Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat asiat. n Lasket kynällä ja paperilla, mutta Mafynetti opettaa ja neuvoo videoiden ja ratkaisujen avulla. n Mafynetti huolehtii kertauksesta, joten et unohda oppimiasi asioita. n Mafynetti on nyt kokonaan ilmainen! Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 28.9.2012 MATEMATIIKAN KOE LYHYT OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. 1. a) Ratkaise yhtälö x 2 x 0. b) Ratkaise yhtälö 2 x 1 2. 3 3 c) Ratkaise yhtälöpari x 2 y 4 2 x y 3. 2 2. a) Mikä on meetvurstin suolapitoisuus prosentin kymmenesosan tarkkuudella, kun 250 gram massa meetvurstia on 9,0 grammaa suolaa? b) Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on 4,9 m ja kateetin pituus 2,3 m. Laske toisen kateetin pituus 0,1 metrin tarkkuudella. c) Määritä pisteiden (0,8) ja (12,0) kautta kulkevan suoran yhtälö. 3. a) Määritä funktion f ( x ) x ( x 2) derivaatta kohdassa x 0. 3 x 1 b) Ratkaise yhtälö 2 32. c) Ratkaise yhtälö log 4 (3 x ) 3. 2 4. Tarkastellaan paraabelia y x 12 x 35. a) Missä pisteissä paraabeli leikkaa x akselin? b) Määritä paraabelin huipun koordinaatit. 2 5. Laske summat a) b) 22 n 0 15 n 2 (3 4 n ) n ( 3). 6. Erään japanilaisen auton keskikulutus maantieajossa on 6,8 litraa bensiiniä sadalla kilometrillä. Saman kokoluokan amerikkalaisella autolla voi ajaa 32 mailia yhdellä gallonalla bensiiniä. Kumpi auto kuluttaa vähemmän polttoainetta? Yksi gallona on noin 3,785 litraa, ja yksi maili noin 1,609 kilometriä.
2 7. Saksalainen tähtitieteilijä Johannes Kepler (1571 1630) keksi planeetan etäisyyden ja kiertoajan välisen yhteyden. Planeetan kiertoaikaa Auringon ympäri merkitään symbolilla x ja 7. 7. Saksalainen tähtitieteilijä Johannes Kepler Kepler (1571 1630) keksi keksi planeetan etäisyyden ja kiertoajatoajan välisen välisen yhteyden. Planeetan kiertoaikaa Auringon ympäri ympäri merkitään symbolilla x ja x ja ja kier sen etäisyyttä Auringosta symbolilla y. Alla olevassa taulukossa on viiden Aurinkoa lähinnä sen sen etäisyyttä Auringosta symbolilla y. Alla y. Alla olevassa taulukossa on on viiden viiden Aurinkoa lähinnä lähinnä olevan planeetan kiertoaika vuosina ja etäisyys astronomisen yksikön avulla lausuttuna. olevan olevan planeetan kiertoaika vuosina vuosina ja ja etäisyys astronomisen yksikön yksikön avulla avulla lausuttuna. Planeetta Merkurius Venus Maa Mars Jupiter Planeetta x 0,241 MerkuriusVenus 0,615 Venus Maa 1,0Maa1,881 Mars Mars Jupiter 11,861 Jupiter x x 0,241 0,241 0,615 0,6151,01,0 1,881 1,88111,861 11,861 3 x 3 x 3 x y 0,387 0,723 1,0 1,523 5,203 y y 0,387 0,387 0,723 0,7231,01,0 1,523 1,523 5,203 5,203 y y y a) Kopioi taulukko vastauspaperiisi ja täydennä puuttuvat kohdat kolmen desimaalin tarka) a) Kopioi Kopioi taulukko vastauspaperiisi ja ja täydennä puuttuvat kohdat kohdat kolmen kolmen desimaalin tark tarkkuudella. kuudella. b) Päättele, mikä on Keplerin kaava etäisyydelle y kiertoajan x avulla lausuttuna. b) b) Päättele, mikä mikä on on Keplerin kaava kaava etäisyydelle y y kiertoajan x avulla x avulla lausuttuna. c) Saturnuksen kiertoaika on 29,457 vuotta. Mikä on sen etäisyys Auringosta? c) c) Saturnuksen kiertoaika on on 29,457 29,457 vuotta. vuotta. Mikä Mikä on on sen sen etäisyys Auringosta? 8. Veetun lounaspaikassa on kolmenlaisia pitsoja: 7,50 euron peruspitsa, 8,50 euron ruispitsa ja 10,50 euron pannupitsa. Pitsoihin valitaan 15 täytteestä kaksi erilaista. Maksamalla 8. 8. Veetun Veetun lounaspaikassa on on kolmenlaisia pitsoja: pitsoja: 7,50 7,50 euron euron peruspitsa, 8,50 8,50 euron euron ruispitsa ja sa 10,50 ja 10,50 euron euron pannupitsa. Pitsoihin valitaan 15 15 täytteestä kaksi kaksi erilaista. Maksamalla ruispit euron lisää voi valita vielä kolmannen täytteen. Veetu yrittää syödä aina erilaisen pitsan, euron euron lisää lisää voi voi valita valita vielä vielä kolmannen täytteen. Veetu Veetu yrittää yrittää syödä syödä aina aina erilaisen pitsan, pitsan, joka eroaa kaikista aikaisemmista joko pohjaltaan tai täytteiltään. joka joka eroaa eroaa kaikista kaikista aikaisemmista joko joko pohjaltaan tai tai täytteiltään. a) Kuinka monta viikkoa hän voi tehdä näin, jos hän syö ravintolassa viisi kertaa viikossa? a) a) Kuinka Kuinka monta monta viikkoa viikkoa hän hän voi voi tehdä tehdä näin, näin, jos jos hän hän syö syö ravintolassa viisi viisi kertaa kertaa viikossa? b) Mikä on erilaisten pitsojen keskimääräinen hinta? b) b) Mikä Mikä on on erilaisten pitsojen keskimääräinen hinta? hinta? 9. Tarkastellaan oheisen kuvan mukaista säännöllistä kuusikulmiota, jonka sivun pituus on r. 9. 9. Tarkastellaan oheisen kuvan kuvan mukaista säännöllistä kuusikulmiota, jonka jonka sivun sivun pituus pituus on on r. r. a) Johda leveyden x lauseke sivun pituuden r avulla lausuttuna. a) a) Johda Johda leveyden x lauseke x lauseke sivun sivun pituuden r avulla r avulla lausuttuna. b) Johda korkeuden y lauseke sivun pituuden r avulla lausuttuna. b) b) Johda Johda korkeuden y lauseke y lauseke sivun sivun pituuden r avulla r avulla lausuttuna. r c) Laske kuusikulmion ja ympyrän väliin jäävän alueen pinta ala, kun ympyrän säde on r. r c) Laske c) Laske kuusikulmion ja ja ympyrän väliin väliin jäävän jäävän alueen alueen pinta ala, kun kun ympyrän säde säde on on 2.. 2 2 r r /2 y x
3 10. 10. Suoran ympyräkartion sisällä on suora ympyrälieriö, jonka pohja on kartion pohjalla ja yläreuna sivuaa kartion vaippaa. Lieriön pohjan halkaisija on yhtä suuri kuin sen korkeus. Toisaalta lieriön pohjan halkaisija on puolet kartion pohjan halkaisijasta. Kuinka monta prosenttia lieriön tilavuus on kartion tilavuudesta? Anna vastaus prosentin kymmenesosan tarkkuudella. 11. 11. Aikuisen ihmisen sääriluun pituus y riippuu henkilön pituudesta x kaavojen y 0,43x 27 ( nainen) y 0,45x 31 ( mies) mukaisesti, kun yksikkönä on senttimetri. a) Arkeologi löytää naisen sääriluun, joka on 41 cm pitkä. Kuinka pitkä nainen oli? b) Kaivauksissa löytyneen miehen pituudeksi arvioidaan 175 cm. Miehen läheltä löytyy sääriluu, jonka pituus on 42 cm. Onko kyseessä saman henkilön sääriluu? <http://tieku.fi/kulttuuri-ja-historia/menneisyyden-kulttuurit/ <http://tieku.fi/kulttuuri ja historia/menneisyyden kulttuurit/joukkohauta viikingitmenettivat paansa englannissa>. Luettu joukkohauta-viikingit-menettivat-paansa-englannissa>. Luettu 29.3.2011. 29.3.2011. 12. 12. Maailman väkiluvun kasvua kuvataan usein eksponentiaalisen mallin avulla. Vuonna 2004 väkiluku oli 6,4 miljardia ja vuonna 2010 noin 6,8 miljardia. Minä vuonna väkiluku ylittää mallin mukaan 10 miljardin rajan? 13. 13. Karoliina ja Petteri tallettivat kumpikin 10 000 euroa vuodeksi. Karoliina sijoitti rahansa vuoden määräaikaistilille 2,20 %:n vuotuisella korolla. Maksetusta korosta pankki pidätti 30 % lähdeveroa. Petteri sijoitti rahansa ensin puolen vuoden määräaikaistilille, jonka vuosikorko oli 2,35 %. Puolen vuoden kuluttua Petteri sijoitti pääoman korkoineen, josta pankki oli pidättänyt 30 % lähdeveroa, toiselle puolen vuoden määräaikaistilille. Tämän tilin vuosikorko oli 2,00 %. Maksetusta korosta pankki pidätti jälleen 30 % lähdeveroa. Kumpi teki paremman sijoituksen, ja mikä oli sen arvo vuoden kuluttua?
4 14. Eräässä tutkimuksessa mitattiin tiettyä lisäainepitoisuutta sadassa pullollisessa virvoitusjuomaa. Pitoisuuden keskiarvoksi saatiin x 0, 215 % ja keskihajonnaksi s 0,005 %.% Lisäainepitoisuus noudattaa normaalijakaumaa. Millä todennäköisyydellä lisäaineen pitoisuus pullossa ylittää sallitun rajan 0,225 %? 15. Paikkavektorit OA 4i 2 j k, OB 6i 5 j 2k ja OC 7i 9 j 3k määrittävät suunnikkaan kolme kärkipistettä A, B ja C. Määritä neljännen kärjen D paikkavektori OD sekä suunnikkaan lävistäjävektorit AC ja BD. KUVA PUUTTUU! A D B C
.8+989/3017+229933,495+29891-882.8+989+9+182 397+360896+0893/39166/375756238233386452 33149+9+29987/66+39+183/393-89786+,832 +73/389/678897+3149/3-882+6318,39884892 637289989/3+1836389373,8735216,6+0891:6262372 76338+63495+2989;5<9+2331 %=>?@'&))(*)A879B6+2636372899,87986232 82339/37+99+988089+188898,+95,51C37687322 28+63 G73822898,9826732283891373889/+9333333932 63,832281:6963,2322886137687322899+9873 7276+92370+733033,3/3,8787989636262876 6++0+331 HIIJK*)J*(557897378+187653391.+2 1+96633,/336+73033489263728998998,982673 LLLMNOPQROSNTUUVWMPX1.65333313733,+3+9872 7851Y+92382339+183/3936+656666876661383+12 1238,337937+,8731 4892637289989578580+< Y666372899,bEF26372899,b5+26372899, %&'()&*''))7++39238,-882 98,98<LLLMNOPQROSNTUUVWMPX 21+<XUPZ[NOPQROSNTUUVWMPX 17879<\#"]^_`#$^a^ D76688887896372899, DEF26372899, D5+2+89637289363, D3,87,96372899, D345982673989+11238,337 376338!1"1#$ 0001234563728991
13 346372899456789637289945659637289945 #$%&' -.83395/79(1 03312&1 799739 3 )*+%&' & & '&,!"!!"! &'% &: <: < => <? ( : < =C <? : < =B <? 0001234563728991 : < =A <? : < =@ <?
137392330001234563728991 ;BB'6372899'DEFG6372899'D5G6372899' "#5893$%& 7*8863485934:51;3'833939'723'89 *8894?>=>5'33'7'8639395#B7C923 3'72389'72968363*5#3+339738891 739 33!7391 33!689'38899%&1 '555'388)?,.?>.8 8869233 '388(& ),%,., ),$,.(, $,),-(, )%222 )/.-01%,., 3%4&5 :..8 <=,.=> =.=><4?.?>5 =.8.4?.5 =.?-8:@A. K J LO JNK J LP JN K J LM JN H JK J LQ JN
0001234563728991 139 ;<<6372899 ()3*3+,-."/01 )3*39,-." %8 98 6333&33'"$ 633349!"# =%>?6372899 "40101"/501 012,-.301"!'"#'$#' "46 "401" '',-.: "/5" "47""888 @ B CF BE@ B CG BE =5?6372899 @ B CG BE @ B CD BE
()6372899)*+,-6372899)*5-6372899). 687833973292872 "! $%&''' #/ 1 25 14 / 1 23 14 0001234563728991
1 9446372899*:2;6372899*:56372899*< 333879 33338778333879 +3*3,809!933**63*-7./1 +3*3,*88*63*-.$/#3-).$/1 809!933*9 344*8*449!8633*39973 009!8633*391-/973 $ -7/7(7 $ 1-/ 1-/$ )*3 % %&' %&'((!3"#3$"87 56 7 *31'!33128633*39 0001234563728991 =? @F?B =? @E?B =? @A?B =? @C?B =? @D?B
0001234563728991 13 /%%6372899$=>?@6372899$=5@6372899$A "58893$2888999#8$%%89%89898$989 42239%898972%%$%9 /383395553$2889892231 %891 /3833963336393$2888922398922%9893628989 833942239:;<:1 339793 )23339*8%588%93$2889899*7% &'!(3 &'+!1"3#8$%%%%89%63!22+1(!2!(+!022!3(.!!01!!,--+,+--!63 5! &'+! '!56!(17(2!23(B D EH DG B D EF DG
-$$6372899#CDEF6372899#C5F6372899#G 0001234563728991-3833963336393#2888922398922$989$89. ;58 1!3"8#$$$$89$63 339793 &23339'8$588$9(828#9899'7$!5889(828#8999*+87989 02239$898972$$#$9-38339555(828#9892231 B33.022392>?@2@?A12>?@2@?A /'9 %, 1 3< %3, %) % 23452 / 7 829: 126'89 7= /2= H J KO JM H J KL JM H J KN JM
1339739893733337372871283739893 73358937939237923373 15)**&!"# 6708233037633396839978 /6372899>?@76372899>576372899A =331339739893733682291 /38339 3709328373989373)**,-19233731 #).!"# )**5 233223784899273 5&!"#()** &"!#)'999:;<:; $%&!'()*+,- #).8()** &#).,- 87!"#23373 0001234563728991 0893333968397 H D EI DG B D EF DG
137398838893338 ;++6372899<=>76372899<5(76372899? $# "$!" %%### # 0001234563728991 &'37(3)(23339*8+"$,!"-./0 345,5%63&7()8392339 $,1!"5%20,5# :5# $,1!"20 #999C B DG BF C B DE BF @ B DH BF@ B
13383399329387333638391586637 6372899DEF6372899D563728995 ;<=#+89233823>5895718=#+89 3319637339585888733585 9!"#$%&"#' 9336463 872289873892897233 939885:332898733363823.8898733585 133236383379458733585 963733958585 233823>58323>589?=#+8923323>589@71"+=#+8923 339923>589571""=#+8923339923 >589@7189396 933682989939?=0#C1 <=#+7"+#/8=#+7#0+/?=#+7-##/"+=#+7"+#/""=#+7-## "+#/-##�+(7* -##/"+#�+7,7#0+&"08+(7* 8729!"#,%&-##(7* "08+&"0$+# #&,,06 $'("#)$*'&"+#(7* G I JN ILG I JM IL K I JO IL 339783388736 0001234563728991 G I JK IL &?=0-#8AAA B?=0#(C* 872
139978972972892239 263728993#456763728993#45763728993#88 "#8957239! "#8933%339+,-&./)/ "#8978685033%339738#31 $63#333%339&'()( 0/'./'//'// &*./+,-& /+,-* //! 0001234563728991 9 ; <= ;>
7637289989:'637289985'6372899;< 63399833689729698 &72633963923833338895889' 379693'3739 799338891(8993'3739 9787298831893739336373 33339!#%"#!+)!"# %)*%!"#$%,%"#0001234563728991.25993'3739/01-!/-!#"#-2 #"#-4/2-!5#"#4/26-C? @E?B C? @D?B =? @A?B
172363589287979 06372899 2397 3 08 9736926#3+4 1973692%#3+4 8589897231"89 # $%&'&'%#()$' <=>!6372899 $(#()$' (#$' (*+(,7363(-#./ #5+,$'/6+9' #5'6+$' 0001234563728991 397! #$5'7 8 #:;5'7 8@ B@ B CD BE <5!6372899 @ B CH BE @ B CF BE @ B CG BE?
0001234563728991 555899 )**+6372899+,-./6372899+,5/6372899+01 "# $%"&' "&%'(! 2 4 56 47
179898979 76372899=>?@6372899=5@6372899A 6&7383397989%#$'()*1 3&%'()* +333391% 4337559577:;()8<89 433539897%-()1 5888783239897971 938 288$! $9%#$! -./0 %,"# %$.% 3%-'()* %##$'()*!"# 1222 % 0001234563728991 E D FJ DH B D FI DH E D FG DH
189!!33"3395#7$%&2%'9''8( C6372899DEFG6372899D5'G6372899H 3757427(3"3936'993596'"8344>'979!6'993-1@ 333A3'9934>B1 3757427(3"359 67%67 )%&*+ %& % %,-./0 )%*+ 11222 *6789 *+67% 0001234563728991 67%*('8339% 67:;?16'3 6711222 <= <= I K LR KN I K LQ KN I K LO KN I K LP KN I K LM KN
137939378878238339387683 328988683 *89(""23987+)%)% '88378887889(7868738798937 '88378899(7868 2""637289934563728993563728997-33.37938(382239!898936 3339'8899867 768973/011 )%+$%$%$%%)%$%,%& )%$!89!"7!878!"" # $%& $%$%$% )% $87 %$%7387379893 0001234563728991 8 : ;? := 8 : ;< := 8 : ;> := 8 : ;@ := 8 : ;A :=
1836 2 1$$63728992345637289925563728996 5#899$%55 &'()&'!() "&'!*) "+') ",--. /0!" 8393 3733 " 7 9 ;@ 9= 7 9 ;> 9= 7 9 ;? 9= : 9 ;< 9= 0001234563728991 7 9
1 /3$8#3397 )8$#%!"#*+3%63#323#,87" $"6372899$!"#12346372899$!"#15%46372899$!"#5!"#8# 9-3"$$368$#%!"*1* 968$#%!"1 6"# + 68$#%!"# **& & & **."+1* * * '&('&('&( '&('&('&0( & '&('&('&( 6 8 9= 8; : 8 9< 8; 6 8 9: 8; 0001234563728991
33!!"#6372899"$#%&'(6372899"$#%5)(6372899"$#*+,. /0.10001234563728991