Keskiarvo otatajakauma Toisistaa tietämättä kaksi tutkijaa tutkii samaa ilmiötä, jossa perusjoukko koostuu kuudesta tutkittavasta ja tarkoituksea o laskea keskiarvo A: Kokoaistutkimus B: Otatatutkimus Tutkija A kerää koko aieisto: 8.78,8.,8.0,.,88.8,. Tutkija B poimii satuaisotokse: 8.78, 8.0,. Tutkija A laskee keskiarvo: 7. Tutkija B laskee keskiarvo: 7.77 Miksi arvot eivät ole samat, vaikka tutkija B o toimiut täysi oikei otostaessaa? Erilaisista otoksista saadaa arvioitua haluttua parametria erilaisella tarkkuudella: Jos otoksessa hajota o suurta. myös otatajakauma hajoasta (keskivirhe) tulee suurempi Hekilö 8.78 8. 8.0. 88.8. Perusjoukko, keskiarvo 7. Otoste poimimie Otos 7 8 9 0 7 8 9 Keskivirhe Otoskeskiarvo 77.7.97 80.0 7..0 79. 7.77 8.07 0.7 7. 70.8 8. 7. 7..7 78.8 7.8.8 78.. 0..9.9 0.7.8.9.8.8 7..78.0.. 0. 7.08.0 0.0 7.00 Otatayksiköt perusjoukossa Otatajakauma käyttö päättelyssä Normaalijakautuee muuttuja keskiarvo otatajakaumalle pätee: Myös otatajakauma o ormaalijakautuut Otatajakauma hajota o pieempi Otatajakauma hajotaa voidaa arvioida yhdestä otoksesta laskemalla keskiarvo keskivirhe: Keskihajota (s) ja otoskoko (): s / 0 0 80 00 0.8. Keskiarvo otatajakauma
Erilaisista otoksista saadaa arvioitua haluttua parametria erilaisella tarkkuudella: Jos otoksessa hajota o suurta. myös otatajakauma hajoasta (keskivirhe) tulee suurempi Hekilö 8.78 8. 8.0. 88.8. Perusjoukko, keskiarvo 7. Otoste poimimie Otos 7 8 9 0 7 8 Keskivirhe Otoskeskiarvo 77.7.97 80.0 7..0 79. 7.77 8.07 0.7 7. 70.8 8. 7. 7..7 78.8 7.8.8. 0..9.9 0.7.8.9.8.8 7..78.0.. 0. 7.08.0 0.0 Otatayksiköt perusjoukossa Otatajakauma käyttö päättelyssä Tilastollise päätökseteo (iferece) yhteydessä asetetaa raja-arvot, sillä mitä pidetää mahdollisea otosarvoa perusjoukosta Reuoilla olevat otokset ovat epätodeäköisempiä ja siksi rajat asetetaa yleesä jakauma reuoille, esim. stadardoidu ormaalijakauma välille [-.9,.9] sijoittuu 9% otoskeskiarvoista (vrt. keskihajota) - - 0 9 78. 7.00 0.8. Keskiarvo otatajakauma Otatajakauma käyttö päättelyssä Otatajakauma kuvaajasta äkyy, että otostettavista keskiarvoista suuri osa sijaitsee jakauma keskellä lähellä otoskeskiarvoje keskiarvoa Tämä kuvaa otoksee liittyvää satuaisvaihtelua aieistossa Tutkija A: 7. - - 0 Keskiarvo otatajakauma Keskellä sijaitsevat keskiarvot ovat siis otostettaessa todeäköisimpiä ja jakauma laidoilla sijaitsevat vähemmä todeäköisiä - - 0 piei t suuri t piei t Tutkija B: - - 0 7.77 Otoksesta määritetty otatajakauma
Estimoiti - tehdää päätelmiä perusjouko omiaisuuksista (keskiarvo, riskisuhde je.) otokse perusteella - mitä suurempi otos, sitä tarkemmat estimaatit A. Piste-estimaatit - perusjouko parametri arvo estimaatti o yksi lukuarvo - esim. otoskeskiarvo o perusjouko keskiarvo pisteestimaatti B. Väliestimaatit - pyritää määrittelemää väli, jolla perusjouko parametri sijaitsee halutulla varmuudella = luottamusväli (cofidece iterval, cofidece limits) - mitä kapeampi väli, sitä eemmä iformaatiota parametrista o saatu Luottamusväli kohdalla Riskitaso (α) kertoo mahdollisuude tehdä päättelyvirhee oletettaessa, että luottamusväli pitää sisällää perusjouko keskiarvo, vaikkei äi olekaa. (esim. 0.0, eli. %) 0. 0. 0. 0. - - - - 9% Sovittuja riskitasoja [Riskitaso / Luottamusväli] 0.0 (%) 9% 0.0 (%) 99% 0.00 (0.%) 99.9% α/ α/ (esim. 0.0, eli. %) σ Otoksee perustue määritellää otatajakaumalta alue, jolla perusjouko keskiarvo todeäköisimmi sijaitsee, ku huomioidaa otostamisee liittyvä satuaisvaihtelu. Esim. keskimmäiset 9% kaikista mahdollisista otoskeskiarvoista sijaitsevat ±.9 keskihajotayksikö päässä todellisesta keskiarvosta stadardoidulla ormaalijakaumalla. 0. 0. 0. 0. -.9 +.9 Jos muuttuja otatajakauma o stadardoitu ormaalijakauma, sijaitsee keskiarvo 9% luottamusväli siis välillä [-.9, +.9]. Luottamusväli laskemie keskiarvolle Otoksesta (=00) o laskettu pituude - keskiarvoksi 0 - keskihajoaksi 0 Tällöi keskiarvo keskivirhe o. s = 0 = 00 Määritetää keskiarvo luottamusväli 9% luottamustasolla - - - - Ks. keskihajoa määrittely. 9% 8 9 x = 0 (s = 0)
Oletukset: pituus o jakautuut ormaalisti, otoskoko o yli 0. Tiedetää, että stadardoidu ormaalijakauma kohdalla 9% luottamusväli löytyy väliltä -.9 +.9. Luottamusväli pituusmuuttujalle saadaa, ku siirretää saadut rajat oikealle kohdalle pituude lukusuoraa. Tätä varte vai otatajakauma keskiarvo täytyy siirtää alkuperäise muuttuja keskiarvo kohdalle. Lasketaa: -.9.9 0 -.9 =.08 -.9.9 0 +.9 =.9 - - 0 - - - 0 8 9 x = 0 (s = 0).08.9 x = 0 (s = 0) Tarkasteltava muuttuja alkuperäie jakauma ei ollut stadardoitu. Siis täytyy muutaa stadardoidu muuttuja hajota alkuperäiselle mittayksikölle, eli muuttuja hajotaa vastaavaksi käyttäe apua keskiarvo keskivirhettä. Näi 9% luottamusväli rajakohdat saadaa oikealle etäisyydelle keskiarvosta. Lasketaa keskivirhe: ±.9 *.0 = ±.9 -.9.9 Lopputuloksea saatii siis, että 9% luottamusväli tämä otokse mukaa o [.08,.9]. Eli: Tutkijalla o 9% luottamus siihe, että perusjouko keskiarvo sijaitsee välillä [, ] tämä otokse tiedo perusteella. Merkitää: CI 9% = [, ] - - - 0 x = 0 (s = 0).08.9 x = 0 (s = )
Keskiarvo 9% luottamusväli voidaa yleisesti laskea mistä tahasa muuttujasta kaavalla: x ±.9 s Luottamusväli voidaa yleisesti laskea eri luottamustasoille kaavalla: s x ± z, jossa z vastaa stad. ormaalijakaumalta löytyviä arvoja, jolla otatajakauma peittyy haluttu luottamustaso, esim. z =.9 (9%) z =.8 (99%) z =.9 (99.9%) (cm) 00 9 90 8 80 7 70 0 0 0 muuttuja 9% luottamusvälit 7 8 9.......... 0 Otos (keskiarvo mukaa järjestettyä) Perusjouko keskiarvo 7. cm Alaraja Keskiarvo Yläraja Otos Keskivirhe Otoskeskiarvo 9% Luottamusväli Otatayksiköt perusjoukossa 77.7. 8.9 8..97 0..7 8.7 7 8 9 0 80.0 7..0 79. 7.77 8.07 0.7 7. 70.8 8. 7..9.9 0.7.8.9.8.8 7..78.0. 8..77.7 8.9..0.7 9.8 7.09 79.7. 9. 8. 8. 9. 8. 9.9 7. 88.7 9.7 88.7 87.7 Havaitaa, että lähes kaikki luottamusvälit pitävät sisällää perusjouko keskiarvo Kuiteki: yksi luottamusväleistä (otos 0) ei sisällä perusjouko keskiarvoa (7.) Lasketaa: /0 = 0.0, eli. % Tulkita: Koska tutkija ei tiedä otostaessaa, mikä kyseisistä otoksista o häe otostamasa otos, hä hyväksyy % riski sille, että luottamusväli ei sisällä perusjouko keskiarvoa 7..7 78.8. 0. 7.08.90..9 98.0 8.0 9.70 Toisi saoe häellä o 9% luottamus siihe, että luottamusväli sisältää perusjouko keskiarvo 7 7.8.0.78 97.78 8.8 0.0.8 8.08 9 78. 7.00.7 9. 0.8..9 90.78
Lopuksi Tässä luottamusväli laskettii luottamustasolla 9% Muita luottamustasoja ovat 99% ja 99.9% luottamustasot Vastaavasti luottamusväli voidaa laskea myös muille parametreille, esim. riskisuhteelle, suhteelliselle osuudelle je. Luottamusväli laskeassa joudutaa kiiittämää huomiota kuki parametri otatajakaumaa ja tämä aiheuttaa se, että luottamusväli lasketaa eri parametreille erilaisilla kaavoilla Luottamusväleihi liittyy myös käsite riskitaso, joka määrittää luottamustasoa: jos riskitaso o 0.0, ii luottamustaso = 0.0 = 0.9 = 9% Luottamusväli: [a, b] o parametri t luottamusväli luottamustasolla -α, jos P(a t b) = -α Riskitasoo perehdytää tarkemmi tilastollise testaukse yhteydessä