Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 3: Analyyttisten funktioiden geometriaa: konformikuvaukset J.v.Pfaler (modif) () KP3 Kompleksiluvut 1 / 30 Gerardus Mercator (Gerard Kremer) 5.3.1512 2.12.1594 ja Mercatorin Atlaksen englanninkielisen painoksen kansi. J.v.Pfaler (modif) () Johdanto: Mercatorin kartta 2 Mercatorin projektion ominaisuuksia 3 Mercatorin projektion konstruktio 4 Mercatorin kartan huonoja puolia 5 Konformikuvaukset kompleksitasossa 6 Analyyttisten funktioiden konformisuus 7 Mo bius-kuvaukset J.v.Pfaler (modif) 1 KP3 Kompleksiluvut 3 / 30 J.v.Pfaler (modif) () KP3 Kompleksiluvut 2 / 30 Mercatorin kuuluisa maailmankartta Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigatium Emendate (1569) J.v.Pfaler (modif) () KP3 Kompleksiluvut 4 / 30
Sylinteriprojektio Sylinteriprojektioksi kutsutaan sellaista karttaprojektiota, jossa leveyspiirit (ϕ) kuvautuvat kartalla vaakasuoriksi viivoiksi ja pituuspiirit (λ) pystysuoriksi viivoiksi. Konformisuus Mercatorin projektio määritellään kaavalla (x, y) = ( λ, ln ( tan(ϕ/2 + π/4) )), missä ϕ on pallon pinnalla olevan pisteen leveyspiiri ja λ sen pituuspiiri. Mercatorin projektio on konforminen, eli se säilyttää kahden käyrän välisen kulman niiden leikkauspisteessä. Se on ainoa konforminen sylinteriprojektio. J.v.Pfaler (modif) () KP3 Kompleksiluvut 5 / 30 J.v.Pfaler (modif) () KP3 Kompleksiluvut 6 / 30 Mercatorin projektion konstruktio Loksodromit Loksodromi on käyrä, joka syntyy edettäessä johonkin kiinnitettyyn kompassisuuntaan. Mercatorin projektiossa suorat kartalla vastaavat loksodromeja. Koska pituus- ja leveyspiiri on mahdollista selvittää mittaamalla taivaankappaleiden korkeuksia, ja suunta kompassia käyttämällä, tämä projektio soveltuu erittäin hyvin navigointiin. Mercator ei esittänyt karttaprojektiolleen matemaattista selitystä. Vuonna 1599 englantilainen matemaatikko Edward Wright keksi tarkastelemalla pienten neliöiden kuvautumista, kuinka Mercatorin projektio tehdään matemaattisesti. Tarkastellaan pientä tonttia, joka sijaitsee leveyspiirillä ϕ, jonka rajat ovat pituus- ja leveyspiirien suuntaiset ja sekä leveys että korkeus on h. Jotta Mercatorin projektio voisi toimia, on myös tontin kuvan kartalla oltava neliö. J.v.Pfaler (modif) () KP3 Kompleksiluvut 7 / 30 J.v.Pfaler (modif) () KP3 Kompleksiluvut 8 / 30
Mercatorin projektion konstruktio, jatkoa Merkitään kuvapistettä (x, y) on kuvapiste ja valitaan x = λ. Jäljelle jää laskea miten saadaan y. Voidaan päätellä, että leveyspiiriä ϕ vastaava venytys karttaprojektiossa on 1/ cos ϕ. Siis tontin, jonka leveys on h, leveys kartalla on h/ cos ϕ. Siksi myös korkeuden on oltava h/ cos ϕ. Mercatorin projektion konstruktio, jatkoa Selvästi y-koodinaatti riippuu vain leveyspiiristä ϕ. Voidaan siis merkitä y = F (ϕ). On selvitettävä mikä F on. Tontin kuvasta kartalla saatiin yhtälö, joka voidaan kirjoittaa F :n avulla F (ϕ + h) F (ϕ) = h/ cos ϕ, eli F (ϕ + h) F (ϕ) h Kun h 0, saadaan F (ϕ) = 1/ cos ϕ. = 1 cos ϕ. Kiinnittämällä päivätasaajan kuva kartalla tasolle 0, saadaan y-koordinaattille kaava F (ϕ) = ϕ 0 dt cos(t). J.v.Pfaler (modif) () KP3 Kompleksiluvut 9 / 30 J.v.Pfaler (modif) () KP3 Kompleksiluvut 10 / 30 Mercatorin projektion konstruktio, jatkoa Valittettavasti tämä oli ennen differentiaali- ja integraalilaskentaa, ja integraalia ei osattu laskea. Likiarvoja julkaistiin taulukkoina käytettäväksi merenkulussa. John Napier keksi vuonna 1614 logaritmifunktion, ja 1620 julkaistiin trigonometristen funktioiden logaritmeja sisältänyt taulukkokirja. Taulukkokirjoja tutkiessaan Henry Bond huomasi sattumalta 1640, että ϕ dt cos(t) = ln ( tan ( ϕ/2 + π/4)). 0 Tämän tuloksen todistaminen säilyi kuitenkin avoimena ongelmana aina vuoteen 1668, jolloin James Gregory julkaisi sille (erittäin monimutkaisen) todistuksen. Loksodromi ei anna lyhintä reittiä Loksodromit ovat hyödyllisiä suunnistettaessa kompassin avulla. Lyhyn reitti kahden pisteen välillä on kuitenkin isoympyrän kaari (kuvassa punainen), joka on (yleensä) eri kuin loksodromi (sininen). J.v.Pfaler (modif) () KP3 Kompleksiluvut 11 / 30 J.v.Pfaler (modif) () KP3 Kompleksiluvut 12 / 30
Pinta-alan vääristyminen Mercatorin projektio ei säilytä pinta-aloja. Esimerkiksi Grönlanti näyttää projektiossa suunnilleen saman kokoiselta kuin Afrikka. Todellisuudessa Afrikka on pinta-alaltaan noin 13-kertainen. Konformikuvaukset kompleksitasossa Määritelmä Kuvausta (funktiota) w = f (z) sanotaan konformiseksi (conformal), jos se säilyttää kahden toisiaan leikkaavan sileän polun välisen kulman (tarkoittaen sekä kulman suuruutta että suuntaa). Tässä kahden polun välisellä kulmalla tarkoitetaan niiden tangenttien kulmaa leikkauspisteessä z 0. J.v.Pfaler (modif) () KP3 Kompleksiluvut 13 / 30 J.v.Pfaler (modif) () KP3 Kompleksiluvut 14 / 30 Esimerkkejä Analyyttisten funktioiden konformisuus Kuvaus z re iθ z on konforminen kaikilla θ, r > 0. Kuvaus z z 2 kahdentaa kulmat pisteessä 0. Siten se ei ole konforminen tässä pisteessä (itseasiassa se on konforminen kaikissa muissa pisteissä). Lause Analyyttinen funktio f : D f (D) on konforminen kaikissa niissä pisteissä z D, joissa f (z) 0. J.v.Pfaler (modif) () KP3 Kompleksiluvut 15 / 30 J.v.Pfaler (modif) () KP3 Kompleksiluvut 16 / 30
Todistus (idea) Esimerkkejä, potenssifunktio Oletetaan z 0 D ja f (z 0 ) 0. Tarkastellaan polkua pisteessä z 0 D. C : z(t) = x(t) + iy(t) Jos z(t 0 ) = z 0, niin z (t 0 ) on polun C tangentin pisteessä z 0. Polun C kuva on yhdistetty kuvaus w(t) = f (z(t)). Derivoinnin ketjusäännöstä saadaan w (t) = f (z(t))z (t). Koska f :n derivaatta kiinnitetyssä pisteessä on kompleksiluku (oletuksen mukaan (f (z 0 ) 0), nähdään että kuvaus f muuttaa pisteessä z 0 kaikkien polkujen argumentteja yhtä paljon, eli säilyttää kulmat. Potenssifunktio f : z z n, missä n = 2, 3,... on konforminen kaikissa muissa pisteissä paitsi nollassa. Tämä voidaan nähdä laskemalla f (z) = nz n 1. Kuvaus f kuvaa sektorin (ks. kuva), jonka kulma on π/n ylemmälle puolitasolle. J.v.Pfaler (modif) () KP3 Kompleksiluvut 17 / 30 J.v.Pfaler (modif) () KP3 Kompleksiluvut 18 / 30 Esimerkkejä, Joukowskin siipiprofiili Kuvausta J : z z + 1/z kutsutaan Joukowskin siipiprofiiliksi. Joukowskin kuvauksen derivaatta on Riemann pallo Kompleksitaso, ja siis kompleksiluvut (kuvassa piste A), voidaan kuvata yksikköpallon pinnalle (pisteeksi α) seuraavalla kuvauksella: 1 1 (z + 1)(z 1) = z2 z 2, mistä nähdään, että se on konforminen muualla paitsi pisteissä z = ±1. J.v.Pfaler (modif) () KP3 Kompleksiluvut 19 / 30 J.v.Pfaler (modif) () (c) KP3Wikipedia Kompleksiluvut 20 / 30
Riemann pallo Kuvaus analoginen kompleksilukujen kuvaamisen tason pisteiksi. Nyt vain kuvaamme ne pallon pinnalle. Sillä on seuraavat ominaisuudet: Kuvaus säilyttää kahden käyrän väliset kulmat, muttei pisteiden välisiä etäisyyksiä (pallon normaalilla metriikalla mitattuna). Yksikköympyrä kuvautuu ekvaattoriksi, origo kuvautuu etelänavaksi, kompleksitaso kuvautuu pallon pinnaksi lukuunottamatta pohjoisnapaa. Kompleksitason kuvaus z 1/z kuvaa pallon eteläpuolen pohjoispuoleksi. Kutsumme pohjoisnapaa äärettömyydeksi. Laajennettu kompleksitaso Osoittautuu hedelmälliseksi tarkastella jatkossa ns laajennettua kompleksitasoa, C { }, joukkoa joka sisältää kompleksilukujen lisäksi äärettömyyden yhtenä pisteenä. Liitetään äärettömyys kompleksilukuihin, liittämällä se Riemannin pallolle pohjoisnavalle. J.v.Pfaler (modif) () KP3 Kompleksiluvut 21 / 30 J.v.Pfaler (modif) () KP3 Kompleksiluvut 22 / 30 Möbius-kuvaukset Möbius-kuvaukset, esimerkkejä Möbius-kuvaukset (Möbius transformations, fractional linear transformations) ovat kuvauksia, jotka voidaan määritellä muotoa f (z) = az + b, (ad bc 0) cz + d olevalla kaavalla, missä a, b, c ja d ovat kompleksisia (tai reaalisia) vakioita. Koska f (z) = a(cz + d) c(az + b) (cz + d) 2 = ad bc (cz + d) 2, nähdään, että f (z) 0 (ja siten f on konforminen) kaikilla z z {z C : cz + d 0}. Erityisesti Möbius-kuvauksia ovat: siirrot z z + a, a C vakio, rotaatiot z az, a = 1, lineaarikuvaukset z az + b, a 0, peilaus yksikkökiekossa z 1/z. Huomautus 1. Itseasiassa kaikki Möbius-kuvaukset voidaan esittää yhdisteenä äärellisen monesta tällaisesta kuvauksesta. Huomautus 2. Suoran tai ympyrän kuva Möbius-kuvauksessa on aina suora tai ympyrä. J.v.Pfaler (modif) () KP3 Kompleksiluvut 23 / 30 J.v.Pfaler (modif) () KP3 Kompleksiluvut 24 / 30
Möbius-kuvaukset, käänteiskuvaus Möbius-kuvaukset, kolmen pisteen kuvaaminen Möbius-kuvauksen w = f (z), f (z) = az + b, (ad bc 0) cz + d käänteiskuvaus z = f 1 (w) saadaan kaavasta f 1 (w) = dw b cw + a. Lause Jos on annettu kolme erillistä pistettä z 1, z 2, z 3 kompleksitasossa, ne voidaan aina kuvata (pisteiden järjestys säilyttäen) kolmikolle w 1, w 2, w 3 yksikäsitteisellä Möbius-kuvauksella, joka löydetään ratkaisemalla w yhtälöstä (w w 1 )(w 2 w 3 ) (w w 3 )(w 2 w 1 ) = (z z 1)(z 2 z 3 ) (z z 3 )(z 2 z 1 ). Jos jokin pisteistä äärettömyyspiste, voidaan kaava tulkita raja-arvona. Todistus. Sivuutetaan. J.v.Pfaler (modif) () KP3 Kompleksiluvut 25 / 30 J.v.Pfaler (modif) () KP3 Kompleksiluvut 26 / 30 Esimerkkejä Etsitään Möbius-kuvaus, joka vie kolme pisteet 1, 0, 1 pisteiksi i, 0, i. Sijoitetaan kaavaan: Saadaan: (w + i)(0 i) (z + 1)(0 1) = (w i)(0 + i) (z 1)(0 + 1). (w + i)(z 1) = (w i)(z + 1) wz w + iz + 1 = wz + w iz + 1 Esimerkkejä, kuvataan puolitaso kiekolle Etsitään Möbius-kuvaus, joka vie kolme pistettä puolitason reunalla 1, 0, 1 kolmeksi pisteeksi kiekon reunalla 1, i, 1. Kaavasta saadaan Ratkaistaan w ja saadaan (w ( 1))( i 1) (z ( 1))(0 1) = (w 1)( i ( 1)) (z 1)(0 ( 1)). f (z) = w = z i iz + 1. 2iz = 2w, eli f (z) = iz. J.v.Pfaler (modif) () KP3 Kompleksiluvut 27 / 30 J.v.Pfaler (modif) () KP3 Kompleksiluvut 28 / 30
Esimerkkejä, äärettömyyspiste Esimerkkejä, kiekon kuvaaminen puolitasolle Kuvataan pisteet 0, 1, pisteille 1, i, 1. Kaavasta saadaan kun huomataan, että w = z i z + i, 1 ω lim ω z ω = 1. Kuvataan pisteet 1, i, 1 pisteille 0, i,. Kuten edellä, kaavasta saadaan ratkaistua w = z + 1 z 1. J.v.Pfaler (modif) () KP3 Kompleksiluvut 29 / 30 J.v.Pfaler (modif) () KP3 Kompleksiluvut 30 / 30