3 Ääni ja kuulo 1 Mekaanisista aalloista ääni on ihmisen kannalta tärkein. Ääni on pitkittäistä aaltoliikettä, eli ilman (tai muun väliaineen) hiukkaset värähtelevät suuntaan joka on sama kuin aallon etenemissuunta. Ääniaalto voidaan määritellä joko väliaineen hiukkasten värähtelyn kautta (siirtymäaalto) tai paineenvaihteluiden kautta (paineaalto). Ihmiskorva aistii paineen vaihteluita, joten yleensä äänestä puhuttaessa määritellään ääniaalto paineen vaihteluiden kautta.
Ääniaalto voidaan esittää yhtälö joka kertoo meille miten paineen muutos liikkuu aaltorintamana. Yhtälö on muotoa p(x, t) = BkA sin(kx ωt). 2 Tämän yhtälön avulla määritellään tärkeä käsite jota tullaan tarvitsemaan jatkossa, nimittäin paineamplitudi (pressure amplitude). Se on muotoa p max = BkA. Paineamplitudi on siis paineaallon suurin muutos. Määritelty yhtälö (paineaaltofunktio) kertoo siis hetkellisen paineen muutoksen, eli sen, minkä verran paine poikkeaa normaalista ilmanpaineesta. Absoluuttinen paine tietyssä paikassa tietyllä ajanhetkellä on siis p a + p(x, t), missä p a.
Pitkittäisen aallon nopeus nesteessä tai kaasussa saadaan yhtälöstä B v = ρ, 3 missä B on aineen puristuvuuskerroin (bulk modulus), ja ρ aineen tiheys. Puristuvuuskerroin määritellään B = V dp dv Pitkittäisen aallon nopeus kiinteässä elastisessa aineessa saadaan yhtälöstä Y v = ρ, missä Y on niin kutsuttu Youngin moduli (Young modulus). Youngin modulille on oma määritelmänsä, mutta se ei kuulu tämän käsittelyn laajuuteen.
Äänen intensiteetti voidaan määritellä 4 tai paineamplitudin avulla I = 1 2 BωkA2 = 1 2 ρbω 2 A 2 I = ωp2 max 2Bk = vp2 max 2B = p2 max 2ρv = p2 max 2 ρb.
Koska ihmiskorva aistii varsin laajan intensiteettiskaalan, ja koska ihminen aistii äänenpaineen muutoksen logaritmisella asteikolla pikemminkin kuin lineaarisella, on järkevä käyttää myös äänenvoimakkuuden mittaamiseen logaritmista asteikkoa. Äänenpainetaso β määritellään 5 β = (10 db) log I I 0. I 0 on referenssitaso, johon kaikkia muita äänenpainetasoja verrataan. I 0 on valittu niin, että se vastaa suunnilleen ihmisen kuuloalueen rajaa 1000 Hz taajuudella. I 0 = 10 12 W/m 2. Eli, jos äänen intensiteetti on 10 12 W/m 2, on sen desibelitaso 0 db. Jos äänen intensiteetti on 1 W/m 2, on sen desibelitaso 120 db. Tämä vastaa yleisesti ihmisen äänen kipurajaa.
6 Äänenpainetaso ilmaistaan siis desibeleissä, ja asteikkoa kutsutaankin usein desibeliasteikoksi. Huomaa että log on kymmenkantainen logaritmi. Tämä tarkoittaa siis sitä, että kun desibelilukema kasvaa 10:llä, intensiteetti kasvaa kymmenkertaiseksi. Kun desibelilukema kasvaa 20:llä, intensiteetti kasvaa satakertaiseksi.
7 Jos suoran, ontton, tietynmittaiseen putken toiseen päähän tuotetaan sinimuotoisesti vaihteleva paine jollakin tavalla (kuten asettamalla toiseen päähän kaiutin, tai edestakaisin liikkuva kaasumäntä), muodostuu putkessa olevaan ilmapatsaaseen seisova aalto samaan tapaan kuin viritettyyn metallilankaan. Värähtelevä lanka lähettää ympäröivään väliaineeseen (ilmaan) ääniaaltoja joiden taajuus on sama kuin langassa värähtelevän seisovan aallon taajuus. Tämä koskee langan kaikkia värähtelymoodeja; jos langassa on esimerkiksi seisovat aallot joiden taajuudet ovat f 1, f 2 ja f 3, lähettää lanka ympäröivään ilmaan ääniaaltoja kaikilla näillä taajuuksilla. Aivan samoin kuin tietyn mittaiseen lankaan muodostuu värähtelymoodit joiden taajuudet voidaan laskea kun tunnetaan langan parametrit (L, F, µ), voidaan putkeen muodostuvan sinimuotoisesti värähtelevän paineen muodostaman seisovan aallon värähtelymoodien taajuudet laskea.
Samoin kuin värähtelevä lanka lähettää ilmaan ääniaaltoja seisovien aaltojensa taajuudella, lähettää putkessa värähtelevä ilmapatsas ympröivään ilmaan ääniaaltoja omien seisovien aaltojensa taajuuksilla. 8 Tämä on monien soittimien (esim. kirkkourkujen, puhallinsoittimien kuten huilut, torvisoittimet) toimintaperiaate, ja myös ihmisääni toimii tällä samalla periaatteella. Urkupilleissä ja puhallinsoittimissa on kieli joka alkaa resonoida ja muodostaa näin ollen seisovan aallon ilmapatsaaseen, ihmisen tapauksessa tämän roolin hoitavat äänihuulet. Putken toinen pää on aina avoin (pää joka tuottaa paineenvaihtelun), ja toinen pää voi olla joko avoin tai suljettu. Se, minkätaajuisia seisovia aaltoja putkeen voi muodostua, riippuu siitä onko toinen pää avoin vai suljettu.
9
Pisteessä missä paineen vaihtelu on suurinta, on piste missä väliaineen hiukkaset ovat paikallaan. Vastaavasti pisteessä missä väliaineen hiukkaset liikkuvat eniten, on paine vakio. 0 Sama voidaan engnanniksi ilmaista hyvin timmisti: A pressure node is always a displacement antinode; A displacement node is always a pressure antinode. Edellisen kalvon kuvaan on merkitty väliaineen hiukkasten liike värähtelevältä langalta lainatulla symboliikalla: lähellä putken avointa päätä näkyy kupu, eli siinä väliaineen hiukkaset voivat liikkuva vapaasi, jolloin siellä on piste jossa väliaineen hiukkasten liike on suurinta. Paine ei siis putken avoimessa päässä vaihtele ollenkaan. Vastaavasti suljetun putken päässä näkyy solmu, eli siellä väliaineen hiukkaset eivät liiku. Suljetussa putken päässä paine siis vaihtelee eniten.
1 Kuten nähdään kuvasta, on avoimeen putkeen muodostuva perustaajuus (matalataajuisin seisova aalto) aallonpituuden puolikas, siis λ 1 = 2L. Kun tunnetaan äänen nopeus ilmassa, saadaan tämän aallon taajuus f 1 = v 2L. Edelleen kuvasta voidaan helposti päätellä että f 2 = 2f 1, f 3 = 3f 1, ja niin edelleen. Kaikki avoimessa putkessa mahdolliset seisovan aallon taajuudet (harmoniset) saadaan siis kaavalla f n = nf 1 = nv, n = 1, 2, 3, 2L Huomaa että tämän sivun kaavat pätevät molemmista päistään avoimelle putkelle, ja huomaa, että n = 1, 2, 3,
2 Vastaavasti voidaan toisesta päästään suljetulle putkelle päätellä (katso jälleen kuvaa) λ 1 = 4L. Tämän moodin (perustaajuuden) taajuudeksi saadaan f 1 = v 4L. Kuvasta voidaan päätellä että f 2 = 3f 1, f 3 = 5f 1 ja niin edelleen (huomaa että tämä ei mene samalla tavalla kuin avoimella putkella!). Näin ollen kaikki harmoniset saadaan kaavalla f n = nf 1 = nv, n = 1, 3, 5, 4L Huomaa siis että n = 1, 3, 5, vastoin kuin avoimen putken tapauksessa. Tämän sivun kaavat pätevät nyt siis toisesta päästään suljetulle putkelle.
Aiemmin puhuttiin harmonisesta oskillaattorista, joka on vaimennettu ja johon syötetään energiaa ulkoisesta lähteestä, joka vaihtelee periodisesti ajan funktiona. Tällaista systeemiä kutsuttiin pakotetuksi oskillaattoriksi. 3 Muistetaan että mitä lähempänä syöttävän lähteen taajuus on värähtelijän ominaisvärähtelytaajuutta, sitä suuremman amplitudin värähtelijä saa. Tätä ilmiötä kutsuttiin resonanssiksi. Harmonisella värähtelijällä on vain yksi ominaisvärähtelytaajuus, ja resonanssi tapahtuu vain tällä taajuudella. Huomataan että resonanssin käsite on olemassa myös värähtelevillä systeemeillä joilla on useita värähtelymoodeja.
4 Tehdään koejärjestely, jossa kaiutin syöttää sinimuotoista ääntä molemmista päistään avoimeen urkuputkeen, ja näin ollen pakottaa ilmapatsaan värähtelemään tällä taajuudella. Mitataan putkeen muodostuvan värähtelyn amplitudi. Huomataan, että aina kun syöttävä taajuus on urkuputken jonkun värähtelymoodin kohdalla, taajuus nousee huomattavasti suuremmaksi kuin muualla.
5 Tehdään koejärjestely jossa kaksi kaiutinta lähettää keskenään samaa signaalia, joka on siniaaltoa tietyllä taajuudella. Mikrofoni A on sijoitettu kohtaan jossa etäisyys toiseen kaiuttimeen on sama kuin etäisyys toiseen kaiuttimeen. Tässä pisteessä tapahtuu konstruktiivinen interferenssi (aallot ovat samassa vaiheessa). Mikrofoni B on asetettu pisteeseen missä etäisyys toiseen kaiuttimeen on etäisyys toiseen + λ 2. Tässä pisteessä tapahtuu destruktiivinen interferenssi (aallot ovat vastakkaisessa vaiheessa).
Konstruktiivinen interferenssi tapahtuu paitsi silloin kun etäisyys toiseen kaiuttimeen on sama kuin etäisyys toiseen, niin myös silloin kun etäisyyksien erotus on aallonpituuden kokonainen monikerta. Eli, konstruktiivinen interferenssi tapahtuu kun 6 Etäisyyksien erotus = 0, λ, 2λ, 3λ, Vastaavasti destruktiivinen interferenssi tapahtuu kun etäisyys toiseen kaiuttimeen on etäisyys toiseen plus aallonpituuden puolikas. Eli, destruktiivinen interferenssi tapahtuu kun Etäisyyksien erotus = λ 2, 3λ 2, 5λ 2,
7 Jos äänilähde ja/tai havaitsija liikkuvat suhteessa toisiinsa, havaitsijan havaitsema äänen korkeus (taajuus) ei enää olekaan sama taajuus millä äänilähde sitä lähettää. Riippuen siitä liikkuvatko äänilähde ja/tai havaitsija toisiaan kohti vai toisistaan poispäin, havaittu äänenkorkeus on joko korkeampi tai matalampi kuin äänilähteen lähettämä taajuus. Paras esimerkki tästä ilmiöstä on ohi kiitävä auto tai juna; havaittu ääni on ensin korkeampi auton/junan lähestyessä, ja matalampi siinä vaiheessa kun se loittonee. Tätä ilmiötä kutsutaan löytäjänsä Dopplerin ilmiöksi (Doppler effect).
8 Tarkastellaan ensin tapausta jossa äänilähde on paikallaan, ja havaitsija liikkuu. Merkitään äänilähdettä kirjaimella S (source) ja havaitsijaa kirjaimella L (listener).
9 Rajoitutaan yksinkertaisuuden vuoksi tarkasastelemaan vain niitä tilanteita joissa sekä havaitsija että äänilähde on sidottu yksiulotteiseen koordinaatistoon; ne siis liikkuvat vain toisiaan kohti, toisistaan poispäin tai ovat paikallaan. Valitaan havaitsijalle positiiviseksi suunnaksi suunta äänilähdettä kohti. Äänilähteelle positiiviseksi suunnaksi valitaan suunta poispäin havaitsijasta (molemmille positiivinen suunta on siis kuvassa oikealle). Käytetään seuraavia merkintöjä: v L on havaitsijan nopeus, v S on äänilähteen nopeus ja v ilman alaindeksiä on äänen nopeus. Äänilähde lähettää aaltorintamia tasaisesti kaikkialle avaruuteen, ja koska äänilähde ei liiku, on jokaisen aaltorintaman etäisyys seuraavasta sama kuin äänen aallonpituus λ. Aaltorintamat liikkuvat suhteessa äänilähdettä lähestyvään havaitsijaan nopeudella (v + v L ).
0 Näin ollen havaitsijan havaitsema taajuus on f L = v + v L = v + v ( L v + vl = λ v + f S v ) ( f S = 1 + v L v ) f S.
1 Tarkastellaan seuraavaksi tilannetta jossa sekä havaitsija että äänilähde liikkuvat. Aaltorintamat liikkuvat edelleen ilmassa nopeudella v; se, että äänilähde liikkuu ei tietenkään muuta tätä tosiasiaa.
Äänilähteen havaitsijan suuntaan lähettämän äänen aallonpituus (ja näin ollen taajuus) ei kuitenkaan ole enää sama kuin paikallaan pysyvän äänilähtene tapauksessa. 2 Kun äänilähde liikkuu, sen lähettämät aaltorintamat pakkautuvat lähemmäksi toisiaan äänilähteen edessä ja näin ollen lähtetetyn äänen aallonpituus puristuu kasaan. Vastaavasti äänilähteen taaksepäin lähettämän äänen aallonpituus venyy. Aallonpituus äänilähteen edessä on λ infront = v f S v S f S = v v S f S Vastaavasti aallonpituus äänilähteen takana on λ behind = v + v S f S
Saamme yhtälön aallonpituudelle jonka liikkuva havaitsija kuulee tapauksessa missä äänilähdekin liikkuu, kun sijoitamme äsken määritellyn λ behind :n yhtälön aiemmin määriteltyyn yhtälöön (joka kertoi havaitun aallonpituuden kun havaitsija liikkuu ja äänilähde ei): 3 f L = v + v L v + v L = = v + v L f S λ behind (v + v S )/f S v + v S Saatu yhtälö kattaa kaiken informaation tapauksissa joissa havaitsija ja äänilähde voivat liikkua vain toisiaan kohti tai toisistaan poispäin. Olipa kumman tahansa nopeus toista kohti tai toisesta pois (tai paikallaan), saadaan havaitsijan havaitsema taajuus laskettua kun sijoitetaan ylläolevaan yhtälöön sopivat luvut oikein valitulla etumerkillä.
4 Jos äänilähde liikkuukin nopeammin kuin ympäröivän fluidin (sanalla fluidi viitataan joko nesteeseen tai kaasuun, yhtälöt toimivat samalla tavalla molemmissa) äänennopeus (wave speed) eivät etenevät aaltorintamat enää pakkaudu eteen kuin edellisessä kuvassa, vaan ne jäävät jälkeen äänilähteestä (katso vasen kuva). Kappaleen sanotaan silloin liikkuvan yliääninopeudella (supersonic).
Suoralla joka on ympyränmuotoisten aaltorintamien tangenttisuora tapahtuu konstruktiivinen interferenssi, ja näin ollen siihen muodostuu erittäin suuriamplitudinen aaltorintama. Tätä aaltorintamaa kutsutaan shokkiaalloksi (shock wave). 5 Oikeanpuoleisesta kuvasta voidaan päätellä kulma α. Ääniaaltorintama jonka yliääninopeudella liikkuva äänilähde on lähettänyt pisteessä S 1 on liikkunut ajassa t matkan vt. Samassa ajassa kappale itse on liikkunut etäisyyden v S t (pisteeseen S 2 ). Näin ollen sin α = vt v S t = v v S. Suhdelukua v S /v kutsuaan Machin luvuksi (Mach number). Se on > 1 kaikille yliääninopeuksille. Shokkiaaltorintama on monissa tapauksissa 3-ulotteinen, eli kartio.