voima, nopeus ja siirtymä T 1 + ΣU 1 2 = T 2 Määrittelimme tehon ja hyötysuhteen P = F v Sovelsimme energian säilymisen periaatetta, jolla voidaan helposti ratkaista ongelmia, joissa esiintyy nopeus, siirtymä ja konservatiivisia voimia T 1 + V 1 = T 2 + V 2