Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta ei sido ylioilastutkintolautakunnan avostelua Loullisessa avostelussa käytettävistä kiteeeistä äättää tutkintoaineen sensoikunta Hyvästä suoituksesta näkyy, miten vastaukseen on äädytty Ratkaisussa on oltava tavittavat laskut tai muut iittävät eustelut ja loutulos Avioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja atkaisu yitään avioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja loutulos Laskuviheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna istemääää mekittävästi Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusviheet saattavat alentaa istemääää huomattavasti Laskin on kokeen auväline, jonka ooli avioidaan tehtäväkohtaisesti Jos atkaisussa on käytetty symbolista laskinta, sen on käytävä ilmi suoituksesta Analysointia vaativien tehtävien atkaisemisessa elkkä laskimella saatu vastaus ei iitä ilman muita eusteluja Sen sijaan laskimesta saatu tulos yleensä iittää utiinitehtävissä ja laajemien tehtävien utiiniosissa Tällaisia ovat esimekiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden atkaiseminen sekä funktioiden deivointi ja integointi a) 7( x ) x ( x ) 7x 0 7x 0 x 0 b) Positiivisuusehto on x(5 8 x ) 0 Vasemman uolen nollakohdat ovat c) 0 5 8 x x Mekkikaavion eusteella ehto toteutuu, kun 0 x 5 8 a b a b ( a b)( a b) ( a b)( a b) a b a b a b a b ( a b) ( a b) a 7 Taulukko on f( x ) gx ( ) hx ( ) 4 Matematiikan koe, itkä oimäää 904
a) Pinta-ala saadaan integoimalla eotus jolloin kysytty ala on 6x / ln x dx x x 4 ln 4,69 b) g( x) f ( x) f ( x ) Koska 4 4 6x x x 6 x, x x ( ), f x x niin g( x) ( x) x Siis g() 9 4 Jos a 0, niin yhtälö on muotoa 5x 0, jolla on täsmälleen yksi atkaisu Jos a 0, niin yhtälö on astetta ja sillä on täsmälleen yksi atkaisu, kun diskiminantti D5 8a0, eli kun a 5 8 5 Pisteen (8,6) kautta kulkevan suoan x4y 0 nomaalin yhtälö on 4 5 4 y 6 ( x 8) x y Ymyän keskiiste sijaitsee nomaalilla Jos ymyän säde on, niin keskiisteen 5 4, tulee olla alkueäisestä suoasta etäisyydellä Näin saadaan ehto 9 75 4 4 9 6 5 75 4 5 5 50 0 0 0 Taauksessa 0 ymyä sivuaa negatiivista x-akselia Kysytty säde on siis 0 0, 0 ja keskiiste 6 Olkoon ( ) n n f x ( x a k ), jolloin f ( x) ( x ak ) nx n a k k k k Deivaatan nollakohta on x n ak Kyseessä on minimikohta, koska funktion n k f kuvaaja on ylösäin aukeava aaabeli Matematiikan koe, itkä oimäää 904
7 Taulukoidaan kaikki mahdolliset silmälukujen summat: Kaikkiaan alkeistaauksia on 64 4 kaaletta a) Taulukon eusteella saadaan todennäköisyydet: n 4 5 6 7 8 9 0 P( X n ) /4 /4 /4 4/4 4/4 4/4 /4 /4 /4 b) Summan odotusavo on 4 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 4 5 6 7 4 5 6 4 5 4 ( 4 4 5 4 6 4 7 8 9 0) 6 Se voidaan laskea myös seuaavalla tavalla Tavallisen noan silmäluvun odotusavo on,5 ja tetaedinoan silmäluvun odotusavo on,5, joten kysytty odotusavo saadaan näiden summana 8 Säteet leikkaavat toisensa, jos yhtälö OA su OB t v toteutuu joillakin s0, t 0 Tällöin ( s) i ( s) j ( s) k (9 t) i ( t) j ( t) k s 9 t Vetaamalla komonentteja saadaan yhtälöyhmä s t s t Ratkaistaan kahdesta ylimmästä yhtälöstä t ja s Huomataan, että tällöin myös kolmas yhtälö toteutuu Näin ollen säteet leikkaavat ja kysytty leikkausiste on (7, 5, 6) Matematiikan koe, itkä oimäää 904
9 a) Leikkausisteiksi saadaan A(6,0,0), B (0,,0) ja C (0,0,) Tällöin kolmio OAB on tetaedin ohja ja jana OC sen kokeus Sämien ituudet ovat OA 6, OB ja OC Tetaedin tilavuus on OAOB 6 OC 6 b) Kolmion sivuina ovat vektoit u AB 6i j ja v AC 6i k uv 6 6 Niiden väliselle kulmalle ätee cos u v 45 40 50 Olkoon h isteestä C mitattu kolmion kokeus Koska sin h, niin v 6 4 h 40 sin 40 Kolmion ABC inta-ala on 50 5 u h 4 0 Juustonalan leikkauskuvio ystysuoan tason x t kanssa on suoakulmio, jonka kanta on t Suoakulmion kokeus H H h saadaan veannosta H h t Leikkauskuvion inta-ala on t ( ) h, 0 A t a h t t t Juustoalan tilavuus on t A( t) dt ( t) t dt h / h 0 0 0 h x, 0 x a) f ( x), x x, x 4 x C, 0 x b) Integoimalla saadaan f ( x) x C, x x x C, x 4 Matematiikan koe, itkä oimäää 904
C 0 Koska f (0) 0 ja integaalifunktio on jatkuva, niin C C C C 4 Ratkaisuksi saadaan C 0, C ja C 5 Tällöin x, 0 x f ( x) x, x 5 x x, x 4 x ja f ( x) 0 c) Funktio f on deivoituva välillä 0 4 vain kohdassa x Mahdolliset ääiavokohdat välillä 0x 4 ovat siis 0, ja 4 Koska f (0) 0, f () ja f (4), niin funktion suuin avo on ja ienin avo on 0 Deivaatan likiavo gafiikkalaskimella TI-86: lauseke viheen itseisavo 0,87747088 4,4 0 4 0,877558589 5,4 0 5 0,87758065 6,4 0 6 0,87758 7,4 0 7 0,877586 8,8 0 8 0,87758 7 4,4 0 9 0,87759 6 7,4 0 0 0,8776 5,7 0 cos(0,5) 0,877585689 Avo 7 antaa ahaan likiavon Oikea vastaus saattaa iiua käytetystä laskimesta Matematiikan koe, itkä oimäää 904
a) Kyseessä on aitmeettinen summa, jonka avo on ( ) ( k ) n n k ( k )( n k ) Näin saadaan yhtälö ( )( ) 007 k n k ( k )( n k ) 04 b) 04 007 9 5 c) Edellisten kohtien nojalla lauseke k voi saada avot,, 9, 5, 9, 5, 9 5 ja 95 Tutkimalla kaikki vaihtoehdot havaitaan, että vain seuaavat tekijöihinjaot antavat ositiivisia kokonaislukuatkaisuja k k 04 007, kun nk 007 n 50 k 8 k 7 04 8 5, kun nk 5 n 8 k 9 k 8 04 9 06, kun nk 06 n 44 4 a) Kuvion mukainen käyä koostuu kahdesta ymyän kaaesta Ymyän säde on kolmion sivun ituus, ja kaata vastaava keskuskulma on Kysytty 9 ituus on 4 b) Piietty kuviot c) Kysytty käyä koostuu kolmesta ymyän kaaesta, joista ensimmäinen ja kolmas ovat yhtä itkät Ensimmäisen säde on neliön sivun ituus 4, ja toisen säde on neliön lävistäjän ituus 4 Jokaista kaata vastaava keskuskulma on Kysytty ituus on ( ) 4 4 8 d) Kysytty käyä koostuu viidestä ymyän kaaesta, joista ensimmäinen ja viides sekä toinen ja neljäs ovat yhtä itkät Ensimmäisen kaaen säde on kuusikulmion sivun ituus 6, toisen säde kuusikulmion lyhyemmän lävistäjän ituus 6 ja kolmannen säde kuusikulmion idemmän lävistäjän ituus Jokaista kaata vastaava keskuskulma on Kysytty ituus on 6 6 ( ) 9 9 Matematiikan koe, itkä oimäää 904
5 a) Koska g 0 ( x ), g * f xdx 0 ja 0 g( x) x x Koska g f x x dx 0 ja g g x xdx niin g g dx, niin 0 0 0 g 0 f x dx,, 0 ( ) g0* g xdx 0, g 0 g ( x ) dx 0 ja 4 ( ) / x x 4 6 g x x x x b) Koska g g x x dx x x dx 0, niin otogonaalisuus on voimassa c) Lasketaan skalaaitulot: 4 h g0 x ax bx cdx / a b 4 x x x cx a, c 4 h g x ax bx c xdx / 5 a 4 b c 5 4 x x x x b x ax bx cx xdx h g x ax bx c x xdx 5, 5 4 a b c ( ) ( ) 6 5 4 / a b ca b c 6 0 9 6 x ax b x c x x dx x x x x x x a 6ca c 0 9 a 90 Funktiot ovat otogonaaliset, kun a c b a 0, josta ac 0 ja b 5 5 90 Matematiikan koe, itkä oimäää 904
Alustava isteitys a) 7( x ) x ( x ) 7x 0 0 7 7x 0 x b) Ehto: x(5 8 x) 0 Vasemman uolen nollakohdat: c) x 05 8x 0 x 0 x 5 8 Koska lausekkeen kuvaaja on alasäin aukeava aaabeli, niin ehto toteutuu, kun 0x 5 8 a b a b ( a b)( a b) ( a b)( a b) Tekijöihin jako:, a b a b a b a b josta suistamalla: ( a b) ( a b) a Funktio f( x ) gx ( ) hx ( ) Deivaatta 4 a a) Käyien väliin jää: y y 6x, x jolloin kysytty ala A 6x dx / x ln x x 6 ln ln 4 ln 4,69 4,69 g( x) f ( x) ( x) ( x) 4x x, josta g( x) x, joten g() 9 TAI: g( x) f ( x) f ( x) Koska f ( x) x, niin g() f() 9 b) Matematiikan koe, itkä oimäää 904
4 Jos a 0, niin yhtälö on muotoa 5x 0, jolla on vain yksi atkaisu x 5 Jos a 0, niin yhtälö on astetta ja sillä on täsmälleen yksi atkaisu, kun diskiminantti D5 8a 0, eli kun a 5 [tällöin x 4 ] 8 5 5 Suoan s: x 4y 0 y x isteeseen (8,6) iietyn nomaalin yhtälö on y 6 4 ( x 8) x 4 y 5 4 Kysytyn ymyän säde Tällöin sen keskiisteen ( 5, ) 4 tulee olla suoasta s etäisyydellä 9 75 4 4 Saadaan ehto: 5 75 5 9 6 4 5 50 0 0 0, joista jälkimmäinen avo ei kelaa (tällöin ymyä sivuaisi negatiivista x-akselia) Kysytty säde on siis 0 ja keskiiste 0, 0 6 Lauseke n k, k f ( x) ( x a ) n n josta f ( x) ( x ak ) nx ak k k n Nollakohta: f( x) 0 x ak [= vakioiden a k keskiavo)] n k Kyseessä on minimikohta, koska funktion f( x) kuvaaja on ylösäin aukeava aaabeli Matematiikan koe, itkä oimäää 904
7 a) Pistesumma x saa avot,,4,,0 Näillä on suotuisia alkeistaauksia vastaavasti,,,4,4,4,,, kl Kaikkiaan alkeistaauksia 64 4 kl Tulos = x i, todennäköisyys = i Tulokset oheissa taulukossa: 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 4 5 6 7 4 5 6 4 5 4 Taulukon eusteella saadaan todennäköisyydet: x i 4 5 6 7 8 9 0 /4 /4 /4 4/4 4/4 4/4 /4 /4 /4 i b) Summan odotusavo on ( 4 4 5 4 6 4 7 8 9 0) 4 6 TAI: Odotusavo myös suoaan:,5,5 6,0 8 Säteet leikkaavat toisensa, jos st, R: OA su OB tv ( s) i ( s) j ( s) k (9 t) i ( t) j ( t) k s 9 t Tämä toteutuu, kun s t s t t Kahdesta ylimmästä yhtälöstä saadaan, s jotka avot toteuttavat myös alimman yhtälön, joten säteet leikkaavat Sijoittamalla s:n ja t:n avot, saadaan leikkausisteeksi (7, 5, 6) Matematiikan koe, itkä oimäää 904
9 Nollaamalla tason yhtälössä muuttujaa keallaan saadaan tetaedin käkiisteiksi O, A(6,0,0), B (0,,0) ja C (0,0,) a) Olkoon kolmio OAB tetaedin ohja ja OC sen kokeus Sämien ituudet ovat OA 6, OB ja OC Tällöin tetaedin tilavuus on OAOB OC 6 6 b) Tulkitaan nyt ABC tetaedin ohjaksi Koska tetaedin tilavuus V V Ah, on ohjan ala A h Edellä on saatu V 6 Kokeus h on sama kuin oigon etäisyys ohjatasosta, eli h 0006 6 4 9 4 6 Kysytty ala on siten A 4 6 4 TAI istitulolla: AB 6i j u ja AC 6i k v i j k u v 6 0 6i j 8k 6 0 u v 6 4 9 AABC 4 TAI istetuloilla: uv 6, u 6 9 5 Vektoin v ojektiovektoi vektoilla u vu 6 4 4 45 5 5 5 u u i j vu u u u Kantaa vastaan kohtisuoa kokeusvektoi on tällöin 6 5 5 i j k, josta h 6 44 00 70 Tällöin A ABC uh 5 5 70 5 5 h v v 4 u Matematiikan koe, itkä oimäää 904
0 Leikataan juustoalaa lieiön ohjan halkaisijan suuntaisella ystysuoalla tasolla etäisyydellä x ohjan halkaisijasta (0 x ) Leikkauskuvio on suoakulmio, jonka kanta a, jossa a x Suoakulmion kokeus H saadaan veannosta: H x Leikkauskuvion inta-ala: h h H x A( x) a h h x x, 0 x A( x) dx h ( x) x dx 0 0 Juustoalan tilavuus on siten / x h h 0 0 h Matematiikan koe, itkä oimäää 904
a) b) Koska mutoviivan ensimmäinen osa on osa suoaa y x, toinen osa suoaa y ja kolmas suoaa y x, x, 0 x niin deivaattafunktio on f ( x), x x, x 4 x C, 0 x Integoimalla saadaan: f ( x) x C, x x x C, x 4 C C Koska integaalifunktio on jatkuva, niin C C 4 Mekitään C C Tällöin C C ja C C 5 Alkuehto f (0) 0 antaa: C 0, C ja C 5 Tällöin x, 0 x f ( x) x, x x x 5, x 4 x ja f ( x) 0 c) Funktio f on deivoituva välillä 0 4 x vain kohdassa Ääiavoehdokkaat ovat siten: f (0) 0, f () ja f (4), joista suuin avo on ja ienin 0 Matematiikan koe, itkä oimäää 904
Deivaatan likiavo gafiikkalaskimella TI-86: lauseke viheen itseisavo 0,87747088 4,4 0 4 0,877558589 5,4 0 5 0,87758065 6,4 0 6 0,87758 7,4 0 5 7 0,877586 8,8 0 8 0,87758 7 4,4 0 9 0,87759 6 7,4 0 0 0,8776 5,7 0 cos(0,5) 0,877585689 Avo 7 antaa ahaan likiavon Oikea vastaus saattaa iiua käytetystä laskimesta Matematiikan koe, itkä oimäää 904
a) Kyseessä on aitmeettinen summa an, jossa a n, an n k ja n ( n k) temejä k kl Summakaavalla saadaan Sk ( k ) ( k )( n k) Koska ( )( ) 007 n k, niin( )( ) 04 b) 04 007 9 5 c) Edellisten kohtien nojalla tekijä k voi saada avot,, 9, 5, 9, 5, 9 5 ja 9 5 Tutkimalla kaikki vaihtoehdot havaitaan, että vain seuaavat tekijöihinjaot antavat ositiivisia kokonaislukuatkaisuja: 04 007, kun 04 8 5, kun k k nk 007 n 50 k 8 nk 5 k 7 n 8 04 9 06, kun k 9 nk 06 k 8 n 44 Matematiikan koe, itkä oimäää 904
*4 a) Kolmion sivu = s Tällöin s s Käyä koostuu kahdesta identtisestä s-säteisestä ymyän kaaesta, joissa keskuskulma = 0 Käyän ituus 4 9 b) Piietty käyät c) Käyä koostuu kolmesta ymyän kaaesta, joista ensimmäinen ja kolmas ovat yhtä itkät Ensimmäisen säde = neliön sivu 4 ja toisen säde = neliön lävistäjä 4 Jokaista kaata vastaava keskuskulma = Käyän ituus ( ) 4 4 4 8 d) Käyä koostuu nyt viidestä ymyän kaaesta, joista ensimmäinen ja viides sekä toinen ja neljäs ovat yhtä itkät Ensimmäinen säde = 6-kulmion sivu, toinen säde = 6-kulmion 6 6 lyhyemi lävistäjä ja kolmas säde = 6-kulmion itemi lävistäjä Kutakin kaata vastaava keskuskulma = Käyän ituus = 6 6 9 9 9 ( ) 9 9 Matematiikan koe, itkä oimäää 904
*5 a) Koska g0( x), b) 0 niin g( x) x x Koska g g x dx niin Koska g0* f xdx 0 ja g0 g0 dx, g0 f x dx, g f xx dx 0 ja, 0 g( x) x x x g0* g xdx 0 ja g 0 g x dx g g x( x ) dx x x dx / 4 x x 4 6 0 sekä ( ) 0, niin otogonaalisuus on voimassa c) Lasketaan skalaaitulot: 0 4 a b / x x x cx h g x ax bx c dx a c, 4 4 h g x ax bx c xdx / 5 4 x a x b x c x 5 4 5 b, 5 4 a b c ( ) ( ) 6 a 5 b 4 / ca b c 6 0 9 6 h g x ax bx c x xdx x ax b x c x x dx x ax bx cx xdx x x x x x x 6 90 a a c a c 0 9 Funktiot ovat otogonaaliset, kun a c b a 0, 5 90 josta ac 0 ja b 5 Matematiikan koe, itkä oimäää 904