Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus. Jana P P on kohtisuorassa suoraan S ja tasoon (pintaan) T nähden. Kohtisuorasta janasta (tai suorasta) käytetään nimitystä normaali. Käyrä on väärä tai suora tai molempien peräkkäisten pisteiden muodostamajoukko. Ei aina matemaattinen kuten kuvan käyrä. Janoja ja normaaleja tarvitaan mitattessa kappaleiden tilavuutta ja pintojen kokoa.
Trigonometria Trigonometria on kolmioita ja kulmia käsittelevä matematiikan ala. Kulma Geometriassa kulman muodostaa kahden samasta pisteestä, kulman kärjestä lähtevän puolisäteen eli puolisuoran väliin jäävä alue. Puolisäteitä sanotaan kulman kyljiksi. Kylkien väliin jäävän aukeaman laajuutta kutsutaan kulman suuruudeksi eli tasokulmaksi. Sen yksikköjä ovat mm. aste (joka jakaantuu minuutteihin ' ja sekunteihin "), uusaste eli gooni, jota käytetään maanmittauksessa ja matematiikassa käytetty radiaani. Suorakulmio Suorakulmoiden kulmat ona suoria (90 ) ja vastakkaiset sivut yhtä pitkät 6 cm 10 cm a = pituus h = korkeus (leveys) Neliön kaikki kulmat ovat suoria ja sivut Pinta-ala = ah yhtä pitkiä. Piiri = 2a + 2h Pinta-ala = a * a eli a ² Neliön lävistäjän b pituus: ª2 * a = n. 1,41 * a Suorakulmion lävistäjän b pituus: a² + h² = b ²; b = b² 10² + 6² = 136; h = 135 = 11,66 (Neliöjuurien takia saattaa olla laskin tarpeen) 25 = 5, sillä 5 * 5 = 25 eli ts. 5² = 25
Kolmio Tasakylkinen kolmio Tasasivuinen kolmio Tylppäkulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio ABC Kulma C on suorakulma eli 90, a ja b ovat sen kyljet eli kateetit. Suorakulman vastakkainen kylki on hypotenuusa. Kateetti a on kolmion ja samalla neliön ABCD korkeus (normaali) ja kateetti b on kummankin leveys. Kuvasta voi päätellä, että kolmion pinta-ala on puolet neliön pinta-alasta, mikäli sen korkeus ja leveys ovat samat. Kolmion pinta-ala on siis a * b / 2 Saman kolmio eri asennossa. Vasemmalla olevan korkeus h on normaalina ulkopuolella kolmion ABC, kannan a jatkeella. Kolmion pinta-ala on a * h / 2 Sama kolmia on oikealla käännettynä, jolloin korkeus h' on normaali (eli kohtisuorassa) kannalle c. Kolmion pinta-ala on c * h'/ 2. Molemmissa tapauksissa saadaan kolmiolle ABC sama pinta-ala. 3² + 4² = 5² neliöiden aloina 9 + 16 = 25 Suorakulmainen kolmio ja Pythagoraan lause: Suorakulmaisen kolmion kateeteille piirrettyjen neliöiden alojen summa on yhtäsuuri kuin hypotenuusalle piirretyn neliön ala.
Muita trikonometrisia (kolmion sisältäviä) kuvioita Suunnikas: vastakkaiset sivut ja kulmat Puolisuunnikas: väh. toiset vastakkaiset sivut yhtäsuuria. Pinta-ala: a * h eripitkiä. Pinta-ala: = a + b * h 2 Säännöllinen monikulmio, viisikolmio. Pinta-ala: 5 * ah Säännöllinen monikulmio, kuusikolmio. Pinta-ala: 6 * ah 2 2 (ympyrä on osoituksena viisikulmion säännöllisyydestä) Ympyrä Ympyrän kehän pituus on (pii) * halkaisija. = n. 3,14 (tarkempi arvo 3,141592653...) tai Ympyrän kehän pituus: * 2 r Ympyrän pinta-ala: * r ² Ympyrän kaaren a pituus, jos kulma g = 45 kaaren a pituus on (360/45) eli kahdeksasosa kehästä Sektorin AOB pinta-ala: r * a / 2, jossa a on kaaren AB pituus (kehää pitkin). tai: g / 360 * * r ², jossa g on sekstorin keskuskulma asteina. Segmentin CED pinta-ala: 2/3 * b * h (tarkkuus sitä huonompi mitä paksumpi segmentti)
Harjoituksia Laske kolmioiden pinta-alat. (Sivu 3) Kolmion pinta-ala on a * h / 2 A = B = C = Laske Pythagoraan lauseketta (sivu 2 ja 3) käyttäen korkeuksien h ja h2 sekä ja hypotenuusa c:n pituus. (Ohje: a² + h² = 3² ; h² = 3² - a ²; h = 3² - a ² ) h = h2 = c = a = 4 m c = 4 m, d = 6 m neliön piiri = suorakulmion piiri = pinta-ala = pinta-ala = b:n pituus = e:n pituus =
Laske vinoneliön korkeus h Pythagoraan Suunnikkaan ABCD sivu b = 11 m lausekkeella h² = a² - b² Korkeus h = 7 m ja d = 4 m h = Suunnikkaan ABCD sivu b = 11 m Vinoneliön pinta-ala = Suunnikkaan ABCD pinta-ala Kolmion ahb pinta-ala = Laske sivun a pituus Pythagoraan lausekkeella. h² + d ² = a²; a = a² ; a = Päätykolmion pinta-ala Keskellä olevan nelikulmion pinta-ala Laske puolisuunnikkaan pinta-ala (sivu 4) Pytagoraan lausekkeella sivun a pituus k :n pituus Normaalin n pituus Päätykolmion pinta-ala käyttäen normaalia n Päätykolmion pinta-ala käyttäen normaalia h Lävistäjän e pituus Säännöllinen monikulmio voidaan sijoittaa ympyrän sisään. S on ko ympyrän säde. S = 6 m. Säteen suuntainen h on kolmion korkeusnormaali. Säännöllisessä kuusikulmiossa kaikki kuusi kolmiota ovat tasasivuisia, joten h:n ja k:n pituus on laskettava. Laske Pytagoraan lauseketta käyttämällä kuusikulmion pinta-ala. _
Ympyrän kehän pituus on (pii) * halkaisija. = n. 3,14 (tarkempi arvo 3,141592653...) tai Ympyrän kehän pituus: * 2 r Ympyrän pinta-ala: * r ² Ympyrän kaaren a pituus, jos kulma g = 45 kaaren a pituus on (360/45) eli kahdeksasosa kehästä Sektorin AOB pinta-ala: r * a / 2, jossa a on kaaren AB pituus (kehää pitkin). tai: g / 360 * * r ², jossa g on sekstorin keskuskulma asteina. Segmentin CED pinta-ala: 2/3 * b * h (tarkkuus sitä huonompi mitä paksumpi segmentti) Ympyrän halkaisija on 60 cm Laske ympyrän kehän pituus Kuinka monta kertaa sen kokoinen rengas pyörähtää kilometrin matkalla? Laske ympyrän pinta-ala Sektorin keskuskulma on 45 Kuinka pitkä on kaari a? Laske sektorin pinta-ala kummallakin tavalla Laske segmentin CED (likimääräinen) pinta-ala. (h = 10 cm)
Avaruusgeometriaa Kuutio Kuution kaikki sivut ovat yhtä pitkiä: pituus = 3, leveys = 3 ja korkeus = 3. Tilavuus = 3 * 3 * 3 = 27 pikku kuutiota. Suorakulmainen särmiö Kuutiossa ovat kaikki särmät saman mittaiset. Kuutiometri. Kuinka monta litraa vettä siihen mahtuu? Muutetaan mitat desimetreiksi, sillä kuutiodesimetri vastaa. tilavuudeltaan litraa. Tilavuus on 10 dm * 10 dm * 10 dm = 1000 dm³ = 1000 litraa. Kuinka monta litraa mahtuu viereiseen suotakulmaisen särmiön muotoiseen säiliöön? Muutetaan särmien pituudet desimetreiksi, jolloin tilavuus saadaan kuutiodesimetreinä eli litroina Tilavuus = 3 * 4 * 5 = 60 dm³ eli 60 litraa Pyramidi Viereisen pyramidin mitat ovat samat kuin kuutiometrissä. (Korkeus on mitattu keskeltä pohjaneliötä pyramidin huippuun) Pyramidin tilavuus on kolmasosa vastaavan kuution (tai suorakulmaisen särmiön tilavuudesta). 1 m³/3 = 0,33333 m³ = 333,33 dm³ eli litraa
Lieriö Lieriön pohja ja kansi ovat samankokoisia ympyröitä. Lieriön tilavuus = korkeus * ympyrän pinta-ala Ympyrän säde = 9,2cm / 2 = 4,6 cm Pinta-ala = * 4,6² = 3,14 * 21,16 = 66,4424 cm² Lieriön tilavuus = 15,0 * 66,4424 cm³ = 996, 636 cm³ = noin 1000 cm³ = 1000 ml = 1 litra Kartio Oheisen kartion pohjaympyrän halkaisija ja kartion korkeus on sama kuin yllä olevan lieriön. Kartio kapenee ylöspäin kärkipisteeksi. Siitä seuraa se, että kartion tilavuus on vain 1/3 vastaavan lieriön tilavuudesta eli 332,212 cm³ eli noin 1/3 litraa. Pallo Pallon tilavuus Mikä on pallon tilavuus litroina, jos sen halkaisija on 60 cm? Pallon säde on 3 dm (Lasketaan desimetreinä, jolloin saadaan tilavuus suoraan litroina) Tilavuus eli V = 4 * r ³ = 1,33 * 3,14 * 3 * 3 * 3 3 = 112,7574 litraa. Pallon tilavuus on yllättävä suuri. (Taskulaskimella laskien V = 113,0973355 litraa) Pallon pinta-ala Pallon pinta-ala on 4 kertaa isoympyrän pinta-ala. r = 3 dm 4 * * 3² = 113,1 dm² = 1,131 m²
Harjoituksia 2 Rakennuksen lattian mitat ovat 10 m x 12 m. Siihen valetaan 8 cm paksu betonilaatta. Kuinka paljon betonia tarvitaan? ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 60 cm Kuinka paljon (neliömetreinä) tarvitaan levyä kuutionmuotoisen laatikon valmistamiseen.? 60 cm 60 cm ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Säiliön alaosa on lieriö ja yläosa puolipallo. Laske säiliön tilavuus kuutiometreinä. Pallon halkaisija = m Lieriön korkeus = m Pallon (ja lieriön) säde = m Pallon tilavuus = m³ Puolipallon tilavuus = m³ Lieriön tilavuus = m³ Säiliön tilavuus = m³ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Laske jäätelötuutin (kartio) tilavuus millilitroina. ml = cm³ cl = 10 cm³ dl = 100 cm³ Kartion ympyrän pinta-ala = cm² Kartion tilavuus = ml = dl