Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼
Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ë ÎÇÄ ÁÆ Æ ÇÄÄÁ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ ÌÙØ ÐÑ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ø ÓÑ ØØ Ø ÌÙØ ÐÑ ÐØ ÓÐÑ ÐÙ Ù Ò ÑÑ ÐÙÚÙ ¹ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ø ØÓ ÓÑ ØØ Ø Ä ØÓ ÐÙÚÙ Ó Ó Ø Ø Ò ØØ ÐÐ Ñ Ò ØÙØ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ñ¹ Ö Ø ÐÑØ ÓÚ Ø ÒÒ Ú Ú Ð ÒØ Ø ÃÓÐÑ ÒÒ ÐÙÚÙ Ð Ø Ò Ó Ø Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÙØ Ò Î Ò ÖÑÓÒ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÂÓØØ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ø ÐÙÚÙ ½ ѹ Ö Ø ÐÐÒ ÑÙÙÒ ÑÙ ØØ Ø Ý Ð ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ñ Ö Ó Ø Ò Ò Ò Ð ØØÝÚ Ð Ù Ø ÄÙÚÙ ¾ ÓÑ ØØ Ø ÑÖ Ø ÐØÝ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ n¹ð Ò Ö Ò Ò ÐØ ÖÒÓ Ú ÙÒ Ø Ó ÌÐÐ Ò ÙÒ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ ØØ Ð ÓÑ ØØ Ø ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ý ÌÙØ ÐÑ Ò ÔÔ ÒÓ ÓÒ ÐÙÚÙ ¾ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ó¹ Ñ ØØ Ø Ò Ò 2 2¹ ØØ Ò n n¹ñ ØÖ ÐÐ ÄÙÚÙ ¾¾ ØÙØ Ø Ò 2 2¹Ñ ØÖ Ò ÓÑ ØÖ Ø ØÙÐ ÒØ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ó ¹ Ø Ò ÓÑ ØØ Ø Ð Ø Ó Ø ÐÙÚÙ ¾ ¹¾ ÌÙØ ÐÑ ÓÒ ÝØ ØØÝ ÔÐ Ö Ó Ò ËØ Ô Ò À Ö Ö Ò Ø Ó Ø Ä Ò Ö Ð Ö Ï ÐÐ Ñ ÖÓÛÒ Ò Ö Å ØÖ Ò Î ØÓÖ ËÔ
Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ ¾ ½½ È ÖÑÙØ Ø Ó Ø Ò Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø ¾ ½¾ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÓÑ Ò ÙÙ ½ ¾ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÓÑ ØØ Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ ¾½ ¾½ Î ÐÑ Ø Ð Ú Ø Ö Ø ÐÙ ¾½ ¾¾ ÓÑ ØØ Ò Ò 2 2¹Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ¾ ¾¾½ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ 2 2¹Ñ ØÖ ÐÐ ¾ ¾¾¾ ËÙÙÒÒ Ò Ð ¾ ¾ ÓÑ ØØ Ò Ò n n¹ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ¾ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÓÑ Ò ÙÙ ¼ ¾ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ð Ñ Ø ¾ Ö Ñ Ö Ò ÒØ Ñ Ö Ø ÖÑ Ò ÒØ Ø ½ Ã Ñ Ö Ø ÖÑ Ò ÒØ Ø ¾ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ð Ñ Ò Ò LU¹ ÓØ ÐÑ Ò ÚÙÐÐ Î Ò ÖÑÓÒ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ Î ØØ Ø ½
ÂÓ ÒØÓ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ø Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ø ÓÑ ØØ Ø Ø ÖÑ ¹ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ò Ø Ó ØØÙ ØÙÐÓ ÂÓ ÐÐ Ò Ð Ñ ØÖ ÐÐ ÓÒ Ð ÓØ ÓÚ Ø Ö Ð ¹ Ø ÓÑÔÐ ÐÙ Ù ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ø ÖÑ Ò Òع Ø Ó ÓÒ Ö Ð ¹ Ø ÓÑÔÐ ÐÙ Ù ÇÒ Ñ Ð Ò ÒØÓ Ø Ñ Ø Ò Ô Ð ÓÒ Ý ÒÓ ÐÙ Ù ÚÓ ÖØÓ Ñ ØÖ Ø Ñ Ö Ñ ØÖ Ò ÒØÝÚÝÝ ÚÓ Ò ÔØ ÐÐ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÖÚÓ Ø ÌÙÐÓÒ ÐÝÑ Ò Ò ÓÒ Ý ØÖ Ø ÖÑ Ò Ò¹ Ø Ò ÓÑ Ò ÙÙ ÌÑ Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ Ó Ò Ñ ØÖ Ò ØÙÐÓ ÓÒ Ñ¹ Ö Ø ÐØÝ Ò Ò Ò Ò Ñ ØÖ Ò ØÙÐÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ Ñ Ù Ò Ý Ø Ñ ØÖ Ø Ö Ò Ð ØØÙ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ò ØÙÐÓ Ë Ò Ò Ø ÖÑ ¹ Ò ÒØØ ÓÐ Ð Ò Ö Ò Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÐÐ ÐÝØ Ý Ø ÒÐ Ù Ð Ö ÐÐ ÖØÓÑ Ø ÌÓ Ò ÒÓ Ò ÑÙØØ det(ab = det(a det(b, det(a + B det(a + det(b det(ca c det(a, Ú Ñ ØÖ Ò A B Ý Ø ÒÐ Ù ÓÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ò ÑÑ ÐÙÚÙ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ø Ø Ò Ð Ò ÙÒ ÓÐÐ Ò Ò Ò ÑÖ Ø ÐØÝ Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò Ð ØØÝÚ ØØ Ø Ó ØØÙ Ò Ò Ð ØØÝÚ ØÙÐÓ Ñ Ö ØØ Ø Ý Ð ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ñ Ö Ø ÖÚ Ø Ò ÙÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ØÐÐ Ø Ú ÐÐ ÌÓ ÐÙÚÙ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÓÐÑ ÐÐ ÓÓÑ ÐÐ ÄÙÚÙ ¹ ¾½ ÑÖ Ø ÐÐÒ ØØ Ø Ø ØÒ ØÙÐÓ Ó Ø Ø ÖÚ Ø Ò ÐÙÚÙ ¹ ¾ ¹¾ ÄÙÚÙ ¾¾ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÓÑ ØØ Ø 2 2¹ Ñ ØÖ ÐÐ Ä ÐÙÚÙ ¾¾¾ ØÙØ Ø Ò 2 2¹Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ó¹ Ñ ØÖ Ø ÓÚ ÐÐÙ Ø Ì ÐÙÚÙ ÙÓÑ Ø Ò ØØ Ø ÖÚÓ Ø ÖÑ Ò ÒØ ¹ Ø Ú Ø Ø ØÝÐÐ Ø Ú ÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÙÒÒ Ò Ð Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓ ÄÙÚÙ ¾ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÓÑ ØØ Ø n n¹ñ ØÖ ÐÐ ÐÙÚÙ ¾ ÙÓÑ Ø Ò ØØ Ý Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÓÒ Ú Ú Ð ÒØØ ÐÙÚÙ ½ Ø ØÝÒ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ Ò ÙÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ Ø ÐØ Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ÚÙÐÐ Ä ÐÙÚÙ ¾ ¹¾ Ý Ò ÐÔ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ØÖ ÑÔ ÓÑ Ò ÙÙ ÓÑ ØØ Ø Ð Ø Ó Ø ÐÙÚÙ ¾ Ó ¹ Ø Ò Ò Ò ÒÓØØÙ Ö Ñ Ö Ò ÒØ Ý ØÐ ÖÝ ÑÒ Ö Ø Ñ Ø ÖÑ ¹ Ò ÒØØ Ò ÚÙÐÐ Î Ñ Ð ÓÐÑ ÒÒ ÐÙÚÙ Ð Ø Ò Ð Ó Ø Ò Ø ÖÑ Ò Òع Ø ÙØ Ò Î Ò ÖÑÓÒ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ½
ÌÙØ ÐÑ Ò ÔÔ ÒÓ ÓÒ ÓÑ ØØ Ø ÑÖ Ø ÐÐÝ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ó Ø Ò Ò Ñ ÒÓÑ Ò Ø Ø ÓÐ ØÙ Ø ÅÙع Ø ØÓ ÐØ Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ø ÑÖ Ø ÐØÝ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ØÙÓ Ð ÝÚÝÝØØ Ý¹ Ò ØØ Ò ÑÓÒ Ò ÙÙØ Ò Ì ØÙØ ÐÑ ÙÒÒ ÐÐ F Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÙÒØ R Ø ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÙÒØ C ÌÙØ ÐÑ ÙÖ Ô Ø Ó ½ Ñ Ö Ø ÓÚ Ø Ö Ó ØØ Ò ÓÑ ÐÐ ØÓ Ò Ñ Ò Ø ÂÓØ Ò Ñ Ö Ø ÓÒ ÓØ ØØÙ ÙÓÖ Ò Ð Ö Ø Ó Ò Ø Ô Ö ÑÔ Ñ Ö ÓÒ Ú ¹ Ý Ò ÐÙ Ò Ø Î Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÙÙÐÙÙ Ð Ò Ö Ð Ö Ò Ô ÖÙ ØØ Ò Ñ Ö¹ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ ÙÖ ÐÐ Ä Ò Ö Ð Ö Á ÓÐÐ ÙÖ Ø Ò Ð ¹ ØØ ¾ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ØÝÐ Ø ÙÓÖ Ò Ö Ø ÐÑÒ Ð¹ Ñ Ò ÙÑÑ ÑÔ Ô ÖÙ Ø ÐÙ ÌÙØ ÐÑ Ö Ø ÐÑ Ó Ø Ò ¹ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ø ÓÑ ØØ Ø ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÄÙ ÐØ Ó ÓØ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓ Ñ ØÖ Ð ÒÒ Ø Ð Ò Ö Ð Ö Ø ½ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ ½½ È ÖÑÙØ Ø Ó Ø Ò Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÅÖ Ø ÐÐÒ ÐÙ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ø Ó Ø Ò Ò Ð ØØÝÚ ØÙÐÓ Ó Ø Ø ÖÚ Ø Ò ÑÝ ÑÑ Ò Ø ÐÙÚÙ ÙÒ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ø Ó Ø Ò Ò Ð ØØÝÚ ØÙÐÓ ÄÙÚÙ ½ Ú Ø Ø Ò Ø Ó Ò ½ ½ ¹½ ½ Ó ØÓ Ò Ñ Ò Ø Å Ö ØÒ (n = {1, 2, 3,..., n} ÃÓ Ó n ÓÐ Ú Ô ÖÑÙØ Ø Ó n¹ô ÖÑÙ¹ Ø Ø Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ÅÖ Ø ÐÑ ½½ n¹permtaatio ÓÒ Ø Ó Ð Ø ÓÙ ÓÐØ (n Ñ Ð ÓÙ¹ ÓÐÐ (n ÇØ Ø Ò ÝØØ Ò ÝÑ ÓÐ S n Ø Ö Ó ØØ Ñ Ò ÓÙ Ó Ó ÐØ n¹ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ÌÓ Ò ÒÓ Ò S n ={σ (n (n σ ÓÒ Ø Ó} ÂÓÙ Ó S n ÙØ ÙØ Ò ÝÑÑ ØÖ ÖÝ Ñ ÐÙÚÙÒ n Ù Ø Ò ÇÒ ÐÔÔÓ Ð Ù Ò ÑÓÒØ Ð ÓØ ÓÙ Ó S n ÐØ ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ø Ó σ : (n (n ÃÓ (n ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÓÙ Ó Ò Ò Ö ØØ ÓÒ ØÖÙÓ ÙÚ Ù σ Ó ÓÒ Ò Ø Ó ÓÙ ÓÐØ (n ÓÙ ÓÐÐ (n ÌÑ ÓÒ ÐÐ ØØÙ ØØ ÙÒ σ ÓÒ Ò Ø Ó Ò Ò σ ÓÒ ÙÖ Ø Ó ÐÐ Ó Ø Ñ Ð ÓÙ ÓÒ Ð ÓØ y (n Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ y = σ(x ÓÐÐ Ò x (n ¾
ÃÙÚ Ù Ò σ ÖÚÓ ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓÐÐ ½ ØÓ Ò ÒÓ Ò σ(1 ÚÓ ÓÐÐ Ñ Ø Ò ÓÙ ÓÒ (n n Ø Ð Ó Ø ÃÓ σ ÓÒ Ò Ø Ó Ò Ò ÙÚ Ù Ò ÖÚÓÐÐ σ(2 ÓÒ n 1 Ú ØÓ ØÓ σ(1 σ(2 ÙÒ σ(1 ÓÒ ÒÒ Ø ØØÝ ÃÙÒ σ(1 σ(2 ÓÒ Ú Ð ØØÙ ÙÚ Ù Ò ÖÚÓÐÐ σ(3 ÓÒ n 2 Ú ØÓ ØÓ ÙÒ σ(1 σ(3 σ(2 σ(3 Â Ø Ñ ÐÐ Ú Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ò n(n 1(n 2 (3(2(1 = n! Ö Ð Ø ÙÚ Ù Ø σ ÌØ Ò S n ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÓÙ Ó Ó ÐØ n! Ð ÓØ ØÔ ØÚ Ø ÚÓ Ò ÒÓ ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò n! ÓÙ ÓÒ (n Ö ÐÐ Ø Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ÌÓ ÐØ ÓÒ ÓÐ Ñ ÒÔÔÖÑÔ Ø Ô ÐÑ Ø ÓÙ ÓÒ (n Ô ÖÑÙØ ¹ Ø ÓØ ÇÐ ÓÓÒ σ S n ÇÐ Ø Ø Ò ØØ σ(1 = j 1, σ(2 = j 2,...,σ(n = j n ÃÓ σ ÓÒ Ø Ó Ò Ò (n = {j 1,...,j n } ÙÒ Ø Ó σ ÚÓ Ò ØØ ÒÝØ 2 n¹ñ ØÖ Ò ( 1 2 n σ =. ½µ j 1 j 2 j n ÀÙÓÑ ÙØÙ Å ØÖ Ñ Ö ÒØ ½µ ÓÐ Ø Ú ÒÓÑ Ò Ò Ñ ØÖ Ë ÒÝØ Ó σ ÓÒ Ø Ó Ò Ò ÐÐ ÓÐ ÚÐ Ñ Ö ØÝ Ð Ó i (n Ø Ú Ø Ú ÙÚ σ(i (n ÓÚ Ø Ñ ØÖ ½µ Ñ Ö ( ( 1 2 2 1 =. j 1 j 2 j 2 j 1 Ñ Ö ½ Ð ÝØÝÝ Ð Ö Ø Ñ Ö Ø ½¾ ½ ÓÚ Ø Ó ØØ Ò ¹ ÑÓ Ù Ò Ö Ñ Ö ½¾ ÂÓÙ ÓÒ S 3 Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ÚÓ Ò ØØ Ñ ØÖ Ò ( ( ( 1 2 3 1 2 3 1 2 3 σ 1 =, σ 1 2 3 2 =, σ 1 3 2 3 =, 2 1 3 σ 4 = ( 1 2 3 2 3 1 ( 1 2 3, σ 5 = 3 1 2 Ñ Ö σ 3 (1 = 2 σ 3 (2 = 1 σ 3 (3 = 3 ( 1 2 3, σ 6 = 3 2 1 Ñ Ö ½ ÂÓÙ Ó S 4 ÐØ ¾ Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ Ò ÚÓ Ò ØØ Ñ ØÖ Ò ( ( ( 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 σ 1 =, σ 1 2 3 4 2 =, σ 1 2 4 3 3 =, 1 3 2 4.
( 1 2 3 4 σ 4 = 1 3 4 2 ( 1 2 3 4 σ 7 = 2 1 3 4 ( 1 2 3 4 σ 10 = 2 3 4 1 ( 1 2 3 4 σ 13 = 3 1 2 4 ( 1 2 3 4 σ 16 = 3 2 4 1 ( 1 2 3 4 σ 19 = 4 1 2 3 ( 1 2 3 4 σ 22 = 4 2 3 1 ( 1 2 3 4, σ 5 = 1 4 2 3, σ 8 =, σ 11 =, σ 14 =, σ 17 =, σ 20 =, σ 23 = ( 1 2 3 4 2 1 4 3 ( 1 2 3 4 2 4 1 3 ( 1 2 3 4 3 1 4 2 ( 1 2 3 4 3 4 1 2 ( 1 2 3 4 4 1 3 2 ( 1 2 3 4 4 3 1 2 ( 1 2 3 4, σ 6 = 1 4 3 2, σ 9 =, σ 12 =, σ 15 =, σ 18 =, σ 21 =, σ 24 = Ñ Ö σ 13 (1 = 3 σ 13 (2 = 1 σ 13 (3 = 2 σ 13 (4 = 4 ( 1 2 3 4 2 3 1 4 ( 1 2 3 4 2 4 3 1 ( 1 2 3 4 3 2 1 4 ( 1 2 3 4 3 4 2 1 ( 1 2 3 4 4 2 1 3 ( 1 2 3 4 4 3 2 1 ÀÙÓÑ Ø Ò ØØ n¹ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ø Ó Ø ÓØ Ò Ó ØÙÚ Ø ¹ Ö ÐÐ ÐØ n Ö ÐÐ Ø Ð ÓØ ÐØÚÐØ ÓÙ ÓÐØ Ú Ø Ú ÐÐ n Ò Ö ÐÐ Ò Ð¹ ÓÒ ÓÙ ÓÐÐ ÇÐ ÓÓÒ T {A 1,...,A n } Ó A 1,...,A n ÓÚ Ø Ö ÐÐ ÂÓ σ S n Ò Ò σ ÓÒ Ø Ó ÓÙ ÓÐØ T ÓÙ ÓÐÐ T ÙÒ σ(a i = A σ(i Ò ÙÒ i = 1,..., n ÐÐ Ø ØØÝ Ø Ô ÝØ ØÒ ÑÓÒ Ý Ø Ý Ñ Ø Ñ ¹ Ø,,,,,,. Ñ Ö ½ ÇÐ ÓÓÒ I 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 3¹ ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ø I 3 ÙÙ Ô ÖÑÙØ Ø Ó¹ Ñ ØÖ ÓØØ Ñ ÐÐ Ñ ÓÐÐ Ø Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ Ñ ØÖ Ò I 3 ÔÝ ØÝÖ ¹ Ú Ø Ì Ò Ý Ø Ñ ØØ ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ø Ò Ñ ØÖ I 3 Ö ¹ Ò I 3 = [ǫ 1 ǫ 2 ǫ 3 ] ÐÐ ǫ = {ǫ 1, ǫ 2, ǫ 3 } ÓÒ Ú ÖÙÙ Ò F 3 ÒÓÒ Ò Ò ÒØ ÌÑ Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ Ú ØÓÖ Ø ǫ 1, ǫ 2 ǫ 3 ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ú ÖÙÙ¹ Ò F 3 ÒÒ Ò ÙÒ ÙÒ Ò Ô ØÙÙ ÓÒ Ý ÇÐ ÓÓÒ σ(ǫ i = ǫ σ(i ÓÙ Ó ¹ S 3 ÙÒ ǫ ÓÒ ÒØ ÆÝØ Ó Ò Ò σ S 3 ÑÖ ØØ Ð ÙÙ Ò Ñ ØÖ Ò
I(σ = [ǫ σ(1 ǫ σ(2 ǫ σ(3 ] ÃÝØØÑÐÐ Ñ ÒÐ Ø ØÝ Ø Ô Ù Ò Ñ Ö¹ ½¾ Ò 1 0 0 1 0 0 I(σ 1 = 0 1 0,I(σ 2 = 0 0 1, 0 0 1 0 1 0 I(σ 3 = I(σ 5 = 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0,I(σ 4 =,I(σ 6 = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 È ÖÑÙØ Ø Ó Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ØØ ÝØ Ñ Ø Ð Ò Ö Ð Ö Ò Ð ØØÝÚ ØÙÐÓ ÎÓ Ò Ñ Ö Ú Ø ØØ Ú ØÓÖ Ò Ö ØÝ ¹ ÐÐ ÓÐ Ñ Ö ØÝ Ø ÑÖ Ø ÐØ Ú ÖÙÙ Ò V ÒØ ÌÙÐÓ ÚÓ Ò Ð¹ Ñ Ø Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ÚÙÐÐ ÙÖ Ú Ø Ó Ø σ S n Ó Ø ÓÙ Ó {α 1,...,α n } ÓÒ Ú ÖÙÙ Ò V ÒØ Ó Ú Ò Ó ÓÙ Ó {α σ(1,...,α σ(n } ÓÒ Ú ÖÙÙ Ò V ÒØ ÃÓ n¹ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ÓÚ Ø ÙÚ Ù ÓÙ ÓÐØ (n ÓÙ ÓÐÐ (n Ò ÚÓ Ò Ò ÑÙÓ Ó Ø ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ò Ø ÓÒ Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù ÓÒ ÐÐ Ò Ø Ó Æ Ò ÓÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ø Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ σ, τ S n Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù στ ÓÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÓÙ Ó S n Ä ØØ στ(j Ñ ÐÐ Ø Ò j (n Ð Ø Ò Ò Ò τ(j Ñ ØÖ Ñ Ö ÒÒÒ ½µ ÑÙ Ø Ú Ø Ò Ð Ò σ(τ(j Ñ Ö ½ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ( 1 2 3 4 5 τ = 3 4 5 2 1,. ( 1 2 3 4 5 ja σ = 2 3 5 1 4 ÓÚ Ø Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ÓÙ Ó S 5 ÃÝØØÑÐÐ Ñ ØÖ Ñ Ö ÒØ ½µ ¹ Ò ( ( 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 στ = ja τσ =. 5 1 4 3 2 4 5 1 3 2 ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù ÓÐ ÝÐ Ø Óѹ ÑÙØ Ø Ú Ò Ò ÀÙÓÑ Ø Ò ØØ Ñ Ö ½ στ τσ È ÖÑÙØ Ø Ó Ò σ, τ S n Ý Ø ØØÝ Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÚÓ Ò ÐÔÓ Ø ÑÙÓ¹ Ó Ø ÙÚ Ù Ò σ τ Ñ ØÖ ØÝ Ø ÇÒ ÑÝ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ ÓÐ Ø Ú ÒÓÑ Ò Ò Ñ ØÖ ØÙÐÓ
Ä Ù ½ µ σ(τγ = (στγ ÐÐ σ, τ, γ S n µ ÇÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò Ý ØØ Ò Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó I S n ØØ σi = Iσ = σ ÐÐ σ S n µ ÂÓ Ø σ S n Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò Ý ØØ Ò Ò τ S n ØØ στ = τσ = I ÌÓ ØÙ µ¹ Ó Ø Ô Ø Ô Ò ÐÐ ÙÚ Ù Ø Ò Ý ØÑ Ò Ò ÓÒ Ó ¹ Ø Ú Ò Ò Æ Ñ ØØ Ò ÙÒ ÒÝØ Ú Ð Ø Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò x (n Ò Ò σ(τγ(x = σ((τγ(x = σ(τ(γ(x = στ(γ(x = ((στγ(x. µ¹ Ó Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó I ÓÒ ÒØØ Ò Ò ÙÚ Ù ÓÙ ÓÐØ (n ÓÙ ÓÐÐ (n ÌØ Ò ÙÒ ( 1 2 3 n I =, 1 2 3 n Ò Ò ( ( 1 2 3 n 1 2 3 n σi = j 1 j 2 j 3 j n 1 2 3 n ( 1 2 3 n = = σ j 1 j 2 j 3 j n ( ( 1 2 3 n 1 2 3 n Iσ = 1 2 3 n j 1 j 2 j 3 j n ( 1 2 3 n = = σ. j 1 j 2 j 3 j n ÅÝ ÑÝ ÑÑ Ò Ø ÐÙÚÙ ÐÐ Ø ØÝÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ I ØÙÐÐ Ò Ø Ö Ó Ø¹ Ø Ñ Ò ÒØØ Ø ÙÚ Ù Ø ÓÙ ÓÐØ (n ÓÙ ÓÐÐ (n ÃÓ Ò µ ØÓ Ø Ñ Ú Ð Ø Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò σ S n ÆÝØ τ ÓÒ Ô Ö¹ ÑÙØ Ø ÓÒ σ ÒØ Ô ÖÑÙØ Ø Ó σ 1 ÃÓ σ ÓÒ Ø Ó Ô ÖÑÙØ Ø Óй Ð σ ÓÒ ÓÐ Ñ ÒØ Ô ÖÑÙØ Ø Ó σ 1 (n (n ÌÐÐ Ò σ 1 (i = j Ó Ú Ò Ó σ(j = i Ë ÐÚ Ø σ 1 ÓÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÓÙ Ó (n σσ 1 = σ 1 σ = I
ÃÙÒ S ÓÒ ÔØÝ ÓÙ Ó ÒÖ ÓÔ Ö Ø Ó (α, β αβ ÓÒ Ð ÙØÓ Ñ ¹ ØÙ ÓÙ Ó S Ð ÙÚ Ù ÓÙ ÓÐØ S S ÓÙ ÓÓÒ S Ò Ò ØØ Ó ÓÒ ÙÙØØ Ó ØÓØ ÙØØ Ð Ù Ò ½ ÓØ ÙØ ÙØ Ò Ð Ö ÖÝ Ñ ÆÝØ Ð Ù Ò ½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ S n ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÖÝ Ñ Ó ÙÚ Ù Ø Ò Ý ØÑ Ò Ò ØÓ Ñ ÒÖ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÃÓ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ØÙÐÐ Ò ÑÝ ÑÑ Ò ÑÖ ØØ Ð ÑÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ó¹ Ò ÚÙÐÐ Ó Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓÓÒ Ð ØØÝÝ ÔÐÙ ¹ Ø Ñ ÒÙ Ñ Ö ÑÝ ¹ ÑÑ Ò Ø ÐØÚÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ÓÑ Ò ÙÙ ¹ Ø Ø ÖÚ Ø Ò Ð Ø ØÓ ÂÓØØ ÚÓ Ò ÝÑÑÖØ Ñ Ø Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ñ Ö Ø Ö Ó ØØ Ò Ò ØÝØÝÝ ÑÖ Ø ÐÐ Ý Ð Ø ØÖ Ò ÔÓ Ø ÓØ ÅÖ Ø ÐÑ ½ ÇÐ ÓÓÒ σ S n ÌÐÐ Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ σ ÙØ ÙØ Ò Ý Ð ¹ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø r Ö ÐÐ Ø Ó ÓÒ ÐÙ Ù i 1, i 2,...,i r (n ØØ µ σ(i 1 = i 2, σ(i 2 = i 3,...,σ(i r 1 = i r σ(i r = i 1 µ σ(j = j ÐÐ j (n \ {i 1,...,i r } ÄÙ Ù r ÓÒ Ý Ð Ò Ô ØÙÙ ÂÓ σ ÓÒ Ý Ð ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ Ý Ò Ò ØÐÐ Ò σ = I ÌÑ Ø Ô Ù ÓÐ ÓÚ Ò Ñ Ð Ò ÒØÓ Ò Ò ÇÐ Ø Ø Ò ØØ σ S n ÓÒ Ý Ð ÓÒ Ô ØÙÙ r ÓÒ Ú ÒØÒ ÌÐÐ Ò σ ÓÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÓÒ ÖØÚ Ó ÓÒ r Ö ÐÐ Ø Ð ÓØ i 1, i 2,..., i r ÄÓÔÙØ ÓÙ ÓÒ (n Ð ÓØ ÙÚ ÙØÙÚ Ø Ø ÐÐ Ò Ñ Ö ½ ÇÐ ÓÓØ ( 1 2 3 4 5 6 σ 1 =, σ 1 6 3 2 5 4 2 = ( 1 2 3 4 5 6 σ 3 =. 2 1 6 3 4 5 ( 1 2 3 4 5 6 6 3 4 5 1 2 ÆÝØ ÓÙ Ó S 6 σ 1 ÓÒ ÓÐÑ Ò Ô ØÙ Ò Ò Ý Ð σ 2 ÓÒ ÙÙ Ò Ô ØÙ Ò Ò Ý Ð Ä σ 3 ÓÐ Ø Ý Ð ÑÙØØ ÓÒ Ò Ò Ð Ò Ô ØÙ Ò Ý Ð Ò Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù ÐÐ σ 3 = ( 1 2 3 4 5 6 2 1 3 4 5 6 ( 1 2 3 4 5 6 1 2 6 3 4 5.,
ÇÐ ÓÓÒ σ r Ò Ô ØÙ Ò Ò Ý Ð ÓÙ Ó S n ÇÐ Ø Ø Ò ØØ r > 1 σ(i 1 = i 2 σ(i 2 = i 3,...,σ(i r 1 = i r σ(i r = i 1. ÄÝ ÒÒ ØÒ ØØ Ò Ý ØÐ Ò ½µ Ñ ØÖ Ñ Ö ÒØ Ö Ó Ø Ø Ò Ø Ú ÑÑ Ò σ = (i 1, i 2,...,i r. ¾µ Æ Ò ÓÐÐ Ò Ñ Ö ½ σ 1 = (2, 6, 4 σ 2 = (1, 6, 2, 3, 4, 5 σ 3 = (1, 2(3, 6, 5, 4. ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ Ý ØÐ Ò ¾µ ÑÙ Ò Ò r Ò Ô ØÙ Ò Ò Ý Ð (i 1, i 2,...,i r ÓÐ Ý ØØ Ò Ò Ë ÐÚ Ø Ñ Ö ½ σ 1 = (2, 6, 4 = (6, 4, 2 = (4, 2, 6. ÅÖ Ø ÐÑ ½ Ã Ý Ð ÓÚ Ø Ö ÐÐ Ø Ò Ð Ó Òص Ó {i 1, i 2,...,i r } {j 1, j 2,...,j s } =. ÌÓ Ò ÒÓ Ò σ τ ÓÚ Ø Ö ÐÐ Ø Ó ØÝ Ø ÚÓ ÐÐ (i 1, i 2,...,i r (j 1, j 2,..., j s ÓÐ Ý Ø Ð Ó Ø Ñ Ö ½ σ 3 ÓÒ Ò Ö ÐÐ Ò Ý Ð Ò (1, 2 (3, 6, 5, 4 Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù ÌÑ ÔØ ÝÐ Ø Ò Ô Ò Ä Ù Ò ½½¼ ½½ ½½ ØÓ ØÙ Ð Ý Ý Ð Ö Ø Ä Ù ½½¼ ÂÓ Ò Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÚÓ Ò ØØ Ö ØÝ Ø Ú ÐÐ Ý ¹ ØØ Ø Ö ÐÐ Ø Ò Ý Ð Ò Ý Ø ØØÝÒ ÙÚ Ù Ò ÌÓ ØÙ ÌÓ Ø Ø Ò Ú Ø Ò Ù Ø ÓÐÐ ÐÙÚÙÒ n Ù Ø Ò Ì Ò Ò Ò Ð Ù Ð ÓÐ Ø Ø Ò ØØ σ S 2 ÂÓÙ ÓÒ S 2 Ô ÖÑÙØ ¹ Ø ÓØ ÓÚ Ø σ 1 = ( 1 2 1 2 σ 2 = ( 1 2. 2 1 ÆÝØ σ 1 ÚÓ Ò ØØ Ý Ò Ô ØÙ Ø Ò Ý Ð Ò Ý Ø ØØÝÒ ÙÚ Ù Ò ÙÒ Ø σ 2 ÓÒ Ý Ð (1, 2 = (2, 1
Ì Ò ØØ Ò Ò Ù Ø Ó Ð ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ú Ø Ô Ø Ô Ò ÓÙ¹ ÓÐÐ S n m ÙÒ n > m Ó Ó Ø Ø Ò ØØ Ú Ø Ô Ø Ô Ò ÓÙ ÓÐÐ S n ÇÐ ÓÓÒ σ S n ÂÓ σ ÓÒ Ý Ð Ò Ò ÓÒ ÐÚ ÅÙÙ Ø Ô Ù ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø i 1,...,i m ØØ ( i1 i σ = 2 i m j 1 j n m i 2 i 3 i 1 j 1 j n m, Ñ {j 1,..., j n m = (j 1,..., j n m } = {1,...,n} \ {i 1,...,i m ÌÐÐ Ò σ Ò Ý ØÑÐÐ Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ( i1 i τ = 2 i m j 1 j n m i 1 i 2 i m j 1 j n m ( i1 i ν = 2 i m j 1 j n m. i 2 i 3 i 1 j 1 j n m ÁÒ Ù Ø Ó Ð Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ô ÖÑÙØ Ø Ó ( τ j1 j = n m j 1 j n m ÚÓ Ò ØØ Ö ØÝ Ø Ú ÐÐ Ý ØØ Ø Ö ÐÐ Ø Ò Ý Ð Ò Ý Ø Ø¹ ØÝÒ ÙÚ Ù Ò ÇÐ ÓÓØ τ 1,...,τ p ÒÑ Ý Ð Ø Æ Ø Ú Ø Ú Ø ÒÒ Ö ÐÐ Ø Ý Ð Ø Ñ {j 1 τ k = ( i1 i 2 i m j 1 j n m i 1 i 2 i m j 1 j n m,,..., j n m = (j 1,...,j n m } = {1,..., n} \ {i 1,...,i m k = 1,...,p ÆÝØ Ý ØÑÐÐ Ý Ð Ø τ 1,...,τ p ν Ò σ Ó ÓÒ Ö¹ ØÝ Ø Ú ÐÐ Ý ØØ Ò Ò Ö ÐÐ Ø Ò Ý Ð Ò Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù Ë Ð Ù¹ Ò Ù Ø Ó Ð Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ú Ø Ô Ø Ô Ò Ñ Ö ½½½ ÇÐ ÓÓÒ ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 σ = 11 10 1 4 5 8 7 2 6 9 3 S 11. ÌÐÐ Ò σ = (1, 11, 3(2, 10, 9, 6, 8 ÓÒ Ö ØÝ Ø Ú ÐÐ Ý ØØ Ò Ò Ö ÐÐ ¹ Ø Ò Ý Ð Ò Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù
ÅÖ Ø ÐÑ ½½¾ ËÝ Ð ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ ÙØ ÙØ Ò ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ø ¾¹ Ý Ð Ä Ù ½½ ËÝ Ð ÚÓ Ò Ò ÐÑ Ø ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ý Ø ØØÝÒ Ù¹ Ú Ù Ò (i 1, i 2,..., i r = (i 1, i r (i 1, i r 1 (i 1, i r 2 (i 1, i 2. ÌÓ ØÙ ÇÐ ÓÓÒ σ r Ò Ô ØÙ Ò Ò Ý Ð ÓÙ Ó S n ÌÐÐ Ò ÙÒ r 2 Ò Ò ( i1 i σ = (i 1, i 2,...,i r = 2 i r 1 i r i r+1 i n i 2 i 3 i r i 1 i r+1 i n ( i1 i = 2 i r 1 i r i r+1 i n i r i 2 i r 1 i 1 i r+1 i n ( i1 i 2 i r 2 i r 1 i r i r+1 i n i r 1 i 2 i r 2 i 1 i r i r+1 i n ( i1 i 2 i 3 i r 1 i r i r+1 i n i 2 i 1 i 3 i r 1 i r i r+1 i n = (i 1, i r (i 1, i r 1, (i 1, i r 2 (i 1, i 2. Ë Ú Ø ÔØ Ô Ø Ô Ò Æ Ò ÓÐÐ Ò Ó Ò Ò Ý Ð ÓÒ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù Ø¹ ÑÐÐ Ð Ù Ø 1.10 1.13 Ò ÙÖ Ú Ð Ù Ä Ù ½½ ÂÓ Ò Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÓÙ Ó S n ÓÒ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ý Ø Ø¹ ØÝ ÙÚ Ù ÌÓ ØÙ Ä Ù Ò ½½¼ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó Ò Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÚÓ Ò ØØ Ý ¹ ØØ Ò Ö ÐÐ Ø Ò Ý Ð Ò Ý Ø ØØÝÒ ÙÚ Ù Ò ÆÝØ Ð Ù Ò ½½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó Ò Ò Ý Ð ÓÒ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù Æ ÒÔ Ó¹ Ò Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÓÙ Ó S n ÓÒ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù Á ÒØØ Ò Ò ÙÚ Ù I : (n (n ÓÒ Ñ Ò Ø Ò ØÖ Ò ÔÓ Ø ÓÒ Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù Ø Ò Ò ÌÓ Ò ÒÓ Ò I = (a, b(a, b Ò ÙÒ a, b (n È ÖÑÙØ Ø Ó Ò ØÝ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ý Ø ØØÝÒ ÙÚ Ù ¹ Ò ÓÐ Ý ØØ Ò Ò ½¼
Ñ Ö ½½ ÇÐ ÓÓÒ ¾ ½µ Ý Ð ÓÙ Ó S 19 ÌÐÐ Ò (5, 2, 4, 3, 1 = (5, 1(5, 3(5, 4(5, 2. ÅÙØØ ÒÝØ ÑÝ (5, 2, 4, 3, 1 = (4, 3, 1, 5, 2 Ë (5, 2, 4, 3, 1 = (4, 2(4, 5(4, 1(4, 3. Î Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ØÝ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ý Ø ØØÝÒ ÙÚ Ù Ò ÓÐ Ý ØØ Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ØÖ Ð Ù Ä Ù Ò ½½ ØÓ ØÙ Ø ØÒ ØÙØ ÐÑ Ñ Ò Ø Ö ÑÑ Ò Ö ÙØÙÑÑ Ò Ù Ò Ð Ö Ä Ð Ù Ò ½½ ØÓ ØÙ Ø Ð Ý Ý Ð Ö Ø Ä Ù ½½ ÇÐ ÓÓÒ σ S n ÂÓ σ ÓÒ Ô Ö ÐÐ ÑÖ Ò ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ý ¹ Ø ØØÝ ÙÚ Ù Ò Ò ØÐÐ Ò ÙÒ σ Ø ØÒ ÓÒ Ò ÑÙÙÒ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ý Ø ØØÝÒ ÙÚ Ù Ò ÐØ Ò Ô Ö ÐÐ Ò ÑÖ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ø Î Ø Ú Ø Ó σ ÓÒ Ô Ö ØÓÒÑÖ Ò ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ý Ø ØØÝ ÙÚ Ù Ò Ò ØÐÐ Ò ÙÒ σ Ø ØÒ ÓÒ Ò ÑÙÙÒ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ý Ø ØØÝÒ Ù¹ Ú Ù Ò ÐØ Ò Ò Ô Ö ØØÓÑ Ò ÑÖÒ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ø ÌÓ ØÙ ÇÐ ÓÓØ X 1, X 2,...,X n R ÅÖ Ø ÐÐÒ ÑÙÙØØÙ Ò X 1, X 2,...,X n ÑÖÑ ÔÓÐÝÒÓÑ P P(X 1, X 2,...,X n = i<j(x i X j. µ ÌÙÐÓ ØØ ÖÓØÙ Ø X i X j ÙÒ 1 i < j n ÅÖ Ø ÐÐÒ ØØ Ò Ó Ø σ S n Ó Ø ØØ σ(p = P(X σ(1, X σ(2,...,x σ(n = i<j(x σ(i X σ(j. µ ÆÝØ σ(p ÓÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ø P Ç Ó Ø Ø Ò ØØ σ(p = ±P Ò ÙÒ σ S n ÇÐ Ø Ø Ò ØØ σ = (p, q ÓÒ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó ÓÙ Ó S n ÇÐ Ø Ø Ò Ð ØØ 1 p < q n Ç Ó Ø Ø Ò ØØ σ(p = P ÀÙÓÑ Ø Ò ØØ σ(p ÓÒ ØÙ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø P Ú Ø Ñ ÐÐ ÐÙ Ù X p X q ÆÝØ σ(p P ÖÓ Ú Ø ØÓ Ø Ò ÐÙ Ù Ò X p X q Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ä Ø Ø Ò ÐÐ Ñ Ò ØÙØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò P Ø Ø ÓØ ÐØÚØ Ó Ó ÐÙÚÙÒ X p Ø X q Ä Ø Ø Ò Ò Ò Ø Ø Ó ÓÒ X p X 1 X p, X 2 X p,...,x p 1 X p, X p X p+1,...,x p X q 1, X p X q+1,...,x p X n. µ µ µ ½½
Ä Ø Ø Ò ØØ Ò Ø Ø Ó ÓÒ X q X 1 X q, X 2 X q,...,x p 1 X q, X p+1 X q,..., X q 1 X q, X q X q+1,...,x q X n. µ µ ½¼µ Ä ÔÓÐÝÒÓÑ P ÓÒ Ø Ó ÐØ ÐÙÚÙÒ X p ØØ X q Ò Ñ Ø¹ Ø Ò Ø X p X q ÃÙÒ ÒÝØ ÑÙÙØ Ø Ò ÐÙ Ù X p ÐÙÚÙ X q ÙÓÑ Ø Ò ØØ Ö Ú Ò µ µ Ö Ú Ò µ ½¼µ ÑÙÙØÓ Ø ÓÑÔ Ò Ó Ú Ø ØÓ Ò ÒÓ ÑÙÙØÓ Ø Ô ØÙÙ Ö Ú ÐÐ µ µ ÃÓ Ö Ú ÐÐ µ ØØ µ ÓÒ Ø Ò Ò (q 1 (p + 1 + 1 = q p 1 σ(p = ( 1 2(q p 1+1 P = P. ½½µ ÇÐÐ Ò Ó Ó Ø ØØÙ ØØ Ý ØØ Ò Ò ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ú Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ò P Ñ Ö¹ Ò ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ò ØØ τ = τ 1 τ 2 τ m ÓÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÓÙ Ó S n ÙÒ τ i ÓÒ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó 1 i m ÆÝØ Ý ØÐ µ ÑÖ Ø ÐÐÝÒ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ τ(p = P(X τ(1, X τ(2,...,x τ(m = i<j(x τ(i X τ(j. ½¾µ ÂÓ m ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ò Ò Ý ØÐ Ò ½½µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ τ(p = τ 1 τ 2 τ m (P = τ 1 τ 2 τ m 1 ( P = τ 1 τ 2 (P = τ 1 ( P = ( P = P. ÂÓ Ø m ÓÒ Ô Ö ØÓÒ Ò Ò Ý ØÐ Ò ½½µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ τ(p = τ 1 τ 2 τ m (P = τ 1 τ 2 τ m 1 ( P = τ 1 τ 2 ( P = τ 1 (P = P. ÇÐ ÓÓÒ r Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÓÐ ÓÓÒ s Ô Ö ØÓÒ Ó ÓÒ ÙÐÙ Ù ÌÐÐ Ò Ò ÙÒ P 0 Ë Ú Ø Ô Ø Ô Ò τ 1 τ 2 τ r (P = P P = τ 1 τ 2 τ s (P, ½¾
ÅÖ Ø ÐÑ ½½ È ÖÑÙØ Ø ÓÒ σ S n ÒÓØ Ò ÓÐ Ú Ò parillinen Ó σ Ò Ý Ø ØØÝÒ ÙÚ Ù Ò Ó ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÑÖ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ø È ÖÑÙØ Ø ÓÒ σ S n ÒÓØ Ò ÓÐ Ú Ò pariton Ó σ Ò Ý Ø ØØÝÒ ÙÚ Ù Ò Ó ÓÒ Ô Ö ØÓÒ ÑÖ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ø Ä Ù Ø 1.14 1.16 Ø Ú Ø Ò ØØ Ó Ò Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÓÒ Ó Ó Ô ¹ Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ô Ö ØÓÒ ÑÙØØ ÑÓÐ ÑÔ ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ ÒØØ Ò Ò Ù¹ Ú Ù I ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ó I = (a, b(a, b Ò ÙÒ a, b (n ÌÓ ÐØ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó (a, b ÓÒ Ò Ô Ö ØÓÒ Ä Ù ½½ µ Ã Ò Ô Ö ÐÐ Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ØÙÐÓ ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò µ Ã Ò Ô Ö ØØÓÑ Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ØÙÐÓ ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò µ È Ö ÐÐ Ò Ô Ö ØØÓÑ Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ØÙÐÓ ÓÒ Ô Ö ØÓÒ Ø Ô Ö ØØÓÑ Ò Ô Ö ÐÐ Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ØÙÐÓ ÓÒ Ô Ö ØÓÒµ ÌÓ ØÙ µ ÇÐ ÓÓØ σ, τ S n ÇÐ Ø Ø Ò ØØ σ ØØ τ ÚÓ Ò ØØ Ô Ö ÐÐ ÑÖ Ò ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ý Ø ØØÝÒ ÙÚ Ù Ò ÌÐÐ Ò σ τ ÐØÚØ p = 2m ØÖ Ò ÔÓ Ø ÓØ ÙÒ m = 1, 2, 3... ÆÝØ Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò σ τ Ý Ø ØÝ ÙÚ Ù ÓÒ p + p = 2m + 2m = 2 2m ØÖ Ò ÔÓ Ø ÓØ µ ÇÐ ÓÓØ σ, τ S n ÇÐ Ø Ø Ò ØØ σ ØØ τ ÚÓ Ò ØØ Ô Ö ¹ ØÓÒÑÖ Ò ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ý Ø ØØÝÒ ÙÚ Ù Ò ÌÐÐ Ò σ τ ¹ ÐØÚØ p = 2m + 1 ØÖ Ò ÔÓ Ø ÓØ ÙÒ m = 0, 1, 2... ÆÝØ Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò σ τ Ý Ø ØÝ ÙÚ Ù ÓÒ p + p = 2m + 1 + 2m + 1 = 2(2m + 1 ØÖ Ò ÔÓ Ø ÓØ µ ÇÐ ÓÓØ σ, τ S n ÇÐ Ø Ø Ò ØØ σ ÚÓ Ò ØØ Ô Ö ÐÐ ÑÖ Ò ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ý Ø ØØÝÒ ÙÚ Ù Ò τ ÚÓ Ò ØØ Ô Ö ØÓÒѹ Ö Ò ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ý Ø ØØÝÒ ÙÚ Ù Ò ÌÐÐ Ò σ ÐØ p = 2m τ ÐØ r = 2m +1 ØÖ Ò ÔÓ Ø ÓØ ÆÝØ Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò σ τ Ý Ø Ø¹ ØÝ ÙÚ Ù ÓÒ p + r = 2m + 2m + 1 = 2 2m + 1 ØÖ Ò ÔÓ Ø ÓØ ÅÖ Ø ÐÑ ½½ ÇÐ ÓÓÒ σ S n È ÖÑÙØ Ø ÓÒ σ merkki Ò(σ ÑÖ ¹ Ø ÐÐÒ { 1 Ó σ ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò, Ò(σ = 1 Ó σ ÓÒ Ô Ö ØÓÒ. ÃÙÒ σ Ú Ø Ð ÓÙ Ó S n Ñ Ö Ò(σ ÑÖ ØØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò( : S n { 1, 1}. ½
ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ Ò(I = 1 Ò((a, b = 1 Ò ÙÒ a b ÓÙ Ó (n È Ð Ø Ò ÙÖ Ú Ñ Ö Ò 1.2 1.3 Ñ Ö Ø ½¾¼ ½¾½ Ð ÝØÝÚØ Ð Ø Ó Ø Ñ Ö ½¾¼ Â Ø Ò ÓÙ Ó S 3 Ù Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò σ 1 = I Ò(σ 1 = 1 σ 2 = (2, 3 Ò(σ 2 = 1 σ 3 = (1, 2 Ò(σ 3 = 1 σ 4 = (1, 2, 3 = (1, 3(1, 2 Ò(σ 4 = 1 σ 5 = (1, 3, 2 = (1, 2(1, 3 Ò(σ 5 = 1 σ 6 = (1, 3 Ò(σ 6 = 1 Ñ Ö ½¾½ ÂÓÙ Ó S 4 Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ó ÒØ ÙÖ Ú Ø Ñ Ö Ø ½¾ Ò(σ 1 = 1, Ò(σ 9 = 1, Ò(σ 17 = 1, Ò(σ 2 = 1, Ò(σ 10 = 1, Ò(σ 18 = 1, Ò(σ 3 = 1, Ò(σ 11 = 1, Ò(σ 19 = 1, Ò(σ 4 = 1, Ò(σ 12 = 1, Ò(σ 20 = 1, Ò(σ 5 = 1, Ò(σ 13 = 1, Ò(σ 21 = 1, Ò(σ 6 = 1, Ò(σ 14 = 1, Ò(σ 22 = 1, Ò(σ 7 = 1, Ò(σ 15 = 1, Ò(σ 23 = 1, Ò(σ 8 = 1, Ò(σ 16 = 1, Ò(σ 24 = 1. Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ ÓÑ ¹ Ò ÙÙ ÆÝØ ÙÒ Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ Ò Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ø Ø ÖÑ ¹ Ò ÒØØ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ì ØÙØ ÐÑ Ñ Ö ÒÒÐÐ M n n Ø Ö Ó Ø ¹ Ø Ò Ò n n¹ñ ØÖ Ò ÓÙ Ó ÙÒ Ñ ØÖ Ò Ð ÓØ ÓÚ Ø ÙÒÒ Ø F ÅÖ Ø ÐÑ ½¾¾ ÇÐ ÓÓÒ A = (a ij M n n ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ Ò A Ø ÖÑ ¹ Ò ÒØØ Ñ Ö ØÒ det(a det(a = σ S n Ò(σa 1σ(1 a 2σ(2 a nσ(n. ËÝÑ ÓÐ σ S n Ø Ö Ó ØØ n! Ö Ô ÖÑÙØ Ø ÓÐ Ù Ò Ò(σa 1σ(1 a 2σ(2 a nσ(n ½
ÙÑÑ Ñ Ø Ý Ø Ò ÓÙ Ó S n ÃÙÒ A M n n Ò Ò det(a ÑÖ ØØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ det(a : M n n F ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ det(a ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ú Ò ÙÒ A ÓÒ Ò Ð Ñ ØÖ ÅÙ ÐÐ Ù Ò Ò Ð Ñ ØÖ ÐÐ ÓÐ Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ñ Ö ½¾ ÇÐ ÓÓÒ a 11 a 12 a 13 a 14 A = a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34. a 41 a 42 a 43 a 44 ÆÝØ ÓÙ Ó S 4 ÐØ ¾ Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ σ 1 = I, σ 2,..., σ 24 ÓØ Ð Ø ØØ Ò Ñ Ö 1.3 Æ Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò Ñ Ö Ø Ò(σ i ÙÒ i = 1,..., 24 Ð ØØ Ò Ñ Ö ½¾½ ÅÖ Ø ÐÑ Ø 1.22 ÙÖ ØØ det(a = sgn(ia 11 a 22 a 33 a 44 + sgn(σ 2 a 11 a 22 a 34 a 43 + sgn(σ 3 a 11 a 23 a 32 a 44 + sgn(σ 4 a 11 a 23 a 34 a 42 + sgn(σ 5 a 11 a 24 a 43 a 32 + sgn(σ 6 a 11 a 24 a 33 a 42 + sgn(σ 7 a 12 a 21 a 33 a 44 + sgn(σ 8 a 12 a 21 a 34 a 43 + sgn(σ 9 a 12 a 23 a 31 a 44 + sgn(σ 10 a 12 a 23 a 34 a 41 + sgn(σ 11 a 12 a 31 a 43 a 32 + sgn(σ 12 a 12 a 24 a 33 a 41 + sgn(σ 13 a 13 a 21 a 32 a 44 + sgn(σ 14 a 13 a 21 a 34 a 42 + sgn(σ 15 a 13 a 22 a 31 a 44 + sgn(σ 16 a 13 a 22 a 34 a 41 + sgn(σ 17 a 13 a 24 a 31 a 42 + sgn(σ 18 a 13 a 24 a 32 a 41 + sgn(σ 19 a 14 a 21 a 32 a 43 + sgn(σ 20 a 14 a 21 a 33 a 42 + sgn(σ 21 a 14 a 22 a 31 a 43 + sgn(σ 22 a 14 a 22 a 33 a 41 + sgn(σ 23 a 14 a 23 a 31 a 42 + sgn(σ 24 a 14 a 23 a 32 a 41 = a 11 a 22 a 33 a 44 a 11 a 22 a 34 a 43 a 11 a 23 a 32 a 44 + a 11 a 23 a 34 a 42 + a 11 a 24 a 43 a 32 a 11 a 24 a 33 a 42 a 12 a 21 a 33 a 44 + a 12 a 21 a 34 a 43 + a 12 a 23 a 31 a 44 a 12 a 23 a 34 a 41 a 12 a 31 a 43 a 32 + a 12 a 24 a 33 a 41 + a 13 a 21 a 32 a 44 a 13 a 21 a 34 a 42 a 13 a 22 a 31 a 44 + a 13 a 22 a 34 a 41 + a 13 a 24 a 31 a 42 a 13 a 24 a 32 a 41 a 14 a 21 a 32 a 43 + a 14 a 21 a 33 a 42 + a 14 a 22 a 31 a 43 a 14 a 22 a 33 a 41 a 14 a 23 a 31 a 42 + a 14 a 23 a 32 a 41. ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ Ñ ØÖ Ò A Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ ÙÑÑ Ò Ñ ¹ ÓÐÐ Ø Ò Ñ ØÖ Ò A Ð Ó Ò ÐÐ Ø ØÙÐÓ Ø ØØ Ù Ø Ò Ö Ú Ø Ö Ø ÓÒ ÓØ ØØÙ Ú Ò Ý Ð Ó ÂÓ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÙÓ Ó Ø ÙÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÚÙÐÐ Ò Ð Ñ Ò Ò ÓÒ ÝÚ Ò Ö Ø Ò Ð ÐÐÓ Ò Ò ÙÒ n ÓÒ Ô Ò ÂÓ n = 4 Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò det(a Ð Ñ ØÝØÝÝ ÙÑÑ Ø Ý Ø Ò 4! = 24 Ö Ô ÖÑÙØ Ø ÓÐ Ù ØØ ÂÓ Ø n = 5 Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò det(a Ð Ñ ØÝØÝÝ ÙÑÑ Ø Ý Ø Ò 5! = 120 Ö Ô Ö¹ ÑÙØ Ø ÓÐ Ù ØØ ÅÝ ÑÑ Ò ØÙÐÐ Ò ÙÓÑ Ñ Ò ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ Ô ¹ Ö ÑÔ ÒÓÔ ÑÔ Ø ÔÓ ÑÙÓ Ó Ø Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ù Ò Ð ÙÓÖ Ò ½
ÑÖ Ø ÐÑÒ ÚÙÐÐ Ë ÙÖ Ú Ð Ù ÓÒ Ý Ò ÖØ Ò Ò ÙÖ Ù Ø Ø ÑÖ ¹ Ø ÐÑ Ø Ä Ù ½¾ ÇÐ ÓÓÒ A M n n µ ÂÓ Ñ ØÖ A ÓÒ ÒÓÐÐ Ö Ú Ø ¹ Ö Ò Ò det(a = 0 µ ÂÓ A ÓÒ Ýй Ø Ð ÓÐÑ ÓÑ ØÖ Ò Ò det(a ÓÒ ÓÒ Ð Ð Ó Ò ØÙÐÓ ÌÓ ØÙ µ ÅÖ Ø ÐÑÒ ½¾¾ ÑÙ Ò det(a ÓÒ Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ò Ñ Ø¹ Ö Ò A Ð Ó Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓÐ Ù Ò ÙÑÑ ÃÙØ Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó¹ Ð Ù ØØ Ú Ø Ø ØØÝ Ñ Ö Ò( ÙÒ Ó Ø Ö Ú Ø Ö Ø ÓÒ ÓØ ØØÙ Ø ÑÐÐ Ò Ý Ð Ó ÌØ Ò Ó Ñ ØÖ A ÓÒ ÒÓÐÐ Ö Ú Ø ¹ Ö Ò Ò Ó Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ 1.22 ÑÙ Ò Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓÐ Ù ÓÒ ÒÓй Ð Æ ÒÔ det(a = 0 µ ÌÓ Ø Ø Ò Ú Ø Ð ÓÐÑ ÓÑ ØÖ ÐÐ ÌÓ ØÙ ÝÐ ÓÐÑ ÓÑ ØÖ ÐÐ Ñ Ò Ú Ø Ú Ø ÇÐ Ø Ø Ò ØØ A ÓÒ Ð ÓÐÑ ÓÑ ØÖ ÌÐÐ Ò A = a 11 0 0 0 a 21 a 22 0 0 a n1 a n2 a nn. ÌÓ Ø Ø Ò ØØ det(a = a 11 a 22 a nn ÌÑ ØÙÐÓ ÓÒ ÙÓÖ ÙÖ Ù Ñ¹ Ö Ø ÐÑ Ø 1.22 ÇÐ Ø Ø Ò ØØ σ S n ÂÓ σ(1 1 Ò Ò a 1σ(1 = 0 Ó A ÓÒ Ð ÓÐÑ ÓÑ ØÖ ÌØ Ò ÒÓ Ø ÑÖ Ø ÐÑÒ 1.22 Ô ÖÑÙØ Ø ÓÐ Ù ¹ Ø ÓØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ö ÙÙÖ Ù Ò ÒÓÐÐ ÓÚ Ø Ò Ó σ(1 = 1 ÆÝØ Ó σ(1 = 1 Ò Ò σ(2 1 ÂÓ σ(2 > 2 Ò Ò a 2σ(2 = 0 Ó A ÓÒ Ð ÓÐÑ Ó¹ Ñ ØÖ Æ Ò ÓÐÐ Ò ÒÓ Ø ÒÓÐÐ Ø ÖÓ Ú Ø Ô ÖÑÙØ Ø ÓÐ Ù Ø ÓÚ Ø Ò Ó σ(1 = 1 σ(2 = 2 Â Ø Ñ ÐÐ Ú Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ø ÒÔ Ò ÙÓ¹ Ñ Ø Ò ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ ÒÓ Ø Ò Ý ÒÓÐÐ Ø ÖÓ Ú Ô ÖÑÙØ Ø ÓÐ Ù ¹ Ò Ñ ØØ Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓÐ Ù Ó Ú Ø ÒØØ Ø ÙÚ Ù Ø I Æ ÒÔ det A = a 11 a 22 a nn ÇÒ ÝÝØ ÓÖÓ Ø Ö Ø Ð Ù Ò 1.24 µ¹ Ó Ò Ö Ó Ø Ô Ù Ø Å Ö ¹ ØÒ ØØ (d 1,...d n ÓÒ n n¹ ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ó Ð Ó (i, i ÓÒ d i ½
ÐÐ i = 1,...,n Æ Ò ÓÐÐ Ò (d 1,...,d n = d 1 0 0 0 0 d 2 0 0 0 0 d n. Ä Ù Ø ½¾ ÙÖ ØØ det( (d 1,..., d n = d 1 d 2 d n Ñ Ö ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ det(i = 1 Ò ÙÒ n 1 Ë ÙÖ Ú Ð Ù Ó Ó ØØ ØØ det(a ÓÒ Ö Ú Ò Ù Ø Ò ÑÙÐØ Ð Ò Ö Ò Ò n¹ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÇÐ ÓÓÒ A = (a ij M n n ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ñ ØÖ ÐÐ A ÓÒ Ö Ú Ó ØÙ A = Ì R i = [a i1, a i2,...,a in ] M 1 n ÐÐ 1,...,n Å ØÖ A ÚÓ Ò ÑÝ Ó ØØ Ö Ú Ò Ò ØØ A = (R 1 ;...; R n Ñ ÔÙÓÐ Ô Ø Ø ÓÚ Ø Ô Ð Ù Ò Ø ÑÙ ØÙØØ Ñ Ø ØØ R 1,...,R n ÓÚ Ø Ñ ØÖ Ò A Ö Ú ¹ Å ØÖ A ÚÓ Ò ÒÝØ Ö Ó ØØ A = R 1 R 2 R n R 1 R 2 R n. = (R 1; R 2...;R n. Ø ØÒ ØØ Ò ÐÐ Ñ Ò ØØÙ Ð Ù Ø ÖÑ Ò ÒØ Ø Ä Ù ½¾ ÇÐ ÓÓÒ A = (a ij = (R 1 ;...;R n M n n µ ÌÐÐ Ò Ó Ø x F Ó Ø ÐÐ i = 1,..., n det((r 1 ;...;R i 1 ; xr i ; R i+1 ;...;R n = x det(a. µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÓÐÐ Ò i {1,..., n} R i = b + c ÙÒ b, c M 1 n ÌÐÐ Ò det(a = det((r 1 ;...;R i 1 ; b; R i+1 ;...;R n + det((r 1 ;...;R i 1 ; c; R i+1 ;...;R n. ½
ÌÓ ØÙ ÅÓÐ ÑÑ Ø Ð Ù Ò ½¾ Ó Ø ÙÖ Ú Ø ÙÓÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø µ Ì ØÒ ØØ Æ ÒÔ a 11 a 12 a 1n (R 1 ;...;R i 1 ; xr i ; R i+1 ;...;R n = xa i1 xa i2 xa in. a n1 a n2 a nn det((r 1 ;...;R i 1 ; xr i ; R i+1 ;...;R n = σ S n sgn(σa 1σ(1 a (i 1σ(i 1 (xa iσ(i a (i+1σ(i+1 a nσ(n = x σ S n sgn(σa 1σ(1 a 2σ(2 a nσ(n = x det(a. µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ó Ò Ñ ØÖ Ò A Ö Ú R i ÓÒ Ò Ö Ú Ú ØÓÖ Ò b c ÙÑÑ ÙÒ b, c M 1 n ÇÐ ÓÓÒ b = (b 1,...,b n c = (c 1,..., c n ÌÐÐ Ò R i = (a i1,...,a in = b + c = (b 1 + c 1,...,b n + c n a 11 a 12 a 1n A = b 1 + c 1 b 2 + c 2 b n + c n. a n1 a n2 a nn ½
Æ ÒÔ det(a = σ S n sgn(σa 1σ(1 a 2σ(2 a nσ(n = σ S n sgn(σa 1σ(1 a i 1σ(i 1 (b σ(i + c σ(i a (i+1σ(i+1 a nσ(n = σ S n sgn(σa 1σ(1 a i 1σ(i 1 b σ(i a (i+1σ(i+1 a nσ(n + σ S n sgn(σa 1σ(1 a i 1σ(i 1 c σ(i a (i+1σ(i+1 a nσ(n = det((r 1 ;...;R i 1 ; b; R i+1 ;...;R n + det((r 1 ;...; R i 1 ; c; R i+1 ;...;R n. ÃÙÒ Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ø Ö Ú i ÐÙ ÙÙÒ ÓØØ Ñ ØØ ÒÒ Ø ØÒ Ð Ù Ø ½¾ ÙÖ ØØ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ò i Ù Ø Ò ÅÙÐØ Ð Ò Ö n¹ð Ò Ö ÙÒ Ø Ó ÙØ ÙØ Ò n Ò ÑÙÙØØÙ¹ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø Ð Ò Ö ÙÒ Ø Ó Ø Ó Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ù Ø Ò Ò ÙÒ ÐÓÔÙØ ÑÙÙØØÙ Ø ÓÚ Ø ÒÒ Ø ØØÝ Ø ÖÑ Ò ÒØØ det((r 1 ;...;R n ÓÒ ØÝÝÔ ÐÐ Ò Ò Ñ Ö ÑÙÐØ Ð Ò Ö Ø ÙÒ Ø Ó Ø Ñ Ö ½¾ ÇÐ ÓÓÒ A = ( 3 11 4 5. ÌÐÐ Ò det(a = 3 5 4 11 = 59 ÌÓ ÐØ ( ( 3 11 2 3 + 3 1 2 ( 1 + 3 3 = 4 5 4 5. ÆÝØ Ð Ù Ø ½¾ ÙÖ ØØ ( 6 2 59 = det(a = det 4 5 ( 3 1 = 2 det + 3 det 4 5 ( 3 9 + det 4 5 ( 1 3 4 5 = 2 19 + 3 ( 7. ½
Ä Ù ØØ ½¾ ØÙÐ Ø ÚÖ Ò Ä Ù Ø Ö Ó Ø ØØ ÙÒ Ø Ó det( : M n n F ÓÐ Ð Ò Ö Ò Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó Æ Ñ ØØ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ det( ÐÝØ Ý ¹ Ø ÒÐ Ù Ð Ö ÐÐ ÖØÓÑ Ø Ä Ù ½¾ ÇÐ ÓÓÒ A = (a ij = (R 1 ;...;R n M n n ÂÓ R i = R j Ó ÐÐ Ò ÖÚÓ ÐÐ i j Ò Ò det(a = 0 ÌÓ ØÙ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ R i = R j Ó ÐÐ Ò ÖÚÓ ÐÐ i j ÙÒ 1 i < j n Å ØÖ Ò A Ø ÖÑ Ò ÒØØ det(a = σ S n sgn(σa 1σ(1 a iσ(i a jσ(j a nσ(n. ½ µ È Ø Ó Ó ØØ ØØ Ý ØÐ Ò ½ µ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÐ Ù Ò ÙÑÑ ÓÒ ÒÓÐÐ ÌÝØÝÝ Ó Ó ØØ ØØ Ý ØÐ ½ µ Ó Ø Ô ÖÑÙØ Ø ÓÐ Ù ØØ Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ Ñ Ö Ò( Ú ÐÐ Ø ÑÐÐ Ò Ñ ÒÐ Ò Ò Ó Ò ØÓ Ò Ò Ô ÖÑÙ¹ Ø Ø ÓÐ Ù Ã ÒÒ Ø ØÒ σ S n ÓÐ ÓÓÒ τ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó τ = (σ(i, σ(j ÌÐÐ Ò τσ S n Ã Ø ÐÐÒ Ý ØÐ Ò ½ µ Ø Ô ÖÑÙØ Ø ÓÐ Ù ØØ Ò(σa 1σ(1 a iσ(i a jσ(j a nσ(n Ò(τσa 1τσ(1 a iτσ(i a jτσ(j a nτσ(n. ½ µ ½ µ ÃÓ R i = R j Ò Ò a iτσ(i = a iσ(j = a jσ(j a jτσ(j = a jσ(i = a iσ(i Æ ÒÔ ÓØ Ò Ö Ø Ø Ø Ú Ö Ú ÐÐ ½ µ ½ µ ÓÚ Ø ÑÓ ÂÓ p (n \ {i, j} Ò Ò τσ(p = σ(p Ó τ Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò σ(i σ(j ÎÓ Ò ÔØ ÐÐ ØØ a 1σ(1 a iσ(i a jσ(j a nσ(n = a 1τσ(1 a iτσ(i a jτσ(j a nτσ(n. ÃÓ τ ÓÒ ØÖ Ò ÔÓ Ø Ó Ò Ò Ò(τσ = Ò(σ Æ ÒÔ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÐ Ù ¹ Ø Ú Ö Ú ÐÐ ½ µ ½ µ ÙÑÓ Ú Ø ØÓ Ò ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ò ØØ ζ ÓÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ó ÓÙ Ó S n \ {σ, τσ} ÆÝØ ÙÓ¹ Ñ Ø Ò ØØ Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ζ (ζ(i, ζ(jζ Ò Ø ÖÓ Ú Ø Ú Ö Ú ÐÐ ½ µ ½ µ Ø ØØÝ Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò Ò Ø Ë ØØ Ò ØÒ Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÙÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò σ τσ Ø Ô Ù ÃÙÒ ρ = (ζ(i, ζ(j Ò Ò Ò ØØ Ò(ρζa 1ρζ(1 a iρζ(i a jρζ(j a nρζ(n ¾¼
ÙÑÓ Ð Ù Ò Ò(ζa 1ζ(1 a iζ(i a jζ(j a nζ(n. Î Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ø ØÒ ÐÓÔÙØ n! 4 Ô ÖÑÙØ Ø ÓØ ÙÒÒ ÓÒ ÝØÝ ÐÔ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÐ Ù Ô Ö Ø ÓØ ÙÑÓ Ú Ø ØÓ Ò Ë Ú Ø Ô Ø Ô Ò ÇÒ ÝÝØ ÐÐ Ú Ú Ø ØØ Ð Ù Ò ½¾ ½¾ ÓØ Ý Ò Ò ¹ ØØ det(i = 1 Ö Ø Ö Ó Ú Ø Ý ØØ Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÌÑ Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ó f : M n n F ÓÒ ÙÒ Ø Ó Ó ØÓØ ÙØØ Ð Ù Ò ½¾ ½¾ ÓØ f(i = 1 Ò Ò f(a = det(a ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ A M n n Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÓÑ Ò ÙÙ ÚÓ Ò Ó Ø Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ò Ø ÖÑ ¹ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÚÙÐÐ Ñ Ö ½ ½ ¼¹½ Ë Ò Ò ØØ Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ò Ð ØØÝÚ ØÙÐÓ Ó ØØ Ò Ô ÖÑÙØ Ø Ó Ò ÚÙÐÐ ÐÙ¹ ÚÙ ¾ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÐÑ Ò ÓÓÑ Ò ÚÙÐÐ ØÙÐÐ Ò ÙÓ¹ Ñ Ñ Ò ØØ ØÐÐ Ø Ú ÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ Ú Ú Ð ÒØØ Ô ÖÑÙ¹ Ø Ø Ú Ø ÑÖ Ø ÐÐÝÒ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ò ÐÐ Ñ Ò ØÙÒ Ð ÐÙÚÙ ¾ Ø ÐÐÒ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÓÑ Ò ÙÙ ÓÑ ØØ Ø Ð Ø Ó Ø ¾ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÓÑ ØØ Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ì ÐÙÚÙ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÓÑ ØØ Ø 2 2¹ n n¹ Ñ ØÖ ÐÐ Ä Ó Ø Ò ØÙÐÓ Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÃÙÒ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ n n¹ñ ØÖ Ò Ð ÓØ ÙÙÐÙÚ Ø ÙÒØ Ò F ÙÒ n 2 Ò Ò ØÐÐ n n¹ñ ØÖ ÐÐ ÚÓ Ò Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ð Ö ÓÐÑ Ò ÓÓÑ Ò ÓÐ ¹ ØÙ Ø µ ÓØ ÙØ ÙØ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ ÄÙ ÚÓ ÝÑÑÖØ Ô Ö ÑÑ Ò Ñ Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÓÑ ØØ ÐÐ ÑÖ Ø ÐÑÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÙÒ Ø Ð¹ ÐÒ Ò Ò Ö Ó Ø Ô Ù Ò 2 2¹Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÓÑ ØØ Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ ØÙØ Ø Ò Ò ÓÑ ØÖ Ø ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÑÑ Ð ÐÙÚÙ ÑÖ Ø ÐÐÒ ØØ Ø Ø ØÒ ÐÐ Ø Ò Ð Ù Ò ØÙÐÓ Ó Ø Ø ÖÚ Ø Ò Ð ÐÙÚÙ ¾ ¹¾ ÐÐ ØÓ Ò Ñ Ò Ø Ø ÐÙÚÙ ÙÖ Ø Ò Ø Ó Ø ½ ½¹¾¼¼ ¾½ Î ÐÑ Ø Ð Ú Ø Ö Ø ÐÙ Ì ÐÙÚÙ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ð ÑÙÙÒÒÓ Ø Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ Ø Ø ØÒ ØÖ Ø Ñ ØÖ Ò Ø Ò Ð ØØÝÚ ØÙÐÓ Ó Ø Ø ÖÚ Ø Ò ÙÒ ¾½
ØÓ Ø Ø Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ò Ð ØØÝÚ Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑØ ¾½ ¾¾ Ð ÝØÝÚØ Ö Ø ¾ ½ ¼ ÅÖ Ø ÐÑ ¾½ Å ØÖ ÐÐ A ÓÒ ÓÐÑ Ö Ð Ø Ð ÑÙÙÒÒÓ Ø ½ ÙÒ Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ú Ø Ò ÒÒ ¾ ÙÒ Ñ ØÖ Ò A Ó Ò Ö Ú ÖÖÓØ Ò ÒÓÐÐ Ø ÖÓ Ú ÐÐ Ú ÓÐÐ ÙÒ Ó Ò Ñ ØÖ Ò A Ú ÓÐÐ ÖÖÓØØÙ Ö Ú Ð ØÒ Ó ÓÒ Ò ØÓ Ò Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ò ÅÖ Ø ÐÑ ¾¾ n n¹ñ ØÖ E ÙØ ÙØ Ò Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ Ó ÓÒ ØÙ Ý ÐÐ Ð ÑÙÙÒÒÓ ÐÐ n n¹ ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ Ø I ÅÖ Ø ÐÑ ¾ Å ØÖ Ò A Ø Ö Ò (A ÓÒ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ö Ô¹ ÔÙÑ ØØÓÑ Ò Ö Ú Ò ÐÙ ÙÑÖ ÎÓ Ò Ó Ó ØØ Ñ ¾ ½ µ ØØ Ý ØÔ ØÚ ÑÖ Ø ÐÑ ¹ Ò Ø Ö Ø Ð Ñ ÐÐ Ö Ò ÐÙ ÙÑÖ Ä Ù ¾ ÇÐ ÓÓÒ A M n n ÌÐÐ Ò ÌÓ ØÙ Ã ½ rank(a t = rank(a. Ä Ù ¾ ÂÓ Ò Ò ÒØÝÚ Ñ ØÖ A ÓÒ Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ Ò ØÙÐÓ ÌÓ ØÙ Ã ½ A = E m E m 1 E 1. Ä Ù ¾ ÇÐ ÓÓØ A B ÐÐ Ñ ØÖ ØØ Ò Ò ØÙÐÓ AB ÓÒ Ñ¹ Ö Ø ÐØÝ ÌÐÐ Ò ÌÓ ØÙ Ã ½ ¹½ ¼ rank(ab rank(a rank(ab rank(b. Ä Ù ¾ Å ØÖ A M n n ÓÒ ÒØÝÚ Ó Ú Ò Ó rank(a = n ÌÓ ØÙ Ã ½ ¾ Ä Ù ¾ ÇÐ ÓÓÒ Ax = b Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ó ÓÒ n Ý ØÐ n ÑÙÙØØÙ ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ A ÓÒ ÒØÝÚ Ó Ú Ò Ó Ý ØÐ ÖÝ ÑÐÐ Ax = b ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù x = A 1 b. ÌÓ ØÙ Ã ½ ¾ ¾¾
¾¾ ¾¾½ ÓÑ ØØ Ò Ò 2 2¹Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ 2 2¹Ñ ØÖ ÐÐ ÅÖ Ø ÐÑ ¾ ÇÐ ÓÓÒ A = (a ij M 2 2 ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ Ò A Ø ÖÑ ¹ Ò ÒØØ det(a = a 11 a 22 a 12 a 21 Ã Ö Ó Ø Ø Ò Ñ ØÖ A Ö Ú ØØ Ò Ñ Ö ØÒ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ A = det ( A(1 A (2 ( A(1 A (2 Ä Ù ¾½¼ ÇÐ ÓÓÒ A M 2 2 ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ Ò A Ø ÖÑ Ò ÒØØ ØÓØ ÙØØ ÙÖ Ú Ø ÓØ µ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÑÓÐ ÑÔ Ò Ö Ú Ò Ù Ø Ò Ò ÙÒ ØÓ Ò Ò Ö Ú ÓÒ ÒÒ Ø ØØÝ ÌÑ Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ ( ( ( ca(1 + A (1 A(1 A det = c det + det (1 A (2 A (2 A (2,. ( A (1 det ca (2 + A = c det (2 ÐÐ ÙÒÒ Ò F Ð Ö ÐÐ c ( A(1 A (2 + det ( A(1 A (2 µ ÂÓ Ñ ØÖ Ò A M 2 2 Ö Ú Ø ÓÚ Ø ÒØØ Ø Ò Ò det(a = 0 µ ÂÓ I ÓÒ 2 2¹ ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ Ò Ò det(i = 1 ÌÓ ØÙ ÃÝØ ØÒ Ù ÙÒ Ò Ó Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑ ¾ ¾
µ ÇÐ ÓÓØ A (1 = ( a 11 Ð Ò a 12, A (1 = ( a 11 a 12 A(2 = ( a 21 a 22 Ìй det ( ca(1 + A (1 A (2 = det ( ca11 + a 11 ca 12 + a 12 a 21 a 22 = (ca 11 + a 11 a 22 (ca 12 + a 12 a 21 = c(a 11 a 22 a 12 a 21 + (a 11 a 22 a 12 a 21 ( ( a11 a = c det 12 a + det 11 a 12 a 21 a 22 a 21 a 22 ( ( A(1 A = c det + det (1. A (2 A (2 Ë Ñ ÒÐ ÐÐ ÔØØ ÐÝÐÐ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÑÝ ØÓ Ò Ö Ú Ò Ù Ø Ò µ ÂÓ Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ø ÓÚ Ø ÒØØ Ø Ò Ò ( a11 a A = 12. a 11 a 12 Æ ÒÔ det(a = a 11 a 12 a 12 a 11 = 0 µ ÃÓ ( 1 0 I =, 0 1 Ò Ò det(i = 1 1 0 0 = 1 Ë ÙÖ Ú Ð Ù Ó Ó ØØ ØØ Ð Ù Ò ¾½¼ ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ö Ø Ö Ó Ú Ø Ý ØØ Ø ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÝÒ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ä Ù ¾½½ ÇÐ ÓÓÒ δ : M 2 2 F Ñ Ø Ò ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ ÓÒ ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø µ δ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÑÓÐ ÑÔ Ò Ö Ú Ò Ù Ø Ò Ò ÙÒ ØÓ Ò Ò Ö Ú ÓÒ ÒÒ Ø ØØÝ µ Ó Ñ ØÖ Ò A M 2 2 Ö Ú Ø ÓÚ Ø ÒØØ Ø Ò Ò δ(a = 0 µ Ó I ÓÒ 2 2¹ ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ Ò Ò δ(i = 1 ÌÐÐ Ò δ = det ÌÓ Ò ÒÓ Ò δ(a = a 11 a 22 a 12 a 21 Ò ÙÒ A M 2 2 ¾
ÌÓ ØÙ ÇÐ ÓÓÒ I 2 2¹ ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ ÓÐ ÓÓØ ( ( ( 1 0 0 1 0 1 M 1 =, M 1 0 2 = M 0 1 3 =. 1 0 ÆÝØ ÓÒ µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ(m 1 = δ(m 2 = 0 ÌÓ Ø Ø Ò Ò Ò ØØ δ(m 3 = 1 ÆÝØ ÝØØÑÐÐ ØÓ µ µ ÖØ ØÓ µ ÖÖ Ò Ò ØØ ( ( 1 1 1 + 0 0 + 1 0 = δ = δ 1 1 1 1 ( ( 1 0 0 1 = δ + δ 1 1 1 1 ( ( 1 0 0 1 = δ + δ = δ 0 + 1 1 + 0 ( 1 0 + δ 0 1 ( 1 0 1 0 0 + 1 1 + 0 ( 0 1 + δ + δ 0 1 = δ(i + δ(m 1 + δ(m 2 + δ(m 3 = 1 + 0 + 0 + δ(m 3. ( 0 1 1 0 Æ ÒÔ δ(m 3 = 1 ÌÓ ÐØ Ó δ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÑÓÐ ÑÔ Ò Ö Ú Ò Ù Ø Ò Ò ÙÒ ØÓ ¹ Ò Ò Ö Ú ÓÒ ÒÒ Ø ØØÝ Ò Ò ( ( a11 0 a11 1 0 δ = δ 0 a 22 0 a 22 ( 1 0 = a 11 δ = a 0 a 11 a 22 δ 22 Î Ø Ú ÒÐ ÐÐ ÔØØ ÐÝÐÐ Ò ( ( a11 0 1 0 δ = a a 21 0 11 a 21 δ 1 0 ( 1 0 = a 11 δ 0 a 22 ( 1 0 0 1. ( 0 a12 δ = a 0 a 12 a 22 δ 22 ( 0 0 + δ 0 a 22 ( 0 1 0 1 δ ( 0 a12 = a a 21 0 12 a 21 δ ( 0 1. 1 0 ¾
ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ A 2 2¹Ñ ØÖ ÓÒ Ð ÓØ ÓÚ Ø Ñ Ð Ú ÐØ ÙÒÒ Ò F Ð Ó Ø ÌÐÐ Ò Ó Ø Ò µ µ µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ( ( a11 a δ(a = δ 12 a11 + 0 0 + a = δ 12 a 21 a 22 a 21 a 22 ( ( a11 0 0 a12 = δ + δ a 21 a 22 a 21 a 22 ( ( a11 0 0 a12 = δ + δ 0 + a 21 a 22 + 0 0 + a 21 a 22 + 0 ( ( ( ( a11 0 a11 0 0 a12 0 a12 = δ + δ + δ + δ 0 a 22 a 21 0 0 a 22 a 21 0 ( ( ( ( 1 0 1 0 0 1 0 1 = a 11 a 22 δ + a 0 1 11 a 21 δ + a 1 0 12 a 22 δ a 0 1 12 a 21 δ 1 0 = a 11 a 22 δ(i + a 11 a 21 δ(m 1 + a 12 a 22 δ(m 2 + a 12 a 21 δ(m 3 = a 11 a 22 (1 + a 11 a 21 (0 + a 12 a 22 (0 + a 12 a 21 ( 1 = a 11 a 22 a 12 a 21 = det(a. Æ ÒÔ δ = det ¾¾¾ ËÙÙÒÒ Ò Ð Ì Ö Ø ÐÐ Ò ØØ Ò 2 2¹Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÓÑ ØÖ Ø ØÙÐ ÒØ ÌÙй Ð Ò ÙÓÑ Ñ Ò ØØ Ø ØÝÐÐ Ø Ö ÙÙ ÐÐ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ØÙÑ Ö Ø ÚÓ ¹ Ò ÔØ ÐÐ Ñ Ø Ò ÙÙÒÒ ÓÒ Ó ØØÙÒÙØ Ø Ó ÓÓÖ Ò Ø ØÓÓÒ Ä Ö Ò Ú ØÓÖ Ò ÚÐ Ò Ò ÙÐÑ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÔÑÖ Ø ÙÓÐ Ñ ØØÓÑ Ø Ã Ò Ú ØÓÖ Ò ÚÐ Ò Ò ÙÐÑ θ ÑÖ Ø ÐÐÒ ØÙÐÓÒ ÚÙÐÐ ¾ ¾½ ÌÐÐ Ò 0 θ π Ã Ø ÐÐÒ Ø Ð ÐÙÚÙ ÐÐ Ú ØÓÖ Ø ÓØ Ú Ø Ð ÙÒ ÓÖ Ó Ø Ã Ø ÐÐÒ Ö Ø ØØÝ ÒØ β = {, v} Ú ÖÙÙ R 2 Ñ = (a 1, a 2 v = (b 1, b 2 Å Ö ØÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ( det v Ð Ö ÐÐ ( a1 a det 2, b 1 b 2 ¾
ÑÖ Ø ÐÐÒ ØØ Ö Ø ØÝÒ ÒÒ Ò β Ö Ð ÖÚÓ Ò Ò ÙÙÒÒ ØÙ Ò Ð ÓÖ ÒØ Ø ÓÒµ ( ( det v O = (. ½ µ v det v ÃÓ Ú ØÓÖ Ø v ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ú ÖÙÙ Ò R 2 ÒÒ Ò Ý ØÐ Ò ½ µ Ó ¹ ÒÔÙÓÐ Ò Ø ÖÑ Ò Ó ÑÖÒ Ò Ñ ØØ ÓÒ Ö ÙÙÖ Ù Ò ÒÓÐÐ Æ ÒÔ Ð¹ Ú Ø ( O = ±1. v ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ O ( e1 e 2 ( e1 = 1 O = 1, e 2 ÙÒ e 1 ÓÒ ÒØ Ú ØÓÖ ( 1 0 e 2 ÒØ Ú ØÓÖ ( 0 1 ÅÖ Ø ÐÑ ¾½¾ ÃÓÓÖ Ò Ø ØÓ {, v} ÓÒ Ó Ø Ò Ò Ó ( O = 1. v ÅÖ Ø ÐÑ ¾½ ÃÓÓÖ Ò Ø ØÓ {, v} ÓÒ Ú Ò Ø Ò Ò Ó ( O = 1. v ÃÙÚ Ø ½ ¾ Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ú Ø ÑÖ Ø ÐÑ ¾½¾ ¾½ ÆÝØ Ñ Ø Ò Ö Ø ØØÝ ÓÙ Ó {, v} Ú ÖÙÙ R 2 ÑÖ ØØ Ð ÙÙÒÒ Ò Ð Ò ÙÖ Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÃÙÒ Ú ØÓÖ Ø v Ð Ú Ø ÓÖ Ó Ø Ø Ó R 2 Ò Ò v ÑÖÚØ ÙÙÒÒ Ò Ó Ò ÓÚ Ø ÙÙÒÒ Ò Ú Ö Ø ÚÙØ ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ Ó ÓÙ Ó {, v} ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö Ô¹ ÔÙÚ ØÓ Ò ÒÓ Ò Ó v ÓÚ Ø Ñ Ò ÙÙÒØ Ò Ò Ò Ò ÑÖÑ ÙÙÒÒ ÓÒ ÙÓÖ ÓÒ Ð ÓÒ ÒÓÐÐ ËÓÚ Ø Ò ØØ Ó ÓÙ Ó {, v} ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚ Ò Ò ( O = 1. v ¾
y v x ÃÙÚ ½ Ç Ø Ò Ò ÓÓÖ Ò Ø ØÓ y v x ÃÙÚ ¾ Î Ò Ø Ò Ò ÓÓÖ Ò Ø ØÓ Î ØÓÖ Ò v ÑÖÑÒ ÙÙÒÒ Ò Ð Ò ( A v Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò det ( v ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ñ Ð Ò ÒØÓ Ò Ò Ý Ø Ý ÓØ ÙÖ Ú ØÙØ Ø Ò Ò ÓÒ Ù ¹ Ø Ò Ò ÝÝØ ÙÓÑ Ø ØØ Ó Ø ÖÑ Ò ÒØØ ( det v ¾
ÚÓ ÓÐÐ ÑÝ Ò Ø Ú Ò Ò Ò Ò ÓÐ ÝÐ Ø ÚÓ Ñ ØØ ( ( A = det. v v ÅÙØØ Ó Ó Ø Ø Ò ØØ A ( = O v ( det v (, v Ó Ø ÙÖ ØØ ØÐ Ò A A ( = v ( = O v ( v det. ( det v ( v ½ µ ØÓ Ø Ñ Ø ØÒ ÓÔ Ú Ñ Ò ØØ ÐÝØ Ô Ó ÚÓ Ò ÝÐ Ø Ô¹ ÙÓÖ Ø ÑÝ Ú ÖÙÙØ Ò R n ÆÝØ Ó ( O = ±1 0, v Ò Ò Ý ØÐ Ò ½ µ ÑÓÐ ÑÑ Ø ÔÙÓÐ Ø ÚÓ Ò ÖØÓ ÙÙÒÒ ØÙ ÐÐ ( O, v ÓÐÐÓ Ò Ò Ý ØÐ Ò ½ µ Ò Ú Ú Ð ÒØØ Ò Ò ÑÙÓØÓ ( ( ( O A = det. ½ µ v v v ÌÓ Ø Ø Ò ØØ Ò ØØ ÙÒ Ø Ó ( δ = O v ( A v ( v ØÓØ ÙØØ Ð Ù Ò ¾½½ ÓØ µ ÐÓ Ø Ø Ò ØÓ ØÙ Ó Ó ØØ Ñ ÐÐ ØØ ( ( δ = λ. λv v ¾
h v Λv ÃÙÚ ËÙÙÒÒ Ò Ð Ò Ö ÔÔÙÚÙÙ ÒØ ÚÙ Ø ÓÖ Ù Ø ÇÐ Ø Ø Ò ØØ λ 0 ÃÓ ÙÙÒÒ Ò ÓÖ Ù h ÙÚ µ ÔÝ ÝÝ Ñ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØ Ø ÑÖÚØ v Ú λv ÙÙÒÒ Ò Ð Ò Ò Ò Ò A ( λv Æ ÒÔ ÒÝØ ( δ λv = kantasiv korkes = λ v h = λ A ( = O λv ( = λ O v ( A = λv ( A v [ ( λ λ O v = λ δ Î Ø Ú ÒÐ Ò Ò ÔØØ ÐÝ Ó Ó ØØ ØØ ( λ δ = λ δ v Ç Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú ØØ ( δ = b δ a + bw ][ λ A (. v ( ] v ( v. ½ µ (. v ( w ¾¼µ Ò ÙÒ Ú ØÓÖ Ø, w R 2 Ò ÙÒ a, b R ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ Ó Ú ØÓÖ Ò w Ú ØÓÖ Ò +w ÑÖÑ ÐÐ ÙÙÒÒ ÐÐ ÓÒ Ñ ÒØ ÚÙ ÓÖ Ù Ò Ò A ( w = A ¼ (. + w
ÃÙÚ Ú ÒÒÓÐÐ Ø ÐÐ Ø ØÙÐÓ Ø ÂÓ a = 0 Ò Ò w w ÃÙÚ Î ØÓÖ Ò w Ú ØÓÖ Ò + w ÑÖÑØ ÙÙÒ¹ Ò Ò Ð Ø ( δ a + bw ( = δ = b δ bw Ý ØÐ Ø ÙÒ ½ µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÂÓ a 0 Ò Ò ( ( δ = a δ a + bw + b w = a δ a ( w ( b w = b δ a (. w Æ Ò ÓÐÐ Ò Ý ØÐ ¾¼µ ÔØ ÑÓÐ ÑÑ Ø Ô Ù Ç Ó Ø Ø Ò ØØ Ò ØØ Ð Ù Ò ¾½¼ Ò ÑÑ Ò Ò ØÓ ØÝØÝÝ ØÓ Ò ¹ ÒÓ Ò ( ( ( δ = c δ + δ cv 1 + v 2 v 1 v 2 Ò ÙÒ, v 1, v 2 R 2 ÀÙÓÑ ÙØ Ø Ò ØØ Ð Ö Ò ØÓ ØÙ ÓÐ Ð Ò Ò ÑÙ Ò Ð Ö ÃÓ Ý ØÐ ØÓØ ÙØÙÙ ÐÚ Ø ÙÒ = 0 Ò Ò ÓÐ Ø Ø Ò ØØ 0 Î Ð Ø Ò Ñ Ø Ò ÐÐ Ò Ò Ú ØÓÖ w ØØ ÓÙ Ó {, w} ÓÒ Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ ÌÐÐ Ò Ó Ø Ú ØÓÖ v 1, v 2 R 2 Ó Ø ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø Ð Ö Ø a i b i ØØ v i = a i +b i w ÙÒ i = 1, 2 ÆÝØ ( ( δ cv 1 + v 2 ( = c δ ( = δ a 1 + b 1 w = (cb (ca 1 + a 2 + (cb 1 + b 2 w 1 + b 2 δ ( ( ( + δ = c δ + δ a 2 + b 2 w v 1 v 2 w. ½
Î Ø Ú ÒÐ Ò Ò ÔØØ ÐÝ Ó Ó ØØ ØØ ( c1 + δ 2 = c δ v Ò ÙÒ 1, 2, v R 2 µ ÃÓ A Ò ÙÒ R 2 µ ÆÝØ ( = 0, Ò Ò δ δ ( e1 e 2 = O ( e1 ( = O e 2 A ( 1 + δ v ( e1 e 2 ( A ( 2 v ( = 0 = 1 1 = 1. ÆÝØ ÙÒ Ø Ó δ ØÓØ ÙØØ Ð Ù Ò ¾½¼ ÓØ Ò Ò ÓÐÐ Ò δ = det Æ ÒÔ Ú ØÓÖ Ò v ÑÖÑÒ ÙÙÒÒ Ò Ð ÓÒ ( ( O det. v v Ñ Ö ¾½ Î ØÓÖ Ò = ( 10, 5 v = (4, 2 ÑÖÑÒ ÙÙÒ¹ Ò Ò Ð ( ( v det = 10 5 det = 40 = 40. 4 2 ¾
ÃÙÚ Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ñ Ö ¾½ y 7 6 5 4 10,5 3 2 1 v 4,2-10 -7.5-5 -2.5 2.5 5 x ÃÙÚ ËÙÙÒÒ Ò Ð ÙÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ Ò Ø Ú Ò Ò Ñ Ö ¾½ Î ØÓÖ Ò = ( 5, 7 v = (8, 2 ÑÖÑÒ ÙÙÒ¹ Ò Ò Ð ( ( det = 5 7 v det = 46 = 46. 8 2 ÃÙÚ Ú ÒÒÓÐÐ Ø Ñ Ö ¾½ y 4 v 8,2 2-10 -7.5-5 -2.5 2.5 5 7.5-2 5, 7-4 -6-8 -10 x ÃÙÚ ËÙÙÒÒ Ò Ð ÙÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò ¾ ÓÑ ØØ Ò Ò n n¹ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ä Ù ¾½½ 2 2¹Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ö Ø Ö Ó Ø Ò ÓÐÑ Ò ÓÒ ÚÙÐÐ Ì ÐÙÚÙ ØÙÐÐ Ò ÑÖ ØØ Ð ÑÒ n n¹ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ
ÓÐÐ ÔØ ÚØ ÒÑ Ñ Ø ÓØ ÅÖ Ø ÐÑ ¾½ ÙÒ Ø ÓÒ δ : M n n F ÒÓØ Ò ÓÐ Ú Ò n¹ð Ò Ö Ò Ò Ó δ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò Ó Ò n n¹ñ ØÖ Ò Ö Ú Ò Ù Ø Ò Ò ÙÒ ÐÓÔÙØ n 1 Ö Ú ÓÒ ÒÒ Ø ØØÝ ÌÑ Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ A (1 δ ca (i + A (i = c δ A (n A (1 A (i A (n + δ A (1 A (i A (n ÐÐ i = 1, 2,..., n Ò ÙÒ ÙÙÐÙÙ ÓÙ ÓÓÒ M n n A (1 ca (i + A (i A (n Ñ Ö ¾½ Ð ÝØÝÝ Ð Ø Ó Ø Ñ Ö ¾½ Ä Ù ¾½¼ Ó Ó ØØ ØØ ÙÒ Ø Ó det : M 2 2 F ÓÒ 2¹ Ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ det(a = a 11 a 22 a 12 a 21 Ä Ù ¾½ Ã Ò n¹ð Ò Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ó ÓÒ n¹ð Ò ¹ Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÌÓ ØÙ ÇÐ ÓÓØ δ 1 δ 2 n¹ð Ò Ö ÙÒ Ø Ó Ø a b Ð Ö ÂÓ δ
ÓÒ Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ó aδ 1 + bδ 2 Ò Ò δ A (1 ca (i + A (i A (n = a δ 1 A (1 ca (i + A (i A (n + b δ 2 A (1 ca (i + A (i A (n = a c δ 1 A (1 A (i A (n + δ 1 A (1 A (i A (n + b c δ 2 A (1 A (i A (n + δ 2 A (1 A (i A (n = c a δ 1 A (1 A (i A (n + b δ 2 A (1 A (i A (n + a δ 1 A (1 A (i A (n + b δ 2 A (1 A (i A (n = c δ A (1 A (i A (n + δ A (1 A (i A (n ÐÐ i ÙÒ 1 i n Æ ÒÔ δ ÓÒ n¹ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ú Ø Ô Ø Ô Ò ÅÖ Ø ÐÑ ¾½ ÃÙÒ n = 1 Ò Ò 1¹Ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó δ ÓÒ ÐØ ÖÒÓ Ú ÃÙÒ n 2 Ò Ò n¹ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó δ ÓÒ ÐØ ÖÒÓ Ú Ó δ(a = 0 Ò ÙÒ Ñ ØÖ Ò A Ú Ö Ø Ö Ú ÓÚ Ø Ñ Ø Ä Ù ¾¾¼ ÇÐ ÓÓÒ δ : M n n F ÐØ ÖÒÓ Ú n¹ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÌÐÐ Ò µ Ó Ñ ØÖ B ÓÒ ØÙ n n¹ñ ØÖ Ø A Ú Ø Ñ ÐÐ Ñ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ò Ò δ(b = δ(a µ Ó n n¹ñ ØÖ A ÓÒ ÒØØ Ø Ö Ú Ò Ò δ(a = 0
ÌÓ ØÙ µ ÌÓ Ø Ø Ò Ò Ò ØØ Ó Ñ ØÖ B ÓÒ ØÙ Ñ ØÖ Ø A Ú Ø Ñ ÐÐ Ñ ØÖ Ò A Ú Ö Ø Ö Ú Ò Ò δ(b = δ(a ÇÐ Ø ¹ Ø Ò ØØ Ñ ØÖ B ÓÒ ØÙ Ñ ØÖ Ø A Ú Ø Ñ ÐÐ Ñ ØÖ Ò A Ö Ú i i + 1 ÌÐÐ Ò A = A (1 A (i A (i+1 A (n B = A (1 A (i+1 A (i A (n. ÆÝØ Ó σ ÓÒ ÐØ ÖÒÓ Ú n¹ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ò A (1 A 0 = δ (i + A (i+1 A = δ (i A + δ (i+1 A (i + A (i+1 A (i + A (i+1 A (i + A (i+1 = δ A (1 A (i A (i A (n A (n + δ A (1 A (i A (i+1 A (n = 0 + δ(a + δ(b + 0. A (1 A (n + δ A (1 A (i+1 A (i A (n + δ A (1 A (i+1 A (i+1 A (n A (1 A (n Æ ÒÔ δ(b = δ(a ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ò ØØ Ñ ØÖ B ÓÒ ØÙ Ñ ØÖ Ø A Ú Ø Ñ ÐÐ Ñ Ø¹ Ö Ò A Ö Ú i j ÙÒ i < j ÐÓ Ø Ø Ò Ú Ø Ñ ÐÐ ÒÒ Ò Ò Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ø i i + 1 ØØ Ò Ö Ú Ø i i + 2 Ò Ò ÐÐ Ò ÙÒÒ Ö Ú Ø ÓÚ Ø Ö ØÝ A (1,...,A (i 1, A (i+1,...,a (j, A (i, A (j+1,...,a (n. Ã Ò Ò Ø ÖÚ Ø Ò j i Ö Ú Ò ÖØÓ ÓØØ Ô ØÒ Ý Ò Ö ¹ ØÝ Ò
Î Ø Ò ØØ Ò ÒÒ Ò Ò Ö Ú Ø j 1 j ØØ Ò Ö Ú Ø j 2 j Ò Ò ÐÐ Ò ÙÒÒ Ö Ú Ø ÓÚ Ø Ö ØÝ A (1,...,A (i 1, A (j, A (i+1,...,a (j 1, A (i, A (j+1,...,a (n. ÆÝØ Ø ÖÚ Ø Ò j i 1 Ö Ú Ò ÖØÓ ÓØØ Ô ØÒ ÐÐ Ñ Ò ØØÙÙÒ Ö ¹ ØÝ Ò Æ Ô ÒÝØ Ð Ù Ò ÐÙ Ø ØÝÒ ØÙÐÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ(b = ( 1 j i ( 1 j i 1 δ(a = ( 1 2(j i 1 δ(a = δ(a. µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ò ØØ Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ø i j ÓÚ Ø ÒØØ Ø ÙÒ i < j ÂÓ j = i + 1 Ò Ò ÓÐ ØÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ(a = 0 ÂÓ Ø j > i + 1 Ò Ò Ú Ø Ò Ö Ú i + 1 j ÒÒ ÓØØ Ò Ñ ØÖ B Ó Ú Ö Ø Ö Ú ÓÚ Ø ÒØØ Ø ÌÐÐ Ò Ó δ ÓÒ ÐØ ÖÒÓ Ú Ò Ò δ(b = 0 Ä Ó Ò µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ(b = δ(a ÓØ Ò δ(a = 0 ÅÖ Ø ÐÑ ¾¾½ ÂÓÙ Ó M n n ÑÖ Ø ÐØÝ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÖÒÓ Ú n¹ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó δ : M n n F ØØ δ(i = 1 Ä Ù Ò ¾¾¾ ØÓ ØÙ ÔÓ Ó ÐØ Ò Ó Ò Ð Ö Ò ØÓ ØÙ Ø Ä Ù ¾¾¾ ÇÐ ÓÓÒ δ ÓÙ Ó M n n ÑÖ Ø ÐØÝ ÐØ ÖÒÓ Ú n¹ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÅÖ Ø ÐÐÒ Ó ÐÐ (n+1 (n+1¹ñ ØÖ ÐÐ A ÙÐÐ Ò j Ò ÖÚÓÐÐ ÙÒ 1 j n + 1 n+1 ǫ j (A = ( 1 i+j a ij δ(ãij, i=1 ¾½µ Ñ Ãij ÓÒ Ñ ØÖ Ø A ØÙ n n¹ñ ØÖ ÙÒ Ñ ØÖ Ø A ÓÒ ÔÓ Ø ØØÙ i Ö Ú j Ö ÌÐÐ Ò ǫ j ÓÒ ÐØ ÖÒÓ Ú (n + 1¹Ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó M (n+1 (n+1 ÌÓ ØÙ ÌÓ Ø Ø Ò Ò Ò ØØ ǫ j ÓÒ (n+1¹ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÃÓ Ãij ÓÒ ØÙ Ñ ØÖ Ø A ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ñ ØÖ Ø A i Ö Ú j Ö Ò Ò δ(ãij ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ø i ÌØ Ò Ó δ ÓÒ n¹ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ò δ(ãij ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ö Ú i ÐÙ ÙÙÒ ÓØØ Ñ ØØ Ó Ò Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ò Ò Æ Ò ÓÐÐ Ò a ij δ(ãij ÓÒ (n+1¹ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÐÐ ÙÒ ÒÝØ Ñ Ö ØÒ ØØ δ = a ij δ(ãij Ò Ò
δ Æ ÒÔ ÒÝØ Ó A A (1 (1 ca (k + A ca (k (k + A (k = a ij δ A A (i 1 (i A (i+1 A (n+1 = a ij c δ = c a ij δ = c δ A (n+1 A (1 A (k A (n+1 A (1 A (k A (n+1 A (1 A (k A (n+1 + δ + a ij δ + δ n+1 ǫ j (A = ( 1 i+j a ij δ(ãij i=1 A (1 A (k A (n+1 A (1 A (k A (n+1 A (1 A (k A (n+1. ÓÒ (n + 1¹Ð Ò Ö Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò a ij δ(ãij Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ó Ò Ò ǫ j ÓÒ (n + 1¹Ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ Ð Ù ØØ ¾½ ÌÓ Ø Ø Ò ØØ Ò ØØ ǫ j ÓÒ ÐØ ÖÒÓ Ú ÂÓ A ÓÒ (n + 1 (n + 1¹ Ñ ØÖ Ó ÓÒ ÒØØ Ø Ö Ú k k +1 Ò Ò Ñ ØÖ ÐÐ Ãij ÓÒ
ÒØØ Ø Ö Ú Ò ÙÒ i k i k + 1 Æ ÒÔ δ(ãij = 0 Ò ÙÒ i k i k + 1 Æ Ò ÓÐÐ Ò Ý ØÐ Ò ¾½µ Ú Ò ÙÑÑ ØØ Ú ǫ j (A = ( 1 k+j a kj δ(ãkj + ( 1 (k+1+j a (k+1j δ(ã(k+1j. ÅÙØØ ÒÝØ Ó Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ø k k + 1 ÓÚ Ø ÑÓ Ò Ò a kj = a (k+1j Ãkj = Ã(k+1j Æ ÒÔ ǫ j (A = 0 ÓØ Ò ǫ j ÓÒ ÐØ ÖÒÓ Ú Ë ÙÖ Ù Ð Ù ½ ÇÐ ÓÓØ δ ǫ j ÑÓ Ù Ò Ð Ù ¾¾¾ ÌÐÐ Ò Ó δ ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÙ Ó M n n Ò Ò ǫ j ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÙ Ó M (n+1 (n+1 ÌÓ ØÙ ÇÐ ÓÓÒ I = (i ij (n+1 (n+1¹ ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ ÇÐ ÓÓÒ Ð Ĩ n n¹ñ ØÖ Ó ÓÒ ØÙ Ñ ØÖ Ø I ÔÓ Ø Ñ ÐÐ i Ö Ú j Ö ÌÐÐ Ò Ĩ ÓÒ n n¹ ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ ÃÓ i ij = 0 ÙÒ i j i jj = 1 Ò Ò n+1 ǫ j (I = ( 1 i+j i ij δ(ĩij = ( 1 j+j δ(ĩjj i=1 = δ(ĩjj = 1. ¾¾µ ØÐ Ò ¾¾µ Ú Ñ Ò Ò Ý Ø ÙÙÖÙÙ ÔØ Ó δ ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÙ Ó M n n Æ ÒÔ Ð Ù Ò ¾¾¾ Ý ØÐ Ò ¾¾µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ǫ j ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÙ Ó M (n+1 (n+1 Ë ÙÖ Ù Ð Ù ¾ ÇÒ ÓÐ Ñ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÙ Ó M n n Ò ÙÒ n ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÌÓ ØÙ ÌÓ Ø Ø Ò Ú Ø Ò Ù Ø ÓÐÐ ÐÙÚÙÒ n Ù Ø Ò Ì Ò Ò Ò Ð¹ Ù Ð ÃÙÒ n = 1 ÙÒ Ø Ó δ : M 1 1 F Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ ØØ δ(a = a 11 ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÙ Ó M 1 1 Æ Ñ ØØ Ò δ ÓÒ ÐØ ÖÒÓ Ú ÑÖ Ø ÐÑÒ ¾½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ ÓÒ ½¹Ð Ò Ö Ò Ò ÐÐ δ(ca 11 + a 11 = ca 11 + a 11 = cδ(a 11 + δ(a 11, Ð δ(i 11 = δ(1 = 1 Æ ÒÔ ÑÖ Ø ÐÑÒ ¾¾½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ ÓÒ Ø Ö¹ Ñ Ò ÒØØ ÓÙ Ó M 1 1 Ì Ò ØØ Ò Ò Ù Ø Ó Ð ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ Ø ÖÑ Ò ÒØØ δ ÓÙ Ó M n n ÌÐÐ Ò Ó Ø Ö ØØ j Ó Ø ÙÒ 1 j n + 1
Ð Ù ¾¾¾ ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Ó ǫ j ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÙ Ó M (n+1 (n+1 ÙÖ Ù Ð Ù Ò ½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ë Ð Ù Ð Ò Ò Ù Ø Ó Ð Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ú Ø ÓÒ ØÓ ÅÖ Ø ÐÑ ¾¾ ÂÓ δ ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÙ Ó M n n Ò Ò Ð Ù ¾¾¾ ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø ÓØ n+1 ǫ j (A = ( 1 i+j a ij δ(ãij i=1 ÙØ ÙØ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò δ Ö Ø ÐÑ Ö ØØ j Ô Ø Ò ÅÖ Ø ÐÑ ¾¾ Ë Ð Ö ( 1 i+j δ(ãij ÙØ ÙØ Ò Ñ ØÖ Ò A Ð ÓÒ a ij Ó ØÓÖ ÅÖ Ø ÐÑ ¾¾ Ð ÓØ δ(ãij ÙØ ÙØ Ò Ñ ØÖ Ò A (i, j¹ó Ø ÖÑ ¹ Ò ÒØ Ò Ð Ñ ÒÓÖµ ½ ½ ¾ ¾ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÖÑ Ò ÒØ ÐÐ ÓÒ Ù Ø Ý ÝÐÐ ÓÑ Ò ÙÙ Ó Ò ÚÙÐÐ Ò Ð ¹ Ñ Ò Ò ÓÒ ÐÔÓÑÔ Ë ÙÖ Ú Ð Ù ÓÒ Ø ØØÝ Ó Ø Ò ÓÑ Ò ¹ ÙÙ Ä Ù ¾¾ ÂÓ ÐÐ Ø ÖÑ Ò ÒØ ÐÐ δ ÓÙ Ó M n n ÔØ µ Ó B ÓÒ ØÙ Ñ ØÖ Ø A ÖØÓÑ ÐÐ Ñ ØÖ Ò A ÓÒ Ò Ö Ú Ò Ð ÓØ Ð Ö ÐÐ c Ò Ò δ(b = c δ(a µ Ó Ñ ØÖ Ò A Ö Ú ÓÚ Ø ÒØØ Ø Ò Ò δ(a = 0 µ Ó B ÓÒ ØÙ Ñ ØÖ Ø A Ú Ø Ñ ÐÐ Ö Ú ÒÒ Ò Ò δ(b = δ(a µ Ó Ñ ØÖ A ÓÒ ÒÓÐÐ Ö Ú Ò Ò δ(a = 0 µ Ó B ÓÒ ØÙ Ñ ØÖ Ø A Ð ÑÐÐ Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ò j Ö Ú Ò i ÑÓÒ ÖØ ÙÒ i j Ò Ò δ(b = δ(a ¼
ÌÓ ØÙ ÌÓ Ø Ø Ò Ò Ò µ¹ Ó Ø ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ò i ¹ Ð ÓØ ÓÚ Ø ÒÓÐÐ ÌÐÐ Ò Ó δ ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ò Ò n¹ð Ò Ö ÙÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ A (1 δ(a = δ 0 A (i = δ 1 A (i + A (i = δ A (n A (1 A (n A (1 A (i A (n + δ A (1 A (i A (n = 0. ÌÓ Ø Ø Ò ØØ Ò µ¹ Ó Ø ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ñ ØÖ B ÓÒ ØÙ Ñ Ø¹ Ö Ø A ÖØÓÑ ÐÐ Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ò A (i Ð ÓØ Ð Ö ÐÐ c ÆÝØ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò δ n¹ð Ò Ö ÙÙ Ò µ¹ Ó Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ A (1 δ(b = δ c A (i + 0 = c δ(a + δ A (n A (1 0 A (n = c δ(a. ÃÓ Ø µ µ ÓÚ Ø ÙÓÖ ÙÖ Ù Ð Ù Ø ¾¾¼ Ó δ ÓÒ Ø Ö¹ Ñ Ò ÒØØ ÌÓ Ø Ø Ò ÐÓÔÙ µ¹ Ó Ø ÇÐ Ø Ø Ò ØØ B ÓÒ ØÙ Ñ ØÖ Ø A Ð ÑÐÐ Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ò j Ð Ö ÐÐ c ÖÖÓØØÙ Ö Ú i ÇÐ Ø Ø Ò ØØ i < j Ø Ô Ù j > i Ñ Ò Ú Ø Ú Ø µ ÆÝØ ÙÒ A = A (1 A (i A (j A (n A (1 A (i Ò Ò B =. ca (i + A (j A (n ½
Æ ÒÔ n¹ð Ò Ö ÙÙ Ò Ó Ò µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ A (1 A (i δ(b = δ = c δ ca (i + A (j A (n A (1 A (i A (i A (n + δ A (1 A (i A (j A (n = c 0 + δ(a = δ(a. ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ Ð Ù Ò ¾¾ ÓÑ Ò ÙÙ Ø µ µ µ ÒÝØØÚØ Ñ Ø Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÖÚÓ ÑÙÙØØÙÙ ÙÒ Ñ ØÖ Ò ÓÚ ÐÐ Ø Ò Ð ÑÙÙÒ¹ ÒÓ Ø Ë ÙÖ Ú Ð Ù ÐÐ Ø ØÝØ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÓÒ Ø ØØÝ Ð ¹ ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ Ò ÚÙÐÐ Ë ÙÖ Ù Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Ø Ð Ý Ý Ð Ö ¹ Ø Ë ÙÖ Ù Ð Ù ÇÐ ÓÓØ E 1 E 2 E 3 ÑÖ Ø ÐÑÒ ¾½ ØÝÝÔÔ ½ ¾ ÓÐ Ú Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ ÓÙ Ó M n n ÌÐÐ Ò Ó E 2 ÓÒ ØÙ ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ Ø I ÖØÓÑ ÐÐ Ó Ò Ò Ö Ú ÒÓÐÐ Ø ÖÓ Ú ÐÐ Ð ¹ Ö ÐÐ c Ò Ò Ó ÐÐ Ø ÖÑ Ò ÒØ ÐÐ δ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó M n n ÔØ ØØ δ(e 1 = 1 δ(e 2 = c δ(e 3 = 1 ÌÓ ØÙ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ δ ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÓÙ ÓÒ M n n Ø ÖÑ Ò ÒØØ e t i = ( 0 0 1 0 0 ÓÒ ÒØ Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ R n ÙÒ 1 i n ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò ¾¾ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ e t 1 e t j e t i δ(e 1 = δ = δ = δ(i = 1, e t i e t j e t 1 e t n e t n ¾
e t 1 δ(e 2 = δ c e t i = cδ e t i = c δ(i = c e t 1 e t n e t 1 e t n e t i e t i e t i δ(e 3 = δ = δ + δ c e t i + et j c e t i e t j e t 1 e t 1 e t n e t 1 e t n e t 1 e t n e t n e t n e t i e t i = c δ + δ = c 0 + δ(i = 1. e t i e t j Ë ÙÖ Ù Ð Ù Ò ØÙÐÓ Ø Ø ÖÚ Ø Ò ÑÝ ÑÑ Ò ÙÒ ØÓ Ø Ø Ò Ø ÖÑ ¹ Ò ÒØØ Ý ØØ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ó Ó ØØ Ñ Ò Ò Ý ØØ Ú Ø Ð ÑÙ Ø ØÙÐÓ ÓØ Ø ØÒ ÙÖ Ú Ä Ù ¾¾ ÇÐ ÓÓÒ δ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó M n n ÓÐ ÓÓÒ A ÓÙ ÓÒ M n n Ñ ØÖ ÓÐÐ Ö Ò (A < n ÌÐÐ Ò δ(a = 0 ÌÓ ØÙ ÃÓ Ö Ò (A < n Ò Ò Ñ ØÖ Ò A Ö Ú Ø ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö Ô¹ ÔÙÚ ÑÖ Ø ÐÑÒ ¾ ÑÙ Ò Æ Ò ÓÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø Ð Ö Ø c 1,...,c n ÓØ ÚØ ÓÐ ÒÓÐÐ ØØ c 1 A (1 + c 2 A (2 +... + c n A (n = 0. ¾ µ
Å Ò ØØÑØØ ØÓ ØÙ Ñ ØÒ ÓÐ ÐÐ Ø ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ c 1 0 ÌÐÐ Ò ÖØÓÑ ÐÐ Ý ØÐ ¾ µ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ c 1 1 Ò ØØ A (1 + c 1 1 c 2A (2 +... + c 1 1 c na (n = 0. ÇÐ ÓÓÒ B ØØ Ò Ñ ØÖ Ó ÓÒ ØÙ Ñ ØÖ Ø A Ð ÑÐÐ Ñ ØÖ Ò A Ò ÑÑ Ò Ö Ú Ò Ú ØÓÖ c 1 1 c 2A (2 +... + c 1 1 c na (n. ÆÝØ Ñ ØÖ Ò B Ò ÑÑ Ò Ò Ö Ú ÓÒ ÒÓÐÐ Ö Ú Ð Ù Ò ¾¾ Ó Ò µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ(b = 0 ÌÓ ÐØ Ð Ù Ò ¾¾ Ó Ò µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ(b = δ(a Æ ÒÔ δ(a = 0 ÔÙÐ Ù Ò ½ ØÓ ØÙ Ø Ð Ý Ý Ó ÓÒ ÙÙ Ò Ö Ø ÔÙÐ Ù ½ ÂÓ E ÓÒ Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ δ ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ ÓÙ Ó M n n Ò Ò δ(eb = δ(eδ(b Ò ÙÒ B M n n ÌÓ ØÙ ÇÒ ÓÐÑ Ø Ô Ù Ø ÇÐ Ø Ø Ò Ò Ò ØØ ÙÒ Ñ ØÖ Ò B Ö¹ ØÓÓ Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ ÐÐ E 1 Ú ÑÑ ÐØ ÔÙÓÐ ÐØ Ñ ØÖ Ò B Ö ¹ Ú Ú ØÙÚ Ø ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò ¾¾ Ó Ò µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ(e 1 B = δ(b ÅÙØØ ØÓ ÐØ ÙÖ Ù Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ(e 1 = 1 Æ ÒÔ δ(e 1 B = δ(e 1 δ(b ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ò ØØ ÙÒ Ñ ØÖ Ò B ÖØÓÓ Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ ÐÐ E 2 Ú ÑÑ ÐØ ÔÙÓÐ ÐØ Ñ ØÖ Ò B ÓÒ Ò Ö Ú Ò Ð ÓØ ØÙÐ ÖÖÓØØÙ Ð Ö ÐÐ c ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò ¾¾ Ó Ò µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ(e 2 B = c δ(b ÅÙØØ ØÓ ÐØ ÙÖ Ù Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ(e 2 = c Æ ÒÔ δ(e 2 B = δ(e 2 δ(b ÇÐ Ø Ø Ò ÐÓÔÙ ØØ ÙÒ Ñ ØÖ Ò B ÖØÓÓ Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ ÐÐ E 3 Ú ÑÑ ÐØ ÔÙÓÐ ÐØ Ñ ØÖ Ò B Ó ÓÒ Ò Ö Ú Ò i ØÙÐ Ð ØØÝ ÓÒ Ò Ö Ú Ò j ÑÓÒ ÖØ ÙÒ i j ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò ¾¾ Ó Ò µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ(e 3 B = δ(b ÅÙØØ ØÓ ÐØ ÙÖ Ù Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ(e 3 = 1 Æ ÒÔ δ(e 3 B = δ(e 3 δ(b Ä Ù ¾¾ ÇÐ ÓÓÒ δ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó M n n ÓÐ ÓÓØ A B ÓÙ ÓÒ M n n Ñ ØÖ ÌÐÐ Ò δ(ab = δ(a δ(b ÌÓ ØÙ ÂÓ Ö Ò (A < n Ò Ò Ð Ù Ò ¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ rank(ab rank(a < n.
Æ ÒÔ Ð Ù Ò ¾¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ(a = 0 δ(ab = 0 Æ Ò ÓÐÐ Ò δ(ab = δ(a δ(b. ÂÓ Ö Ò (A = n Ò Ò A ÓÒ ÒØÝÚ Ð Ù Ò ¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÐÐ Ò ÚÓ Ò ØØ Ð Ù Ò ¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ Ò ØÙÐÓÒ ÇÐ ÓÓÒ A = E m E 1 Ñ E i ÓÒ Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ ÙÒ 1 i m ÆÝØ ÔÙÐ Ù Ò ½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ(ab = δ(e m E 1 B = δ(e m δ(e m 1 E 1 B = = δ(e m δ(e 1 δ(b = δ(e m E 1 δ(b = δ(a δ(b. ¾ µ Ë ÙÖ Ù Ð Ù ÇÐ ÓÓÒ δ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó M n n ÓÐ ÓÓÒ A ÒØÝÚ Ñ ØÖ ÓÙ Ó M n n ÌÐÐ Ò δ(a 0 δ(a 1 = [δ(a] 1 ÌÓ ØÙ Ä Ù Ò ¾¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ(a δ(a 1 = δ(aa 1 = δ(i = 1. Æ ÒÔ δ(a 0 δ(a 1 = [δ(a] 1 Ë ÙÖ Ù Ð Ù ÇÐ ÓÓÒ δ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó M n n ÓÐ ÓÓÒ A M n n ÌÐÐ Ò ÙÖ Ú Ø ÓØ ÓÚ Ø Ý ØÔ ØÚ µ δ(a = 0 µ A ÓÐ ÒØÝÚ µ Ö Ò (A < n ÌÓ ØÙ Ë ÙÖ Ù Ð Ù ÒÓÓ ØØ Ó δ(a = 0 Ò Ò A ÓÐ ÒØÝÚ Æ ÒÔ Ó Ø µ ÙÖ ØØ Ó Ø µ ÓÒ ÚÓ Ñ ÌÓ ÐØ Ð Ù Ò ¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó Ø µ ÙÖ ØØ Ó Ø µ ÓÒ ÚÓ Ñ Ä Ð Ù Ò ¾¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó Ø µ ÙÖ ØØ Ó Ø µ ÓÒ ÚÓ Ñ Ä Ù ¾¾ ÇÒ ÓÐ Ñ Ø ÑÐÐ Ò Ý Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó M n n
ÌÓ ØÙ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÓÐ Ñ ÓÐÓ ØÓ Ø ØØ Ò ÙÖ Ù Ð Ù ¾ Ç Ó Ø Ø Ò ØØ Ò ØØ Ó δ 1 δ 2 ÓÚ Ø ÑÓÐ ÑÑ Ø Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ ÓÙ Ó M n n Ò Ò δ 1 = δ 2 ÇÐ ÓÓÒ A Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò n n¹ñ ØÖ ÂÓ Ö Ò (A < n Ò Ò ÙÖ Ù Ð Ù Ò 5 Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ 1 (A = δ 2 (A = 0 ÂÓ Ö Ò (A = n Ò Ò A ÓÒ ÒØÝÚ Ò Ò ÓÐÐ Ò ÚÓ Ò ØØ Ð Ù Ò ¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ Ò ØÙÐÓÒ ÇÐ ÓÓÒ A = E m E 1 Ñ E i ÓÒ Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ ÙÒ 1 i m ÃÓ ÒÝØ ÙÖ Ù Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ δ 1 (E i = δ 2 (E i Ò ÙÒ 1 i m Ò Ò Ð Ù Ò ¾¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Æ ÒÔ δ 1 = δ 2 δ 1 (A = δ 1 (E m E 1 = δ 1 (E m δ 1 (E 1 = δ 2 (E m δ 2 (E 1 = δ 2 (E m E 1 = δ 2 (A. Ä Ù Ò ¾ ¼ ØÓ ØÙ Ø Ð Ý Ý ÐÐ Ò Ò Ð Ö Ó Ø ÑÙØØ ÚÖØ ½ ¹½ Ä Ù ¾ ¼ ÄÙÚÙ ½ Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ø ÑÖ Ø ÐØÝ Ø ÖÑ Ò ÒØØ det(a = σ S n sgn(σa 1σ(1 a 2σ(2 a nσ(n ÓÒ Ú Ú Ð ÒØØ ÓÑ ØØ Ø ÑÖ Ø ÐÐÝÒ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ò ÌÓ ØÙ Ä Ù Ò ½¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ø ÑÖ Ø ÐØÝ Ø ÖÑ Ò Òع Ø ÓÒ n¹ð Ò Ö Ò Ò Ð Ù Ò ½¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ø ÑÖ Ø ÐØÝ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ ÐØ ÖÒÓ Ú Ä ÐÙÚÙ ½ ÓÒ Ó Ó Ø ØØÙ ØØ Ó Ø ÓÒ Ô ÖÑÙØ Ø Ú Ø ÑÖ Ø ÐØÝ Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ò Ò det(i = 1 ÌÓ ÐØ Ð Ù Ò ¾¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÑ ØØ Ø ÑÖ Ø ÐØÝ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Æ Ò ÓÐÐ Ò Ð Ù ¾ ¼ ÓÒ ØÓ Ø ØØÙ ÅÖ Ø ÐÑ ¾ ½ ÅÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó M n n Ý ØØ Ø Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ñ Ö ØÒ det Ë ÙÖ Ù Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Ø Ð Ý Ý Ð Ö Ø Ë ÙÖ Ù Ð Ù ÇÐ ÓÓÒ A M n n ÌÐÐ Ò ÐÐ Ö ÐÐ j ÙÒ 1 j n n det(a = ( 1 i+j a ij det(ãij, i=1 Ñ Ãij ÓÒ Ñ ØÖ Ø A ØÙ (n 1 (n 1¹Ñ ØÖ ÙÒ Ñ ØÖ Ø A ÓÒ ÔÓ Ø ØØÙ i Ö Ú j Ö
ÌÓ ØÙ Ë ÙÖ Ù Ð Ù Ò ½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÐÐ j Ò ÖÚÓ ÐÐ ÙÒ 1 j n n ǫ j (A = ( 1 i+j a ij δ(ãij i=1 ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÙ Ó M n n Ó δ ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÙ Ó M (n 1 (n 1 ÃÓ det ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÙ Ó M (n 1 (n 1 Ò Ò ÐÐ j ÙÒ 1 j n ǫ j (A = n ( 1 i+j a ij det(ãij. i=1 Ä Ó Ø ÖÑ Ò ÒØ ÐÐ ǫ 1, ǫ 2,...,ǫ n ÓÒ Ñ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó M n n Ò Ò ǫ 1 = ǫ 2 = = ǫ n. Æ ÒÔ ÐÐ ÖÚÓ ÐÐ j ÙÒ 1 j n ǫ j (A = det(a Ë Ú Ø Ô Ø Ô Ò ¾ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ð Ñ Ø Ë ÙÖ Ù Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ n n¹ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÚÓ Ò Ò ¹ ØØ Ñ Ø Ø Ò Ö ØØ Ô Ø Ò ÃÙÒ n > 2 Ò Ò Ö Ø ÐÑ Ð¹ Ø n ÔÔ Ð ØØ (n 1 (n 1¹Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ë ØØ Ò ÙÒ¹ Ò (n 1 (n 1¹Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÚÓ ØØ Ø Ñ Ø Ø Ò Ö ØØ Ô Ø Ò Â Ø Ñ ÐÐ ÐÐ Ñ Ò ØÙÐÐ Ø Ú ÐÐ Ò ÐÓÔÙÐØ ¹ Ø ØØÝ 2 2¹Ñ ØÖ Ó Ø Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÚÓ Ò Ð ÙÒ Ø ØÒ ØØ det(a = a 11 a 22 a 12 a 21 ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ð Ñ Ò Ò Ñ ØÖ Ø Ãij ÚÓ Ò ÚÐØØ Ò ÙÒ a ij = 0 Æ Ñ ØØ Ò ØÐÐ Ò ØÙÐÓ a ij det(ãij ÓÒ ÒÓÐÐ Ø Ö¹ Ñ Ò ÒØ Ò ÖÚÓ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØ Ë ÒÒ ØØ Ò ØØ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÐÐ Ø Ö ØØ Ô Ø Ò Ó ÓÒ Ñ ÓÐÐ ÑÑ Ò Ô Ð ÓÒ ÒÓÐÐ Ñ Ö ¾ ¾ ¾ Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ð Ø Ò ÝØØ Ò ÝÚ Ù¹ Ö Ù Ð Ù ØØ Ð Ù ØØ ¾¾ Ñ Ö ¾ ¾ ÇÐ ÓÓÒ 1 2 0 3 A = 1 0 0 1 0 1 1 2. 1 0 1 1
ÆÝØ Ð ØØ Ú ØÙÐ Ú ÑÑÒ ÙÒ Ø ØÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÐÑ ØØ ¹ Ö ØØ Ô Ø Ò det(a = 4 ( 1 i+3 a i3 det(ãi3 i=1 1 0 1 1 2 3 = ( 1 1+3 0 det 0 1 2 + ( 1 2+3 0 det 0 1 2 1 0 1 1 0 1 1 2 3 1 2 3 + ( 1 3+3 1 det 1 0 1 + ( 1 4+3 ( 1 det 1 0 1 1 0 1 0 1 2 1 2 3 = det 1 0 1. 0 1 2 Ã Ø ØÒ ØØ Ò Ð ÐÐ ÒÝØ Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ò ÑÑ Ø Ö ØØ Ô Ø Ò 1 2 3 det(a = det 1 0 1 0 1 2 ( 0 1 = ( 1 1+1 1 det + ( 1 2+1 ( 1 det 1 2 ( 2 3 + ( 1 2+1 0 det = 1 + 7 = 8. 0 1 Ñ Ö ¾ ÇÐ ÓÓÒ 1 0 0 1 A = 1 1 1 0 1 0 1 0. 0 1 1 0 ( 2 3 1 2 ÆÝØ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ð Ñ Ñ ØÖ Ø A Ø ØÒ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ò Ð ØØ Ö ØØ Ô Ø Ò ÌÐÐ Ò Ò 1 1 1 1 1 1 det(a = ( 1 1+4 1 det 1 0 1 = det 1 0 1. 0 1 1 0 1 1
ÆÝØ ÝØØÑÐÐ ÝÚ Ð Ù ØØ ¾¾ ÐÐ Ø Ú ÐÐ ØØ Ð ØÒ Ò Ò Ñ Ø¹ Ö Ò A Ò ÑÑ Ò Ò Ö Ú ØÓ Ò Ö Ú Ò Ð ØÒ Ò Ð Ò ØÓ Ò Ò Ö Ú ÓÐÑ ÒØ Ò Ö Ú Ò Ò 1 1 1 det(a = det 1 0 1 0 1 1 1 1 1 = det 0 1 2 0 1 1 1 1 1 = det 0 1 2. 0 0 1 Ã Ø ØÒ ÐÓÔÙ Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ò ÑÑ Ø Ö ØØ Ô Ø Ò 1 1 1 ( det(a = det 0 1 2 1 2 = ( 1 1+1 1 det = 1. 0 1 0 0 1 Ñ Ö Ò ¾ ØÙÐÓ ÐÑ Ò ØÓ ØÙ Ø Ð ÝØÝÝ Ö Ø ½ Ñ Ö ¾ ÇÐ ÓÓÒ A M n n ÌÐÐ Ò ÐÐ Ð Ö ÐÐ λ R det(λa = λ n det(a. ÃÓ det ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ò Ò ØÓ Ø Ñ ÐÐ Ð Ù Ò ¾¾ Ó Ø µ n ÖØ Ò A A (1 λa (1 (1 λa (2 A (2 det(λa = det = λ det = λ λ det λa (3 λa (n λa (n λa (n A (1 A (2 A (3 = λ λ λ det λa (4 = λ λ det = λ n det(a. A (1 A (n λa (n
ÔÙÐ Ù ØØ ¾ Ø ÖÚ Ø Ò Ð Ù Ò ¾ ØÓ Ø Ñ ÌØ ÔÙÐ Ù Ò ØÓ ØÙ Ø Ð Ý Ý Ð Ö Ó Ø ÔÙÐ Ù ¾ ÇÐ ÓÓØ E 1, E 2 E 3 ØÝÝÔÔ 1, 2 3 ÓÐ Ú Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ Ø¹ Ö ÌÐÐ Ò det(e t i = det(e i ÙÒ 1 i 3 ÌÓ ØÙ Å Ö ØÒ ØØ Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ E = (e ij Ò ØÖ Ò ÔÓÓ E t = (e t ij ÙÒ 1 i, j n Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ E 1 ÓÒ ØÙ ÒØØ Ø ØØ Ñ ØÖ Ø I Ø Ö Ú Ú Ø Ñ ÐÐ ÇÐ ÓÓØ ÒÑ Ö Ú Ø i j ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ E 1 ÓÒ Ð ÓØ e ij = 1 e ji = 1 e kk = 1 Ò ÙÒ k i k j Å ØÖ Ò E 1 ÐÓÔÙØ Ð ÓØ ÓÚ Ø ÒÓÐÐ ÎÓ Ò ÔØ ÐÐ ØØ E1 t = E 1 Æ ÒÔ det(e1 t = det(e 1 Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ E 2 ÓÒ ØÙ ÒØØ Ø ØØ Ñ ØÖ Ø I ÖØÓÑ ÐÐ Ó Ò Ò Ö Ú Ð Ö ÐÐ c 0 ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ý ÓÒ Ö Ú i ÌÐÐ Ò Ñ ØÖ E 2 ÓÒ Ð ÓØ e ii = c e kk = 1 Ò ÙÒ k i Å ØÖ Ò E 2 ÐÓÔÙØ Ð ÓØ ÓÚ Ø ÒÓÐÐ ÎÓ Ò ÔØ ÐÐ ØØ E2 t = E 2 Æ ÒÔ det(e2 t = det(e 2 Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ E 3 ÓÒ ØÙ ÒØØ Ø ØØ Ñ ØÖ Ø I Ð ÑÐÐ Ñ ØÖ Ò I ÓÒ Ò Ö Ú Ò i ÑÓÒ ÖØ Ó ÓÒ Ò ØÓ Ò Ö Ú Ò j ÌÐÐ Ò Ñ Ø¹ Ö E 3 ÓÒ Ð ÓØ e jj = 1 e ji = c e kk = 1 Å ØÖ Ò E 3 ÐÓÔÙØ Ð ÓØ ÓÚ Ø ÒÓÐÐ ÌÓ ÐØ Ñ ØÖ Ò E 3 ØÖ Ò ÔÓÓ E3 t ÓÒ Ð ÓØ et ii = 1 et ij = c e t kk = 1 ÄÓÔÙØ Ð ÓØ ÓÚ Ø ÒÓÐÐ Å Ö ØÒ ØØ et i ÓÒ Ú ÖÙÙ Ò R n ØÖ Ò ÔÓÒÓ ØÙ ÒØ Ú ØÓÖ ÙÒ 1 i n ÆÝØ Ð ØØ Ø ÖÑ Ò ÒØØ ¼
Ñ ØÖ ÐÐ E3 t n¹ð Ò Ö ÙÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò e t 1 c e t j + et i c e t j e t i det(e3 t = det = det + det e t j e t j e t j e t n e t 1 e t n e t 1 e t j e t i = c det + det = c 0 + det(i = 1. e t j e t j ÆÝØ ÙÖ Ù Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ det(e t 3 = det(e 3 Ë Ú Ø Ô Ø Ô Ò Ä Ù ¾ ÇÐ ÓÓÒ A M n n ÌÐÐ Ò det(a t = det(a ÌÓ ØÙ ÂÓ A ÓÐ ÒØÝÚ Ò Ò Ð Ù Ò ¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ö Ò (A < n ÅÙØØ Ó Ð Ù Ò ¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ö Ò (A t = Ö Ò (A Ò Ò A t ÓÐ Ò¹ ØÝÚ Æ ÒÔ det(a = 0 = det(a t ÂÓ Ø A ÓÒ ÒØÝÚ ÚÓ Ò ØØ Ð Ù Ò ¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ð ¹ ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ Ò ØÙÐÓÒ ØÓ Ò ÒÓ Ò A = E m E 2 E 1 ÙÒ E 1, E 2,...,E m ÓÚ Ø Ð ÑÙÙÒÒÓ Ñ ØÖ ÆÝØ ÔÙÐ Ù Ò ¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ det(e t i = det(e i ÙÒ 1 i 3 Æ ÒÔ Ð Ù Ò ¾¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ det(a t = det(e t 1 Et m = det(et 1 det(et m e t n e t 1 e t n e t 1 e t n = det(e 1 det(e m = det(e m det(e 1 = det(e m E 1 = det(a. ½