798 matematiikka E Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava
Otavan asiakaspalvelu Puh. 0800 17117 asiakaspalvelu@otava.fi Tilaukset Kirjavälitys Oy Puh. 010 345 1520 Faksi 010 345 1454 kvtilaus@kirjavalitys.fi 1 Mittoja ja pinta-aloja 1 Murtoluvuista desimaalilukuihin........... 6 2 Desimaalilukujen laskutoimituksia......... 10 3 Kymmenen potenssi ja suuret luvut........ 14 1. painos 2013 Martti Heinonen, Markus Luoma, Leena Mannila, Kati Rautakorpi-Salmio, Timo Tapiainen, Tommi Tikka, Timo Urpiola ja Kustannusosakeyhtiö Otava Toimitus: Aino Ruutu, Minna Salminen, Kirsi Kairinen Graafinen suunnittelu: Venla Koski Kannen kuva: istockphoto/hector Joseph Lumang Taitto: Aste Kirjat Oy Valokuvat: s. 310 Kopiointiehdot Tämä teos on yhdistetty työ- ja oppikirja. Teos on suojattu tekijänoikeuslailla (404/61). Työkirjasivuja ei saa valokopioida lainkaan. Tekstisivujen valokopioiminen on kielletty, ellei valokopiointiin ole hankittu lupaa. Tarkista, onko oppilaitoksellanne voimassaoleva valokopiointilupa. Lisätietoja luvista ja niiden sisällöstä antaa Kopiosto ry, www.kopiosto.fi/. Teoksen tai sen osan digitaalinen kopioiminen tai muuntelu on ehdottomasti kielletty. Sidonta: Painopaikka: Otavan Kirjapaino Oy, Keuruu 2014 4 Kymmenen potenssi ja pienet luvut........ 18 5 Desimaaliluvun kertominen ja jakaminen kymmenen potensseilla................. 22 6 Yksiköt ja etuliitteet.................... 26 7 Pyöristäminen ja likiarvo................ 30 8 Laskuja likiarvoilla.................... 34 9 Arviointia ja laskemista................. 38 10 Pituuksien mittaamista ja arviointia........ 44 11 Pituuslaskuja......................... 50 12 Kertaus............................. 54 13 Pinta-alan mittaamista ja arviointia........ 56 14 Suorakulmion ja suunnikkaan pinta-ala..... 62 15 Kolmion pinta-ala..................... 66 16 Monikulmioiden pinta-aloja.............. 70 17 Neliön sivun pituus.................... 74 18 Ympyrä ja pii......................... 78 19 Ympyrän kehä........................ 80 20 Ympyrän pinta-ala..................... 84 21 Ympyrälaskuja........................ 88 22 Ympyrän kulmia...................... 92 23 Ympyrän kaaren pituus................. 96 24 Sektorin pinta-ala.................... 100 25 Pinta-alalaskuja...................... 104 26 Kertaus............................ 108 Tiivistelmä............................. 110 ISBN 978-951-1-27731-6 441 037 Painotuote
2 Prosentteja ja potensseja 1 Kokonainen on sata prosenttia........... 112 2 Murtoluku prosentteina................ 116 3 Prosenteista desimaalilukuihin.......... 120 4 Kuinka monta prosenttia?.............. 124 5 Prosenttiosuus kokonaisuudesta......... 128 6 Kokoavia prosenttilaskuja.............. 132 7 Alennuksia ja korotuksia............... 136 8 Muuttunut arvo..................... 140 9 Muutos prosentteina.................. 144 10 Vertailuprosentti..................... 148 11 Prosenttilaskuja...................... 152 12 Kokonaisen laskeminen................ 156 13 Perusarvon laskeminen................ 158 14 Liuos- ja seoslaskuja.................. 162 15 Talousmatematiikkaa................. 166 16 Kertaus............................ 172 17 Potenssi........................... 174 18 Samankantaisten potenssien tulo........ 178 19 Samankantaisten potenssien osamäärä.... 180 20 Eksponenttina nolla ja negatiivinen kokonaisluku........................ 182 21 Potenssien laskutoimituksia............. 186 22 Tulon potenssi....................... 188 23 Osamäärän potenssi.................. 190 24 Potenssin potenssi.................... 192 25 Potenssikaavojen soveltaminen.......... 194 26 Kertaus............................ 198 Tiivistelmä............................. 200 3 Funktioita ja yhtälöitä 1 Riippuvuus......................... 202 2 Verranto........................... 204 3 Suoraan verrannolliset suureet........... 208 4 Kääntäen verrannolliset suureet.......... 212 5 Verrannollisuuslaskuja................. 216 6 Funktio............................ 220 7 Funktion kuvaaja ja taulukko............ 224 8 Kuvaajan tulkintaa................... 228 9 Funktion arvon laskeminen............. 232 10 Funktion kuvaaja xy-koordinaatistossa..... 234 11 Muuttujan arvon ratkaiseminen.......... 238 12 Suureyhtälöt........................ 240 13 Kertaus............................ 244 14 Kahden muuttujan yhtälö.............. 246 15 Suoran piirtäminen................... 250 16 Pisteitä suoralla...................... 254 17 Suoran kulmakerroin.................. 258 18 Vakiotermin vaikutus suoran sijaintiin..... 262 19 Suoran yhtälön määrittäminen.......... 266 20 Erilaisia suoria....................... 270 21 Suoran käyttöä...................... 274 22 Epäyhtälö.......................... 278 23 Epäyhtälön ratkaiseminen.............. 282 24 Toisen asteen yhtälö.................. 286 25 Toisen asteen yhtälön ratkaiseminen laskemalla.......................... 290 26 Kertaus............................ 294 Tiivistelmä............................. 296 Koti- ja kertaustehtävien vastaukset.......... 297 Hakemisto............................. 309
21 Ympyrälaskuja Esimerkki 1 Ympyrän säde on 11,8. Laske ympyrän a) kehän pituus b) pinta-ala. 11,8 Ratkaisu a) p = 2 π r = 2 π 11,8 = 74,141... 74,1 b) A = πr 2 = π (11,8 ) 2 = 437,43 2 437 2 Vastaus: a) Kehän pituus on 74,1. b) Pinta-ala on 437 2. Esimerkki 2 Neliön sivun pituus on 5,0. Sen sisälle on piirretty mahdollisimman suuri ympyrä. Laske sen ympyrän ulkopuolelle jäävän alueen pinta-ala, joka on neliön sisällä. Piirrä kuva. Ratkaisu Ratkaistaan ensin neliön pinta-ala: 5,0 5,0 = 25 2. Ratkaistaan ympyrän pinta-ala: π (2,5 ) 2 = 19,63 2. Kysytty pinta-ala saadaan vähentämällä neliön pinta-alasta ympyrän pinta-ala. A = 25 2 19,63 2 = 5,365 2 5,4 2 Vastaus: Alueen pinta-ala on 5,4 2. Miten arvioit puun iän? 88
Harjoitustehtävät 1. Laske ympyrän a) kehän pituus 3. Laske väritetyn alueen pinta-ala. p = 2 p = m m m 2,9 m 10 2,0 b) pinta-ala. A = p ( m) 2 = m 2 m 2 2. Laske ympyrän a) kehän pituus p = p = b) pinta-ala. r = = 2 A = p ( ) 2 = 2 2 13,5 4. Polkupyörän renkaan halkaisija on 22". Kuinka pitkän matkan rengas kulkee, kun se pyörii 10 kierrosta? Yksi tuuma on 2,54. 5. Ympyrän kehän pituus on 40. Määritä ympyrän halkaisija. d = π = 89
6. Ympyrän kehän pituus on 100. Määritä ympyrän halkaisija. d = π = 8. Painimatto on 12 12 metrin kokoinen neliö, jonka keskellä on halkaisijaltaan 9,0 m oleva ympyrän muotoinen painialue. Punainen alue on 1,0 m leveä. Laske a) keltaisen alueen b) punaisen alueen pinta-ala. 7. Ympyrän kehän pituus on 60. Määritä ympyrän halkaisija ja säde. d = π = r = = 2 a) b) kotitehtävät 9. Laske ympyrän a) kehän pituus p = 2 p = m m 3,14 m 10. Laske ympyrän pinta-ala. 4,5 m b) pinta-ala. A = p ( m) 2 = m 2 m 2 90
11. Laske ympyrän pinta-ala, kun sen säde on 7,2. 13. Kuinka pitkän matkan kuvan polkupyörä kulkee eteenpäin eturenkaan yhden pyörähdyksen aikana? 12. Laske väritetyn alueen pinta-ala. 14. Piirrä neliö, jonka sivu on 8,0. Piirrä sen sisälle mahdollisimman suuri ympyrä. P U L M A Ympyrän sisään on piirretty neliö kuvan mukaisesti. Mikä on tummen netun alueen pinta-ala neliösenttimetrin sadasosien tarkkuudella, kun ympyrän säde on 1,00? a) b) 91
26 Kertaus 13 Pinta-alan mittaamista ja arviointia 1. Täydennä taulukko. m 2 dm 2 2 mm 2 16 Monikulmioiden pinta-aloja 4. Laske puolisuunnikkaan pinta-ala. 6,5 3,9 25 A = 300 = 14 Suorakulmion ja suunnikkaan pinta-ala 2. Laske suunnikkaan pinta-ala. a) m 17 Neliön sivun pituus 5. Laske neliön sivun pituus. a) b) c) A = 49 2 x A x = 121 2 A = 400 2 x A = = m x 6. Kuinka pitkä on neliön sivu, kun sen pinta-ala on a) 1 m 2 x x b) A = = m m 15 Kolmion pinta-ala 3. Laske kolmion pinta-ala. A =, mm, mm Neliön sivun pituus on m. b) 25 mm 2 Neliön sivun pituus on mm. c) 0,16 2? Neliön sivun pituus on. 19 Ympyrän kehä 7. Laske ympyrän kehän pituus. p = 2 p 21,0 = = 108
20 Ympyrän pinta-ala 8. Laske ympyrän pinta-ala. A = p ( m) 2 8,8 m = m 2 m 2 9. Laske ympyrän pinta-ala, kun ympyrän halkaisija on 9,4. 24 Sektorin pinta-ala 13. Laske väritetyn sektorin pinta-ala. 30 r = 4,5 A = π 360 = Sektorin pinta-ala on 2. 2 21 Ympyrälaskuja 10. Laske ympyrän kehän pituus. p = p 25 Pinta-alalaskuja 14. Laske väritetyn alueen pinta-ala. 8,0 4,5 = 8,0 22 Ympyrän kulmia 11. Kuinka suuri on a) kehäkulma, jos sitä vastaavan keskuskulman suuruus on 108 Kehäkulma on =. 2 b) keskuskulma, jos sitä vastaavan kehäkulman suuruus on 24? Keskuskulma on 2 =. 23 Ympyrän kaaren pituus 12. Ympyrän kehän pituus on 150. Laske kaaren pituus. Kokoavia tehtäviä 15. Laske säännöllisen 6-kulmion pinta-ala. 16. Auton renkaan halkaisija on 70. a) Kuinka pitkän matkan rengas kulkee eteenpäin yhden kierroksen aikana? b) Kuinka monta kierrosta rengas pyörii kilometrin matkalla? 109
1 Kokonainen on sata prosenttia Yksi kokonainen on prosentteina 100 %. Prosentti tarkoittaa siis sadasosaa kokonaisesta tai kokonaisuudesta. Kokonaisuus voi olla esimerkiksi neliön sata ruutua, kaikki luokan oppilaat, kokeen maksimipistemäärä, oppitunnin pituus tai ostosten kokonaishinta. Sana prosentti on peräisin latinan kielestä, jossa pro centum tarkoittaa sadalta, sadasta tai sataa kohti. Prosentteja käytetään esimerkiksi, kun ilmaistaan, kuinka monta prosenttia luokan oppilasmäärä on koulun oppilasmäärästä lasketaan, kuinka paljon alennus prosentteina on tuotteen hinnasta vertaillaan lukuja ilmoitetaan hinnan muutos lasketaan kokonaista, josta tiedetään tietty osuus prosentteina. Esimerkki 1 Kaikissa alla olevissa neliöissä on sata ruutua. Väritettyjen ruutujen lukumäärä kertoo, kuinka monta prosenttia kunkin neliön ruuduista on väritetty. 100 % 10 % 1 % Esimerkki 2 Kuvio muodostuu neljästä yhtä suuresta kolmiosta. Kuinka monta prosenttia kuviosta on väritetty? Ratkaisu Koska koko kuvio on 100 %, yhden kolmion osuus koko kuviosta on 100 % = 25 %. 4 Vastaus: Kuviosta on väritetty 25 %. 112
Esimerkki 3 Tiedostosta on ladattu 58 %. Kuinka monta prosenttia tiedostosta on vielä lataamatta? Ratkaisu Tiedostosta on lataamatta 100 % 58 % = 42 %. Esimerkki 4 Kuinka pitkä on kokonainen värisauva, kun kuvassa on 20 % sauvan pituudesta? Ratkaisu Koska 100 % = 5 20 %, kokonaisen värisauvan pituus on 5 3 = 15 ruutua. Vastaus: Kokonaisen värisauvan pituus on 15 ruutua. Viidesosa kokonaisesta on 20 %. Harjoitustehtävät 1. Kuinka monta prosenttia neliön ruuduista on väritetty? a) b) 3. Kuinka monta prosenttia koko kuviosta on väritetty? a) b) = 100 2. Kuinka monta prosenttia koko kuviosta on väritetty? a) b) Banaanikärpäsen silmän väri voi olla punainen, ruskea tai keltainen. Jos suurin osa banaanikärpäsistä on punasilmäisiä, mikä osuus voisi olla prosentteina? 113
4. Väritä ruudukosta a) 50 % b) 20 % c) 90 %. 5. Messinki on kuparin ja sinkin seos. Messingissä on 63 % kuparia. Kuinka monta prosenttia messingissä on sinkkiä? 7. Kuinka monta prosenttia kuviosta on väritetty? Rastita oikea vaihtoehto. 50 % 20 % 75 % 50 % 25 % 75 % 50 % 25 % 75 % 8. Kuinka pitkä on kokonainen värisauva, kun kuvassa on sauvan pituudesta a) 100 % 6. Kuinka monta prosenttia kuviosta on väritetty? Rastita oikea vaihtoehto. 50 % 25 % 75 % 50 % 25 % 75 % 50 % 25 % 75 % b) 50 % c) 75 %? 9. Oppilaista 41 % tuli kouluun kävellen, 34 % pyörällä ja loput muulla tavoin. Kuinka monta prosenttia oppilaista tuli kouluun muulla tavoin? 10. Iston viikoittaisesta työajasta 25 % kuluu palavereihin. Kuinka monta tuntia on Iston työaika viikossa, kun palavereihin kuluu aikaa 9 tuntia viikon aikana? P U L M A Kuinka monta prosenttia tähdestä on väritetty? 114
kotitehtävät 11. Kuinka monta prosenttia kuviosta on a) väritetty b) värittämättä? 13. Kuukauden puheajasta on jäljellä 20 %. Laskurin mukaan puheaikaa on vielä 120 minuuttia. Kuinka paljon liittymässä on puheaikaa kuukautta kohden? 12. Ilmassa on noin 78 % typpeä ja 21 % happea. Kuinka monta prosenttia ilmassa on muita aineita? 14. Kuinka pitkä on kokonainen värisauva, kun kuvassa on sauvan pituudesta a) 20 % b) 40 % c) 30 %? ekstra Esimerkki 5 Prosentteja voidaan mallintaa värisauvojen avulla. Sata prosenttia vastaa koko sauvan pituutta. 100 % alkuperäinen sauva 50 % 50 % alkuperäisestä sauvasta 100 % 50 % 150 % alkuperäisestä sauvasta 15. Piirrä sauva, joka on alkuperäiseen värisauvaan verrattuna a) 50 % b) 100 % c) 25 % suurempi. 16. Kuinka pitkä on alkuperäinen jana, kun kuvassa janaa on suurennettu a) 200 % b) 300 % c) 400 %? 12 115