Demo 1: Excelin Solver -liitännäinen

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 1 Ehtamo Demo 1: Excelin Solver -liitännäinen Ratkaise tehtävä käyttäen Excelin Solveria. max 3x 1 + x 2 s.e. 2x 1 + 5x 2 8 4x 1 + 2x 2 5 x 1, x 2 0 Ratkaisu 1. Päätösmuuttuja x 1 sijoitetaan soluun B2 ja x 2 soluun C2. Näiden solujen numeroarvoja Solver tulee muuttelemaan ratkaistaessaan tehtävää. Jätä nämä solut tyhjiksi tai syötä niihin alkuarvauksesi, josta Ratkaisin lähtee ratkaisemisessa liikkeelle. 2. Kohdefunktio sijoitetaan soluun B4. Kirjoitetaan soluun kohdefunktion 3x 1 + x 2 kaava viittaamalla muuttujien soluihin B2 ja C2, jotka vastaavat muuttujien x 1 ja x 2 arvoja. Kaava tulee aloittaa aina = -merkillä. Kirjoita soluun B4: =3*B2+C2 Kohdefunktion maksimointi/minimointi määritellään Ratkaisimessa vaiheissa 5 ja 6. 3. Ensimmäisen rajoitusehdon vasen puoli sijoitetaan soluun B6. Kirjoitetaan soluun rajoitusehdon 2x 1 + 5x 2 kaava viittaamalla muuttujien soluihin. Kirjoita soluun B6: =2*B2+5*C2 Rajoitusehdon oikean puolen arvo asetetaan soluun D6. Kirjoita soluun D6: 8 Vasemman ja oikean puolen välinen epäyhtälö määritellään Ratkaisimessa vaiheessa 8. 4. Toisen rajoitusehdon vasen puoli sijoitetaan soluun B7. Kirjoitetaan soluun rajoitusehdon 4x 1 + 2x 2 kaava viittaamalla muuttujien soluihin. Kirjoita soluun B7: =-4*B2+2*C2. Rajoitusehdon oikean puolen arvo asetetaan soluun D7. Kirjoita soluun D7: -5 Vasemman ja oikean puolen välinen epäyhtälö määritellään Ratkaisimessa vaiheessa 8. Jos haluat, voi määritellä kohtien 3. ja 4. tavoin myös, muuttujien x 1 ja x 2 rajoitukset kirjoittamalla soluun B9: =B2 ja D9: 0 (x 1 0) ja B10: =C2 ja D10: 0 (x 2 0) Tämän rajoituksen voi kuitenkin tehdä helposti myös Solverin asetuksista vaiheen 9 mukaisesti. Kuva 1: Exceliin syötettävät kaavat 1

Ratkaisin 5. Käynnistä Ratkaisin valitsemalla se Data-välilehden oikeasta laidasta. Asetetaan Ratkaisimeen kohdefunktio. Kirjoita Tavoite ruutuun B4 tai kun ruutu on aktiivinen valitse hiirellä solu B4. Voit myös painaa Tavoite-ruudun viereistä painiketta, jolloin pienempi ikkuna avautuu, johon voit kirjoittaa kohdesolun B4 tai valita solun hiirellä. $ -merkit solun kirjaimen ja numeron edessä eivät vaikuta viittauksen toimintaan. Kuva 2: Excelin Ratkaisin 6. Tehtävässä kohdefunktiota maksimoidaan eli Ratkaisimen Kohde kohdassa valitaan Suurin. (Minimoinnissa valittaisiin Pienin ja haluttaessa ratkaisulle tietty arvo valittaisiin Arvo ja kirjoitettaisiin viereiseen ruutuun haluttu arvo.) 7. Asetetaan muuttujien solut eli Muuttamalla muuttujasoluja kohtaan kirjoitetaan viittaus soluihin B2 ja C2 kirjoittamalla B2:C2 tai valitsemalla hiirellä solut B2 ja C2 (hiiren vasen nappi koko ajan pohjassa soluja valitessa). 8. Asetetaan rajoitusehdot. Reunaehdot kohdan oikealla puolella löytyy Lisäänäppäin, josta avautuu Lisää reunaehto ikkuna. Soluviittaus kohtaan tulee viittaus rajoitusehdon vasemman puolen soluun (1. rajoitusehdossa solu B6), joko kirjoittaen B6 tai valiten hiirellä solun. Seuraavasta valikosta valitaan sopiva merkki 1. rajoitusehdolle eli (rajoitusehdoille voidaan asettaa myös tai =, kok ja bin ovat muuttujasolujen rajoittamiseksi kokonaisluvuiksi ja binääriluvuiksi. Reunaehto kohtaan tulee 1. rajoitusehdon oikean puolen arvo eli joko arvo 8 tai viittaus soluun D6, jossa on jo vastaava arvo. Koska lisätään toinen rajoitusehto, valitaan Lisää, josta annettu rajoitusehto tallentuu ja kohdat tyhjenevät seuraavaa rajoitusehtoa varten. Aseta 2.rajoitusehto em. tavalla eli B7, ja D7 (tai -5). Valitse OK, jolloin poistut Lisää reunaehto valikosta takaisin Ratkaisimen pääikkunaan. (Jos valitsit Lisää ja olet jo asettanut kaikki rajoitusehdot, niin valitse Peruuta poistuaksesi) Rastita Ratkaisimen pääikkunasta Tee ei-negatiivisia muuttujista, joilla ei ole reunaehtoja-laatikko, jolloin Ratkaisin rajoittaa päätösmuuttujat epänegatiivisiksi ( 0 ). Tämän rajoitusehdon voi tehdä myös edellisen vaiheen mukaisesti käyttämällä 4. vaiheen soluja B9 ja B10. Lisää reunaehto, jossa viittaat soluihin B9 ja B10, joiden epäyhtälöksi aseta ( ) ja reunaehdoksi 0. 2

Kuva 3: 1. rajoitusehdon lisääminen 9. Koska optimointitehtävä on lineaarinen, valitse Valitse ratkaisumenetelmäkohdasta Simplex LP-algoritmi. 10. Ratkaisin on valmis, joten valitse Ratkaise, jolloin Ratkaisin ratkaisee tehtävän ja eteesi avautuu Ratkaisimen tulokset ikkuna, joka ilmoittaa pystyikö Ratkaisin ratkaisemaan tehtävän. Valitse OK, jotta Excel säilyttää uudet muuttujien arvot. (Voit myös palauttaa alkuperäiset alkuarvaukset muuttamalla ikkunan valintoja). Kuva 4: Tehtävän mukaiset Ratkaisimen parametrit Ratkaisimella saadaan optimaalinen ratkaisu, jossa päätösmuuttujien arvoiksi saadaan niitä vastaavista soluista B2 ja C2 ja kohdefunktion arvo sitä vastaavasta solusta B4. Päätösmuuttujan x 1 arvo on 1,70833, päätösmuuttujan x 2 arvo on 0,91667 ja kohdefunktion arvo on 6,04167. Rajoitusehtojen soluja B6 ja D6 sekä soluja B7 ja D7 vertaamalla huomataan, että kumpikin rajoitusehto on sitova (arvot ovat yhtäsuuret). Demo 2: Optimointitehtävän muodostaminen Seppo haluaa valmistaa banaanilaatikoita käyttäen mahdollisimman vähän pahvia. Laatikot ovat umpinaisia suorakulmaisia särmiötä. Laatikkoon tulisi mahtua vähintään 0.1 m 3 banaaneja, ja kuljetussyistä laatikot saavat olla korkeintaan 20 cm korkeita. Minkälaiset mitat Sepon kannattaa valita? Entä jos kuljetuksesta johtuva korkeusrajoitus poistetaan? Tunnista yllä olevasta tehtävästä: ˆ Päätösmuuttujat (optimointimuuttujat), 3

Kuva 5: Tehtävän optimaalinen ratkaisu ˆ Kohdefunktio, ˆ Rajoitusehdot, ja ratkaise saamasi optimointitehtävä Excelin Solverilla. Ratkaisu Tehtävässä valmistetaan suorakulmaisen särmiön muotoisia laatikoita, joten valitaan laatikon muodon määrittelevät päätösmuuttujat, joiden yksiköiksi valitaan metri (m): x 1 := x 2 := x 3 := laatikon korkeus (m) laatikon leveys (m) laatikon pituus (m) Koska halutaan minimoida laatikossa käytettävän pahvin määrää (m 2 ), valitaan kohdefunktioksi laatikon tahkojen yhteispinta-alan minimointi: min 2 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 + 2 x 2 x 3. Laatikon tilavuuden tulee olla vähintään 0,1 m 3, jolloin saadaan rajoitusehdoksi: x 1 x 2 x 3 0.1 Laatikon korkeus saa olla korkeintaan 0,2 m, jolloin saadaan rajoitusehdoksi: x 1 0.2 Koska laatikon korkeus, leveys ja pituus eivät voi olla negatiivisia, rajoitetaan ne vähintään nolliksi: x 1 0, x 2 0 ja x 3 0. Excel Syötetään tehtävän tiedot Exceliin ja ratkaistaan tehtävä Ratkaisimen avulla Demo 1:n mukaisesti. Sijoitetaan päätösmuuttujat soluihin B2, C2 ja D2. Kirjoitetaan soluun B4 kohdefunktion kaava =2*B2*C2+2*B2*D2+2*C2*D2. Kirjoitetaan soluun B6 tilavuuden rajoitusehto =B2*C2*D2 ja sitä vastaavan rajoituksen arvo 0,1 soluun D6. Kirjoitetaan 4

soluun B7 korkeuden rajoitusehto =B2 ja sitä vastaavan rajoituksen arvo 0,2 soluun D7. Käynnistetään Ratkaisin ja sijoitetaan Aseta tavoite-kohtaan kohdefunktion solu B4 ja valitaan minimointitehtävälle Kohde-kohdasta vaihtoehto Pienin. Sijoitetaan solut B2, C2 ja D2 kirjoittamalla Muuttamalla muuttujasoluja-kohtaan B2:D2, joka viittaa kaikkiin soluihin solusta B2 soluun D2. Lisätään rajoitusehdot valitsemalla Reunaehdot-kohdassa Lisää. Lisätään 1. epäyhtälörajoitus sijoittamalla Soluviittaus-kohtaan solu B6, valitsemalla sopiva epäyhtälö ( ) ja sijoittamalla Reunaehto-kohtaan viittaus soluun D6. Valitaan Lisää ja lisätään 2. epäyhtälörajoitus sijoittamalla Soluviittaus-kohtaan solu B7, valitsemalla sopiva epäyhtälö ( ) ja sijoittamalla Reunaehto-kohtaan viittaus soluun D7. Valitaan OK reunaehtojen lisäämisen lopettamiseksi. Rajoitetaan muuttujat epänegatiivisiksi rastittamalla Tee ei-negatiivisia muuttujista, joilla ei ole reunaehtoja-laatikko. Tehtävän kohdefunktio ja 1. rajoitusehto ovat epälineaarisia, joten valitaan ratkaisumenetelmäksi GRG Nonlinear. Ratkaistaan tehtävä valitsemalla Ratkaise. Tehtävän ratkaisuksi saadaan, että laatikon korkeuden tulee olla 0,2 m ja leveyden ja pituuden kummankin tulee olla noin 0,70 m, jolloin laatikon tahkojen yhteispintaalaksi tulee noin 1,57 m 2. 5

Jos laatikon korkeuden rajoitusehtoa ei tarvitse huomioida, poistetaan Ratkaisimen Reunaehdot-kohdasta rajoitus B7 D7 ja ratkaistaan tehtävä. Tällöin tehtävän ratkaisuksi saadaan, että jokaisen särmän tulee olla noin 0,46 m pitkä, jolloin laatikosta tulee kuutio. Kuution tahkojen yhteispinta-ala eli kohdefunktion arvo on noin 1,29 m 2. Tehtävä 1: Optimointitehtävän osat ja ratkaiseminen Solverilla Ratkaise Excelin Solverilla a) min x + y s.e. x 2 + y 2 x y 0 x, y 0 b) max ln(x + sin y) s.e. e x xy 0 x π 4 0 y π 4 Huomaa. Excel osaa myös erikoisempia funktioita kuten SIN(), COS(), LN(), EXP(). π:n saat funktiolla PI(). Lisää funktioita löytyy Formulas -välilehdeltä Ratkaisu Syötetään tehtävän tiedot Exceliin ja ratkaistaan tehtävä Ratkaisimen avulla Demon 1 mukaisesti. a) Sijoitetaan päätösmuuttujat soluihin B2 ja C2. Kirjoitetaan soluun B4 kohdefunktion kaava =B2+C2. Kirjoitetaan soluun B6 1. rajoitusehto =B2^2+C2 ja sitä vastaavan rajoituksen arvo 2 soluun D6. Kirjoitetaan soluun B7 2. rajoitusehto =B2-C2 ja sitä vastaavan rajoituksen arvo 0 soluun D7. 6

Käynnistetään Ratkaisin ja sijoitetaan Aseta tavoite-kohtaan kohdefunktion solu B4 ja valitaan minimointitehtävälle Kohde-kohdasta vaihtoehto Pienin. Sijoitetaan solut B2 ja C2 kirjoittamalla Muuttamalla muuttujasoluja-kohtaan B2:C2. Lisätään rajoitusehdot valitsemalla Reunaehdot-kohdassa Lisää. Lisätään 1. epäyhtälörajoitus sijoittamalla Soluviittaus-kohtaan solu B6, valitsemalla sopiva epäyhtälö ( ) ja sijoittamalla Reunaehto-kohtaan viittaus soluun D6. Valitaan Lisää ja lisätään 2. epäyhtälörajoitus sijoittamalla Soluviittaus-kohtaan solu B7, valitsemalla sopiva epäyhtälö ( ) ja sijoittamalla Reunaehto-kohtaan viittaus soluun D7. Valitaan OK reunaehtojen lisäämisen lopettamiseksi. Rajoitetaan muuttujat epänegatiivisiksi rastittamalla Tee ei-negatiivisia muuttujista, joilla ei ole reunaehtoja-laatikko. Vaihtoehtoisesti voidaan lisätä Reunaehdot-kohtaan rajoitusehdot B9 D79 ja B10 D10. Tehtävän 1. rajoitusehto on epälineaarinen, joten valitaan ratkaisumenetelmäksi GRG Nonlinear. Ratkaistaan tehtävä valitsemalla Ratkaise. Tehtävän ratkaisuksi saadaan x on 1,41421 ja y on 0, jolloin kohdefunktion arvo on 1,41421. Päätösmuuttujien arvoja rajoittaa 1. epäyhtälörajoitus ja y:n epänegatiivisuusrajoitus. b) Sijoitetaan päätösmuuttujat soluihin B2 ja C2. Kirjoitetaan soluun B4 kohdefunktion kaava =LN(B2+SIN(C2)). Kirjoitetaan soluun B6 1. rajoitusehto =EXP(-B2)-B2*C2 ja sitä vastaavan rajoituksen arvo 0 soluun D6. Kirjoitetaan soluun B7 2. rajoitusehto =B2 ja sitä vastaavan rajoituksen arvo =PI()/4 soluun D7. Sitten kirjoitetaan soluun B8 3. rajoitusehto =C2 ja sitä vastaavan rajoituksen arvo =PI()/4 soluun D8. 7

Käynnistetään Ratkaisin ja sijoitetaan Aseta tavoite-kohtaan kohdefunktion solu B4 ja valitaan maksimointitehtävälle Kohde-kohdasta vaihtoehto Suurin. Sijoitetaan solut B2 ja C2 kirjoittamalla Muuttamalla muuttujasoluja-kohtaan B2:C2. Lisätään rajoitusehdot Reunaehdot-kohtaan rajoitusehdot B6 D6, B7 D7 ja B8 D8. Rajoitetaan muuttujat epänegatiivisiksi rastittamalla Tee ei-negatiivisia muuttujista, joilla ei ole reunaehtoja-laatikko. Tehtävän kohdefunktio ja 1. rajoitusehto ovat epälineaarisia, joten valitaan ratkaisumenetelmäksi GRG Nonlinear. Ratkaistaan tehtävä valitsemalla Ratkaise. Ratkaisuksi saadaan, että x on noin 0,659 ja y 0,785, jolloin kohdefunktion arvo on 0,312. Tehtävä 2: Optimointitehtävän formulointi Matti on perustanut kadun varteen mehukaupan. Hänellä on käytössään 8 litraa mehutiivistettä ja rajattomasti vettä. Hän on tuotantotalouden markkinointitutkimuskurssilla tehnyt kyselyn, jonka mukaan keskimääräinen ohikulkija suostuu maksamaan lasista (2 dl) mehua 1 3 1 2 (p 0.7)2 e, missä p kertoo kuinka suuri osa mehusta on tiivistettä (0 p 1). Matti on myös selvittänyt, että keskimäärin myyntipisteen ohi kulkevat ihmiset ostavat yhteensä 10 litraa mehua päivässä. Kuinka vahvaa mehua Matin kannattaa myydä? Muodosta optimointitehtävä ja ratkaise se Excelin Solverilla. Ratkaisu Matin tuotto riippuu mehun hinnasta, joka riippuu mehun tiivisteen osuudesta, ja päivän mehun määrän kysynnästä, joka on vakio 10 litraa (l). Valitaan päätösmuuttujiksi: x 1 := x 2 := tiivisteen määrä (l) veden määrä (l), jolloin mehun määrä on tiivisteen ja veden määrien summa eli x 1 + x 2 ja tiivisteen osuus mehusta p on x 1 x 1 +x 2. 8

Tehtävänä on maksimoida tuottoa, joka on mehun hinta kerrottuna mehun määrällä: ( ( ) ) 1 max 5 3 1 x 2 1 2 x 1 + x 0, 7 (x 1 + x 2 ). 2 Mehua ostetaan päivässä korkeintaan 10 litraa, jolloin rajoitusehdoksi saadaan: x 1 + x 2 10 Tiivistettä on käytössä vain 8 litraa, jolloin tiivisteen määrälle saadaan rajoitusehto: x 1 8 Tiivisteen ja veden määrät eivät voi olla negatiivisia, joten: ja x 1 0 x 2 0 Excel Syötetään tehtävän tiedot Exceliin ja ratkaistaan tehtävä Solverin avulla aiempien tehtävien mukaisesti. Sijoitetaan päätösmuuttujat soluihin B2 ja C2 ja kohdefunktion kaava =5*(1/3-1/2*((B2/(B2-C2))-0,7)^2)*(B2+C2) soluun B4. Sijoitetaan 1. rajoitusyhtälön kaava =B2 ja arvo 8 soluihin B6 ja D6. Vastaavasti 2. ja 3. rajoitusyhtälöiden kaavat =B2/(B2+C2) ja =B2+C2 soluihin B7 ja B8 ja arvot 1 ja 10 soluihin D7 ja D8. Käynnistetään Ratkaisin ja sijoitetaan Aseta tavoite-kohtaan viittaus kohdefunktion soluun B4 ja valitaan Kohde-kohdassa maksimointitehtävälle Pienin. Valitaan päätösmuuttujalla sijoittamalla solujen B2 ja C2 viittaus B2:C2 Muuttamalla muuttujasoluja-kohtaa. Lisätään Reunaehdot-kohtaan rajoitusehdot B6 D6, B7 D7 ja B8 D8. Rajoita päätösmuuttujat rastittamalla Tee ei-negatiivisia muuttujistalaatikko. Kohdefunktio on epälineaarinen, joten käytetään GRG Nonlinear-algoritmia. Lopulta ratkaistaan tehtävä. Ratkaisuksi saadaan, että tiivistettä tulisi käyttää 7 l ja vettä 3 l, jolloin mehusta saatava tuotto olisi 16,67 e. Rajoitusehdoista huomataan, että vain mehun kysyntä rajoittaa päätösmuuttujien arvoja. 9

Tehtävä 3: Alkuarvon merkitys Solverissa a) Ratkaise tehtävä min cos x s.e. π 4 x π 4 Käyttäen alkuarvona pisteitä x = 0, x = 0.1 ja x = 0.1. Piirrä kuva. Huomaa. Excel käyttää alkuarvona sitä arvoa, joka päätösmuuttujasoluun on asetettu ennen solverin ajamista. b) Ratkaise tehtävä min sin x x 3 s.e. 0 x 5π Käyttäen alkuarvona pisteitä x = 3 ja x = 8. Piirrä tilanteesta kuva. Ratkaisu a) Valitaan solu B2 vastaamaan päätösmuuttujaa x ja sijoitetaan kohdefunktion kaava =COS(B2) soluun B4. Kirjoitetaan rajoitusyhtälöt soluihin rajoitusyhtälöiden vasemmat puolet eli =B2 soluihin B6 ja D6 ja oikeat puolet eli =-PI()/4 ja =PI()/4 soluihin B7 ja D7. Kirjoitetaan alkuarvo 0 soluun B2. Käynnistetään Ratkaisin ja sijoitetaan Aseta tavoite-kohtaan kohdefunktion solu B4 ja valitaan minimointitehtävälle Kohde-kohdasta vaihtoehto Pienin. Sijoitetaan solu B2 Muuttamalla muuttujasoluja-kohtaan. Lisätään rajoitusehdot Reunaehdot-kohtaan rajoitusehdot B6 D6 ja B7 D7. Ratkaisuksi saadaan x on π 1 4, jolloin kohdefunktion arvo on 2. Muista kytkeä Solverista pois asetus, joka pakottaa päätösmuuttujien ratkaisut epänegatiivisiksi! Vaihdetaan soluun B2 arvo 0,1 ja ratkaistaan tehtävä uudestaan, jolloin x:n arvoksi saadaan π 1 4, jolloin kohdefunktion arvo on 2. Nyt algoritmin iteraatio pystyi etenemään ja se pysähtyi muuttujan x ylärajan tullessa vastaan. Vastaavasti kirjoitetaan soluun B2 arvo -0,1 ja ratkaistaan tehtävä, jolloin x = π 4 ja kohdefunktion arvo on 1 2. Piirretään kosinifunktion kuvaaja Excelissä kirjoittamalla x-akselin arvoja kasvavassa järjestyksessä soluun B11-0.7854 ja soluun B12-0.6872. Tämän jälkeen voit helposti jatkaa näiden arvojen kasvattamista valitsemalla molemmat solut yhtä aikaa ja vetämällä solujen oikeassa alakulmasa olevasta neliöstä alaspäin, kunnes pääset tarpeeksi suureen x-arvoon. Kirjoita soluun C11 kohdefunktion kaava, jossa viittaat viereiseen soluun, jossa x:n arvo on eli =COS(B11). Kopioi jälleen kaavaa vetämällä oikean alakulman neliöstä alaspäin, jolloin esim. soluun C12 tulee kaava COS(B12). Valitse kaikki muodostamasi arvot ja valitse Insert-välilehdeltä Scatter-alavalikko, josta valitse jokin sopiva kuvaaja (esim. Scatter with Smooth Lines and Markers). 10

1 0.95 0.9 cos x 0.85 0.8 0.75 0.7 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x b) Tehtävä voidaan ratkaita samalla tavalla kuin a-kohta. Tällä kertaa kohdefunktion soluun B4 kirjoitetaan kaava =SIN(B2)-B2/3. Muuttujan alarajaksi asetetaan arvo 0 soluun D6 ja ylärajaksi =5*PI() soluun D7. Ratkaistaan tehtävä lähtemällä alkuarvosta x on 3, jolloin x:n arvoksi saadaan 5,052 ja kohdefunktion arvoksi -2,627. Ratkaistaan tehtävä lähtemällä alkuarvosta x on 8, jolloin x:n arvoksi saadaan 11,3354 ja kohdefunktion arvoksi -4,721. Tehtävän oikea ratkaisu on x = 15, 708 ja kohdefunktion arvo on -5,236, johon olisi päästy esim. alkuarvauksella x on 15. Tästä huomataan, että Ratkaisimen käyttämä algoritmi voi jäädä epälineaarisessa tehtävässä lokaaliin ääriarvoon riippuen alkuarvauksesta, jolloin se ei löydä tehtävän oikeaa ratkaisua. Piirretään a-kohdan mukaisesti tehtävän mukainen kuvaaja sijoittamalla sopiviin soluihin vierekkäin x:n arvoja 0:sta 5π:hin ja käyttämällä kohdefunktion kaavaa =SIN(solu)-solu/3. 1 0 1 sin x x 3 2 3 4 5 6 0 2 4 6 8 10 12 14 16 x Tehtävä 4: Tulivuorisaari Mr. Moneybags on varastoinut kaiken omaisuutensa, 2400 kg kultaa, kaukaiselle tuliperäiselle saarelle. Saaren tulivuori uhkaa nyt purkautua, ja Mr. Moneybags haluaa siirtää rahansa turvaan. Saarella ei ole lentokenttää tai satamaa, joten siirto pitää tehdä helikoptereilla. Matka on pitkä ja sää epävakaa, joten helikopterit eivät välttämättä selviä matkasta. Käytössä on 3 kopteria, joista kullakin on tietty todennäköisyys selvitä matkasta. Todennäköisyys riippuu lisäksi kopterin kuormasta. 11

Todennäköisyydet ovat seuraavat: p 1 = 0.9 ( 1 x ) 1 1000 p 2 = 0.8 ( 1 x ) 2 1200 p 3 = 0.9 ( 1 x 3 1600). Ensimmäinen kopteri kykenee kantamaan 1000 kg, toinen 1200 kg ja kolmas 1600 kg. Kuinka paljon kultaa Mr. Moneybagsin kannattaa ottaa mukaan, jos hän haluaa maksimoida perille päässeen kullan määrän odotusarvon? Entä jos hän ahneuksissaan vaatii, että kaikki kulta on pakattava mukaan? Muotoile tehtävästä optimointitehtävä, ja ratkaise Excelin Solverilla. Ratkaisu Päätösmuuttujiksi valitaan kuhunkin helikopteriin lastattavan kullan määrä: x 1 := x 2 := x 3 := kullan määrä 1. helikopterissa (kg) kullan määrä 2. helikopterissa (kg) kullan määrä 3. helikopterissa (kg) Maksimoidaan perille saapuvan kullan odotusarvoa, joka riippuu kullan määrästä ja todennäköisyydestä, jolla helikopteri selviää matkasta: maksimoidaan: 3 kullan määrä helikopterissa i helikopterin i todennäköisyys i=1 = max 3 x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 i=1 = x 1 0, 9 ( 1 x ) 1 1000 + x2 0, 8 ( 1 x ) 2 1200 + x3 0, 9 ( 1 x 3 1600). Kullan määrä helikopterissa ei voi ylittää helikopterin kantokykyä eikä voi olla negatiivinen, jolloin saadaan rajoitusehdot: 0 x 1 1000 0 x 2 1200 0 x 3 1600. Kullan kokonaismäärä helikoptereissa ei voi ylittää kullan alkuperäistä kokonaismäärää, jolloin saadaan rajoitusehto: x 1 + x 2 + x 3 2400 Ratkaistaan tehtävä Excelin Ratkaisimella edellisten tehtävien tavoin, jolloin vastaukseksi saadaaan, että x 1 = 500, x 2 = 600 ja x 3 = 800. Näin ollen odotusarvoinen kullan määrä on 825 kg. 12

Jos kaikki kulta halutaan mukaan, muutetaan kullan kokonaismäärän epäyhtälörajoitus yhtälörajoitukseksi: x 1 + x 2 + x 3 = 2400 Tällöin tehtävän ratkaisuksi saadaan x 1 = 626.6, x 2 = 770.9 ja x 3 = 1002.5, jolloin odotusarvoinen kullan määrä on 768.0 kg. Tästä huomataan, että Mr. Moneybagsin ei kannata olla liian ahne ja yrittää kuljettaa kaikkea kultaa, koska silloin hän saa odotusarvoisesti vähemmän kultaa. Tehtävä 5: Opiskelun optimointi Simolla on edessään vaativa sovelletun matematiikan tentti. Edellinen ilta venyi pitkäksi, ja hänellä on enää 24 tuntia aikaa ennen tenttiä. Simo on kunnianhimoinen oppilas, ja haluaisi optimoida valmistautumisen niin, että saa 70% todennäköisyydellä arvosanaan 5 vaadittavat 28 pistettä. Tilastollisesti Simo on huomannut, että tentin pistesaalis on normaalijakautunut satunnaismuuttuja, odotusarvolla µ = t+u 8 15 pistettä, ja keskihajonnalla σ = t + u, missä t on lukemiseen käytetty aika, ja u on edellisen vuorokauden aikana nukkumiseen käytetty aika. Luonnollisesti Simo ei halua tehdä turhaa työtä, vaan maksimoi vapaa-aikansa, eli työn ja nukkumisen jälkeen vapaaksi jääneen ajan. Muotoile tehtävästä optimointitehtävä, ja ratkaise Excelin Solverilla. Ratkaisu Päätösmuuttujiksi valitaan tekstissä mainitut: t := u := lukemisen määrä (h) unen määrä (h) Maksimoidaan vapaa-aikaa eli vuorokaudesta opiskelun ja nukkumisen jälkeen jäävää aikaa: max 24 t u. 13

Halutaan, että todennäköisyys, jolla pistemäärä p on vähintään 28 pistettä, on vähintään 70%. Näin ollen todennäköisyys, jolla pistemäärä saa olla alle 28 pistettä, on korkeintaan 30%. Pistemäärä on normaalijakautunut keskiarvolla µ ja keskihajonnalla σ. Tilastollisista taulukoista saadaan, että standardoitua normaalijakaumaa noudattavalle satunnaismuuttujalle Z pätee P (Z y) = 1 0, 7 y = 0.53 Satunnaismuuttujalle Z ja ei-standardoitua normaalijakaumaa seuraavalle pistemäärälle p pätee yhteys Z = p µ σ, jossa p on verrattava pistemäärä eli 28 pistettä, µ on pistemäärän normaalijakauman keskiarvo ja σ on pistemäärän normaalijakauman keskihajonta. Näin ollen päätösmuuttujille saadaan epäyhtälörajoitukseksi Z = x µ σ = 28 t + 8 u 15 t + u 0.53 Opiskelutuntien ja nukkumistuntien yhteismäärä ei voi ylittää vuorokauden tuntien määrää, jolloin saadaan rajoitusehdoksi: t + u 24 Opiskelutuntien ja opiskelutuntien määrät eivät voi olla negatiivisia, joten: t 0 ja u 0 Ratkaistaan tehtävä Excelin Ratkaisimella, jolloin huomataan, että tehtävälle saadaan monta optimaalista ratkaisua, joissa kaikissa t + u = 20.818. Tällöin kohdefunktion arvo on 3.182. Näin ollen Simo voi jakaa 20.818 tuntia miten itse haluaa unen ja opiskelun välillä. 14