8. Morfologinen kuvanprosessointi 8.1. Perusteita Sana morfologia viittaa muotoon ja rakenteeseen eri tieteenaloilla. Kuvanprosessoinnissa se tarkoittaa matemaattista keinoa, jolla irrotetaan kuvasta kiinnostavia osia näiden ollessa hyödyllisiä alueiden muodon esityksessä. Tämä luku on melko suppea, koska ao. menetelmät koskevat lähinnä binäärikuvia, joiden kuva-alkiot (pikselit) ovat joukosta Z 2. Sinänsä monet menetelmistä ovat yleistettävissä n-ulotteiseen euklidiseen avaruuteen. Matemaattisen morfologian kieli on joukkoteoria. Tämä tarjoaa useita keinoja kuvanprosessoinnin ongelmiin. Kuvan sisältämät kohteet edustavat joukkoja. Joukot käsittävät kaksiulotteisen avaruuden Z 2 alkioita (luku 2.4.), jotka ovat monikkoja (kaksiulotteisia vektoreita). Näiden koordinaatit ovat (x,y)-pareja ja arvot valkoisen (tai mustan) pikselin arvoja. Harmaasävyt voidaan esittää joukkoina, joiden komponentit kuuluvat avaruuteen Z 3 kolmannen komponentin ollessa intensiteettiarvo. Suurempiulotteiset avaruudet voivat käsittää värikomponentit ja ajan. Morfologinen kuvanprosessointi 415
Joukon B peilikuva määritellään seuraavasti. B w w b, kun b Jos B on kuvan kohteen pikselien joukko, niin sen peilikuva on yksinkertaisesti B:n pisteiden (x,y) joukko, jossa koordinaatit on muutettu muotoon (-x,-y). Kuvassa 8.1.(b) on (a):n peilikuva. B Joukon B translaatio eli siirto pisteeseen z=(z 1,z 2 ) määritellään seuraavalla kaavalla. ( B) z c c b z, kun b B Tässä, kuten kuvassa 8.1.(c), B:n koordinaatit korvataan koordinaateilla (x+z 1,y+z 2 ). Morfologinen kuvanprosessointi 416
b a c Kuva 8.1.(a) Pikselien joukko on esitetty sävytettynä kuviona, (b) joukon peilikuva ja (c) z:n suuruinen translaatio. Morfologinen kuvanprosessointi 417
Peilikuvaa ja translaatiota käytetään muodostettaessa rakennealkioiden operaatioita, joille muodostetaan pieniä osajoukkoja (kuvan osia) kuvan muokkaamiseksi tai testaamiseksi. Määritellään, mitkä alkiot ovat rakennealkiossa mukana, ja lisäksi, mikä on sen origo (yleensä asetetaan keskipisteeseen, vaikka tämä on pohjimmiltaan sovelluskohtainen kysymys). Origo merkitään pisteellä, mutta rakennealkion kuvion ollessa symmetrinen origon oletetaan sijaitsevan keskipisteessä, kun sitä ei ole merkitty. Kuva 8.2. esittää esimerkin. Kuva 8.3. osoittaa, miten rakennealkioita käytetään morfologiassa. Kuvat 8.3.(a) ja (b) sisältävät joukon ja rakennealkion. Tausta tehdään riittävän laajaksi suorakulmioksi, jotta se sisältää joukon A. Morfologinen kuvanprosessointi 418
Kuva 8.2. Ylärivillä on rakennealkioista esimerkkejä. Alarivissä rakennealkiot on asetettu suorakulmiotaulukoihin. Piste on rakennealkion keskipisteessä. Morfologinen kuvanprosessointi 419
Kuva 8.3.(a) Joukko A, (b) rakennealkio, (c) joukon sivuille on lisätty tausta-alkioita suorakulmion muotoon, (d) rakennealkio 3 3- taulukkona ja (e) rakennealkiolla prosessoitu joukko. Morfologinen kuvanprosessointi 420
Määritellään esimerkkiä varten joukolle A rakennealkiota B käyttävä operaatio, joka muodostaa uuden joukon ajamalla B yli joukon A B:n origon käydessä jokaisessa A:n paikassa (pikselissä). Mikäli B sisältyy tällöin kokonaan A:han, merkitään nykyinen paikka mukaan tulosjoukkoon, muuten tämän ulkopuolelle. Tulosjoukko on kuvassa 8.3.(e). Kyseinen operaatio on eroosio. Eroosion muodostamaan joukkoon kuuluvat vain ne pikselit, joissa A:n ja B:n alkiot menivät täysin päällekkäin. Morfologinen kuvanprosessointi 421
8.2. Eroosio ja dilaatio Eroosio (syövyttäminen) ja dilaatio (laajennus) ovat morfologian perusoperaatiot, joihin monet muut operaatiot perustuvat. Olkoot A ja B joukkoja avaruudessa Z 2. A:n eroosio B:llä merkitään ja määritellään seuraavasti. A B z ( B ) Kyseessä on siis pisteiden z joukko, jossa z:lla siirretyt pikselit kuuluvat joukkoon A. Kun rakennealkion B on kuuluttava joukkoon A, edellinen lause on ekvivalentti sen kanssa, että B:llä ei ole yhteisiä pikseleitä taustan kanssa, ts. A B z Ø jossa A c on joukon A komplementti ja Ø tyhjä joukko (luku 2.6.). Kuvassa 8.4. on esimerkki. z A c z ( B) A, Morfologinen kuvanprosessointi 422
Kuva 8.4.(a) Joukko A, (b) neliönmuotoinen rakennealkio B, (c) A:n eroosio B:llä (sävytettynä), (d) venytetty rakennealkio, (e) A:n eroosio tällä. Pisteviivoilla on merkitty selvyyden vuoksi rajatut alueet eli joukon A rajat. Morfologinen kuvanprosessointi 423
Kuva 8.5. esittää esimerkin eroosion soveltamisesta. Siinä kuvaa 8.5.(a) prosessoidaan eroosiolla, jossa rakennealkion koko on 11 11 pikseliä. Tulos nähdään kuvassa 8.5.(b), jossa enimmät säteet katosivat ja sakarat ohentuivat, mutta eivät kadonneet kokonaan. Alkuperäisessä kuvassa sakarat olivat leveämmät kuin 11 pikseliä. Muuttamalla rakennealkion kooksi 15 15 saadan kuvan 8.5.(c) tulos (vaihtoehtoisesti voitaisiin ajaa toistamiseen 11 11). Rakennealkion kokoa edelleen suurentamalla kokoon 45 45 pyyhkäistään sakarat kokonaan pois. Eroosio kutisti tai ohensi binäärikuvan kohteita. Näin sitä voidaan käyttää morfologisessa suodatuksessa. Morfologinen kuvanprosessointi 424
a b c d Kuva 8.5.(a) Alkuperäinen binäärikuva kooltaan 486 486 pikseliä sekä (b) maskilla 11 11, (c) 15 15 ja (d) 45 45 ajettu eroosio. Morfologinen kuvanprosessointi 425
Joukkojen A ja B ollessa Z 2 :ssa A:n dilaatio B:llä määritellään seuraavalla tavalla. Ø (1) A B z B Tässä otetaan B:n peilikuva origon suhteen ja sitten siirretään se z:n verran (kuva 8.1.). Tällöin A:n dilaatio B:llä on kaikkien z-siirtojen joukko B:n ja A:n mennessä päällekkäin vähintään yhden pikselin kohdalla. Täten kaava (1) on kirjoitettavissa ekvivalentisti näin. A B z B Jälleen A oli kuva ja B rakennealkio. B voidaan mieltää konvoluutiomaskina. Sen käyttö on analogista spatiaalisen maskin kanssa (luku 3.4.). Dilaatio perustuu kuitenkin joukko-operaatioihin, joten se on epälineaarinen toisin kuin lineaarinen konvoluutio. z z A A A Morfologinen kuvanprosessointi 426
Eroosioon verrattuna vastakkaisena operaationa dilaatio kasvattaa tai vahventaa binäärikuvan kohteita. Tätä vahventamista määrittää rakennealkion muoto. Kuva 8.6.(a) esittää saman joukon kuin kuva 8.4. Kuva 8.6.(b) esittää rakennealkion (nyt peilikuva kuvan 8.4. tilanteelle). Kuvan 8.6.(c) katkoviiva käsittää vertailun vuoksi alkuperäisen kuvan ja kiinteä viiva rajan, jonka yli menevät B:n peilikuvan z-siirrot tekisivät B:n peilikuvan ja A:n leikkauksesta tyhjän. Näin ollen kaikki rajan sisäpuolella tai rajalla olevat pisteet määrittävä kyseisen dilaation. Kuva 8.6.(d) käsittää rakennealkion, joka tuottaa suuremman dilaation pysty- kuin vaakasuunnassa. Kuva 8.6.(e) on tämän tulos. Morfologinen kuvanprosessointi 427
a b c e d Kuva 8.6.(a) Joukko A, (b) neliönmuotoinen rakennealkio, (c) B:n dilaatio A:lle, (d) pidennetty rakennealkio ja (e) tällä aikaansaatu dilaatio. Morfologinen kuvanprosessointi 428
Dilaatiota käytetään aukkojen paikkaamiseen kuvassa. Kuva 8.7.(a) on esimerkki, josta tiedetään suurimpien katkosten olevan kaksi pikseliä. Kuva 8.7.(b) esittää, miten rakennealkiolla korjataan katkokset. Sävytyksen sijasta tässä on käytetty 1:siä rakennealkiossa ja 0:ia taustassa. Kuva 8.7.(c) antaa dilaation tuloksen, jossa aukot on paikattu. Morfologinen kuvanprosessointi 429
a c b Kuva 8.7.(a) Kehnon resoluution tekstiä, jossa on katkenneita merkkejä (ks. suurennettu kuvan osa), (b) rakennealkio ja (c) dilaation tulos, jossa katkenneet segmentit on yhdistetty. Morfologinen kuvanprosessointi 430
Eroosio ja dilaatio ovat duaalisia toisilleen. Ne voidaan muodostaa toisistaan komplementin avulla. c A B c A c A B c A B B Duaalisuus on hyödyllinen erityisesti, kun rakennealkio on symmetrinen origon suhteen kuten tavallista, jolloin joukko B on yhtä kuin sen peilikuva. Silloin kuvan B:n mukainen eroosio saadaan suorittamalla dilaatio taustalle (dilaatio A c :lle) samalla rakennealkiolla. Sama idea pätee myös dilaation suorittamiselle. Muita hyödyllisiä operaatioita ovat avaus (opening) ja sulku (closing). Edellinen soveltuu kohteen ääriviivojen tasoitukseen ja ulkonemien poistamiseen. Sulku sulauttaa katkoja ja pitkiä kapenemia sekä hävittää reikiä. Morfologinen kuvanprosessointi 431
8.3. Morfologisia perusalgoritmeja Edeltävillä perusoperaatioilla voidaan helposti muodostaa binäärikuvien käsittelyä varten erilaisia menetelmiä, joista esitetään muutama keskeinen. Rajan irrottaminen (boundary extrcation) on usein esiintyvä tehtävä. Joukon A raja (A) saadaan ensin suorittamalla B-eroosio A:lle ja sitten laskemalla erotus A:n ja tämän eroosion välillä. B on asianmukainen rakennealkio. ( A ) A A B Kuva 8.8. havainnollistaa tehtävän suorittamista. Kuva 8.9. esittää esimerkin, jossa on käytetty 1-rakennealkiota kokoa 3 3. Tässä 1:set esitetään valkoisina (myös rakennealkiossa) ja 0:t mustina. Kyseisen rakennealkion muodon takia kuvassa 8.8. rajasta tuli yhden pikselin vahvuinen. Morfologinen kuvanprosessointi 432
a b c d Kuva 8.8.(a) Joukko A, (b) rakennealkio B, (c) B-eroosio A:lle ja (d) A:n ja tämän eroosion muodostama raja. Morfologinen kuvanprosessointi 433
(a) (b) Kuva 8.9.(a) Binäärikuva (1:set edustavat valkoisia) ja (b) sille laskettu yhden pikselin vahvuinen raja. Morfologinen kuvanprosessointi 434
Reikä määritellään tausta-alueena, jota ympäröi yhtenäinen edustapikselien raja-alue. Soveltaen dilaatiota, komplementtia ja leikkausta kuvan reikiä voidaan täyttää. Tehtävänä on täyttää kuvan reikä 1:sillä, kun on annettu reiän sisäinen aloituspiste. Aloitetaan muodostamalla 0:ien taulukko X 0, joka on samaa kokoa kuin reikäisen kohteen sisältävä joukko A. Reiän aloituskohtaan asetetaan kuitenkin 1. Seuraava proseduuri täyttää reiän 1:sillä. Jos reikiä on useita toimitaan samoin jokaisen osalta. X k c X B A, 1,2,... k k 1 B on tässä symmetrinen rakennealkio (kuva 8.10.(c)). Algoritmin suoritus päättyy iteraatiolla k, jos X k = X k-1. Tällöin X k sisältää kaikki täytetyt reiät. Joukkojen X k ja A unioni käsittää sekä täytetyt reiät että rajan. (2) Morfologinen kuvanprosessointi 435
a b c Kuva 8.10. Reiän täyttäminen: (a) Joukko A (sävytettynä), (b) tämän komplementti, (c) rakennealkio B (d) rajan sisäinen aloituspiste, (e) -(h) iteraatiot ja (i) lopputulos kohtien (a) ja (h) unioni). d e f g h i Morfologinen kuvanprosessointi 436
Kaavan (2) dilaatio täyttäisi koko alueen, ellei tilannetta tarkistettaisi. Kunkin iteraation leikkaus komplementin A c kanssa rajoittaa kuitenkin tuloksen kiinnostusalueen sisäpuolelle. Täten kyseessä on ehdollinen dilaatio. Vaikka esimerkissä oli vain yksi reikä, menetelmä käy yhtä hyvin monireikäisille, kunhan jokaisen reiän sisältä on annettu aloituspiste. Kuva 8.11. esittää esimerkin, jossa on täytetty valkoisten renkaiden mustat sisäosat. Kuvasta 8.11.(a) on valittu yksi rengas, joka on täytetty kuvassa 8.11.(b). Kuvassa 8.11.(c) ovat kaikki renkaat täytettyjä. Muita morfologisia tehtäviä ovat yhdistettyjen komponenttien irrottaminen, konveksin peitteen (convex hull) laskenta, ohentaminen, vahvistaminen, rangan laskenta, karsiminen ja morfologinen rekonstruktio. Morfologinen kuvanprosessointi 437
Kuva 8.10.(a) Binäärikuva, jossa on valkoisia renkaita eli reiällisiä kohteita, (b) yksi niistä täytetty valkoisella ja (c) kaikki täytetty. Morfologinen kuvanprosessointi 438