KALA- JA RIISTARAPORTTEJA nro 374 Jukka Laiinen Jari Seälä Kaija Saarni Suomen kalamarkkinoiden analyysi yheisinegraaiomeneelmällä Helsinki 006
Julkaisija Riisa- ja kalaalouden ukimuslaios KUVAILULEHTI Julkaisuaika Tammikuu 006 Tekijä() Jukka Laiinen, Jari Seälä ja Kaija Saarni Julkaisun nimi Suomen kalamarkkinoiden analyysi yheisinegraaiomeneelmällä Julkaisun laji Tukimusrapori Toimeksianaja Toimeksianopäivämäärä Projekin nimi ja numero Villin kalan markkina (3 05) Tiiviselmä Tukimuksessa esiellään yheisinegraaioanalyysimeneelmä ja sovelleaan siä suomalaisen kalamarkkinoiden ukimukseen. Yheisinegraaiomeneelmän käyö markkinoiden analysoiniin perusuu Siglerin ja Sherwinin määrielmään markkinoisa. Sen mukaan kahden uoeen voidaan kasoa olevan samoilla markkinoilla ja näin ollen läheisiä subsiuueja, jos niiden hinojen suhde pysyy ajan kuluessa vakaana. Tukimuksen empiirisessä osassa esaaan kalaseun lohen, aimenen, siian, ahvenen, kuhan, hauen, lahnan ja muikun hinojen välisä yheisinegraaioa. Tesi on suorieu koko havainojaksolle 990-00, sekä mahdollisen rakennemuuoksen vuoksi myös kahdelle lyhyemmälle jaksolle ennen ja jälkeen EUjäsenyyä. Yksikköjuura esaaan laajenneulla Dickeyn ja Fullerin esillä ja yheisinegraaioa Johansenin meneelmällä. Rajoieuilla yheisinegraaioeseillä esaaan lisäksi yhden hinnan lakia ja heikkoa eksogeenisuua. Tesien selkeimpänä uloksena voidaan piää lohen ja aimenen yheisinegraaioa. Niillä on myös yhden hinnan laki voimassa, joen niiä voidaan piää eriäin läheisinä subsiuueina. Myös valkolihaise laji siika, kuha ja ahven näyäisivä kilpailevan jossain määrin keskenään. Asiasana yheisinegraaio, kala, markkina, Johansenin meneelmä Sarjan nimi ja numero ISBN ISSN Kala- ja riisaraporeja 374 95-776-50-7 38-335 Sivumäärä Kieli Hina Luoamuksellisuus 50 s. Suomi Julkinen Jakelu Riisa- ja kalaalouden ukimuslaios Viikinkaari 4 PL 0079 Helsinki Puh. 005 75 Faksi 005 75 0 hp://www.rkl.fi/ukimuslaios/julkaisu (pdf) Kusanaja Riisa- ja kalaalouden ukimuslaios Viikinkaari 4 PL 0079 Helsinki Puh. 005 75 Faksi 005 75 0
Sisällys YHTEENVETO.... JOHDANTO...3. TEOREETTINEN TAUSTA...5. Markkina ja niiden rajaaminen...5. Markkinoiden inegroiuneisuus ja yhden hinnan laki...6.3 Yhden hinnan laki ja yhdiselmähyödyke-eoreema...7 3. METODIT...9 3. Aikasarjoisa ja niiden luoneesa...9 3. Yksikköjuuriesi...0 3.. Yksikköjuuriprosessi...0 3.. Dickeyn ja Fullerin esi... 3..3 Laajenneu Dickeyn ja Fullerin esi...3 3..4 Kausiaisuus yksikköjuuren esaamisessa...4 3..5 Rakennemuuos ja yksikköjuuren esaus...5 3.3 Yheisinegraaio ja sen esaaminen...6 3.3. Yheisinegraaio...6 3.3. Englen ja Grangerin meneelmä...7 3.3.3 Johansenin meneelmä...8 3.3.4 Rajoiusen esaaminen...0 3.3.5 Lyhyen aikavälin mallinnus... 3.3.6 Yheisinegraaioanalyysin sovelaminen... 4. SUOMEN KALAMARKKINAT...3 4. Johdaus Suomen kalamarkkinoihin...3 4. Tarkaselu kalalajeiain...4 4.. Lohi...4 4.. Taimen...6 4..3 Siika...7 4..4 Ahven...8 4..5 Kuha...9 4..6 Hauki...30 4..7 Lahna...3 4..8 Muikku...3 4.3 Yheenveo lajikohaisesa arkaselusa...3 5. TILASTOLLISET TESTIT...36 5. Meneelmä ja aineiso...36 5. Yksikköjuuriesi...36 5.3 Yheisinegraaioesi...38 5.4 Heikko eksogeenisuus ja yhden hinnan laki...4 5.5 Pikän ja lyhyen aikavälin mallien esimoidu yhälö...43 6. TULOSTEN TARKASTELU...46 LÄHTEET...49
Yheenveo Epäsaionaarisen muuujien analysoini perineisellä regressioanalyysilla anaa usein virheellisiä uloksia. Eräs epäsaionaarisuuden aiheuama haia on näennäisregressio (spurious regression). Tällöin regressioanalyysisa saaava ulokse saaava ilmaisa kahden muuujan välille ilasollisesi merkisevää suhdea, joa ei oikeasi ole. Epäsaionaarisia muuujia voidaan kuienkin analysoida yheisinegraaioanalyysilla. Tämän ukimuksen arkoiuksena on esiellä yheisinegraaioanalyysia meneelmänä ja sovelaa siä suomalaisen kalamarkkinoiden karoiukseen. Tukimuksessa analysoidaan kalalajien välisen hina-aikasarjojen riippuvuussuheia. Tulosen peruseella pyriään selviämään löyyykö Suomen kalamarkkinoila eri lajien välisiä subsiuuiosuheia ja mikä laji näin ollen kilpaileva keskenään markkinoilla. Yheisinegraaioanalyysin käyö markkinoiden analysoiniin perusuu Siglerin ja Sherwinin (985) määrielmään markkinoisa. Sen mukaan kahden uoeen voidaan kasoa olevan samoilla markkinoilla ja näin ollen läheisiä subsiuueja, jos niiden hinojen suhde pysyy ajan kuluessa vakaana. Tämä määrielmä on myös läheisessä yheydessä yhden hinnan lakiin. Yhden hinnan lain vahva versio on voimassa jos uoeiden hinna ova äsmällisesi sama. Yhden hinnan lain heikossa versiossa uoeiden suheellise hinna pysyvä vakiona. Deerminisisessä muodossaan yhden hinnan laki on myös läheisessä yheydessä yhdiselmähyödykeeoreemaan, jonka mukaan kaha ai useampaa hyödykeä voidaan piää yhenä uoeena, jos niiden hinojen suhde pysyy vakiona ajan kuluessa. Tukimuksessa käyeävä meneelmä pohjauuva aikasarjaekonomeriaan. Tärkeä aikasarjoihin liiyvä ominaisuus on saionaarisuus. Aikasarja on saionaarinen jos sen odousarvo, varianssi ja kaikki auokovarianssi pysyvä vakioina ajankohdasa riippumaa. Epäsaionaarise muuuja on mahdollisa saada saionaariseksi differoimalla ne kerran ai useammin. Jos aikasarja äyyy differoida d keraa, se on inegroiunu aseella d. Aikasarjojen saionaarisuua voidaan esaa yksikköjuurieseillä. Jos aikasarjalla on yksikköjuuri, on kyseessä epäsaionaarinen aikasarja. Yleisimmin yksikköjuuren olemassaoloa esaaan Dickeyn ja Fullerin esillä (DF-esi) ai laajenneulla Dickeyn ja Fullerin esillä (ADF-esi), jossa virheermin auokorrelaaio eliminoidaan lisäämällä malliin viiväseyjä differenssiermejä. Jos aikasarja ova epäsaionaarisia ja inegroiunee samaa asea d, voidaan niiä esaa yheisinegraaioanalyysillä. Saionaarisia muuujia voidaan analysoida perineisellä regressioanalyysillä. Kahden ai useamman epäsaionaarisen muuujan lineaarikombinaaio ova usein epäsaionaarisia. Jos kuienkin epäsaionaarisen muuujien välillä on löydeävissä saionaarinen lineaarikombinaaio, sanoaan muuujien olevan yheisinegroiuneia. Käyännössä ämä arkoiaa, eä yheisinegroiunee muuuja eivä ajan kuluessa ajaudu kovin kauaksi oisisaan ja niiden välillä vallisee pikän aikavälin asapainosuhde. Yheisinegraaion esaamiseen on kaksi keskeisä meneelmää. Englen ja Grangerin meneelmässä selvieään ovako residuaali saionaarisia. Johansenin meneelmä sovelaa suurimman uskoavuuden (maximum likelihood) meneelmää vekoriauoregressiiviseen (VAR) malliin. Sen avulla voidaan eliminoida Englen ja Grangerin meneelmässä sovelleava kaksivaiheinen meneely sekä useampia yheisinegraaiovekoreia voidaan esimoida ja esaa yhä aikaa. Lisäksi voidaan esaa myös yheisinegraaiovekoreille aseeuja rajoiuksia sekä sopeuumisparamereja. Lyhyen aikavälin dynamiikasa saadaan ieoa esimoimalla malli virheenkorjausmuodossa. Tukimuksessa sovelleaan yheisinegraaioanalyysia suomalaiseen kalamarkkinaaineisoon. 990-luvulla apahunu kalakaupan vapauuminen ja kansainvälisyminen vaikuiva merkiäväsi Suomen kalamarkkinoihin. Kaupan vapauuminen ei koskenu pelkäsään muia EU-maia vaan myös uoni Norjasa vapauui. Norjasa uodun
lohikalan osuus kasvoi nopeasi ja ämä laski voimakkaasi myös koimaisen lohikalojen hinoja. Mahdollisen rakennemuuoksen vuoksi esi on suorieu paisi koko havainojaksolle 990 00, myös kahdelle lyhyemmälle jaksolle ennen ja jälkeen EUjäsenyyden alkamisen. Tesaavina lajeina ova lohi, aimen, siika, ahven, kuha, hauki, lahna ja muikku. Tesien peruseella loogisimmala uloksela vaikuaa lohen ja aimenen hinnalla valliseva selkeä pikän aikavälin asapainoila. Myös kuha ja siika mahdollisesi kilpaileva jossain määrin oisensa kanssa. Lisäksi näyäisi olevan jonkinlaisia viieiä kuhan ja ahvenen välisesä yheydesä. Tämän esin peruseella ja aiempiin ukimuksiin viiaen voidaan odea, eä punalihaise kala muodosava oman segmeninsä ja niiden hina määräyyy pikäli maailmanmarkkinoilla. Valkolihaisen lajien osala on vaikeampi veää yhä selkeiä johopääöksiä. Tämän ukimuksen peruseella saadaan ieoa suomalaisen kalamarkkinoiden kilpailuaseelmisa. Vaikka äsmällisä ieoa subsiuuisuheiden voimakkuuksisa ei ämän ukimuksen avulla saadakaan, voidaan uloksia hyödynää ennakkohypoeeseja aseeaessa mahdollisissa jakoukimuksissa.
. Johdano Viime vuosien aikana yheisinegraaioanalyysisa on ullu suosiu meneelmä aikasarjoja analysoiaessa, sillä sen avulla pysyään analysoimaan epäsaionaarisia aikasarjoja ilman perineisillä regressiomeneelmillä ilmeneviä ongelmia. Yheisinegraaioanalyysi on suheellisen uore meneelmä. Siä on kuienkin jo ehdiy sovelaa moniin erilaisiin ukimusalueisiin, ja lisää sovelamisaloja synyy jakuvasi. Yheisinegraaioanalyysin avulla on esau esimerkiksi markkinoiden ehokkuushypoeesia, osovoimaparieeia ja lukuisia muia pikän aikavälin aloudellisia riippuvuussuheia. Kalamarkkinoiden apauksessa siä on käyey esimerkiksi markkinoiden inegroiuneisuuden ukimiseen joko maanieeellisesä ai lajien välisesä näkökulmasa. Tämän ukimuksen arkoiuksena on esiellä yheisinegraaioanalyysia meneelmänä ja sovelaa siä suomalaisen kalamarkkinoiden karoiukseen. Tukimuksessa analysoidaan kalalajien välisen hina-aikasarjojen riippuvuussuheia. Empiirisen ulosen peruseella pyriään selviämään löyyykö Suomen kalamarkkinoila eri lajien välisiä subsiuuiosuheia ja mikä laji näin ollen kilpaileva keskenään markkinoilla. Tulosen ulkina perusuu Siglerin ja Sherwinin (985) määrielmään markkinoisa. Sen mukaan kahden uoeen voidaan kasoa olevan samoilla markkinoilla ja näin ollen läheisiä subsiuueja, jos niiden hinojen suhde pysyy ajan kuluessa vakaana. Tukimuksen pääpaino ulee olemaan meneelmäosiossa, sillä ukimus pohjauuu pääosin yheisinegraaioanalyysiin. Ennen yheisinegraaioanalyysia on kuienkin ukiava aikasarjojen saionaarisuua, koska yheisinegraaioanalyysin edellyyksenä on, eä analysoiava aikasarja ova epäsaionaarisia ja inegroiunee samanaseisesi. Aikasarja on saionaarinen jos sen odousarvo, varianssi ja kaikki auokovarianssi pysyvä vakioina ajankohdasa riippumaa. Aikasarjojen saionaarisuua voidaan esaa yksikköjuurieseillä. Jos aikasarjalla on yksikköjuuri, on kyseessä epäsaionaarinen aikasarja. Yleisimmin yksikköjuuren olemassaoloa esaaan Dickeyn ja Fullerin esillä (DF-esi) ai laajenneulla Dickeyn ja Fullerin esillä (ADF-esi), jossa virheermin auokorrelaaio eliminoidaan lisäämällä malliin viiväseyjä differenssiermejä. Jos aikasarjojen odeaan olevan epäsaionaarisia ja inegroiuneen samanaseisesi, voidaan niiä esaa yheisinegraaioanalyysilla. Kahden ai useamman epäsaionaarisen muuujan sanoaan olevan yheisinegroiuneia jos niiden välillä on löydeävissä saionaarinen lineaarikombinaaio. Käyännössä ämä arkoiaa, eä yheisinegroiunee muuuja eivä ajan kuluessa ajaudu kovin kauaksi oisisaan ja niiden välillä vallisee pikän aikavälin asapainosuhde. Yheisinegraaion esaamiseen on kaksi keskeisä meneelmää. Englen ja Grangerin meneelmässä selvieään ovako residuaali saionaarisia. Johansenin meneelmä sovelaa suurimman uskoavuuden (maximum likelihood) meneelmää vekoriauoregressiiviseen (VAR) malliin. Sen avulla voidaan eliminoida Englen ja Grangerin meneelmässä sovelleava kaksivaiheinen meneely sekä useampia yheisinegraaiovekoreia voidaan esimoida ja esaa yhä aikaa. Lisäksi voidaan esaa yheisinegraaiovekoreille aseeuja erilaisia rajoiuksia. Sekä Englen ja Grangerin eä Johansenin meneelmässä on mahdollisa saada ieoa myös lyhyen aikavälin dynamiikasa esimoimalla malli virheenkorjausmuodossa. Tukimuksessa sovelleaan yheisinegraaioanalyysia suomalaiseen kalamarkkinaaineisoon. Yksikköjuuren olemassaoloa ukiaan ADF-esillä ja yheisinegraaioesi ehdään Johansenin meneelmällä. Rajoieuilla yheisinegraaioeseillä ukiaan yhden hinnan lain ja heikon eksogeenisuuden voimassaoloa. Lyhyen aikavälin dynamiikasa saadaan ieoa esimoimalla malli virheenkorjausmuodossa. 990-luvulla apahunu kalakaupan vapauuminen ja kansainvälisyminen vaikuiva merkiäväsi Suomen kalamarkkinoihin. Mahdollisen rakennemuuoksen vuoksi esi on suorieu paisi koko havainojaksolle 990 00, myös kahdelle lyhyemmälle jaksolle ennen 3
ja jälkeen EU-jäsenyyden alkamisen. Tesaavina lajeina ova lohi, aimen, siika, ahven, kuha, hauki, lahna ja muikku. Teseihin on valiu laji, joisa on saaavilla kaava hina-aikasarja. Tukimuksen rakenne on seuraava. Johdannossa esiellään ukimuksen aihe ja sen avoiee. Seuraavana käsiellään ukimuksen eoreeinen perusa, jossa perusellaan yheisinegraaioanalyysin käyö markkinoiden analysoinnissa. Tämän jälkeen esiellään käyeävä meneelmä. Seuraavaksi käsiellään Suomen kalamarkkinoia yleisellä asolla ja kuvaaan lajikohaise hina- ja saalisaineiso. Tämän jälkeen suorieaan empiirise esi. Tesiuloksien peruseella ehdään ulkinna ja johopääökse. Lopussa on vielä yheenveo. 4
. Teoreeinen ausa. Markkina ja niiden rajaaminen Markkina ova paikka, jossa osaja ja myyjä kohaava. Hyödykkeiden hinna määräyyvä osajien ja myyjien käymän kaupan peruseella. Täysin kilpailluilla markkinoilla osajia ja myyjiä on niin mona, eä yksiäinen oimija ei pääse merkiseväsi vaikuamaan hinaan. Markkina voiva olla myös ei-kilpailullise, jolloin joku yksiäinen yriys ai yriykse voiva vaikuaa hinaan (Pindyck & Rubinfeld 998b, 9-). Markkinoiden määrielyssä unniseaan, kekä osaja ja myyjä ulisi sisällyää kuuluviksi ieyille markkinoille. Markkinoiden määrielyyn liiyy markkinoiden rajaaminen jollakin krieerillä. Rajaamisen krieerinä voidaan käyää maanieeellisiä peruseia ai rajaus voidaan suoriaa uoevalikoiman peruseella. Markkinoiden määrielylle on lukuisia syiä. Yriysen ulisi esimerkiksi iedosaa, kekä ova sen odellisia ai poeniaalisia kilpailijoia ja mikä uoee kilpaileva keskenään ällä hekellä ja ulevaisuudessa. Yriysen ulisi lisäksi osaa rajaa markkinansa, joa se kykenisi ekemään pääöksiä uoeidensa hinnoielusa, markkinoiniin käyeävisä resursseisa ja invesoinipääöksisä. Markkinoiden määriely on ärkeää myös julkisen alouden näkökulmasa. Kilpailuviranomaise jouuva ekemään pääöksiä yriysosojen ja fuusioiden hyväksymisesä. Pääökseen vaikuava yriysoson ai fuusion aikaansaama vaikuukse ulevaisuuden hinoihin ja kilpailuilaneeseen (Pindyck & Rubinfeld 998b, - ). Lisäksi markkinoiden laajuuden määriely on oleellisa ukiaessa kaupan kansainvälisymisä sekä kauppapoliiisen pääösen vaikuuksia (Seälä ym. 00, ). Tuoeiden hinasuheisiin perusuvia markkinoiden määrielmiä on useia. Siglerin määrielmän mukaan markkina ova alue, jolla saman hyödykkeen hinnalla on aipumus yheneväisyyeen kuljeuskusannusen ja laauerojen vaikuukse huomioiden. Sigler perusaa määrielmänsä Marshallin määrielmään. Marshallin mukaan markkina ova siä äydellisemmä miä enemmän ilmenee aipumusa maksaa samasa hyödykkeesä yhdenmukainen hina markkinoiden kaikissa osissa jakelukusannusen vaikuus pois lukien (Sigler 969, 55-56). Edellisissä määrielmissä markkinoia on ajaelu maanieeellisen ulouvuuden näkökulmasa. Sigler on kuienkin yhdessä Sherwinin kanssa laajenanu määrielmänsä koskemaan myös uoevalikoiman näkökulmaa. Tämän määrielmän mukaan kahden uoeen voidaan kasoa olevan samoilla markkinoilla ja näin ollen läheisiä subsiuueja eli korvikkeia, jos niiden hinojen suhde pysyy ajan kuluessa vakaana. Siglerin ja Sherwinin mukaan määrielmä on selvässä yheydessä yleisemmin käyeyyn subsiuuien määrielykeinoon kysynnän risijousoon, koska korkea risijouso kerova suheellisissa hinnoissa apahuvien muuosen aiheuavan suuria muuoksia suheellisissa osomäärissä (Sigler & Sherwin 985, 566). Myös Moshcandreasin mukaan markkina voidaan rajaa uoeiden korvaavuuden peruseella. Jos kuluaja piävä uoeia hyvin samanlaisina, uoeiden korvaavuus on hyvin suuri ja yriyksen mahdollisuus vaikuaa uoeen hinaan on hyvin rajoieu. Hinnan nousu saa ässä apauksessa kuluaja vaihamaan osokoheekseen korvaavan uoeen. Näin ollen läheise subsiuui ulisi luokiella kuuluviksi samoille markkinoille (Moscandreas 994, 3). Subsiuuisuheen voimakkuua on perineisesi miau kysynnän risijousolla. Kysynnän risijouso ilmoiaa kuinka voimak- Alfred Marshall on esiäny määrielmänsä kirjassa Principles of Economics (90). 5
kaasi hyödykkeen Y kysynä reagoi hyödykkeen X hinnan muuokseen. Maemaaisesi ämä kysynnän risijouso ( η ) voidaan ilmoiaa seuraavasi Y,P X () η Y, PX = ΔQ ΔP Y X / Q / P Y X = ΔQ ΔP Y X P Q X Y Määrielmän mukaan risijouso on siis uoeen Y kysyyn määrän prosenimuuos jaeuna uoeen X hinnan prosenimuuoksella oleaen, eä kuluajan ulo ja preferenssi pysyvä ennallaan. Jos uoeiden X ja Y risijouso on posiiivinen, ova kyseise uoee subsiuueja. Tällöin uoeen X hinnan nousu nosaa uoeen Y kysynää. Miä suurempia posiiivisia arvoja kysynnän risijouso saava, siä läheisimmisä subsiuueisa on kyse. Negaiivinen risijouson arvo on aas merkki siiä, eä uoee ova komplemeneja eli oisiaan äydenäviä uoeia. Tällöin uoeen X hinnan nousu alenaa uoeen Y kysynää. Jos kysynnän risijouso on nolla, uoeiden kysynnä ova oisensa hinnoisa riippumaomia (Dobson ym. 989, 47).. Markkinoiden inegroiuneisuus ja yhden hinnan laki Hinojen välise suhee ova ollee mielenkiinnon koheena lukuisissa ukimuksissa. Usea näisä ukimuksisa pohjauuva Siglerin arbiraasipohjaiseen määrielmään markkinoisa, jonka mukaan läheisen subsiuuien hinna käyäyyvä yhdenmukaisesi: oisin sanoen arbiraasi varmisaa, eä yhden hinnan laki oimii (Asche ym. 997, 40). Arbiraasilla arkoieaan ilannea, jossa hyödykeä voidaan osaa halvemmalla ja myydä riskiömäsi osohinaa kalliimmalla hinnalla. Hyvin oimivilla markkinoilla ällaise riskiömän voion mahdollisuude eliminoiuva nopeasi (Varian 999, 0). Jos yhden hinnan laki on voimassa, sanoaan markkinoiden olevan inegroiuneia ja markkinoia voidaan piää äysin kilpailullisina. Jos yhden hinnan laki ei ole voimassa, markkina ova segmenoiunee eiväkä näin ollen äysin kilpailullise. Tällaisessa ilaneessa eri markkinoilla oimiva osaja jouuva järjeselmällisesi maksamaan eri hinaa samasa uoeesa (Vaaja 00, 0 ). Yhälömuodossa yhden hinnan laki voidaan esiää seuraavasi () ln p = B + ln p jossa p ja p ova hyödykkeiden ja hinna. Jos B = 0, kyseise hinna ova yhä suuria, jolloin kyseessä vahva versio yhden hinnan laisa. Jos B 0, hinna ova suheellisessa yheydessä, mua niiden aso poikkeava oisisaan johuen esimerkiksi kuljeuskusannuksisa ai uoeiden laaueroisa. Tää apausa sanoaan yhden hinnan lain heikoksi versioksi (Asche ym. 999, 570). Aiemmin, kun ei olu ieoisia epäsaionaarisuuden aiheuamisa ongelmisa, yhden hinnan lakia oli apana esaa regressioyhälöllä (3) ln p = B + Aln p + ε 6
Jos nollahypoeesi A = on voimassa, voidaan yhälö (3) esiää samassa muodossa kuin yhälö (). Myöhemmin on havaiu, eä epäsaionaarisen hina-aikasarjojen apauksessa yhden hinnan lain esaaminen perineisellä regressiomeneelmä uoaa paramereille väärisyneiä arvoja (Asche ym. 999, 570). Siemmin ongelma on rakaisu yheisinegraaioanalyysilla, jolla voidaan analysoida luoeavasi epäsaionaarisia aikasarjoja. Jos kahden ai useamman epäsaionaarisen muuujan välillä on saionaarinen lineaarikombinaaio, ova ne yheisinegroiunee. Tällöin muuujien välillä on pikän aikavälin asapainosuhde, vaikka lyhyemmällä aikavälillä ne voiva väliaikaisesi poikea asapainosa (Maddala & Kim 998, 6). Markkinoiden analysoini yheisinegraaiomeneelmällä sisälää muiakin euja kuin epäsaionaarisuusongelman rakaisemisen. Perineisessä kysynäanalyysissa uoeiden välisiä riippuvuussuheia ukiaan laskemalla kysynnän risijousoja, jolloin arviaan sekä hina- eä määräaineiso. Yheisinegraaiomeneelmässä aineisovaaimukse ova pienemmä: hina-aikasarja riiävä eikä ieoja määrisä ai uloisa arvia. Näin ollen aineison hankkiminen helpouu ja analyysi voidaan suoriaa pienemmällä havainomäärällä, koska malli ova yksinkeraisempia. Kyseisen meneelmän huonona puolena aas on, eä sen avulla ei saada äsmällisä ieoa subsiuuisuheiden voimakkuuksisa (Asche ym. 00, 309). Asche ym. (997, 40 49) ova yhdenmukaisella aineisolla veraillee yheisinegraaioon pohjauuvaa analyysimeneelmää sekä perineisempää kysynämalliin pohjauuvaa meneelmää. Heidän ulosensa mukaan meneelmä anava samansuunaisia uloksia ja meneelmiä voidaan piää oisiaan äydenävinä..3 Yhden hinnan laki ja yhdiselmähyödyke-eoreema Asche ym. (999, 570) ova osoianee, eä deerminisisessä muodossaan yhden hinnan laki on hyvin läheisessä yheydessä yhdiselmähyödykeeoreemaan (Composie Commodiy Theorem, CCT), jonka luojina pideään Hicksiä ja Leoniefiä. CCT:n mukaan kaha ai useampaa uoea voidaan piää yhenä uoeena, jos niiden hinojen suhee pysyvä vakiona ajan kuluessa (Deaon & Muellbauer 980, 0 ). Perineisen CCT:n mukaan samaan ryhmään kuuluvien uoeiden hinasuhde pysyy äysin vakiona koko ajan. Lewbelin luoma yleisey CCT (generalized composie commodiy heory, GCCT) ei ole yhä ehdoon hinasuheen vakioisuudelle vaan sallii siinä vaihelua (Lewbel 996, 538). CTT voidaan havainnollisaa kahden hyödykkeen apauksena. CCT on voimassa jos näiden kahden hyödykkeen hina-aikasarja voidaan kuvaa yheisellä ekijällä θ : (4) p = θ p ja 0 p = θ p 0 Alaindeksi nolla viiaa saunnaisesi valiuun alkuajankohaan. Muuuja θ voi vaihdella ajan kuluessa mua se on yheinen molemmille hinnoille, jolloin hinojen suhde p / p pysyy vakiona eli samana kuin p 0 / p0. Näin ollen muuujaa θ voidaan ajaella hinana näiden kahden uoeen uudelle yhdiselmäuoeelle. Tämän yhdiselmähyödykkeen määrä ilmoieaan indeksilukuna, joka on yksiäisen uoeiden määrien summa painoeuna niiden hinnoilla. Näin ollen määrän indeksiluku voidaan esiää muodossa Q = p0q + p0 q. Kahden hyödykkeen apaus voidaan laajenaa suoraviivaisesi koskemaan useampaakin hyödykeä (Asche ym. 999, 570). 7
CCT:n mukaan hinojen suhde pysyy siis vakiona. Näin ollen hinojen välinen yheys voidaan ilmaisa myös muodossa (5) p = bp jossa b = p 0 / p0. Olennaisa on huomaa, eä yhälö (5) logarimimuodossa on sama kuin yhälö (). Näin ollen yhden hinnan laki ja CCT ova hyvin vahvasi sidoksissa oisiinsa, koska oisen näisä ollessa voimassa, oisenkin äyyy olla voimassa. Täen yheisinegraaioanalyysin avulla voidaan saada ieoa sekä markkinoiden inegraaiosa eä uoeiden aggregoinnisa. Tuoeiden aggregoinia voi hyödynää esimerkiksi kysynämalleissa uoeiden kysynää analysoiaessa (Asche ym. 999, 570). Tuoeiden aggregoini voi ulla kyseeseen esimerkiksi silloin, kun uoeen kansallise markkina ova inegroiunee osaksi kansainvälisiä markkinoia. Tällöin pelkäsään kansallisella aineisolla suorieava analyysi voi osoiauua riiämäömäksi (Nielsen 003). 8
3. Meodi 3. Aikasarjoisa ja niiden luoneesa Teoreeisesa näkökulmasa aikasarjalla arkoieaan ajassa järjesäyyneiden saunnaismuuujien sarjaa { y }. Tällaisa saunnaismuuujien joukkoa kusuaan myös sokasiseksi prosessiksi. Jos kyseessä on jakuva muuuja, merkiään siä avallisesi y (). Diskreeiä muuujaa on aas apana merkiä y (Maddala & Kim 998, 8). Tärkeä aikasarjoihin liiyvä ominaisuus on saionaarisuus. Saionaarisuuden kaksi eri yyppiä ova heikko ja vahva saionaarisuus. Heikkoa saionaarisuua kusuaan myös kovarianssisaionaarisuudeksi ai oisen aseen saionaarisuudeksi. Aikasarja on kovarianssisaionaarinen, jos sen odousarvo, varianssi ja kaikki auokovarianssi ova ajasa riippumaomia. Auokovarianssi riippuu ainoasaan aikaerosa s, ei ajankohdasa. Muodollisesi sokasisen prosessin on sanou olevan kovarianssisaionaarinen, jos kaikille ajankohdille ja -s, i. E y ) = E( ) = μ ( y s E ( y μ ) = E ( y s μ) = σ y ii. [ ] [ ] E ( y μ )( y μ) = E ( y μ)( y μ = γ iii. [ s ] [ j j s ] s ) jossa odousarvo (μ), varianssi ( σ y ) ja kaikki auokovarianssi ( γ s ) ova vakioia. Lisäksi odousarvo ja varianssi oleeaan äärellisiksi. Vahvan saionaarisuuden apauksessa odousarvon ja/ai varianssin ei arvise olla äärellisiä. Aikasarjojen mallinnuksessa heikko saionaarisuus on yleisin käyey saionaarisuuden muoo. Tämä johuu osaksi siiä eä normaalijakauman apauksessa heikosi saionaarinen prosessi äyää myös vahvan saionaarisuuden ehdo (Enders 995, 69). Jos arkaselava aikasarja ei äyä saionaarisuuden ehoja, on kyseessä epäsaionaarinen aikasarja. Epäsaionaarisen muuujan käyäminen perineisessä regressioanalyysissa anaa usein virheellisiä uloksia. Eräs epäsaionaarisuuden aiheuama haia on näennäisregressio (spurious regression). Tällöin regressioanalyysisa saaava ulokse saaava ilmaisa kahden muuujan välille ilasollisesi merkisevää suhdea, joa ei oikeasi ole (Harris 995, 4). Epäsaionaarise muuuja on mahdollisa saada saionaariseksi differoimalla ne kerran ai useammin. Differoinnissa muuujasa y vähenneään edellisen ajankohdan havaino y. Differoinimeneelyn ongelmana on kuienkin, eä samalla saaeaan meneää arkaselavaan aikasarjaan liiyvää informaaioa. Kun epäsaionaarinen aikasarja saadaan saionaariseksi differoimalla se kerran, sanoaan sen olevan inegroiunu aseella. Tällaisa aikasarjaa merkiään I (). Jos alkuperäinen aikasarja äyyy differoida kaksi keraa, joa siiä ulee saionaarinen, sanoaan sen olevan inegroiunu aseella, joa merkiään I (). Yleisesi ilmaisen, jos aikasarja äyyy differoida d keraa, se on inegroiunu aseella d eli I (d). Näin ollen aikasarja, joka on inegroiunu yhdellä ai useammalla aseella, on epäsaionaarinen. Jos d = 0, kyseessä on 9
saionaarinen prosessi I (0) (Gujarai 995, 78-79). Tukimuksen loppuosassa ermejä saionaarinen prosessi ja I(0) -prosessi käyeään oisensa synonyymeina. 3. Yksikköjuuriesi Ekonomerisessa mallinnuksessa saaaa ilmeä ongelmia, jos regressioanalyysi ehdään epäsaionaarisille muuujille. Tämän ongelman rakaisemiseksi äyyy ensin unnisaa kyseisen aikasarjojen inegroiuvuusase. Boxin ja Jenkinsin meneelyssä saionaarisuuden asea ukiaan visuaalisesi korrelogrammia arkaselemalla. Uudempi meneely saionaarisuuden esaamiseksi on yksikköjuuriesi. Se on muodollinen ilasoieeellinen esi ja vasine korrelogrammin visuaaliselle arkaselulle (Maddala & Kim 998, 47). 3.. Yksikköjuuriprosessi Ennen yksikköjuuriesien esielemisä käydään läpi yksikköjuuriprosessin käsie. Yksikköjuuriprosessia voidaan helpoien havainnollisaa ensimmäisen aseen auoregressiivisellä mallilla eli AR()-mallilla: (6) y ρ y + u = jossa virheermi u oleeaan olevan valkoisen kohinan prosessi. Valkoisen kohinan oleuksiin kuuluu, eä sen odousarvo ja varianssi ova vakioa, eikä auokorrelaaioa esiinny. Jos edellisen yhälön kerroin ρ =, kohaamme niin sanoun yksikköjuuriongelman. Tällöin sokasisella muuujalla y sanoaan olevan yksikköjuuri. Yksikköjuuren omaavaa aikasarjaa kusuaan myös saunnaiskulun (random walk) malliksi, joka on esimerkki epäsaionaarisesa aikasarjasa (Gujarai 995, 78). Saunnaiskulkumallin epäsaionaarisuus voidaan odisaa esimerkiksi sien, eä kirjoieaan yhälö (6) muodossa y = y + u (koska ρ = ). Muuujan y arvo hekellä koosuu siis muuujan arvosa hekellä sekä saunnaisesa shokisa u. Oleeaan eä haluaan ennusaa saunnaiskulun mallilla periodin + arvoa. Tällöin ^ (7) y = y + E( u+ = y + ) Vasaavasi periodin + ennuse on ^ + = ( + + + (8) y E y u ) = ( y + u+ + u+ ) E = y Yhäläisesi, ennuseen arvo l:n periodin päähän on myös y. Vaikka ennuseen y + l arvo pysyy vakiona aikajakson l piuudesa riippumaa, ennusevirheen varianssi kasvaa l:n kasvaessa. Ensimmäisen periodin ennusevirhe voidaan esiää seuraavasi ^ 0
(9) e = y + y + ^ = y + u+ y = u+ jonka varianssi on E ( u = σ u + ). Toisen periodin ennusevirhe on (0) e = y + y + ^ = y + u+ + u+ y = u+ + u+ jonka varianssi on () E [ u u ) ] = E( u ) + E( u ) E( u u ) ( + + + + + + + + Koska virheermi u + ja u + ova riippumaomia oisisaan, kolmas ermi yhälössä () on nolla ja ennusevirheen varianssi on näin ollen σ u. Vasaavasi periodin l ennusevirheen varianssi on lσ u. Virheermin varianssi on siis riippuvainen ajasa eli saunnaiskulun malli on epäsaionaarinen prosessi (Pindyck ja Rubinfeld 998a, 490 49). Saunnaiskulkumalli on siis esimerkki epäsaionaarisesa prosessisa. Voidaan kuienkin osoiaa, eä saunnaiskulkumallin ensimmäise differenssi eli eroukse muodosava saionaarisen prosessin. Sen odisamiseksi esieään yhälö (6) seuraavassa muodossa: () Δy = (ρ ) y + u = γ Y + u jossa γ = ( ρ ) ja Δ on niin sanou differenssioperaori eli Δy = y y ). ( Jos kyseessä on saunnaiskulun malli, niin ρ = eli γ = 0, jolloin yhälö () voidaan kirjoiaa (3) Δy = ( y y ) = u Yhälösä (3) huomaaan, eä saunnaiskulun prosessin ensimmäise differenssi u muodosava saionaarisen aikasarjan, koska u oleeaan äysin saunnaiseksi (Gujarai 995, 73 733).
3.. Dickeyn ja Fullerin esi Yksikköjuuren esaamiseen on olemassa monia eri esejä. Yksi yleisimmisä eseisä on Dickeyn ja Fullerin esi (DF-esi). DF-esin nollahypoeesina on, eä aikasarja sisälää yksikköjuuren eli on epäsaionaarinen. Vasahypoeesina on siis, eä aikasarja on saionaarinen. Yksinkeraisimmassa muodossaan DF-esissä esimoidaan yhälöä: (4) y = ρ y + u joka voidaan esiää myös muodossa (5) Δy = (ρ ) y + u Jos merkiään ( ρ ) = γ, niin yhälö (5) voidaan esiää myös seuraavasi (6) Δy = γ y + u Kussakin yhälössä virheermin u oleeaan olevan riippumaomasi ja idenisesi jakauunu (independenly and idenically disribued, IID), jonka odousarvo ja varianssi ova vakioia. Kumpi ahansa yhälöisä (4) ai (5) on sovelleavissa esaamiseen nollahypoeesilla H 0 : ρ = ja vasahypoeesilla H : ρ <. Jälkimmäisen yhälön (6) euna on, eä sillä voidaan esaa nollahypoeesia H 0 : ( ρ ) = γ = 0, jonka vasahypoeesi on H : γ < 0. Sen käyäminen myös yksinkeraisaa esaamisa jos kyseessä on monimukaisempi AR(p)-prosessi (Harris 995, 8 9). Tavallisesi hypoeeseja esaaan normaalilla -esillä. Epäsaionaarisuuden apauksessa esiarvo eivä kuienkaan noudaa perineisä -esijakaumaa. Tämän vuoksi Dickey ja Fuller ova luonee Mone Carlo -simulaaioekniikalla kriiise DFesiarvo, joka oava huomioon yksikköjuuren olemassa olon (Harris 995, 9). Dickeyn ja Fullerin aulukoimia kriiisiä esiarvoja on myöhemmin arkenanu myöhemmin muun muassa MacKinnon (MacKinnon 99, 67-76). Useimmissa ekonomerisissa ohjelmissa nämä kriiise esiarvo arjoaan valmiina eikä niiä arvise erikseen arkisaa aulukoisa (Harris 995, 3). Tesaaessa yksikköjuura yhälöllä (6) on oleuksena, eä esaavan aikasarjan odousarvo on nolla eikä siihen kuulu deerminisisiä komponeneja. Malliin voidaan kuienkin lisää esimerkiksi vakio (7) ai vakio ja lineaarinen aikarendi (8). (7) Δy = α + γy + u (8) Δy = α + δ + γy + u Edellä esieyillä kolmella regressioyhälöllä on erona ainoasaan deerminisise elemeni α ja δ. Ensimmäinen yhälö (6) on puhdas saunnaiskulun malli, oisessa (7) on lisänä vakioermi ja kolmannessa (8) on mukana sekä vakioermi eä lineaarinen aikarendi. Kaikissa kolmessa yllämainiussa regressioyhälössä on mielenkiin-
non koheena parameri γ. Jos γ = 0, aikasarjalla on yksikköjuuri eli se on epäsaionaarinen. Meodologia on äsmälleen sama riippumaa miä yllä olevisa kolmesa yhälösä esimoidaan. Täyyy kuienkin oaa huomioon, eä DF-esien kriiise arvo ova riippuvaisia onko mukana vakioermi ja/ai aikarendi. Kuen useimmissa eseissä, kriiise DF-esiarvo pienevä ososkoon kasvaessa. Yksikköjuuren, vakion ja rendin kerroinen yheismerkisevyyä voidaan esaa F-esillä. Myös F-esin kriiise arvo noudaava DF-jakaumaa (Enders 995, 3). Tesaavan mallin ulisi sisälää sama deerminisise komponeni, joka oleeaan daan generoineen prosessinkin sisälävän. Jos mallisa puuuu siihen kuuluvia komponeneja, esien eho kärsii. Toisaala myös malliin kuulumaomien komponenien sisällyäminen saaaa väärisää uloksia. Deerminisisen komponenien valinnassa voi käyää hyväksi aikasarjan visuaalisa arkaselua ai eoreeisen ausaan pohjauuvaa harkinakykyä (Enders 995, 58). Sopivan mallin valinaan on kehiey myös erilaisia esiapoja. Esimerkiksi Perron (998) on kehiäny jaksoaisen esiavan, joka perusuu urhien paramerien eliminoinnille. Esimoini aloieaan yleisimmäsä mallisa (8). Jos nollahypoeesia ei voida hylää yleisimmällä mallilla, jakeaan esausa rajoieummalla mallilla. Tesaus lopeeaan, kun nollahypoeesi epäsaionaarisuudesa voidaan hylää (Harris 995, 3). 3..3 Laajenneu Dickeyn ja Fullerin esi Tavallisessa DF-esissä oleeaan, eä esaava muuuja y on peräisin yksinkeraisesa AR()-prosessisa. Jos esaavan muuujan y ausalla onkin odellisuudessa monimukaisempi AR(p)-prosessi, on malli väärin spesifioiu. Tällöin mallin virheermi ova auokorreloiuneia eiväkä normaalin DF-jakauman kriiise arvo ole enää käypiä. Tavallisen DF-esin pohjala on kehiey laajenneu Dickeyn ja Fullerin esi (Augmened Dickey-Fuller-es, ADF-esi), jossa virheermin auokorrelaaio eliminoidaan lisäämällä malliin viiväseyjä differenssiermejä. ADF-esi voidaan johaa arkaselemalla p:nnen aseen auoregressiivisä prosessia, joa voidaan merkiä seuraavasi (9) y ψ y + ψ y +... + ψ p y p + u = Sama yhälö voidaan esiää myös muodossa * * * * (0) Δ y = ψ y + ψ Δy + ψ Δy +... + ψ p Δy p+ + u p = + * ψ i= y ψ Δy + u * i * jossa ψ = ( ψ + ψ +... + ψ p ). Jos nollahypoeesi ψ * = 0 on voimassa, sisälää aikasarja y yksikköjuuren. Nollahypoeesia esaaan avallisen DF-esin apaan eli ADF-esisä laskeua -arvoa verraaan DF-esijakauman kriiisiin arvoihin (Harris Perron, P. (998) Trends and Random Walks in Macroeconomic Time Series: Furher Evidence from a New Approach, Journal of Economic Dynamics and Conrol,, 97 33. 3
995, 33). Myös ADF-esissä malliin voidaan sisällyää deerminisiä komponeneja. Tällöin malli voidaan esiää seuraavasi p + μ + γ + () * * Δy = ψ y + ψ i Δy i= u Viiväseyjen differenssiermien lukumäärä määräyyy usein empiirisesi. Käyeävä viivepiuus ulisi olla riiävän suuri, joa virheermin auokorrelaaio saadaan poiseuksi. Toisaala viivepiuus ulisi valia sääseliääsi, koska liian suuri viivepiuus vähenää esin ehoa. Viivepiuuden valinnassa voidaan käyää esimerkiksi Akaiken informaaiokrieeriä (AIC) ai Schwarzin bayesilaisa informaaiokrieeriä (BIC). Hall 3 (994) on ehdoanu viivepiuuden valinaan kaha eri meneelmää: joko aloiaa suuresa viivepiuudesa ja vähenää viivepiuua järjeselmällisesi, kunnes viivepiuus on ilasollisesi merkiävä ai aloiaa pienesä viivepiuudesa ja siiryy järjeselmällisesi suurempiin viivepiuuksiin, kunnes viivepiuus ei enää ole ilasollisesi merkisevä (Maddala & Kim 998, 77-78). Ng ja Perron 4 (995) ova Mone Carlo-simulaaioihin perusuvissa eseissään veraillee eri viivepiuuden valinameneelmiä. Tukimuksensa peruseella he suosieleva käyämään Hallin meneelmää, jossa aloieaan suuresa viivepiuudesa siiryen pienempään (Maddala & Kim 998, 77). Aloieava viivepiuus on aina apauskohainen mua apuna viivepiuuden valinnassa voi käyää esimerkiksi Schwerin kehiämää kaavaa: / d () k = In{ c( T /00) } jossa k on valiava viivepiuus, T havainojen kokonaismäärä Schwer suosielee käyeäväksi vakioia c = ja d = 4 (Schwer 998, 5). 3..4 Kausiaisuus yksikköjuuren esaamisessa Monissa aloueen liiyvissä aikasarjoissa ilmenee kausiaisa vaihelua. Empiriassa käyeävä aikasarja-aineiso voiva olla kausipuhdiseuja ai kausipuhdisamaomia. Useimmien suosiellaan käyeäväksi kausivaikuuksesa puhdisamaomia aikasarjoja, sillä kausipuhdisukseen käyeävä meneelmä saaava aiheuaa väärisymiä aineison ominaisuuksiin. Kausipuhdiseun aineison käyö saaaa eriyisesi aiheuaa nollahypoeesina olevan epäsaionaarisuuden hylkäämisen harvemmin kuin odellisuudessa piäisi (Harris 995, 4). Joidenkin muuujien kohdalla voimakas kausiainen vaihelu aiheuaa suurimman osan daan kokonaisvaihelusa, joen on ärkeää oaa ämä kausiainen vaihelu huomioon mallinamisessa. Kausiainen vaihelu voi olla peräisin saionaarisisa kausiaisisa prosesseisa. Tällöin mallinamisessa käyeään yleensä kausiaisia dummymuuujia, joka salliva jonkinaseisa vaihelua kausikäyäyymisessä. Kausiainen 3 Hall, A. (994) Tesing for a Uni Roo in Time Series wih Prees Daa-Based Model Selecion. Journal of Business and Economic Saisics,, 46-470. 4 Ng, S. Perron, P. (995) Uni Roo Tess in ARMA Models Wih Daa-Dependen Mehods for he Selecion of he Truncaion Lag. Journal of American Saisical Associaion, 90, 68-8. 4
vaihelu saaaa olla myös epäsaionaarisa. Tällöin kausiainen käyäyyminen muuuu ja vaihelee jakuvasi ajan kuluessa. Tässä apauksessa mallinamisessa ei voida käyää kausiaisia dummy-muuujia, vaan kyseiselle aikasarjalle äyyy suoriaa kausiainen differoini saionaarisuuden saavuamiseksi. Kausiaiseen differoiniin urvauuminen hankaloiaa analysoinia huomaavasi, sillä esimerkiksi neljännesvuosiaisella aineisolla kausiaisella prosessilla on mahdollisa olla neljä eri yksikköjuura. Tämän havainnollisamiseksi arkasellaan kausiaisesi differoiavaa neljännesvuosiaisa daaa: Δ 4 4 = ( L ) y = y y 4 y. 4 Edellisessä yhälössä oleva ekijä ( L ) voidaan jakaa vielä ekijöihin seuraavasi: 4 3 ( L ) = ( L)( + L + L + L ) = ( L )( + L)( + L ) = ( L)( + L)( il)( + il) jossa kukin yksikköjuuri kohdisuu ieylle kausiaisuuden jaksolle (Harris 995, 4). Edellisissä yhälöissä merkinä L viiaa viiveoperaaoriin, joka määriellään seuraavasi: L y y i (Enders 995, 45). i Osbornen briannialaisella aineisolla ekemän ukimuksen mukaan ainoasaan viisi kappalea kolmesakymmenesä makroaloueen liiyväsä aikasarja-aineisosa vaai kausiaisen differoinnin saionaarisuuden saavuamiseksi. Toisin sanoen ainakaan makroaloudellisen aikasarjojen kohdalla ei kausiaisa yksikköjuura ilmene kovin usein (Osborn 993, 300). 3..5 Rakennemuuos ja yksikköjuuren esaus Yksikköjuuriesauksessa on myös oeava huomioon mahdollise rakennemuuokse. Rakennemuuoksella arkoieaan muuujan pysyväluoneisa asomuuosa ai muuosa deerminisisen rendin suheen. Rakennemuuoksen huomioimaa jääminen heikenää yksikköjuuriesien luoeavuua, jolloin esien peruseella saaeaan pääyä virheellisesi yksikköjuuren hyväksymiseen, vaikka odellisuudessa kyseessä olisikin saionaarinen prosessi (Harris 995, 40). Rakennemuuoksen aiheuaman ongelman rakaisemiseksi on ehdoeu monenlaisia rakaisuja riippuen osin siiä, onko rakennemuuoksen ajankoha eukäeen arkkaan selvillä vai ei. Jos ajankoha on eukäeen selvillä, voidaan ongelma rakaisa esimerkiksi sisällyämällä dummy-muuujia ADF-esiin (Harris 995, 40). Toinen yksinkerainen meneelmä yksikköjuuriesaukseen on jakaa aineiso kaheen eri osaan ja suoriaa yksikköjuuren esaus normaalisi kummallekin osiolle. Tämän meneelmän ongelmana on käyeävien vapausaseiden väheneminen (Enders 995, 45). Yleisemmälläkin asolla empiirisen aineison pienuus luonnollisesi heikenää yksikköjuuriesien luoeavuua (Harris 995, 39). Aina rakennemuuoksen ajankoha ei kuienkaan ole iedossa eukäeen. Tällaisen apausen varalle on olemassa laaja joukko erilaisia esejä, joisa mone pohjauuva rekursiiviseen ai jaksoiaiseen lähesymisapaan. Rekursiivisissa eseissä esiarvo laskeaan alaooksille (subsample) =,..., m, jossa m = m0,..., T. Jälkimmäisessä yhälössä m 0 on aloiusarvo ja T koko ajanjakson ooskoko. Alaooksen kokoa siis kasvaeaan yksi havaino kerrallaan, kunnes koko oos on käyössä. Jaksoiaisessa lähesymisavassa käyeään koko oosa, mua mahdollisa rakennemuuoksen ajan- 5
kohaa yrieään esiä siirämällä dummy-muuujien alkamisajankohaa (Maddala & Kim 998, 40). Rakennemuuoksen ajankohdan esiminen rekursiivisella ai jaksoaisella avalla on usein melko yöläsä. Useimmien rakennemuuoksen aiheuajasa on olemassa jonkinlaisa ennakkoieoa. Rakennemuuoksen ausalla voi olla esimerkiksi merkiävä poliiinen pääös ai muu huomaava apahuma. Tällainen ennakkoieo rakennemuuoksen ajankohdasa kannaaa hyödynää, sillä ällöin rakennemuuoksen esimiseen ei arvise käyää koko ajanjaksoa (Maddala & Kim 998, 398). 3.3 Yheisinegraaio ja sen esaaminen 3.3. Yheisinegraaio Kahden ai useamman epäsaionaarisen muuujan lineaarikombinaaio ova usein epäsaionaarisia. Jos kuienkin epäsaionaarisen muuujien välillä on löydeävissä saionaarinen lineaarikombinaaio, sanoaan muuujien olevan yheisinegroiuneia. Ajaellaan kaha muuujaa y ja x, joka molemma ova I (d). Yleensä mikä ahansa näiden kahden muuujan lineaarise yhdiselmä ova myös I (d). Jos on kuienkin olemassa sellainen vekori β, eä regression virheermi ( u = y βx ) on inegroiunu alempaa asea, I( d b), jossa b > 0, sanoaan y :n ja x :n olevan yheisinegroiuneia. Tää merkiään CI ( d, b). Jos esimerkiksi y ja x ova molemma I () ja u ~ I(0), ova nämä kaksi muuujaa yheisinegroiunee aseella CI (, ) (Engle & Granger 987, 53-54). Käyännössä ämä arkoiaa, eä x ja y eivä ajan kuluessa ajaudu kovin kauaksi oisisaan. Näin ollen niiden välillä vallisee pikän aikavälin asapainosuhde. Jos x ja y eivä ole yheisinegroiuneia eli y β x = u on I (), niin ne käyäyyvä ajan kuluessa oisisaan riippumaomasi. Tällöin muuujien x ja y regressio uoaa virheellisiä uloksia. Edellä on käsiely ainoasaan kahden muuujan apausa. Yheisinegraaioa voi kuienkin ilmeä myös useamman kuin kahden muuujan kesken (Maddala & Kim 998, 6). Yheisinegraaion voidaan ulkia siis olevan muuujien välinen pikän aikavälin asapainosuhde. Lyhyellä aikavälillä muuuja voiva väliaikaisesi poikea äsä asapainosa. Virheermi u voidaan ulkia poikkeamaksi asapainoilasa hekellä. Yheisinegraaioa lähellä oleva käsie on virheenkorjausmekanismi (error correcion mechanism, ECM). Sen avulla voidaan arkasella yheisinegroiuneiden muuujien lyhyen aikavälin dynamiikkaa (Harris 995, - 4). On olemassa erilaisia näkemyksiä siiä, piäisikö yheisinegraaioesi suoriaa pareiain vai monimuuujamallina useamman muuujan kesken. Joidenkin näkemysen mukaan (esim. Asche ym. 999, 57) esi voidaan ehdä pareiain. Tämän näkökulman mukaan muuujien äyyy yheisinegroiua myös pareiain jos ne yheisinegroiuva ollessaan osana monimuuujamallia. Toisen näkökulman mukaan (esim. Maddala & Kim 998, 34) pareiaisia esejä ei piäisi ehdä jos muuujia on useampia, sillä pois jäey muuuja saaava väärisää yheisinegraaioesin uloksia. Yheisinegraaion esaamiseen on kaksi keskeisä meneelmää. Englen ja Grangerin meodologiassa selvieään ovako residuaali saionaarisia. Johansenin meneelmä sovelaa suurimman uskoavuuden (maximum likelihood) meneelmää vekoriauoregressiiviseen (VAR) malliin. 6
3.3. Englen ja Grangerin meneelmä Engle ja Granger ova esiänee suoraviivaisen meneelyavan, jolla voidaan ukia ovako kaksi I() muuujaa yheisinegroiunee. Määrielmän mukaan yheisinegroiuvuus edellyää, eä muuujien inegroiuneisuuden aseiden piää olla sama. Näin ollen ensimmäisessä vaiheessa äyyy ukia muuujien inegroiuneisuuden asea. Tämä voidaan suoriaa esimerkiksi edellä kuvaulla ADF-esillä. Mikäli muuuja ova saionaarisia, on arpeeona edelä pidemmälle, koska näihin sarjoihin voidaan sovelaa perineisiä aikasarjameneelmiä. Jos aas aikasarjojen inegraaioasee ova erisuure, voidaan pääellä, eä aikasarja eivä ole yheisinegroiunee (Enders 995, 373-374). Jos edellisen peruseella päädyään siihen, eä sekä y ~ I() ja z ~ I(), niin seuraavaksi esimoidaan pikän aikavälin asapainorelaaio (3) y = β 0 + βz + e Jos sarja ova yheisinegroiunee, niin pienimmän neliösumman esimoini (PNS) uoaa superarkenuvan esimaain yheisinegroiuvuusparamereille β 0 ja β. Superarkenuvuus arkoiaa, eä β 0 :n ja β :n esimaai konvergoiuva nopeammin kuin saionaarisen muuujien PNS-esimoinnissa. Merkiään edellisen regression residuaalisarjaa {ê}:llä. Jos nämä poikkeama pikän aikavälin asapainosa ova saionaarisia, niin y ja z ova yheisinegroiuneia asea (,). Saionaarisuuden esaamiseen voi jälleen käyää DF- ai ADF-esiä. Residuaalisarjan saionaarisuuden esaamiseen ei voida kuienkaan käyää normaalia DF-esijakaumaa, koska odellisa virheä e ei unnea vaan ainoasaan sen esimaai ê (Enders 995, 374 375). Tesaamiseen voidaan käyää esimerkiksi MacKinnonin (99) luomia kriiisiä arvoja (Harris 995, 54). Jos muuuja ova yheisinegroiunee, niin regression residuaaleja voidaan käyää virheenkorjausmallin esimoinnissa. Jos y ja z ova CI(,), niin muuujilla on virheenkorjausesiys: ^ α ( i) Δz i + i= i= (4) Δy = α + α y ( y β z ) + α( i) Δy i + ε y ^ α ( i) Δz i + i= i= (5) Δz = α + α z ( y β z ) + α ( i) Δy i + ε z joissa β on normalisoidun yheisinegroiuvuusvekorin parameri, ε y ja ε z ova valkoisen kohinan virheermejä (joka voiva olla keskenään korreloiuneia) ja α, α, α y, α z, α ( i ), α ( i), α ( i) ja α ( i) ova paramereja (Enders 995, 375 376). Lopuksi Englen ja Grangerin meneelmässä ulee arvioida mallin riiävyys. Mallin riiävyyden arvioiniin on useia vaihoehoisia meneelyapoja. Ensinnäkin on ukiava arkasi, ovako virheenkorjausmallin residuaali valkoisa kohinaa. Mikäli residuaali ova auokorreloiuneia, viivepiuude voiva olla liian lyhye. Toisekseen sopeuusparamereilla α y ja α z on eriyisä mielenkiinoa, koska niillä on mallin dynamiikkaan liiyviä ärkeiä implikaaioia. Jos esimerkiksi α z on nolla, z :n dynamiikka ei sopeudu lainkaan poikkeamaan pikän aikavälin asapainosa hekellä 7
( ). Joa muuuja olisiva yheisinegroiuneia, α y :n ja/ai α z :n ulisi olla nollasa poikkeava (Enders 995, 376 377). Englen ja Grangerin meneelmä on helposi sovelleavissa mua se sisälää kuienkin muuamia huomaavia rajoiuksia. Pikän aikavälin asapainorelaaion esimoinnissa edellyeään, eä yksi muuujisa valiaan yhälön vasemmalle puolelle selieäväksi ja muu muuuja ova yhälön oikealla puolella seliäjinä. Käyännössä ämä johaa usein ilaneeseen, jossa yhden muuujan ollessa vasemmalla puolella yheisinegroiuneisuus odeaan, mua muuujien järjesysä muueaessa yheisinegroiuvuus hyläään. Tällainen ominaisuus ei luonnollisesi ole oivoavaa. Toinen meneelmän rajoius perusuu siihen, eä esimoinnissa urvauduaan kaksivaiheiseen meneelmään. Ensimmäisessä vaiheessa generoidaan virhesarja { e } ja oisessa vaiheessa ää sarjaa käyeään esimoiaessa virhesarjan differenssien mallia Δ ê = a ê - +. Täen kaikki ensimmäisessä vaiheessa ehdy virhee periyyvä myös oiseen vaiheeseen (Enders 995, 385). 3.3.3 Johansenin meneelmä Johansen (988) 5 on kehiäny meneelmän, joka pysyy välämään edellä mainiu Englen ja Grangerin meneelmän heikkoude. Johansenin meneelmä sovelaa suurimman uskoavuuden (maximum likelihood) meneelmää vekoriauoregressiiviseen (VAR) malliin. Sen avulla voidaan eliminoida kaksivaiheinen meneely sekä useampia yheisinegraaiovekoreia voidaan esimoida ja esaa yhä aikaa. Lisäksi voidaan esaa myös yheisinegraaiovekoreille aseeuja rajoiuksia sekä sopeuumisparamereja (Enders 995, 385). Johansenin meneelmään uusumiseksi määriellään aluksi vekori z, joka koosuu n kappaleesa endogeenisia muuujia. Tällöin z voidaan mallinaa rajoiamaomaksi VAR-malliksi, joka koosuu z :n viiväseyisä arvoisa viivepiuueen k saakka (Harris 995, 77). Yheisinegraaioesien yheydessä viivepiuuden valinnasa ei ole käyy yhä vilkasa keskuselua kuin ADF-esien osala. Viivepiuuden valinnassa voidaan kuienkin noudaaa samoja käyänöjä kuin ADF-esien yheydessä (Maddala & Kim 998, 64). Johansenin meneelmän ausalla valliseva VAR-malli voidaan esiää yhälömuodossa seuraavasi: (6) z = A z +... + Ak z k + u jossa z on endogeenisisa muuujisa koosuva (n x )-mariisi, kukin A i on paramereisa koosuva (n x n)-mariisi, ja k on viivepiuus. Tämän yyppisä VAR-mallia on yypillisesi käyey esimoimaan yheisesi endogeenisen (joinly endogenous) muuujien dynaamisia riippuvuuksia ilman ennala aseeuja rajoiuksia. Näillä rajoiuksia arkoieaan esimerkiksi ieyjä rakeneellisia riippuvuussuheia ja/ai ieyjen joidenkin muuujien eksogeenisuua (Harris 995, 77). Malliin voidaan sisällyää myös deerminisisiä komponeneja, kuen vakiomuuujia ja kausimuuujia (Johansen 995, ). Kun malliin (6) lisäään vakioermi ( A 0 ) ja dummy-muuuja D ), voidaan yhälöä ilmaisa seuraavasi ( 5 Johansen, S. (988) Saisical Analysis of Coinegraion Vecors. Journal of Economic Dynamics and Conrol,, 3-54. 8
(7) z = A + A z +... + Ak z k + ΨD + u 0 Muunamalla yhälöä (7) saadaan se vekorivirheenkorjausmuooon (vecor errorcorrecion model, VECM): (8) Δz = Γ Δz +... + Γk Δz k + + Πz k + u jossa Γ i = ( Ι A... Ai ), ( i =,..., k ), ja Π = ( Ι A... Ak ). Määrielemällä malli edellä esieyssä VECM-muodossa saadaan Γ i :n ja Π :n esimaaien avulla ieoa sekä lyhyen eä pikän aikavälin sopeuumisesa suheessa z :ssa apahuviin muuoksiin. Yhälössä (8) esiinyvä parameri Π voidaan esiää myös muodossa Π = αβ (Harris 995, 77). Sekä α eä β ova (n x r)-uloeisia mariiseja, joissa r on mariisin Π ase. Mariisi α koosuu niisä painouksisa, joilla kukin yheisinegroiuvuusvekori vaikuaa VAR-mallin yhälöihin. Näin ollen α :n voidaan kasoa olevan sopeuumisnopeuden paramereisa koosuva mariisi (Enders 995, 394). Mariisi β koosuu pikän aikavälin keroimisa sien, eä yhälössä (8) esiinyvä ermi β z k edusaa eninään ( n ) yheisinegraaiosuhdea monimuuujamallissa, joka varmisaa eä z konvergoiuu kohi pikän aikavälin asapainoilaa (Harris 995, 79). Oleeaan vekorin z koosuu epäsaionaarisisa I() -muuujisa. Tällöin yhälön (8) ermi, joka sisälävä ekijän Δ z k, ova saionaarisia I(0) -muuujia. Lisäksi ermin Π z k äyyy olla saionaarinen, joa virheermi u ~ I(0) olisi valkoisen kohinan prosessi. On olemassa kolme eri apausa, jolloin vaaimus ermin Π z k saionaarisuudesa oeuuu. Ensimmäinen mahdollisuus on, eä vekorin z kaikki muuuja ovakin saionaarisia. Tässä yheydessä ää apausa ei voi piää eriyisen kiinnosavana, sillä ällöin näennäisregression ongelmaa ei esiinny ja mallinamiseen voidaan käyää perineisä VAR-mallia asomuuujilla. Toinen mahdollinen apaus on, eä yheisinegraaioa ei ilmene ollenkaan. Tällöin ei ole olemassa z :n lineaarikombinaaioia, joka ova I (0). Täsä johuen Π on ällöin (n x n)-uloeinen nollamariisi. Tässä apauksessa mallinaminen voidaan suoriaa käyämällä muuujien ensimmäisiä differenssejä VAR-malliin, jolloin malli ei sisällä pikän aikavälin elemenejä. Kolmas mahdollinen apaus, jolloin Π z k ~ I(0), esiinyy kun β z k ~ 0. Tässä apauksessa β :ssa on r ( n ) yheisinegroiuneisuusvekoria (eli r lineaarisesi riippumaona sarakea) ja ( n r) epäsaionaarisa vekoria. Ainoasaan β :n yheisinegroiuvuusvekori ova merkiseviä, sillä muuoin Π z k ei olisi I(0), Käyännössä ämä merkisee, eä lopu ( n r) α :n sarakkeisa on merkiykseömän pieniä eli käyännössä nollia. Mariisin β sisälämien yheisinegroiuvuusvekorien lukumäärän selviäminen on siis ekvivaleni mariisin α nollasarakkeiden esaamiselle. Täsä johuen yheisinegraaion esaaminen perusuu mariisin Π :n aseen arkaselulle (Harris 995, 79). Tiivisäen, jos mariisilla Π on äysi aseluku (full rank) eli r = n lineaarisesi riippumaona sarakea, niin vekorin z kaikki muuuja ova I (0). Jos aas Π :n aseluku on nolla, yheisinegraaiosuheia ei ole. Useasi Π :lla voi olla alenneu aseluku (reduced rank), jolloin on olemassa r ( n ) yheisinegraaiovekoria (Harris 995, 79). Johansenin meneelmässä yheisinegraaiovekoreiden lukumäärän esaamiseksi on kehiey kaksi erilaisa ilasollisa esiä, joka perusuva suurimman uskoavuuden (maximum likelihood) lähesymisapaan. Trace-esissä hypoeesina on, eä yheisinegroiuvuusvekoreia on eninään r kappalea. Trace-esisuure saadaan yhälösä: 9
(9) λ race ( r ) = T ln( λ i n i= r+ ^ ) Toinen esi on nimelään suurimman ominaisarvon (maximum eigenvalue) esi. Sen nollahypoeesina on, eä on olemassa r yheisinegroiuvuusvekoria. Vasahypoeesina on, eä yheisinegroiuvuusvekoreia löyyy r + kappalea. Suurimman ominaisarvon esisuure saadaan laskeua yhälösä: (30) λ ( r, r + ) = T ln( λ r ) max + ^ Kummassakin yhälössä T viiaa havainojen lukumäärään ja λ i (eigenvalue) on esimoiu ominaisarvo, joka on saau esimoidusa Π -mariisisa (Enders 995, 39) Johansen ja Juselius (990) 6 ova simuloinikokeillaan luonee kriiise arvo molemmille eseille. He ova ullee ulokseen, eä λ max -esi on parempi (Maddala & Kim, ). Johansenin meneelmä on nykyisin käyeyimpiä meneelmiä yheisinegraaioanalyysissä. Tässäkin meneelmässä on kuienkin puueia. Suurimpina ongelmina ova esien herkkyys viivepiuuden suheen sekä esiulosen väärisymä pienillä aineisoilla (Maddala & Kim 998, 0). Tämän lisäksi Gonzalon ja Leen mukaan Johansenin meneelmällä on aipumus löyää virheellisiä yheisinegraaiosuheia (spurious coinegraion) jos esaava muuuja ova frakionaalisesi inegroiunee eli ne ova I (d), jossa d ei ole kokonaisluku. Tällöin muuuja eivä ole äysin puhaia I() -muuujia, ja niiä on vaikea eroaa oikeisa I() -muuujisa perineisillä yksikköjuurieseillä (Gonzalo & Lee 000, 8-87). ^ 3.3.4 Rajoiusen esaaminen Johansenin meneelmän eräänä euna on, eä sillä voidaan esaa paramereille α ja β aseeuja rajoiuksia. Paramerien rajoiuksilla on esau monenlaisia hypoeeseja, mua nyemmin on keskiey esaamaan pikän aikavälin heikkoa eksogeenisuua (Doornik & Hendry 000, 7). Muuujan sanoaan olevan heikosi eksogeeninen jos se vaikuaa muiden syseemissä olevien muuujien kehiykseen mua muu muuuja eivä vaikua siihen (Hendry & Juselius 00, ). Mariisi α sisälää ieoa sopeuumiskeroimisa, joen heikon eksogeenisuuden esaus perusuukin mariisin α esaamiseen. Jos ukiava muuuja koosuva hinaaikasarjoisa, ja haluaan ukia onko hina i heikosi eksogeeninen, äyyy esaa rajoiusa, jolla kaikki mariisin α vasaavaan sarakkeen parameri ova nollia. Esimerkiksi neljän yheisinegraaiovekorin apauksessa heikon eksogeenisuuden nollahypoeesi on H 0 : α i = α i = α i3 = α i4 = 0, kaikille i. Tesiarvoja verraaan χ -jakauman kriiisiin arvoihin. Jos nollahypoeesia ei voida hylää jollekin muuujalle i, niin kyseinen muuuja on heikosi eksogeeninen. Tällöin pikällä aikavälillä kyseinen muu- 6 Johansen, S. Juselius, K. (990) Maximum Likelihood Esimaion and Inference on Coinegraion wih Applicaion o he Demand for Money. Oxford Bullein of Economics and Saisics, 5, 69-0. 0