MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa arvostelussa käytettävistä kriteereistä päättää tutkintoaineen sensorikunta. Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti. Laskin on kokeen apuväline, jonka rooli arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty symbolista laskinta, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä laskimella saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan laskimesta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi. Alustava pisteitys. Vastaluku on ( ) ja käänteisluku 5. 6 Keskiarvo on 5 5 3. 5 b) Neliön sivu s, jolloin sen pinta-ala An 4. Ympyrän halkaisija =, jolloin ympyrän säde r ja pinta-ala Ay. A 4 Vertailu: n,73, joten neliön pinta-ala on n. 7 % Ay suurempi. c) Koska kantaluvut ovat samat, verrataan eksponentteja: 3x x x3 x 3. Matematiikan koe, lyhyt oppimäärä 3.9.05
. Yhdistämällä sisemmän suunnikkaan vastakkaiset kärjet havaitaan, että kuvio muodostuu kahdeksasta kolmiosta. Kunkin kolmion kanta = ja korkeus =. Pienempi suunnikas sisältää näistä puolet, joten sen pinta-ala on 4 cm = 4 cm. (Tai: Ala = puolet ison suunnikkaan alasta, eli = 4 cm.) 3. Kuvion mukaan y-koordinaattia vastaavat x-koordinaatit ovat x ja x 3. b) Kuvaaja leikkaa x-akselin tai on sen alapuolella, kun 0 x. c) Kuvion perusteella funktio on vähenevä, kun x. 4. m Koiran aivojen massa m a saadaan yhtälöstä, 0 a, /3 0,0 0 /3 josta ma 0,0 0 0,0556... 0,056 (kg). b) Ihmisen keskimääräinen massa m saadaan yhtälöstä,35 7,5, /3 0,0 m /3,35 josta m 5. 0,0 7,5 3/ Täten m 5 58,0947... 58 (kg) 5. Ylemmän kolmion korkeus on h. Koska kolmiot ovat yhdenmuotoiset h 55 3 (kk), niin saadaan verranto, 33 63 josta h 3355 8,8095... 63 Laudan korkeus on siten h + 55 = 83,8095 84 (cm). Matematiikan koe, lyhyt oppimäärä 3.9.05
6. Lausekkeet ovat ax ( ) 0,066x 4,0 ja bx ( ) 0,0799x 3,75 b) Kokonaishinnat ovat samat, kun 0,066x 4,0 0,0799x 3,75 0,7 0,037x0,7 x 9,7080.... Kuukausikulutuksen 0,037 tulisi olla noin 9,7 kwh. c) Vuotuinen kokonaishinta yhtiöllä A: 4,0 0000,066 80,64 euroa Yhtiöllä B: 3,75 000 0,0799=04,80 euroa Vuoden aikana yhtiö B veloittaa 04,80 80,64 4,6 euroa enemmän. 7. Olkoon meetvurstia 00a, josta rasvaa 36a. Rasvaa poistetaan x. 36a x 30 Yhtälö uuden pitoisuuden mukaan:, 00a x 00 josta 360a0x300a 3x 7x 60a x 60 a. 7 Vertailu: 5 60a 7 36a 0,380... 4% % 8. Sektorin piirin pituus on b r. Ehtoyhtälöstä br saadaan b r. Sektorin pinta-ala A() r br r r, jossa 0 r. Koska alan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, saadaan alan suurin arvo paraabelin huipussa. Siinä A() r r 0, joka toteutuu, kun r 0,5 (m). Tämä on samalla kysytty säteen 4 pituus. Matematiikan koe, lyhyt oppimäärä 3.9.05
9. Suorakulmion alkuperäinen pinta-ala 0,0,0 40 (m ). Lisättävän nurmikaistaleen leveys on x. Uusi suorakulmion pituus on 0 x ja leveys x. Suorakulmion pinta-ala on nyt (0 x)( x). Kaksinkertaistumisesta saadaan yhtälö (0 x)( x) 40, joka sievenee muotoon x 3x 40 0. Ratkaisukaavalla saadaan x 6 4 3, joista vain positiivinen juuri 6,70... 6,3 on kelvollinen. Nurmikentän pituus on tällöin 0,0 x 6,3 (m) ja leveys,0 x 8,3 (m). 0. Suora y3 3x leikkaa akselit pisteissä (0,3) ja (,0). Syntyvän suorakulmaisen kolmion hypotenuusan keskipiste on 0, 30 3,. Jakosuora kulkee tämän pisteen kautta, koska tällöin osakolmioilla on sama kanta (= hypotenuusan puolikas) ja sama korkeus (= origon 3 etäisyys annetusta suorast. Kysytty kulmakerroin k 3/ 3. /. Merkitään tammikuun alkua ajanhetkellä t 0, jolloin huhtikuun loppua vastaa t 4 ja joulukuuta t. Ajan t yksikkö on kuukausi. Lineaarista kasvua kuvaa suora, joka kulkee pisteiden (, 787) ja (4, 338) kautta. Suoran yhtälö on y338787 t787 807t 787. 4 Myyntiarvio on y() = 807 + 787 = 9 50 (kpl). b) t Eksponentiaalista kasvua kuvaa yhtälö yt () y() k, jossa k on kasvukerroin. 3 3 Se saadaan yhtälöstä 338 787 k, josta k 338 787 k 3 338 [=, 99 ]. 787 Myyntiarvio on y() 787 k 53939,68... 53 940 (kpl). Matematiikan koe, lyhyt oppimäärä 3.9.05
. Merkinnät: Ympyrän keskipiste on K, ympyrän sivuamispiste hypotenuusalla on D ja ympyrän säde on r. (Kuvio all Hypotenuusan pituus AC 3 4 5. KC 4 r Kolmiot ABC ja KDC ovat yhdenmuotoiset (kk, molemmissa suorakulma ja lisäksi kulma C on yhteinen). r 3 Saadaan verranto 4 r, 5 josta 5r 3r, eli r 3. 3. Aika, jonka kuivaaja toimii = t. Muuttuja noudattaa jakaumaa t5, N (5, ;,5). Yksikkönä on kuukausi. Tällöin muuttuja T,5 noudattaa normitettua jakaumaa N (0,). Todennäköisyys sille, että kuivaaja kestää enintään takuuajan v, 5, Pt ( ) PT (,8) (,8),5 0,8997 0,003. Takuukorjaukseen joutuu siten noin 0 % kuivaajista. b) Todennäköisyys sille, että kuivaaja kestää vioittumatta yli 8 kk, on Pt ( 8) Pt ( 8) 85, PT,5 (,) 0,8686 0,34. Yli,5 vuotta kestää siis noin 3 % kuivaajista. 4. Veron määrä f ( x) 0,3040000 0,3 ( x 40000) 0,3x 800, kun x 40000. b) Veron määrä on f (4700,3) 0,3 4700,3 800 544,0736 544,07 ( ). c) Veronalainen osuus on 0,854700,3 35445,0. Tästä menee pääomatuloveroa 30 % eli 0,30 35445,0 = 0 633,56 ( ). Henkilön veroprosentti on siten 0633,56 00 5,5 4700,3 Matematiikan koe, lyhyt oppimäärä 3.9.05
5. Korin suurin korkeus saadaan, kun sinitermin arvo = ja pienin korkeus, kun termin arvo on. Suurin korkeus on siten 7 + 55 = 7 (m) ja pienin 7 55 38 (m). Maailmanpyörän halkaisija on siten 7 38 [ 7] 34 (m). b) Maksimikorkeus saavutetaan, kun on ensi kertaa voimassa t sin, 5 eli kun t n, josta pienin t saadaan arvolla n 0. Tällöin 5 yhtälö on t t 5,5 (s). 5 c) Kysytty ajanhetki saadaan yhtälöstä yt ( ) 45, eli 7sin t 55 45 sin t 45 55 0,588... 5 t t 5 5 50,688... tai t 5 7 0,688... 0,688... 5 30,0044.... 50,688... t 5,0044... Negatiivinen arvo ei käy sillä t 0.Vastaus on noin 30,0 s. Matematiikan koe, lyhyt oppimäärä 3.9.05