1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa. Vuodessa Maahan satava massa on 3.7 10 7 kg. Maan massoina tämä on 3.7 10 7 /5.974 10 24 = 6.1 10 18 ja Auringon massoina m = 6.1 10 18 /332946 = 1.8 10 23. Maan alkuperäinen kiertoaika on P 0 = a 3/2 ja uusi P 1 = a 3/2 / 1 + m vuotta. Näiden erotus on P 0 P 1 = a 3/2 (1 1/ 1 + m ) = 1 (1 + m ) 1/2. Koska m 1, tätä ei oikein voi laskea laskimella. Arvioidaan neliöjuuritermiä Taylorin sarjan kahdella ensimmäisellä termillä: (1 + m ) 1/2 1 1 2 m, jolloin P 0 P 1 m /2 = 0.9 10 23 a 3 10 16 s.
2. Ajatellaan, että katsomme aurinkokuntaamme joltakin kaukaiselta planeetalta (olkoon sen etäisyys 10 pc, jolloin Auringon näennäinen magnitudi on sama kuin sen absoluuttinen magnitudi 4.82). Kun Jupiter kulkee Auringon editse ja peittää siitä osan näkyvistä, kirkkaus pienenee hieman. Kuinka suuri muutos on magnitudeina? Jupiterin säde on 71500 km ja Auringon 696 000 km. Jupiter peittää Auringon pinnasta osan (71500/696000) 2 = 0.0106. Jos Auringon vuontiheys on normaalisti F 0, pimentyneen Auringon vuontiheys on 0.9894F 0. Magnitudeissa muutos on m m 0 = 2.5lg(0.9894/1.0) = 0.0115.
3. Kuinka paljon Jupiterin paikka taustatähtien suhteen muuttuu vuorokaudessa sen ollessa oppositiossa? Jupiterin sideerinen kiertoaika on 4330.6 d ja a=5.202 AU. Voit olettaa Maan ja Jupiterin radat ympyröiksi. Jupiterin keskiliike on n J = 2π/43360.6 rad/d = 0.00145 rad/d Vuorokaudessa se etenee radallaan suunnilleen matkan s J = 0.00145 5.202 = 0.00754 AU. Maalle vastaavat arvot ovat n M = 2π/365.25 = 0.0172 rad/d ja s M = 0.0172 AU. Suunnan muutos on siten s M s J 5.502 1 = 0.0172 0.00754 4.202 = 0.003399 rad = 0.13. Jos tämän haluaa laskea oikein tarkasti, pitää tietysti ottaa huomioon ratojen kaarevuus, mutta sillä ei ole tässä tapauksessa suurta vaikutusta. Hieman enemmän virhettä voi tulla siitä, että radat ovat todellisuudessa eksentrisiä. Jupiter oli oppositiossa 29.10, jolloin sen rektaskensio oli 2.23398 h. Seuraavana päivänä rektaskensio oli 2.22522 h, joten suunnan muutos oli 0.0088 h eli 0.13. Lisäksi deklinaatio muuttui 0.04, joten kaiken kaikkiaan suunnan muutos oli hieman suurempi, mutta todellinen etäisyys oli pienempi, 3.97 AU.0
4. Hohmannin rata on rata, jotka pitkin päästään pienimmällä energialla planeetalta toiselle. Se on ellipsi, joka perihelissä ja aphelissä sivuaa planeettojen ratoja. Lähetetään Maasta Marsiin luotain pitkin sellaista rataa. Mikä on radan isoakselin puolikas, eksentrisyys ja lentoaika Maasta Marsiin? Voit olettaa planeettojen radat ympyröiksi. Marsin a = 1.524 AU. Radan isoakselin puolikas on a = (1 + 1.524)/2 = 1.262 AU. 1.262(1 + e) = 1.524, josta e = 0.2076. Kiertoaika tällaisella ellipsiradalla saadaan Keplerin 3. laista: P = a 3/2 = 1.4177 a 518 d. Lentoaika Maasta Marsioin on puolet kiertoajasta Auringon ympäri eli noin 259 d. Jotta luotain kohtaisi Marsin, se on lähetettävä oikeaan aikaan, viikon tai parin mittaisen laukaisuikkunan aikana. Hienosäätöä voidaan tehdä matkan aikana. Laukaisuikkunat ovat avoinna planeetan synodisen kiertoajan välein.
Huomautuksia Tähtitieteessä laskuja voidaan usein yksinkertaistaa sopivilla approksimaatioilla. Esimerkiksi tähtien etäisyydet ovat yleensä valtavia verrattuina kaksoistähden komponenttien välimatkoihin tai planeettojen ratojen kokoihin. Silloin ei kannata käyttää trigonometriaa. Riittää muistaa, että yhden parsekin etäisyydeltä yhden AU:n matka näkyy yhden kaarisekunnin kulmassa. Ja muista, että pienille kulmille sinx x ja tanx x (x radiaaneina!). Toinen esimerkki: Kun pallomaista kappaletta katsotaan läheltä, sen koko pinnasta näkyy vähemmän kuin puolet. Tähdet ja planeetat ovat kuitenkin niin kaukana, että pinnasta näkyy melko tarkasti puolet. Tästä aiheutuva virhe on yleensä häviävän pieni. Joskus tulos voi olla kahden hyvin eri suuruusluokkaa olevan luvun summa (kuten tehtävässä 1), jolloin laskimen tai tietokoneen tarkkuus ei riitä sen laskemiseen. Silloin voi käyttää apuna Taylorin sarjasta saatavia approksimaatioita; usein riittää ottaa mukaan vain vakio ja lineaarinen termi, ehkä joskus toisen asteen termi.
Muuta: Käytä oikeita yksiköitä. Taivaanmekaniikan laskuissa yksiköt ovat usein Auringon (tai Maan) massa, AU ja vuosi. Jotkin kaavat ovat yksinkertaisia vain, jos yksiköt ovat oikeat. Tarkista joka vaiheessa, että suureiden dimensiot ovat oikein. Lähtötiedot on yleensä annettu vain muutamalla merkitsevällä numerolla. Laskuissa voi käyttää suurempaa tarkkuutta, mutta ilmoita lopputulos vain järkevällä tarkkuudella.