Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 6 40 Ympyän halkaisija d 00 m ja säde 00 m. a) kehän pituus p π d d 00 m π 68,... 60 ( m) b) pinta-ala π 00 m π 00 45,9... 40 a) ( ) 000 m a) kehän pituus 60 m b) pinta-ala 000 m piii + π 4 + π + π + π ala 4 b) c) piii 6 + 4 + π 4 + π 6 + π 8 4 0 + π + π + 4π 0 + 8π ala 8 6 π + π + π 4 4 48 π + 9π + 6π 9 48 π + π + 8π 48 + 7π + 4 π 48 + π piii π 6 + π 6 π ala π 8 π 64π 9π 55π a) piii 4 + π ala 4 + π b) piii 0 + 8π ala c) piii π ala55π 48 + π
Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 64 40 Ympyän ala on 00 cm. a) 00 ( cm ) π π 00 π 00 ( ± ) π 7,978... ( cm) halkaisija d 7,978... 5,957... 6 ( cm) b) Kehän pituus p π π 7,978... 50,... p 50 ( cm) 404 Ympyän halkaisija d 8 ympyän säde 9 sektoin keskuskulma 40 a) Kaai b) la b π d 40, d 8 40 b π 8 b π 8 6 π 8 b b π 7,69... π 40 π 8 54π 69,64... a) halkaisija 6 cm b) kehän pituus 50 cm a) kaaen pituus on π 8 b) pinta-ala on 54π 70
Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 65 405 Keskuskulma asteluku on sama kuin vastaavan kaaen asteluku. Kehän jakosuhteen mukaan saadaan B 5, BC ja C Siis 5 + + 0 8 Joten OB 58 90 BOC 8 54 CO 8 6 Keskuskulmat ovat 90, 54 ja 6 406 Koska kaaien pituuksien suhde on :, niin kaaien asteluvut ovat ja. Siis + 5 7 Keskuskulma OB 7 44 Kaaen B pituus. b π 0 44 π 0 8π 5,... b 5 Pienemmän kaaen pituus on 8π 5
Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 66 407 kaaen pituus b ympyän säde 8 keskuskulma a) b) π b π 8 6π 85,94... 86 sektoi π π 8 6π 8 48 ( m ) 4 a) Kaaen asteluku on 86 b) Sektoin pinta-ala on 48 m 408 Olkoon b Rikun osuus eunasta ja b Panun osuus eunasta. b b 9 b b b b Panu saa enemmän kuin Riku posentteina b b 00% 00% b b b b b 00% b b 00% 00% b Panu saa pizzaa 00% enemmän kuin Riku
Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 67 409 Kaai CB 70 ( ) B 90 40 B 8 OB 60 Segmentin ala + seg sektoi kolmio seg + seg π 4 + seg π 70 4 π + 8 45,699... Segmentin ala on π + 8 46 Siis OB on suoakulmainen kolmio. Lasketaan kolmion OB ala. COB : a + 4 8 a 64 6 a 48 kolmio a ± 4 ( ) 8 4 6 Segmentin ala on segmentti sektoi kolmio 60 6 π 6 π 64 6 Pienemmän segmentin ala on 6 π
Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 68 4 4 a R + R a R a ± ( ) R x a R R R ( ) ( ) R 6 400 650,9... 700 ( km) Satelliitti on 700 km kokeudella maanpinnasta a) γ 0, koska kaai BC on sitä vastaava kaai. b) Keskuskulmaa γ vastaava kehäkulma on sekä β. c) Kehäkulmaa δ vastaava keskuskulma on OC γ 0 50 4 Kaata 05 vastaava keskuskulma on myös 05. Tasakylkisen kolmion kantakulma x saadaan yhtälöstä x + 05 80 x 75 x 7,5 Nelikulmion kulmien summa on. Saadaan yhtälö β + 90 + 6 β 7 Kulma y saadaan yhtälöstä y + β + y + 7 + 05 60 y 8 x 7,5 ja y 8
Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 69 44 45 80 0 50 b 40 000 6 666,66... b 7 000 ( km) ja 0 ovat suplementtikulmia Kaai b on 7 000 km Nelilehtinen kukkakuvio muodostuu kahdeksasta samanlaisesta segmentistä. Lasketaan yhden segmentin ala. segm sektoi kolmio segm π segm π segm 4 4 9π 9 4
Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 70 Kukkakuvion ala on 9π 9 8segm 8 4 9π 9 8 8 4 8π 6 b) Saadaan yhtälö x π 0, 560 π 0,84 560 0,84 x 0, x 655 Kukkakuvion ala on 8π 6 a) Matka on 800 m b) Takapyöä pyöähtää 655 ketaa 46 Etupyöän säde R 84 cm 0,84 m Takapyöän halkaisija d 40 cm 0,4 m Takapyöän säde 0, m a) s 560 π 0.84 8,4... 800 ( m) 47 Olkoon E Euopan adan säde ja I Ion adan säde. π π,55 0 6 E I 6 π ( E I),55 0 : 6 E E E,55 0 I π I 46 690,... 50 000 ( km) I π Euopa kietää Jupiteia 50 000 km kauempana kuin Io
Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 7 48 Pöytälevyn halkaisija 0 cm ( ) Pituussuunnassa pöytiä 470 cm 4,77... eli 4 pöytää 0 cm Leveyssuunnassa pöytiä 50 cm,88... eli pöytää 0 cm Pöytiä mahtuu yhteensä 4 Pyöeän jalan säde 50 5 ( cm) Vapaa lattiapinta-ala 50 470cm π 5 cm 40 98,05... cm 4,09... m 4, m 49 Kaai Säde B b 70 cm 6400 km Kaaen b keskuskulma on, joten kaaen b pituus on Saadaan yhtälö b π π 6400 70 π 6400 70 π 6400 0,474... Keskuskulman ja tangenttikulman summa on 80, siis β 80 80 0,474... 69,55... 70 Vapaata lattiapintaa jää 4, m Näkökulma on 70
Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 7 40 Olkoon pöytätablettien keskipisteet, B ja C sekä pöydän keskipiste D. Tutkitaan kolmiota BC. Kolmio BC on tasasivuinen, sivun pituus on pöytätabletin halkaisijan pituus 8 cm. Sivu B on 8 cm ja mediaani CD puolittaa sen. Siis DB on 9 cm. Lasketaan mediaani CD Pythagoaan lauseen avulla kolmiosta CBD. CD + 9 8 CD 8 9 CD CD CD ( 9 ) 9 49 9 9 CD ± ( ) CD9 9 Mediaanien leikkauspiste jakaa mediaanin : käjestä lukien. Siis CO CD CD 9 CO 9 a) Pöydän säde OC+ 9 9 + 9 9 + 40,99... 4 ( cm) b) tabletit pöytä π 9 0,646... 65% π 9 + a) Pöydän säde on 4 cm b) Tabletit peittävät 65% pöydästä
Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 7 4 Ympyän säde on kohtisuoassa kylkiä vastaan. Yhdistetään kolmion käkipisteet ympyän keskipisteeseen. Lasketaan muodostuvien kolmioiden ala. Pythagoaan lause: + 4 b b 5 b ( ± ) 5 4 x BO : x BCO : 5 x CO : Koko kolmion ala on + + koko 4 4x x 5x + + x x 4 Väite: tulosta eli Sektoin ala on puolet kaaen pituuden ja säteen sektoi b Todistus: Olkoon sektoin keskuskulma. Sektoin pinta-ala on sektoi Siis sektoi π π b π b b b Säde on
Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 74 4 Sektoin säde saadaan Pythagoaan lauseen avulla 4 + 4 ± ( ) 4 ( p ) 6π 6 00% 00% 8 64 π 00% ( π ) 5% 4 8,5...% 9% ( π ) 5% 9% Sektoin keskuskulma 80 45 45 90 90 π sektoi 4 ( ) kolmio 4 6 8π 6 segm sektoi kolmio Koko vajostettu alue on π π ( 4 ) 6 8π ( 8π 6) 6π segmentti Vajostettu alue posentteina neliön alasta
Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 75 44 Ympyän kehä jakaantuu suhteessa :5. Siis + 5 6 60 Kolmio BO on tasasivuinen, koska O BO ja kolmion kaikki kulmat ovat yhtä suuet B O 60. Lasketaan kolmion BO pinta-ala. Ratkaistaan kolmion kokeus h. h + h 4 h 4 h ( ± ) 4 h h kolmio 4 + iso segm iso sekt kolmio 00 π ) ) 5π 0π + pieni segm pieni sekt kolmio pieni segm iso segm + 4 + 6 4 60 π 4 ) ) π π 6 4 π π 0π + 0 π + π 0,969... 0,0 0π + lojen suhde on π 0,0 0π +
Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 76 45 ( ) 0 + 90 + 90 50 B 90 C 90 Toimitsija kulkee eitin säde B : 90,0 80 0 π ulkokaai BC ' ': π 9,0 9 6 nukka B : π π 4 50 5 nukka : π π 6 Koko eitin pituus on 46 leksandia S Syene Säteiden suunta poikkesi viideskymmenesosan täydestä kulmasta. Siis 7, 5 Kaai b 5 000 stadionia Saadaan yhtälö b p b 5000 s stadion s 90 m p 5000 90 p 5000 90 7, 5000 90 p 7, p 47 500 000 ( m) p 47 500 km π 5 80 + 9+ π + π 80 + 7π,407... ( m) 6 6 Maan ympäysmitta on 47 500 km Toimitsija kulkee eitin, jonka pituus on m
Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 77 47 48 Kaaen asteluku on sama kuin kaata vastaavan keskuskulman asteluku, joten 00. a) 70 Samaa kaata CB vastaavat kehäkulmat Kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta, joten 00 β 50 β 40 Kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta. Kaaen CB kehäkulma on ja keskuskulma on β 70 ja β 40 Kehäkulma on 50 ja keskuskulma 00 b) β 90 Puoliympyän sisältämä kehäkulma on suoa 80 5 β 80 5 90 65 65 ja 90
Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 78 c) Kulma β toisin: δ 80 60 40 80 γ δ istikulmat δ ja γ γ 80 60 β 40 β 80 γ 80 60 80 40 Samaa kaata BC vastaavat kehäkulmat Samaa kaata DEF vastaavat kehäkulmat 49 Puoliympyän sisältämä kehäkulma on suoa. Pythagoaan lauseen mukaan x x 7 + 4 65 x ± x 5 ( ) 65 x 5 Ympyän säde on 60, β 40, γ 80 d) β 0 0 β 5 0 5 Kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta. Kaaen BC kehäkulma on ja keskuskulma β 40 Kehäkulma on suoa, joten alkupisteen ja loppupisteen yhdysjana B on ympyän halkaisija d. d 50 + 50 9,5... d 90 m Suon halkaisija on 90 m
Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 79 4 Säde on kohtisuoassa tangenttia vastaan, joten 90. Kehäkulmaa vastaava keskuskulma on, jonka vieuskulmana on OP 80 PO : 90 + β + OP 80 90 + β + 80 80 β 90 4 a) b) Puoliympyää vastaava keskuskulma on 80. Kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta, joten 80 90 β 90 Väite: Todistus: β β ja Siis. Kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta
Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 80 4 b) Kolmio OB on tasakylkinen, joten BO 5. OB 80 5 0 BOC 80 OB 80 0 70 (Toisin: BOC CB 70, koska kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta) COD COB 70, koska suoakulmaiset kolmiot COD ja COB ovat yhtenevät, sillä kateetit OD ja OB ovat yhtä pitkät ja hypotenuusa OC on yhteinen ja Pythagoaan lauseen mukaan kateetit DC ja BC ovat myös keskenään yhtä pitkät. Nelikulmiosta BCDO saadaan 90 + + 90 + 70 90 90 40 40 75 Kehäkulma β on puolet β keskuskulmasta 75 β 7,5 ( kaaen asteluku ) 0 Kehäkulma γ on puolet γ keskuskulmasta 0 γ 5 ( kaaen asteluku ) δ 80 β γ 80 7,5 5 7,5 80 γ 80 7,5 4,5 a) 40 b) 4,5
Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 8 44 45 Kehäkulma CB _ 45, joten sitä vastaava keskuskulma COB 45 90. Jänteen BC pituus saadaan Pythagoaan lauseen avulla x x 5 + 5 5 x ± ( ) 5 x 5 x,... ( m) Jänteen pituus on m Kaaen asteluku on yhtä suui kuin kaata vastaavan keskuskulman asteluku. Siis kulma OB 00. Kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta. 00 Siis kulma CB 50. Samoin kulma DC on puolet sitä vastaavasta keskuskulmasta EOC. 40 Siis kulma DC 0. β 80 50 0 80 0 β 80 0 0 0 Vieuskulmat Kolmion kulmien summa on 80 0
Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 8 46 Mekitään CB. Kolmio KC on tasakylkinen, sillä K KC KC 80 ( ) Kolmion kulmien summa on 80 CKB 80 80 Vieuskulmat CKB 47 Tapaus : Ympyän keskipiste nelikulmion sisällä. Kolmiot OB, BOC, COD ja DO ovat kaikki tasakylkisiä kolmioita, sillä niillä on kylkinä ympyän säteet. Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuet. Siis CB CKB Nelikulmion kulmien summa on. Saadaan + β + γ + δ ( + β + γ + δ) : + β + γ + δ 80 β γ δ + + + on jännenelikulmion vastakkaisten kulmien summa, joka on siis 80. Siten jännenelikulmion vastakkaiset kulmat ovat toistensa suplementtikulmia.
Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 8 Tapaus : Ympyän keskipiste on nelikulmion sivulla. Muodostetaan nelikulmion kulmien summa kuten edellä. + β + γ ( + β + γ) : + β + γ 80 + β + γ on jännenelikulmion vastakkaisten kulmien summa, joka on siis 80. Siten jännenelikulmion vastakkaiset kulmat ovat toistensa suplementtikulmia. Tapaus : Ympyän keskipiste on nelikulmion ulkopuolella. Nelikulmion kulmien summa on + β + γ δ ( + β + γ δ) : + β + γ δ 80 β γ δ + + on jännenelikulmion vastakkaisten kulmien summa, joten myös tässä tapauksessa jännenelikulmion vastakkaiset kulmat ovat toistensa suplementtikulmia.