Rautaisannos. Simo K. Kivelä 30.8.2011

Samankaltaiset tiedostot

saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?

Radiaanit. Kun kulman α suuruus nyt mitataan tämän kaaren pituutena, saadaan kulmaan arvo radiaaneissa.

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n =

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Ratkaisut: loppuviikko 2

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia, 2. harjoitus, kevät Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d

Opiskelijan pikaopas STACK-tehtäviin. Lassi Korhonen, Oulun yliopisto

Matematiikan johdantokurssi Johdatusta funktiosääntöihin ja piirtelyyn. Harjoitusta 9, tehtävien käsittelyä Maplella

Funktion määrittely (1/2)

Äärettömät raja-arvot

Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että:

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT

1.5. Trigonometriset perusyhtälöt

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Trigonometriset funk4ot

Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa

Funktioista. Esimerkki 1

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

Matematiikan tukikurssi

Testaa taitosi Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Fysiikan matematiikka P

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

Trigonometriset funktiot

Matematiikan tukikurssi

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta

x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x

Vastaa kaikkiin kysymyksiin (kokeessa ei saa käyttää laskinta)

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1

Trigonometriset funk/ot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko

Differentiaalilaskennan tehtäviä

BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 2016

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

Vektorianalyysi II (MAT21020), syksy 2018

3. Differen*aalilaskenta

3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia

MS-A0103 / Syksy 2015 Harjoitus 2 / viikko 38 / Ennakot

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) = = 21 tosi

Muuttujan vaihto. Viikon aiheet. Muuttujan vaihto. Muuttujan vaihto. ) pitää muistaa lausua t:n avulla. Integroimisen työkalut: Kun integraali

MAA Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

Matematiikan peruskurssi 2

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Osi+aisintegroin3. Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö:

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Osi*aisintegroin2. Osi*aisintegroin2: esimerkkejä. Osi*aisintegroin2tapauksia 1/29/13. f'(x)g(x)dx=f(x)g(x) f(x)g'(x)dx. f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)

Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja

Trigonometriset funk/ot

TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma. Mika Kähkönen. L'Hospitalin sääntö

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki = 16 3 =

Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d

3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali

Differentiaali- ja integraalilaskenta

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1

Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 3. viikolle /

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Lyhyt, kevät 2016 Osa A

Sini- ja kosinifunktio

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

3. Differen*aalilaskenta

5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

Hyvä uusi opiskelija!

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L

= 2 L L. f (x)dx. coshx dx = 1 L. sinhx nπ. sin. sin L + 2 L. a n. L 2 + n 2 cos. tehdään approksimoinnissa virhe, jota voidaan arvioida integraalin

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

b) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p)

Numeeriset menetelmät

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

Ratkaise tehtävä 1 ilman teknisiä apuvälineitä! 1. a) Yhdistä oikea funktio oikeaan kuvaajaan. (2p)

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

MAT Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48

Differentiaalilaskenta 1.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1

Transkriptio:

Yhteenlasku Rautaisannos 30.8.011

Yhteenlasku sin x + cos x

Yhteenlasku sin x + cos x = 1

sin x + cos x = 1 x R Yhteenlasku

sin x + cos x = 1 x C Yhteenlasku

Yhteenlasku Yhteenlasku

Yhteenlasku Yhteenlasku sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y

Yhteenlasku Yhteenlasku sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y

Yhteenlasku Yhteenlasku sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y tan x + tan y tan(x + y) = 1 tan x tan y

Yhteenlasku

Yhteenlasku sin x = sin x cos x

Yhteenlasku sin x = sin x cos x cos x = cos x sin x

Yhteenlasku sin x = sin x cos x cos x = cos x sin x = 1 sin x

Yhteenlasku sin x = sin x cos x cos x = cos x sin x = 1 sin x = cos x 1

Yhteenlasku

Yhteenlasku sin x = 1 (1 cos x)

Yhteenlasku sin x = 1 (1 cos x) cos x = 1 (1 + cos x)

Yhteenlasku

sin x + sin y = sin x + y cos x y Yhteenlasku

sin x + sin y = sin x + y sin x sin y = cos x + y cos x y sin x y Yhteenlasku

sin x + sin y = sin x + y sin x sin y = cos x + y cos x + cos y = cos x + y cos x y sin x y cos x y Yhteenlasku

sin x + sin y = sin x + y sin x sin y = cos x + y cos x + cos y = cos x + y cos x cos y = sin x + y cos x y sin x y cos x y sin x y Yhteenlasku

tan x - t = tan x : Yhteenlasku

tan x - t = tan x : sin x = t 1 + t Yhteenlasku

tan x - t = tan x : sin x = t 1 + t cos x = 1 t 1 + t Yhteenlasku

tan x - t = tan x : sin x = t 1 + t cos x = 1 t 1 + t tan x = t 1 t Yhteenlasku