Cauchyn ja Sylowin lauseista

Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014

Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4 1.2 Lukuteorian alkeita........................ 4 1.3 Joukot ja ryhmät......................... 6 1.3.1 Ekvivalenssirelaatio.................... 6 1.3.2 Binäärinen operaatio................... 7 1.3.3 Ryhmähomomorsmi................... 10 1.3.4 Ryhmäteoriaa....................... 12 2 Aputulokset 14 2.1 Aputulokset Cauchyn lauseelle.................. 14 2.2 Aputulokset Sylowin 1. lauseelle................. 15 2.3 Aputulokset Sylowin 2. lauseelle................. 18 3 Cauchyn lause 19 4 Sylowin lauseet 20 5 Aputulokset Sylowin lauseiden sovelluksiin 24 6 Sylowin lauseiden sovelluksia 27 Lähdeluettelo 30 1

Johdanto Pro-gradu tutkielmassa on käytetty pääasiassa teoksia [1], [2] ja [3]. Cauchyn lause ja Sylowin 1. lause on otettu kirjasta [1], Sylowin 2. ja 3.-lause teoksesta [3] ja lopulta Sylowin 4.-lause on kirjasta [2]. Tutkielmassa käsitellään Cauchyn lausetta ja Sylowin lauseita. Molempien matemaatikkojen lauseet ovat tehokkaita työvälineitä äärellisten ryhmien rakenteiden tutkimiseen. Nämä lauseet ovat teholtaan rajallisia, toisin sanoen tutkittaessa äärellisiä ryhmiä tulee vastaan tapauksia, joista ei pystytä antamaan tarkempia tuloksia rajaamatta ensin alkuoletuksia. Tästä huolimatta lauseet ovat hyvinkin tehokkaita ja käteviä, kun tutkitaan ryhmien yksinkertaisuutta tai sen sisältämiä aliryhmiä. Tutkielma on jaettu osioihin, joiden järjestyksen toivotaan helpottavan lukijan tutustumista asiaan. Peruslauseet ja määritelmät on koottu peruskäsitteet otsikon alle. Nämä määritelmät ja lauseet on jaoteltu aihepiireittäin helpommasta vaikeampaan lukemisen helpottamiseksi. Alaotsikoiden alle on kerätty vain ne määritelmät ja lauseet, joita lukija tarvitsee Pro gradututkielman ymmärtämisessä. Aputuloksia käsittelevään osioon on kerätty monimutkaisempia lauseita, joita tarvitaan suoraan Cauchyn ja Sylowin lauseiden todistamiseen. Erottelun peruskäsitteiden ja aputuloksien välillä voi ilmaista niin, että matematiikkaa lukeneen voi olettaa tuntevan ainakin osan peruskäsitteistä ennestään. Sen sijaan aputuloksissa olevat lauseet ja määritelmät ovat monimutkaisempaa matematiikkaa, jota tuskin on tullut asiaan perehtymättömälle vastaan. Cauchyn ja Sylowin lauseet käsitellään omissa erotetuissa osioissaan. Niiden jälkeen on kaksi Sylowin lauseiden soveltamiseen liittyvää osiota. Ennen kuin näytetään, miten Sylowin lauseita voi soveltaa äärellisille ryhmille, käydään läpi tuloksia, joita tarvitaan näihin sovelluksiin. Kyseisiä lauseita ei niiden 'raskaudesta' huolimatta tarvita Sylowin lauseiden todistamiseen mutta 2

niiden käsittelyssä on hyvä tietää jo Sylowin lauseiden teoriaa. 3

1 Peruskäsitteet Tähän kappaleeseen on koottu määritelmät ja lauseet, joita käytetään osittain Cauchyn ja Sylowin lauseiden käsittelyyn. Kootut määritelmät ovat hyvin peruskäsitteitä, niinpä matematiikkaa taitava lukija voi hypätä tämän kappaleen ylitse. 1.1 Funktion käsitteitä Määritelmä 1.1. Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen lähtöjoukon A alkioon x yksikäsitteisesti jonkin maalijoukon B alkion y. Määritelmä 1.2. Funktiota f : A B sanotaan surjektioksi jos pätee, että f(a) = B. Toisin sanoen funktion koko maalijoukko saadaan lähtöjoukon alkioiden kuvana. Määritelmä 1.3. Funktiota f : A B sanotaan injektioksi jos pätee, että kun x 1 x 2, niin f(x 1 ) f(x 2 ). Toisin sanoen jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu yksikäsitteisesti omaksi maalijoukon alkiokseen. Määritelmä 1.4. Funktiota f : A B sanotaan bijektioksi, kun se on sekä injektio että surjektio. Bijektiivinen funktio on siis yksi yhteen kuvaus, jonka lähtöjoukon kuva kattaa koko maalijoukon ja jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu omalle maalijoukon alkiolleen. 1.2 Lukuteorian alkeita Lause 1.5. Olkoon a, b Z ja b 0. Tällöin on olemassa sellaiset yksikäsitteisesti määrätyt kokonaisluvut q ja r, joille a = qb + r, missä 0 r < b. Todistus. 1. Olkoon b > 0. Tarkastellaan joukkoa S = {a kb k Z ja a kb 0}. Selvästi joukossa S on pienin alkio, olkoon tämä alkio r. Koska r S, niin on olemassa q Z jolla r = a qb. Tällöin a = qb + r. Olkoon nyt r b. Tällöin r b 0 ja r b = a qb b = a (q + 1)b S. Tämä on ristiriidassa sen kanssa, että r on joukon S pienin alkio, mutta r b < r. Näin ollen 0 r < b. 4

2. Olkoon b < 0. Tällöin b > 0 ja kohdan 1 nojalla on olemassa q, r Z, joilla a = q( b) + r ja 0 r < b. Näin ollen on olemassa q, r Z joilla a = qb + r ja 0 r < b. 3. Tutkitaan onko esitys a = qb + r yksikäsitteinen. Olkoon nyt a = qb + r missä q, r Z ja 0 r < b merkitään vastaavasti a = q b + r missä q, r Z ja 0 r < b. Tällöin 0 = a a = qb + r (q b + r ) eli 0 = (q q )b + r r siten r r = (q q )b. Tarkastellaan lukua r r. Nyt r r < b. Tämä on selvää kun lukija sijoittaa luvut r ja r lukusuoralle. Olkoon nyt q q. Tällöin q q 1 ja r r = (q q )b = q q b b. Tämä on ristiriita, koska r r b ja näin ollen on oltava, että q = q ja myös r = r. Näin saadaan, että esitys a = qb + r on yksikäsitteinen. Lause 1.6. olkoon a, b Z ja luvuista ainakin toinen on eri kuin nolla. Tällöin lukujen suurin yhteinen tekijä syt(a, b) on olemassa. Lisäksi on olemassa sellaiset kokonaisluvut x ja y, että ax + by = syt(a, b) Todistus. Tarkastellaan joukkoa S = {au + bv u, v Z ja au + bv > 0}. Selvästi joukko S on epätyhjä ja sillä on pienin alkio, olkoon tämä pienin alkio t. Koska t S, niin on olemassa alkiot x, y Z siten, että t = ax + by. Osoitetaan nyt, että alkio t = syt(a, b). 1. Lauseesta 1.5 saadaan, että kokonaisluku a voidaan lausua muodossa a = qt + r, 0 r < t ja q, r Z. Olkoon r > 0. Nyt r = a qt, sijoitetaan tähän t = ax + by ja saadaan r = a(1 qx) + b( qy) S. Näin ollen r S ja r < t. Tämä on ristiriidassa oletuksen kanssa, että t on joukon S pienin alkio. Näin ollen r = 0. Tästä saadaan, että a = qt ja t a. 2. Lauseesta 1.5 saadaan, että kokonaisluku b voidaan lausua muodossa b = qt + r, 0 r < t ja q, r Z. Olkoon r > 0. Nyt r = b qt, 5

sijoitetaan tähän t = ax + by ja saadaan r = b(1 qy) + a( qx) S. Näin ollen r S ja r < t. Tämä on ristiriidassa oletuksen kanssa, että t on joukon S pienin alkio. Näin ollen r = 0. Tästä saadaan, että b = qt ja t b. Olkoon c kokonaisluku, joka jakaa luvut a ja b. Tällöin c ax ja c by. Näin ollen pätee myös, että c (ax + by) eli c t. Näin saadaan, että mikä tahansa kokonaisluku c, joka jakaa molemmat luvut a ja b jakaa myös luvun t. Tästä saadaan, että t = syt(a, b). 1.3 Joukot ja ryhmät 1.3.1 Ekvivalenssirelaatio Määritelmä 1.7. Joukon S relaatio on ekvivalenssirelaatio mikäli 1. x x aina, kun x S 2. jos x y, niin y x aina, kun x, y S 3. jos x y ja y z, niin x z aina, kun x, y, z S. Jos on ekvivalenssirelaatio ja s S, niin joukkoa [s] = {x S x s} sanotaan alkion s määräämäksi ekvivalenssiluokaksi. Lause 1.8. Jos on ekvivalenssirelaatio ja a b, niin [a] = [b]. Todistus. Olkoon x [a]. Tällöin x a ja koska a b, niin x b. Näin ollen x [b] eli [a] [b]. Olkoon y [b] ja tällöin y b. Ekvivalenssirelaation määritelmästä 1.7 saadaan, että kun a b, niin b a. Eli y a ja näin ollen y [a] eli [b] [a]. Näin saadaan, että [a] = [b]. Lause 1.9. Olkoon joukon S ekvivalenssirelaatio. Tällöin kaikkien ekvivalenssiluokkien yhdiste on koko joukko S. Lisäksi kun [a] [b], niin [a] [b] =. 6

Todistus. Jos s S, niin s s eli s [s] ja siten s S [s] = S. Seuraavaksi osoitetaan, että ekvivalenssiluokat joko sisältävät kaikki samat alkiot tai eivät yhtään samaa alkiota. Olkoon x [a] [b]. Tällöin x a ja x b ja näin ollen ekvivalenssirelaation määritelmän1.7 nojalla a b ja lauseesta 1.8, että [a] = [b]. Tästä saadaan, että jos [a] [b], niin [a] [b] =. 1.3.2 Binäärinen operaatio Määritelmä 1.10. Olkoon S ei-tyhjä joukko. Kuvaus : S S S, (a, b) a b on joukon S binäärinen operaatio (eli a b S aina, kun a, b S). Määritelmä 1.11. Olkoot G ja ( ) joukon G binäärinen operaatio. Pari (G, ) on ryhmä, mikäli seuraavat kolme ehtoa toteutuvat. 1. ( ) on assosiatiivinen eli (a b) c = a (b c) aina, kun a, b, c G. 2. Joukossa G on sellainen alkio e, että a e = e a = a aina, kun a G. Tätä alkiota e kutsutaan neutraalialkioksi tai ykkösalkioksi. 3. Aina, kun a G, on olemassa sellainen alkio a 1 G, että a a 1 = a 1 a = e. Tätä alkiota a 1 kutsutaan alkion a käänteisalkioksi. Huomautus Oletetaan, että ryhmälle G pätee, että a b = b a kaikilla a, b G. Tällöin operaatio on kommutatiivinen ja ryhmää sanotaan Abelin ryhmäksi. 7

Määritelmä 1.12. Olkoon (G, ) ryhmä ja H G, H. Jos (H, ) on ryhmä, sitä sanotaan ryhmän (G, ) aliryhmäksi. Merkitään (H, ) (G, ) tai lyhyemmin merkittynä H G. Lause 1.13. Aliryhmäkriteeri Olkoon G ryhmä ja H G, H. Nyt H G jos ja vain jos seuraavat ehdot toteutuvat: 1. Olkoon a, b H, jolloin saadaan, että ab H. 2. Olkoon a H. Tällöin a 1 H. Todistus. 1. Olkoon H G. Tällöin molemmat ehdot toteutuvat, koska aliryhmät ovat myös ryhmiä. 2. Olkoot ehdot 1 (a, b H, jolloin saadaan, että ab H) ja 2 (a H, josta a 1 H) voimassa. Tiedetään jo, että H G. Riittää siis osoittaa, että H on ryhmä. (a) Ehdosta 1 saadaan, että kyseessä on binäärinen operaatio. Toisin sanoen operaatio pitää kaikki joukon H alkiot joukon H sisällä. (b) Assosiatiivisuus seuraa, kun muistetaan, että G on ryhmä ja H G. Näin ollen operaatio on assosiatiivinen joukossa G ja sitä se on silloin myös joukossa H. (c) Ehdosta 2 saadaan, että käänteisalkio kuuluu aina joukkoon H. Eli kaikilla a H pätee, että a 1 H. Näin ollen aa 1 H ja aa 1 = e H. Näin ollen joukko H on ryhmä ja myös H G. Määritelmä 1.14. Olkoon H G ja a G. Joukkoa ah = {ah h H} sanotaan alkion a määräämäksi aliryhmän H vasemmaksi sivuluokaksi. Lause 1.15. Olkoon G ryhmä ja H G. Tällöin joukossa G määritelty relaatio a b, b 1 a H on ekvivalenssirelaatio. Jos a G, niin alkion a määräämä ekvivalenssiluokka on ah, eli [a] = ah. 8

Todistus. Todistetaan, että relaatio täyttää ekvivalenssirelaation kriteerit. 1. Nyt a a kaikilla a G, sillä a 1 a = e H. 2. Olkoon a b, eli b 1 a H. Tällöin (b 1 a) 1 H, mistä a 1 b H ja saadaan, että b a. 3. Olkoon a b ja b c joista saadaan, että b 1 a, c 1 b H. Näin ollen c 1 b b 1 a H, eli c 1 a H ja a c. Ekvivalenssirelaation kriteerit täyttyvät, joten valittu relaatio on ekvivalenssirelaatio. Todistetaan vielä, että [a] = ah. Nyt [a] = {x G x a}, josta [a] = {x G a 1 x H}, eli [a] = {x G a 1 x = h, h H}, siis [a] = {x G x = ah, h H}, mistä edelleen [a] = {x G x ah} ja lopuksi [a] = ah. Lause 1.16. (Lagrangen lause) Olkoon G äärellinen ryhmä, H G ja n aliryhmän H vasempien sivuluokkien lukumäärä ryhmässä G. Tällöin G = n H. Toisin sanoen äärellisessä ryhmässä aliryhmän kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun. Todistus. Olkoot ryhmän H vasemmanpuoleiset sivuluokat seuraavat a 1 H, a 2 H,..., a n H. Lauseesta 1.15 saadaan, että sivuluokat ovat erään relaation ekvivalenssiluokkia. Lauseesta 1.9 saadaan, että ryhmä G voidaan muodostaa näiden ekvivalenssiluokkien unionina. Eli G = n k=1 a kh ja a 1 H a j H =, 2 j n. Nyt a j H = H, josta saadaan, että G = n H. Määritelmä 1.17. Olkoon N G, missä G on ryhmä. Aliryhmää N sanotaan normaali aliryhmäksi, mikäli an = Na aina, kun a G. Merkitään tätä N G. 9

Olkoon G ryhmä ja a G. Tarkastellaan joukkoa H = {a k k Z}, joka on joukon G osajoukko. Olkoon nyt x, y H, eli x = a m ja y = a s, joillakin m, s Z. Tällöin pätee seuraavat: 1. xy = a m a s = a m s H, koska m s Z. 2. x H, joten x 1 = (a m ) 1 = a m H, missä m Z. Aliryhmäkriteerin nojalla joukko H on siis ryhmän G aliryhmä. Määritelmä 1.18. Yllä määriteltyä ryhmää H sanotaan alkion a generoimaksi sykliseksi ryhmäksi ja sitä merkitään H = a, missä alkio a on generoija. Lause 1.19. Olkoon ryhmän kertaluku alkuluku. Tällöin ryhmä on syklinen. Todistus. Lagrangen lauseen (lause 1.16) nojalla ryhmän G ainoat aliryhmät ovat {e} ja G. Olkoon alkio a G, jolle a G. Tällöin alkion a generoima syklinen ryhmä a on ryhmän G aliryhmä. Nyt a {e}, joten ainoa mahdollisuus on, että a = G. Tällöin ryhmä G on syklinen. 1.3.3 Ryhmähomomorsmi Määritelmä 1.20. Olkoot (G, ) ja (H, ) ryhmiä. Kuvausta f : G H sanotaan ryhmähomomorsmiksi ryhmältä G ryhmälle H, mikäli f(a b) = f(a) f(b) aina, kun a, b G. Lause 1.21. Olkoon f : G H homomorsmi ja olkoot e G ja e H ryhmien G ja H neutraalialkioita. Tällöin f(e G ) = e H ja f(a 1 ) = (f(a)) 1 aina, kun a G. 10

Todistus. Nyt f(e G ) f(e G ) = f(e G e G ) = f(e G ) = f(e G ) e H. Siis f(e G ) f(e G ) = f(e G ) e H. Operoidaan molemmat puolet vasemmalta alkiolla f(e G ) 1 ja saadaan Tästä saadaan myös, että f(e G ) = e H. ja f(a 1 ) f(a) = f(a 1 a) = f(e G ) = e H f(a) f(a 1 ) = f(a a 1 ) = f(e G ) = e H eli f(a) 1 = f(a 1 ). Määritelmä 1.22. Olkoon f : G H homomorsmi. Joukkoa Im(f) = f(g) = {f(x) x G} sanotaan homomorsmin f kuvaksi ja joukkoa Ker(f) = {x G f(x) = e H } sanotaan homomorsmin f ytimeksi. Määritelmä 1.23. Ryhmät (G, ) ja (H, ) ovat isomorset eli rakenneyhtäläiset, mikäli on olemassa bijektio f : G H, joka toteuttaa ehdon f(a b) = f(a) f(b) aina, kun a, b G. Voidaan myös sanoa, että funktio f on bijektiivinen homomorsmi. Tällöin merkitään G = H ja sanotaan, että f on ryhmäisomorsmi. 11

Lause 1.24. Olkoon f : G H homomorsmi. Tällöin G/Ker(f) = Im(f). Todistus. Merkitään Ker(f) = K. Määritellään kuvaus F : G/K Im(f) niin, että F (ak) = f(a) kaikilla a G. 1. Onko kuvaus F hyvin määritelty? Toisin sanoen tutkitaan, onko F riippumaton sivuluokan määrääjän a valinnasta. Olkoon a G sellainen, että a K = ak. Tällöin a ak, josta saadaan a = ak, k K. Nyt F (a K) = f(a ) = f(ak) = f(a) f(k), missä k K = Ker(f) = e H. Näin saadaan F (a K) = f(a) e H = f(a) = F (ak). Näin ollen kuvaus F on hyvin määritelty. 2. Onko kuvaus F bijektio? Pelkästään kuvauksen F määritelmästä F : G/Ker(f) Im(f) johtuen on kuvaus F surjektio (Im(f) = f(g/ker(f))). Tutkitaan injektiivisyyttä. Olkoon F (ak) = F (bk). Tällöin f(a) = f(b), josta saadaan f(b) 1 f(a) = e H, siis f(b 1 ) f(a) = e H, edelleen f(b 1 a) = e H. Nyt b 1 a K = ek, eli b 1 ak = ek, edelleen b 1 K ak = ek ja ak = bk. Näin ollen kuvaus F on bijektio. 3. tutkitaan kuvauksen F homomorsuutta. Olkoon ak, bk G/K. Tällöin F (ak bk) = F (abk) = f(ab) = f(a) f(b) = F (ak) F (bk). Näin ollen F : G/K Im(f) on isomorsmi eli G/K = Im(f). 1.3.4 Ryhmäteoriaa Määritelmä 1.25. Permutaatioryhmän G radat määritellään seuraavasti. Olkoon X = 1, 2,..., n joukko. Ryhmän S X aliryhmää G sanotaan astetta n olevaksi permutaatioryhmäksi. Määritellään joukossa X seuraavanlainen ekvivalenssirelaatio : i j jos ja vain jos on olemassa g G : g(i) = j. 12

Näin ollen joukko X jakaantuu pistevieraisiin ekvivalenssiluokkiin T 1,..., T r. Näitä ekvivalenssiluokkia sanotaan permutaatioryhmän G radoiksi. Määritelmä 1.26. Olkoot a ja g ryhmän G alkioita. Alkio g a = a 1 ga on alkion g konjugaatti ryhmässä G. Olkoon = M G joukko, missä M g = {m g m M} Käytetään tätä joukkoa M ryhmän G normalisoijan määrittelyssä. Määritelmä 1.27. Olkoon M G. Tällöin joukko N G (M) = {g G M g = M} on joukon M normalisoija ryhmässä G. Määritelmä 1.28. Olkoon M G. Tällöin joukko C G (M) = {g G gm = mg m M} on joukon M sentralisoija ryhmässä G. Huomaa, että on alkion x sentralisoija ryhmässä G. C G (x) = {g G gx = xg g G} Lause 1.29. Olkoon M G. Tällöin joukon M konjugaattien lukumäärä on [G : N G (M)]. Todistus. Muodostetaan yksi yhteen vastaavuus konjugointiluokkien ja sivuluokkien välille. Tiedetään jo, että sivuluokkien gh lukumäärä on G H Olkoon tämä vastaavuus f : tn G (M) M t 1. Riittää osoittaa, että f on bijektiivinen kuvaus. Onko f kuvaus? Nyt tn G (M) = sn G (M) joten t sn G (M) eli t = sn, n N G (M) ja lopulta t 1 = n 1 s 1. Tällöin M t 1 = M n 1 s 1 = (M n 1 ) s 1 = M s 1 Surjektiivisyys: M g = f(g 1 N G (M)) f on surjektio. 13 eli f on kuvaus.

Injektiivisyys: f(tn G (M)) = f(sn G (M)) siis M t 1 = M s 1 eli (M t 1 ) s = (M s 1 ) s. Tästä seuraa edelleen M t 1s = M joten t 1 s N G (M) ja t 1 sn G (M) = N G (M) mistä sn G (M) = tn G (M) eli f on injektio. 2 Aputulokset Tähän kappaleeseen on koottu tietoja, joita tarvitaan Cauchyn lauseen ja Sylowin lauseiden todistusten käsittelyyn. Lukija voi itse valita lukeeko ensin aputulokset vai palaako takaisin tarkistamaan tarvitsemansa tiedot. Aputulokset on jaettu omien aliotsikoidensa alle. Näin Cauchyn lauseeseen ja eri Sylowin lauseisiin tarvittavat esitiedot ovat selkeästi esillä omina osastoinaan. Jos kuitenkin samoja esitietoja hyödynnetään kahdessa eri lauseessa, niin ne löytyvät sen otsikon alta, jossa niitä ensimmäisenä käytettiin. Sylowin lauseiden käytännönsovelluksiin tarvitaan vielä lisää lauseita. Nämä sovelluksien apulauseet ovat erillisenä osiona kahdesta syystä. Niitä ei tarvita itse Sylowin lauseiden todistusten käsittelyyn. Lukijan on myös helpompi erottaa näin mitkä tiedot kuuluvat mihinkin kokonaisuuteen. 2.1 Aputulokset Cauchyn lauseelle Seuraavia lauseita tarvitaan Cauchyn lauseen todistuksen käsittelyyn. Olkoon S joukko ja A(S) = {f : S S f = bijektio}. Määritellään joukossa S ekvivalenssirelaatio seuraavasti jos s t, niin on olemassa f A(S) : f(s) = t Lauseesta 1.9 saadaan, että joukko S voidaan muodostaa ekvivalenssiluokkien tai ratojen avulla. 14

Lemma 2.1. Olkoon f A(S) ja f = p, missä p on alkuluku. Tällöin kaikkien joukon S alkioiden radat kuvauksessa f sisältävät yhden tai p kappaletta alkioita. Todistus. Olkoon s S. Jos f(s) = s, niin silloin alkion s määräämä rata koostuu vain alkiosta s. Oletetaan nyt, että f(s) s, tällöin alkion s määräämä rata pitää sisällään enimmillään alkiot s, f(s), f 2 (s),..., f p 1 (s). Tässä alkioita on enimmillään p kappaletta, koska alkuoletuksessa f = p, joten f p (s) = s aina. Tutkitaan ovatko nämä kaikki alkiot f k (s) erillisiä alkion s radan alkioita kuvaajassa f. Muussa tapauksessa löytyy f k (s) = f j (s) jollakin 0 k < j p 1. Tästä saadaan, että f j k (s) = s. Merkitään m = j k jolloin 0 < m p 1 ja f m (s) = s. Huomaa, että f p (s) = s ja p m p 1. Nyt p, m Z joten lauseen1.6 mukaan on olemassa a, b Z siten, että ap + bm = syt(p, m) = 1, eli f 1 (s) = f ap+bm (s) = f ap (f bm (s)) = f ap (s) = s. Tämä on ristiriidassa oletuksen f(s) s kanssa. Ristiriita syntyi oletuksesta, että alkiot s, f(s), f 2 (s),..., f p 1 (s) eivät ole erillisiä, näin ollen alkiot ovat erillisiä. 2.2 Aputulokset Sylowin 1. lauseelle Lemma 2.2. Olkoon G ryhmä. Tällöin kaikilla a G pätee C(a) = {x G xa = ax} G. Tässä C(a) on alkion a sentralisoija ryhmässä G. Lause 2.3. Olkoon G äärellinen ryhmä ja a G. Silloin alkion a konjugointiluokassa on G C(a) erillistä alkiota. Todistus. Milloin konjugaatit ovat samoja? Toisin sanoen, milloin x 1 ax = y 1 ay. Tämä voidaan saattaa muotoon a(xy 1 ) = (xy 1 )a. Näin ollen xy 1 C(a) eli x C(a)y. Jotta konjugaatit ovat samoja pitää alkioiden x ja y kuulua samaan sentralisoijan C(a) oikeanpuoleiseen sivuluokkaan. 15

Olkoot x ja y samassa sentralisoijan C(a) oikeanpuoleisessa sivuluokassa eli x C(a)y siis xy 1 C(a) josta xy 1 a = axy 1 edelleen x 1 ax = y 1 ay. Koska pyöritys pätee molempiin suuntiin, niin kaikki alkion a konjugaatit kuuluvat omaan sentralisoijan C(a) oikeanpuoleiseen sivuluokkaan ja äärelliselle ryhmälle G näiden sivuluokkien lukumäärä on G, mikä saatiin La- C(a) grangen lauseesta (lause 1.16). Merkitään nyt lauseen 2.3 alkion a konjugointiluokan kokoa i G (C(a)) = G C(a). Lause 2.4. Jos ryhmän G kertaluku on p n, missä p on alkuluku, niin Z(G) = {g G xg = gx x G} ei ole triviaali. Todistus. Hyödynnetään tietoa, että konjugointiluokat ovat ekvivalenssirelaatioita ryhmässä G. Näiden erillisten konjugointiluokkien unioni muodostaa ryhmän G eli G = a i G (C(a)) = a G C(a), C(a) = {x G xa = ax} Tässä a käy läpi yhden alkion erillisistä konjugointi luokista. Olkoon nyt z = Z(G), eli z on niiden alkioiden lukumäärä ryhmässä G, joiden konjugointiluokka sisältää vain yhden alkion. Koska e Z(G), niin z 1. Kaikille b / Z(G) pätee, että niiden konjugointiluokkaan kuuluu enemmän kuin yksi alkio ja C(b) < G. Lagrangen lauseen nojalla (lause1.16) C(b) G, joten C(b) = p k, missä 1 k < n. Käytetään tietoa, että konjugointiluokkien unioni muodostaa ryhmän G. p n = G = a G C(a) = z + a/ Z(G) G C(a) = z + p n p = z + p n k k k<n k<n Nyt p p n ja p k<n pn k eli p z ja koska z 1 niin z p. Näin ollen on olemassa sellainen a e, että a Z(G) 16

Lause 2.5. Olkoon kuvaus f : G G homomorsmi, jonka ydin on Ker(f) = K. Olkoon H G ja H = {a G f(a) H }. Tällöin H G, H K ja H/K = H. Myös jos H G, niin H G. Todistus. Tutkitaan onko H ryhmän G aliryhmä. Nyt H koska e H. Olkoon a, b H, jolloin f(a), f(b) H joten f(ab) = f(a)f(b) H koska H on aliryhmä. Näin ollen ab H ja H on suljettu. Jos a H, niin f(a) H, joten f(a 1 ) = (f(a)) 1 H eli a 1 H siis H on ryhmän G aliryhmä. Ytimen määritelmän Ker(f) = {x G f(x) = e } nojalla f(k) = {e } H missä e on ryhmän G ykkösalkio. Näin ollen koska f(k) H, niin K H. Koska K G ja K H, niin K H. Homomor- smien peruslauseesta (lause1.24) saadaan H/K = H. Lopulta, jos H G ja jos a G, niin (f(a)) 1 H f(a) H eli f(a 1 Ha) = f(a 1 )f(h)f(a) = f(a 1 )H f(a) H. Siis a 1 Ha H eli H G. Lause 2.6. Jos G on kertalukua p n oleva ryhmä, missä p on alkuluku, niin silloin G sisältää normaalin aliryhmän kertalukua p n 1. Todistus. Todistetaan väite induktiolla. 1. alkuaskel: jos n = 1, niin G = p 1 = p ja p n 1 = p 1 1 = p 0 = 1 ja näin ollen N = {e} G täyttää ehdot. 2. Induktio-oletus: oletetaan, että jollekin k pätee, että kaikki ryhmät G, G = p k sisältävät normaalin aliryhmän kertalukua p k 1 3. Induktioaskel: Olkoon ryhmän G kertaluku p k+1. Lauseen 2.4 mukaan on olemassa sellainen alkio a Z(G), että a = p. Näin ollen alkion a generoima aliryhmä A = a on kertalukua p ja normaali ryhmässä G. Olkoon Γ = G/A. Tällöin Γ = G / A = pk+1 = p k. Induktiooletuksen nojalla ryhmällä Γ on normaali aliryhmä M, M = p k 1 p. 17

Tarkastellaan homomorstakuvausta f : G Γ. Lauseen 2.5 mukaisesti on olemassa sellainen N G, A N, että N/A = M. Tällöin joten p k 1 = M = N/A = N A N = p k 2.3 Aputulokset Sylowin 2. lauseelle Lemma 2.7. Olkoon G äärellinen ryhmä ja A, B G. Tällöin AB = A B A B. Todistus. Tuloja ab on A B kappaletta, mutta osa tuloista on keskenään identtisiä. Määritellään joukossa A B (karteesinen tulo) relaatio seuraavasti: (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) jolloin a 1 b 1 kyseessä tosiaan on ekvivalenssirelaatio. = a 2 b 2. Lukija voi tarkistaa itse, että Vastaavien ekvivalenssiluokkien lukumäärä on AB. Osoitetaan, että jokaisessa ekvivalenssiluokassa on A B alkiota. Olkoot a A ja b B mielivaltaisia ja olkoon E se ekvivalenssiluokka johon (a, b) kuuluu. Osoitetaan, että E = {(ax 1, xb) x A B}. Selvästi ax 1 A ja xb B ja ax 1 xb = ab E. Näin ollen {(ax 1, xb) x A B} E. Olkoon (c, d) E eli ab = cd. Tällöin c 1 a A, db 1 B ja c 1 a = db 1 A B. Merkitään x = c 1 a = db 1. Tällöin c = ax 1 ja d = xb eli E {(ax 1, xb) x A B} ja E = {(ax 1, xb) x A B} ja E = A B siten AB = A B A B Määritelmä 2.8. Olkoot A ja B ryhmän G aliryhmiä. Ryhmän G kaksoissivuluokka aliryhmien A ja B suhteen on joukko AgB = {agb a A, b B}. Lause 2.9. Jos AgB AhB, niin AgB = AhB. Jos G on äärellinen ryhmä, niin G = r i=1 Ag ib, Ag i B Ag k B =, j k ja r A B G =. A g i B i=1 18

Todistus. Jos AgB AhB, niin a 1 gb 1 = a 2 hb 2 eli g = a 1 1 a 2 hb 2 b 1 1, josta AgB = Aa 1 1 a 2 hb 2 b 1 1 B = AhB. Toisin sanoen, jos kaksoissivuluokilla on yksi sama alkio, niin kaikki alkiot ovat samoja. Kaksoissivuluokat muodostavat erillisiä ekvivalenssiluokkia, g h, g = a 1 1 a 2 hb 2 b 1 1, eli G = Ag i B. Jos ryhmä G on äärellinen, niin G = r i=1 Ag ib. Huomaa, että e A, B joten g = ege AgB Täten G = = r Ag i B = i=1 r A g i B = i=1 r i=1 i=1 g 1 i g i Ag i B = r A g i B = A g i B r i=1 r i=1 g 1 i Ag i B A B A g i B 3 Cauchyn lause Osoitetaan Cauchyn lauseen pitävän yleisesti paikkansa myös ei-abelin ryhmille. Lause 3.1. Jos p on alkuluku ja p jakaa ryhmän G kertaluvun G, niin G sisältää alkion, jonka kertaluku on p. Todistus. Oletetaan ensin, että p 2. Olkoon S nyt joukko joka pitää sisällään kaikki järjestetyt alkiot (a 1, a 2..., a p 1, a p ), missä a 1, a 2..., a p 1, a p G ja a 1 a 2...a p 1 a p = e. Kun mietitään monellako eri tavalla joukon S alkiot voidaan valita, niin huomataan, että a 1 voidaan valita kaikista ryhmän G alkioista. Näin ollen alkiolla a 1 on G = n eri mahdollisuutta, alkiolla a 2 on samat mahdollisuudet. Kaikilla alkioilla alkioon a p 1 asti on n mahdollisuutta. Näin ollen joukossa S on tähän mennessä n p 1 alkiota. Muistetaan ehto a 1 a 2...a p 1 a p = e, josta saadaan a p = (a 1 a 2...a p 1 ) 1. Viimeisellä alkiolla on vain yksi mahdollinen muoto, joten S = n p 1. Huomataan, että jos a 1 a 2...a p 1 a p = e, niin myös a p a 1 a 2...a p 1 = e. Näin ollen kuvaus f(a 1, a 2,..., a p 1, a p ) = (a p, a 1, a 2,..., a p 1 ) S joten f : S S. 19

Huomataan myös, että f e ja f p (a 1, a 2,..., a p 1, a p ) = (a 1, a 2,..., a p 1, a p ) eli f p = e ja kuvauksen f kertaluku on p. Jos alkion s S radalla kuvauksessa f on vain yksi alkio, niin silloin f(s) = s. Toisaalta, jos f(s) s, niin lemmasta 2.1 saadaan, että alkion s rata pitää sisällään täsmälleen p erillistä alkiota. Milloin siis f(s) s? Väitetään, että f(s) s jos ja vain jos s = (a 1, a 2..., a p 1, a p ) siten että a i a j jollakin i j. Täten myös f(s) = s jos ja vain jos s = (a, a, a,..., a) jollakin a G. Tämä väite selkiintyy kun muistat, että f(a 1, a 2,..., a p 1, a p ) = (a p, a 1, a 2,..., a p 1 ). Kunhan ainakin yhdessä kohtaa a i a j, niin f(s) s. Olkoon m niiden alkioiden s S lukumäärä joille pätee f(s) = s. Tiedetään, että, m 1, koska jos s = (e, e, e,..., e)) niin f(e, e, e,..., e) = (e, e, e,..., e). Toisaalta jos f(s) s, niin silloin radoista muodostuu erillisiä ekvivalenssiluokkia, joiden alkioiden lukumäärä on p. Jos nyt tällaisia ratoja on k kappaletta, niin silloin S = radat jolloin n p 1 = m + kp. Alkuoletuksen mukaan p n ja myös p kp. Näin ollen p m eli m > 1. On siis olemassa sellainen alkio a S, että a e ja (aaa...a) = a p = e eli alkion a kertaluku on p. Alkio a on siis haluttu ryhmän G alkio jolle a p = e. Huomaa, että Cauchyn lause kertoo, että niiden alkioiden lukumäärä ryhmässä G, joille x p = e, on aina alkuluvun p kerrannainen. 4 Sylowin lauseet Lause 4.1. (Sylowin 1. lause) Olkoon ryhmän G kertaluku p n m, missä p on alkuluku ja p m. Tällöin on olemassa sellainen H G, että H = p n. Todistus. Todistuksessa käytetään induktiotodistuksen rakennetta osittain, joten välivaiheet on nimetty sen mukaisesti. 1. Alkuaskel: Jos n = 0, niin p n = p 0 = 1 ja {e} G joten väite pätee. Oletetaan tästä lähin, että n 1. 20

2. Induktio-oletus: Oletetaan, että väite pätee kaikille ryhmille F, joille F < G. Tehdään vastaoletus, ettei väite päde ryhmälle G. Tällöin induktio-oletuksen nojalla p n ei voi jakaa kertalukua H millään H < G jos H G. Nimittäin jos p n H, niin H = p n k, missä k < m, ja p k. Tällöin on olemassa F < H, F = p n. Erityisesti jos a / Z(G) = C G (G) = {g xg = gx x G}, silloin C(a) = {x G xa = ax} G joten p n C(a). Nyt joten G C(a) = pn m p k l p = p n k s, 0 k < n 1 l m, G C(a) = i G(C(a)), a / Z(G). Jos z = Z(G), niin z 1 ja lauseen 2.4 todistuksesta saadaan: p n m = G = z + a/ Z(G) i G (C(a)). Huomaa, että p i G (C(a)) joten p a/ Z(G) i G(C(a)). Varmasti on, että p p n m, joten p z. Cauchyn lauseesta 3.1 saadaan, että on olemassa alkio a Z(G) siten, että a p = e. Olkoon A nyt alkion a generoima ryhmä. A = p alkuluku, joten A on syklinen. Nyt a Z(G) = {x g 1 xg = x g G}, tämä täyttää normaalisuuskriteerin, joten A G. Olkoon Γ = G/A, eli Γ = G = pn m = p n 1 m. Siis Γ < G, joten A p induktio-oletuksen nojalla on olemassa M < Γ, missä M = p n 1. Lauseen 2.5 mukaisesti kuvaus f : G Γ, f(g) = ga on homomornen. Tässä Ker(f) = A. Näin ollen lauseen 2.5 mukaisesti on olemassa P G siten, että A P ja P/A = M. Näin ollen P = A M = pp n 1 = p n. Täten P on ryhmän G astetta p n oleva aliryhmä. Tämä on ristiriita vastaoletuksemme kanssa ja todistaa Sylowin 1. lauseen paikkansa pitävyyden. 21

Määritelmä 4.2. Olkoon ryhmän G kertaluku G = p a n, missä p on alkuluku, a N ja p ei ole luvun n tekijä. Jos on olemassa sellainen ryhmän G aliryhmä P, että P = p a, niin P on ryhmän G Sylowin p-aliryhmä (merkitään Sylow p (G)). Lause 4.3. (Sylowin 2. lause) Olkoon P ryhmän G Sylowin aliryhmä a) Jos U G ja U = p l, niin on olemassa sellainen g G, että U P g. b) Kaikki Sylowin aliryhmät konjugoivat ryhmässä G. Edelleen [G : N G (P )] antaa Sylowin p- aliryhmien lukumäärän. Todistus. a) Esitetään G aliryhmien P ja U kaksoissivuluokkien avulla. G = r i=1 P g iu ja lauseesta 2.9 G = r P U. P g i U i=1 Jos P g i U < U i {1...r}, niin U = p a i, P g i U missä a i 1 kaikilla i {1...r}. Tällöin G r P = p a i p G P, i=1 mikä on ristiriita Sylowin aliryhmän määritelmän nojalla. On siis oltava olemassa sellainen j {1...r}, että P g i U = U, josta U P g i. b) Jos U on Sylowin p-aliryhmä ryhmässä G, niin a)-kohdan nojalla on olemassa g G : U P g, koska Q = P = P g niin Q = P g. c) Väite [G : N G (P )] saadaan suoraan lauseesta 1.29. 22

Lause 4.4. (Sylowin 3. lause) Sylowin p-aliryhmien lukumäärä ryhmässä G on muotoa 1 + kp, mille tahansa p. Todistus. Olkoon P = p n Sylowin p-aliryhmä ryhmässä G. Muodostetaan ryhmä G ryhmien P ja P kaksoissivuluokkien avulla, eli G = P xp. Kuinka monta alkiota on kaksoissivuluokassa P xp. Nyt P xp = x 1 P xp = P x P ja lemmasta2.7 saadaan, että P xp = x 1 P xp = P x P = P P P x P. Huomaa tässä, että P x P P = p n ja P x P P. Näin ollen P x P p n 1 siis P xp p2n p n 1 p n+1 P xp. = p n+1. Joten, jos P x P P, niin Toisin sanoen: Jos x / N(P ) = {g G P g = P }, niin p n+1 P xp. Myös, jos x N(P ), niin P xp = P xp x 1 x = P (P x) = P 2 x = P x joten P xp = P P P x P P P = P = P = P pn. Näin saadaan ryhmän G kertaluku muodostettua erillisten kaksoissivuluokkien summana. G = x N(P ) P xp + x/ N(P ) P xp Huomaa, että kun x N(P ) niin x N(P ) P xp = x N(P ) P x. Koska laskemme yhteen erillisiä oikeanpuoleisia sivuluokkia, niin x N(P ) P x = n P x, missä n on sivuluokkien lukumäärä. Nyt P N(P ) ja Lagrangen lauseesta (lause 1.16) saadaan, että N(P ) = n P = n P x. Yhdistämällä nämä tiedot, saadaan x N(P ) P xp = x N(P ) P x = N(P ). Summasta x/ N(P ) P xp tiedetään sen olevan jaollinen luvulla pn+1. Näin ollen x/ N(P ) P xp = pn+1 u eli G = N(P ) + p n+1 u, joten G N(P ) = 1 + pn+1 u N(P ). Koska normalisoijat ovat aliryhmiä, niin pätee, että N(P ) G, joten pn+1 u N(P ) on kokonaisluku. Sylowin p-aliryhmien määritelmän nojalla P = p n ja G = p n a, näin ollen p n+1 G ja p n+1 N(P ) G. Tällöin pätee, että 23

N(P ) p pn+1 u eli pn+1 u = pk joten G N(P ) N(P ) nojalla [G : N(P )] antaa Sylowin p-aliryhmien lukumäärän. = 1 + pk. Sylowin 2. lauseen (lause 4.3) 5 Aputulokset Sylowin lauseiden sovelluksiin Alle on koottu aputuloksia, joita tarvitaan Sylowin lauseiden käytännön soveltamiseen. Tarvittavat aputulokset on laitettu tähän eikä esitietoihin, koska on hyvä, jos lukijalla on jo käsitys Sylowin p-aliryhmistä. Lause 5.1. Olkoon G ryhmä ja N < G, [G : N] = n, missä n on sivuluokkien lukumäärä. Tällöin G = n i=1 g in. Nyt kuvaus ( ) gi N f : G S n, f(g) = gg i N on homomorsmi ja f(g) S n sekä Ker(f) = g G N g. Todistus. Jos x 1, x 2 G, niin ( ) ( ) g 1 N...g n N g 1 N...g n N f(x 1 x 2 ) = = = f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2 g 1 N...x 1 x 2 g n N x 1 (x 2 g 1 N)...x 1 (x 2 g n N) joten kuvaus f on homomorsmi. Lisäksi Ker(f) = {x G f(x) = e S n } = {x G xg 1 N = g 1 N,..., xg n N = g n N} = {x G xg i N = g i N i {1,..., n}} = {x G g 1 i xg i N = N i {1,..., n}} = {x G g 1 i xg i N i {1,..., n}} = {x G x g i Ng 1 i i {1,..., n}} n = {x G x N g 1 i i {1,..., n}} = N g 1 i. Huomaa, että G = n i=1 g in ja jos g G, niin on olemassa sellainen i, että g g i N, joten g = g i n, n N siis g 1 = (g i n) 1 = n 1 g 1 i eli N g 1 = N n 1 g 1 i = N g 1 i i=1 ja n i=1 N g 1 i = g G N g 1 = g G N g. Lause 5.2. Olkoon p alkuluku, G = p a n ja N(p a ) kertalukua p a olevien aliryhmien lukumäärä ryhmässä G. Tällöin N(p a ) 1(mod p) eli N(p a ) 1. 24

Todistus. Olkoon = M G ja Ω = {M M G, M = p a }. Kuvaus f : G S Ω, f(g) = ( M gm), M Ω on homomorsmi ja Ker(f) = {1}. Siis G/Ker(f) = G = f(g) S Ω ja ryhmää G voidaan tarkastella astetta Ω olevana permutaatioryhmänä. Nyt Ω jakautuu ratoihin T i ja Ω = T i. 1. Jos H G ja H = p a, niin H Ω. Jos H T missä T on rata, niin T = {gh g G} eli vasemmanpuoleinen sivuluokka ja Lagrangen lauseesta 1.16 T = [G : H] = G H = pa n p a = n. 2. Olkoon T rata ja T = n. Jos M T, niin T = [G : H] = G H, missä U = {g G gm = M}. Nyt U = p a ja UM = M siis Um = M. Eli M T joten m 1 M T siis m 1 Um T eli U m T, siis aliryhmä U m on radan T alkio ja U m = p a. Kohdista 1.) ja 2.) saadaan, että kaikki kertalukua H = p a olevat aliryhmät ovat radalla T ja samoin aliryhmän H konjugaatit ovat tällä radalla. Myös jokaista joukkoa M T kohti on olemassa radalle T kuuluva aliryhmä U = p a. Olkoon N(p a ) = (ehdon T = n toteuttavien ratojen lukumäärä). Entä jos T n? 3. Olkoon T sellainen rata, että T n. Jos M T, niin T = [G : U] missä U = {g G gm = M}. Siis UM = M jolloin M = s i=1 Ug i missä g i M ja s 2. Koska M = p a = U s josta U = p b, b < a. Täten T = [G : U] = np a b 0 (pn). 4. Nyt Ω = ( p a n p a ) = Ti T =n T (pn) eli Ω N(pa )n (pn). Luku Ω ei ole riippuvainen ryhmän G rakenteesta. Jos G on syklinen ja G = p a n, niin N(p a ) = 1. Saadaan siis kongruenssi Ω n (pn). Täten N(p a )n n (pn) ja N(p a )n 1 (p). 25

Lause 5.3. Olkoon ryhmä G kertalukua G = p l ja {e} < N G. Tällöin N Z(G) > 1. Todistus. Olkoon N = p n, missä 1 n < l. Olkoon x N, jolloin g 1 xg N kaikilla g G. Eli x g N kaikilla g G. Siis N = s i=1 K i, missä K i on konjugointiluokka. Voidaan olettaa, että K 1 = {e}. Jos x i K i, niin K i = [G : C G (x i )] = G C G (x i = p n. Siis N = p n = 1 + s ) i=2 pn i. Jos p n i > 1 kaikille i {2,...s}, niin p n = 1 + kp joten p 1. Tämä on ristiriita, koska p on alkuluku. Näin ollen on olemassa j {2,...s} : p n j = 1 siis K j = 1. Olkoon K j = {x}. Nyt x e ja x g = x kaikilla g G eli g 1 xg = x kaikilla g G. Edelleen saadaan xg = gx kaikilla g G joten x Z(G). Siis e x N Z(G) > 1. Lemma 5.4. Olkoon ryhmä G kertalukua G = p 2. Tällöin ryhmä G on Abelin ryhmä. Todistus. Ryhmän G kertaluku on muotoa p k, joten lauseesta 5.3 seuraa, että Z(G) > 1 ja Z(G) = p tai Z(G) = p 2. 1. Jos Z(G) = p 2, niin Z(G) = G eli G on Abelin ryhmä. 2. Jos Z(G) = p, niin G = p eli G/Z(G) on syklinen ryhmä. Tällöin G/Z(G) = {gz(g) g G} = Z(G). Olkoon g 1, g 2 G. Z(G) Nyt g 1 Z(G) = a m Z(G) ja g 2 Z(G) = a n Z(G) jollain m, n Z. Valitaan e Z(G). Tällöin g 1 = g 1 e = a m z 1 ja g 2 = g 2 e = a n z 2, missä z 1 ja z 2 Z(G). Tällöin g 1 g 2 = a m z 1 a n z 2 = z 2 a m a n z 1 = z 2 a n+m z 1 = z 2 a n a m z 1 = a n z 2 a m z 1 = g 2 g 1 joten ryhmä G on Abelin ryhmä. Lemma 5.5. Olkoon U G ja N G. Tällöin N, U = NU = UN. Missä N, U pienin ryhmä johon joukko NU kuuluu. 26

Todistus. Koska N on normaalialiryhmä, niin un = Nu aina kun u N, joten UN = NU. Jos n 1 u 1 NU ja n 2 u 2 NU, niin n 1 u 1 (n 2 u 2 ) 1 = n 1 u 1 n 1 2 u 1 2 = n 1 u 1 n 1 2 u 2 1(u 1 u 1 2 ) 1 (u 1 u 1 2 ) NU. Tämä täyttää aliryhmyys kriteerin, joten NU G ja N, U = NU. Määritelmä 5.6. Jos ryhmällä G ei ole muita normaaleja aliryhmiä kuin {e} ja ryhmä G itse, niin ryhmä G on yksinkertainen ryhmä. 6 Sylowin lauseiden sovelluksia Sylowin lauseiden avulla pystytään tutkimaan äärellisten ryhmien rakenteita, millaisia aliryhmiä ne pitävät sisällään tai kuinka monta kyseisiä aliryhmiä on. Joissakin tapauksissa pystymme tutkimaan myös ryhmän syklisyyttä tai yksinkertaisuutta. Esimerkki 1 Olkoon ryhmä G kertalukua 24. Onko G yksinkertainen? Ratkaisu: G = 2 3 3 eli ryhmässä G on Sylowin aliryhmät Sylow 2 (G) ja Sylow 3 (G). Merkitään näitä Sylowin aliryhmiä Q = 3 ja P = 2 3. Nyt P G ja [G : P ] = 3 eli on olemassa homomorsmi f : G S 3, Ker(f) = g G P g. Jos G on yksinkertainen, niin Ker(f) = {e}. Tällöin G/Ker(f) = G = f(g) S 3 eli G S3 joka tarkoittaa 24 3! eli 24 6. Tämä ei pidä paikkaansa ja näin ollen Ker(f) {e} ja G ei ole yksinkertainen. Esimerkki 2 Olkoon G kertalukua 34969 oleva ryhmä. Onko G Abelin ryhmä? Ratkaisu: 27

Nyt G = 34969 = 11 2 17 2. Eli on olemassa P := Sylow 11 (G) ja Q := Sylow 17 (G) ja ja N(11 2 ) 1 (11) N(11 2 ) = 1 N(11 2 ) 17 2 N(17 2 ) 1 (17) N(17 2 ) = 1. N(17 2 ) 11 2 Käytetään tietoa P G ja [G : P ] = 17 2. Eli on olemassa homomorsmi f : G S 17 2 ja Ker(f) = g G P g. Nyt P = P g = 11 2, mutta N(11 2 ) = 1, joten P = P g eli P = P g = Ker(f) G. Näin ollen aina kun Sylowin aliryhmien lukumäärä on yksi, niin nämä ryhmät ovat normaaleja aliryhmiä. Lemmasta 5.4 saadaan, että ryhmät P ja Q ovat Abelin ryhmiä. Lemmasta 5.5 saadaan, että P Q G ja lemmasta 2.7 saadaan, että P Q P Q = P. Nyt P Q Q P ja P Q Q ja syt(11 2, 17 2 ) = 1, joten P Q = 1. Näin saadaan P Q = P Q P Q = 112 17 2 1 = G. Eli P Q = G. Jos p P ja q Q, niin normaalisuuden takia p 1 q 1 p Q ja q 1 pq P. Näin ollen p 1 q 1 pq P Q = {e}. Eli p 1 q 1 pq = e joten pq = qp. Tästä seuraa, että ryhmä G on Abelin ryhmä. Esimerkki 3 Onko ryhmä G, G = 72 yksinkertainen? Ratkaisu: Oletetaan ryhmän G olevan yksinkertainen. Nyt G = 2 3 3 2. Merkitään Sylowin ryhmiä seuraavasti, P := Sylow 3 (G) ja Q := Sylow 2 (G). N(2 3 ) 1(2) N(2 3 ) = 1, 3, 9 N(2 3 ) 9 N(3 2 ) 1(3) N(3 2 ) 8 N(3 2 ) = 1, 4 28

Riittää valita toinen Sylowin ryhmä tutkittavaksi. Valitaan nyt ryhmä P, koska sillä on vähemmän mahdollisia Sylowin ryhmän lukumääriä. 1. N(3 2 ) = 1. Esimerkistä 1 nähdään, että Sylowin 3-aliryhmä P G ja 1 < 9 = P eli ryhmä G ei ole yksinkertainen. 2. N(3 2 ) = 4 = [G : N G (P )]. Tällöin on olemassa homomorsmi f : G S 4 ja Ker(f) N G (P ) < G. Ryhmä G on yksinkertainen, joten Ker(f) = {e} ja G = G/{e} = G/Ker(f) = Im(f) S 4. Näin ollen pitää olla, että G S4 eli 72 24. Tämä on ristiriita ja siis ryhmä G ei ole yksinkertainen. 29

Lähdeluettelo [1] I.N. Herstein: Abstract Algebra- 3rd edition. Prentice-Hall, New Jersey, 1990 [2] I.N. Herstein: Topics in Algebra- 2nd edition. John Wiley & Sons, New York, 1975 [3] M. Niemenmaa: Ryhmäteoria-luentomateriaali. Toimittanut luentojen pohjalta Jukka Kauppi, Oulun yliopiston matemaattisten tieteiden laitos 2009 [4] M. Niemenmaa: Algebra II-luentomateriaali. Toimittanut luentojen pohjalta Jukka Kauppi, Oulun yliopiston matemaattisten tieteiden laitos 2008 30