q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =

ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ØÙÒ Ô Ø Ò x 0 ÝÑÔÖ ¹ Ø Ö ØØÚÒ Ð Ø Ð Ö ØØÚÒ ÑÓÒØ ÖØ Ø ÙÚ Ø µ Ö ÚÓ ØÙÚ ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ÙÒ Ø ÓÒ f : D f R D f R Ó ÓÒ n ÖØ Ö ÚÓ ¹ ØÙÚ Ô Ø x 0 D f Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ØØ n Ô Ø x 0 ÓÒ T n (x, x 0 ) = n f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k. k! ÅÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø ÓÐÑ Ò ÑÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÚ Ø T 0 (x, x 0 ) = f(x 0 ), T 1 (x, x 0 ) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ), T 2 (x, x 0 ) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + 1 2 f (x 0 )(x x 0 ) 2. Ö ØÝ Ø T 1 (x, x 0 ) = f Ò Ð Ò Ö Ó Ú ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó Ô Ø x 0 ÈÖÓÔÓ Ø Ó ÎÁÁ ¾ ÙÒ Ø ÓÒ f Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ T n (x, x 0 ) ÑÖÝØÝÝ Ý ¹ ØØ Ø Ó Ø d k dx kt n(x, x 0 ) x=x0 = f (k) (x 0 ), k = 0...n. ÌÓ ØÙ À ÐÔÓ Ø Ò Ò ØØ T n (x, x 0 ) ØÓØ ÙØØ Ñ Ò ØÙØ ÓØ ÂÓ Ó Ò ØÓ Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ p(x) ØÓØ ÙØØ Ñ Ø ÓØ Ð p (k) (x 0 ) = f (k) (x 0 ), k = 0...n, Ò Ò ÐÐÓ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ØÓØ ÙØØ q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) = q (k) (x 0 ) = 0, n a k x k k = 0...n. ÌÐÐ Ò Ó q (n) (x 0 ) = n! a n ÙÖ a n = 0 ÓÐÐÓ Ò q (n 1) (x 0 ) = (n 1)! a n 1 a n 1 = 0 Ò Ë q = 0 Ò Ò ÓÐÐ Ò Ñ Ó Ø ÑÖÝØÝÚ ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò

ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ñ Ö ½ ÅÖ Ø ÙÖ Ú Ø Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ô Ø x 0 = 0 µ f(x) = 3 1 + x, n = 2 µ f(x) = tanx, n = 5 µ f(x) = ln(1 + x), n N Ê Ø Ù µ f (x) = 1 3 (1 + x) 2/3, f (x) = 2 (1 + x) 5/3 9 f(0) = 1, f (0) = 1 3, f (0) = 2 9 T 2 (x, 0) = 1 + x 3 1 9 x2. µ f (x) = 1/ cos 2 x, f (x) = 2 sinx/ cos 3 x, f (x) = 2/ cos 2 x + 6 sin 2 x/ cos 4 x = 4/ cos 2 x + 6/ cos 4 x f (4) (x) = 8 sin x/ cos 3 x + 24 sin x/ cos 5 x f (5) (x) = 16/ cos 2 x + 120 sin 2 x/ cos 6 x { f(0) = f (0) = f (4) = 0, f (0) = 1, f (0) = 2, f (5) (0) = 16 T 5 (x, 0) = x + 1 3 x3 + 2 15 x5. µ f (x) = (1 + x) 1, f (x) = (1 + x) 2, f (x) = 2(1 + x) 3,..., f (k) = ( 1) k 1 (k 1)!(1 + x) k f(0) = 0, f (k) (0) = ( 1) k 1 (k 1)!, k = 1, 2,..., T n (x, 0) = x 1 2 x2 + 1 3 x3 + + ( 1) n 1xn n. Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ö Ú ØØ ÓÒ d dx T n(x, x 0 ) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) +... + f(n 1) (x 0 ) (x x 0 ) n 1. (n 1)! Ö ÚÓ ÒÒ Ò ØÙÐÓ f Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ØØ n 1 Ô Ø x 0 Ð ÐÝ Ý Ø Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ö Ú ØØ Ö Ú Ø Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ØØ Ð ÑÔ µ

ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ñ Ö ½ Ø Óµ Ñ Ö Ò ØÙÐÓ Ø Ò Ö ÚÓ Ñ ÐÐ ÙÖ Ú Ø Ì Ý¹ ÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø µ f(x) = (1 + x) 2/3 T 1 (x, 0) = 1 2 3 x µ f(x) = 1/ cos 2 x T 4 (x, 0) = 1 + x 2 + 2 3 x4 µ f(x) = 1/(1 + x) T n 1 (x, 0) = 1 x + + ( 1) n 1 x n 1 Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÖ Ú ÙÓÑ ØØ Ú ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓÐ Ù ÌÓ¹ ØÙ Ø ØÒ ÐÙÚÙÒ ÐÓÔÙ Ä Ù ÎÁÁ ÂÓ f ÓÒ n + 1 ÖØ Ö ÚÓ ØÙÚÙ ÚÐ ÐÐ (a, b) Ò Ò Ó ÐÐ x 0 (a, b) x (a, b), x x 0 ÔØ Ñ f(x) = T n (x, x 0 ) + R n (x), R n (x) = f(n+1) (ξ) (n + 1)! (x x 0) n+1 ÓÐÐÒ ξ (x 0, x) Ø ξ (x, x 0 ). Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò ÑÙÒ ÙÒ Ø ÓØ Ó ÓÒ Ø ØÝÒ Ô Ø Ò x 0 ÝÑÔÖ Ø Ò¹ Ò ÐÐ Ò Ò ÚÓ Ø ÝÑÔÖ Ø ÔÔÖÓ ÑÓ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ Ò Ñ ØØ Ò Ì ÝÐÓ¹ Ö Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó ÓÒ ÝÐ Ø ÓØØ Ò Ø Ø Ö ÑÔ Ñ Ø ÓÖ¹ ÑÔ ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ø ÐÙ Ù Ñ Ø Ð ÑÔÒ ÓÐÐ Ò Ô Ø ØØ x 0 ÌÙÐÓ Ò ÚÓ ØØ Ú Ð Ø Ø Ú Ø ÑÙÓ Ó Ë Ð ÙÒ Ø Ó ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÝ Ý ÐÐ ÚÐ ÐÐ. Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò ØÙÐÓ ÐÐ ÓÒ Ô ÖÙ Ø Ú Ð ØÙ ÓÐ Ú Ñ Ö ØÝ Ð ÒÙÑ Ö Ð ÒÒ Ó ÓÒ ÐØÝÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÔÔÖÓ ÑÓ ÒØ Î Ö Ø Ö¹ Ñ ÐÐ R n (x, x 0 ) Ð Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓÒ Ò ÒÒ Ø ÖÑ ÐÐ Ò Ð Ö Ñ Ò Öµ ØÙÒÒ Ø Ò ÑÓÒ ÑÙÓØÓ Ä Ù Ò ÎÁÁ ØØÑ ÒÓØ Ò Ò¹ Ò Ø ÖÑ Ò Ä Ö Ò Ò ÑÙÓ Ó ÁØ Ð Ð ¹Ö Ò Ð Ò Ò ÂÓ Ô ÄÓÙ ÝÒØ ÓÚ ÒÒ ÄÙµ Ä Ö Ò ½ ¹½ ½ µ ÓÐ ¹ Ò ÙÓÑ ØØ Ú ÑÔ Ñ Ø Ñ ØÓ Ö ØÝ Ø Ö ÒØÐ Ð ÒÒ Ò ÑÝ ÒØ Ö Ð Ð ¹ ÒÒ Òµ ØØÑ Ä Ö Ò Ò Ô ÒÓ ÓÐ Ñ Ö ØØÚ Å Ø Ñ Ø Ò Ó ÐÐ Ä Ö Ò ØÙØ ÑÒ ÚÙØØ ÐÐ Ò Ð ÐÐ ÔÝ ÝÚÒ Ò Ñ Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ö ØÝ Ø Ð ÑÔÑ Ø ØØÚØ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ø Ú ØØ Ú Ø Ò Ð ÒØ Ð Ò Ñ Ø Ñ ØÓÓÒ ÖÓÓ Ì ÝÐÓÖ Ò ½¹½ ½µ Æ Ñ Ò ÒØ Ú Ð Ù ØØ Ì ÝÐÓÖ ØÓ ÐÐ ÙÙ ØÙÒØ ÒÙØ ¼

ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ËÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ Ö ÚÓ ÒØ ÒØ D k e x = e x, k = 0, 1, 2,... D 2k sin x = ( 1) k sin x, D 2k+1 sin x = ( 1) k cos x, k = 0, 1, 2,... D 2k cosx = ( 1) k cos x, D 2k+1 cosx = ( 1) k+1 sin x, k = 0, 1, 2,... Ä Ù ØØ ÎÁÁ Ò Ò ØØ Ó x R, x 0 n N Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÐÐ e x, sin x, cos x ÔØ ÓÐÐÒ ξ (0, x) (x > 0) Ø ξ (x, 0) (x < 0) e x = sin x = cosx = ( ) 1 + x + x2 2! + + xn e ξ + n! (n + 1)! xn+1 ( ) x x3 3! + + x 2n+1 ( 1)n (2n + 1)! ( ) 1 x2 x2n + + ( 1)n 2! (2n)! + ( 1) n+1 cosξ (2n + 3)! x2n+3 + ( 1) n+1 cos ξ (2n + 2)! x2n+2 Ì ÓÒ ÙÐÐÐ ÝÑÔÖ ØÝ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø e x : T n (x, 0), sin x : T 2n+1 (x, 0) = T 2n+2 (x, 0), cos x : T 2n (x, 0) = T 2n+1 (x, 0). Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÓÒ ÑÙÓØÓ ÐØ Ú ÑÝ Ò Ò ØØ ÙÒ Ø ÓÒ (n + 1)¹ ÖØ Ò Ö ¹ ÚÓ ØÙÚÙÙ Ò Ø ÓÐ Ø Ø Ò ÒÓ Ø Ò n¹ ÖØ Ò Ò Ö ÚÓ ØÙÚÙÙ Ö Ú Ø Ò f (n) Ø ÙÚÙÙ Ä Ù ÎÁÁ ÂÓ f ÓÒ n ÖØ Ö ÚÓ ØÙÚ ÚÐ ÐÐ (a, b) f (n) ÓÒ Ø ÙÚ Ó ÚÐ ÐÐ Ò Ò ÒÒ Ø ÖÑ ÐÐ R n (x) = f(x) T n (x, x 0 ) ÔØ Ó ÐÐ x 0 (a, b) lim x x 0 R (k) n (x) = 0, k = 0...n. (x x 0 ) n k ÌÓ ØÙ Ì Ô Ù n = 0 Ú ØØÑ ÓÒ ØÓ Ø ÙÚÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÒÓ ÐÐ ÂÓ n 1 Ò Ò ÓÐ ØÙ Ø Ò Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÒ f(x) = T n 1 (x, x 0 ) + f(n) (ξ) (x x 0 ) n [ n! ] = T n 1 (x, x 0 ) + f(n) (x 0 ) (x x 0 ) n + 1 n! n! [f(n) (ξ) f (n) (x 0 )] (x x 0 ) n = T n (x, x 0 ) + 1 n! [f(n) (ξ) f (n) (x 0 )] (x x 0 ) n, x (a, b), ½

ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ñ ξ = ξ(x) = x 0 Ó x = x 0 ÑÙÙÐÐÓ Ò ξ(x) (x 0, x) Ø ξ (x, x 0 ) Ë R n (x) = 1 n! [f(n) (ξ(x)) f (n) (x 0 )] (x x 0 ) n, Ñ ξ(x) x 0 ÙÒ x x 0 ÃÓ f (n) ÓÒ Ø ÙÚ x 0 Ò Ò ÙÖ lim x x 0 R n (x) (x x 0 ) = lim 1 n x x 0 n! [f(n) (ξ(x)) f (n) (x 0 )] = 0. ÅÙÙØ Ú Ø ØÝØ Ö¹ ÖÚÓØÙÐÓ Ø ÙÖ Ú Ø Ø Ø Ö ÚÓ Ñ ÐÐ ÃÓ ( ) k d f (k) (x) = T n (x, x 0 ) + R n (k) dx (x), x (x 0, x 0 + a), k = 1...n, Ó Ø (d/dx) k T n (x, x 0 ) = f (k) Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ØØ n k Ò Ò Ó ØÓ Ø ØÙÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ lim x x 0 R (k) n (x) = 0, k = 1...n (x x 0 ) n k Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÒÓÔ Ð Ñ Ò Ò ÂÓ Ù f Ò Ö Ú Ø Ø ÓÚ Ø Ò Ò Ò Ð Ð ØØ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÑÖØÝ ÙÓÖ ÑÑ Ò ÑÙ ÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ÓÐÐÓ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ô Ò¹ Ú ØÓ Ò ÑÖ ØØ Ö Ú Ø Ø f (k) (x 0 ) k = 0...n µ ÈÓÐÝÒÓÑ ÑÙ ÐÐ ÒÓ Ò ÑÖØØ Ö ØØ ØØ ÒÒ Ø ÖÑ Ò Ö ØØÚÒ Ô Ò ÐÐ ØÐÐ Ò Ö Ø Ö ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò ÈÖÓÔÓ Ø Ó ÎÁÁ ÇÐ ÓÓÒ ÙÒ Ø Ó f n ÖØ Ö ÚÓ ØÙÚ ÚÐ ÐÐ (a, b) Óй ÓÓÒ f (n) Ø ÙÚ ÚÐ ÐÐ (a, b) ÌÐÐ Ò Ó p ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ØØ n Ø Ò ØØ ÓÐÐÒ x 0 (a, b) ÔØ f(x) p(x) lim = 0, x x 0 (x x 0 ) n Ò Ò p(x) = f Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ T n (x, x 0 ) ÌÓ ØÙ ÃÙÒ Ñ Ö ØÒ q(x) = p(x) T n (x, x 0 ) Ò Ò Ö¹ ÖÚÓ Ò Ý Ø Ðݹ ÒØÒ Ä Ù Î¾ µ Ä Ù Ò ÎÁÁ ÓÐ ØÙ Ò ÑÙÒ [ ] q(x) f(x) lim x x 0 (x x 0 ) = lim Tn (x, x 0 ) f(x) p(x) = 0 0 = 0. n x x 0 (x x 0 ) n (x x 0 ) n ÌÑ ÓÒ ÑÓÐÐ Ø Ú Ò ÙÒ q(x) = 0 Ó q ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ØØ n Ë ÙÖ Ú Ñ Ö ÝØ ØÒ ÐÝ ÒÒÝ Ñ Ö ÒØ [x m ] ÙÒ Ø Ó Ø ÑÙÓØÓ x m g(x) Ñ g ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ Ô Ø Ò x = 0 ÝÑÔÖ Ø ¾

ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ñ Ö ¾ f(x) = (x + 1)/ cosx, T 5 (x, 0) =? Ê Ø Ù ÃÓ cosx = 1 x2 2 + x4 24 + [x6 ] 1/(1 t) = 1 + t + t 2 + [t 3 ] Ò Ò ) 1 f(x) = (x + 1) (1 x2 2 + x4 (1 + [x 6 ]) 1 24 [ ( )] x 2 1 = (x + 1) 1 2 x4 + [x 6 ] 24 [ ( ) ( ) ] x 2 = (x + 1) 1 + 2 x4 x 2 2 + 24 2 x4 + [x 6 ] 24 = (x + 1) (1 + 12 x2 + 524 ) x4 + [x 6 ] = ( 1 + x + 1 2 x2 + 1 2 x3 + 5 24 x4 + 5 24 x5 ) + [x 6 ]. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÎÁÁ ÑÙÒ ÙÐ ÓÐ Ú ÔÓÐÝÒÓÑ = f Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ T 5 (x, 0) Ñ Ö f(x) = 1/(1 + x 4 e x2 ), f (8) (0) =? Ê Ø Ù f(x) = 1 (x 4 e x2 ) + (x 4 e x2 ) 2 + [x 12 ] = 1 x (1 4 + x 2 + 1 ) 2 x4 + [x 6 ] + x ( 8 1 + [x 2 ] )2 + [x 12 ] = 1 x 4 x 6 + 1 2 x8 + [x 10 ] = T 8 (x, 0) + [x 10 ] f (8) (0) = 1 8! = 20160 2 Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Ë ÙÖ Ú Ø ØÒ Ö Ð Ø ØÓ ØÙ Ø Ô Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÐÐ Ò ÑÑ ¹ Ò Ò ØÓ ØÙ ÒÓÙ ØØ ³Ô Ø Ú ³ Ó Ð Ù Ò Ú ØØÑ ÔÝÖ ØÒ Ô Ø ØÓ Ø Ñ Ò ÑÝ Ó Ø Ñ Ò ÌÑ ØÓ ØÙ Ø Ô ÓÒ Ñ Ð Ó Ú ÒÒÓÐÐ Ò Ò Ø ¹ Ú ØØÑ Ø Ø ØÒ Ú Ö Ò ³Ù ÓØØ Ú Ò³ ÌÙÐÓ ØÓ Ò Ñ Ò Ú ÐÐ Ò ¹ È Ø ξ ÔÝ ØÝØÒ ÐÑ Ò Ð ÔÓÒÒ ØÙ µ Ó ØØ Ñ Ò Ú Ò ÙÐ ØÙÐÐ ÚÐ ÐÐ [x 0, x] Ø [x, x 0 ] Ð ÓÒ ÓÐ Ø ØØ Ú f (n+1) Ø ÙÚ ÚÐ ÐÐ (a, b) ÌÓ Ò ØÓ ØÙ ÚØÓ ØÓÒ Ø ØÒ ÝÚ Ò ÐÝ ÝØ ÐÒØØ ØÓ ØÙ ÃÙÑÑ Ò ØÓ ØÙ Ø Ú ÔØØ ÐÝÒ ÙÐÑÚ ÓÒ Ö ÒØÐ Ð ÙÒ ÚÐ ÖÚÓÐ Ù Ø Ò Ô ÖÙ ÑÙÓØÓ ÊÓÐÐ Ò Ð Ù Ä Ù Ø Î ½ Î ¾µ

ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÌÓ ØÙ ½ ÇÐ Ø Ø Ò Ä Ù Ò ÎÁÁ ÓÐ ØÙ Ø Ò Ð ØØ f (n+1) ÓÒ Ø ÙÚ ÚÐ ÐÐ (a, b) ÇÐ ÓÓÒ x 0 < x < b Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÚÐ ÐÐ [x 0, x] ÙÒ Ø ÓØ g(t) = f(t) T n (t, x 0 ). ÌÐÐ Ò Ä Ù Î ½ ÓÚ ÐÐ ØØÙÒ ÙÒ Ø ÓÓÒ g (n) Ú ØØ ØØ g (n) (t) g (n) (x 0 ) = g (n+1) (ξ) (t x 0 ), t (x 0, x], Ñ ξ = ξ(t) (x 0, t) ÃÓ g (n) (x 0 ) = 0 Ó Ò Ò ÙÖ ÃÙÒ Ñ Ö ØÒ d n+1 dt n+1t n(t, x 0 ) = 0, g (n) (t) = f (n+1) (ξ)(t x 0 ), t (x 0, x]. m = min f (n+1) (t), t [x 0,x] M = max f (n+1) (t), t [x 0,x] ÓÒ ÔØ ÐØÝ ØØ m(t x 0 ) g (n) (t) M(t x 0 ), t [x 0, x]. ½µ Å Ð n 1 Ø Ø Ò ÔØØ ÐÝ Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ ØÙÐÓ ½µ Ú Ú Ð ÒØØ Ò ÑÙÓØÓÓÒ { d dt [g(n 1) (t) 1m(t x 2 0) 2 ] d dt [g(n 1) (t) 1M(t x 2 0) 2 ] 0, t [x 0, x], 0, t [x 0, x]. Ì Ø Ò Ò ØØ ÚÖØ Ä Ù Î µ µ g (n 1) (t) 1 2 m(t x 0) 2 µ g (n 1) (t) 1 2 M(t x 0) 2 ÓÒ Ú Ú ÚÐ ÐÐ [x 0, x] ÓÒ Ú Ò Ú ÚÐ ÐÐ [x 0, x] ÃÓ g (n 1) (x 0 ) = 0 ÔØ ÐÐÒ ØØ 1 2 m(t x 0) 2 g (n 1) (t) 1 2 M(t x 0) 2, t [x 0, x]. ¾µ Å Ð n 2 Ø Ø Ò ÔØØ ÐÝ Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ ØÙÐÓ ¾µ Ú Ú Ð ÒØØ Ò ÑÙÓØÓÓÒ { d dt [g(n 2) (t) 1 m(t x 3! 0) 3 ] d dt [g(n 2) (t) 1 M(t x 3! 0) 3 ] 0, t [x 0, x], 0, t [x 0, x],

ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ñ Ø ÔØ ÐÐÒ Ñ ÐÐ Ø ÚÓ Ò Ù Ò ÐÐ ØØ 1 3! m(t x 0) 3 g (n 2) (t) 1 3! M(t x 0) 3, t [x 0, x]. µ Æ Ò ØÒ Ò Ù Ø Óµ Ô ÝØÒ ÐÓÔÙÐØ ØÙÐÓ Ò m (n + 1)! (t x 0) n+1 g(t) M (n + 1)! (t x 0) n+1, t [x 0, x], µ Ó n Ò ÖÚÓ ÐÐ 0, 1, 2 Ó Ø Ò ÚÐ ØÙÐÓ Ò ½µ ¾µ µ Ø Ø Ò ÐÓÔÙ t = x ÔØØ ÐÝÒ ÐÓÔÔÙØÙÐÓ µ Ö Ó Ø Ø Ò ØÙÐÓ ÑÙÓ¹ ØÓÓÒ c g(x) = (n + 1)! (x x 0) n+1, c [m, M]. ÃÓ Ø m ÓÒ f (n+1) Ò Ñ Ò Ñ ÖÚÓ M Ñ Ñ ÖÚÓ ÚÐ ÐÐ [x 0, x] Ó f (n+1) ÓÒ Ø ÙÚ Ó ÚÐ ÐÐ Ò Ò Ä Ù Ò Î½½¼ ÑÙÒ ÓÒ c = f (n+1) (ξ) ÓÐÐÒ ξ [x 0, x]. Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò Ú ØØÑ ÑÙÓ Ó ξ [x 0, x]µ ÓÒ Ò Ò ØÓ Ø ØØÙ Ø Ô Ù x > x 0 Ì Ô Ù x < x 0 ÓÒ ÔØØ ÐÝ Ú Ø Ú ÌÓ ØÙ ¾ Ì Ò Ø Ô Ù ÓØ Ø Ò ÑÙÙØØÙ t Ø ÐÐ Ò x x 0 ÒØ ÇÐ ÓÓÒ g(t) = f(t) T n (t, x 0 ) H(t x 0 ) n+1, H = f(x) T n(x, x 0 ) (x x 0 ) n+1. ÌÐÐ Ò ÓÒ g (k) (x 0 ) = 0, k = 0...n Ð g(x) = 0 ÃÓ g(x 0 ) = g(x) = 0 Ò Ò Ä Ù Ò Î ¾ ÑÙÒ ÓÒ g (ξ 1 ) = 0 ÓÐÐÒ ξ 1 (x 0, x) ÓÐ x 0 < xµ ÌÐÐ Ò Ó g (x 0 ) = g (ξ 1 ) = 0 Ò Ò Ñ Ò Ð Ù Ò ÑÙÒ ÓÒ g (ξ 2 ) = 0 ÓÐÐÒ ξ 2 (x 0, ξ 1 ) Â Ø Ñ ÐÐ Ñ ÐÐ Ø ÚÓ Ò ÔØ ÐÐÒ ØØ g (n) (x 0 ) = g (n) (ξ n ) = 0 ÓÐÐÒ ξ n (x 0, ξ n 1 ) ÓÐÐÓ Ò Ä Ù Ò Î ¾ ÑÙÒ ÓÒ g (n+1) (ξ n+1 ) = 0 ÓÐÐÒ ξ n+1 (x 0, ξ n ) (x 0, x) ÅÙØØ g (n+1) (t) = f (n+1) (t) H(n + 1)! Ë f (n+1) (ξ n+1 ) H(n + 1)! = 0 Ú Ø À ÊÂÇÁÌÍËÌ ÀÌ ÎÁ ½ Ä ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8, Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø T n (x, 2), n = 0, 1, 2,... Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ô ÖÙ ÑÙÓØÓÓÒ x Ò ÔÓØ Ò ¹ Ò ÑÙÒµ È ÖÖ Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÙÚ Ø Ú ÖØ ÙÒ Ø ÓÓÒ f

ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ¾ Ä ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = (x 1)/(x 2) Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ T 3 (x, 0) Ô ÖÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÒÒ Ø ÖÑ Ò ÙÚ Ø ÅÖ Ø ÙÖ Ú ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ T n (x, 0) ÒÒ ØØÙ Ø ØØ n ÖÚ Ó ÒÒ Ø ÖÑ Ò Ä Ö Ò Ò ÑÙÓ Ó Ø ÑÓÐÐ ÑÑ Ò Ø Ö Ø ÐÙ Ù r n = max R n (x) x [ 1,1] µ f(x) = cosh x, n = 4 µ f(x) = e 0.2x, n = 3 µ f(x) = 5 + x, n = 3 µ f(x) = 5 5 x, n = 3 µ f(x) = 2 x, n = 5 µ f(x) = ln(e + x), n = 6 µ f(x) = cot(x + π/3), n = 4 µ f(x) = sin x 1/ cosx, n = 3 µ ÙÒ Ø ÓÒ cosh x sinh x Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø T n (x, 0) ÚÓ Ò Ð Ó Ó ÙÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø Ø ÙÒ Ø ÓÒ e x e x Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÚÙÐÐ Î ÖÑ Ø ØØ ÙÑÑ ÐÐÒ Ø Ú ÐÐ ØÙÐÓ ÓÒ Ñ µ ÆÝØ ØØ Ô Ö ÐÐ Ò Ú Ø Ú Ø Ô Ö ØØÓÑ Òµ ÙÒ Ø ÓÒ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐݹ ÒÓÑ T n (x, 0) ÓÒ Ú Ò Ô Ö ÐÐ Ô Ö ØØÓÑ µ ÔÓØ Ò ÌÓ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò ÚÙÐÐ 1 1 2 x2 cosx 1 1 2 x2 + 1 [ 24 x4, ÙÒ x π 2, π ] 2 ÇÚ Ø Ó ÒÑ ÔÝ ØÐ Ø ØÓ ÑÝ ÚÐ Ò [ π/2, π/2] ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ À Ö Ó ØÙ Ø ØÚ Î ½ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ ÙÒ Ø Ó f ÓÒ m ÖØ Ø Ù¹ Ú Ø Ö ÚÓ ØÙÚ ÚÐ ÐÐ [a, b] ÆÝØ ØØ Ø ØÚÒ Ö Ø Ù ÓÒ p 1 (x) = T m(a, + x) p 2 (x) = Tm(b, x) Ñ T m(a, + x) Tm(b, x) ÓÚ Ø ØÓ ÔÙÓÐ Ø Ò Ö Ú ØØÓ Ò k + f(a) k f(b) ÚÙÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÝØ f Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ä ÙÖ Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ T n (x, 0) ÒÒ ØØÙ Ø ØØ ÝØØ Ò ÑÓÐÐ ÑÑ Ò ÒÓÔ Ø Ó ÓØ Ø µ f(x) = 2/(4 + x 3 ), n = 12 µ f(x) = cosx 4, n = 16 µ f(x) = Arcsin x 3, n = 6 µ f(x) = (x 3 x 5 ) Arctanx 2, n = 7 Ä ÙÖ Ú Ø Ö Ú Ø Ø ÝØØ Ò ÝÚ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ µ f(x) = sin x 8, f (40) (0) µ f(x) = e x4, f (20) (0) µ f(x) = x 2 /(1 + x 4 ), f (100) (0) µ f(x) = x 3 ln(2 + x 2 ), f (87) (0) µ f(x) = e x3 /(1 + e x3 ), f (9) (0) µ f(x) = cos(x 2 sin 2 x), f (12) (0) µ ÇÖ Ó ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ú ÖÙÙ ÝÖÒ r(t) = t 4 i + (2 2 cost t 2 ) j + (t 2 t sinh t) k Ò ÒØÝÑ Ô Ø ÅÒ ÙÙÒØ Ò ÝÖ Ð Ø ÓÖ Ó Ø ½¼ µ ÌÓ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò ÚÙÐÐ Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÒ ÓÒÚ Ö Ò Ó Ú Ä Ù Î

ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÚ ÐÐÙ ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÚ ÐÐÙ Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ö Ø Ø Ú ÐÐ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò ÝØØ Ø ÔÓ ÙÒ Ø ÓØÙØ ÑÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÔÔÖÓ ÑÓ Ñ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ØØ Ø ÒÒ Ø ÖÑ ÖÚ Ó Ø ÚÓ Ò Ð Ù Ù Ò ÙÓÑ ØØ Ú Ø ÐÝ ÒØ Ð ÝØØ ÝØØÑÐÐ Ò ÙÙÖÙÙ ÐÙÓÑ Ö¹ ÒØ Ñ Ù ØÐÐ Ø Ñ Ö ÒÒ Ø ÓÒ ØÙ Ó ÐÐ Ò ÐÙÚÙÒ Ú Ñ Ñ Ö Ó ÝØ ØØ Ò ÐÝ ÒÒÝ Ñ Ö ÒØ [x m ] ÌÑÒ Ø Ð ÐÐ ÓÒ Ø Ú ÐÐ ÑÔ ÝØØ Ñ Ö ÒØ O( x m ) Ó ÐÙ Ø Ò ³ ÙÙÖÙÙ ÐÙÓ x m ³ Ø Ú Ò ³ÓÓ x m ³ ÌÓ Ò Ò Ñ Ö ØÝ ÐØÒ Ù Ò ÚÓ Ñ ÑÔ ÙÙÖÙÙ ÐÙÓ¹ Ñ Ö ÒØ ÓÒ o( x m ) Ó ÐÙ Ø Ò ³ÔÙ ÓÓ x m ³ Æ Ñ Ö ÒÒ ÓÒ x m Ò Ú ÖØ ÐÙ ÙÒ Ø Ó ÌÑÒ Ø Ð ÐÐ ÚÓ ÓÐÐ ÝÐ ÑÔ ¹ÒØ Ú ÖÚÓ Ú ÙÒ Ø Ó Ñ x x 0 α, α Q ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ËÙÙÖÙÙ ÐÙÓÑ Ö ÒÒØ O oµ ÂÓ f g ÓÒ Ñ¹ Ö Ø ÐØÝ ÚÐ ÐÐ [x 0 a, x 0 +a] a > 0µ g(x) 0 x [x 0 a, x 0 +a] Ò Ò ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ f(x) = O(g(x)), x [x 0 a, x 0 + a], Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÚÓ C R + Ø Ò ØØ ÔØ f(x) Cg(x) x [x 0 a, x 0 + a]. ÂÓ g(x) > 0 x x 0 ÔØ lim x x0 (f/g)(x) = 0 Ò Ò ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ f(x) = o(g(x)), ÙÒ x x 0. ÂÓ Ñ Ö ÒÒÐÐ O(..) ÐÙØ Ò ÒÓ Ø Ò ÖØÓ ØØ ÖÚ Ó ÓÒ ÔØ Ú Ó Ò x 0 Ò ÝÑÔÖ Ø Ò Ò ØÑ ÚÓ Ò ÐÑ Ø Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ ÙØ Ò Ú Ø Ú Ñ Ö ÒÒ o(..) f(x) = O(g(x)), ÙÒ x x 0. Æ Ñ Ö ÒÒ ÚÓ Ö¹ ÖÚÓÒ x 0 Ø Ð ÐÐ ÓÐÐ ± ÓÐÐÓ Ò Ý ÓÒ f Ò ÖÚ Ó ¹ Ñ Ø ÙÙÖ ÐÐ x Ò ÖÚÓ ÐÐ Î ÖØ ÐÙ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ØÐÐ Ò ØÝÝÔ ÐÐ Ø g(x) = x α ÓÐÐÒ α Q Ä Ù ÙÙÖÙÙ ÐÙÓÑ Ö ÒØ ÓÒ Ø Ú Ø ÐÐ ÙØ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓÐÐÓ Ò Ò Ø ÚÓ Ý Ø ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÚÓ Ò Ñ Ö f(x) + o(x 2 ) Ø Ö Ó ØØ ÙÒ ¹ Ø ÓØ f(x) + g(x) Ñ g(x) = o(x 2 ) O(x 2 ) + O(y 2 ) Ø Ö Ó ØØ Ñ Ù Ò O(x 2 + y 2 ) ÅÖ Ø ÐÑ Ø ÎÁÁ ½ ÓÒ ÐÔÓ Ø ØÓ ÒÒ ØØ Ú ÙÖ Ú Ø ÙÙÖÙÙ ÐÙÓ ¹ ÐÖ Ò ÒÒ Ø À Ö Ø Ø ½µ ËÒÒ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ x, y 0 O(x) + O(y) = O(max{x, y}) O(x)O(y) = O(xy) Ó(x)O(y) = Ó(xy)

ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÚ ÐÐÙ ËÓÚ ÐÐÙ Ø Ð ÑÑ Ø ÒØ ÝØ ØÒ Ø Ú ÐÐ ÑÑ Ò ÑÙÓ Ó O(x α )O(x β ) = O(x α+β ), Ó(x α )O(x β ) = Ó(x α+β ), x 0, α, β R. Ñ Ö ½ ÅÙÙØØÙ Ò Ú ÓÒ x 2 = t Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò ÚÙÐÐ ÔØ ÐÐÒ ØØ Ô Ø Ò x = 0 Ð ÐÐ Ñ ÚÐ ÐÐ [ 1, 1]µ ÓÒ x2 + 1 = 1 + t = 1 + 1 2 t + O(t2 ) = 1 + 1 2 x2 + O(x 4 ). ËÙÙÖ ÐÐ x Ò ÖÚÓ ÐÐ x µ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ú ÓÐÐ x 2 = t Ú Ø Ú Ø ÖÚ Ó x2 + 1 = x ( 1 + x 2 = x 1 + 1 ) 2x + 2 O(x 4 ) = x + 1 2x + O(x 3 ) Ñ Ö ¾ ÆÝØ ØØ Ô Ò ÐÐ x Ò ÖÚÓ ÐÐ ÓÒ f(x) = 1 x 1 + 2x x 2 + O( x 3 ) = 1 3x + 7x2 + O( x 3 ). Ê Ø Ù ÃÓ Ô Ò ÐÐ t Ò ÖÚÓ ÐÐ ÓÒ 1/(1 + t) = 1 t + t 2 + O( t 3 ) Ò Ò ÙÙÖÙÙ ÐÙÓ¹ ÐÖ ÒØ ÚÖØ ÐÐ Ò ÐÙÚÙÒ Ñ Ö Ø ¾ µ { f(x) = (1 x) 1 [ 2x x 2 + O( x 3 ) ] + [ 2x x 2 + O( x 3 ) ]2 } + O( x 3 ) = (1 x)[1 (2x x 2 ) + 4x 2 ] + O( x 3 ) = 1 3x + 7x 2 + O( x 3 ) Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ö ÖÚÓØ Ä Ù Ò Î ¾ ÑÙÒ Ö ÚÓ ØÙÚ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ô ÐÐ Ö ÖÚÓ Ó ÓÒ ÑÝ Ö Ú Ø Ò ÒÓÐÐ Ó Ø ÂÓ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ö Ú Ø Ò ÒÓÐÐ ÓÒ ÝÑÔÖ Ø Ö ØØÚÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò Ò Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÐÚ ØØ ÓÒ Ó Ý ØÓ ÐÐ Ö ÖÚÓ Ó Ø Ó Ò Ò Ñ Ò Ð ØÙ Ò Ò Ä Ù ÎÁÁ ¾ ÂÓ f ÓÒ Ô Ø Ò c ÝÑÔÖ Ø n ÖØ Ø ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ n 2 ÔØ f (k) (c) = 0, k = 1...n 1 f (n) (c) 0 Ò Ò µ Ó n ÓÒ Ô Ö ØÓÒ f ÐÐ ÓÐ c Ô ÐÐ Ø Ö ÖÚÓ µ Ó n ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò Ò Ò f ÐÐ ÓÒ c ¹ Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ Ó f (n) (c) > 0 ¹ Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ñ Ó f (n) (c) < 0

ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÚ ÐÐÙ ÌÓ ØÙ Ä Ù Ò ÎÁÁ ÓÐ ØÙ Ò ÑÙÒ f(x) = f(c) + 1 n! f(n) (c)(x c) n + o( x c n ), ÙÒ x c. ÃÓ f (n) (c) 0 ØÑ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÝ ÑÙÓØÓÓÒ f(x) = f(c) + 1 n! [ f(n) (c) + o(1) ] (x c) n, ÙÒ x c, ÓÐÐÓ Ò Ò Ò ØØ Ö ØØÚÒ Ô Ò ÐÐ δ δ > 0µ ÓÒ ÓÐØ Ú f(x) = f(c) + 1 n! f(n) (c)k(x)(x c) n, x [c δ, c + δ], Ñ Ñ Ö 1 2 k(x) 3 2. Æ Ò ÓÐÐ Ò Ó n ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò f n) (c) > 0 ÓÒ f(x) > f(c) ÙÒ x [c δ, c) Ø x (c, c + δ] ÓÐÐÓ Ò c ÓÒ Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ Ó Ø ÅÖ Ø ÐÑ Î ½µ ÅÙ Ø Ô Ù ÓÒ ÔØØ ÐÝ Ú Ø Ú ÚÖØ ÙÚ Óµ c x c x c x c x n Ô Ö ØÓÒ f (n) (c) > 0 n Ô Ö ØÓÒ f (n) (c) < 0 n Ô Ö ÐÐ Ò Ò f (n) (c) > 0 n Ô Ö ÐÐ Ò Ò f (n) (c) < 0 Ñ Ö ÌÙØ ÑÓÐÐ Ò Ö ÖÚÓ ÓÒ Ð ØÙ ÙÖ Ú Ø Ô Ù µ f(x) = sin x + cosx, c = π/4 µ f(x) = e x + sin x + 1 x 2, c = 0 µ f(x) = 1 cosx 1 + x 2, c = 0 Ê Ø Ù µ f (π/4) = 0, f (π/4) = 2 Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ñ µ f (0) = f (0) = 0, f (0) = 2 Ö ÖÚÓ µ f (0) = f (0) = f (0) = 0, f (4) (0) = 5 Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ

ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÚ ÐÐÙ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÙÒ Ø Ó f(x)/g(x) ÂÓ ÙÒ Ø ÓØ f g ÓÚ Ø Ô Ø Ò a ÝÑÔÖ Ø ÒÒ ÐÐ f(a) = g(a) = 0 Ò Ò Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ØÙØ Ñ ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó F(x) = f(x)/g(x) ÓÒ Ô Ø Ò a ÝÑÔÖ Ø Ò ÒÒ Ò Ó ÐÙØ Ò Ö Ø Ø Ö¹ ÖÚÓ Ý ÝÑÝ f(x) lim x a g(x) =? Ò Ò Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ñ Ò ØØ ÐÝ ÓÒ ÙÖ Ú ÇÐ Ø Ø Ò ØØ f g ÓÚ Ø n ÖØ Ø ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ Ô Ø Ò a ÝÑÔÖ Ø ØØ ÔØ f(a) g(a) = 0 0, f (a) g (a) = 0 0,..., f (n 1) (a) g (n 1) (a) = 0 0, f (n) (a) g (n) (a) = A B, Ñ A 0 Ø B 0 ÌÐÐ Ò Ä Ù Ò ÎÁÁ ÑÙÒ A f(x) g(x) = (x n! a)n + Ó( x a n )) B (x n! a)n + Ó( x a n )) = A + Ó(1), ÙÒ x a. B + Ó(1) ÈØ ÐÐÒ ØØ Ó A 0 B = 0 Ò Ò f(x)/g(x) ÙÒ x a ÓÐÐÓ Ò Ö¹ ÖÚÓ ÓÐ ÖÐ ÐÙ ÙÒ ÚÓ ÓÐÐ lim = ± µ ÅÙÙ Ø Ô Ù Ð Ó B 0 ÓÒ f(x) lim x a g(x) = A B = f(n) (a) g (n) (a), ØÐÐ Ò ÓÒ ÝÐ ÑÑ Ò Ò f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x) =... = lim f (n) (x) x a g (n) (x). ÌÑ ØÙÐÓ ÓÒ ÚÓ Ñ Ø ØÝ Ò ÒÒ ÐÐ ÝÝ ÓÐ ØÙ Ø Ò ÔÙ ØØ µ ÙÒ¹ Ò Ø ÙÒ Ú Ñ Ò Ò Ö¹ ÖÚÓ ÓÒ ÓÐ Ñ ÌÙÐÓ ÓÒ Ó ÒÒ ØÒ ØÙØØ٠гÀÓ Ô Ø Ð Ò ÒØ Ò Ä Ù Î ½¼µ Ñ Ö ÅÖ Ø Ö¹ ÖÚÓ lim x 0 sin 2x 2x sinh x x Ê Ø Ù ÙÒ Ø ÓØ f(x) = sin 2x 2x g(x) = sinh x x ÓÚ Ø Ð Ø R Ö ÚÓ Ñ ÐÐ ØÓ Ø Ò f (x) g (x) = 2 cos2x 2 cosh x 1, f (x) g (x) = 4 sin 2x sinh x, f (x) g (x) = 8 cos 2x cosh x,... ¼

ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÚ ÐÐÙ À Ú Ø Ò ØØ f (k) (0) = g (k) (0) = 0 ÙÒ k = 0, 1, 2 f (0) = 8, g (0) = 1 Ë sin 2x 2x lim x 0 sinh x x = 8 1 = 8 Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò Ö¹ ÖÚÓÐÐ lim x a f(x)/g(x) Ñ Ð ¹ ÙÚ Ù Ò Ð³ÀÓ Ô Ø Ð Ò ÒÒ ÐÐ ÙÒ Ø Ó Ø f(x)/g(x) Ò Ù Ø Ò Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÚÙÐÐ ÐÚ ÐÐ Ô Ð ÓÒ ÑÙÙØÒ Ë ÙÖ Ú Ñ Ö Ú ¹ Ø Ú ÑÑ Ø Ø ØÚÒ ØØ ÐÙ Ø Ñ Ö ÅÖ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø p q Ø Ò ØØ ÚÐ ÐÐ [ 1, 0) (0, 1] ÔØ F(x) = sin 2x 2x sinh x x = p(x)+o(x4 ), G(x) = sin x 2x 2 +cosx 1 x 3 = q(x)+o( x 5 ). Ê Ø Ù sin 2x 2x = ( 2x 1 6 (2x)3 + 1 ) 120 (2x)5 + O( x 7 ) 2x = 4 3 x3 + 4 15 x5 + O( x 7 ), ( sinh x x = x + 1 6 x3 + 1 ) 120 x5 + O( x 7 ) x = 1 6 x3 + 1 120 x5 + O( x 7 ) sin 2x 2x sinh x x = 8 + 8 5 x2 + O(x 4 ) 1 + 1 20 x2 + O(x 4 ) = 8 + 2x 2 + O(x 4 ) = p(x) + O(x 4 ) sin x 2x + cos x 1 = 1 ( ) x x3 2 x 3 2x 2 6 + x5 120 + O( x 7 ) + 1 ( 1 x 3 2 x2 + 1 24 x4 1 ) 720 x6 + O(x 8 ) = 1 24 x + 1 360 x3 + O( x 5 ) = q(x) + O( x 5 ) ÌÙÐÓ Ø ÚÓ ÔØ ÐÐ Ñ Ö Ö¹ ÖÚÓØ ( sin 2x 2x lim x 0 x 2 sinh x x + 8 ) ( sin x = 2, lim 3 x 2 x 0 2x + cosx 1 ) = 1 3 x 4 24. Æ Ò ÑÝ ØØ Ó Ø Ø Ò F(0) = 8 G(0) = 0 Ø Ñ Ñ Ò ØØ Ðݵ Ò Ò F ÐÐ ÓÒ Ô Ø x = 0 Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ G ÓÒ ÓÖ ÓÒ ÝÑÔÖ Ø Ó Ø Ú Ò Ú ½

ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÚ ÐÐÙ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÔÔÖÓ ÑÓ ÒØ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ö ÒØÐ ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó f(x + x) f(x) + f (x) x ÚÖØ ÄÙ Ù ÎÁÁ½µ ÝÐ Ø ØØ Ø Ö ÒØ ÂÓ f ÓÒ n + 1 ÖØ Ø ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ Ô Ø Ò x ÝÑÔÖ Ø Ò Ò f(x + x) = f(x) + f (x) x + 1 2! f (x)( x) 2 + + 1 n! f(n) (x)( x) n + O( x n+1 ) ÀÝÚ ÖÚ Ó ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓÒ Ú ÖÐÐ Ø ÒÒ Ò ÙÙÖÙÙ ÐÙÓ ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò Ú Ö = Ø Ö ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó Ñ Ö 10 1000? Ê Ø Ù ÃÙÒ Ñ Ö ØÒ f(x) = 10 1 x Ò Ò 1 (n + 1)! f(n+1) (x)( x) n+1. 10 1000 = 10 1024 24 = 2 10 1 3 128. f (x) = 1 (1 10 x) 9/10, f (x) = 9 (1 100 x) 19/10, f (x) = 171 (1 1000 x) 29/10, f (4) (x) = 4959 (1 x) 39/10 10000 10 1000 = 2f( 3 [ 2 1 + ( 1 10 128 ) ) 3 128 + 1 2 ( 9 100 )( 3 ) 2 ( ) ( + 1 171 3 ) ] 3 128 6 1000 128 2 ( 1 0.00234275 0.0000247192 0.000000366926 ) = 1.995262327671. Î Ö Ø Ö ÖÚÓ Ð ÖÚÓµ ÓÒ ÙÙÖÙÙ ÐÙÓ Ç ½¾¹ Ñ Ð Ò Ò ÖÚÓ ÓÒ + 1 4! f(4) (0) ( x) 4 = 1653 80000 ( 3 128) 4 6 10 9. 10 1000 1.995262314969. ¾

ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÚ ÐÐÙ Ñ Ö ÖÚ Ó sin 31 Ð Ø Ò ÖÚÓ Ø sin 30 = 1 2 Ê Ø Ù ÃÙÒ f(x) = sin x x = π 6 x = π 180 ÓÒ f(x + x) sin x + cosx x 1 sin x ( x)2 2 = 1 + 3 π 1 1 ( π 2 2 2 180 2 2 180) 0.51503882. Î Ö Ø Ö ÖÚÓ Ð ÖÚÓµ ÓÒ ÐÙÓ 1 3! cosx( x)3 8 10 7. Ç ¹ Ñ Ð Ò Ò ÖÚÓ ÓÒ sin 31 0.51503807 À ÊÂÇÁÌÍËÌ ÀÌ ÎÁ ½ È ÖÙ Ø Ð ÙÙÖÙÙ ÐÙÓ¹ ÐÖ Ò ÒÒ Ø ÓÐ x, y 0µ O(x) + O(y) = O(max{x, y}), O(x)O(y) = O(xy), Ó(x)O(y) = Ó(xy). ¾ Å Ø ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú ÐÐ Ñ Ö ÒÒ ÐÐ µ f(x) = f(a) + Ó(1), ÙÒ x a µ f(x 1 ) f(x 2 ) = O( x 1 x 2 ), ÙÒ x 1, x 2 [a, b] µ f(x) = f(a) + k(x a) + o ( x a ), ÙÒ x a ÒÒ ÙÙÖÙÙ ÐÙÓ¹ ÖÚ ÓØ ÙÖ Ú Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓÒ Ú ÖÐÐ µ x 4 + 2 2, ÙÒ x 0 µ x 4 + 3x 3x, ÙÒ x 0 + µ x 4 + 4x x 2, ÙÒ x ± µ x 4 + 4x x 2 + 2x 1 ÙÒ x µ x/ sin x 1, ÙÒ x 0 µ ln(1 + e x ) x, ÙÒ x Ë ÙÖ Ú ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ Ô Ø x = 0 ÓÒ ÑÓÐÐ Ò Ò Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ ¹ Ø Ñ Ñ Ó Ø ÌÙØ Ö ÚÓ Ñ ÐÐ µ (1 x)e x µ (2 x 2 ) cosx µ (x x 4 ) sinx µ 1 x 2 1/ 1 + x 2 Å ÐÐ a Ò b Ò ÖÚÓ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ µ e x + ax + bx 2 µ x sin x + ax 2 + bx 4 µ sin x + cos x + ax + bx 2 ÓÒ Ô ÐÐ Ò Ò Ñ Ò Ñ Ô Ø x = 0

ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÚ ÐÐÙ ØÐ y(cosy sin y) = 2 sin x + cos x + ax + b ÑÖ Ø Ð Ô Ø Ò x = 0 ÝÑÔÖ Ø ÙÒ Ø ÓÒ y(x) ÅÖ Ø ÚÓØ a b ÙÒ Ø ØÒ ØØ y(x) ÚÙØØ Ô Ø x = 0 Ô ÐÐ Ò Ö ÖÚÓÒ y(0) = 0 ÇÒ Ó Ý Ñ Ñ Ú Ñ Ò Ñ ÅÖ Ø ÙÖ Ú Ø Ö¹ ÖÚÓØ µ 7 1 + x 1 lim x 0 x µ x sin x lim x 0 x tanx µ lim x π/2 cos 3x π 2x µ lim x 1 ln(ex) 1 sin πx µ lim x 0 3x tan4x 10 x e x µ lim x 0 x µ lim t π/2 ln sin t cos t µ lim x sin 1 x x ] ѵ lim x [ x2 + 154x ln(5 + e x ) µ 2 cosx 2 + x 2 lim x 0 x 4 µ 1 cosax lim x 0 1 cosbx µ sin 2 x lim x 0 + tan x x е lim x 2 ln(cos π x x ) ( ) 6 Òµ lim x6 + 42x 5 + 77x x x ÅÖ Ø ÙÖ Ú ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ f ÑÓÐÐ ÑÑ Ò Ð Ø Ø ØØ ÓÐ Ú ÔÓ¹ ÐÝÒÓÑ p Ø Ò ØØ ÒÒ ØÙÐÐ m ÓÐÐÒ δ > 0 ÓÒ f(x) = p(x)+o( x m ) ÙÒ 0 < x < δ ÌÙØ ÑÝ Ô Ø Ò x = 0 Ð ØÙ ÑÓÐÐ Ò f Ò Ô ÐÐ ¹ Ò Ö ÖÚÓ Ó Ø Ò ÙÒ Ø Ø Ò f(0) = lim x 0 f(x) µ 1 cosx, m = 7 µ sin x x x 3, m = 8 µ x 2 x 3 sin x x, m = 3 x ln(1 + x) 1 + x 1 µ, m = 3 µ, m = 5 µ e x 1 x 3, m = 3 1 x 1 ÖÚ Ó ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓÒ f(x) T 2 (x, 0) Ú ÖÒ Ø ÖÚÓ ÚÐ ÐÐ [ 1/2, 1/2] ÙÖ Ú ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ µ 1 + x µ 10 1 + x µ tanx µ ln(1 + x) µ e sin x ½¼ ÖÚ Ó ÙÖ Ú Ò ÙÒ Ø Ó ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓÒ Ú Ö µ 3 x 8 + x 2 + 12 x2, ÙÒ x 1 288 µ sin x x 1 6 x3, ÙÒ x =α [0, 10 ] [ 1 1 µ x ] 1 x 2 1, ÙÒ x 0.15 x 0 4 1 + x 2 2

ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÚ ÐÐÙ ½½ ÂÓ T n (x, 0) ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = cosx Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ò Ñ ÐÐ a Ò n Ò ÖÚÓ ÐÐ ÚÓ Ò Ø Ø ØØ µ cosx T 2 (x, 0) 10 4 ÚÐ ÐÐ [ a, a] µ cosx T n (x, 0) 10 4 ÚÐ ÐÐ [ π/2, π/2] ½¾ Ä ÐÙ Ù 1/ 4 e ÐÑÖ Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó Ø e x 1 + x + 1 2 x2 Å ÓÒ Ú ÖÒ ÙÙÖÙÙ ØÙÑ Ö µ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÖÚ ÓÒ µ ØÓ ÐÐ ÙÙ ½ ÄÙÚÙÐÐ a = 12 4000 ÚÓ Ò Ð Ö Ø ÓÒ Ð Ò Ò Ð ÖÚÓ Ö Ó ØØ Ñ ÐÐ 4000 = 4096(1 x) ÔÔÖÓ ÑÓ Ñ ÐÐ ÙÒ Ø ÓØ f(x) = 12 1 x ØÓ Ò Ø Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ Ä Ó ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ¹ Ù µ ÖÚ Ó ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓÒ Ú Ö Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò ÚÙÐÐ Ú ÖØ Ú ÖÒ Ø Ö Ò ÖÚÓÓÒ ½ ËÙ Ø ÐÐ ÙÙ Ø ÓÖ Ò ÑÙÒ Ú ÙÐÐ v Ð ÙÚ Ò Ô ÖØ Ð Ò Ð ¹ Ò Ö ÓÒ E k = mc2 mc 2, 1 v2 c 2 Ñ m ÓÒ Ô ÖØ Ð Ò Ñ c 3 10 8 Ñ» ÓÒ Ú ÐÓÒ ÒÓÔ Ù Å ÐÐ ¹ ÐÐ Ú ÙÒ v ÖÚÓ ÐÐ ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓÒ E k 1 2 mv2 Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ú Ö ÓÒ Ò ÒØÒ 0.01% ½ µ µ ÆÝØ ØØ Ö ÐÐ Ñ ÐÐ µ A Ò B Ò ÖÚÓ ÐÐ ÔØ Arccosx = A 1 x + B(1 x) 3/2 + O ( (1 x) 5/2), ÙÒ x 1. µ ÆÝØ ØØ Ó Ý ÐÓÒ Ý ØÐ Ø x = R(t sin t), y = R(1 cost) Ð Ñ ÒÓ Ò ÑÙÓØÓÓÒ y = y(x) Ö Ø Ñ ÐÐ t = t(x) Ò ÑÑ Ø Ý ØРص Ò Ò ÓÖ ÓÒ ÝÑÔÖ Ø ÔØ ( ) Rx 2 y(x) = 3 3 6 + O 3 x 4. R ½ µ ÇÐ ÓÓÒ c ÙÒ Ø ÓÒ f Ý Ò ÖØ Ò Ò ÒÓÐÐ Ó Ø ÓÐ ÓÓÒ f ÓÐÑ Ö¹ Ø Ø ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ c Ò ÝÑÔÖ Ø À ÐÙØ Ò ÑÖØ c Æ ÛØÓÒ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ø ÑÙÙÒÒ ÐÐÙÐÐ Ø Ö Ø ÓÐÐ x n+1 = F(x n ) Ñ F(x) = x f(x) f (x) + [f(x)]2 g(x). Å Ø Ò g(x) ÓÒ Ú Ð ØØ Ú ÓØØ Ø Ö Ø ÓÒ ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò Ó Ø c Ø ÓÒ Ú Ò¹ ØÒ ÙÙØ ÓÐÐ Ø Å ÐÐ ÓÐÐ ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò ÓÒ Ø ÑÐÐ Ò ÙÙØ ÓÐÐ Ø ËÓÚ ÐÐ Ñ Ò Ø ÐÑ ÙÒ Ø ÓÓÒ f(x) = x 2 a, a > 0 ÚÖØ À Ö Ø Ø Î ½ µ

ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ø ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ø ÃÙÒ ÒÒ Ø ÖÑ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÎÁÁ ÖÚ Ó Ò ÙÒ Ø Ó ÐÐ sin x cos x Ò Ò Ò Ò ØØ 1 sin x T 2n+1 (x, 0) (2n + 3)! x 2n+3, x R, cosx T 2n (x, 0) 1 (2n + 2)! x 2n+2, x R. ÃÓ x n /n! 0 x R ÙÒ n Ò Ò x R ÔØ Ð sin x = lim n T 2n+1 (x, 0), sin x = cosx = cosx = lim n T 2n (x, 0), ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)!, x R ( 1) k x2k (2k)!, x R ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ÂÓ f ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò ÑÓÒØ ÖØ Ö ÚÓ ØÙÚ x 0 Ò Ò Ö f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k! ÓÒ f Ò Ì ÝÐÓÖ Ò Ö x 0 Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÖ Ú Ò ÐÑ Ø Ò Ý ÝÑÝ ÓÒ Å ÐÐÓ Ò Ö ÙÔÔ Ò Ó Ø f(x) Ø Ñ ÐÐÓ Ò ÔØ f (k) (x 0 ) f(x) = lim T n (x, x 0 ) = (x x 0 ) k? n k! ÙÒ Ø ÓÒ sin x cosx ÓÐÐ Ú Ø Ù ÓÒ Ò Ð Ó ÐÐ x R ÑÝ Ó ÐÐ x 0 Rµ ÃÓÐÑ Ñ Ö ÙÒ Ø Ó Ø ÓÒ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö ÙÔÔ Ò Ó ÐÐ x R ÓÒ ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ ÔØ ÚÖØ ÄÙ Ù ÎÁ¾µ e x = x k k!, x R Ì Ö Ø ÓØØ Ò ÝÑ Ý ÝÑÝ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ò ÓÒÚ Ö Ò Ø ÐØ Ö Ð¹ Ð Ø Ý ÝÑÝ Ø ÙØ Ò Ò Ò ÙÖ Ú Ø Ñ Ö Ø Ì Ô Ù x 0 = 0 ÝØ ØÒ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ø ÑÝ Ò Ñ ØÝ Ø Å Ð ÙÖ Ò Ò Ö

ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ø Ñ Ö ½ ÙÒ Ø Ó f(x) = { e 1/x2, ÙÒ x 0 0, ÙÒ x = 0 ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò ÑÓÒØ ÖØ Ö ÚÓ ØÙÚ Ô Ø x = 0 ÑÝ ÑÙÙ ÐÐ µ f (k) (0) = 0, k = 0, 1, 2,..., ÓØ Ò T n (x, 0) = 0 n Ì Ø Ô Ù Ì ÝÐÓÖ Ò Ö ÙÔÔ Ò x R ÑÙØØ lim n T n (x, 0) = 0 f(x) ÙÒ x 0 Ñ Ö Ò ÑÙÒ ÐÐ Ö ÙÒ Ø ÓÐÐ ÚÓ ÓÐÐ Ñ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ñ Ö ÙÒ Ø Ó ÐÐ f g = 0µ ÓØ Ò Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ò ÖØÓ Ñ Ø Ø Ö Ò ÙÑÑ Ø µ ÚÓ ÔØ ÐÐ ÙÒ Ø ÓØ Ó Ø Ö ÓÒ ÓØØÙ Í ÐÐ ³ÒÓÖÑ Ð ÐÐ ³ ÙÒ Ø Ó ÐÐ f Ù Ø Ò Ò ÔØ ØØ f Ò Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ò ÙÑÑ = f(x) Ò ÙÒ Ö ÙÔÔ Ò ÌÐÐ ÒÓÖÑ Ð Ø Ô Ù ÓÚ Ø Ñ Ö Ø ÓÒ Ð ÙÒ Ø ÓØ Ñ Ö ¾ ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = 1/(1 + 4x 2 ) Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÓÖ Ó ÓÚ Ø n T 2n (x, 0) = T 2n+1 (x, 0) = ( 4) k x 2k, n = 0, 1,... Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ð ÔÓØ Ò Ö {T n (x, 0), n = 0, 1, 2,...} ÙÔÔ Ò Ø Ø Ô Ù ¹ Ø ÑÐÐ Ò ÙÒ x < 1/2 ÚÖØ ÄÙ Ù Á½¾µ ØÐÐ Ò ÙÑÑ = f(x) ( 4) k x 2k 1 = 1 + 4x = f(x), x 2 ( 1, 1 ). 2 2 Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ó Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø ØÙØ ØØ ÚÓ Ò Ò Ø ÑÙÙØØÙ Ò Ú¹ Ó x x 0 x ÓÐÐÓ Ò Ö ØØ Ø Ö Ø ÐÐ ÝÐ Ø ÔÓØ Ò Ö ÑÙÓØÓ n f(x) = a k x k. ÌÐÐ Ò Ö Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ý ÝÑÝ ÓÒ Ö Ø ØÙ ÄÙÚÙ Á½¾ Ä Ù Ò Á½¾ ÑÙÒ Ö ÙÔÔ Ò Ó Ó µ Ú Ò ÙÒ x = 0 Ø µ ÚÐ ÐÐ ( ρ, ρ) ÑÓÐÐ ¹ Ø ÑÝ ÙÒ x = ±ρµ Ñ ρ ÓÒ Ö Ò ÙÔÔ Ò Ñ ρ R + Ø ρ = µ ÄÙÚÙ Î Ó Ó Ø ØØ Ò ØØ ÔÓØ Ò Ö Ò ÙÑÑ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ñ ¹ Ð Ú ÐØ Ò ÑÓÒØ ÖØ Ö ÚÓ ØÙÚ ÚÐ ÐÐ ( ρ, ρ) ØØ Ö Ú Ø Ø ÚÓ Ò Ð ¹ Ö ÚÓ Ñ ÐÐ Ö Ø ÖÑ ØØ Ò Ä Ù Î µ Æ Ò ÓÐÐ Ò Ó ÔÓØ Ò Ö Ò a kx k ÙÔÔ Ò Ñ ÓÒ ρ > 0 x 0 R Ò Ò ÙÒ Ø Ó f(x) = a k (x x 0 ) k

ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ø ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ñ Ð Ú ÐØ Ò ÑÓÒØ ÖØ Ö ÚÓ ØÙÚ ÚÐ ÐÐ (x 0 ρ, x 0 + ρ) Ó Ó R Ó ρ = µ f Ò Ö Ú Ø Ø ÚÓ Ò Ð Ö ÚÓ Ñ ÐÐ Ö Ø ÖÑ ØØ Ò ÃÙÒ Ö ÚÓ Ñ Ô Ø Ú Ð Ø Ò Ö ØÝ Ø x 0 Ò ØÙÐÓ f (k) (x 0 ) = k! a k a k = f(k) (x 0 ), k = 0, 1, 2,... k! Ë f(x) ÓÒ Ø ØØÚ ÑÙÓ Ó f(x) = f (k) (x 0 ) k! ÇÒ ØÙÐØÙ ÙÖ Ú Ò ÙÓÑ ÓÒ ÖÚÓ Ò ØÙÐÓ Ò (x x 0 ) k. Ä Ù ÎÁÁ ¾ ÂÓ Ö a k (x x 0 ) k ÙÔÔ Ò ÚÐ ÐÐ (x 0 ρ, x 0 + ρ) ρ > 0 Ò Ò Ó Ö Ö Ò ÙÑÑ Ò ÑÖ Ø ÐÐÝÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ô Ø x 0 Ñ Ö ÙÒ Ø ÓÒ sin x ÖØ ÐÑ Ø Ò Ò ØØ { ( 1) k x 2k (2k + 1)! = f(x) = sin x/x, x 0, 1, x = 0. ÃÓ Ö ÙÔÔ Ò x R Ò Ò Ý ÓÒ Ö Ò ÙÑÑ Ò ÑÖ Ø ÐÐÝÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö ÓÖ Ó ÙÒ Ø Ó f ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò ÑÓÒØ ÖØ Ö ÚÓ ØÙÚ Ó Ô Ø x R ÓÖ Ó ÑÙÒ ÐÙÒ µ Ñ Ö Ê Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ó ÐÐ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚ { y = e x2, x R, y(0) = 0. Ê Ø Ù ÃÓ ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÒ e x Ì ÝÐÓÖ Ò Ö ÙÔÔ Ò ÐÐ Ò Ò ÃÙÒ Ú Ð Ø Ò e x2 = y(x) = ( x 2 ) k k! = ( 1) k x 2k, x R. k! ( 1) k (2k + 1) k! x2k+1 = x x3 18 + x5 600..., Ò Ò Ò Ò Ø ÖÑ ØØ Ò Ö ÚÓ Ñ ÐÐ ØØ y (x) = e x2, x R ÃÓ ÓÒ ÑÝ y(0) = 0 Ò Ò Ö Ø Ù ÓÒ Ø

ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ø ÃÓÑÔÐ Ò Ò ÔÓØ Ò Ö ÃÓÑÔÐ ÔÓØ Ò Ö ÒÓØ Ò Ö ÑÙÓØÓ a k(z z 0 ) k Ñ a k, z 0 C z ÓÒ ÓÑÔÐ ÑÙÙØØÙ ÌÐÐ Ò Ö Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ø ÓÖ ÓÒ ¹ Ñ ÒÐ Ò Ò Ù Ò ÖÐ Ò Ú Ø Ò Ò ÐÐ ÄÙÚÙÒ Á½¾ ÙÔÔ Ò Ñ Ø Ö Ø ÐÙØ Ô ¹ ÖÙ ØÙÚ Ø Ú Ñ Ú Ò ÙÒØ ¹ ÐÖ Ò ÐÙ Ù Ò Ø ÖÚÓ Ò Ú ÖØ ÐÙÙÒ ÆÑ ÓÔ Ö Ø ÓØ ÚØ ÑÙÙØÙ ÖÖÝØØ ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÙÒØ Ò Ñ Ö¹ Ö Ò Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ ÑÓ Ò Ù Ò ÖÐ ÐÐ Ö Ó ÐÐ a k z k ÙÔÔ Ò Ø Ø a k z k ÙÔÔ Ò. ÈÓØ Ò Ö Ó Ò Ø ÓÖ Ò Ò ØÙÐÓ Ä Ù Á½¾ ÐÝØØ Ò Ò ÓÐÐ Ò ÔØ ¹ ÚÝÝØ Ò ÃÓÑÔÐ Ò Ò Ò Ö ÑÙÓØÓ a k(z z 0 ) k ÙÔÔ Ò ÑÝ Ø ¹ Ø ÙÒ z z 0 < ρ ÒØÙÙ ÙÒ z z 0 > ρ Ñ ρ ÓÒ ÙÔÔ Ò Ñ ρ = 0 ρ R + Ø ρ = µ ÂÓ ρ > 0 Ò Ò Ö ÙÔÔ Ò ÓÑÔÐ Ø ÓÒ ÚÓ Ñ Ó A = {z C z z 0 < ρ}. ÅÝ Ä Ù Î ÐÝÝ ÚÓ Ñ ÓÑÔÐ ÐÙ ÐÐ ÐÐ ØÑ Ò Ô ÖÙ ØÙÙ Ú Ò ÙÒØ ¹ ÐÖ Ò Ø ÖÚÓ Ò Ú ÖØ ÐÙÙÒ ÙØ Ò ØÓ ØÙ ÄÙ Ù Î µ Ó Ó Ø¹ Ø ÈÓØ Ò Ö Ò ÙÑÑ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Ó f ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÝÑ ÚÓ ¹ Ñ Ó A ÅÖ Ø ÐÑ Î ½µ ÙØ Ò ÖÐ Ò Ö Ò Ø Ô Ù ÔØ f(z) = a k (z z 0 ) k = f (k) (z 0 ) k! (z z 0 ) k, z A. ÂÓ ÙÔÔ Ò Ñ ÓÒ ρ = Ò Ò A = C f Ó ÓÒ Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÈÓ¹ ÐÝÒÓÑ Ò Ð Ó ÓÒ ÙÒ Ø Ó Ø ÓÚ Ø Ñ Ö ÄÙÚÙ ÎÁ ÑÖ Ø ÐÐÝØ ÙÒ Ø ÓØ e z cos z sin z cosh z sinh z ÆÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÔÓØ Ò Ö Ø ÓÖ ¹ Ó z 0 = 0µ Ò Ý Ò ÖØ Ø ÚØ Ñ ÐÐ ÖÐ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö ÑÙÙØØÙ z e z = cosz = cosh z = z k k! ( 1) k z2k (2k)! z 2k (2k)! sin z = sinh z = ( 1) k z 2k+1 (2k + 1)! z 2k+1 (2k + 1)!

ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ø Ñ Ö ÂÓ x R Ò Ò ÙÐ Ö Ò Ú Ò ÄÙ Ù ÎÁ µ e z Ò ÔÓØ Ò ¹ Ö Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÔØ cosx + i sin x = e ix (ix) k = k! ) ) = (1 x2 2! + x4 4!... + i (x x3 3! + x5 5!... cosx = 1 x2 2! + x4 x3..., sin x = x 4! 3! + x5 5!..., x R. ÌÙÐÓ Ø ØØ Ò Ó Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ñ Ö ÙÒ Ø Ó { sin z/z, z 0 f(z) = 1, z = 0 ÓÒ Ó ÓÒ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ñ Ö Ø ØØÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÔÓØ Ò Ö ÓÒ ÔØ Ú ÑÝ ÓÑÔÐ ÐÙ ÐÐ Ð Ö ÚÓ Ò x Ò Ø Ð ÐÐ Ö Ó ØØ z C Ñ Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(z) = 1/(1 + z 2 ) ÖØ ÐÑ f(z) = ( 1) k z 2k ÓÒ ÔØ Ú ÙÒ z < 1 ÙÔÔ Ò Ñ ρ = 1µ ÃÙÒ Ñ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ Ú ÖÖ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÓÒ e z2 Ò Ò Ú Ø Ò ØØ Ö¹ Ð ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓ ÐÐ ÑÓÐ ÑÑ Ø ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ð Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÙÚ ¹ Ø Ò ÓÚ Ø Ñ Ð Ó Ñ ÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ø Ô Ø x 0 = 0 ÓÚ Ø Ù Ø Ò Ò ÝÚ Ò Ö Ð Ø ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = 1/(1 + x 2 ) Ö ÙÔÔ Ò Ú Ò ÚÐ ÐÐ ( 1, 1) ÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ f(x) = e x2 Ö ÙÔÔ Ò ÐÐ Ì Ò ÐÑÒ ÚÓ Ò ÓÑÔÐ Ò Ð ØÝ Ò ÙÒ Ø ÓÐÐ 1/(1 + x 2 ) ÓÒ ³ÐÙÙÖ Ò Ó¹ Ô Ò³ ÐÐ ÓÑÔÐ ÙÒ Ø ÓÒ 1/(1 + z 2 ) ÐÐ ÓÒ Ò Ò Ô Ò Ð ÔÓÐ µ Ô Ø i i ÙÒ Ø ÓÒ e x2 ÓÑÔÐ Ò Ò Ú Ø Ò e z2 Ò Ò ÓÒ Ó Ó¹ Ò Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ð ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÑÝ ÓÑÔÐ ÙÒ Ø ÓÒ ÅÝ Ñ Ö Ò ½ ÙÒ Ø Ó Ô Ð Ø Ô Ö ÑÑ Ò ØÓ ÐÐ Ò ÐÙÓÒØ Ò ÙÒ ÑÙÙØØÙ Ø ØÒ ÓÑÔÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f(z) = e 1/z2, z C, z 0 ÓÐ ÓÖ ÓÒ ÝÑÔÖ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÐÐ f(iy) = e 1/y2 ÙÒ y 0 Ø ØÒ ÙÒ ÐÓÔÙ ÙÒ Ø ÓØ ÓÖ Ò Ú ØØÑ Ó Ý Ø Ò ÐÝÝØØ Ýݹ Ò ØØ Ò ÔÓØ Ò Ö ÓÒ Î ØØÑ ØÓ Ø Ø µ ¼

ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ø Ä Ù ÎÁÁ ÂÓ G C ÓÒ ÚÓ Ò ÓÙ Ó Ò Ò ÓÑÔÐ ÙÒ Ø Ó f ÓÒ Ò ¹ ÐÝÝØØ Ò Ò ÓÙ Ó G Ø ÑÐÐ Ò ÙÒ Ó Ò Ô Ø Ò z 0 G Ó ÐÐ ÝÑÔÖ Ø U δ (z 0 ) = {z C z z 0 < δ} ÓÐÐ ÔØ U δ (z 0 ) G f(z) ÓÒ Ø ØØÚ ÙÔÔ Ò Ú Ò ÔÓØ Ò Ö Ò f(z) = a k (z z 0 ) k = f (k) (z 0 ) k! (z z 0 ) k, z U δ (z 0 ) G. Ñ Ö Ø Óµ Ñ Ö Ò ÙÒ Ø Ó f ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÓÙ Ó G = {z C z ±i }. ÂÓ z 0 = 0 Ò Ò U δ (z 0 ) G Ø ÑÐÐ Ò ÙÒ δ < 1 ÙÒ Ø ÓÒ f ÔÓØ Ò Ö ÓÖ Ó ÑÝ ÙÔÔ Ò Ó ØÐÐ ÓÖ ÓÒ ÝÑÔÖ Ø ÙØ Ò Ä Ù ÎÁÁ Ú ØØ À ÊÂÇÁÌÍËÌ ÀÌ ÎÁ ½ Å ÓÒ Ö Ò ÙÑÑ µ 1 + 4 + 16 2! + 64 3! + 256 +... µ 1 + 4 4! 3! + 16 5! + 64 7! +... ¾ Ø ÙÖ Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ø Ô Ø x 0 = 0 µ e 3x+1 µ cos(2x 3 ) µ sin(x π 4 ) µ cos(2x π) µ x2 sin 3x µ sin x cosx µ (1 + x 3 )/(1 + x 2 ) µ ln(2 + x 2 ) µ x 2 ln(1 + x) ÅÖ Ø ÙÖ Ú Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö ÒÒ ØÙ Ô Ø Ö¹ Ò ÙÔÔ Ò Ñ ÚÐ µ e 2x, x 0 = 1 µ sin x, x 0 = π 2 µ ln x, x 0 = 1 µ cosx, x 0 = π µ cos 2 x, x 0 = π 8 µ x/(4 + x), x 0 = 3 ÇÐ ÓÓÒ 2 cosx 2, ÙÒ x 0 f(x) = x 2 1, ÙÒ x = 0 Ä f (0) f (0) µ ÙÓÖ Ò Ö Ú Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø µ f Ò Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ò ÚÙÐÐ ½

ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ø Ë ÙÖ Ú Ø ÙÒ Ø ÓØ f ÑÖ Ø ÐÐÒ Ù Ò Ø ÙÚ Ô Ø x = 0 ÓÐÐÓ Ò ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø Ø Ô Ø Ó Ó R µ Ñ Ð Ú ÐØ Ò ÑÓÒØ ÖØ Ö ÚÓ ØÙÚ ÅÖ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ì ÝÐÓÖ Ò Ö Ø Ô Ø x 0 = 0 ÒÒ ÚÙÐÐ f(0) f (0) f (0) Ë ÐÚ Ø ÑÝ Ô Ø Ò x = 0 Ð ØÙ ÑÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ô ÐÐ Ò Ö ÖÚÓ Ó Ø Ò Ì ØÒ ØØ µ ex 1 µ e 2x 1 + 2x 2x 2 µ sinh x x x x 3 x 3 ln(1 + x) sin x µ µ e2x 4e x 6x + 3 x 2 x 2 a k (z + i) k = z cos z, z C. Ä Ö Ò ÖØÓ Ñ Ø a 0 a 1 a 2 ÃÓÑÔÐ Ò Ò ÔÓØ Ò Ö a kz k ÙÔÔ Ò ÓÖ ÓÒ Ð ÐÐ Ö Ò ÙÑÑ ÓÒ a k z k 1 = z 2 + (1 + i)z + 2 + 2i. Å ÓÒ Ö Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ñ Ø ÓÚ Ø ÖØÓ Ñ Ò a 0 a 1 ÖÚÓØ ¾

ÎÁÁ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÎÁÁ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì Ú ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ ¹ ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó ÓÒ Ð Ø ØÙ Ò ØØ ÙÒ Ø Ó Ø f ØÙÒ¹ Ò Ø Ò Ú Ò Ö ÐÐ Ò Ò ÑÖ Ô Ø ÖÚÓ f(x i ) = f i, i = 0,...,n. ÆÒ Ø ØÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÐÙØ Ò ØØ f ÐÑÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÑÙÙ ÐÐ ¹ Ò Ù Ò Ô Ø x i Ñ ÓÐÐÒ ÚÐ ÐÐ ³ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó³ ÓÒ Ý Ö ØÝ Ø ÐÐÓ Ò ÙÒ f(x) ÐÙØ Ò Ð ³ÚÐ Ô Ø ³ x [min{x i }, max{x i }] ÑÙÙ Ø Ô Ù Ð ÙÒ x < min{x i } Ø x > max{x i }µ ÒÓØ Ò ØØ Ý ÓÒ ØÖ ÔÓÐ Ø Ó ÒÒ ØÙØ ØÓØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ñ Ñ Ø ØØÙ ³ Ø ³ ÌÓ Ò Ò ÝÐ Ò Ò ÓÚ ÐÐÙ Ø Ð ÒÒ ÓÒ ÐÐ Ò Ò Ó ÙÒ Ø Ó f ØÙÒÒ Ø Ò Ô ÙÓÖ Ø Ñ Ö Ò¹ ØÐ Ý ØÐ Ò Ö Ø ÙÒ ÐÙØ Ò Ð ÖÚÓØ f i Ú Ð ØÙ Ô Ø x i ÌÐÐ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ¹ ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó Ø ÓÒ Ý ØÝ Ø Ð ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ ÙÒ Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó ÓÒ ÝÐ Ò Ô ÖÙ ÓÐ ØÙ Ò Ø ÒÒ ØÓ ¹ ÚÓÑÙ Ò µ ØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ö ØØÚÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÓÐÐÓ Ò Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò Ô ¹ ÖÙ Ø ÐÐ Ø ØÒ ØØ ÙÒ Ø ÓØ ÚÓ ÒÒ ÐÝ Ý ÐÐ ÚÐ Ðе ÔÔÖÓ ÑÓ ÝÚ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ Ò Ñ ØØ Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ ÃÓ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓ¹ Ñ ÝÑ ØÓ Ø ÚÓ ÙÓÖ Ò ÑÖØ ÓÒ ÐÙÓÒØ Ú Ú Ð Ø ÔÔÖÓ ÑÓ Ú ÔÓÐÝÒÓÑ p ÐÐ Ò Ò Ó ÑÓÐÐ ÑÑ Ò ÝÚ Ò ÓÔ ÒÒ ØØÙÒ Ø ØÓÒ Ð ØÓØ ÙØØ p(x i ) = f(x i ), i = 0...n. ½µ ÃÓ Ø ÓÒ ØÓ n+1 ÔÐ ÓÒ ÐÐ Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ú Ð Ø p Ò Ø ÐÙÚÙ n ÓÐÐÓ Ò p ÓÒ Ú Ô Ø ÖØÓ Ñ ÑÝ Ò n+1 ÔÐ Æ Ò ÑÖ Ø ÐØÝ ÔÓÐÝÒÓÑ p ÒÓØ Ò f Ò Ä Ö Ò Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ô Ø x i È Ø Ø x i ¹ ÒÓØ Ò Ø Ý Ø Ý ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔ Ø ØÓ ½µ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÓ ÆÑ ÓØ ØÓ ÐÐ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ý ØØ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ø ØØ n ÈÖÓÔÓ Ø Ó ÎÁÁ ½ Ä Ö Ò Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò ÌÓ ØÙ ÓØ ½µ ØÓØ ÙØØ Ú Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÐ Ñ ÓÐÓ ÙÖ Ð¹ ÑÔÒ Ø ØØÚ Ø Ð ÙÚ Ø ¾µ ÓØ Ò Ö ØØ ÒÝØØ Ý ØØ ÝÝ ÇÐ ÓÓØ p 1 p 2 ÑÓÐ ÑÑ Ø ÓØ ½µ ØÝØØÚ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ØØ n ÌÐÐ Ò q(x) = p 1 (x) p 2 (x) ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÒØÒ Ø ØØ n ÔØ q(x i ) = 0, i = 0,...,n, Ð q ÐÐ ÓÒ n + 1 ÖÐ Ø ÒÓÐÐ Ó Ø ÐÖ Ò Ô ÖÙ Ð Ù Ò ÑÙÒ ÓÒ ØÐÐ Ò ÓÐØ Ú q = 0 Ë p 1 = p 2 Ð ÓØ ½µ ØÝØØÚ ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò

ÎÁÁ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ä Ö Ò Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓÚ ÖÐÐ ÔØ ÙÖ Ú ØÙÐÓ Ó ÑÙ ØÙØØ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ú Ö Ú Ä Ù ÎÁÁ µ ÂÐ ÑÔÒ Ò Ò Ò ØØ ÒÑ ØÙÐÓ Ø ÓÚ Ø Ö Ó Ø Ô Ù ÝÐ ÑÑ Ø ÒØ Ö¹ ÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ú Ö Ú Ø Ä Ù ÎÁÁ µ Â Ø Ó ÒÓØ Ò Ö ÐÐ Ò Ô Ø Ø Ò X Ú Ö ØØÑ ÚÐ ÙÐ ØØÙ ÚÐ [a, b] Ñ a = min{x x X} b = max{x x X} Ä Ù ÎÁÁ ¾ ÇÐ ÓÓÒ f n + 1 ÖØ Ö ÚÓ ØÙÚ ÚÓ Ñ ÐÐ ÚÐ ÐÐ A [a, b] Ñ [a, b] ÓÒ Ô Ø Ò x Ö ÐÐ Ø Ò Ô Ø Ò x 0,...,x n Ú Ö ØØÑ ÚÐ ÌÐÐ Ò Ó p ÓÒ f Ò Ä Ö Ò Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ô Ø x 0,...,x n Ò Ò ÓÐÐÒ ξ (a, b) ÔØ Ú Ö Ú f(x) p(x) = 1 (n + 1)! f(n+1) (ξ) n (x x i ). ÌÓ ØÙ Ô ÖÙ ØÙÙ Ñ Ò Ò Ù Ò Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò ³ÐÝ Ý Ò Ú Ò³ ÑÙ¹ Ò Ò ØÓ ØÙ ÄÙÚÙ ÎÁÁ Ò ÒÒ Ò Ó x {x 0,...,x n } ÓÒ Ú ØØÑ ØÓ Ó ÐÐ ξ (a, b) ÓØ Ò ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ x / {x 0,..., x n } Å Ö ØÒ i=0 w(t) = n (t x i ) i=0 ØÙØ Ø Ò ÙÒ Ø ÓØ g(t) = f(t) p(t) Hw(t), H = [f(x) p(x)]/w(x). ÙÒ Ø ÓÒ g ÒÓÐÐ Ó Ø ÓÚ Ø ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ Ô Ø Ø x 0,..., x n Ð Ô Ø x ÃÓ ÒÓÐÐ Ó Ø ÚÐ ÐÐ [a, b] ÓÒ ÒÒ n + 2 ÔÐ Ó ÒÒ ÚÐ ÓÒ Ò Ö Ú Ø Ò ÒÓÐÐ Ó Ø ÓÒ g (t) ÐÐ ÒÒ n+1 ÒÓÐÐ Ó Ø ÚÓ Ñ ÐÐ ÚÐ ÐÐ (a, b) ÌÐÐ Ò g ÐÐ ÓÒ ÒÒ n ÒÓÐÐ Ó Ø ØÐÐ ÚÐ ÐÐ ÐÓÔÙÐØ g (n+1) ÐÐ ÒÒ Ý ÒÓÐÐ Ó Ø ξ (a, b) ÅÙØØ ØÐÐ Ò 0 = g (n+1) (ξ) = f (n+1) (ξ) p (n+1) (ξ) Hw (n+1) (ξ) = f (n+1) (ξ) H(n + 1)! H = f(x) p(x) w(x) = 1 (n + 1)! f(n+1) (ξ) ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔ ÖØØ Ø ÓÒ Ø ÐÙ ÙÙÒ n = 1 Ô ÖÙ ØÙÚ Ð ÒÖ Ò Ò ÒØ ÖÔÓ¹ Ð Ø Ó Ý Ò ÖØ ÙÙØ Ò ÚÙÓ ÝÚ Ò ÝÐ Ø ÝØ ØØÝ Ñ Ö ÝÖÒ y = f(x) ÔÔÖÓ ÑÓ ÒØ Ô Ø Ò (x i, f(x i )) ÙØØ ÙÐ Ú ÐÐ ÑÙÖØÓÚ Ú ÐÐ

ÎÁÁ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ú Ô Ö ÒÔ ØÙÙ Ò ÑÖÑ Ø Ö Ó ØÙ µ Ø Ö Ó ØØ f Ò Ô ÐÓ ØØ Ò Ð ¹ ÒÖ Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓØ y y = f(x) y = f(x) x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x Ä ÒÖ Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ú Ö ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ ÚÐ ÐÐ [x 0, x 1 ] ÓÒ Ä Ù Ò ÎÁÁ ¾ ÑÙÒ Ò ÒØÒ max f(x) p(x) = max 1 x [x 0,x 1 ] x [x 0,x 1 ] 2 (x x 0)(x x 1 )f (ξ) 1 8 (x 1 x 0 ) 2 max x [x 0,x 1 ] f (x). ÂÓ ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ Ø Ô ØÙÙ Ô ÐÓ ØØ Ò ÚÐ ÐÐ [a, b] ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ Ô Ø Ò ÚÐ ÓÒ Ò ÒØÒ h Ò Ò Ó ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓÒ Ñ Ñ Ú Ö ÓÒ Ò ÒØÒ max f(x) f(x) 1 x [a,b] 8 h2 max f (x). x [a,b] ÌÑ ÖÚ Ó ÓÐ Ô Ö ÒÒ ØØ Ú ÐÐ Ó f ÓÒ ØÓ Ò Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÐÐÓ Ò f (x) = ÚÓµ ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ Ô Ø Ø ÓÚ Ø Ø ÚÐ Ø Ò Ò Ä Ù Ò ÎÁÁ ¾ Ú Ö¹ Ú Ò ÑÙÒ Ú ÖÖÚ ÓÒ ÝÐÖ ØÓØ ØÙÙ Ô Ö Ø Ò ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ Ô Ø Ò ÔÙÓÐ ÚÐ ÂÓ Ú Ö ØØ ØÓ Ò Ø Òµ ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó Ô Ø Ø x 0, x 1, x 2 ÓÚ Ø Ø ¹ ÚÐ Ò ÚÐ = h Ò Ò max (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ) = max x (h 2 x 2 ) = 2 x [x 0,x 2 ] x [ h,h] 3 3 h3, ÓØ Ò Ú Ö ØØ Ò Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÚ Ö ÓÒ Ø ÚÐ Ø Ò ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ Ô Ø Ò Ú ¹ Ö ØØÑÐÐ ÚÐ ÐÐ Ò ÒØÒ 1 max f(x) p(x) x [x 0,x 2 ] 9 3 h3 max f (x), (h = x 1 x 0 = x 2 x 1 ). x [x 0,x 2 ]

ÎÁÁ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ñ Ö ½ ÎÐ ÐÐ (0, ) ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Ó F ØÓØ ÙØØ ÓØ F (x) = e x x, x > 0, lim F(x) = 0. x À ÐÙØ Ò ÑÖ ØØ F Ò ÖÚÓØ ÐÑÖ Ò ÚÐ ÐÐ [1, 2] Ð Ñ ÐÐ Ò Ò F Ô Ø x i = 1 + (i 1)h, i = 0...n, h = 1/n ÓÐ Ø Ø Ø Ò ØØ ØÑ ÓÒÒ ØÙÙ ÝÚ Ò Ø Ö Ø µ ÝØØÑÐÐ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓØ ÑÙ Ô Ø ÃÙ Ò ÙÙÖ ÓÒ n Ò ÓÐØ Ú Ó ÝØ ØÒ µ Ð ÒÖ Ø µ Ú Ö ØØ Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓØ ÐÙØ Ò ØØ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÚ Ö ÓÒ Ò ÒØÒ 5 10 9 Ê Ø Ù ÃÓ F (x) = e x /x, x > 0 Ò Ò F (x) = e x ( 1 x + 1 x 2 ) F (x) 2/e, x [1, 2], F (x) = e x ( 1 x + 2 x 2 + 2 x 3 ) F (x) 5/e, x [1, 2]. Æ Ò ÓÐÐ Ò Ö ØØ Ú Ð Ø N = n + 1 Ø Ò ØØ ÔØ µ µ 1 8 2 ( 1 e 1 9 3 5 e N 1 ( 1 N 1 ) 2 5 10 9 N 11075 ) 3 5 10 9 N 288 Ä Ö Ò Ò ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÃÓÖÑÔ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ ¹ ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó ÓÒ Ù Ò Ý ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÚ ØÙ ¹ Ø Ô Ø Ò (x i, f ( x i )) ÓÐÐÓ Ò ÖÚÓØ f(x i ) ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ñ Ö Ñ Ø ØØÙ ÃØØÝÒ ÒÙÑ Ö Ò ÝÑ ÓÐ Ò Ò ÐÝÝ Ò ÓÐÑ ØÓ ÓÒ Ø Ò Ø Ø¹ ÚÒ ÓÑ Ø ÓÑ ÒØÓÒ Ñ Å Ø Ñ Ø Ø Å ØÐ ÈÓÐÝ Øµ Ã Ò Ð ¹ ØØ Ø ÐÙØØ ØÙØ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÓÖ ØØ ¹ ÐØ ÒÒ ÐØ ÚÓ Ò ÝØØ ØÝ ÑÙÓØÓ p(x) = n f(x i )L i (x), i=0 ¾µ Ñ Ò Ä Ö Ò Òµ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø L i (x) Ø ØØ nµ ÑÖÝØÝÚØ ÒØ ÖÔÓÐ ¹ Ø ÓÓ Ø { 1, ÙÒ j = i L i (x j ) = µ 0, ÙÒ j i (j {0,..., n}) ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ò Ñ ÐØÒ ÔÓÒ ÒØÐ ¹ ÒØ Ö Ð ÙÒ Ø Ó

ÎÁÁ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ø À ÐÔÓ Ø ÓÒ Ø Ö Ø ØØ Ú ØØ ÒÑ ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÒ ÚÖØ ÙÚ Óµ L i (x) = (x x 0) (x x i 1 )(x x i+1 ) (x x n ) (x i x 0 ) (x i x i 1 )(x i x i+1 ) (x i x n ) = j i (x x j) j i (x i x j ). y ½ y = L i (x) x 0 x i x n x Ó Ø µ Ò Ò ÑÝ ÚÐ ØØ Ñ Ø ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ ¾µ ØÝØØ Ø ØÙØ Ò¹ Ø ÖÔÓÐ Ø ÓÓØ ½µ Ä Ö Ò Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó¹ÓÒ ÐÑ Ò Ö ØÚÙÙ ÓÒ Ò Ò ØÙÐÐÙØ ØÓ ØÙ Ñ Ö ¾ ËÒÒ ÐÐ Ø ÙÒ Ø Ó Ø Ø ØÒ Ñ ØØ Ù ØÙÐÓ Ò ÖÚ Ó f(0) f(0.3) = 1.5166, f(0.2) = 1.4832, f(0.1) = 1.4491. Ê Ø Ù ËÓÚ Ø Ø Ò Ñ ØØ Ù ØÙÐÓ Ò ØÓ Ò Ø Ò Ä Ö Ò Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓ¹ ÐÝÒÓÑ ÖÚ Ó Ò f(0) p(0) Ì ÓÒ {x 0, x 1, x 2 } = {0.1, 0.2, 0.3} ÓØ Ò (0 0.2) (0 0.3) p(0) = 1.4491 (0.1 0.2) (0.1 0.3) (0 0.1) (0 0.3) + 1.4832 (0.2 0.1) (0.2 0.3) (0 0.1) (0 0.2) + 1.5166 (0.3 0.1) (0.3 0.2) = 3 1.4491 3 1.4832 + 1 1.5166 = 1.4143. Ì ³Ñ ØØ Ù ØÙÐÓ Ø³ ÓÒ Ø ØÙ ÙÒ Ø Ó Ø f(x) = 2 + x ÓÐÐ f(0) = 1.4142

ÎÁÁ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ã ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ØÝ ÑÙÓØÓ ¾µ ÓÒ Ö ØÝ Ò Ø Ú ÐÐÓ Ò ÙÒ ÐÙØ Ò ÖÚ Ó Ñ ØØ Ù Ú Ö Ò ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ ØÙÐÓ Ò Æ Ñ ØØ Ò Ó Ú Öй Ð Ø Ò Ñ ØØ Ù ØÙÐÓ Ø Ò f(x i ) = f i Ó ØÙÐÓ = f i µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ð Ø Ò ÒØ Ö¹ ÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ p Ò Ò Ú Ò ¾µ ÑÙÒ p(x) p(x) = n (f i f i )L i (x). i=0 ÂÓ Ö ØÝ Ø Ø ØÒ ØØ f i f i δ, i = 0,...n Ò Ò p(x) p(x) δ n L i (x) = δk(x). i=0 Ì ÑÖ Ø ÐØÝ Ú ÖÒ Ú Ú ØÙ ÖÖÓ Ò K(x) ÖØÓÓ Ù Ò Ô Ð ÓÒ Ø ¹ ÖÚÓÐØ Ò Ò ÒØÒ Ø ØÝÒ ÙÙÖ٠ص Ñ ØØ Ù Ú ÖØ ÚÓ Ú Ø ÔÑÑ ÐÐ Ò Ú Ú ¹ ØÙ Ô Ø x Ñ Ö ¾ Ø Óµ ÂÓ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ ÒÒ ØØÙ Ò Ñ ØØ Ù ØÙÐÓ Ø Ò Ú ÖØ ÓÚ Ø Ò ÒØÒ 10 4 Ø ÖÚÓÐØ Ò Ò Ò Ú Ö Ò ÚÙØÙ Ô Ø x = 0 ÓÒ Ò ÒØÒ p(0) p(0) 10 4 (3 + 3 + 1) = 7 10 4. Î ÖÒ ÚÙØÙ Ô Ø x = 0 ÚÓ ÔÑÑ Ø Ô Ù ÓÐÐ 7¹ ÖØ Ò Ò Ñ ØØ Ù Ú Ö Ò Ú ÖÖ ØØÙÒ ØÖ ÔÓÐ Ø Ó Ñ Ö ¾ ÙÒ Ø ÓØ ÔÔÖÓ ÑÓ Ø Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔ Ø Ò Ú Ö ØØÑÒ ÚÐ Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ ÓÐÐÓ Ò ÒÓØ Ò ØØ Ý ÓÒ ØÖ ÔÓÐ Ø Ó Ø ØÖ ÔÓÐ Ø Ó ÓÒ Ú Ò Ø Ò ÝÚ Ò ÙÓ ØØÙ Ñ Ð Ó ÝÐ ÔØ Ú Ø Ô Ô Ö ÒØ ÒÙÑ Ö Ø Ò Ð Ù¹ Ò Ø Ö ÙÙØØ ØÖ ÔÓÐ Ø ÓØ ÚÓ Ò ÝØØ Ò ÙÒ Ð ØØ Ú Ò ÙÙÖ Ò ÚÓ Ò ÓØ Ù Ö ÔÔÙÚ ÒÒ ÐÐ ÐÐ Ð Ð Ðе Ø Ú ÐÐ Ó ØÒ Ð ÒØ Ò Ð ØØÝÚ Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÇÐ ÓÓÒ Ñ Ö Ð ØØ Ú ÙÙÖ ÖÐ ÐÙ Ù a Ó ÑÖÝØÝÝ Ö¹ ÖÚÓÒ a = lim h 0 + f(h), Ñ ÓÒ Ò f(h) h > 0 ÓÒ Ð ØØ Ú ÑÙØØ Ð ÒØ ØÙÐ Ý ØÝ Ðѹ Ñ h Ò Ô Ò Ø ÂÓ ÒÝØ ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ ÙÒ Ø Ó f(x) ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÓÐÐÒ ÚÐ ÐÐ [0, a] a > 0 ÚÓ Ò ÒÙÑ Ö Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò ÒØ Ñ ÔÔÖÓ Ñ ¹ Ø Ó Ø a a n = f(x n ), n = 1, 2,... (x n 0 + )

ÎÁÁ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ô Ö ÒØ ØÖ ÔÓÐ Ø ÓÐÐ Æ Ò ÝÒØÝÝ Ò ØÖ ÔÓÐ Ø ÓØ ÙÐÙ Ó Ó Ð Ø¹ ØÙÒ ØÙÐÓ Ò ÓÚ Ø Ø Ò Ý ÓÖÑÔ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ p(x) ÖÚ Ó Ò ÙÒ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÚÙÐÐ a p(0) Ø = 0 Ø = 1 Ø = 2 Ø = 3 x 1 f(x 1 ) x 2 f(x 2 ) p (1,2) (0) x 3 f(x 3 ) p (2,3) (0) p (1,3) (0) x 4 f(x 4 ) p (3,4) (0) p (2,4) (0) p (1,4) (0) Ì p (i,j) (x) Ø Ö Ó ØØ Ô Ø Ò x i...x j ÓÚ Ø ØØÙ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ç Ó ØØ ÙØÙÙ ØØ Ø ÙÐÙ ÓÒ Ö Ø ÑÖÝØÝÚØ Ô Ð ÙØÙÚ Ø ÐÐ Ò Ö ¹ Ò ÚÙÐÐ Æ Ñ ØØ Ò p (i,j) (x) = (x j x)p (i,j 1) (x) + (x x i )p (i+1,j) (x) x j x i µ ÌÑ Ô Ð ÙØÙ Ú ÓÒ ÚÓ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò Ù Ø ÓÐÐ À Ö Ø Ø µ ÐÔÓØØ Ø ÙÐÙ ÓÒ ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ø ÙÓÑ ØØ Ú Ø Ë ÙÖ Ú Ñ Ö Ú Ò µ Ô ¹ ÖÙ ØÙÚ Ø ³Ð Ñ Ò Ø Ø Ø ³ Ñ Ö ÅÖ Ø ÐÐÒ φ(n) = n!/( 2πne n n n ) ØÖ ÔÓÐÓ φ(100) ÖÚÓ ¹ Ø φ(n) n = 5...10 ÙÒ Ø ØÒ ØØ φ(n) = f(1/n) Ñ f ÓÒ Ð ÙÒ Ø Ó ÚÐ ÐÐ [0, 1] Ê Ø Ù ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò ØÖ ÔÓÐ Ø ÓØ ÙÐÙ Ó x i f(x i ) Ø = 1 Ø = 2 Ø = 3 1/5 1.0167... 1/6 1.0139... 1.00076... 1/7 1.0119... 1.00078... 1.000823... 1/8 1.0104... 1.00079... 1.000827... 1.000833565... 1/9 1.0092... 1.00080... 1.000830... 1.000833632... 1/10 1.0083... 1.00081... 1.000831... 1.000833658... Ã Ú Ò µ Ô ÖÙ ØÙÚ ØÖ ÔÓÐ Ø ÓØ ÙÐÙ Ó ÒÓØ Ò Æ Ú ÐÐ Ò Ú Ó ÒÒ Ò Ø ØÓ¹ ÓÒ Ò ØÐÐ ÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ ÒÒ ÐÐ ÓÐ ÙÓÑ ØØ Ú ÝØÒÒ Ò Ñ Ö ØÝ Ó Ò ÐÔÓØØ Ú Ø ÒÐ Ù

ÎÁÁ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ø = 3 Ø = 4 Ø = 5 1.000833565... 1.000833632... 1.000833708... 1.000833658... 1.000833693... 1.000833679... Ë φ(100) 1.000833679 Ç ÖÚÓ ÓÒ ÓÒ 1.0008336778..µ Ñ Ö ÓÐ ÒÒ Ø ÓÐ Ø ØÓ ØØ ÚÓ Ò Ö Ó Ø φ(n) = f(1/n) Ñ f ÓÒ ÓÖ ÓÒ Ð ÐÐ ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÖÐ ÙÒ Ø Ó ØÖ ÔÓÐÓ Ø ÓÒ Ó ØØ Ú Ú Ð Ø Ó ÑÙÙØØÙ Ð Ø ØØÝ ÔÓÐÝÒÓÑ ¹ ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó ÂÓ p ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ØØ n ØÓØ ÙØØ ÓØ p (k) (x i ) = f (k) (x i ), k = 0...ν i 1, i = 1...m, m Ñ ν i N & ν i = n + 1, i=1 µ Ò Ò ÒÓØ Ò ØØ p ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ f ÝÐ Ø ØØÝ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ô Ø x i ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ m ÚÓ ÝÐ Ø ØÝ ÔÓÐÝÒÓÑ ¹ ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó Ø ØØ n ÓÐÐ Ñ ØÒ ÚÐ ÐÐ 1 m n + 1 Ì Ô Ù m = n + 1 ÓÒ ØÓ Ò µ ÑÙÒ ÓÐØ Ú ν i = 1 i ÓÐÐÓ Ò Ý ÓÒ Ø Ú ÐÐ Ò Ò Ä Ö Ò Ò Ò¹ Ø ÖÔÓÐ Ø Ó ÌÓ Ö Ô m = 1µ ÓÒ Ø ÓÐØ Ú ν 1 = n+1 ÓÐÐÓ Ò p = f Ò Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ T n (x, x 1 ) ÈÖÓÔÓ Ø Ó ÎÁÁ ÂÓ p ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ØØ n Ò Ò p ÑÖÝØÝÝ Ó Ø µ Ý ØØ Ø ÌÓ ØÙ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó¹ÓÒ ÐÑ Ò µ Ö ØÚÙÙ ÚÓ Ò ØÓ Ø Ñ Ò Ø Ô Ò Ù Ò Ä Ö Ò Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ø Ô Ù À Ö Ø Ø ½¾ ØØ ÝÝ Ò ØÓØ Ñ Ö ØØ Ó Ó ØØ ØØ Ó f (k) (x i ) = 0 i, k Ò Ò ÓÒ ÓÐØ Ú p = 0 ÚÖØ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÎÁÁ ½ ØÓ ØÙ µ Ì Ø Ô Ù ÓÒ x i ÔÓÐÝÒÓÑ Ò p ν i ¹ ÖØ Ò Ò ÙÙÖ ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó ØÓ Ò µ ÑÙÒ ÓØ Ò ÓÒ ÓÐØ Ú p(x) = q(x) m (x x i ) ν i = q(x) w(x), i=1 Ñ q ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ ÅÙØØ p ÓÒ Ø ØØ n ØÓ Ò µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ w ÓÒ Ø ØØ n + 1 ÓØ Ò ÒÓ ÑÓÐÐ ÙÙ ÓÒ q = 0 ÓÐÐÓ Ò ÑÝ p = 0 ¼

ÎÁÁ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ë ÙÖ Ú ÝÐ Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÔÔÖÓ Ñ Ø ÓØÙÐÓ ÓÒ ØÝ ÐÐ Ø ØÓ ØÙ Ø Ø Ø ÐØ Ö Ó Ø Ô Ù Ò Ä Ù Ò ÎÁÁ ¾ ØØ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ò ÎÁÁ Ä Ù ÎÁÁ Í Ò Ô Ø Ò Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù µ ÇÐ ÓÓÒ f n + 1 ÖØ ¹ Ö ÚÓ ØÙÚ ÚÓ Ñ ÐÐ ÚÐ ÐÐ A [a, b] Ñ [a, b] ÓÒ Ô Ø Ò x Ö ÐÐ Ø Ò Ô Ø ¹ Ò x 0,...,x m Ú Ö ØØÑ ÚÐ ÌÐÐ Ò Ó p ÓÒ Ó ÐÐ µ ÑÖ Ø ÐØÝ ÝÐ Ø ØØÝ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ø ØØ n Ò Ò ÓÐÐÒ ξ (a, b) ÔØ Ú Ö Ú f(x) p(x) = 1 (n + 1)! f(n+1) (ξ) m (x x i ) ν i = i=1 1 (n + 1)! f(n+1) (ξ) w(x). ÌÓ ØÙ µ ÂÓ x {x 1,..., x m } ÓÒ Ú Ø ØÓ ξ ÇÐ ÓÓÒ x x i i ÓØ Ø Ò Ø Ö Ø ÐÙÒ Ó Ø ÙÒ Ø Ó g(t) = f(t) p(t) Hw(t), H = [f(x) p(x)]/w(x). ÃÓ w (n+1) (t) = (n + 1)! t Ò Ò Ú Ö Ú Ú ØØ ØØ g (n+1) (ξ) = 0 ÓÐÐÒ ξ (a, b) ÑÑ Ò ØÑ ÓÒ Ó Ó Ø ØØÙ Ø Ô Ù m = 1, ν 1 = n + 1 Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù µ m = n + 1, ν i = 1 Ä Ù ÎÁÁ ¾µ Ð ÑÑ Ò Ø Ô Ù ÓÒ ÔØØ ÐÝ Ú Ø Ú Ñ Ö ÓÐ ÓÓÒ ν i = 2, i = 1...m, m 2, n = 2m 1. ÌÐÐ Ò Ó g(x i ) = 0, i = 1...m g(x) = 0 ÓÒ Ô Ø Ò x x i, i = 1...m ÚÐ ÐÐ ÚÓ Ñ ÐÐ ÚÐ ÐÐ ÙÐÐÒ g Ò ÒÓÐÐ Ó Ø Ý Ø Ò m Ôе ÌÓ ÐØ ÓÒ ÑÝ g (x i ) = 0, i = 1...m ÓØ Ò g ÐÐ ÓÒ ÚÐ ÐÐ [a, b] ÒÒ 2m ÒÓÐÐ Ó Ø Ì Ø ÙÖ ØØ ÒÒ Ý Ô Ø ξ (a, b) ÓÒ g (2m) (ξ) = g (n+1) (ξ) = 0 Ð Ú Ø ÓÒ ØÓ ÓÐ Ø ØÙ Ø Ô Ù Ð Ò Ò Ø Ô Ù ÚÙÙØ Ø Òµ ÐÐ Ø Ö Ø ÐÐÙ Ø Ô Ù Ó ν i = 2, i = 1...m ÒÓØ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ p ÙÒ Ø ÓÒ f À ÖÑ Ø Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ô Ø x i Ñ Ö ½ Ø Óµ ÅÓÒØ Ó Ø ÚÐ Ø ÓÔ Ø ØØ x i Ø ÖÚ Ø Ò Ó Ô Ø Ò ÚÐ ÝØ ØÒ ÓÐÑ ÒÒ Ò Ø Ò À ÖÑ Ø Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓØ Ê Ø Ù Ä Ù Ò ÎÁÁ ÑÙÒ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÚ Ö ÚÐ ÐÐ [x i, x i+1 ] ÓÒ Ò ÒØÒ F(x) p(x) max x [x i,x i+1 ] = max x [0,h] 1 4! (x x i) 2 (x x i+1 ) 2 M 1 4! x2 (x h) 2 M = 1 384 Mh4, ½

ÎÁÁ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ó F (4) (ξ) M ÎÐ ÐÐ [1, 2] ÓÒ F (4) (x) 16/e ÓØ Ò Ú ØØÙÙÒ Ø Ö ÙÙØ Ò Ö ØØ 1 384 16 ( ) 4 1 e 5 10 9 N 51 N 1 À ÊÂÇÁÌÍËÌ ÀÌ ÎÁ ¾ ½ ÙÒ Ø Ó Ø f(x) Ø ØÒ f( 0.1) = 1.70 ± 0.05 f(0.2) = 1.80 ± 0.03 1 f (x) 0 ÚÐ ÐÐ [ 0.1, 0.2] ÅÖ Ø ÑÓÐÐ ÑÑ Ò ÚÐ ÓÐÐ f(0) Ú ÖÑ Ø Ø ¾ ÙÒ Ø ÓÒ e x ÖÚÓØ ÓÒ Ð ØØÙ Ú Ò Ñ Ö Ø ÚÒ ÒÙÑ ÖÓÒ Ø Ö ÙÙ ÐÐ ÒÓÖÑ Ð ÔÝ Ö ØÝ µ ÚÐ Ò [0, 2] Ô Ø x i = i/100, i = 0...200 ÖÚ Ó Ù Ò ÙÙÖ ÓÒ Ò Ø ÖÚÓ Ø Ð ØÙÒ µ Ð ÒÖ Ò µ Ú Ö ØØ Ò Ò¹ Ø ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ú Ö Ò ÒØÒ ÚÐ ÐÐ [0, 2] ÖÚ Ó Ö Ò ÔÝ Ö ØÝ Ú Ö Ò ÚÙØÙ Ö Ø ÚÐ ÐÐ (0, ) ÑÖ Ø ÐÐÝ Ø ÒÒ ÐÐ Ø ÙÒ Ø Ó Ø F Ø ØÒ ØØ F ÚÙØØ ÓÐÙÙØØ Ò Ñ Ò Ñ ÖÚÓÒ ÚÐ ÐÐ [1, 2] Ì ØÒ Ð ¹ ØØ F(0.5) = π F(1) = 1 F(1.5) = π/2 F(2) = 1 Ä F Ò Ñ Ò Ñ ÓÐÐ ¹ ÖÚÓÐÐ Ð ÖÚÓ ÝØØ Ò µ Ú Ö ØØ Ø ÒØ ÖÔÓ¹ Ð Ø ÓØ Ô Ø {0.5, 1, 1.5} µ Ú ÖØØ Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓØ Ô Ø {1, 1.5, 2} µ ÓÐÑ ÒÒ Ò Ø Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓØ Ò Ð Ô Ø È Ö Ñ ØÖ Ø ÝÖ r = u(t) = x(t) i + y(t) j, t [a, b] ÔÔÖÓ ÑÓ ¹ Ò Ô Ø Ò (x(t i ), y(t i )), i = 0...n ÙØØ ÙÐ Ú ÐÐ ÑÙÖØÓÚ Ú ÐÐ r = v(t) = ˆx(t) i + ŷ(t) j (a = t 0 < t 1 < < t n = b) ÂÓ x(t) y(t) ÓÚ Ø ÚÐ ÐÐ [a, b] Ø Ø ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ x (t) M y (t) M t i t i 1 h Ò Ò Ù Ò ÙÙÖ ÓÒ Ò ÒØÒ δ h = max t [a,b] u(t) v(t) Î ÖØ ÖÚ ÓØ ØÓ ÐÐ ÙÙØ Ò Ø Ô Ù x(t) = R cost, y(t) = R sin t, t [0, π] À ÐÙÖ ÐÐ Ú ÖÙ Ø ØØÙ Ò ÐÐÓ ØØØ ÚÙÓÖÓ Ù 5 Ñ Ò 24 à ÐÐÓ ÖÙ Ø Ò ÖØÑÐÐ ÐÙÖ Ò Ô ÓÐ Ú ÖÙÙÚ ÒÒ 5 ØÝØØ ÖÖÓ Ø ÓÐÐÓ Ò ÐÙÖ Ò Ú Ö Ñ Ò ÐÝ Ò µ ÊÙÙ Ò ÐÒ Ú Ø Ò Ð¹ ÐÓÒ ØÚÒ 3 Ñ Ò 36 ÚÙÓÖÓ Ù µ Å Ø Ò ÐÐÓ ÓÒ ÙÖ Ú ÖÙ ØØ Ú µ ÖÚ Ó Ù Ò Ø Ö ÐÐÓÒ ÝÒØ ØÙÐ ¹ ÓÒ ÖÙÙ ¹ ÐÐ Ó ÐÐÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò Ò ØÑ ÓÒ ÐÑÖ Ò f(x) = (1 x 400 ) 1/2 1 Ñ x = ÖÙÙÚ Ò ÖØÝÑ ÖÖÓ Ò µ Ó Ø Ø ÒÒÓ Ø Ñ Ø ØØÙ¹ Ò

ÎÁÁ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÔÓÐÝÒÓÑ Ø ØÖ ÔÓÐÓ ÐÙÚÙ Ø 7!...10! Ö¹ ÖÚÓ a = lim n n!e n n n 1 2 Ú ÖØ Ø Ö Ò ÖÚÓÓÒ a = 1/ 2π ÚÖØ Ñ Ö µ ÙÒ Ø ÓÒ sin x cosx ÖÚÓØ ÐÙØ Ò ÑÖØ ÚÐ ÐÐ [0, π/4] Ø Ò ØØ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÚÓØ Ð Ø Ò Ò Ò Ö ØØÚÒ Ø Ö Ø Ó ÚÐ Ò Ø ÚÐ Ô Ø Ø Ò ÐÒ ÝØ ØÒ ÓÐÑ ÒÒ Ò Ø Ò À ÖÑ Ø Ò ÒØ ÖÔÓÐ ¹ Ø ÓØ Ô Ø Ò ÚÐ ÐÐ ÅÓÒØ Ó ÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ Ô Ø ØØ Ø ÖÚ Ø Ò Ó Ú ÖÒ ÐÐ Ø Ò ÓÐ Ú Ò Ò ÒØÒ 5 10 9 ÌÓ Ø Ä Ù ÎÁÁ Ø Ô Ù m = n = 3, ν 1 = ν 3 = 1, ν 2 = 2 µ ÌÓ Ø Ô Ð ÙØÙ Ú µ Ò Ù Ø ÓÐÐ ½¼ µ ÇÐ ÓÓØ x 0,..., x n Ö ÐÐ Ô Ø Ø ÓÐ ÓÓØ ÐÙÚÙØ y i R, i = 0...n ÒÒ ØØÙ À ÐÙØ Ò Ð ÝØ ÙÒ Ø Ó ÑÙÓØÓ n F(x) = c j e jx, c j R j=0 Ø Ò ØØ ÔØ F(x i ) = y i, i = 0...n ÆÝØ ØØ ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÓÒ Ý ¹ ØØ Ò Ò Ö Ø Ù ½½ µ ÄÙ Ù ÓÒÓ {a n } Ñ a n = n k=1 k 5/4, n = 1, 2,... ÙÔÔ Ò ÑÙع Ø Ò Ò Ø Ø ØØ Ö¹ ÖÚÓ ÚÓ ÑÖØ ÙÓÖ Ò ÙÑÑ Ö Ñ ÐÐ ÎÓ Ò Ù Ø Ò Ò ÓØ Ù ØØ ÙÙÖ ÐÐ n Ò ÖÚÓ ÐÐ ÔØ a n = a + n 1/4 (c 0 + c 1 n 1 + c 2 n 2 +...). ÅÖ Ø ØÑÒ ÓÐ ØÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ö¹ ÖÚÓ a ÐÑÖ Ò ØÖ ÔÓÐÓ ¹ Ñ ÐÐ ØÙÐÓ Ø a 100 = 3.3317786 a 200 = 3.5321167 a 400 = 3.7009640 a 800 = 3.8431087 Î ÖØ Ø Ö Ò ÖÚÓÓÒ a = 4.5951118 ½¾ µ ÆÝØ ØØ Ó ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó¹ÓÒ ÐÑ µ ÓÒ f (k) (x i ) = 1 ÙÒ i = j k = l (1 j m, 0 l ν j 1) f (k) (x i ) = 0 ÑÙÙÐÐÓ Ò Ò Ò ÓÒ ÐÑ ÐÐ ÓÒ Ö Ø Ù m p(x) = L j,l (x) = q(x) (x x i ) ν i, Ñ q ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ ÑÙÓØÓ q(x) = ν j 1 r=l c r (x x j ) r ÈØØ Ð ÐÐ Ò ØØ ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó¹ÓÒ ÐÑ Ò µ Ö Ø Ù ÝÐ Ø Ô Ù ÓÒ i=1 i j p(x) = m ν i 1 f (k) (x i )L i,k (x). i=1