802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVT 2019 1

Contents 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 3 1.1 Sisätuloavaruus/Inner product space.............. 3 1.2 Normiavaruus........................... 7 1.3 Ortogonaalisuus.......................... 12 1.4 Gram-Schmidt........................... 16 1.5 Ortogonaalikomplementti..................... 17 1.6 Hypertaso............................. 20 2

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo/real inner product or dot product, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v w + u w ; (c) λv w = λ v w ; (d) v v > 0, kun v 0 (positiividefiniittisyys) aina, kun v, w, u V ja λ R. Reaalinen sisätuloavaruus on pari/real inner product space is a pair (V, ), missä V on vektoriavaruus ja on sisätulo avaruudessa V. Yleensä tällöin sanotaan, että V on sisätuloavaruus/usually we just say that V is an inner product space. Vektoreiden v ja w sisätulolle v w käytetään yleisesti merkintää v w ja puhutaan pistetulosta./ It is usual to use the notation v w and to use the phrase dot product for the inner product v w of the vectors v ja w. Lemma 1. Reaalinen sisätulo on lineaarinen molempien argumenttiensa suhteen eli/ A real inner product is linear with respect to both its arguments or ja αv + βu w = α v w + β u w ; (1) v αw + βz = α v w + β v z ; (2) v + u w + z = v w + v z + u w + u z (3) aina, kun α, β R ja v, u, w, z V. Todistus. Kohta (1): Käytetään ensin aksiomia b ja sitten aksiomia c, jolloin/ First we use the axiom b and then the axiom c, whereupon V.P. = αv + βu w = αv w + βu w = α v w + β u w = O.P. 3

Esimerkki 1. Joukko R n, n Z + on reaalinen sisätuloavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ) R n, y = (y 1,..., y n ) R n pistetulo määritellään asettamalla/ The set R n, n Z + is a real inner product space when the dot product of the vectors x = (x 1,..., x n ) R n, y = (y 1,..., y n ) R n is defined by setting x y = x i y i. (4) Todistus. Määritelmän 1 kohta a: Lasketaan/By computing x y = Kohta b: Lasketaan x i y i = y i x i = y x. (x + z) y =(x 1 + z 1,..., x n + z n ) (y 1,..., y n ) = (x i + z i )y i = x i y i + z i y i = Kohta c: Lasketaan x y + z y. (λx) y =(λx 1,..., λx n ) (y 1,..., y n ) = (λx i )y i = λ x i y i = λ x y. Kohta d: Olkoon x 0. Nyt ainakin yksi x k 0, jolloin x 2 k > 0/Now at least one x k 0, whereupon x 2 k > 0. Siten/Thus Huomautus 1. Koska x x = x 2 i x 2 k > 0. (5) niin avaruuden R n sisätulolle (4) pätee 0 0 = 0, (6) x x = 0 x = 0. (7) Myöhemmin todistetaan, että (7) on voimassa yleisemminkin./ Later it is proved that (7) in fact holds more generally. 4

Esimerkki 2. Tarkastellaan kuvausta : R 4 R 4 R, missä kaikilla vektoreilla x, y R 4. Valitaan x = (1, 0, 0, 0), jolloin x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + x 4 y 4 (8) x x = 1 < 0, joten ehto Määritelmän 1 ehto d) ei ole voimassa. Siten kuvaus (8) ei ole sisätulo. Kuvausta (8) kutsutaan Lorentzin indefiniitiksi sisätuloksi/lorentzian Indefinite Inner Product, ehto d) ei siis ole voimassa indefiniitille sisätulolle. Määritelmä 2. Olkoon V kompleksinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V C on Hermiten (kompleksinen) sisätulo eli pistetulo//hermitian (complex) innerproduct or dot product, jos (a) v w = w v (b) v + u w = v w + u w ; (c) λv w = λ v w ; (d) v v > 0, kun v 0 aina, kun v, w, u V ja λ C. (konjugaatti-symmetrisyys); (positiividefiniittisyys) Merkintä z tarkoittaa kompleksiluvun z C kompleksikonjugaattia/denotes the complex conjugate. Esimerkki 3. Joukko C n, n Z + on kompleksinen sisätuloavaruus, kun vektoreiden z = (z 1,..., z n ) C n, w = (w 1,..., w n ) C n pistetulo määritellään asettamalla z w = z i w i. (9) Todistetaan Määritelmän 2 kohta a: Lasketaan/By computing w z = = w i z i = w i z i w i z i = z i w i = z w. (10) 5

Lemma 2. Olkoon V kompleksinen sisätuloavaruus ja 0 V nollavektori. Tällöin 0 v = v 0 = 0 v V ; (11) v v = 0 v = 0; (12) ja v v 0 v V. (13) Todistetaan aluksi tapaus (11): Koska 0 = 0 0, niin aksiomin nojalla λv w = λ v w 0 v = 0 0 v = 0 0 v = 0 v V. (14) Otetaan tuloksesta (14) kompleksikonjugaatit, jolloin saadaan Käytetään sitten aksiomia v w = w v, jolloin Todistetaan seuraavaksi tapaus (12): Tuloksen (11) erikoistapauksena Mutta aksiomin d mukaan 0 v = 0 v V. (15) v 0 = 0 v = 0 v V. (16) 0 0 = 0. (17) v v > 0, kun v 0. (18) Siispä v v = 0 v = 0. (19) Esimerkki 4. Vektoriavaruuteen C([a, b], R) = {f : [a, b] R f on jatkuva}, missä a < b, saadaan (reaalinen) sisätulo asettamalla f g = b a 6 f(t)g(t)dt (20)

kaikilla f, g C([a, b], R). Todistus. Aluksi todetaan, että suppeneva reaalinen integraali on reaaliluku. Määritelmän 1 kohdat b ja c seuraavat integraalin lineaarisuudesta seuraavasti αf + βh g = b (αf + βh)(t)g(t)dt = a b α a f(t)g(t)dt + β b a h(t)g(t)dt = α f g + β h g. Kohta d. Olkoon f O. Tällöin f(t) 2 vakio > 0, jollain välillä [c, d] [a, b]. Siten f f = Esimerkki 5. Vektoriavaruuteen b a f(t) 2 dt > 0. (21) C([a, b], C) = {f : [a, b] C f on jatkuva}, missä a < b, saadaan Hermiten sisätulo asettamalla kaikilla f, g C([a, b], C). f g = b a f(t)g(t)dt (22) Esimerkki 6. Esimerkin 4 kuvaus ei ole sisätulo avaruudessa F([a, b], R), sillä funktiolle { 1, kun x = a f(x) = 0, kun x ]a, b] pätee f F([a, b], R) ja f 0, mutta 1.2 Normiavaruus f f = b a f 2 (t)dt = 0. Määritelmä 3. Olkoon V vektoriavaruus kunnan K = R tai K = C yli. Kuvaus : V R 0 on normi, jos (a) v 0 v V ; 7

(b) v = 0 v = 0; (c) λv = λ v v V ja λ K; (d) v + w v + w v, w V (kolmioepäyhtälö). Normiavaruus on pari (V, ), missä V on vektoriavaruus ja on normi avaruudessa V. Tällöin sanotaan lyhyesti, että V on normiavaruus. Tärkeitä normiavaruuksia ovat sisätuloavaruudet, nimittäin sisätulon avulla saadaan normi. Lause 1. Olkoon V sisätuloavaruus. Määritellään kuvaus asettamalla Tällöin on normi. Todistus. Koska niin neliöjuuren arvo on reaaliluku ja Siten saadaan kuvaus : V R v = v v = v v v V. (23) v v 0 v V, (24) v = v v 0 v V. (25) : V R 0, joka todistaa myös normin Määritelmän 3 kohdan a. Kohta b: Tuloksen (12) nojalla v v = 0 v = 0, (26) joten Kohta c: Aluksi reaalinen tapaus. Olkoon λ R. Lasketaan v = v v = 0 v = 0. (27) λv = (λv) (λv) = λ 2 v v = λ v v = λ v. Vielä kompleksitapaus. Olkoon λ C. Lasketaan λv = (λv) (λv) = λλv v = = λ 2 v v = λ v v = λ v. Ennen kolmioepäyhtälön todistusta esitetään Cauchy-Schwarzin epäyhtälö. 8

Lause 2. Kuvaukselle (23) pätee Cauchy-Schwarzin epäyhtälö kaikilla v, w V. v w v w (28) Todistus. Aluksi huomataan, että epäyhtälö (28) on voimassa, jos v = 0 tai w = 0. Olkoon sitten v 0 ja w 0. 1) Reaalinen tapaus: Kirjoitetaan nyt Tällöin z := w 2 v (v w)w. z w = w 2 v w (v w)w w = (v w)( w 2 w 2 ) = 0, (29) joten myös w z = 0. Siten w 4 v 2 = w 2 v w 2 v = (z + (v w)w) (z + (v w)w) = z z + (v w)z w + (v w)w z + (v w) 2 w w = z 2 + v w 2 w 2 v w 2 w 2. Tästä saadaan w 2 v 2 v w 2 ja edelleen (28). 2) Kompleksinen tapaus: Kirjoitetaan nytkin Tällöinkin z := w 2 v (v w)w. z w = w 2 v w (v w)w w = (v w)( w 2 w 2 ) = 0, (30) joten myös w z = z w = 0. Siten w 4 v 2 = w 2 v w 2 v = (z + (v w)w) (z + (v w)w) = z z + (v w)z w + (v w)w z + v w v w w w = z 2 + v w 2 w 2 v w 2 w 2. 9

Tästä saadaan w 2 v 2 v w 2 ja edelleen (28). Nyt voidaan todistaa Määritelmän 3 kohta d: Aluksi reaalinen tapaus. Tarkastellaan lauseketta v + w 2 = (v + w) (v + w) = v v + v w + w v + w w = v 2 + 2v w + w 2 v 2 + 2 v w + w 2 v 2 + 2 v w + w 2 = ( v + w ) 2, mistä saadaan v + w v + w aina, kun v, w V. Sitten kompleksitapaus, missä tarvitaan tulosta Nyt z + z 2 z. (31) v + w 2 = (v + w) (v + w) = v v + v w + w v + w w = v 2 + v w + v w + w 2 v 2 + 2 v w + w 2 v 2 + 2 v w + w 2 = ( v + w ) 2, mistä saadaan v + w v + w aina, kun v, w V. Seurauksena saadaan sisätulonormin kolmioepäyhtälöt Lemma 3. Sisätulonormille pätee v w v + w v + w (32) Esimerkki 7. Avaruudessa R n vektorin x = (x 1,..., x n ) sisätulonorminormi x = x x = x 2 1 +... + x 2 n (33) antaa vektorin pituuden (Eukleideen pituuden). 10

Lauseen 1 mukaan sisätulonormi ja siten myös Eukleideen pituus-funktio (33) toteuttavat normin aksiomit - erityisesti kolmioepäyhtälön x y x + y x + y (34) - lisäksi pätee Cauchy-Schwarzin epäyhtälö Esimerkki 8. x y x y. (35) Avaruudessa R 2 vektorin (x, y) Eukleideen pituus (x, y) = x x = x 2 + y 2 (36) antaa (suorakulmaisen) nelikulmion lävistäjän pituuden sekä yleistää perinteisen Pythagoraan lauseen. Esimerkki 9. Avaruudessa R 3 vektorin (x, y, z) Eukleideen pituus (x, y, y) = x x = x 2 + y 2 + z 2 (37) antaa (suorakulmaisen) suuntaissärmiön lävistäjän pituuden yleistäen kaksiulotteisen Pythagoraan lauseen. Olkoon V reaalinen sisätuloavaruus. Jos v, w V \ {0}, niin Cauchy- Schwarzin epäyhtälön nojalla 1 v w v w 1 (38) Tämä antaa mahdollisuuden määritellä vektorien v ja w välinen kulma α asettamalla cos α = v w v w. (39) Tällöin kosinilause saadaan yleistettyä sisätuloavaruuksiin. Lemma 4. Olkoon V reaalinen sisätuloavaruus ja v, w V \ {0}. Tällöin v w 2 = v w v w = v 2 + w 2 2 v w = v 2 + w 2 2 v w cos α. 11

Määritelmä 4. Olkoon V normiavaruus ja = S V. Tällöin pisteen t V etäisyys joukosta S on/now the distance of the point t V from the set S is inf t s. (40) s S Esimerkki 10. Pisteen t etäisyys pisteestä s/the distance of the point t from the point s. Nyt S = {s}, joten inf t s = t s. (41) s S Lauseke t s antaa vektoreiden t ja s välisen etäisyyden./ The expression t s gives the distance between the vectors t and s. p = 1: p = 2: On olemassa muitakin kuin sisätulonormeja. Esimerkiksi p-normit: p = : x p = ( x 1 p +... + x n p ) 1/p, p 1, x R n. (42) x 1 = x 1 +... + x n, x R n. (43) x 2 = ( x 1 2 +... + x n 2) 1/2, x R n. (44) x = max{ x 1,..., x n }, x R n. (45) HUOM: 2 on kuitenkin sisätulonormi. 1.3 Ortogonaalisuus Määritelmä 5. Olkoon V sisätuloavaruus ja v, w V. Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset/orthogonal, jos v w = 0. Tällöin käytetään merkintää v w. Epätyhjä joukko T V on ortogonaalinen, jos 0 / T ; v w v, w T, v w. Epätyhjä joukko T V on ortonormaali/orthonormal, jos se on ortogonaalinen ja v = 1 kaikilla v T. 12

Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset eli kohtisuorassa toisiaan vastaan; Vektori v on kohtisuorassa vektoria w vastaan; Esimerkki 11. Koska 0 w = 0 w V eli 0 w w V, niin nollavektori on kohtisuorassa kaikkia avaruuden vektoreita vastaan. Edelleen, koska nollavektorin sisältävä joukko on lineaarisesti sidottu, niin nollavektoria ei haluta mukaan ortogonaaliseen joukkoon. Nimittäin, ortogonaalisista joukoista on tarkoitus muodostaa kantoja, joiden on syytä olla lineaarisesti vapaita. Olkoon K kunta ja n Z +, tällöin K n on lineaariavaruus kunnan K yli. Merkitään e k = (0,..., 1,..., 0) K n, missä k:s koordinaatti on 1 ja muut nollia aina, kun k = 1, 2,..., n. Tiedetään, että vektorit e 1,..., e n ovat lineaarisesti vapaita kunnan K yli. Olkoon nyt K n = R n, missä sisätulona on (4) tai K n = C n, missä sisätulona on (9). Esimerkki 12. Luonnollisen kannan vektoreiden muodostama joukko/the set of standard base vectors on ortonormaali. Esimerkki 13. Tarkastellaan vektoriavaruuden sisätuloa Lasketaan E n := {e 1,..., e n } (46) C([ 1, 1], R) = {f : [ 1, 1] R f on jatkuva}, f g = 1 t = 1 1 1 1 f(t)g(t)dt. (47) tdt = 0, (48) joten funktiot 1 ja t ovat kohtisuorassa ja joukko {1, t} on ortogonaalinen. Lasketaan normit 1 = 2, t = 2/3. (49) Siten joukko {1, t} ei ole ortonormaali. 13

Lause 3. Olkoot V (reaalinen tai kompleksinen) sisätuloavaruus ja S V ortogonaalinen. Tällöin S on lineaarisesti riippumaton/s is linearly independent. Erityisesti ortonormaali joukko on lineaarisesti riippumaton/in particular, an orthonormal set is linearly independent. Muistettakoon, että nollavektori ei kuulu ortogonaaliseen joukkoon/let us remember that the zero-vector does not belong to an orthonormal set. Todistus. Tutkitaan joukon S äärellistä osajoukkoa J := {s 1,..., s n }, jonka alkioille s 1,..., s n S siis pätee s k s l = 0 aina, kun k l. Asetetaan lineaarikombinaatio nollaksi: a 1 s 1 +... + a n s n = 0. Ottamalla sisätulo vektorin s 1 kanssa saadaan a 1 s 1 s 1 +... + a n s n s 1 = 0 s 1 a 1 s 1 s 1 = 0. (50) Koska s 1 0, niin s 1 s 1 > 0 sisätulon aksiomin d nojalla, joten a 1 = 0. Edetään induktiolla tulokseen a 1 =... = a n = 0, joka todistaa joukon J lineaarisen vapauden. Siten kaikki joukon S äärelliset osajoukot ovat lineerisesti vapaita, joten määritelmän nojalla S on lineaarisesti vapaa. Määritelmä 6. Sisätuloavaruuden V osajoukko S on avaruuden V ortogonaalinen/ortonormaali kanta, jos S on ortogonaalinen/ortonormaali ja avaruuden V kanta. Esimerkki 14. 1. Avaruuden R n luonnollinen kanta {e 1,..., e n } on ortonormaali kanta. 2. Avaruuden C n luonnollinen kanta {e 1,..., e n } on ortonormaali kanta. Ortonormitus tarkoittaa annetun vektorin jakamista sen normilla, jolloin tuloksena saadaan vektori, jonka pituus on 1. Lemma 5. Olkoon V normiavaruus ja v V, v 0. Tällöin f := v/ v f = 1. (51) Todistus. f = v v = 1 v v = 1 v = 1. v 14

Lause 4. Oletetaan, että S = {v 1,..., v n } on sisätuloavaruuden V ortogonaalinen kanta. Tällöin vektorin v V koordinaatit kannassa S saadaan kaavasta λ i = v v i v i v i (52) kaikilla 1 i n. Erityisesti jos S on ortonormaali, niin λ i = v v i. Todistus. Vektorilla v on kannassa {v 1,..., v n } esitys Ottamalla sisätulo saadaan väite (52). v = λ 1 v 1 +... + λ n v n. v v i = λ 1 v 1 v i +... + λ i v i v i +... + λ n v n v i = λ i v i v i Esimerkki 15. Joukko {s 1 = e 1 + e 2, s 2 = e 1 e 2 } on avaruuden R 2 ortogonaalinen kanta. Mitkä ovat vektorin v = (2, 3) koordinaatit kannassa {s 1, s 2 }? Ratkaisu: Kirjoitetaan v = as 1 + bs 2. Ottamalla sisätulo ja sijoittamalla saadaan Vastaavasti b = 1/2. Siten v s 1 = as 1 s 1 + bs 2 s 1 = as 1 s 1 (53) (2, 3) (1, 1) = a(1, 1) (1, 1) a = 5/2. (54) v = 5 2 s 1 + ( 1 ) s 2. (55) 2 Lause 5. Oletetaan, että S = {v 1,..., v n } on sisätuloavaruuden V ortonormaali kanta. Tällöin kaikilla v, w V pätee Parsevalin yhtälö v w = v v i v i w. (56) Lause 6. Oletetaan, että S = {v 1,..., v n } on sisätuloavaruuden V ortonormaali kanta. Jos vektorilla v on kannassa {v 1,..., v n } esitys v = λ 1 v 1 +... + λ n v n, niin v = n v v i 2 = n λ i 2. (57) 15

1.4 Gram-Schmidt Lause 7. Olkoot V sisätuloavaruus ja {v 1,..., v k } V lineaarisesti riippumaton. Tällöin on olemassa sellainen ortogonaalinen joukko/then there exists an orthogonal set {w 1,..., w k } V, että/such that w 1,..., w k = v 1,..., v k. (58) Todistus. Suoritetaan Gram-Schmidtin ortogonalisointimenetelmä/let us carry out Gram-Schmidt orthogonalization: Asetetaan w 1 = v 1, Tällöin esimerkiksi w 2 = v 2 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 w 3 = v 3 v 3 w 2 w 2 v 3 w 1 w 1 w 2 w 2 w 1 w 1... w k = v k v k w k 1 w k 1... v k w 1 w 1. w k 1 w k 1 w 1 w 1 w 2 w 1 = v 2 w 1 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 w 1 = 0, w 3 w 1 = v 3 w 1 v 3 w 2 w 2 w 2 w 2 w 1 v 3 w 1 w 1 w 1 w 1 w 1 = v 3 w 1 0 v 3 w 1 = 0. Yleisemmin induktiolla. Olkoon l 2. Induktio-oletus/Induction assumption: Olkoot w i w j = 0 aina, kun l > i > j. Induktioaskel/Induction step: Lasketaan sisätulo w l w i = v l w i 0... 0 v l w i w i w i w i w i 0... 0 = 0. Lause 8. Jokaisella äärellisulotteisella sisätuloavaruudella V {0} on ortonormaali kanta./every finite dimensional inner product space has an orthonormal basis. Esimerkki 16. 16

Tarkastellaan avaruuden R 4 vektoreita v 1 = (1, 1, 1, 1), v 2 = (5, 1, 1, 1) ja v 3 = ( 3, 3, 1, 3). Etsitään aliavaruudelle H = v 1, v 2, v 3 ortonormaali kanta/let us find an orthonormal basis for the subspace H = v 1, v 2, v 3. Käytetään Gram-Schmidtin ortogonalisointimenetelmää, jolloin w 1 = v 1 = (1, 1, 1, 1), w 2 = v 2 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 = (5, 1, 1, 1) 5 1 + 1 1 (1, 1, 1, 1) 1 + 1 + 1 + 1 = (4, 2, 0, 2), ja w 3 = v 3 v 3 w 2 w 2 w 2 w 2 v 3 w 1 w 1 w 1 w 1 = v 3 12 6 + 0 6 16 + 4 + 0 + 4 w 2 3 + 3 + 1 + 3 4 = (0, 0, 0, 0). Koska w 3 = 0, niin {v 1, v 2, v 3 } on lineaarisesti riippuva. Ylläolevasta nähdään, että vektori v 3 on lineaarikombinaatio vektoreista v 1 ja v 2, joten H = v 1, v 2. Nyt {v 1, v 2 } on lineaarisesti riippumaton, joten {w 1, w 2 } on avaruuden H ortogonaalinen kanta. Normittamalla vektorit saadaan ortonormaali kanta {f 1, f 2 }, missä f 1 = w 1 w 1 = 1 2 (1, 1, 1, 1) ja f 2 = w 2 w 2 = 1 24 (4, 2, 0, 2) = ( 2 6, 1 6, 0, w 1 ) 1. 6 1.5 Ortogonaalikomplementti Määritelmä 7. Olkoon V sisätuloavaruus ja = A V. ortogonaalikomplementti on osajoukko Osajoukon A A = {b V b a = 0 a A}. 17

Ortogonaalikomplementti, ortogonaalinen komplementti, kohtisuora komplementti Merkintä 1. h A h A. Esimerkki 17. Olkoon A = {(1, 0)} R 2. Muodostetaan Nyt A = {(b 1, b 2 ) R 2 (b 1, b 2 ) (1, 0) = 0}. (b 1, b 2 ) (1, 0) = 0 b 1 = 0, b 2 R A = {(0, b 2 ) = b 2 (0, 1), b 2 R}, joka on yksiulotteinen aliavaruus, origon kautta kulkeva suora. Lemma 6. Olkoon V sisätuloavaruus ja A avaruuden V aliavaruus. Tällöin ortogonaalikomplementti A on V :n aliavaruus. Esimerkki 18. {0} = V, (59) V = {0}. (60) Lemma 7. Olkoon V sisätuloavaruus ja A avaruuden V aliavaruus. Tällöin Edelleen, jos dim K V = n ja dim K A = k, niin A A = {0}. (61) dim K A = n k. (62) Määritelmä 8. Olkoon V sisätuloavaruus, t V ja A aliavaruus. Pisteen t kohtisuora projektio PROJ A (t) = p aliavaruudelle A on yksikäsitteinen piste p, joka toteuttaa ehdot p A; p + h = t; (63) h A. Esimerkki 19. Olkoon V = R 3 ja A = e 1, e 2. Etsitään pisteen t = e 2 + e 3 kohtisuora projektio aliavaruudelle A. Nyt A = {b R 3 b a = 0 a A} =... = {b 3 e 3 b 3 R}. (64) 18

Siten projektiehdoista p = a 1 e 1 + a 2 e 2 A; p + h = t = e 2 + e 3 ; (65) h = b 3 e 3 A saadaan p e 3 = 0 h e 3 = t e 3 b 3 = 1 p = e 2. (66) Palataan hetkeksi Gram-Schmidtin ortogonalisointimenetelmän, Lauseen 7 pariin. Olkoon V sisätuloavaruus ja {v 1,..., v k } V lineaarisesti riippumaton. Olkoon j k 1 ja {w 1,..., w j } ortogonaalinen V :n osajoukko sekä A := w 1,..., w j. Muodostetaan alkio w j+1 = h A seuraavasti. Valitaan alkio v j+1 = t / A ja asetetaan: p A; p + h = t; (67) h A. Joten Tällöin 0 = h w l = (t p) w l p = β 1 w 1 +... + β j w j ; p + h = t; h w 1 =... = h w j = 0; w i w l = 0, i l. t w l = p w l = (β 1 w 1 +... + β j w j ) w l = β l w l w l Niinpä saadaan uusi kohtisuora vektori (68) β l = t w l w l w l. (69) w j+1 := h = t p = v j+1 v j+1 w 1 w 1 w 1 w 1... v j+1 w j w j w j w j. (70) 19

1.6 Hypertaso Määritelmä 9. Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. Hypertaso H on V :n (k 1)-ulotteinen aliavaruus. Affiini hypertaso on muotoa w + H, missä H on hypertaso ja w V. Jos hypertason H dimensio on k 1, niin tällöin sanotaan, että myös affiinin hypertason w + H dimensio on k 1. Jos dim K V = 2, niin hypertaso on origon kautta kulkeva suora. Jos dim K V = 3, niin hypertaso on origon kautta kulkeva taso. Jos dim K V = 4, niin hypertaso on origon kautta kulkeva 3-ulotteinen aliavaruus eli hypertaso. Lemma 8. Olkoon n V \ {0} annettu ja dim K V = k Z +. Tällöin joukko N := {x V n x = 0} (71) muodostaa (k 1)-ulotteisen hypertason ja joukko x 0 + N = {x V n (x x 0 ) = 0} (72) muodostaa (k 1)-ulotteisen affiinin hypertason. Olkoon seuraavassa e 1,..., e k avaruuden V ortonormaali kanta ja vektoreiden n ja x esitykset siinä: n = n 1 e 1 +... + n k e k = (n 1,..., n k ), (73) x = x 1 e 1 +... + x k e k = (x 1,..., x k ) (74) vastaavine koordinaattiesityksineen. Todistus. Joukolle (71) saadaan koordinaattiesitys N := {x = (x 1,..., x k ) n 1 x 1 +... + n k x k = 0}, (75) missä ehdon n 0 nojalla ainakin yksi koordinaatti n j 0, olkoon vaikka n 1 0. Siten x 1 = 1 n 1 (n 2 x 2 +... + n k x k ) (76) ja edelleen x = x 1 e 1 +...+x k e k = x 2 ( n 2 e 1 +e 2 )+...+x k ( n k e 1 +e k ) := x 2 f 2 +...+x k f k. n 1 n 1 (77) Niinpä N = f 2,..., f k, (78) missä f 2,..., f k on lineaarisesti vapaa ja siten kanta ja dim K N = k 1. 20

Lemma 9. Olkoon dim K V = k Z +. Tällöin V :n hypertaso H voidaan esittää muodossa H = {x V n x = 0} (79) jollakin n V \ {0} sekä vastaava affiini hypertaso x 0 + H muodossa x 0 + H = {x V n (x x 0 ) = 0}. (80) Todistus. Hypertaso on (k 1)-ulotteinen aliavaruus, joten on olemassa sellainen ortonormaali joukko g 1,..., g k 1, että H = g 1,..., g k 1, dim K H = k 1. (81) Edelleen on olemassa g k / H, g k V. Lauseen I:7 kohdan (53) nojalla g 1, g 2,..., g k on lineaarisesti vapaa ja siten V :n kanta, joka ortonormitetaan tarvittaessa ja käytetään samoja merkintöjä. Niinpä, jos x H, niin x = β 1 g 1 +... + β k 1 g k 1 + 0 g k. (82) Valitaan n = 0 g 1 +... + 0 g k 1 + 1 g k, jolloin n x = 0. (83) Tutkitaan seuraavaksi pisteen t V etäisyyttä hypertasosta H. Voidaan osoittaa, että pisteen etäisyys hypertasosta on kohtisuora etäisyys. Lemma 10. Olkoon dim K V = k Z + ja n V \ {0}. Tällöin hypertason H = {x V n x = 0} (84) ja pisteen t V välinen etäisyys l saadaan kaavasta l = n t n (85) Todistus. Ortonormitetaan n: ˆn = n/ n. Koska ˆn H, niin etäisyys l on vektorin αˆn pituus α, missä αˆn on vektorin t ja sen H:lla olevan projektion p H välinen etäisyysvektori eli t p = αˆn. Koska p ˆn ja p = t αˆn, niin Siten 0 = p ˆn = (t αˆn) ˆn = t ˆn αˆn ˆn = t ˆn α. (86) Affiini hypertaso voidaan kirjoittaa muodossa α = t ˆn = t n n. (87) x 0 + H = {x V n x = b}, b = n x 0. (88) 21

Lemma 11. Olkoon dim K V = k Z + ja n V \ {0}. Tällöin affiinin hypertason x 0 + H = {x V n (x x 0 ) = 0} (89) ja pisteen t V välinen etäisyys l saadaan kaavasta l = n (t x 0) n = n t b n (90) Esimerkki 20. Olkoon V = R 3, n = (n 1, n 2, n 3 ), w = (x, y, z) ja w 0 = (x 0, y 0, z 0 ). Nyt affiini hypertaso on muotoa w 0 + H = {w R 3 n (w w 0 ) = 0} = {(x, y, z) R 3 n 1 x + n 2 y + n 3 z = b := n 1 x 0 + n 2 y 0 + n 3 z 0 }. (91) Affiinin hypertason ja pisteen t = (t 1, t 2, t 3 ) R 3 välinen etäisyys l saadaan kaavasta l = n (t w 0) = n n 1 (t 1 x 0 ) + n 2 (t 2 y 0 ) + n 3 (t 3 z 0 ) n 2 1 + n 2 2 + n 2 3 = n 1 t 1 + n 2 t 2 + n 3 t 3 b. (92) n 2 1 + n 2 2 + n 2 3 22