8 LIIKEMÄÄRÄ, IMPULSSI JA TÖRMÄYKSET Monissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta Tällöin dynamiikan peruslain F = ma käyttäminen ei ole helppoa tai edes mahdollista Newtonin mekaniikka ei kuitenkaan ole voimassa mikroskooppisella tasolla, eikä silloin kuin kappaleiden nopeus on hyvin suuri (tarvitaan kvanttimekaniikkaa ja/tai suhteellisuusteoriaa) Kun vain konservatiiviset voimat vaikuttavat, voidaan aina käyttää mekaanisen energian säilymislakia Liikemäärän säilymislaki on kuitenkin vielä voimakkaampi, koska se on voimassa myös ei-konservatiivisille voimille (Kokonais)energian ja liikemäärän säilymislaki ovat fysiikan tärkeimpiä, universaaleja periaatteita Esimerkkinä liikemäärän säilymislain tavallisesta sovelluskohteesta törmäysongelmissa kaksi kappaletta vuorovaikuttaa ja kohdistaa toisiinsa hyvin suuria voimia lyhyen ajan sisällä 8.1 Liikemäärä ja impulssi Newton II, kun kappaleen massa m on vakio: Nähdään, että kappaleeseen kohdistuva nettovoima aiheuttaa liikemäärän aikaderivaatan: (8.4) (NII:n alkuperäinen muoto, voimassa vain inertiaalikoordinaatistoissa) Liikemäärä on vektorisuure, jonka komponentit ovat p x = mv x ; p y = mv y ; p z = mv z Liikemäärän yksikkö [p] = kg m/s = N s Integroidaan (8.4) puolittain: Määritellään impulssi yksikkö: [J] = N s p = mv (8.2) X dp F = Saadaan impulssin ja liikemäärän yhteys: Vertaa systeemille tehdyn työn ja kineettisen energian yhteys [(6.7)]:, Z t2 t1 J = X F = Z t2 Z t2 t1 dp = X dp F = Z p2 p1 t 1 X F (8.7) X F = ma = m dv = d (mv) Z t2 t1 dp = p 2 p 1 = p Z t2 X J = F = p = p2 p 1 (8.6) t 1 Z r2 X W tot = F dl = K r 1 1
Voimme korvata ajan mukana vaihtelevan nettovoiman sen omalla keskiarvolla: X Z t2 X F! Fav ) J = F! Fav t Nähdään, että vakiosuuruiselle voimalle (F = F av ): Impulssi ja siitä aiheutuva liikemäärän muutos riippuvat siis vaikuttavan voiman suuruudesta ja vaikutusajasta Lyhytaikaisen suuren voiman ja pitkäkestoisen pienen voiman aiheuttamat liikemäärän muutokset voivat olla yhtäsuuret t1 J = X F t = p J x = p 2x p 1x ; J y = p 2y p 1y ; J z = p 2z p 1z Liikemäärän ja impulssin yhteys on integraalinen periaate: aikavälillä t 1!t 2 vaikuttavan voiman integraali = J aiheuttaa liikemäärän muutoksen J = Δp = p 2 p 1 Kineettisen energian ja systeemille tehdyn työn yhteys on myös integraalinen periaate: paikkavälillä r 1!r 2 vaikuttavan voiman integraali = W tot aiheuttaa kineettisen energian muutoksen W tot = ΔK = K 2 K 1 Molemmissa: suureen arvot tarkasteluvälin päissä! Esim. kun levosta lähtevään kappaleeseen vaikuttaa vakiovoima F aikavälin Δt, jonka kuluessa kappale siirtyy matkan s: p 2 = p {z} 1 +J = F t =0 K 2 = K {z} 1 +W tot = Fs =0 Nähdään, että kappaleen (1) liikemäärä = impulssi, joka kiihdytti kappaleen levosta ja (2) liike-energia = työ, joka tehtiin kappaleen kiihdyttämiseksi levosta Sen sijaan Newtonin II laki F = dp/ on differentiaalinen periaate: siinä voima liitetään hetkellisen liikemäärän muutosnopeuteen 2
3
8.2 Liikemäärän säilymislaki Newton III: kappaleiden A ja B vuorovaikutuksessa F AB = -F BA Systeemin osasten välillä vaikuttavat voimat ovat sisäisiä voimia Voimat, jotka joku systeemiin kuulumaton hiukkanen kohdistaa systeemiin tai johonkin sen osaan, ovat ulkoisia voimia Jos ulkoisia voimia ei vaikuta, systeemi on eristetty NII kahden hiukkasen muodostamalle systeemille: Määritellään systeemin kokonaisliikemäärä P: Nähdään, että systeemin sisäiset voimat eivät voi muuttaa systeemin kokonaisliikemäärää! F BA = dp A 0 = F BA + F AB = dp A ; F AB = dp B + dp B = F BA ) = d (p A + p B ) P = X p = p A + p B (8.12) ) F BA + F AB = dp = 0 Ulkoisten voimien resultantin ollessa nolla, systeemin kokonaisliikemäärä on vakio Useampia kuin 2 kappaletta? Edellinen argumentti on erikseen voimassa jokaiselle systeemin sisäiselle voimavastavoimaparille! se on voimassa mielivaltaisen monesta kappaleesta koostuvan systeemin kokonaisliikemäärälle P = p A + p B + p C + p D + Systeemin sisäisillä voimilla voidaan muuttaa systeemin yksittäisten kappaleiden liikemäärää, mutta ei systeemin kokonaisliikemäärää Saatu liikemäärän säilymislaki ei riipu systeemin voimien yksityiskohdista Vaikuttavien voimien ei esim. tarvitse olla konservatiivisia, toisin kuin mekaanisen energian E säilymislain tapauksessa Ratkaistaessa probleemia liikemäärän säilymislakia käyttäen varmista, että ulkoisten voimien resultantti on nolla, esim. kuvan systeemissä n A + w A = 0 ja n B + w B = 0 4
5
8.3 Liikemäärän säilyminen törmäyksissä Törmäys = tilanne, jossa vuorovaikuttavien kappaleiden välillä vaikuttavat suuret voimat suhteellisen lyhyen ajan sisällä Hyvin usein törmäävien kappaleiden keskinäiset voimat ovat paljon suurempia kuin systeemiin vaikuttavat ulkoiset voimat Tällöin ulkoiset voimat voidaan approksimoida häviäviksi ja systeemiä käsitellä eristettynä, jolloin liikemäärän säilymislakia p 1 = p 2 voidaan käyttää Kolme törmäystyyppiä: (a) elastinen: kaikki vaikuttavat voimat konservatiivisia! liike-energia ennen ja jälkeen törmäyksen samansuuruinen: K 2 = K 1 (b) epäelastinen: ei-konservatiiviset voimat (esim. kitka tai väliaineen) vastus pienentävät liike-energiaa: K 2 < K 1 (c) täysin epäelastinen: kappaleet jäävät toisiinsa kiinni ja jatkavat matkaa yhdessä törmäyksen jälkeen. K 2 < K 1 Täysin epäelastisessa törmäyksessä kappaleilla on yhteinen loppunopeus v 2 Liikemäärä säilyy: v A2 = v B2 = v 2 ) ja p 1 = p 2, m A v A1 + m B v B1 =(m A + m B ) v 2 Tarkastellaan 1D-tilannetta, jossa kappale B on aluksi levossa (v B1 = 0): m A v 2x = v A1x m A + m B Liike-energia ennen törmäystä ja sen jälkeen: K 1 = 1 2 m AvA1x 2 K 2 = 1 2 (m A + m B ) v2x 2 = 1 2 2 (m m A A + m B ) va1x 2 m A + m B m 2 A = 1 va1x 2 2 m A + m B ) K 2 m A = < 1 K 1 m A + m B Nähdään siis, että K 2 < K 1 eli liike-energiaa häviää törmäyksessä 6
7
Törmäysten luokittelu vielä kerran: Eristetty systeemi: aina p 1 = p 2 Hyvin usein ulkoiset voimat pieniä verrattuina sisäisiin voimiin! voidaan approksimoida eristettynä systeeminä Elastinen törmäys: lisäksi E 1 = E 2! (tavallisesti) K 1 = K 2 8