Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta. Koko kurssin ajan pidä mielessä se, että kahden vektorin pistetulon arvo on luku, ja kahden vektorin n arvo on vektori. : Olkoon a = 2 i + 3 j 4 k, ja b = i + 2 j + 3 k. Silloin a b = 4, a b = 17 i 10 j + k.

2 Määritelmä: Olkoon a ja b kaksi tason (tai avaruuden) vektoria ja olkoon γ = ( a, b) niiden välinen kulma. Vektoreiden a ja b pistetulo a b on reaaliluku a b = a b cosγ. Lause: (1) Olkoon a = a x i + a y j ja b = b x i + b y j kaksi tasovektoria. Silloin a b = a x b x + a y b y. (2) Olkoon a = a x i + a y j + a z k ja b = b x i + b y j + b z k kaksi avaruusvektoria. Silloin a b = a x b x + a y b y + a z b z.

3 : Olkoon a = 2 i + 3 j 4 k, ja b = i + 2 j + 3 k. Silloin a b = 2 1 + 3 2 + ( 4) 3 = 4, Octavessa on pistetulon laskemiseen funktio dot(vec1,vec2). Periaate on se, että ensin esitellään vektorit, ja sitten lasketaan vektoreilla. Esimerkin pistetulo lasketaan Octavella seuraavalla tavalla: o c t a v e :1> a= [ 2 ; 3 ; 4]; o c t a v e :2> b = [ 1 ; 2 ; 3 ] ; o c t a v e :3> p t u l o = dot ( a, b ) p t u l o = 4

4 Pistetulo on siis helppo laskea koordinaattien avulla, vaikka emme tietäisikään vektoreiden välistä kulmaa. Kaksi pistetulon ominaisuutta tulee esiin varsin usein: 1. Kaksi vektoria, a ja b ovat kohtisuorassa jos ja vain, jos niiden pistetulo on nolla. a b a b = 0. 2. Vektorin pituuden neliö on sen pistetulo itsensä kanssa. a 2 = a a.

5 Määritelmä Olkoon a ja b kaksi avaruuden vektoria ja olkoon γ = ( a, b) niiden välinen kulma. Vektoreiden a ja b a b on vektori, jonka pituus on a b = a b sinγ, ja suunta määräytyy seuraavasta kolmesta ehdosta 1. vektorit a ja a b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, 2. vektorit b ja a b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, 3. vektorit a, b ja a b (tässä järjestyksessä!) muodostavat positiivisesti suunnistetun systeemin.

6 Lause: Vektoreiden a = a x i + a y j + a z k ja b = b x i + b y j + b z k on a b = (a y b z a z b y ) i + (a z b x a x b z ) j + (a x b y a y b x ) k. : Olkoon a = 2 i + 3 j 4 k, ja b = i + 2 j + 3 k. Silloin a b = (a y b z a z b y ) i + (a z b x a x b z ) j + (a x b y a y b x ) k = (3 3 ( 4) 2) i + (( 4) 1 2 3) j + (2 2 3 1) k = 17 i 10 j + k

7 Octavessa on n laskemiseen funktio cross(vec1,vec2). Periaate on se, että ensin esitellään vektorit, ja sitten lasketaan vektoreilla. Esimerkin lasketaan Octavella seuraavalla tavalla: o c t a v e :1> a = [ 2 ; 3 ; 4]; o c t a v e :2> b = [ 1 ; 2 ; 3 ] ; o c t a v e :3> r t u l o = c r o s s ( a, b ) r t u l o = 17 10 1

8 lla on suuruus, suunta ja vaikutuspiste. Laskuissa voimaa merkitään kuten vektoria. Jos voiman F suuruus on 5,0 Newtonia ja se suuntautuu suoraan alaspäin, niin voimme merkitä Edellä F = F e = 5,0N ( k) = 5,0 k N n F suuruus on F. Suuruuden yksikkö on Newton. Aina F 0N. Esimerkissä F = 5,0N. n suunta on yksikkövektori. n vaikutuspistettä ei merkitä.

9 : Kirjoita esitys voimalle, joka on vektorin a = 3 i + 4 j suuntainen ja jonka suuruus on 10,0N Nyt suuntavektori on e = 1 a a = 1 ( 3) 2 + 4 2 ( 3 i + 4 j) = 0,6 i + 0,8 j Siis F = 10,0N e = 6,0N i + 8,0N j

10 Jos i ja j ovat kohtisuorassa ja voima on y F F y j F = F x i + F y j, niin sanomme, että i F x = F x i on i:n suuntainen komponentti ja F y = F y j on j:n suuntainen komponentti. j F x i x n suuruus on F = Fx 2 + Fy 2. (Usein i:n suuntainen tarkoittaa vaakasuoraa tai x-akselin suuntaista, ja j:n suuntainen tarkoittaa pystysuoraa tai y-akselin suuntaista.)

11 Jos vapaaseen kappaleeseen vaikuttavien voimien summa ei ole nollavektori, niin voimien summa F, kappaleen massa m ja kappaleen kiihtyvyys a toteuttavat yhtälön F = m a. Seuraus: Jos vapaa kappale ei liiku, niin siihen vaikuttavien voimien summa on nollavektori.

12 : Vaakasuora palkki koskettaa seinää kohtisuorasti. Palkin pituus on 2,50m. Palkin toinen pää on yhdistetty kahdella vaijerilla seinään. Ensimmäinen vaijeri kiinnittyy seinään 1,2m vasemmalle ja 1,0m ylöspäin palkin tyvestä. Toinen vaijeri kiinnittyy seinään 1,5m oikealle ja 0,9m ylöspäin palkin tyvestä. Palkin päähän on ripustettu 25,0kg massa. Miten suuret voimat vaikuttavat palkissa ja vaijereissa? A P z Q B y Q = (0,0 0,0 0,0) P = (2,5 0,0 0,0) A = (0,0 1,2 1,0) B = (0,0 1,5 0,9) x 25,0kg

13 A P z Q B y Q = (0,0 0,0 0,0) P = (2,5 0,0 0,0) A = (0,0 1,2 1,0) B = (0,0 1,5 0,9) A F 1 Q F 2 P B x 25,0kg F 3 G Lasketaan voimien suuntavektorit PA = (0 2,50) i + ( 1,20 0) j + (1.00 0) k = 2,50 i 1,20 j + k PA e 1 = PA = 2,50 i 1,20 j + k 2,5 2 + 1,2 2 + 1 = 0,84807 i 0,40707 j + 0,33923 k 2 PB = (0 2,50) i + (1,50 0) j + (0.90 0) k = 2,50 i + 1,50 j + 0,90 k PB e 2 = PB = 2,5 i + 1,5 j + 0,9 k 2,5 2 + 1,5 2 + 0.9 = 0,81934 i + 0,49161 j + 0,29496 k 2

14 QP = (2,50 0) i + (0 0) j + (0 0) k = 2,50 i QP e 3 = QP = 2,5 i 2,5 = 1,00000 i e 4 = 1,00000 k Massa on 25,0kg, joten paino G on G = mg e 4 = 25,0kg 9,81 m s 2 ( k) = 245,25N k

15 Merkitään nyt voimien suuruuksia epätyypillisellä tavalla, joka auttaa kytkemään esimerkin koulumatematiikkaan. Olkoon F 1 = x, F 2 = y ja F 3 = z. Silloin tasapaino-ehto saa muodon x F 1 + F 2 + F 3 + G x e 1 + y e 2 + z e 3 + G x( 0,84807 i 0,40707 j + 0,33923 k) +... + y( 0,81934 i + 0,49161 j + 0,29496 k) +... 0,84807 0,40707 0,33923 + y 0,81934 0,49161 0,29496 = 0 = 0 + z i 245,25N k = 0 1 + z 0 = 0 0 0 245,25N

16 Yhtälöryhmä-merkintä tai matrisimerkintä saa ehdon vielä tiiviimpään muotoon 0,84807 x 0,81934 y + z = 0 0,40707 x + 0,49161 y = 0 0,33923 x + 0,29496 y = 245,25 0,84807 0,81934 1 0,40707 0,49161 0 0,33923 0,29496 0 x y z = 0 0 245,25 Yhtälöryhmä voidaan ratkaista seuraavalla Octave-koodilla

17 Ensimmäisen vaijerin jännitys on F 1 = 420,33N, Toisen vaijerin jännitys on F 2 = 348,05N ja palkin puristus on F 3 = 641,63N.