Kokeile ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu täydellisesti lääkiksen pääsykokeeseen! Miten opit parhaiten?

Transkriptio

1 Miten opit parhaiten? Valmistaudu täydellisesti lääkiksen pääsykokeeseen! n Voit harjoitella kotoa käsin huippusuositulla Mafynetti-ohjelmalla. Mukaan kuuluu 4 täysimittaista harjoituskoetta!! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä tekemällä. Tehtävät kattavat yksityiskohtaisesti pääsykokeessa tarvittavat biologian, fysiikan ja kemian asiat. n Vastaaminen tehdään kynällä ja paperilla. Mafynetti opettaa ja näyttää sinulle aina malliratkaisun. n Mafynetti huolehtii kertauksesta, joten et unohda oppimiasi asioita. Kokeile ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti

2 1 PITKÄ KEVÄT, YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on a) Ratkaise yhtälö 2 ( x 4) ( x 4)( x 4). b) Ratkaise epäyhtälö 3 x 7 2 x c) Suora kulkee pisteiden (1, 7) ja (2, 4) kautta. Missä pisteessä se leikkaa x akselin? 2. a) Laske funktion f ( x) sin(3 x ) derivaatan tarkka arvo kohdassa x. 9 b) Määritä vektoreiden a 4i j 7k ja b 2i 3 j 5k erotusvektori a b sekä erotusvektorin pituus. 1 c) Kulma toteuttaa ehdot ja sin. Määritä luvun cos tarkka arvo a) Laske lausekkeen a b 2 tarkka arvo, kun positiiviset luvut a ja b ovat toistensa käänteislukuja ja lukujen a ja b keskiarvo on b) Sievennä lauseke x y x x y y Laske oheisen kuvan suorakulmaisen kolmion ABC pinta alan tarkka arvo. C C A A B B

3 Määritä funktion ( 5) x x x e suurin ja pienin arvo, kun x Veriryhmien B ja O esiintymistodennäköisyydet ovat P(B) = 0,17 ja P(O) = 0,33. Vampyyri puree kahtatoista ihmistä. Laske todennäköisyys sille, että a) joukossa on enintään yhdeksän ihmistä, joiden veriryhmä on O. b) joukossa on kolme tai neljä ihmistä, joiden veriryhmä on B. 7. Pisteiden A (2, 0, 1) ja B (3, 1, 3) yhdysjanan keskipisteen kautta asetetaan taso, joka on kohtisuorassa yhdysjanaa vastaan. Missä pisteessä tämä taso leikkaa y akselin? 3 8. a) Määritä käyrien y 12 x 36 x ja y 12 x 36 x leikkauspisteet. b) Näiden käyrien väliin jää kaksi rajoitettua aluetta. Laske niiden pinta alojen summa Ratkaise yhtälö cos(2 x ) cos(3 x ) Oheisen kuution särmän pituus on 2. Sen sisällä on vaaleanpunainen pallo, joka sivuaa jokaista kuution tahkoa. Kuution yhdessä kulmassa on pienempi sininen pallo, joka sivuaa suurta palloa ja kolmea kuution tahkoa kuvion mukaisesti. Laske sinisen pallon säteen tarkka arvo. 1 z y 1 0 x 1

4 11. Millä muuttujan x arvolla jono ln 2, ln(2x x2), ln(2x x2) on aritmeettinen? Millä Millä muuttujan arvolla x arvolla jono jono ln ln 2 ln(2, ln(2 2) 2) ln(2, ln(2 2) 2) on on aritmeettinen? 11. Millä muuttujan x arvolla jono ln 2, ln(2 2), ln(2 2) on aritmeettinen? x 12. Suorakulmion yksi sivu on x akselilla ja kaksi kärkeä käyrällä y cos x, kun x Suorakulmion yksi yksi sivu sivu on on x akselilla ja kaksi ja kaksi kärkeä kärkeä käyrällä käyrällä Suorakulmion yksi sivu on x akselilla ja kaksi kärkeä käyrällä y cos cos cos x kun, kun 12. kun 2 x. 2 x a) Muodosta a) lauseke lauseke suorakulmion pinta alalle A ( kuvioon t ) kuvioon merkityn muuttujan 0 t a) Muodosta lauseke suorakulmion pinta alalle A( t ) kuvioon merkityn muuttujan 0 t a) Muodosta lauseke suorakulmion pinta alalle A( t ) kuvioon merkityn muuttujan 0 t 2 2 funktiona. 2 funktiona. b) Ratkaise funktiona. funktion A( t ) derivaatan nollakohta kahden desimaalin tarkkuudella käyttäb) Ratkaise b) funktion A ( t derivaatan ) nollakohta kahden kahden desimaalin tarkkuudella käyttä käyttäb) Ratkaise mällä valitsemaasi funktion numeerista A( t ) derivaatan menetelmää. nollakohta kahden desimaalin tarkkuudella käyttämällä mällä valitsemaasi numeerista menetelmää. c) Määritä mällä valitsemaasi suurimman numeerista mahdollisen menetelmää. suorakulmion pinta alan likiarvo yhden desimaalin tarkc) Määritä c) Määritä suurimman mahdollisen suorakulmion pinta alan likiarvo likiarvo yhden yhden desimaalin tark tarkc) Määritä kuudella. suurimman mahdollisen suorakulmion pinta alan likiarvo yhden desimaalin tarkkuudella. kuudella. x Konnektiivin totuustaulu on Konnektiivin totuustaulu on on 13. Konnektiivin totuustaulu on A B A B A B A B a) Muodosta lauseen A ( A B ) totuustaulu. a) a) Muodosta lauseen lauseen A ( A B totuustaulu. ) a) b) Muodosta Esitä lause lauseen A ( A A B )( A sellaisessa B ) totuustaulu. muodossa, jossa esiintyy ainoastaan konnektiiveja b) b) Esitä Esitä lause lause A ( A B sellaisessa ) muodossa, jossa jossa esiintyy esiintyy ainoastaan konnektiiveja b) Esitä, lause A ( A B ) sellaisessa muodossa, jossa esiintyy ainoastaan konnektiiveja, tai tai. tai tai Olkoon P( x) x2 2x Olkoon Olkoon P ( x) x x *14. Olkoon P( x) x x 2. a) Jaa P( x ) ensimmäisen asteen tekijöihin. (2 p.) a) a) Jaa Jaa P ( ensimmäisen x ) asteen asteen tekijöihin. (2 p.) (2 p.) a) Jaa P( x ) ensimmäisen asteen tekijöihin. (2 p.) 1 A B b) Määritä sellaiset vakiot A ja B, että 1 A B b) Määritä vakiot A ja B, että 1 A B kaikilla x 2. (2 p.) b) Määritä sellaiset vakiot ja B, että kaikilla x 2. (2 p.) b) Määritä sellaiset vakiot A ja B, että P( x) P( x 1 x) x x 2 kaikilla 2. (2 p.) 1 x kaikilla 2 x 2. (2 p.) P( x) x 1 x 2 1 c) Määritä funktion 1 c) c) Määritä Määritä funktion 1 integraalifunktiot, kun x integraalifunktiot, kun kun c) Määritä funktion P( x) P( xintegraalifunktiot, ) kun x 2. x (2 p.) 2. (2 p.) (2 p.) (2 p.) 1 d) Laske epäoleellinen integraali 1 d) d) Laske Laske epäoleellinen integraali 1. d) Laske epäoleellinen integraali dx. (3 p.) dx dx (3 p.) dx. (3 p.) 2 P( x) (3 p.) 2 P2 P ( x) ( x) 2

5 4 *15. a) Ympyrä, jonka säde on r 1 2, asetetaan paraabelin 2 y x sisäpuolelle alla olevan ku van mukaisesti. Näytä, että ympyrän keskipisteen y koordinaatti on 2 1 r 4. (3 p.) b) Ympyrä C 1 saadaan valitsemalla a kohdassa r r 1 1. Sitä sivuamaan asetetaan toinen ympyrä C 2, joka sivuaa myös paraabelia. Jatkamalla näin saadaan alla olevan kuvan mukainen jono ympyröitä C 1, C 2, C 3, Määritä ympyrän C 2 säde r 2. (2 p.) c) Osoita, että peräkkäisten ympyröiden C n ja C 1 säteet r n ja r 1 toteuttavat rekursio 2 2 n 1 n 1 n r r r r kaikilla n 1, 2, 3, (2 p.) kaavan n d) Osoita c kohdan avulla, että rn 1 r n 1 kaikilla n 1, 2, 3, (2 p.) n n

6 $%&'&(%&&)&((7**39238+,882-8*989.3/07* *29891,882-8*989*9* *36/896*/ *9* *39* ,89785*+831 * *3139.3,882* * */ *63394*2989:5;9* *99*988/89* *95+51B *63 F * * *9236/*733/ **/*331 G&HI)(H)' * *1 0* *73/ JJJKLMNOPMQLRSSTUKNV *3* W* * * * * /*; W `DE `5* ;JJJKLMNOPMQLRSSTUKNV 10*;VSNXYLMNOPMQLRSSTUKNV 06879;Z![\"]^!#"_" C CDE C5*1* C C * !1"1!#" abcdeffg igjikcdgl mdnigoiopngnik el fgbpdio ndldngqk igpnidqkr

7 13 1//%& %-&$9:; %-&$95, %-&$ '()*( 63$3518&%%34&$8,9(78)!1 #3$%3&$33973%&2873" )*!" ,-395.$/70,92,$,3**(**( 13%8$339,-39233%87&978&%%34&$85!! * *!! ((! *!? A BC AD Q S TU SV < > E G HI GJ KL NO LP

8 13 GBB"# "2#$HIJK "2#$H53K "2#$ %&'(&)*&+,-&. >, ;3$3<123$68"$32#39 123$68"$32#95#$39 &',&/(&)*&+,-&., 6&',&/67 &)*(&+, &/ &),&+,0&. 8*(8*, &.=3895#$ &)*(&+, L N&.4 89:1 O Q RS QTU W XY WZ a c de cf [ ] ^_ ]`

9 ,* *-./ * * !" $!%&!" '()73* # #

10 : : ; !9789"##$%# 59+ *33+,33369)1 "/01201$("/314/ $ /4666 "/01201$("/314/ $/2 / W Y Z[ Y\ / ) &'# / (#/ ? A BC AD < > E G HI GJ /01/314/01/01201/ /314201/ K M NO MPQ S TU SV

11 ,+33%,+4&.'50+,60+,7 833$ ,1 9!! ":;< ": "= !" # "39$%&'%()&% %*+, S U VW UX./0+, C DE CF M O PQ OR G I JK IL %-

12 1 %&&'()8)&&949*)(+9'(9,3-(89(93'6+.8'(633) *8)339.8'(633)393'6+))8)(-()8(&1 K&(9+789#$G*9#2G,+)8949*)(+9-(89(93'6++9$,3 83*8)33949*)(+93'6+)A '(93'6++92<9 5)()&&9.8'(633)399+73*+6.3)1/$ F+()8)339G8)&#$G*9#21 H7"<J===)3(#;"<J=== HI;707 / /$"$2$===?$ /0102 7)3(2373*(28734 ;)3(#I;707 $$$9B 2< C1 Q S TU SVW Y Z[ Y\ CD$"7;E===!#$!373*(28734 ;373*(28734 :;";$<===>$!$!"#$ i k lm kn ] _ à _b c e fg eh o q

13 F G2B;C&DH-92I+1,8489-8!"#$I+J38! I#1 K9789J !"2$I+-92I#1 L89!"+$%./ M YZ[P Y5P \ 273J3P369QRS6TU!"2$8287VW037999O7-J O !"+$%./J32P J331343X1QRS,339-9!"+$%./ !"2$ L9369!"#$%&'()J !"+$%./ /%+3'(6%+ 2%78975.#:7:"./$ "25.2./$'(6%+!"#$%&'()*+ ; %<=>?@A5? 5B;C&DEEE?(A5? 5B.7C&DEEE N 6TU!"2$%+ ] _ à _b c e fg eh i k lm kn

14 1 R STU S V KF0008I203!1 389 E33 / &$& L3M=? $ $67589:;9%<=7589::9%:=75589:<9%;> F0G899H5509,,I,JD1 F0G899H5509L.D1 &'()* , &'()* ). CD! "#$% ( ` b cd be 7589N9$O=75?89P9$Q r t uv tw f h ij hkl n op nq W YZ \ ]^ \_

15 / JKLE J50E M ; <37= H33I;307833(E ,'D', !"#$"%!&$+!.&'-&'&* 4+5&67$4-5,68$ $8$&9 &',$- &'(#$(% &'-$+ &')#$)% : B5"? (E <133F03"E3)E F87 -!"5.&*$-!(5-&*$&4)5&6 > "5.&$(5-&$&)5C,$($&G, -'@.&'(?-'A -&')? ("$($&) D& & N P Q S TU SVW Y Z[ Y\, Dc e fg eh ] _ à _b

16 :"#89&#3%9;&99373%7863#68$#%!&#%63#2%#%3,21 +7$%%9,-.%$&968$#%!&/.%78,-01 %9<=>?.%#89$8$&; 3&$$368$#%!&%9 48$#%!&89$%5#&%!856%# &"B%9$55#5#3%9.3BC3$87&978&$$3;&#81 48$#%!&895$&$"&#8&5568#"8!33/8#" D""$& $!&#EFGC $!&#E5%C $!&#HI 98!$&#""9,2,-1-'(12)81-(12* ( $8$&;&#8 J L M O PQ OR S U VW UXY [ \] [^

17 .**' '/#012( '/#05&( '/#33 7 "3#3$%3&78''33(3'879)#88*+,!, ! : < => <?

18 FGHE F5.E => C /373/..'$0 3',-')+$ ?/.8339<=579<>1#$)%&',-*+'<> )*7)&% /36&7& D89#E..D93333D339/ D85' <>4 '$)*/3#$)&%+3 '$0/3#$03 '$&/3#$&12 6'-*86')&8$0< '-*$03')&$0 '6',-')+8$0 '(-',)+'$0!"#$%&'()*+' %&'()*+'$)%&',-*+' '$)*3'$& ;#$%&'()*+'<= : L NO Q RS QT I K

19 ++! '()8*! 3!8339!555" E ! ++9,-.$ 93"!!3" 88#63$%$&3$ *+59+,/ 981* :3398* #93373! 4.5,-, !* 4.5,-, ;56 73< 7< 5A?.B55?.5 5CD555 CD8 4..; #9FGH1 IJ !* j l mn lo =>?.;@7 <.;67 I5# !* X Z [\ Z] R T UV TW L N OP NQ KH ^ ` ab `c d f gh fi

20 1 8!) !9) *6878 3)(( !63 $%&'$(% #5+ 333"3399 7##9,-7)933"339 :;<= !9) ((. /((.01/ (( (/(./2.345 # 3)$(%1 :5= !9) H J KL JM N P QR PS? A> B D EF DG

21 * *, *, *,67 )7789*3**579+,3*31 CDE<=:FG<=:F :>=;<A H99E<:99A :FC=<A '!

22 %&8'/ %% )337 7%% * 65 )3*3 88%" %*2%9379%&8'("37%6 337" ,(98 %%*8899,/-21'/1 % ,(-.'/(0'/(0'/(-.1'/(-21'(3 $#8789%&8'( %*378*%89 3#"935%* : * " %"%9 8757% !"3#" * % %*"8%1)%2% !373"3 9!373"373# %%*8891 < >?@ >A B D;

23 &'# '(#)*+, '(#)5, '(#-. 33!"#9#89$379%891 J L MN LO D F GH FI50>17<; B715<7A<; 144@71<617C / :; 97<= ; <A<=>5<500;

24 323! "# $382239!7883 '87%976#989()(1* *,982239!3798!8"# 789,# %976#1' !898229!3798!8"# 789.# /9!8"#3! #7"#89/ ' ! " "# !8989! !379+89! :31;53< %976#87()( AB % !59 393!8989!37952! ,# # !88#3 3889)(:)(3# !+82!69 /# & !5 8 31'97-8! =)(:)(3>?9=8:3>?@=893>? A CD F G I JK IL M O PQ OR

25 ## $-./) $-5') $ "#722#989$33%57###9&7#9#9'(37'823%'9) ##91 *33+,989(37'9#8' !1 8 : ;< :=

26 *+7,6#-339"3%3#373%#2873$7# %3## #373%# "#288#989$%9&8"%%# "963%# '(')! 7#9./!! "#288#989$% #"3%3#3/< 93#/ /79 7/9:799739,; / /<= /./ 8E G H J KL JM N P Q S TU SV W Y Z[ Y\ c e fg eh ] _ à _b

27 >5? '( ) / !*41073/324$ 586) /) :1;<=;4; ) *"6, !*"",-!*"#+"##,-!"#$%%&" "",-$ >5 4*; B C E FG EH I K LM KN

28 *+'=)> *+'=5, *+'?? /01,2,'8'3393+9' '+, ,153-8'33928*+633'393*4 6,''8'+3+'8+61 &3'3(<*+93+9'34373, '339*+93+9'34373( &3'3()8*+633'399,73-,.'3,9% """; 7!!!!!! #!!""" $!!""" """ %!""" """:F H IJ B CD BE L N OP NQ

29 13!""# #$%&' #$5' #( ,. /0.1 ) +

30 13 K3$%3&$3395)$,7(L3M&73%&28731 N3$30A=O'3B!=O1 #38$339$8%&'(&)&9$8%&', #38$339$8%&'(&)&973%& %.)/3$0 J95)$,7(.9$.&>.9678A!"1 678*!"!*23*!45*5!" 98%&',7380:!* * A "FGHA "A "A; <:!=!>'.$89!*!"!*!* B "A "A!B* BB!B "CD"E&'1!* FI=HB B1 ""? h j kl jm b d ef dg \ ^ _` ^a V X Y [ "

31 K LM KN 791!" %!"!"!"##!"#!"!" $ & # $ $ '( )!*+!"1!"2!*+.!"/!*+!"4!"1;< ==!"1,-(.,-(/!" :!"1,-(.,-(. 4!"1!" 0!"1.3!"1 0O Q RS QT U W XY WZ a c de cf [ ] ^_ ]` ghijklmnon lqrsmn krqq ittumvtt wxyz{ mnvo}uqqlm~nsvmkn mliqn imvttn vtrrt ormvovh t tlm qm omvqƒ iio smvonsqqn rkrmvolo vkmimiqqn ntmnƒ ˆn k oon isqqn lqrsmiolq km lqrsoq lqq oiiqn vo vt tn uvmnmš krmq ivq vtvt mnvo}ukmnvmq kn qu olvš vq qq q qvolq uvmnmkrqnq skrsq lqrsmnvq sthvton tlvhvttn sksknqqn sthvtitrvt krqiuvk q kvoliqq ksq kn vo vt tn mœoqƒ

32 E )" " ) * "8939 &)723899!671&8089&3) )'1 & *7+9,-./ *033/ ! "2#$1% &'$( -/ / /1& ,8!,9-:/8!/9 (!-!;2$! (-<;2'

33 D3! !EFG> !E5> !*HI K LM KN 7$3> B383!6!889C>32!933! !51@! !7896! "#$1A!!8> 2! B81/26529B:383!6!889C>32!933! <93!93!! ! =87889:893333!3>!83631 /071"*$6! ! "4$507119"#$33339:;::;2!37! 9C::&) 52652!735:! !36!8!83 /071".$909833!3! ! !36!888371! :;1 3!28337!3265:3951?9896! !33!!1"#$ %%&'(( &)"*$ +,-&)".$ &)"4$ C&) O Q RS QT

34 7'! '&!89: '&!85% '&!+;< >A,-)2$5&9*./03*.'8'!$!8!898!55%!!339%9 #3!9$%!!6!9893&6%'87$331 #33()2$5&9*8% %!33738%92529!893'%%&!933!898&% 3!" H J KL JM N P QR PS 67!./../../../4.5./.././.. B D EF DG

35 ())& *&+, *&+, *&+/ !" !#$!"!"%3&&73' :; 9<