71 5. Integrointi n-ulotteisessa avaruudessa Taso-integraali 2 Yleistetään edellä esitetty määrätyn integraalin käsite ensin tasoon, 3 n sitten kolmiulotteiseen avaruuteen ja lopuksi yleiseen :ään. Kaikissa tapauksissa yhteisenä ominaisuutena on integraalin liittyminen kumulatiivisiin ilmiöihin. Esimerkiksi tasoalueen (region) R pintatiheyden ρ(x,y) ja pienten pintaalkioiden a i tulojen ρ(x,y) a i summista saadaan R:n massa. Ajatuksena on jakaa integroitava tason joukko pieniin palasiin, kuten yhden muuttujan tapauksessa väli [a,b] jaettiin osaväleihin. Nyt joukot voivat kuitenkin olla huomattavasti monimutkaisempia kuin yhden muuttujan tapauksessa. Oheisissa kuvissa alue R on jaettu samankokoisiin (mikä ei yleisesti ole välttämätöntä) palasiin R k sisältäpäin.
72 2 Avaruudessa sanomme väleiksi sellaisia suorakulmioita, jotka ovat sivuiltaan koordinaattiakselien suuntaisia. Karteesista tuloa hyväksi käyttäen suljetun välin muoto on siis 2 I = [a,b] [c,d] = {(x,y) a x b, c y d}. Vastaavasti määritellään avoimet välit. Suljetun välin pinta-ala katsotaan selviöksi ja sovitaan, että se on a(i) = (b-a)(d-c). Avoimen välin pinta-ala on sama. (Tämä voitaisiin todistaa alla olevan pinta-alamitan määritelmän avulla.)
73 Suljetut välit ovat sisäosiltaan erillisiä, jos niiden sisäosat eivät leikkaa. (Reunoissa saa olla yhteisiä pisteitä.) Olkoon R tason rajoitettu joukko. Joukkoa R voidaan approksimoida sisältäpäin suljettujen sisäosiltaan erillisten välien R k R äärellisillä yhdisteillä: k R k R. Vastaavasti ulkopuolelta: R Sk. k Näillä välien yhdisteillä on äärellisinä summina pinta-alat: a( Rk )=a(r 1 )+ a(r 2 )+..., a( Sk )=a(s 1 )+ a(s 2 )+.... k k Joukon R sisäala on kaikkien mainitun tyyppisten sisäpuolelta approksimoivien väliyhdisteiden pinta-alojen pienin yläraja, ja vastaavasti ulkoala ulkopuolelta approksimoivien väliyhdisteiden pintaalojen suurin alaraja. Joukko R on (Jordan-)mitallinen, jos sisäala ja ulkoala ovat samat. Silloin yhteinen arvo on joukon R ala (Jordan-mitta, pinta-ala, pintamitta,...), merkitään a(r). Joukko R on nollamittainen, jos sen ala on 0. Jonkin ominaisuuden sanotaan olevan voimassa melkein kaikkialla X:ssä, jos se on voimassa kaikkialla X:ssä, paitsi mahdollisesti nollamittaisessa X:n osajoukossa. Voidaan osoittaa, että rajoitettu tasojoukko R on Jordan-mitallinen täsmälleen silloin, kun sen reuna on nollamittainen. Siis ei-mitalliset joukot ovat siinä mielessä melko "patologisia", että niillä on paljon reunaa: Reunan pinta-ala on ei-mitallisilla joukoilla positiivinen.
74 Nyt voidaan tasointegraali joukon R yli määritellä analogisesti yhden muuttujan tapauksen kanssa Riemannin summilla. Kun integroimisjoukon jako pienempiin osiin tehdään, jokaisen jakoon kuuluvan osajoukon pinta-ala on määritelty, mikäli osat ovat Jordan-mitallisia. Koska Jordan mitallisilla joukoilla pinta-ala on sama kuin sisäala, voidaan jako ilmeisesti korvata approksimatiivisesti välien yhdisteellä. 2 Funktion f: Riemannin integraali yli tasojoukon R määritellään Riemannin summien raja-arvona, kun jakoa tihennetään: R f ( xyda, ) = lim f( x, y) a D 0 i i i i Jako tässä määritelmässä voidaan aina saada aikaan siten, että R sijoitetaan yhteen väliin I = [a,b] [c,d] ja jaetaan yksiulotteiset välit [a,b] ja [c,d] kukin osaväleihin. Kun näiden osavälien jakoja tihennetään, tihenee välin I jako ja samalla R:n jako. Merkintä D tarkoittaa jaon normia, joka voidaan laskea osavälien jakojen normien D 1 ja D 2 avulla muodossa D = (D 1,D 2 ) 2. Pinta-ala a i kuvaa jaon yleisen välin R i pinta-alaa ja piste (x i,y i ) on väliltä R i valittu jokin piste.
Voidaan todistaa, että funktio f on Jordan-mitallisessa joukossa R Riemann-integroituva täsmälleen silloin, kun se on siellä rajoitettu ja melkein kaikkialla jatkuva. (Lebesguen integroituvuusehto Riemannintegraalille) 75
76 Erityisesti siis jos R on suljettu (rajoitettuhan se on jo aikaisemman oletuksen mukaan) niin jokainen jatkuva funktio on kompaktissa joukossa R rajoitettu ja siis Riemann-integroituva. Jos funktio f(x,y)=1 joukossa R, niin integraali antaa R:n pinta-alan (Jordan mitan): ar ( ) = 1da. R Toisin ilmaistuna: Joukon R karakteristisen funktion χ R (x) = 1, kun x R, χ R (x) =0 muuten, 2 integraali yli koko tason on joukon R pinta-ala: a(r) = χ R da. 2 Kytkentä tasointegraalin ja tilavuuden välille saadaan, kun todetaan, että kahden muuttujan funktion f(x,y) 0 kuvaajan ja xy-tason välisen kappaleen tilavuus on {(x,y,z) R 3 (x,y) R, 0 z f(x,y)} f ( xyda, ). R (Vertaa yhden muuttujan funktion tilanteeseen: Kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala on määrätty integraali.)
77 Oheisessa kuviossa on pinta z=f(x,y) ja sitä on approksimoitu kohdassa ( x1, y 1) tason palasella T 1, joka on ( x, y) -tason suuntainen ja jonka projektio tälle on R 1. Pylvään tilavuus on silloin f ( x1, y1) x1 y1. Tilavuus saadaan siis Riemannin summana. (Jälkimmäisessä kuvassa pylvään mittasuhteita on liioiteltu suuremmiksi.)
Pylväiden tihentämistä ja summaamista havainnollistaa myös seuraava kuva: 78
Tällainen integraali voidaan laskea kaksinkertaisena integraalina edellyttäen, että pohja R on esitettävissä kahden funktion välissä olevana tasoalueena, jonka voi "maalata" kordinaattiakselien suuntaisin vedoin, kuten seuraavassa kuvassa: 79
80 Integraali voidaan esittää iteroituna integraalina, jolloin laskenta palautuu kahdeksi yhden muuttujan peräkkäiseksi integroinniksi: b g 2( x ) 2( ) merk. b g x f ( xyda, ) = ( f( xydydx, ) ) = f( xydydx, ). R a g1( x) a g1( x) Sisempi integraali antaa yllä olevassa kuvassa näkyvän pinta-alan A( x ): g2( x) A( x) = f( x, y) dy. g1( x) Tätä laskettaessa muuttuja x on siis parametrina vakion roolissa. Jos alueen R muoto sallii, niin integraalissa on mahdollista vaihtaa integroimisjärjestystä. Kun edellä "maalattiin" R pystysuorin vedoin eli y- akselin suuntaisesti, niin silloin maalataan vaakasuorin vedoin eli x- akselin suuntaisesti. Helpoin tilanne on, jos R on suorakulmio [a,b] [c,d]: b d d b f ( x, y) da = ( f ( x, y) dy) dx = ( f ( x, y) dx) dy. R a c c a Muuttujan vaihto tasointegraalissa edellyttää ns. Jacobin determinantin käsitettä, ja siihen palataan myöhemmin differentiaalilaskennan yhteydessä. Mainitaan kuitenkin tärkein tapaus, eli siirtyminen napakoordinaatistoon x = rcos ϕ, y= rsinϕ : f ( x, y) da = f ( rcos ϕ, rsin ϕ) rdrdϕ. R S Huomaa lausekkeeseen ilmaantunut tekijä r (joka nyt on se mainittu Jacobin determinantti). Integroimisalue R on tässä muuntunut (, ) r ϕ -tason alueeksi S. Alla olevassa kuvassa on esimerkki tilanteesta, jossa napakoordinaatteihin siirtyminen on järkevää:
81 3 π /2 f ( xyda, ) = f( rcos ϕ, rsin ϕ) rdϕdr. R 0 0
82 Avaruusintegraali 3 Integrointia 3-ulotteisen avaruuden osajoukon Ω yli sanotaan usein avaruusintegroinniksi, vaikka sitä useampiulotteisetkaan integraalit eivät ole harvinaisia. Yleistys 2-ulotteisesta tapauksesta on suoraviivaista. Väli on nyt 3- ulotteinen suorakulmainen särmiö, jonka särmät ovat koordinaattiakselien suuntaiset: I = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ]. Välin I mitta on tilavuus ja vastaavanlaisella konstruktiolla kuin tasossa saadaan mielivaltaisen rajoitetun joukon Ω sisä- ja ulkotilavuus. Joukko on Jordan-mitallinen, jos sisä- ja ulkotilavuus ovat samat, ja silloin niiden yhteinen arvo on joukon Ω tilavuus (3-ulotteinen Jordan-mitta, tilavuusmitta). Nollamittainen joukko on sellainen, jonka tilavuus on 0. Rajoitetun joukon voidaan osoittaa olevan Jordan-mitallinen täsmälleen silloin, kun sen reunan tilavuus on 0. Riemannin integraali määritellään Riemannin summien raja-arvona. Rajoitettu joukko Ω, jonka yli integroidaan, sijoitetaan riittävän isoon väliin ("laatikkoon"), jonka koordinaattiakselien suuntaiset särmät jaetaan yksiulotteisen välin jakojen mukaisesti. Kun kunkin särmän jakoa tihennetään, tihenee laatikon jako ja Riemannin summan edellyttämä tihennys saadaan aikaan. Avaruusintegraali yli joukon Ω merkitään f ( x ) dv. Ω Lebesguen integroituvuusehto on voimassa avaruusintegraaleillekin. Oheisessa kuvassa on kolmiulotteisen avaruuden kappale ja sen sisällä näkyvillä yksi väli eli suorakulmainen särmiö Q 1, ns. tilavuuselementti.
83 Funktion f ( xyz=,, ) 1 integraali antaa nyt joukon tilavuuden: v(ω) = 1dv. Ω Myös avaruusintegraalit voidaan laskea iteroituina integraaleina, jos alue Ω on sopivaa muotoa. Kappale Ω on silloin rakennettava kolmiulotteisista tilavuuselementeistä koordinaattiakseleiden suuntaisesti. Helpoin tilanne on, jos Ω on suorakulmainen särmiö [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ]: Ω b1 b2 b3 f ( xyzdv,, ) = ( ( f( xyzdzdydx,, ) ) ) a1 a2 a3 merk. b1 b2 b3 a1a2 a3 f ( xyzdzdydx,, ) =. Siirtyminen sylinterikoordinaatistoon x = rcos ϕ, y= rsin ϕ, z= z tapahtuu samaan tapaan kuin tasossa napakoordinaatteihin: f ( xyzdv,, ) = f( rcos ϕ, rsin ϕ, zrdrd ) ϕdz, Ω Ωrϕ z missä Ω on muunnettu sylinterikoordinaatein ilmaistuksi alueeksi Ω rϕ z.
84 Siirtyminen pallokoordinaatistoon: Pallokoordinaatit ovat x = ρ sinφcos θ, y= ρsinφsin θ, z= ρcosφ, jotka selittyvät oheisesta kuviosta. Alemmassa kuvassa on esitetty pisteen (2 2,2 6,4 2) pallokoordinaatit. Muunnoskaava integraalille on nyt 2 f ( xyzdv,, ) = f( ρ sinφcos θρ, sinφsin θρ, cos φρ ) sinφdρφθ d d. Ω Ωrφθ
85 n Integraali avaruudessa määritellään täysin analogisesti edellisten kanssa: Korvataan vain dimensiot 2 tai 3 yleisellä n:llä, väli on n:n reaalivälin karteesinen tulo. Ala ja tilavuus korvautuvat yleisellä Jordanin mitalla. n Lopuksi todettakoon Jordanin mitasta: Se täyttää kaikki :n mitalle yleensä asetetut vaatimukset (tyhjän joukon mitta on 0, ei-negatiivinen, siirto-invariantti, äärellisesti additiivinen) paitsi numeroituvasti additiivisuutta. Erillisten joukkojen yhdisteen mitta on joukkojen mittojen summa äärellisen monelle joukolle, mutta Jordan-mitan tapauksessa ei välttämättä äärettömän monen. Tämä aiheuttaa ongelmia monissa rajaarvokysymyksissä, josta syystä Jordan-mitta ei ole kovin yleisessä käytössä pitemmälle menevissä matemaattisissa tarkasteluissa (sen ja Riemannin integraalin on korvannut mm. Lebesguen mitta ja integraali).
86 Esimerkkejä 1. I= kolmio. R xyda, missä R on suorien y=x ja x=4 sekä x-akselin rajaama 4 x 4 4. 2 3 4 Silloin I = xydydx = x 1x dx = 1x dx = 14 = 32 2 2 8 0 0 0 0 Sama tulos saadaan myös integroimalla toisessa järjestyksessä eli 44 xydxdy. 0 y
87 2. Lasketaan sen nelitahokkaan tilavuus, jota rajoittavat taso 2x + y+ z= 2 ja koordinaattitasot. Piirtämällä kuvio nähdään, että tilavuus saadaan funktion z= f( x, y) = 2 2x y integraalina yli xy-tason alueen R. V= R 12 2x (2 2 x yda ) = (2 2 x ydydx ) 0 0 (2(2 x ) 2 x (2 2 x ) (2 2 x ) ) dx = 2/3. 2 = 1 2
88 3. Lasketaan sen avaruuden R 3 ei-negatiivisessa oktantissa olevan kappaleen tilavuus, jota rajoittavat koordinaattitasot, taso x + y = 2 ja 2 pinta z= 4 x. 2 2 y 2 2 20 3 V= (4 x ) da= (4 x ) dxdy= =. R 0 0
89 2 2 4. Lasketaan sen kappaleen tilavuus, jonka sylinteri x + y = 2y 2 2 2 leikkaa pallosta x + y + z = 4. π 2sinθ 2 2 2 (siirryttiin napakoordinaatistoon) V = 2 4 x y da = 2 4 r rdrdθ R 0 0 π /22sinθ 0 0 π /2 4 rrdrd 2 θ d d = 4 = 2 ((4 4sin θ ) 4 ) θ = (cos θ 1) θ 0 2 3/2 3/2 32 3 3 = 64 16 9 + 3 π.
90 5. Lasketaan funktion f ( xy, ) = xyavaruusintegraali yli nelitahokkaan, jota rajoittavat koordinaattitasot ja taso 2x + y+ z= 4. 2 4 2x 4 2x y 15 32 xydv = xydzdydx = =. 0 0 0 Ω Sama integraali voitaisiin laskea myös esimerkiksi järjestyksessä 4 4 y(4 y z)/2 xydxdzdy (Katso alla olevaa kuvaa.) 0 0 0
91
92 2 6. Lasketaan pinnan z = 4 y ja tasojen x + z= 4, x= 0, z= 0 rajoittaman kappaleen tilavuus. V= 4 2 2 y 4 z 1 128 dv = dxdzdy = =. 5 Ω 2 0 0