1 / 23
Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio voidaan esittää yksikäsitteisessä muodossa tämän vektorijoukon alkioiden lineaarikombinaationa. 2 / 23
Määritelmä 1 Olkoon V R n aliavaruus. Vektorit v 1,..., v k V muodostavat aliavaruuden V kannan, jos (a) v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippumattomia ja (b) v 1,..., v k = V. Tällöin sanotaan, että joukko {v 1,..., v k } on V :n kanta. Aliavaruuden V kanta on pienin vektorijoukko, joka virittää V :n eli v 1,..., v k = V pätee. Toisaalta, V :n kanta on suurin mahdollinen lineaarisesti riippumaton V :n osajoukko. 3 / 23
Esimerkki 1 (a) Vektori 1 R muodostaa R:n luonnollisen kannan. Myös 2 R on R:n kanta. (b) Luonnolliset kantavektorit e 1,..., e n R n muodostavat R n :n kannan. (c) Aliavaruudella voi olla useita eri kantoja. (d) Jokainen lineaarisesti riippumaton joukko on lineaarisen verhonsa kanta. (e) Triviaalilla vektoriavaruudella {0} ei ole kantaa, sillä sillä ei ole yhtään lineaarisesti riippumatonta osajoukkoa. 4 / 23
Esimerkki 2 Joukko S = {(π, e), (10, 10 10 )} on R 2 :n kanta. Perustelu: Vektorit (π, e) ja (10, 10 10 ) ovat lineaarisesti riippumattomia, sillä [ ] π 10 det e 10 10 = π 10 10 10 e 0, sillä π 10 10 > 100 ja 10 e < 30. Koska kahden lineaarisesti riippumattoman R 2 :n vektorin virittämä lineaarinen verho on R 2, niin S = R 2. Täten S on R 2 :n kanta. Esimerkki 3 Joukko S = {(1, 0, 0), (2, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 1)} R 3 ei ole R 3 :n kanta, vaikka S = R 3, sillä S ei ole lineaarisesti riippumaton (neljä R 3 :n vektoria). 5 / 23
Esimerkki 4 Aikaisemmin todettiin, että V = {x R 3 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0} on R 3 :n aliavaruus. Etsitään V :lle kanta. Koska x V, jos ja vain jos x 1 = 2x 2 3x 3 on V = {( 2s 3t, s, t) R 3 s, t R}. Siis x V, jos ja vain jos on olemassa sellaiset s, t R, että x = ( 2s 3t, s, t) = ( 2s, s, 0) + ( 3t, 0, t) = s( 2, 1, 0) + t( 3, 0, 1). Näin ollen V = ( 2, 1, 0), ( 3, 0, 1). Osoitetaan vielä, että ( 2, 1, 0) ja ( 3, 0, 1) ovat lineaarisesti riippumattomia. 6 / 23
Esimerkki 4 jatkuu Olkoot λ, µ R sellaiset, että λ( 2, 1, 0) + µ( 3, 0, 1) = 0 { λ = 0 µ = 0. 2λ 3µ = 0 λ = 0 µ = 0 Siis vektorit ( 2, 1, 0) ja ( 3, 0, 1) ovat lineaarisesti riippumattomat. Täten joukko {( 2, 1, 0), ( 3, 0, 1)} on V :n kanta. 7 / 23
Lause 1 Jos vektorit v 1,..., v k R n ovat lineaarisesti riippumattomia, niin jokainen v v 1,..., v k voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa v = k λ i v i, i=1 missä λ 1,..., λ k R. 8 / 23
Todistus. Olkoon v v 1,..., v k. Tällöin on olemassa sellaiset λ 1,..., λ k R, että v = k i=1 λ iv i. Olkoot µ 1,..., µ k R sellaiset, että v = k i=1 µ iv i. Osoitetaan, että λ i = µ i kaikilla i = 1,..., k. Nyt 0 = v v = k k λ i v i µ i v i = i=1 i=1 k (λ i µ i )v i. i=1 Koska v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippumattomia, on λ i µ i = 0 kaikilla i = 1,..., k eli λ i = µ i kaikilla i = 1,..., k. 9 / 23
Määritelmä 2 Olkoon K = {v 1,..., v k } aliavaruuden V R n kanta. Vektorin v K koordinaatit kannassa K ovat Lauseen 1 antamat yksikäsitteiset kertoimet λ 1,..., λ k, joille v = k i=1 λ iv i. Tällöin merkitään v = (λ 1,..., λ k ) K. Jos K on avaruuden R n luonnollinen kanta, niin alaindeksi K jätetään pois: x = (x 1,..., x n ). 10 / 23
Huomautus 1 Kun käytetään koordinaattimerkintää (λ 1,..., λ k ) K, on kannan K alkioiden järjestys kiinnitetty. Jos järjestystä vaihdetaan, myös koordinaattien λ 1,..., λ k järjestys vaihtuu vastaavasti. Koordinaattiesityksen yhteydessä kanta on siis järjestetty jono (v 1,..., v k ) eikä joukko {v 1,..., v k }. Kantavektoreiden permutointi antaa siten uuden kannan. 11 / 23
Esimerkki 5 Kuva: Pisteen x koordinaatit kannassa {b 1, b 2} ovat (3, 2). 12 / 23
Esimerkki 6 Vektorin (1, 0) R 2 koordinaatit kannassa K = {(π, e), (10, 10 10 )} 10 ovat 9 10 9 π e ja e 10 10 π 10e, sillä (1, 0) = 10 9 10 9 π e (π, e) e 10 10 π 10e (10, 1010 ). 10 Siis (1, 0) = ( 9 10 9 π e, e 10 10 π 10e ) K. 1 Olkoon v = ( 10 9 π e, π 10 10 π 10e ) K. Tällöin v:n koordinaatit luonnollisessa kannassa ovat 0 ja 1, sillä v = 1 10 9 π e (π, e) + π 10 10 π 10e (10, 1010 ) = (0, 1). 13 / 23
Lause 2 Aliavaruuden V R n jokaisessa kannassa on sama määrä vektoreita. Erityisesti R n :n jokaisessa kannassa on n vektoria. Todistus. Olkoon K V :n kanta, jossa on k vektoria. Olkoon L V :n jokin toinen kanta, jossa on l vektoria. Koska L V = K ja L on lineaarisesti riippumaton, niin l k. Samoin K V = L ja K on lineaarisesti riippumaton, joten k l. Siis k = l. Koska R n :n luonnollisessa kannassa on n vektoria, on siten R n :n jokaisessa kannassa n vektoria. 14 / 23
Määritelmä 3 Jos aliavaruudella V R n on k-alkioinen kanta, niin V :n dimensio eli ulottuvuus on k. Tällöin merkitään dim V = k. Lisäksi sovitaan, että dim{0} = 0. Esimerkki 7 (a) dim R n = n. (b) Olkoon V = {x R 3 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0}. Aikaisemman esimerkin perusteella K = {( 2, 1, 0), ( 3, 0, 1)} on V :n kanta, joten dim V = 2. 15 / 23
Mikä tahansa aliavaruuden V R n lineaarisesti riippumaton vektorijoukko {v 1,..., v k } V voidaan aina laajentaa V :n kannaksi. Lisätään vektorijoukkoon sellaisia vektoreita, että uusi joukko pysyy lineaarisesti riippumattomana. Lopetetaan siinä vaiheessa, kun v 1,..., v l = V, l k. Lause 3 Olkoon V R n aliavaruus ja {v 1,..., v k } V lineaarisesti riippumaton. Tällöin on olemassa sellainen V :n kanta K, että {v 1,..., v k } K. 16 / 23
Todistus. Olkoon S = {v 1,..., v k }. Jos S = V, niin S on V :n kanta, joten K = S. Jos S V, niin on olemassa w 1 V \ S, sillä S V. Tällöin S {w 1 } on lineaarisesti riippumaton. Jos S {w 1 } = V, niin S {w 1 } = K on V :n kanta. Jos S {w 1 } V, niin löytyy w 2 V \ S {w 1 }. Tällöin S {w 1 } {w 2 } on lineaarisesti riippumaton. Jos S {w 1 } {w 2 } V, niin jatketaan näin. Valintaprosessi päättyy äärellisen monen askeleen jälkeen, sillä V R n ja jokaisessa R n :n lineaarisesti riippumattomassa joukossa on korkeintaan n alkiota. Täten tuloksena on V :n kanta K = S {w 1,..., w l } jollekin l, jolle k + l n. 17 / 23
Seuraus 1 Olkoon V {0} R n :n aliavaruus. Tällöin V :llä on kanta. Todistus. Koska V {0}, on olemassa v V \{0}. Joukko {v} on lineaarisesti riippumaton. Edellisen lauseen perusteella {v} voidaan laajentaa V :n kannaksi. 18 / 23
Huomautus 2 a) On osoitettu, että jokaisen vektorijoukon S lineaarinen verho S on aliavaruus. b) Seurauksen 1 nojalla aliavaruudella V {0} on kanta eli aliavaruudesta V löytyy aina vektorijoukko K = {v 1,..., v k } niin, että K = V. 19 / 23
Lause 4 Olkoon V R n aliavaruus ja dim V = k > 0. Olkoon K V k-alkioinen joukko. Tällöin seuraavat ovat yhtäpitäviä: (a) K on V :n kanta. (b) K on lineaarisesti riippumaton. (c) K = V. 20 / 23
Todistus. Määritelmän perusteella (a) (b). Riittää siis osoittaa, että (b) (c). (b) (c): Lauseen 7 nojalla K voidaan laajentaa V :n kannaksi L K. Lauseen 6 perusteella L:ssä on k alkiota. Täten L = K ja K = V. (c) (b): Jos K on lineaarisesti riippuva, niin k 2, sillä jos K = {v}, niin v 0, sillä V {0}. Täten löytyy v K ja λ 1,..., λ k 1 R, joille v = v i K\{v} λ iv i. Näin V = K = K\{v}, joten jokainen V :n k-alkioinen joukko on lineaarisesti riippuva, mikä on ristiriita, sillä dim V = k. 21 / 23
Seuraus 2 Olkoot v 1,..., v n R n. Tällöin det[v 1 v n ] 0 {v 1,..., v n } on R n :n kanta. Todistus. Kun tarkastellaan n kappaletta R n :n vektoreita v 1,..., v n R n, niin det[v 1 v n ] 0 v 1,..., v n lineaarisesti riippumattomia {v 1,..., v n } on R n :n kanta. 22 / 23
Esimerkki 8 Joukko {(π, 0, e), (0, 1, 75), (2010, 0, 49)} on R 3 :n kanta, sillä siinä on kolme alkiota ja π 0 2010 det 0 1 0 = 49π 2010e 0. e 75 49 Esimerkki 9 Joukko {(1, 2)} R 2 on lineaarisesti riippumaton, joten se voidaan laajentaa R 2 :n kannaksi. Esimerkiksi K = {(1, 2), (1, 1)} on R 2 :n kanta, sillä siinä on kaksi alkiota ja [ ] 1 1 det = 3 0. 2 1 23 / 23