Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin cos us( ) s( ) 3sin cos c) 3 Dsin us ( ) 3 cos 3 us( ) s( ) 3 3 cos 3 s( ) ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos
d) Dtan 3 D tan3 us ( ) 3 n n, n 6 3 s( ) tan3 u( ) ja u( ) s( ) 3 ja s ( ) 3 tan3 Dtan3 us( ) s( ) u( ) tan ja u ( ) tan tan3 tan 3 3 u s ( ) s ( ) 6t an3 tan 3, n, n 6 3 Tapa Dtan 3 D tan3 us ( ) 3 n n, n 6 3 s( ) tan3 u( ) ja u( )
s( ) 3 ja s ( ) 3 tan3 Dtan3 us( ) s( ) u( ) tan ja u ( ) cos tan3 3 cos 3 u s( ) s ( ) 6tan3, n, n cos 3 6 3 e) Dsin cos tulon derivaatta: D f g Df g Dg f Dsin cos Dcos sin cos cos sin sin cos sin kaksinkertaisen kulman kosini: cos sin cos cos Tapa kaksinkertaisen kulman sini: Dsin cos sin cos sin, josta sin cos sin
D sin s( ) ja s( ) Dsin u( ) sin ja u( ) cos us ( ) cos us( ) s( ) cos f ) cos 0 D cos n osamäärän derivoimissääntö: f D g D D f g g f g D cos Dcos cos 0cos sin cos sin, n, n cos
Vastaus voidaan antaa myös toisessa muodossa: sin sin tan cos cos cos cos tan, n, n cos Tapa cos 0 D cos n Dcos us ( ) cos sin us( ) s( ) cos sin sin, n, n cos tan, n, n cos s( ) cos ja s( ) sin u( ) ja u( )
Vastaus a) 3cos3 b) 3sin cos c) d) 3 3 cos 6 tan3 ( tan 3 ), n, n 6 3 6tan3, n, n cos 3 6 3 e) cos f) sin, n, n cos tan, n, n cos
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) cos muistikolmiosta tai taulukkokirjasta: cos 4 cos cos cos cos 4 n n 4 Vastaus n, n 4
b) sin 3 0 3 sin 3 3 3 sin 3 muistikolmiosta tai taulukkokirjasta: 3 sin 3 sin sin sin sin 3 3 n tai n n tai n 3 3 3 3 n 3 3 tai n n 3 Vastaus n tai n, n 3 Huomautus: Tehtävän olisi voinut ratkaista myös merkitsemällä t. 3
c) 5 n 6 3) ) 3) 5 n 6 4 5 n 6 tan 5 6 n 5 5 muistikolmiosta tai taulukkokirjasta: tan 4 tan tan tan 5 tan 6 4 n 5 n 6 4 5 n 4 6 5 5 n :5 n toteuttaa määrittelyehdon 5 Vastaus c) n, n 5
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK-3 Tutkitaan aritmeettista lukujonoa (a n ), n =,, 3,..., jonka 7. termi on a7 3 ja 5. termi on a5. Koska jono on aritmeettinen, niin a 5 a7 5 7 d 3 8d d 3 8 8 4 a) a a 7d 7 3 a 6 4 a 6 3 4 4 b) Saadaan epäyhtälö a n 0 a nd 0 4 n 0 4
n 4 4 0 4 9 n 4 n 58 n59 n,, 3,... n 58 Siis negatiivisia termejä on 58 kpl a 0, kun n,, 3,..., 58 n c) Saadaan yhtälö 4 n 4 n 4 4 Siis on jonon 43. termi. 7 n 4 43 Vastaus a) a 4 b) Negatiivisia termejä on 58 kpl. c) On jonon jäsen.
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK-4 a) cos cos cos3 cos 4 n 3 n 4 3 n tai 3 n 4 4 n tai 4 n 4 4 n tai n 8 6 Vastaus n tai n, n 8 6 7 7 n tai n, n 8 6
b) trigonometrian 3sin 6cos 9 0 peruskaavasta: 3cos 6cos90 sin cos 33cos 6cos90 3cos 6cos 0 6 6 4 3 cos 3 6 0 cos 6 6 0 4 6 0 36 cos tai cos 6 6 6 3 6 6 ei ratkaisua cos laskimella 3 3 cos,3005... cos cos,3005... cos cos n,3005... n Vastaus,30n, n
c) cos cos4 0 suplementtikulmien cos cos 4 kosinit: cos cos cos cos 4 cos cos n 4n 4n tai 4n 5 n tai 3 n n tai n 5 5 3 3 Vastaus n tai n, n 5 5 3 3
d) sin 3 sin 0 6 sin sin 3 sin sin 6 sin sin sin sin 3 n tai 6 n 3n tai 3n 6 6 3 n tai 3 n 6 6 5 4 n tai n 6 6 5 n tai n 4 Vastaus 5 n tai n, n 4
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK-5 00 a) i) i35... 99 i0 Summa on aritmeettinen, sillä kahden peräkkäisen termin erotus a i ai i i on vakio. Siis 00 i0 ii a i S n 99 0 9999 n a n
ii) 9 k 0... k 3 3 3 3 3 3 0 3 9 Summa on geometrinen, koska kahden peräkkäisen termin suhde a k k k k 3 3 3 a k k k 3 3 3 k 3 on aina vakio. Siis 9 k 0 k ( q ) q 3 a, q, n 0 0 3 3 0 3 3 3 0 3 3 3 0 3 3 9 3 S n a n
iii) 999 n n lg n 3 4 999 lg lg lg... lg 3 4 5 000 lg lg 3 lg 3 lg 4 osamäärän logaritmi: log a log a log ay y lg 4 lg 5... lg999 lg 000 lg lg 000 lg 000 osamäärän logaritmi: log a log a y log a y lg 000 lg 0 3 lg0 3 3lg0 potenssin logaritmi: log a r rlog kantaluvun logaritmi: log a a a 3 3
Tapa osamäärän logaritmi: 999 n lg n n log a log a log a y y 999 lg nlgn n lg lg 3 lg 3 lg 4 lg lg 000 lg 4 lg 5... lg 999 lg 000 lg lg 000 lg lg lg000 tulon logaritmi: log y log log y a a a lg lg lg000 lg0 3 3lg0 potenssin logaritmi: log a r rlog kantaluvun logaritmi: log a a a 3 3
Tapa 3 999 n n lg n 3 4 999 lg lg lg... lg 3 4 5 000 tulon logaritmi: log log ylog y a a a 3 4 999 lg... 3 4 5 000 lg 000 osamäärän logaritmi: lg 000 log log log y a a a y lglg000 0lg0 3 3lg0 luvun yksi logaritmi: log 0 potenssin logaritmi: log a a r rlog kantaluvun logaritmi: log a a a 3 3
b) Lukujono an 3 n 4n n, n 0,,,... 3 Tutkitaan funktiota f ( ) 4, jolloin a f ( n), n 0,,,.... n Funktio f on polynomifunktiona jatkuva ja derivoituva. Laaditaan funktion kulkukaavio. f ( ) 3 8 Derivaatan nollakohdat: f ( ) 0 3 8 0 8 8 4 3 3 8 6 8 46 6 6 8 46 8 46 3 tai 6 6 3 y f ( ) f ( ) f ( ) 3 0 3
Kulkukaavion perusteella nähdään, että lukujono a n on aidosti kasvava, kun n,, 3,..., ja aidosti vähenevä, kun n 3, 4, 5,.... Siis lukujonon a, n 0,,,..., suurin termi on joko a tai a 3. n a a 3 3 f () 4 60 3 f (3) 3 4 3 3 6 (suurin arvo) Vastaus a) i) 9999 ii) 3 iii) 3 3 9 b) 60
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK-6 a) sin cos sin cos sin cos sin sin n n 4 Vastaus n, n 4
b) n tan cos sin tan cos sin cos cos 0 cos sin cos sin cos cos sin sin sin sin sin 0 Merkitään t sin. t t0 4 t 5 t t sin 5 5 sin tai sin ei ratkaisua
Laskin: 5 sin 5 sin,4753... sin sin sin sin,4753... n tai n 0,666... n tai 0,666... n 0,67 n tai,48 n Ratkaisut toteuttavat määrittelyehdon. Vastaus 0,67 n tai,48 n, n
c) 4cos4 cos 4 4 cos cos 4 cos cos 4 cos cos 4 8cos 4 cos 4 7cos 0 cos 0 cos 0 n n 4 Vastaus n, n 4
Tapa 4cos4 cos 4 4coscos 4 4sin sin 4 cos sin cos sin 48sin sin 30 7sin 7 0 sin sin n n 4 Vastaus n, n 4
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK-7 a) sin 6cos sin 3cos Trigonometrian peruskaavan mukaan sin cos sin 3cos 3cos cos 9cos cos 0cos cos 0 Sinin kaksinkertaisen kulman kaavan mukaan sin sin cos sin 3cos 3coscos 6cos cos 0 6 0 3 5 Vastaus 3 sin 5
b) Olkoon tasakylkisen kolmion kantakulma ja huippukulma. Koska cos, niin kolmion kannan puolikas on a ja 5 kylki 5a. Piirretään mallikuva. Taulukkokirjan mukaan tan tan tan Mallikuvasta saadaan a tan
Pythagoraan lauseella saadaan kolmion korkeus : a 5a a 5a 4a ( ) 4a 0 46a a a a 6 a 0 a 6 Tällöin tan a a a 6 6. Näin ollen tan tan tan tan 6 6 6 6 46
6 4 6 3 4 4 6 3 6 4 6 3 4 6 6 3 4 6 3 Vastaus 0,43 4 6 0,43 3
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK-8 a) Piste, on käyrän y cos sin piste, koska cos sin 0 4 Määritetään derivaatan avulla tangentin kulmakerroin. y cos sin D( f g) ( D f ) g ( D g) f y cossin cos cos sincos Tangentin kulmakerroin on kt y cos sin cos 0 0 4 4 Normaalin kulmakerroin on k N 4 k T
Tangentin yhtälö on y y k 0 0 k T, y, 0 0 4 y 4 3 y 4 8 3 y 4 8 Normaalin yhtälö on y y k 0 0 4 y 4 y Vastaus Tangentin yhtälö on Normaalin yhtälö on k N, y, 0 0 4 3 y. 4 8 4 y
b) f ( ) sin cos Kaksinkertaisen kulman kosinin kaavan mukaan saadaan f ( ) sinsin, Merkitään t sin On siis määritettävä funktion. Koska, niin, g t t t, t suurin ja pienin arvo. Tapa t. ) Funktio g on jatkuva suljetulla välillä, ja derivoituva avoimella välillä,, joten g saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteissä tai derivaatan nollakohdissa. (Fermat n lause). ) Derivaatan nollakohdat g t tt g t 4t Saadaan yhtälö gt 0 4t 0 t,
3) Funktion arvot välin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdissa g 3(pienin arvo) g g (suurin arvo) Vastaus Suurin arvo on ja pienin arvo on 3. Tapa Funktion g t t t, t, kuvaaja y t t, t on osa alaspäin aukeavasta paraabelista. Paraabelin huippu: t 0 y 0 b a y
Funktion g suurin arvo on ja pienin arvo on g 3. Siis funktio f suurin arvo on Tapa 3 ja pienin arvo on 3. Funktion f ( ) sin sin jakso on, joten voidaan rajoittua esimerkiksi välille 0,. ) Funktio f on jatkuva suljetulla välillä 0, ja derivoituva avoimella välillä 0,, joten se saa suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteissä tai derivaatan nollakohdissa (Fermat n lause).
) Derivaatan nollakohdat f ( ) sinsin f ( ) cos sin cos cossin Saadaan yhtälö f ( ) 0 cos sin 0 cos 0 tai sin 0 sin muistikolmiosta tai taulukkokirjasta: sin 6 sin sin sin sin n tai 6 n 5 n tai n tai n 6 6
Derivaatan nollakohdista välillä 0 ovat 0 3 0 6 6 5 5 0 6 6 3) Funktion arvot välin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdissa f f f f f f 0 3 3 6 5 6 (pienin arvo) (suurin arvo) (suurin arvo) Siis funktio suurin arvo on ja pienin arvo on 3.
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK-9 a) 5 f ( ) 3tan, 4 s( ), u( ) tan 4 4 f ( ) 0 3Dtan 4 s( ), u( ) tan 4 4 0 3tan 4 4 us( ) s( ) 4 3 3 0 tan 4 4 4 4 3 3 0 tan 0 4 4 4 0 0 0 Siis f ( ) 0 kaikilla, joten funktio f on aidosti kasvava.
b) Väite: sin, kun 0 eli sin 0, kun 0. Todistus: Tarkastellaan funktiota f ( ) sin, 0, ja osoitetaan, että se ei saa positiivisia arvoja. Tutkitaan funktion f kulkua derivaatan avulla. f ( ) sin f ( ) cos ja cos vain yksittäisissä kohdissa, niin aina f ( ) 0 ja f ( ) 0 vain yksittäisissä kohdissa. Näin ollen funktio f on aidosti vähenevä, jolloin se saa suurimman arvonsa, kun 0. Koska cos, Koska f 0 sin00 0, niin f ( ) 0 kaikilla 0. Siis epäyhtälö sin 0 eli sin on voimassa kaikilla 0.
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 8.4.0 HK-0 a) Taulukkokirjan mukaan vakioerä A (annuiteetti) on K = 0 000 6 n q A= Kq q = + =,005 n q 00 n = 3 = 36 36,005 = 0 000,005 36,005 = 608,4387... 608 Korkojen yhteismäärä on 36 A 0 000 = 903,794... 904 Korkojen osuus lainan määrästä on 904 00 % 9,5 % 0 000 Vastaus Vakioerä on 608. Korot ovat yhteensä 904 (9,5 %).
Tapa Vuosikorko on 6 %, joten kuukausikorko on 6% 0,5 % =. Maksueriä on yhteensä 3 36 = kappaletta. Olkoon maksuerän suuruus euroina A. Tällöin velka euroina. maksun jälkeen on V =,005 0 000 A velka euroina. maksun jälkeen on V =,005V A ( A) =,005,005 0 000 A =,005 0 000,005 A A velka euroina 3. maksun jälkeen on V =,005V A 3 ( ) =,005,005 0 000,005 A A A 3 =,005 0 000,005 A,005 A A
velka euroina 36. maksun jälkeen on V =,005V A 36 35 36 35 34 =,005 0 000,005 A,005 A...,005 A A Koska velka on maksettu pois 36. maksun jälkeen, saadaan yhtälö V 36 = 0 36 35 34, 005 0 000,005 A,005 A...,005 A A= 0 ( ) 36 35 34,005 0 000 A,005 +,005 +... +,005 + = 0 ( ) 36 34 35,005 0 000 A +,005 +... +,005 +,005 = 0 geometrinen summa, jossa a =, q=,005 ja n= 36 36 (,005 ),005 0 000 A = 0,005 36 36,005,005 0 000 = A,005 36 36,005 0 000 A = 36,005,005 A = 608,438... A 608 ( )
korkojen yhteismäärä on 36 A 0 000 = 903,794... 904 ( ) Korkojen osuus lainan määrästä on 904 00 % 9,5 % 0 000 Vastaus Vakioerä on 608. Korot ovat yhteensä 904
b) Määritetään kahden peräkkäisen ympyrän säteiden suhde. ΔABC ΔABC ΔABC 3 3... (kk)
r n+ n+ r n c = c n r sin 30 = c r c r r r = = r c c n+ n n n+ n n n n r r r r = r r n+ n n n+ n r r r = r r n+ n n+ n n n+ = n n n+ rr r rr n n n+ n n n c n = r ( ) 3 rr = r : r 0 n n n 3r r n+ n+ r n = r = n 3 Siis rn+ = rn 3.
Suurimman ympyrän lisäksi on muita ympyröitä yhteensä 99, joista kolme on aina yhtä suurta. Näin ollen ( ) Aymp = A + 3 A + A3 + A4 + + A34 33 kpl = r + 3( r + r3 + r4 +... + r34 ) rn+ = r 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 33 = + + + + + r 3 r r r... r 3 3 3 3 4 6 66 = r + 3 r + + +... + 3 3 3 3 geometrinen summa 3 3 = r + 3 r 3 a =, q = ja n= 33 3 3 3 = r + 3 r r 66 8 = + 8 66 3 3 33 n = r 8 83 65 r = 8 3 65
r Δ ABC : tan30 = a r = atan 30 a r = 3 Siis A r a a ymp = = 65 = 65 65 8 3 8 3 3 4 3 Kolmion ala: 3 AΔ = a a sin60 a a 3 = = Saadaan A ymp A Δ a 65 3 00 % = 00% 4 a 3 5 = % 65 6 3 3 5 3 = % 8 65 3 = 83,347... % 83 % Vastaus 5 3 % 83 % 8 65 3
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) 9 9 80 rad 80 eli rad 6 6 9 80 570 6 9 sin sin 3 sin sin( n ) 6 6 sin 3 6 taulukkokirjasta: 7 sin 6 sin 7 6 9 cos cos3 cos cos( n ) 6 6 cos3 6 taulukkokirjasta: 7 cos 6 cos 7 3 6 3
b) tan ja 9080 3 Taulukkokirjan mukaan sin tan tan tan 3 3 3 3 4 3 3 9 9 3 3 3 3 3 3 3 Koska 90 80, niin sin 0, joten sin. 3 Taulukkokirjan mukaan cos tan tan 3 3 3 3 3 3 3 Koska 90 80, niin cos 0, joten cos. 3 Vastaus 3 3 3 3 sin ja cos 3 3 3 3
Tapa tan 3 sin cos 3 sin cos 3 tangentin määritelmä Trigonometrian peruskaavan mukaan sin cos sin cos 3 cos cos 3 4 cos cos 9 9 4cos 9cos 9 3cos 9 cos 9 3 cos cos 9 3 3 3
Koska 90 80, niin cos 0, joten 3 cos. 3 Tällöin 3 sin cos 3 3 3 3 Vastaus 3 3 3 3 sin ja cos 3 3 3 3
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) 3cos sin 0 cos 0 tai sin 0 n tai n n Sijoitetaan saatujen kulmien kehäpisteet yksikköympyrään ja tutkitaan, voidaanko yhtälön juuret esittää yksinkertaisemmin. Yhtälön juuret voidaan esittää lyhyesti n, n.
b) n ja n n tan tan 0 n Siis n, n. tan tan tan tan tan tan tan tan n n n n Siis yhtälöllä ei ole ratkaisua. ei toteuta määrittelyehtoa n
c) Muunnetaan yhtälö muotoon tan tan. : cos, jolloin pitää olla cos 3sin cos 0 eli n Tutkitaan tapaus cos 0 erikseen. sin 3 cos 3tan taulukkokirjasta: tan 3 tan 6 3 tan tan tan tan 6 n n toteuttavat määrittelyehdon 6 Jos cos 0 eli n, niin sin 0. Tällöin yhtälö cos 3sin on epätosi. Siis yhtälö cos 3sin ei 0 0 toteudu, kun n. Vastaus n, n 6
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK-3 Piirretään mallikuva, jossa on tasakylkisen kolmion kantakulma ja huippukulma. Kolmion kulmien summa on 80. 80 80 tan tan 80 tan n 80 tan tan 80 80 tan tan tan tan tan tan taulukkokirjasta: tan tan tan tan 4 4 4 ( ) 8 7 7
Tapa Koska tan, niin kolmion korkeus on a ja kannan puolikas a. Piirretään mallikuva. Tällöin a tan. a
Taulukkokirjan mukaan tan tan Sijoitetaan. tan tan tan tan tan 7 8 8 8 8 7 7 8 4 7 7 Vastaus 4 7
Tapa 3 Koska tan, niin kolmion korkeus on a ja kannan puolikas a. Piirretään mallikuva.
Pythagoraan lauseen mukaan a a ( ) a 8a 9a 9a 0 9a a a 3a a 0 3a Siis a a sin 3 a 3 a a cos 3 a 3
Näin ollen sin tan cos tangentin määritelmä kaksinkertaisen kulman sin sini ja kosini: sin sincos cos cos cos sin cos sin 3 cos cos 3 3 3 3 4 4 9 9 6 7 9 9 4 9 4 9 7 7 Vastaus 4 7
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK-4 Oletus: a 6 an 5an 4, n, 3, 4,... Väite: Todistus: Yleinen termi an n 5, n,, 3,... Jonon ensimmäinen termi, n = : 5 5 6 a Rekursiosääntö: n 5an 4 55 4 n 5 5 4 n3 5 5 4 n3 5 5 5 4 n3 5 n 5 a n Rekursiivisesti määritellyn jonon molemmat ehdot täyttyvät, joten n yleinen termi on an 5, n,, 3,....
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK-5 a) Käyrien y tan ja y tan leikkauspisteet saadaan ratkaisemalla yhtälöpari y tan n y tan n eli n 4 Sijoitetaan yhtälö () yhtälöön (). tan tan tan tan n n n n toteuttaa määrittelyehdot Ratkaisuista n, välillä, ovat, 0 ja. Ratkaistaan y sijoittamalla :n arvot yhtälöön (). : y tan 0 0: y tan00 : y tan 0 Vastaus Leikkauspisteet ovat, 0,, 0. 0,0 ja
b) Yhtälön e cos eli yhtälön e cos 0 pienin positiivinen juuri on sama kuin funktion f ( ) e cos pienin positiivinen nollakohta. Funktion f derivaatta on f ( ) e sin e sin Derivaattafunktion f derivaatta on f ( ) e cos e cos Välillä 0, on f ( ) 0, koska e 0 ja cos 0. Tällöin derivaattafunktio f on aidosti kasvava välillä 0,. Koska f 0 0 f,8 0 f jatkuva suljetulla välillä 0, f aidosti kasvava välillä 0, niin derivaatalla on täsmälleen yksi nollakohta t välillä 0,.
Funktion f kulkukaavio: f ( ) f ( ) 0 t Koska f 0 0 f 0, 0 f on jatkuva niin kulkukaavion perusteella funktiolla f on täsmälleen yksi nollakohta 0 välillä 0,. Haetaan tämä pienin positiivinen nollakohta 0 haarukoimalla. f ( ) e cos 0 f (0) 0 jatkuva suljetulla välillä nollakohta avoimella välillä f f,5 f,5 0, f ( 0) 0 0;,5,5,45 f, 45 0, f,5 0, 45;,5, 45,5,454 f, 454 0,, 45 0, 45;, 455, 45, 454 0, (0) 0 0, 0 0 0 0 f 0 Nollakohta kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella on 0,45. Vastaus, 45 f 0
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK-6 Paperin paksuus on 0,0 mm 0,00 cm. Seuraavan paperikierroksen halkaisija on 0,0mm 0,0mm suurempi kuin edellisen kierroksen. Kierrosten halkaisijat muodostavat siis aritmeettisen jonon. Tällöin paperin pituus on p p p... p p r d d d... d a d d... dn Sn n d n aritmeettinen summa d n Ensimmäisen paperikierroksen halkaisija on d 0,5 m 0,0 mm 5,0 cm Viimeisen paperikierroksen halkaisija on d,5 m 0,0 mm 49,99 cm n n n a n
Rullassa on kierroksia (,5 m 0,5 m): 6,5 cm n 650 0,0 mm 0,00 cm Paperin pituus on p n d d n 5,0 cm 49,99 cm 650 7 80,584... m 7, km
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK-7 Olkoon vuotuinen talletus a euroa ja talletusten ja samalla talletusvuosien lukumäärä n.. talletus on n vuoden kuluttua,05 n a. talletus on n vuoden kuluttua,05 n a 3. talletus on n vuoden kuluttua,05 n a n. talletus on vuoden kuluttua,05a Tilillä on rahaa n vuoden kuluttua n 3 n a ( q ) n, 05a,05 a,05 a..., 05 a S geometrinen summa a,05 a, q,05 ja termejä on n kpl,05 a (,05 ),05 n q Saadaan yhtälö n,05 a (,05 ) 0 a : a 0,05 n,05 (,05 ) 0 0,05,05 n,05 (,05 ) 0,5 :,05
,05 n 0,5,05 Funktio lg t, t 0, on n 0,5,05 aidosti kasvava,,05 joten yhtäsuuruus säilyy. 0 0 0,5 potenssin logaritmi: n lg,05 lg,05 r log rlog 0,5 n lg,05 lg,05 lg 0,5,05 n lg,05 n 6,089... n 7 a a Vastaus 7
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK-8 f ( ) 43tan 7 Funktio f on määritelty, kun n. Funktio f on jaksollinen, jaksona on. Riittää tutkia esimerkiksi väliä,. Laaditaan funktion f kulkukaavio. f ( ) 4 3D tan 0 D tan tan 43 tan 3tan Derivaatan nollakohdat saadaan yhtälöstä f ( ) 0 3tan 0 tan 3 tan 3
taulukkokirjasta: 5 tan tai tan tan 3 3 6 3 5 tan tan tai tan tan 6 6 tan 6 3 tan tan 5 n tai n n 6 6 tai 6 6 Derivaatta f on jatkuva, joten selvitetään derivaatan merkki testipisteiden avulla. f ( ) f ( ) f ( ) 0 6 6 min. ma. kohta kohta
Koska funktion jakso on, niin kulkukaavion perusteella funktiolla on maksimikohdat n 6 ja minimikohdat n 6 Vastaus maksimikohdat minimikohdat n, n ja 6 n, n 6
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK-9 Olkoon ensimmäisen neliön sivun pituus a. Tällöin toisen neliön sivun pituus saadaan Pythagoraan lauseella. a a a a 4 4 a ( ) a Siis seuraavan neliön sivun pituus on aina edeltävän neliön sivun pituuteen verrattuna. -kertainen sitä
a) 50 ensimmäisen neliön piirien summa on p p p p... p 3 50 3 49 geometrinen summa a 4 a, q ja n50 4a 4 a 4 a 4 a... 4 a 50 4a 4a 5 4a 5 4a 5 4a 5 3,7a 4 3,7a 5 Vastaus a
b) 50 ensimmäisen neliön alojen summa on A A A A... A 3 50 3 49 a a a a... a 4 6 98 a a a a... a geometrinen summa a a q n, ja 50 a 50 a 50 a 50 a Vastaus a a 50
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK-0 Piirretään mallikuva. Merkitään sivua BC a, jolloin sivu AB 4a. Sinilauseen avulla saadaan verranto sinilause: 4a a sin sin 45 a b sin sin 4asin 45 asin : a taulukkokirjasta: y 4sin 45 sin sin sin cos ycos sin y muistikolmiosta tai 4sin cos 45cos sin 45sin taulukkokirjasta: sin 45cos45
4sin cos sin 4 4 sin cos sin : cos, jolloin pitää olla cos 0 eli 4 sin 4 cos 90 ( n 80 ) Tapaus cos 0, jolloin sin, on mahdoton. sin 4 4 cos laskimesta: 4 4 tan tan 4 4 57,948... tan tan 57,948... 57,948... ( n 80 ) tan tan n toteuttaa ehdon 90
Kolmion kulmien summa on 80, joten kolmas kulma saadaan yhtälöstä ( 45 ) 80 5 57,948... 0,760... 0,8 Vastaus Kolmion kolmas kulma on 0,8.
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK3- Renkaan pyörähtäessä kerran ympäri, se etenee kehänsä pituisen matkan ja piste P kiertää kulman 360 renkaan keskipisteen ympäri. Kun rengas etenee 0 m, niin rengas pyörii akselinsa ympäri 0 m 000 cm 7,9577... 0 cm 0 cm kertaa. Tällöin piste P kiertää renkaan keskipisteen ympäri kulman 7,9577... 360865 Vastaus 865
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK3- a) Saadaan yhtälö sin 4 0 sin 4 4 n n 8 Vastaus n, n 8 b) Saadaan yhtälö sin sin sin 3 sin n 3 n 3 n tai 3 n 3 3 n tai 3 n 9 3 3 n 9 3 Vastaus n tai n, n 9 3 9 3
c) cos 3cos 0 t 3t0 3 3 4 t 3 5 t 4 3 5 t 4 0 merkitään t cos t tai t t cos taulukkokirjasta: cos tai cos cos ei ratkaisua 3 cos cos cos cos 3 n n 3 Siis n. 3 4 Näistä vain ja 3 3 4 Vastaus tai 3 3 ovat välillä 0,.
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK3-3 a) 7 sin, 5 Taulukkokirjan mukaan tan sin 7 sin sin 5 7 7 5 5 7 576 5 65 7 5 7 5 4 5 4 5 7 4 Koska, niin tan 0, joten 7 tan. 4 Vastaus 7 4
Tapa 7 sin, 5 Trigonometrian peruskaavan mukaan sin cos cos sin 7 cos sin sin 5 7 cos 5 cos 49 65 cos 576 65 4 cos 5 Koska, niin cos 0, joten 4 cos. 5 Tällöin sin 7 4 7 5 7 tan : cos 5 5 5 4 4
taulukkokirjasta: b) sin 6 sin sin cos cossin kaksinkertaisen kulman sini: sin sin cos sin cos cos sin 6 6 kaksinkertaisen kulman kosini: cos cos muistikolmiosta tai taulukkokirjasta: 3 cos ja sin 6 6 3 sin cos cos Taulukkokirjasta: tan sin tan 5 cos tan 5 sin Koska tan 0, niin sin ja cos cos ovat keskenään samanmerkkisiä.
Näin ollen joko sin ja cos 5 5 tai sin ja cos 5 5 Siis 3 sincos (cos ) 3 5 5 5 huomautus: ylä- ja alamerkit vastaavat toisiaan 5 5 5 3 3 5 5 4 3 3 5 0 4 3 3 0
Tapa tan sin cos tangentin määritelmä: sin tan cos sin cos Trigonometrian peruskaavan mukaan sin cos sin cos cos cos 5cos cos 5 cos 5 Tällöin sin cos. 5 5 Siis joko sin ja cos tai 5 5 sin ja cos. 5 5
Nyt sin 6 taulukkokirjasta: sin sincos cossin kaksinkertaisen kulman sini: sin sin cos sin cos cos sin 6 6 kaksinkertaisen kulman kosini: cos cos muistikolmiosta tai taulukkokirjasta: 3 cos ja sin 6 6 3 sin cos cos 3 5 5 5 3 3 3 3 5 5 5 0 huomautus: ylä- ja alamerkit vastaavat toisiaan 4 3 3 0
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK3-4 Lukujono 500, 497,... a geometrinen, joten n 497 q ja 500 n n 497 an a q 500, n,, 3,... 500 Saadaan epäyhtälö a n n 497 500 : 500 500 n 497 on aidosti kasvava. 500 500 Suuruusjärjestys 0 n 0 Funktio ln t, t 0, säilyy. 497 r ln ln log a rlog a 500 500 497 497 n ln ln :ln 0 500 500 500 ln n 5 00 497 ln 500
ln n 500 497 ln 500 n 033,7 n033 n,, 3,... n 033 Termeistä 033 kpl on ykköstä suurempia. a n, kun n,, 3,..., 033 Vastaus 033 kpl
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK3-5 e f ( ) n cos D D e f f g g f f ( ) D D cos g g e cos ( sin ) e e (cos sin ), (cos ) cos n Tällöin vastakulmien kosinit: 4 e cos sin 4 4 cos cos f 4 cos vastakulmien sinit: 4 sin sin 4 e cos sin 4 4 cos 4 muistikolmiosta tai taulukkokirjasta: sin cos 4 4 4 e 0
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK3-6 4 4 cos sin sin cos sin sin a b abab cos sin cos sin sin sin cos cos cos sin Tapa cos sin Muunnetaan yhtälö muotoon cos cos. cos sin sin cos cos cos cos cos n n tai n 4 n tai n n 8 ei ratkaisua Vastaus n, n 8
Tapa : Muunnetaan yhtälö muotoon sin sin. cos sin cos sin sin sin sin sin n tai n n tai n 4 n tai 0 n n tai 0 n 8 ei ratkaisua Vastaus n, n 8
Tapa 3 cos sin : cos, jolloin pitää olla cos 0 eli n sin cos n 4 Tutkitaan tapaus cos 0 myöhemmin. sin cos muistikolmiosta tai tan taulukkokirjasta: tan tan 4 tan 4 tan tan n n 4 toteuttaa n 8 määrittelyehdon
Jos cos 0, niin sin. Tällöin yhtälö cos sin 0 0 on epätosi. Vastaus n, n 8
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK3-7 Ajatellaan tiilikerrosten yläreunojen korkeus lattiasta aritmeettisena jonona, yksikkönä senttimetri. a = 9,0 a 6 = 49,0 On selvitettävä termi a 5. a 6 a 6 d 49,0 9,0 5d d d 49,0 9,0 5 8,0 a 5 a 5 d 9,048,0 0,0 Siis takan korkeus on 0,0 cm.
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK3-8 Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion terävät kulmat ovat 45 eli radiaania. 4 Kulmanpuolittaja jakaa tämän kulman kahteen osaan, jotka ovat 8 radiaania. Piirretään mallikuva, jossa kateetteja merkitään kirjaimella a ja hypotenuusaa kirjaimella c. Kulmanpuolittaja jakaa vastaisen kateetin osiin ja a. Hypotenuusa saadaan Pythagoraan lauseen avulla. a a c c a 0 c ( ) a c
Kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa. a a c a a a a a c a a a : a Siis ) a tan 8 a a ) a a( ) Vastaus tan 8
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK3-9 a) Geometrisen jonon summa on,,,... 4 6 64 n. ensimmäisen termin S n a n ( q ) a q q 4 4 4 4 4 n 3 n 4 3 34 n Ratkaistaan epäyhtälö Sn 3 0,000 00 3 n 34 3 0,000 00
a a, kun a 0. 000 000 n 34 0 n 000 0004 0 n 34 000 000 000 000 n 4 3 0 0 Funktio lg t, t 0, on aidosti kasvava, joten suuruus- järjestys säilyy. 000 000 potenssin logaritmi: n lg lg 4 3 r log rlog 000 000 lg n lg 4 : lg 4 0 3 000 000 lg 3 lg 4 n n 9,7... n,, 3,... n 0,,,... a a Vastaus vähintään 0
b) h h 4,0 m 0,85h 0,854,0 m h 0,85h 0,85 4,0 m 3 h n n 0,85 4,0 m Pallon kulkema matka ennen 00. pomppua on h h h h... h 3 4 0 h h h h... h 3 4 00 99 4,0 m 0,854,0 m0,85 4,0 m... 0,85 4,0 m geometrinen summa a 0,854,0 m; q0,85 ja n99 0,854,0 m (0,85 ) 4,0 m 0,85 49,333... m 49,3 m 99
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK3-0 a) f ( ) tan 4tan Funktio f on määritelty, kun n eli n. 4 Kun käy läpi kaikki arvot \ n 4, niin tan käy läpi kaikki reaalilukuarvot. Sijoitetaan t tan, jossa t, ja tutkitaan funktiota g t t 4, t t. Funktioiden g ja f saamat arvot ovat samat, joten myös niiden pienimmät arvot ovat samat. Funktion g kuvaaja y t 4t on ylöspäin aukeava paraabeli, joten g saa pienimmän arvonsa paraabelin huipussa eli kohdassa t 0 b 4 a Pienin arvo on g g t0 448 4. Siis myös funktion f pienin arvo on 4.
b) Todistus. Piirretään mallikuva. Kolmion kulmien summa on 80, joten kulma 80. Tällöin sin sin 80 sin suplementtikulmien sinit: sin sin 80
Oletuksen sin sin sin oikea puoli on siis y sin sin sin taulukkokirjasta: sin cos ycos sin y sin cos cos sin ab a abb sin cos sincos cossin cos sin Muokataan oletuksen vasenta puolta. sin sin kaksinkertaisen kulman sini: sin sin cos sincossincos 4sincossin cos Oletus saadaan muotoon sin cos sin cos cos sin cos sin 4sincossin cos Josta edelleen sin cos sincos cossin cos sin 0
Koska ab a ab b, niin saadaan sin cos cos sin 0 taulukkokirjasta: sincos cossin 0 sin y sin 0 sin cos ycos sin y Koska 0n 80 0 80 0 80 niin vain n 0 kelpaa. Koska, niin kolmio on tasakylkinen.