Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat

Jarkko Peltomäki Järjestetyt joukot ja hilat Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma Turun yliopisto Syyskuu 2010

Sisältö 1 Johdanto 2 2 Järjestetty joukko 3 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia............... 3 2.2 Kohtaus ja yhdiste........................ 7 3 Hila 9 3.1 Kaksi näkökulmaa hiloihin.................... 9 3.2 Esimerkkejä hiloista....................... 11 3.3 Hieman universaalialgebraa................... 12 4 Distributiivinen hila ja Boolen hila 14 4.1 Distributiivinen hila....................... 14 4.2 Boolen hila............................ 15 Kirjallisuutta 18 1

1 Johdanto Tässä tutkielmassa tarkastellaan järjestettyjen joukkojen ja hilojen perusominaisuuksia. Järjestetyn joukon määritelmä perustuu luonnollisten lukujen järjestysrelaation yleistykseen abstraktiin joukkoon. Hilat ovat erityisiä järjestettyjä joukkoja, joilla on ominaisuuksia, joita järjestetyillä joukoilla ei yleisesti ole. Eräs useissa esimerkeissä käsiteltävä järjestetty joukko on minkä tahansa epätyhjän joukon osajoukkojen kokoelma. Sen lisäksi, että tämä järjestetty joukko on hila, sillä on vielä muitakin erityisiä ominaisuuksia. Näiden ominaisuuksien voidaan nähdä innoittaneen ns. Boolen hilan määritelmän. Tutkielmassa johdetaan tarpeeksi tuloksia Boolen hilan määritelmän antamiseksi. Ainoastaan tähän määritelmään johtavia tuloksia ei tarkastella, vaan lisäksi johdetaan jonkin verran muita kiintoisia tuloksia käsitteitä selventämään. Lukijan oletetaan tuntevan algebran peruskurssien käsitteistön ja joukkoopin perusidentiteetit. Muutamassa esimerkissä on myös hyötyä lukuteorian ja logiikan alkeista, mutta ne eivät ole välttämättömiä kokonaisuuden kannalta. Tutkielma perustuu pääasiassa luentomonisteeseen [1]. Lähteet [2] ja [3] tarjoavat lisämateriaalia useisiin erityiskysymyksiin. Luvussa 2 tutkitaan järjestettyjä joukkoja. Useat tulokset ja määritelmät, kuten supremum ja inmum, ovat tuttuja reaalilukujen yhteydestä. Luvussa 3 käsitellään hilojen teoriaa. Tässä luvussa hilalle annetaan kaksi vaihtoehtoista määritelmää, ja osoitetaan määritelmien välinen yhteys. Osoittautuu, että jälkimmäinen määritelmistä näyttää, että hilat ovat osa universaalialgebraksi kutsuttua matematiikan haaraa. Universaalialgebran tulokset antavatkin välittömästi lukuisia tuloksia, joista muutamat esitetään esimerkinomaisesti. Viimeisessä luvussa annetaan distributiivisen hilan ja Boolen hilan määritelmät. Useiden tulosten tuttu muoto selittyy luvussa annettavalla esimerkillä, jossa näytetään erään Boolen hilan yhteys propositiologiikkaan. 2

2 Järjestetty joukko 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia Määritelmä 2.1. Olkoon P epätyhjä joukko. Relaatio on järjestysrelaatio, jos seuraavat ehdot ovat voimassa kaikille a, b P : (O1) a a, (O2) jos a b ja b a, niin a = b, (O3) jos a b ja b c, niin a c. Ehtoja kutsutaan luetellussa järjestyksessä reeksisyydeksi, antisymmetrisyydeksi ja transitiivisuudeksi. Paria (P, ) kutsutaan osittain järjestetyksi joukoksi tai lyhyesti järjestetyksi joukoksi. Kontekstin ollessa selvä kutsutaan jatkossa paria (P, ) lyhyesti järjestetyksi joukoksi P. Relaatio luetaan kuten tavallisesti pienempi tai yhtäsuuri kuin. Relaation avulla voidaan määritellä toisenlainen järjestysrelaatio < (olla aidosti pienempi kuin): x < y, jos ja vain jos x y ja x y. Määritelmä 2.2. Olkoon P järjestetty joukko. Jos a b tai b a kaikilla a, b P, eli kaikkia joukon P alkioita voidaan vertailla keskenään, niin järjestysrelaatiota kutsutaan täydelliseksi ja järjestettyä joukkoa P täydellisesti järjestetyksi joukoksi eli ketjuksi. Esimerkki 2.3. Olkoon X epätyhjä joukko. Epätyhjää joukkoperhettä F P(X), missä P(X) on joukon X osajoukkojen joukko, kutsutaan joukon X osajoukkoalgebraksi, jos F on suljettu unionin, leikkauksen ja komplementin suhteen. Huomaa, että aina, X F. Nimittäin koska F on epätyhjä, niin voidaan kirjoittaa X = A A c ja = X c jollakin A F. Olkoon X epätyhjä joukko ja F sen osajoukkoalgebra. Sisältymisrelaatio joukkoperheessä F täyttää selvästi ehdot (O1)(O3). Pari (F, ) on siis järjestetty joukko. Erityisesti (P(X), ) on järjestetty joukko. Esimerkki 2.4. Luonnollisten lukujen joukko N = {0, 1, 2,...} on järjestetty joukko, kun määritellään tavalliseen tapaan 0 < 1 < 2 <..., jolloin N on ketju. Luonnollisille luvuille voidaan määritellä toinenkin järjestysrelaatio seuraavasti: m n, jos ja vain jos on olemassa sellainen k N, että km = n, eli m n. Järjestys toteuttaa selvästi ehdot (O1)(O3). Järjestetty joukko 3

(N, ) ei kuitenkaan ole ketju, sillä kaksi erisuurta alkulukua p ja q eivät ole vertailtavissa keskenään, koska p q ja q p. Määritelmä 2.5. Olkoot P ja Q järjestettyjä joukkoja ja ψ : P Q kuvaus. Kuvaus ψ on (i) järjestyksen säilyttävä eli isotonia, jos ψ(a) ψ(b), kun a b, (ii) järjestyksen kääntävä, jos ψ(a) ψ(b), kun a b, (iii) upotus, jos a b on ekvivalentti sen kanssa, että ψ(a) ψ(b), (iv) järjestysisomorsmi, jos ψ on upotus ja surjektio. Jos joukkojen P ja Q välillä on järjestysisomorsmi, niin järjestettyjä joukkoja P ja Q kutsutaan isomorsiksi ja merkitään P Q. Huomaa, että upotus on antisymmetrisyyden perusteella aina injektio. Määritelmä 2.6. Olkoon P järjestetty joukko. Sanotaan, että b peittää alkion a, jos a < b ja ei ole olemassa sellaista alkiota c, että a < c < b. Tällöin merkitään a b. Jos järjestetty joukko on äärellinen, niin peittämisrelaatio selvästi karakterisoi koko järjestysrelaation. Äärettömän suurien joukkojen tapauksessa tämä ei välttämättä pidä paikkaansa. Esimerkiksi rationaalilukujen joukossa mikään alkio ei peitä toista alkiota. Peittämisrelaation avulla voidaan määritellä äärellisen järjestetyn joukon Hasse-diagrammi. Olkoon P äärellinen järjestetty joukko ja a, b P. Piirretään kuvioon ympyrä jokaista alkiota kohden ja yhdistetään alkioita a ja b vastaavat ympyrät viivalla, jos a b tai b a. Lisäksi sovitaan, että jos a b, niin alkiota a vastaava ympyrä on kuviossa alempana kuin alkiota b vastaava ympyrä. Näin saatua kuviota kutsutaan Hasse-diagrammiksi. Esimerkki 2.7. Kun esimerkissä 2.3 valitaan X = {a, b, c} ja F = P(X) ja piirretään Hasse-diagrammi, saadaan seuraava kuvio: 4

X = {a, b, c} {a, b} {a, c} {b, c} {a} {b} {c} Lemma 2.8. Olkoot P ja Q äärellisiä järjestettyjä joukkoja, ψ : P Q bijektio ja x, y P. Seuraavat ehdot ovat ekvivalentit: (i) kuvaus ψ on järjestysisomorsmi, (ii) x < y, jos ja vain jos ψ(x) < ψ(y), (iii) x y, jos ja vain jos ψ(x) ψ(y). Todistus. Kohtien (i) ja (ii) ekvivalenttius seuraa suoraan määritelmistä. Oletetaan sitten, että ehto (ii) on voimassa. Olkoon x y joukossa P. Jos on olemassa sellainen w Q, että ψ(x) < w < ψ(y), niin koska ψ on surjektio, on olemassa alkio u P, jolle w = ψ(u). Oletuksen nojalla on tällöin oltava, että x < u < y, mikä on mahdotonta. Täten ψ(x) ψ(y). Implikaatio toiseen suuntaan todistetaan samaan tapaan. Siis ehto (iii) on voimassa. Oletetaan sitten, että ehto (iii) on voimassa. Olkoon x < y joukossa P. Koska P on äärellinen, niin on olemassa alkiot x = x 0 x 1... x n = y. Oletuksen nojalla ψ(x) = ψ(x 0 ) ψ(x 1 )... ψ(x n ) = ψ(y). Täten ψ(x) < ψ(y). Implikaatio toiseen suuntaan todistetaan samaan tapaan käyttäen hyväksi tietoa, että kuvaus ψ on surjektio. Siis ehto (ii) on voimassa. Seuraus 2.9. Kaksi äärellistä järjestettyä joukkoa ovat isomorset, jos ja vain jos niillä on sama Hasse-diagrammi. Todistus. Väite seuraa suoraan lemman 2.8 kohdasta (iii) ja Hasse-diagrammin määritelmästä. 5

Esimerkki 2.10. Olkoon X = (X, ) järjestetty joukko. Joukko X on hyvinjärjestetty, jos X on täydellisesti järjestetty ja jos jokaisella joukon X epätyhjällä osajoukolla on olemassa pienin alkio. Esimerkiksi luonnollisten lukujen tavallinen järjestysrelaatio on hyvinjärjestysrelaatio. Sen sijaan kokonaislukujen joukko ei ole hyvinjärjestetty tavallisen järjestyksen suhteen, sillä negatiivisten lukujen joukolla ei ole olemassa pienintä alkiota. Käyttäen valinta-aksioomaa voidaan osoittaa, että jokaiselle joukolle on olemassa hyvinjärjestysrelaatio. [2] Järjestetystä joukosta P saadaan uusi järjestetty joukko P d asettamalla relaation a b olevan voimassa joukossa P d täsmälleen silloin, kun joukossa P on voimassa b a. Järjestettyä joukkoa P d kutsutaan järjestetyn joukon P duaaliksi, ja on ilmeistä, että (P d ) d = P. Duaalin P d Hasse-diagrammi saadaan kääntämällä järjestetyn joukon P diagrammi ylösalaisin. Hyöty duaalien tarkastelussa on siinä, että monia järjestetyn joukon ominaisuuksia vastaa duaalinen ominaisuus duaalissa. On myös syytä huomata, että ei ole välttämätöntä, että P P d. Jatkossa useissa todistuksissa sanotaan, että jokin tulos seuraa duaalisuudesta. Tällä tarkoitetaan, että jo esitetty argumentti menee sellaisenaan läpi, kun vaihdetaan keskenään merkit ja (ja myöhemmin myös merkit, ja, ). Sanonta ei tarkoita, että jokin tulos olisi automaattisesti voimassa duaalissa. Määritelmä 2.11. Olkoon P järjestetty joukko ja S P. Alkio x S on maksimaalinen osajoukossa S, jos ehdosta x a, a S seuraa, että a = x. Edelleen x S on osajoukon S suurin alkio, jos a x kaikilla a S. Käsitteet minimaalinen ja pienin alkio määritellään duaalisesti. Jos suurin (pienin) alkio on olemassa, niin se on yksikäsitteinen. Nimittäin jos x ja y ovat molemmat suurimpia (pienimpiä) alkioita, niin x y ja y x, jolloin x = y. On tärkeää huomata, että käsitteet maksimaalinen (minimaalinen) ja suurin (pienin) alkio ovat eri käsitteet. Maksimaalisia (minimaalisia) alkioita voi olla useita. Jos koko joukossa P on suurin alkio olemassa, sitä merkitään symbolilla. Pienintä alkiota taas merkitään symbolilla. Lemma 2.12. Olkoon P järjestetty joukko ja S P äärellinen. Tällöin osajoukossa S on ainakin yksi maksimaalinen ja yksi minimaalinen alkio. 6

Todistus. Suoritetaan induktiotodistus joukon koon suhteen. Tapaus S = 1 on selvä. Oletetaan sitten, että väite on voimassa osajoukoille, joissa on n alkiota. Kirjoitetaan S = {x 1, x 2,..., x n, x n+1 }. Induktio-oletuksen nojalla joukossa S \ {x n+1 } on maksimaalinen alkio z. Tällöin on voimassa joko z < x n+1 tai z > x n+1 tai z ei ole vertailtavissa alkion x n+1 kanssa. Ensimmäisessä tapauksessa x n+1 on maksimaalinen. Kahdessa jälkimmäisessä tapauksessa z on edelleen maksimaalinen. Minimaalisen alkion olemassaolo todistetaan vastaavasti. 2.2 Kohtaus ja yhdiste Määritelmä 2.13. Olkoon P järjestetty joukko, S P ja x P. Jos a x kaikilla a S, niin alkio x on osajoukon S yläraja. Jos alkio x on osajoukon S ylärajojen joukon pienin alkio, niin alkio x on osajoukon S pienin yläraja eli supremum. Tällöin merkitään x = sup S tai x = P S. Duaalisesti määritellään käsitteet alaraja ja suurin alaraja eli inmum. Tällöin merkitään x = inf S tai x = P S. Yleisesti järjestysteoriassa supremumia kutsutaan yhdisteeksi (engl. join) ja inmumia kohtaukseksi (engl. meet). Merkityksen ollessa selvä alaindeksi jätetään usein pois ja merkitään vain S ja S. Kahden alkion joukon S = {a, b} tapauksessa kirjoitetaan yleisesti S = a b ja S = a b. On syytä huomata, että järjestetystä joukosta riippuen supremum tai inmum eivät välttämättä ole olemassa. Oletetaan sitten, että järjestetyssä joukossa P on olemassa suurin alkio ja pienin alkio. Jos edellisessä määritelmässä valitaan S =, niin selvästi P =. Duaalisesti P =. Selvästi myös P P = ja P P =. Lisäksi x = ja x = kaikilla x P. Todistetaan sitten kohtauksen ja yhdisteen muutama selvä ominaisuus. Lemma 2.14. Olkoon P järjestetty joukko ja S, T P. Oletetaan, että osajoukkojen S ja T kohtaus ja yhdiste ovat olemassa. Tällöin (i) jos a S, niin S S, (ii) jos x P, niin x S, jos ja vain jos x a kaikilla a S, (iii) jos x P, niin x S, jos ja vain jos x a kaikilla a S, 7

(iv) jos S T, niin S T ja S T. Todistus. (i) Seuraa suoraan määritelmästä. (ii) Jos x S, niin x S a kaikilla a S. Jos taas x a kaikilla a S, niin x on eräs joukon S alaraja, joten x S. Kohta (iii) todistetaan samoin. (iv) Koska a T kaikilla a T, niin erityisesti a T kaikilla a S. Täten S T. Jälkimmäinen väite seuraa duaalisuudesta. Esimerkki 2.15. Alla olevassa Hasse-diagrammissa punaisia ympyröitä vastaavien alkioiden osajoukolla on olemassa useita alarajoja, muttei suurinta alarajaa. Tämän osajoukon inmum ei siis ole olemassa. Sen sijaan vihreitä ympyröitä vastaavien alkioiden osajoukon inmum on olemassa. Diagrammin järjestetyllä joukolla on pienin alkio, mutta suurinta alkiota ei ole olemassa, vaan kaksi maksimaalista alkiota. 8

3 Hila Hilat (engl. lattice) ovat järjestettyjen joukkojen mielenkiintoisia erityistapauksia. Tässä luvussa määritellään hila kahdella eri tavalla ja osoitetaan määritelmien välinen yhteys. Lisäksi todistetaan riittävästi hilojen perusominaisuuksia seuraavaa lukua varten. 3.1 Kaksi näkökulmaa hiloihin Määritelmä 3.1 (Järjestysteoreettinen). Olkoon L järjestetty joukko. Järjestetty joukko L on hila, jos a b ja a b ovat olemassa kaikilla a, b L. Jos lisäksi S ja S ovat olemassa kaikilla S L, niin L on täydellinen hila. Lemma 3.2. Olkoon L hila ja a, b L. Seuraavat ehdot ovat ekvivalentit: (i) a b, (ii) a b = a, (iii) a b = b. Todistus. Todistetaan, että ehdot (i) ja (ii) ovat ekvivalentit. Muut kohdat todistetaan vastaavasti. Oletetaan, että a b. Tällöin a on joukon {a, b} alaraja. Olkoon myös z joukon {a, b} alaraja. Tällöin selvästi z a, josta seuraa, että a b = a. Oletetaan sitten, että a = a b. Tällöin selvästi a = a b b. Lemman ekvivalenssia käytetään apuna, kun määritelmien yhteys todistetaan lauseessa 3.5. Lause 3.3. Olkoon L hila. Tällöin kaikille a, b, c L on voimassa (L1) a a = a ja a a = a, (L2) a b = b a ja a b = b a, (L3) a (b c) = (a b) c ja a (b c) = (a b) c, (L4) a (a b) = a ja a (a b) = a. 9

Todistus. Kohdat (L1) ja (L2) ovat ilmeisiä kohtauksen ja yhdisteen määritelmästä. Todistetaan sitten kohtien (L3) ja (L4) ensimmäiset väitteet. (L3) Riittää osoittaa, että {a, b, c} = (a b) c. Väite seuraa siitä, että alkiot a, b ja c ovat symmetrisessä asemassa. Merkitään x = a b ja y = x c. Selvästi a, b, c y. Olkoon sitten z jokin joukon {a, b, c} yläraja, eli a, b, c z. Tällöin x = a b z ja y = x c z. Täten {a, b, c} = y = (a b) c. (L4) Merkitään z = a (a b). Koska a (a b) a, niin a z. Toisaalta a b a, joten a (a b) a, eli a z. Siis a = z = a (a b). Määritelmä 3.4 (Algebrallinen). Hila on epätyhjä joukko, joka on varustettu kahdella binaarioperaatiolla ja, jotka toteuttavat edellisen lauseen 3.3 ehdot (L1)(L4). Lause 3.5. Olkoon joukko L kuten määritelmässä 3.4. Määritellään joukossa L relaatio seuraavasti: a b, jos ja vain jos a b = b. Tällöin järjestetty joukko (L, ) on hila määritelmän 3.1 mielessä ja kaikilla a, b L on voimassa a b = sup{a, b} ja a b = inf{a, b}. Todistus. Näytetään ensin, että relaatio todella on järjestysrelaatio. Olkoon a, b, c L. Ominaisuuden (L1) nojalla a a = a, joten a a eli relaatio on reeksiivinen. Oletetaan sitten, että a b ja b a. Määrittelyn mukaan a b = b ja b a = a. Käyttäen ominaisuutta (L2) saadaan, että a = b a = a b = b. Relaatio on siis antisymmetrinen. Oletetaan sitten, että a b ja b c eli, että a b = b ja b c = c. Käyttäen ominaisuutta (L3) saadaan, että a c = a (b c) = (a b) c = b c = c. Siis a c, mikä tarkoittaa, että relaatio on transitiivinen. Näytetään sitten, että a b = sup{a, b}. Tapaus a b = inf{a, b} päätellään samaan tapaan. Olkoon a, b L. Nyt a a b, sillä a (a b) = (a a) b = a b. Samoin b a b. Olkoon c jokin joukon {a, b} yläraja. Tällöin a c = c ja b c = c. Siis (a b) c = a (b c) = a c = c ja täten a b = sup{a, b}. Algebrallisen määritelmän mielessä binaarioperaatio indusoi järjestysrelaation, jonka suhteen joukko on hila järjestysteoreettisessa mielessä. Vastaavasti hilan järjestysrelaation avulla voidaan määritellä binaarioperaatiot ja, joiden suhteen saadaan hila algebrallisessa mielessä. Edellä todistettujen tulosten nojalla saadut relaatiot ja binaarioperaatiot ovat yhteensopivia 10

käytettiinpä kumpaa tahansa määritelmää. Hilaa L voidaan siis tilanteen mukaan käsitellä järjestettynä joukkona (L, ) tai algebrana (L,, ) (ks. alaluku 3.3). Lemma 3.6. Olkoon L hila ja S L äärellinen. Tällöin S ja S ovat olemassa. Todistus. Koska S on äärellinen, voidaan kirjoittaa S = {x 1, x 2,..., x n }. Koska kohtaus ja yhdiste ovat assosiatiivisia, niin voidaan kirjoittaa S = x 1 x 2... x n ja S = x 1 x 2... x n. Seuraus 3.7. Jokainen äärellinen hila on täydellinen. 3.2 Esimerkkejä hiloista Esimerkki 3.8. Esimerkissä 2.3 nähtiin, että epätyhjän joukon X osajoukkoalgebra F on järjestetty joukko sisältymisrelaation suhteen. Järjestetty joukko (F, ) on myös hila. Kahden osajoukon supremum on niiden unioni: joukko A B on selvästi pienin joukko, joka sisältää molemmat joukot A ja B. Vastaavasti kahden osajoukon inmum on niiden leikkaus. Hilan määritelmän ehdot (L1)(L4) ovat tuttuja joukko-opin identiteettejä. Tämä hila on myös täydellinen: mielivaltaisen kokoelman G F supremum on A G A ja inmum A G A. Esimerkki 3.9. Yksikköväli [0, 1] R on täydellinen hila, kun järjestysrelaatio määritellään tavalliseen tapaan. Reaalilukujen täydellisyysaksiooma takaa, että kullakin epätyhjällä ja tässä rajoitetuilla osajoukolla on supremum ja inmum olemassa. Lisäksi jos X [0, 1], niin selvästi sup X, inf X [0, 1]. Esimerkki 3.10. Esimerkissä 2.4 esiteltiin vaihtoehtoinen järjestysrelaatio luonnollisille luvuille jaollisuuden avulla. Myös tämä järjestetty joukko on hila. Tässä tapauksessa supremum ja inmum ovat pienin yhteinen jaettava ja suurin yhteinen tekijä. Kahden luvun m ja n yläraja on mikä tahansa luku, joka on jaollinen molemmilla luvuilla m ja n. Pienin tällaisista luvuista on määritelmän mukaan pyj(m, n). Lukujen alarajaksi kelpaa mikä tahansa luku, joka jakaa molemmat luvut m ja n. Luku syt(m, n) on näistä suurin. Ehdot (L1)(L3) ovat tuttuja lukuteoriasta. Merkitään sitten x = syt(m, pyj(m, n)). Selvästi x m. Toisaalta m x, sillä m pyj(m, n). 11

Siis x = m. Identiteetti pyj(m, syt(m, n)) = m todistetaan vastaavanlaisella päättelyllä. Siis myös ehto (L4) on voimassa. Tämä hila on täydellinen: luku 1 jakaa kaikki luonnolliset luvut ja kaikki luonnolliset luvut jakavat luvun 0. Luku 1 on siis hilan pienin alkio ja 0 suurin. Esimerkki 3.11. Olkoon G ryhmä ja N(G) sen normaalien aliryhmien joukko. Olkoon N 1, N 2 N(G). Määritellään, että N 1 N 2 = N 1 N 2 = {n 1 n 2 : n 1 N 1, n 2 N 2 } ja N 1 N 2 = N 1 N 2. Joukko N(G) on operaatioiden ja suhteen hila. Ryhmäteoriasta tiedetään, että N 1 N 2 ja N 1 N 2 ovat aliryhmiä, ja että jälkimmäinen aliryhmä on normaali. Näytetään vielä, että N 1 N 2 N(G). Olkoon n 1 n 2 N 1 N 2 ja g G. Tällöin gn 1 n 2 g 1 = gn 1 g 1 gn } {{ } 2 g 1 N } {{ } 1 N 2. N 1 N 2 Siis N 1 N 2 on normaali. Ehto (L1) on selvästi voimassa: N 1 N 1 = N 1 N 1 = N 1 ja N 1 N 1 = N 1 N 1 = N 1. Ehto (L2) pätee tunnetusti leikkaukselle. Olkoon x = n 1 n 2 N 1 N 2. Tällöin x = n 1 n 2 = n 1 n 2 n 1 1 } {{ } N 2 n 1 N 2 N 1, joten N 1 N 2 N 2 N 1. Vastaavasti päätellään, että N 2 N 1 N 1 N 2. Siispä N 1 N 2 = N 2 N 1 eli ehto (L2) on voimassa myös yhdisteelle. Ehto (L3) on voimassa, sillä leikkaus on assosiatiivinen ja myös ryhmän binaarioperaatio on assosiatiivinen. Selvästi N 1 (N 1 N 2 ) = N 1 (N 1 N 2 ) = N 1. Myös N 1 (N 1 N 2 ) = N 1 N 1 N 2 = N 1, sillä N 1 N 1 N 2. Siis myös ehto (L4) on voimassa ja väite on todistettu. 3.3 Hieman universaalialgebraa Tässä osiossa tarkastellaan hiloja lyhyesti algebrallisesta näkökulmasta. Lukijalle tuttuja algebroja ovat esimerkiksi peruskursseissa käsitellyt ryhmät, renkaat, kunnat ja vektoriavaruudet. Tulokset esitetään ilman todistuksia, 12

eikä yksityiskohtiin juuri puututa. Pääpaino on korostaa millä tavoin hilat ovat samantapaisia kuin tutummat algebrat. Peruskursseilla esitetyt vastaavat todistukset vaikkapa renkaille toimivat pienten muutosten jälkeen myös hilojen tapauksessa. Tarkat todistukset löytyvät yleisemmässä muodossa kirjasta [3]. Määritelmä 3.12. Olkoot P ja Q hiloja. Kuvaus ψ : P Q on hilahomomorsmi, jos kaikille a, b P, ψ(a b) = ψ(a) ψ(b) ψ(a b) = ψ(a) ψ(b). ja Jos kuvaus ψ on lisäksi bijektio, niin sitä kutsutaan hilaisomorsmiksi. Hilaisomorsmi on sama käsite kuin järjestysisomorsmi. Tämä seuraa ekvivalensseista a b a b = a ψ(a b) = ψ(a) ψ(a) ψ(b) = ψ(a) ψ(a) ψ(b), missä toinen ekvivalenssi on voimassa vain jos kuvaus ψ on bijektio. Määritelmä 3.13. Olkoon L hila ja S L. Osajoukko S on hilan L alihila, jos a b S ja a b S kaikilla a, b S. Määritelmä 3.14. Olkoon L hila ja Θ sen ekvivalenssirelaatio. Sanotaan, että ekvivalenssirelaatio Θ on hilan L kongruenssi, jos ehdoista a 1 Θ b 1 ja a 2 Θ b 2 seuraa, että a 1 a 2 Θ b 1 b 2 ja a 1 a 2 Θ b 1 b 2. Kuten tunnettua muiden algebrojen tapauksessa, hilan L kongruenssin Θ avulla voidaan määritellä ns. tekijähila L/Θ, missä voidaan operoida hyvinmääritellysti ekvivalenssiluokilla [a] Θ seuraavaan tapaan: [a] Θ [b] Θ = [a b] Θ ja [a] Θ [b] Θ = [a b] Θ. Lemma 3.15. Olkoon ψ : L K hilahomomorsmi. (i) Homomorsmin ψ ydin Ker(ψ) = {(a, b) : ψ(a) = ψ(b)} on hilan L kongruenssi. (ii) Jos Θ on hilan L kongruenssi, niin kanoninen projektio π : L L/Θ, a [a] Θ on hilahomomorsmi. Lause 3.16 (Homomoralause). Olkoon ψ : L K hilahomomorsmi. Tällöin L/Ker(ψ) Im(ψ). 13

4 Distributiivinen hila ja Boolen hila 4.1 Distributiivinen hila Määritelmä 4.1. Hila L on distributiivinen, jos siinä on voimassa distributiivilait (D1) a (b c) = (a b) (a c) ja (D2) a (b c) = (a b) (a c) kaikilla a, b, c L. Jos halutaan osoittaa, että jokin hila on distributiivinen, niin ei ole välttämätöntä tarkistaa, että ehdot (D1)(D2) ovat voimassa. Seuraavat kaksi lemmaa antavat yksinkertaisemman testin hilan distributiivisuudelle. Lemma 4.2. Hilassa L ominaisuus (D1) on voimassa silloin ja vain silloin, kun myös ominaisuus (D2) on voimassa. Todistus. Oletetaan, että ominaisuus (D1) on voimassa. Olkoon a, b, c L. Tällöin (a b) (a c) = ((a b) a) ((a b) c) = a ((a b) c) = a ((a c) (b c)) = (a (a c)) (b c) = a (b c). Toiseen suuntaan tulos seuraa duaalisuudesta. Lemma 4.3. Olkoon L hila. Tällöin kaikille a, b, c L on voimassa (i) a (b c) (a b) (a c), (ii) a (b c) (a b) (a c). Todistus. (i) On selvää, että a (b c) a b ja a (b c) a c. Täten a (b c) (a b) (a c). Kohta (ii) seuraa duaalisuudesta. Lemmojen 4.2 ja 4.3 nojalla hilan distributiivisuuden näyttämiseksi riittää osoittaa, että jompikumpi epäyhtälöistä a (b c) (a b) (a c) tai on voimassa. a (b c) (a b) (a c) 14

Esimerkki 4.4. Esimerkissä 3.8 osoitettiin, että epätyhjän joukon X osajoukkoalgebra F on täydellinen hila (F,, ). Tämä hila on distributiivinen: A (B C) = (A B) (A C) ja A (B C) = (A B) (A C), kuten joukko-opista muistetaan. Epädistributiivisia hiloja on olemassa. Tarkastellaan kahta hilaa M 5 ja N 5 : b a b c c a M 5 N 5 Kumpikaan hiloista ei ole distributiivinen, sillä kummassakaan tapauksessa ei ole voimassa a (b c) = (a b) (a c). On selvää, että jos hilaan L voidaan upottaa jompikumpi hiloista M 5 tai N 5, niin L ei voi olla distributiivinen. Yllättäen myös käänteinen tulos pätee. Todistusta ei esitetä tässä. Distributiivisille hiloille saadaan seuraava karakterisointi. Lause 4.5 (Birkho). Hila L on epädistributiivinen silloin ja vain silloin, kun hila M 5 tai N 5 voidaan upottaa hilaan L. Todistus. Katso [3] lause 3.6. 4.2 Boolen hila Boolen hila eli Boolen algebra on hila, jossa on binaarioperaatioiden kohtaus ja yhdiste lisäksi unaarioperaatio komplementti. Ennen varsinaista määritelmää tarkastellaan komplementin käsitettä. Määritelmä 4.6. Hila L on rajoitettu, jos hilassa on olemassa suurin alkio ja pienin alkio. Määritelmä 4.7. Olkoon L rajoitettu hila ja a L. Alkio b L on alkion a komplementti, jos a b = ja a b =. Alkion a komplementin ollessa yksikäsitteinen sitä merkitään symbolilla ā. 15

Lemma 4.8. Olkoon hila L distributiivinen ja rajoitettu. Tällöin kullakin hilan L alkiolla voi olla korkeintaan yksi komplementti. Todistus. Olkoot a L ja b 1, b 2 L alkion a komplementteja. Nyt b 1 = b 1 = b 1 (a b 2 ) = (b 1 a) (b 1 b 2 ) = (b 1 b 2 ) = b 1 b 2. Tämä tarkoittaa, että b 1 b 2. Symmetrian nojalla b 2 b 1 eli b 1 = b 2. Määritelmä 4.9. Hila L on Boolen hila, jos se on rajoitettu, distributiivinen ja jos jokaisella alkiolla on yksikäsitteinen komplementti. Lemma 4.10. Olkoon L Boolen hila ja a, b L. (i) = ja =, (ii) ā = a, (iii) (a b) = ā b ja (a b) = ā b, (iv) a b = a b, (v) a b b ā. Todistus. Kohdat (i) ja (ii) seuraavat komplementin määritelmästä ja yksikäsitteisyydestä. (iii) Distributiivilakien nojalla (a b) (ā b) = ((a b) ā) ((a b) b) = = ja (a b) (ā b) = ((a (ā b)) (b (ā b)) = =. Jälkimmäinen yhtälö seuraa duaalisuudesta. (iv) Olkoon a b =. Nyt a = a = a (b b) = (a b) (a b) = (a b) = a b, eli a b. Jos taas a b, niin a b b b =. (v) Olkoon a b. Käyttämällä kommutatiivisuutta ja toistuvasti kohtaa (iv) saadaan a b a b = b a = b ā. 16

Esimerkki 4.11. Esimerkissä 4.4 näytettiin, että epätyhjän joukon X osajoukkoalgebra F on distributiivinen ja täydellinen hila. Edelleen tämä hila on Boolen hila. Komplementtioperaatio on tässä tapauksessa joukko-opillinen komplementti. Olkoon A F. Tällöin joukon A komplementti on A c = X\A. Selvästi A A c = X ja A A c =, kuten komplementin määritelmässä vaaditaan. Komplementti on yksikäsitteinen. Hilan F suurin alkio on X ja pienin. Itse asiassa voidaan ajatella, että järjestetty joukko (P(X), ) on ollut konkreettinen esimerkki, jonka tärkeimpien ominaisuuksien yleistyksen pohjalta on annettu Boolen hilan määritelmä. Esimerkki 4.12. Tarkastellaan kahden alkion ketjua P = {0, 1}, missä 0 < 1. Tästä ketjusta saadaan Boolen hila, kun määritellään operaatiot, ja (komplementti) seuraavasti: 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 x 0 1 x 1 0 On selvää, että näin määrittelemällä saadaan bijektiivinen vastaavuus hilan lausekkeiden ja propositiologiikan lauseiden välille. Koska propositiologiikassa on voimassa identiteettejä (L1)(L4) ja (D1)(D2) vastaavat lait, niin ketju P on distributiivinen hila. Komplementti on määrittelynsä nojalla yksikäsitteinen. Täten P on Boolen hila. Hilan lausekkeiden ja propositiologiikan lauseiden vastaavuudesta seuraa, että hilassa jokin yhtälö on voimassa silloin ja vain silloin, kun yhtälön vasenta ja oikeaa puolta vastaavat propositiologiikan lauseet ovat loogisesti ekvivalentit. 17

Kirjallisuutta [1] Järvinen J.: Ordered structures and lattices, luentomoniste, Turun yliopisto, 2009, http://sta.cs.utu./kurssit/comp_sci_logic/lecture_material/jarvinen- 1.pdf (haettu 6.9.2010). [2] Harju T.: Lectures Notes in Ordered Sets, luentomoniste, Turun yliopisto, 2006, http://users.utu./harju/orderedsets/mainorder.pdf (haettu 6.9.2010). [3] Burris S., Sankappanavar H. P.: A Course on Universal Algebra, Springer- Verlag, Berlin, 1981, http://www.math.uwaterloo.ca/ snburris/htdocs/ualg.html (haettu 6.9.2010). 18