2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille
Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6... 4 8.1.2 PERUSTEHTÄVÄT 101-103... 5 8.1.2 PERUSTEHTÄVÄT 104-106... 6 8.1.3 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 201-204... 7 8.1.3 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 205-208... 8 8.1.3 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 209-211... 9 8.1.4 HAASTAVAT TEHTÄVÄT 301-304... 10 8.1.4 HAASTAVAT TEHTÄVÄT 305-308... 11 2
8.1 PYTHAGORAAN LAUSE MUISTA: Pythagoraan lause toimii vain suorakulmaisille kolmioille kateetti hypotenuusa kateetti MUISTISÄÄNNÖT: lasketaan hypotenuusan pituus: (hypotenuusa) 2 = (kateetti) 2 + (kateetti) 2 lasketaan kateetin pituus: (kateetti) 2 = (hypotenuusa) 2 - (kateetti) 2 3 SIIRRY JOHDANTOTEHTÄVIIN
8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6 1. Nimeä kuvan suorakulmaisesta kolmiosta a) lyhyempi kateetti b) pidempi kateetti c) hypotenuusa h g f 2. Laske kuvan suorakulmaisen kolmion tuntemattoman sivun x pituus. a) b) 6,0 m x 13 mm x 8,7 cm 12 mm 3. a) Laske suorakulmaisen kolmion pidemmän kateetin pituus, kun lyhyempi kateetti on 7,0 cm ja hypotenuusa 11,0 cm. b) Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 34,0 m ja 12,0 m. Laske hypotenuusan pituus. VIHJE: Usein tehtävän hahmottamista helpottaa mallikuvan piirtäminen. Mallikuvan ei tarvitse olla tarkalleen mittasuhteessa. 4. Laske kuvan tasakylkisen kolmion a) korkeus a b) pinta-ala. 17,5 cm a 17,5 cm 6,5 cm 5. Laske kannettavan tietokoneen näytön ruudun lävistäjän pituus, kun sen leveys on 345 mm ja korkeus on 195 mm. 6. Tutki laskemalla onko kolmio suorakulmainen. Kolmion sivujen pituudet ovat 16 cm, 30 cm ja 0,34 m. SIIRRY PERUSTEHTÄVIIN 4
8.1.2 PERUSTEHTÄVÄT 101-103 101. Laske kuvan suorakulmaisen kolmion sivun x pituus. x 1,2 m 3,0 m 102. Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 590 mm ja 670 mm. Laske hypotenuusan pituus. 103. Laske kuvan suorakulmaisen kolmion sivun x pituus. a) b) x 355 dm 1,2 km x 30 m 88 m JATKA PERUSTEHTÄVIÄ SIIRRY SYVENTÄVIIN TEHTÄVIIN 5
8.1.2 PERUSTEHTÄVÄT 104-106 104. Laske suorakulmaisen kolmion toisen kateetin pituus, kun hypotenuusan pituus on 11,0 cm ja toisen kateetin pituus on 4,6 cm. 105. Suorakulmaisen kolmion sivujen pituudet ovat 34 m, 45 m ja 67 metriä. a) Kuinka pitkä on kolmion hypotenuusa? b) Kuinka pitkä on kolmion lyhyempi kateetti? 106. Tutki onko kolmio suorakulmainen, kun kolmion sivujen pituudet ovat a) 3 m, 4m ja 5 m b) 10 cm, 24 cm ja 26 cm. SIIRRY SYVENTÄVIIN TEHTÄVIIN 6
8.1.3 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 201-204 201. Suorakulmaisen taulun leveys on 45,0 cm ja korkeus 92,0 cm. Laske taulun lävistäjän pituus. 202. Tikapuiden alareuna on 2,0 metrin etäisyydellä seinästä ja ne ylettyvät 5,0 metrin korkeudelle. Kuinka pitkät tikapuut ovat? VIHJE: Piirrä mallikuva! 203. Laske kuvan suorakulmaisen kolmion muotoisen tontin pinta-ala. 345 m 302 m 204. Soutukilpailussa soudettiin ensin 3,6 kilometriä länteen, sitten 4,4 kilometriä etelään ja lopuksi takaisin lähtöpaikalle. Laske soutumatkan koko pituus. JATKA SYVENTÄVIÄ TEHTÄVIÄ SIIRRY HAASTAVIIN TEHTÄVIIN 7
8.1.3 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 205-208 205. Laske katkenneen lipputangon alkuperäinen pituus. 89 cm 7,8 m 206. Tasakylkisen kolmion kanta on 40 mm ja kylki 50 mm. Laske kolmion a) kannan vastainen korkeus b) pinta-ala. 207. Pihalta kaadetaan kuusi 82 cm:n korkeudelta. Kuusen latva osuu maahan 6,8 metrin päässä tyvestä. Kuinka korkea puu oli? 208. Oviaukon mitat ovat 9,0 dm x 21 dm. Mahtuuko valokuvataulu, jonka koko kehyksineen on 240 cm x 210 cm oviaukosta sisään? JATKA SYVENTÄVIÄ TEHTÄVIÄ SIIRRY HAASTAVIIN TEHTÄVIIN 8
8.1.3 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 209-211 209. Tasasivuisen kolmion sivun pituus on 8,00 cm. Laske kolmion korkeusjanan pituus. VIHJE: Piirrä mallikuva tasasivuisesta kolmiosta. 210. Etäisyyttä pisteestä A pisteeseen B ei pystytty suoraan mittaamaan välissä olevan lammen takia. Tämän sijaan suoritettiin mittaukset pisteestä A pisteeseen C (285 m) ja pisteestä C pisteeseen B (367 m). Kuinka pitkä siis on etäisyys pisteestä A pisteeseen B? Piste B on pisteestä A nähden suoraan pohjoisessa ja piste C puolestaan suoraan lännessä.. B lampi C.. A 211. Erään kirkonkellon viisareiden pituudet ovat 4,2 m ja 2,4 m. Kuinka kaukana viisareiden kärjet ovat toisistaan, kun kello on 21.00? SIIRRY HAASTAVIIN TEHTÄVIIN 9
8.1.4 HAASTAVAT TEHTÄVÄT 301-304 301. Laske suunnikkaan sivujen pituudet, kun tiedät, että sen lävistäjät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ja puolittavat toisensa. Lävistäjien pituudet ovat 60 cm ja 170 cm. VIHJE: Piirrä mallikuva! 302. Laske kuvan kuution avaruuslävistäjän a pituus. VIHJE: Joudut käyttämään kaksi kertaa Pythagoraan lausetta. a 3,0 m 303. Laske janan pituus, kun sen päätepisteet ovat (3,4) ja (6,10). VIHJE: Piirrä koordinaatistoon suorakulmainen kolmio, missä kysytty jana on hypotenuusa. 304. Suorakulmaisen tasakylkisen kolmion pinta-ala on 50 mm 2. Laske kuinka pitkä on kolmion hypotenuusa. JATKA HAASTAVIA TEHTÄVIÄ 10
8.1.4 HAASTAVAT TEHTÄVÄT 305-308 305. Suorakulmion muotoisen kentän pituus on kolme kertaa sen leveys. Mikä on kentän ala, kun sen lävistäjä on 45 m? 306. Neliön lävistäjän pituus on 50 m. Laske neliön sivun pituus. 307. Tasasivuisen kolmion korkeus on 91 mm. Laske kolmion sivujen pituus. 308. Kaksi moottorivenettä lähti samaan aikaan paikasta A paikkaan B. Toisen veneen nopeus oli 50 km/h ja se ajoi ensin suoraan etelään 20 km ja sitten suoraan itään 12 km paikkaan B. Toisen veneen nopeus oli 35 km/h ja se ajoi suoraan paikasta A paikkaan B. Kumpi vene oli aikaisemmin paikalla ja kuinka paljon? 11