Estimointi. Luottamusvälin laskeminen keskiarvolle α/2 α/2 0.1
|
|
- Kaarina Seppälä
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Estimointi - tehdään päätelmiä perusjoukon ominaisuuksista (keskiarvo, riskisuhde jne.) otoksen perusteella - mitä suurempi otos, sitä tarkemmat estimaatit Otokseen perustuen määritellään otantajakaumalta alue, jolla perusjoukon keskiarvo todennäköisimmin sijaitsee, kun huomioidaan otostamiseen liittyvä satunnaisvaihtelu..4.3 Jos muuttujan otantajakauma on standardoitu normaalijakauma, sijaitsee keskiarvon 95% luottamusväli siis välillä [-1.96, +1.96]. A. Piste-estimaatit - perusjoukon parametrin arvon estimaatti on yksi lukuarvo - esim. otoskeskiarvo on perusjoukon keskiarvon pisteestimaatti Esim. keskimmäiset 95% kaikista mahdollisista otoskeskiarvoista sijaitsevat ±1.96 keskihajontayksikön 1 päässä todellisesta B. Väliestimaatit keskiarvosta - pyritään määrittelemään väli, jolla perusjoukon parametri standardoidulla sijaitsee halutulla varmuudella = luottamusväli normaalijakaumalla. (confidence interval, confidence limits) - mitä kapeampi väli, sitä enemmän informaatiota parametrista on saatu Ks. keskihajonnan määrittely. 95% Luottamusvälin kohdalla Riskitaso (α) kertoo mahdollisuuden tehdä päättelyvirheen oletettaessa, että luottamusväli pitää sisällään perusjoukon keskiarvon, vaikkei näin olekaan. (esim..25, eli 2.5 %) α/2 α/2.1 Sovittuja riskitasoja [Riskitaso / Luottamusväli].5 (5%) 95%.1 (1%) 99%.1 (.1%) 99.9% (esim..25, eli 2.5 %) Luottamusvälin laskeminen keskiarvolle Otoksesta (n=1) on laskettu pituuden - keskiarvoksi 15 - keskihajonnaksi 2 Tällöin keskiarvon keskivirhe on 2. s = n 2 = 2 1 Määritetään keskiarvon luottamusväli 95% luottamustasolla σ 95% x = (s = 2) 1
2 Oletukset: pituus on jakautunut normaalisti, otoskoko on yli 3. Tiedetään, että standardoidun normaalijakauman kohdalla 95% luottamusväli löytyy väliltä Tarkasteltavan muuttujan alkuperäinen jakauma ei ollut standardoitu. Siis täytyy muuntaa standardoidun muuttujan hajonta alkuperäiselle mittayksikölle, eli muuttujan hajontaa vastaavaksi käyttäen apuna keskiarvon keskivirhettä. Näin 95% luottamusvälin rajakohdat saadaan oikealle etäisyydelle keskiarvosta. Lasketaan keskivirhe: ±1.96 * 2. = ± x = (s = 2) 144 x = (s = 2) Luottamusväli pituusmuuttujalle saadaan, kun siirretään saadut rajat oikealle kohdalle pituuden lukusuoraa. Tätä varten vain otantajakauman keskiarvo täytyy siirtää alkuperäisen muuttujan keskiarvon kohdalle. Lasketaan: = = Lopputuloksena saatiin siis, että 95% luottamusväli tämän otoksen mukaan on [149.61, 15.39]. Eli: Tutkijalla on 95% luottamus siihen, että perusjoukon keskiarvo sijaitsee välillä [146.8, ] tämän otoksen perusteella. Merkitään: CI 95% = [146, 154] x = 15 (s = 2) x = 15 (s = 2) 156 2
3 Keskiarvon 95% luottamusväli voidaan yleisesti laskea mistä tahansa muuttujasta kaavalla: x ± 1.96 s n Luottamusväli voidaan yleisesti laskea eri luottamustasoille kaavalla: s x ± z, n jossa z vastaa stand. normaalijakaumalta löytyviä arvoja, jolla otantajakauma peittyy haluttu luottamustaso, esim. z = 1.96 (95%) z = 2.58 (99%) z = 3.29 (99.9%) Tulkinta Perusjoukossa olevien tapausten pituudet (cm) Poimitaan tästä perusjoukosta (N = 6) kaikki erilaiset otokset, joissa kussakin on kolme tapausta (n = 3). Tällaisia otoksia on yhteensä 2 kpl. Lasketaan näille otoksille keskiarvo ja keskiarvon luottamusväli 95 % luottamustasolla. Otoskeskiarvvirhe Keski- Otantayksiköt Otos 95% Luottamusväli perusjoukossa (cm) muuttujan 95% luottamusvälit Otos (keskiarvon mukaan järjestettynä) Perusjoukon keskiarvo cm Alaraja Keskiarvo Yläraja 3
4 Lopuksi Havaitaan, että lähes kaikki luottamusvälit pitävät sisällään perusjoukon keskiarvon Kuitenkin: yksi luottamusväleistä (otos 2) ei sisällä perusjoukon keskiarvoa (172.21) Lasketaan: 1/2 =.5, eli n. 5% Tulkinta: Koska tutkija ei tiedä otostaessaan, mikä kyseisistä otoksista on hänen otostamansa otos, hän hyväksyy 5% riskin sille, että luottamusväli ei sisällä perusjoukon keskiarvoa Toisin sanoen hänellä on 95% luottamus siihen, että luottamusväli sisältää perusjoukon keskiarvon Tässä luottamusväli laskettiin luottamustasolla 95% Muita luottamustasoja ovat 99% ja 99.9% luottamustasot Vastaavasti luottamusväli voidaan laskea myös muille parametreille, esim. riskisuhteelle, suhteelliselle osuudelle jne. Luottamusvälin laskennassa joudutaan kiinnittämään huomiota kunkin parametrin otantajakaumaan ja tämä aiheuttaa sen, että luottamusväli lasketaan eri parametreille erilaisilla kaavoilla Luottamusväleihin liittyy myös käsite riskitaso, joka määrittää luottamustasoa: jos riskitaso on.5, niin luottamustaso = 1.5 =.95 = 95% Luottamusväli: [a, b] on parametrin t luottamusväli luottamustasolla 1-α, jos P(a t b) = 1 -α Riskitasoon perehdytään tarkemmin tilastollisen testauksen yhteydessä Tilastollinen testaus - on olemassa ennakkokäsitys tarkasteltavan parametrin mahdollisesta arvosta - selvitetään pitääkö ennakkokäsitys paikkansa Esim. Aikaisempien tutkimusten perusteella on määritelty painon keskiarvoksi 75-vuotiaiden jyväskyläläisten miesten keskuudessa 74kg (keskihajonta 11kg). Uuden otoksen perusteella lasketaan painon keskiarvoksi 8kg (keskihajonta 1kg). Onko keskipaino muuttunut? Tarkoitus on selvittää sopivan tilastollisen testin perusteella ovatko otoksesta havaitut arvot sopusoinnussa nollahypoteesin mukaisen parametrinarvon kanssa satunnaisvaihtelun puitteessa, vai onko jokin muu parametrin arvo todennäköisempi Voidaan määrittää riski sille, että otoksesta tehty päätelmä olisikin virheellinen Tilastollisen testauksen vaiheet: 1. hypoteesien määrittäminen 2. testisuureen valinta, oletusten tarkistaminen 3. riskitason valinta 4. testisuureen laskeminen ja p-arvon määrittäminen 5. nollahypoteesin hyväksyminen tai hylkääminen 6. tulosten raportointi Järjestys on tärkeä 4
5 Hypoteesit Tutkimuksen alkuvaiheessa on määritelty tutkimuskysymys ja siitä edelleen tutkimushypoteesit. Tilastollista testausta varten määritellään testaushypoteesit: nollahypoteesi ja vastahypoteesi H : nollahypoteesi - kuvaa ennakko olettamusta, josta luovutaan vasta kun sitä vastaan saadaan tarpeeksi vahvoja todisteita - nimensä mukaan kuvaa yleensä nollatilannetta, eli esim. kahden parametrin arvot ovat yhtä suuret (=) eli eroja ei ole; vaikutusta ei ole; riippuvuutta ei ole; jne. H 1, H A : vastahypoteesi (vaihtoehtohypoteesi) - kuvaa tilannetta, joka on tutkimustilanteessa nollahypoteesille vastakkainen olotila - tulee voimaan, jos nollahypoteesi hylätään - esim. kahden parametrin arvot ovat erisuuret ( ), tai toinen on suurempi kuin toinen (> tai <); vaikutusta on; riippuvuutta on; jne. Hypoteesit Vastahypoteesi voi olla kaksisuuntainen tai yksisuuntainen - Kaksisuuntaisen hypoteesin kohdalla ei etukäteen pystytä sanomaan, kumpaan suuntaan mahdollinen vaikutus esiintyy, esim. ei tiedetä kumpi kahdesta vertailtavasta keskiarvosta on suurempi, ( µ 74 ) - Yksisuuntaiselle hypoteesille vaikutuksen suunta tiedetään, esim. tiedetään, että jos eroa kahden keskiarvon välillä on, niin se voi esiintyä vain niin, että ensimmäisen ryhmän keskiarvo on suurempi kuin jälkimmäisen ( µ > 74 ) Testauksen hypoteeseista toinen on tutkimushypoteesin mukainen, ts. samalla testillä voidaan esim. testata sitä ovatko kaksi keskiarvoa yhtä suuria vai onko niiden välillä eroa; ennen testauksen suorittamista ei siis tiedetä kumpi hypoteeseista pitää paikkansa, mutta testauksen kannalta oletetaan tilapäisesti, että H pitäisi paikkansa. Mahdollisia hypoteeseja painoesimerkin testauksessa H : µ = 74 eli perusjoukon keskiarvo on (edelleen) 74 kg. H 1 : µ > 74 eli perusjoukon keskiarvo on suurempi kuin 74 kg. Tässä tilanteessa tiedetään, että jos paino ei ole 74 kg, niin ainoa mahdollisuus on, että se on tätä suurempi H : µ = 74 eli perusjoukon keskiarvo on (edelleen) 74 kg. H 1 : µ 74 eli perusjoukon keskiarvo ei ole 74 kg. Tässä tilanteessa oletetaan ainoastaan, että jos nollahypoteesi hylätään, voi paino olla joko suurempi tai pienempi kuin 74kg. Vastahypoteesi on rajattava ennen aineiston tarkastelua ja rajaamisen yksisuuntaiseksi tulee olla perusteltua. Tutkimuskysymys Tutkija B laski keskiarvon Tutkija C on mitannut vastaavasta perusjoukosta keskiarvon Tutkija D on mitannut vastaavasta perusjoukosta keskiarvon Kiinnostaa tietää, voiko tutkijoiden C ja D tuloksia pitää samankaltaisina tutkijan B tuloksen kanssa ELI: Ovatko tutkijoiden C ja D otoskeskiarvot peräisin samasta perusjoukosta? 5
6 Parametri Kiinnostuksen kohteena ovat keskiarvojen väliset erotukset (= tarkasteltava parametri) Tässä havaitut erot ovat: C-B: = 4.55 D-B: = 1.35 Voidaanko eroja pitää merkittävinä (yleistettävinä perusjoukkoon), kun huomioidaan satunnaisvaihtelu? Otantajakauma Jos muuttuja, jota tarkastellaan on jakaumaltaan normaali, voidaan havaita kuvaajan mukainen erilaisten keskiarvoerotusten jakauma, joka on myös normaali Jos samasta perusjoukosta otostettaisiin kaksi otosta Mitä lähempänä B:n keskiarvoa (171.77) vertailtavat keskiarvot ovat, sitä todennäköisempää on että ne tulevat samasta perusjoukosta = = = P-arvo P-arvo: Todennäköisyys havaita keskiarvojen välinen ero, joka on yhtä suuri tai suurempi kuin keskiarvojen välillä laskettiin havaituista keskiarvoista B ja C p =.2266 B ja D p = Tulkinnallisia arvoja: p <.5, ero melkein merkitsevä = 1.35 p <.1, ero merkitsevä p <.1, ero erittäin merkitsevä
7 Testisuure ja p-arvo - Esim. kun halutaan tarkastella keskiarvon välistä erotusta vertailuarvosta, ei riitä että otetaan huomioon vain keskiarvon erotuksen, vaan on myös huomioitava muuttujan hajonta ja otoskoko - Tämä tehdään käyttämällä sopivaa testisuuretta, esim. keskiarvojen kohdalla voidaan käyttää t-testisuuretta - Testisuureen otantajakaumasta voidaan ilmoittaa esim. kuinka todennäköinen jonkun yksittäinen otoksen keskiarvojen erotus vertailuarvosta on, kun pidetään nollahypoteesia totena. - p-arvo ilmoittaa tarkan todennäköisyyden havaita itseisarvoltaan yhtä suuri tai suurempi testisuureen arvo, kun nollahypoteesia pidetään totena, eli se on todennäköisyys että tutkija on väärässä, kun hän sanoo nollahypoteesin olevan voimassa. - Tällöin suuret arvot (p on lähellä 1 oleva arvo) tukevat nollahypoteesia ja pienet arvot (p on lähellä nollaa) tukevat nollahypoteesin hylkäämistä Riskitaso - Riskitaso on todennäköisyyden taso, jolla tutkija on valmis hylkäämään nollahypoteesin, vaikka se saattaisikin pitää perusjoukossa paikkansa - Sopimuksenvaraisesti on määritelty riskitasoja, joilla nollahypoteesi hylätään, näitä ovat: α =.5 α =.1 α =.1 -Riskitaso määrittää otantajakaumalta katkaisukohdan p-arvolle: Jos p > α, nollahypoteesi jää testin perusteella voimaan. Jos p < α, hylätään nollahypoteesi testin tuloksena. Tilastolliseen päätöksen tekoon liittyy riski tehdä virhepäätelmä: Jos testin perusteella nollahypoteesi hylätään, sanotaan tulosta tilastollisesti merkitseväksi. Riskitasoihin liittyen merkitsevyyksiä on nimetty seuraavasti: Todellinen asiaintila H jää voimaan Testin tulos H hylätään.5 Tilastollisesti melkein merkitsevä (*).1 Tilastollisesti merkitsevä (**).1 Tilastollisesti erittäin merkitsevä (***) Kun testiä lähdettiin suorittamaan, ei tiedetty kumpi hypoteeseista pitää paikkansa, mutta oletettiin nollahypoteesi paikkansa pitäväksi. H on voimassa H ei voimassa Oikein Väärin β Väärin α Oikein Tyypin I virhepäätelmä: Hylätään nollahypoteesi, kun se on tosi. Tyypin II virhepäätelmä: Hyväksytään nollahypoteesi, kun se on epätosi. Todennäköisyys tehdä tyypin I virhepäätelmä, on riskitason α suuruinen, tyypin II virhepäätelmää määritetään testin tehokkuudella (power). 7
8 Testisuure ja oletukset Tilastollinen testaus suoritetaan testisuureen avulla, jolla on oma otantajakaumansa ja siten omat oletuksensa. Jotta testin tulos olisi tulkittavissa oikein, tulee näiden oletusten olla voimassa. Esim. normaalijakaumaan ja keskiarvoihin liittyvät testit perustuvat olettavat tarkasteltavien muuttujien olevan normaalisti jakautuneita, jatkuvia muuttujia, ja lisäksi oletetaan otostamisen onnistuneen. Jos jonkin muuttujan kohdalla kaikki suunnitellun testin oletukset eivät täyty, joudutaan testaus suorittamaan jollakin vaihtoehtoisella testillä tai muuttujia voidaan yrittää muuntaa jollakin sopivalla muunnosfunktiolla. Seuraavassa esitellään joitain yleisiä testien oletuksia. Frequency Normaalijakautuneisuus (1) Histogrammi R AIR 25 7,5 12,5 17,5 22,5 R AIR 25 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5 52,5 57,5 62,5 67,5 72,5 77,5 82,5 87,5 92,5 Std. Dev = 13,81 Mean = 22,6 N = 188, Histogrammi Jyväskyläläisten 75- vuotiaiden naisten muuttujalle "air conducted pure tone thresholds, db, 25 Hz, right ear". Frequency CHOLESTEROL 13, 12,5 12, 11,5 11, 1,5 1, 9,5 9, 8,5 8, 7,5 7, 6,5 6, 5,5 5, 4,5 4, CHOLESTEROL Histogrammi Jyväskyläläisten 75-vuotiaiden naisten kolesterolille. Std. Dev = 1,37 Mean = 6,89 N = 189, Normaalijakautuneisuus (2) Normaalijakautuneisuus (3) Kvantiilikuvio (Q-Q-plot) 3 Normal Q-Q Plot of R AIR 25 3 Normal Q-Q Plot of CHOLESTEROL Kolmogorov-Smirovin testi: H : Muuttuja on normaalisti jakautunut perusjoukossa. H 1 : Muuttuja ei ole normaalisti jakautunut perusjoukossa. Expected Normal Observed Value Kvantiilikuvaaja kuulomuuttujalle. Expected Normal Observed Value Kvantiilikuvaaja kolesterolimuuttujalle. Jos muuttuja on normaalisti jakautunut testin p-arvo on suuri, suurempi kuin valittu riskitaso, esim..5. Normaalistijakautunut Ei normaali Tests of Normality NC263 CHOLESTEROL NC284 R AIR 25 Kolmogorov-Smirnov a Statistic df Sig.,53 185,2*, , *This is a lower bound of the true significance. a Lilliefors Significance Correction. 8
9 Varianssien yhtäsuuruus Kun verrataan usean ryhmän keskiarvoa, oletetaan ryhmien hajonnan olevan yhtä suurta. Tämän oletuksen voimassaoloa testataan Levenen testillä: H : Varianssit ovat yhtä suuret eli s 12 = s 22 = = s k2. H 1 : Ainakin yhden ryhmän varianssi on erisuuri kuin muut. Esim. (nc261) siviilisäätyryhmissä (4 kpl) Varianssit yhtä suuret Test of Homogeneity of Variances NC261 HEIGHT Levene Statistic df1 df2 Sig., ,532 9
Estimointi. Otantajakauma
Otantajakauma Otantajakauma kuvaa jonkin parametrin arvojen (esim. keskiarvon) jakauman kaikille tietyn kokoisille otoksille. jotka perusjoukosta voidaan muodostaa Histogrammissa otantajakauman parametrin
LisätiedotOtantajakauman käyttö päättelyssä
Keskiarvo otatajakauma Toisistaa tietämättä kaksi tutkijaa tutkii samaa ilmiötä, jossa perusjoukko koostuu kuudesta tutkittavasta ja tarkoituksea o laskea keskiarvo A: Kokoaistutkimus B: Otatatutkimus
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas Ilman Ruotsia: r = 0.862 N Engl J Med 2012; 367:1562-1564. POIKKEAVAN HAVAINNON VAIKUTUS PAIRWISE VAI LISTWISE? Kun aineistossa on muuttujia, joilla
Lisätiedotr = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.
A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas Keskivirheyksiköllä ilmaistuna voidaan erottaa otantajakaumalta kriittisiä kohtia: Keskimmäinen 95 % otoskeskiarvoista välillä [-1.96,+1.96] Keskimmäinen
LisätiedotLisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo?
MTTTP5, kevät 2016 15.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen 1. Valitaan 25 alkion satunnaisotos jakaumasta N(µ, 25). Olkoon H 0 : µ = 12. Hylätään H 0, jos otoskeskiarvo
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotLuottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.
5.10.2017/1 MTTTP1, luento 5.10.2017 KERTAUSTA Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla todennäköisyydellä,
LisätiedotRISKITASO. Riskitaso (α) määrittää virhepäätelmän todennäköisyyden. Käytettyjä riskitasoja:
RISKITASO Riskitaso (α) määrittää virhepäätelmän todennäköisyyden testattaessa Todennäköisyys, jolla tutkija on valmis hylkäämään nollahypoteesin, vaikka se saattaisikin pitää perusjoukossa paikkansa Käytettyjä
LisätiedotLuottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.
6.10.2016/1 MTTTP1, luento 6.10.2016 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla
LisätiedotTutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)
1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi
LisätiedotOtantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä
Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
LisätiedotLuottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.
6.10.2015/1 MTTTP1, luento 6.10.2015 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
LisätiedotEstimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio
17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas NORMAALIJAKATUNEISUUDEN TESTAUS H 0 : Muuttuja on perusjoukossa normaalisti jakautunut. H 1 : Muuttuja ei ole perusjoukossa normaalisti
Lisätiedot/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:
4.10.2016/1 MTTTP1, luento 4.10.2016 7.4 Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 4.10.2016/2
LisätiedotMTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)
21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain
Lisätiedot¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.
10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn
LisätiedotLuottamusvälit. Normaalijakauma johnkin kohtaan
Luottamusvälit Normaalijakauma johnkin kohtaan Perusjoukko ja otanta Jos halutaan tutkia esimerkiksi Suomessa elävien naarashirvien painoa, se voidaan (periaatteessa) tehdä kahdella tavalla: 1. tutkimalla
LisätiedotValitaan testisuure, jonka jakauma tunnetaan H 0 :n ollessa tosi.
9.10.2018/1 MTTTP1, luento 9.10.2018 KERTAUSTA TESTAUKSESTA, p-arvo Asetetaan H 0 H 1 Valitaan testisuure, jonka jakauma tunnetaan H 0 :n ollessa tosi. Lasketaan otoksesta testisuureelle arvo. 9.10.2018/2
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 11 (vko 48/003) (Aihe: Tilastollisia testejä, Laininen luvut 4.9, 15.1-15.4, 15.7) Nordlund 1. Kemiallisen prosessin
Lisätiedot806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.
806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
Lisätiedot/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (kertausta) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:
2.10.2018/1 MTTTP1, luento 2.10.2018 7.4 Normaalijakauma (kertausta) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 2.10.2018/2
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012
TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KURSSIN SISÄLTÖ Johdanto Mittaaminen ja aineiston hankinta Mitta-asteikot Otanta Aineiston esittäminen ja data-analyysi Havaintomatriisi
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas TEOREETTISISTA JAKAUMISTA Usein johtopäätösten teko helpottuu huomattavasti, jos tarkasteltavan muuttujan perusjoukon jakauma noudattaa
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
Lisätiedot10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut
10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset
LisätiedotOtoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden
1 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luento 30.9.2014 Olkoon satunnaisotos X 1, X 2,, X n normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ), tällöin ~ N(µ, σ 2 /n), kaava (6). Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
LisätiedotPOPULAATIO. Oikeastaan arvot, joista ollaan kiinnostuneita (mitatut numeeriset suureet, luokittelut).
KÄSITTEITÄ POPULAATIO Joukko, jota tutkitaan (äärellinen, ääretön). Oikeastaan arvot, joista ollaan kiinnostuneita (mitatut numeeriset suureet, luokittelut). Näiden välillä ei aina tehdä eroa, kun puhutaan
LisätiedotTeema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit
Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Todennäköisyyslaskennan perusteet (Teemat 6 ja 7) antavat hyvän pohjan siirtyä kurssin viimeiseen laajempaan kokonaisuuteen, nimittäin tilastolliseen päättelyyn.
LisätiedotHAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT
HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT F: E: Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies (1) 59 28 4 91 Nainen (2) 5 14 174 193 Yhteensä 64 42 178 284 Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
5.3.2018/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 5.3.2018, osa 1 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotTeema 9: Tilastollinen merkitsevyystestaus
Teema 9: Tilastollinen merkitsevyystestaus Tärkeä päättelyn osa-alue on tilastollinen merkitsevyystestaus, johon päästään luontevasti edellisen teeman aiheista: voidaan kysyä, menevätkö kahden vertailtavan
LisätiedotKynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto
Kynä-paperi -harjoitukset Taina Lehtinen 43 Loput ratkaisut harjoitustehtäviin 44 Stressitestin = 40 s = 8 Kalle = 34 pistettä Ville = 5 pistettä Z Kalle 34 8 40 0.75 Z Ville 5 8 40 1.5 Kalle sijoittuu
LisätiedotOngelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta?
Yhden otoksen suhteellisen osuuden testaus Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta? Hypoteesit H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 tai H 1 : p > p 0 tai H 1 : p < p 0 Suhteellinen osuus
Lisätiedot7.4 Normaalijakauma (kertausta ja täydennystä) Taulukosta P(Z 1,6449) = 0,05, P(Z -1,6449) = 0,05 P(Z 1,96) = 0,025, P(Z -1,96) = 0,025
26.3.2019/1 MTTTP1, luento 26.3.2019 7.4 Normaalijakauma (kertausta ja täydennystä) Z ~ N(0, 1), tiheysfunktion kuvaaja 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Taulukosta P(Z 1,6449) = 0,05, P(Z -1,6449) = 0,05 P(Z 1,96)
LisätiedotTilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo
Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotOtoskoon arviointi. Tero Vahlberg
Otoskoon arviointi Tero Vahlberg Otoskoon arviointi Otoskoon arviointi (sample size calculation) ja tutkimuksen voima-analyysi (power analysis) ovat tilastollisen tutkimuksen suunnittelussa keskeisiä kysymyksiä
Lisätiedothttps://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014
1 MTTTP3 Tilastollisen päättelyn perusteet 2 Luennot 8.1.2015 ja 13.1.2015 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014
LisätiedotLuentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012
Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012 Otanta Otantamenetelmiä Näyte Tilastollinen päättely Otantavirhe Otanta Tavoitteena edustava otos = perusjoukko
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotSisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4
Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN...6 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO...7 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET...9
LisätiedotParametrin estimointi ja bootstrap-otanta
Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta 1/27 Kevät 2003 Käytännön asioista
Lisätiedot1. Nollahypoteesi on, että teksti on kirjoitettu lyhyemmällä murteella. Mahdollisiavaihtoehtojaonvainyksieliettäteksti
Sosiaalitieteiden laitos Tilastotieteen jatkokurssi, kevät 20 7. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset. Nollahypoteesi on, että teksti on kirjoitettu lyhyemmällä murteella. Mahdollisiavaihtoehtojaonvainyksieliettäteksti
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Hypoteesin testauksesta Tilastollisessa testauksessa on kyse havainnoista tapahtuvasta päätöksenteosta. Kokeellisen tutkimuksen
Lisätiedot2. Keskiarvojen vartailua
2. Keskiarvojen vartailua Esimerkki 2.1: Oheiset mittaukset liittyvät Portland Sementin sidoslujuuteen (kgf/cm 2 ). Mittaukset y 1 ovat nykyisestä seoksesta ja mittaukset y 2 uudesta seoksesta, jossa lisäaineena
Lisätiedotvoidaan hylätä, pienempi vai suurempi kuin 1 %?
[TILTP1] TILASTOTIETEEN JOHDANTOKURSSI, Syksy 2011 http://www.uta.fi/~strale/tiltp1/index.html 30.9.2011 klo 13:07:54 HARJOITUS 5 viikko 41 Ryhmät ke 08.30 10.00 ls. C8 Leppälä to 12.15 13.45 ls. A2a Laine
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa
Lisätiedot1. Tilastollinen malli??
1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen
LisätiedotOtoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654
1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotTilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotJos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan
17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten
LisätiedotSisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 2. TODENNÄKÖISYYS...
Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO... 9 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET... 11 TEHTÄVIÄ... 13
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu
LisätiedotFoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo
FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy
LisätiedotKaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu.
Ka6710000 TILASTOLLISEN ANALYYSIN PERUSTEET 2. VÄLIKOE 9.5.2007 / Anssi Tarkiainen Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu. Tehtävä 1. a) Gallupissa
LisätiedotBIOSTATISTIIKKAA ESIMERKKIEN AVULLA. Kurssimoniste (luku 2) Janne Pitkäniemi. Helsingin Yliopisto Kansanterveystieteen laitos
BIOSTATISTIIKKAA ESIMERKKIEN AVULLA Kurssimoniste (luku 2) Janne Pitkäniemi Helsingin Yliopisto Kansanterveystieteen laitos Helsinki, 2005 Biostatistiikkaa esimerkkien avulla 1 Janne Pitkäniemi, syksy
LisätiedotKvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä
Kvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä Harjoitukset: 2 Muuttujan normaaliuden testaaminen, merkitsevyys tasot ja yhden otoksen testit FT Joni Vainikka, Yliopisto-opettaja, GO218, joni.vainikka@oulu.fi
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
LisätiedotTilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotAineistokoko ja voima-analyysi
TUTKIMUSOPAS Aineistokoko ja voima-analyysi Johdanto Aineisto- eli otoskoon arviointi ja tutkimuksen voima-analyysi ovat tilastollisen tutkimuksen suunnittelussa keskeisimpiä asioita. Otoskoon arvioinnilla
Lisätiedot/1. MTTTP5, luento Kertausta. Olk. X 1, X 2,..., X n on satunnaisotos N(µ, ):sta, missä tunnettu. Jos H 0 on tosi, niin
30.11.2017/1 MTTTP5, luento 30.11.2017 Kertausta H 0 : µ = µ 0 Olk. X 1, X 2,..., X n on satunnaisotos N(µ, ):sta, missä tunnettu. Jos H 0 on tosi, niin = / ~ 0,1. Kaava 5.1 30.11.2017/2 Esim. Tutkija
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas JAKAUMAN MUOTO Vinous, skew (g 1, γ 1 ) Kertoo jakauman symmetrisyydestä Vertailuarvona on nolla, joka vastaa symmetristä jakaumaa (mm. normaalijakauma)
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 5
MS-A Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Tilastollinen testaus Tilastollisten testaaminen Tilastollisen tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta on esitetty jokin väite tai
Lisätiedot2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN...
!" # 1. 1. JOHDANTO... 3 2. 2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN... 4 2.1. T-TESTI... 4 2.2. RANDOMISAATIOTESTI... 5 3. SIMULOINTI... 6 3.1. OTOSTEN POIMINTA... 6 3.2. TESTAUS... 7 3.3. TESTIEN TULOSTEN VERTAILU...
Lisätiedotpisteet Frekvenssi frekvenssi Yhteensä
806118P JOHDATUS TILASTOTIETEESEEN Loppukoe 15.3.2018 (Jari Päkkilä) 1. Kevään -17 Johdaus tilastotieteeseen -kurssin opiskelijoiden harjoitusaktiivisuudesta saatujen pisteiden frekvenssijakauma: Harjoitus-
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas f 332 = 3 Kvartiilit(302, 365, 413) Kvartiilit: missä sijaitsee keskimmäinen 50 % aineistosta? Kvartiilit(302, 365, 413) Keskiarvo (362.2) Keskiarvo
Lisätiedotedellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾
ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos
Lisätiedotc) A = pariton, B = ainakin 4. Nyt = silmäluku on5 Koska esim. P( P(A) P(B) =, eivät tapahtumat A ja B ole riippumattomia.
Tehtävien ratkaisuja 4. Palloja yhteensä 60 kpl. a) P(molemmat vihreitä) = P((1. pallo vihreä) ja (. pallo vihreä)) = P(1. pallo vihreä) P(. pallo vihreä 1. pallo vihreä) = 0.05 (yleinen kertolaskusääntö)
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
Lisätiedot