Johdatus kvantti-informatiikkaan

Johdatus kvantti-informatiikkaan Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Elektroniikan ja nanotekniikan laitos Kevät 2018

Johdanto Lukemistona esim. Nielsen & Chuang: Quantum Computation and Quantum Information Kvantti-informatiikka ja -laskenta = informaation prosessointia kvanttimekaanisten järjestelmien avulla Miten kvanttilaskenta ja klassinen laskenta eroavat toisistaan? Kvanttikryptografia: klassista informaatiota voidaan kryptata kvanttitietokoneella, lisäksi vastaanottaja tietää jos viesti on luettu matkalla Kryptauksen purku: kvanttitietokoneella voidaan purkaa salattuja viestejä Lomittuminen (entanglement): kahden kvanttimekaanisen systeemit tilat kytkeytyneet toisiinsa Johdatus kvantti-informatiikkaan Sami Kujala Kevät 2018 Elektroniikan ja nanotekniikan laitos

Perusteita Kvanttipiirit Kvanttialgoritmeista Kvanttitietokoneen fysikaalinen toteutus

Qubitti ja Diracin notaatio Qubitti kvanttilaskennan bitti, systeemin tila Matemaattinen otus, joka voidaan toteuttaa fysikaalisesti monilla eri tavoilla Merkinnöissä käytetään ns. Diracin notaatiota: 1 ja 0 vastaavat klassisia bittejä 1 ja 0 Bra 1 ja Ket 1 kytkeytyvät toisiinsa 1 = ( 1 ) Toisaalta merkintä 1 0 tarkoittaa tilojen sisätuloa Hilbertin avaruudessa Fysikaalisesti 1 yhdistetään kvanttimekaaniseen (ominais)tilaan φ 1, jolloin a b = φ a φ b dx ja a Ĥ b = φ a Ĥ φ b dx Johdatus kvantti-informatiikkaan Sami Kujala Kevät 2018 Elektroniikan ja nanotekniikan laitos

Qubiteistä ja lisää käsitteitä Toisin kuin klassinen bitti, qubitit ovat yleisesti tilassa ϕ = α 0 + β 1 Qubitti on ennen mittaamista tilassa ϕ = α 0 + β 1 Mittaustulosten esiintymistodennäköisyydet saadaan kertoimien itseisarvoista Tilat 0 ja 1 nimetty laskentakannaksi (computational basis) 0 ja 1 muodostavat ortonormaalin kannan vektoriavaruuteen { 1, i = j i j = δ ij, missä δ ij = 0, i j Johdatus kvantti-informatiikkaan Sami Kujala Kevät 2018 Elektroniikan ja nanotekniikan laitos

Qubitti ja informaation määrä ϕ = α 0 + β 1 Koska α 2 + β 2 = 1, voidaan tila ϕ kirjoittaa ϕ = e iγ( cos θ 2 0 + eiφ sin θ 2 1 ), missä termi e iγ voidaan jättää pois. (Miksi?) Numerot θ ja φ kuvaa pistettä ympyrällä Periaatteessa yhteen qubittiin voitaisiin koodata valtavasti informaatiota! Sitä ei voida kuitenkaan mitata miksi? Mitä jos tätä informaatiota ei mitata...? Johdatus kvantti-informatiikkaan Sami Kujala Kevät 2018 Elektroniikan ja nanotekniikan laitos

Useita qubittejä Lomittuminen (entanglement) ja Bellin tila Tarkastellaan kahden qubitin muodostamaa järjestelmää Niillä on neljä tilaa laskentakannassa: 00, 01, 10 ja 11, joten ϕ = α 00 00 + α 01 01 + α 10 10 + α 11 11 Tämän erikoistapaus on ns. Bellin tila (Bell state / EPR pair): ϕ = 00 + 11 2 Qubitit ovat lomittuneessa (engl. entangled) tilassa. Avainasemassa kvanttiteleportaatioon ja supertiheään koodaukseen? Mitä tapahtuu jos Bellin tilan toisen qubitin arvo mitataan?

Lomittuneet tilat Kahden eri kvanttimekaanisen systeemin tilojen välillä on korrelaatio Systeemit voidaan erottaa ja korrelaatio säilyy silti! Einstein, Podolsky ja Rosen kirjoittivat 1935 artikkelin (Phys. Rev., 47, 777, (1935), linkki mycoursesissa) lomittumisesta Piilomuuttujateoria (hidden variable theory) = millä tavoin systeemit kommunikoivat tilansa toisilleen? Johdatus kvantti-informatiikkaan Sami Kujala Kevät 2018 Elektroniikan ja nanotekniikan laitos

Kvanttipiirit ja kvanttilaskenta Muutokset qubittien kvanttitilassa = kvanttilaskenta Klassinen tietokone koostuu logiikkaporteista (logic gate) ja niitä yhdistävistä johdoista (= elektroniikkapiiri) Kvanttitietokone koostuu kvanttiporteista (quantum gate) ja johdoista (= kvanttipiiri [quantum circuit]) Tarkastellaan muutamaa yksinkertaista kvanttiporttia ja niistä muodostettua kvanttipiiriä sekä niiden sovelluksia Johdatus kvantti-informatiikkaan Sami Kujala Kevät 2018 Elektroniikan ja nanotekniikan laitos

Yhden qubitin kvanttipiirit (X, Z ja H-portit) [ ] α Yhden qubitin tila: ϕ = α 0 + β 1 pystyvektori β Tilaa muuttava piiri kuvataan 2 2 matriisilla, jota kerrotaan pystyvektorilla Esim kvantti-not: [ 0 1 ] [ ] [ ] [ ] [ ] α 0 1 α β X = X = = = ϕ = β 0 + α 1 1 0 β 1 0 β α Ainoa vaatimus kvanttipiireille on unitaarisuus joka huolehtii normalisaation säilymisestä Unitaarinen matriisi U: U U = I, missä tarkoittaa transpoosin ja kompleksikonjugoinnin yhdistelmäoperaatiota Muita tärkeitä kvanttipiirejä Z [ 1 0 0 1 ] (Z-portti) H 1 2 [ 1 1 1 1 ] (Hadamard-portti)

Yhden qubitin kvanttipiirit (X, Z ja H-portit) Hadamard kiertää käytettävää laskentakantaa: H 1 [ 1 1 ] 0 + 1 0 1 H(α 0 + β 1 ) = α + β 2 1 1 2 2 1 0 + 1 2 0 0 1 2

Usean qubitin kvanttipiirejä Klassisten porttien prototyyppiportti on NAND-portti, josta voidaan konstruoida kaikki muut portit (AND, OR, XOR, NOR) Kvanttiporttien vastine sille on CNOT (controlled not), jonka toimintaa kuvataan matriisilla 1 0 0 0 U CN 1 0 1 0 0 2 0 0 0 1 (Controlled not -portti) 0 0 1 0 Sen toinen qubiteista on ohjausqubitti ja toinen kohdequbitti 00 00 ; 01 01 ; 10 11 ; 11 10 Mikä tahansa usean qubitin portti voidaan rakentaa yhdistämällä CNOT-portti ja yhden qubitin portteja

Kvanttitiedon kopioitavuus No-cloning theorem Yritetäään kopioida qubittiin koodattu klassinen bitti ϕ 1 = a 0 + b 1 (a ja b ennalta tuntemattomia) Käytetään CNOT-porttia, jossa tuntematon qubitti on ohjausqubittina ja kohde on alustettu tilaan ϕ 2 = 0, jolloin niiden yhteistila on ϕ 1 ϕ 2 = [ a 0 + b 1 ] 0 = a 00 + b 10 Kun tähän tilaan kohdistetaan CNOT-portti, lopputuloksena ϕ 2 tunnetaan, jos ja vain jos ϕ 1 tunnetaan

Kvanttitiedon kopioitavuus No-cloning theorem Sen sijaan jos tilaa ϕ 1 ei tunneta: ϕ 1 ϕ 2 = a 2 00 + ab 01 + ab 10 + b 2 11 Halutun kopioinnin tila a 00 + b 11 toteutuu vain jos ab = 0, mikä on ristiriidassa oletuksen kanssa että tuntematon tila on sekatila ϕ 1 = a 0 + b 1 Mielivaltaista kvanttitilaa ei pystytä kopioimaan Vain puhtaat tilat voi kopioida tila romahdutettu ja informaatiota hävitetty

Kvanttiteleportaatio Osoittautuu, että kvanttitietoa voidaan siirtää paikasta toiseen ilman varsinaista kvanttitilan siirtokanavaa! Sitä varten palataan Bellin tiloihin / EPR-pareihin (kahden qubitin systeemi) Otetaan kaksi qubittia, joista toinen qubitti ohjataan yhden qubitin Hadamardin porttiin, joka ohjaa kahden qubitin CNOT-porttia Toinen qubiteista on CNOT-portin kohdequbittina, jolloin saadaan tilat β ij : 00 11 00 + 11 00 11 = β 00 10 = β 10 2 2 01 10 01 + 10 = β 11 01 = β 01 2 2

Kvanttiteleportaatio

Kvanttiteleportaatio Alice ja Bob muodostavat yhdessä EPR-parin, jonka qubitit he jakavat puoliksi keskenään ja menevät omille teilleen Myöhemmin Alicen pitäisi siirtää qubitti ϕ Bobille seuraavin ehdoin: 1. Alice ei tunne tilaa ϕ mittaaminen tuhoaisi tilan ja informaatiota 2. Alice voi lähettää Bobille vain klassista informaatiota Toiminta: Alice yhdistää tilan ϕ omaan EPR-parin puolikkaaseensa ja mittaa molemmat qubitit Tulos on joku joukosta 00, 01, 10, 11 ja Alice lähettää tämän klassisen informaation Bobille Tuloksen perusteella Bob operoi omaan EPR-parin puolikkaaseensa, jolloin alkuperäinen tila ϕ saadaan takaisin Kvanttitila siirrettiin klassisen informaation ja EPR-parien avulla!

Kvanttiteleportaation yksityiskohdat Alkuperäinen tila ϕ = α 0 + β 1 yhdistetään EPR-pariin β 00, saadaan tila ϕ 0 ϕ 0 = ϕ β 00 = 1 ] [α 0 ( 00 + 11 ) + β 1 ( 00 + 11 ) 2 Vasemmalta laskien kaksi ensimmäistä qubittia on Alicella, kolmas (oikean puolimmaisin) on Bobilla NB! Kaksi oikeanpuolimmaisinta qubittia lomittuneet (entangled) keskenään EPR-parin muodostuessa Alice lähettää qubittinsä CNOT- ja Hadamard-porttien läpi sekä mittaa lopputuloksen ϕ 2 = 1 [ 00 (α 0 + β 1 ) + 01 (α 1 + β 0 ) 2 ] + 10 (α 0 β 1 ) + 11 (α 1 β 0 )

Kvanttiteleportaation yksityiskohdat Alice kertoo edellisen mittauksen tulos (00, 01, 10, 11) Bobille klassista informaatiokanavaa pitkin Bob palauttaa mittaustuloksen perusteella lähetetyn tilan kohdistamalla omaan EPR-parin puoliskoonsa sopivat kvanttiporttien operaatiot (00 ei mitään, 01 X, 10 Z, 11 ZX) Kysymyksiä 1. Voidaanko kvanttiteleportaatiolla välittää tietoa yli valonnopeudella? Miksi? 2. Rikkooko kvanttiteleportaatio kvanttitilan kloonauksen kieltävän säännön (no cloning theorem)? Miksi?

Perusperiaatteet Kvanttitietokoneen perustoimintayksikkö on qubitti kaksitasojärjestelmä Toteuttamista varten tarvitaan vankka fyysinen toteutus qubitistä (=informaation esitystapa, representaatio) Lisäksi tarvitaan järjestelmä, jossa qubittien tila kehittyy (=miten laskenta tapahtuu) Lopuksi qubittien tila pitää pystyä valmistelemaan laskua varten, sekä mittaamaan ne jälkeenpäin Näitä perusvaatimuksia voidaan toteuttaa useimmiten vain osittain Kvanttitietokone pitää eristää ympäristöstään, jotta sen ominaisuudet säilyvät Toisaalta eristäminen estää qubittien tilan manipuloimisen ja mittaamisen Johdatus kvantti-informatiikkaan Sami Kujala Kevät 2018 Elektroniikan ja nanotekniikan laitos

Kvanttitietokoneen hyvyysluvut Keskeinen hyvyysluku kvanttitietokone-ehdokassysteemissä on kvanttikohina/dekoherenssi, joka sekoittaa systeemin tilojen aikaevoluution Rajoittaa pisintä laskua, jonka kvanttitietokoneella voi laskea Saadaan koherenssiajan ja unitaarimuunnokseen vaadittavan ajan suhteena Operaatiomäärä vaihtelee 1 10 3 (kvanttipiste) 1 10 14 (ydinspin) välillä [Nielsen & Chuang] Ydinspin vaikuttaa hyvältä heikon vuorovaikutuksen takia kuitenkin tila vaikea preparoida ja määrittää Muita keskeisiä hyvyyslukuja ovat tilojen fideliteetti (fidelity), systeemin entropia sekä mittauksen signaalikohinasuhde (SNR)

Esimerkki: kvanttitietokone optisista fotoneista Qubitin esitystapa: yksittäisen fotonin sijainti kahden kaviteetin välillä tai fotonin polarisaatio Kvanttiporttien toteutus: yksittäiselle fotonille vaiheen siirto ja säteenjakajat, sekä kahdelle fotonille keskinäinen vuorovaikutus kolmannen kertaluvun epälineaarisuuden kautta (keskinäinen vaihemodulaatio, cross phase modulation) Alkutilojen preparointi: yksittäisten fotonien tuottaminen (esim lasersädettä vaimentamalla) Tilojen määritys: yksittäisten fotonien havaitseminen (valomonistinputkilla) Hankaluudet: keskinäisen vaihemodulaation tuottaminen hankalaa kun yhtäaikaa absorption on oltava vähäistä (liittyvät toisiinsa) Johdatus kvantti-informatiikkaan Sami Kujala Kevät 2018 Elektroniikan ja nanotekniikan laitos

Muita esimerkkejä Optisen kaviteetin kvanttielektrodynamiikka (yksittäisen fotonin sijainti tai polarisaatio, vuorovaikutus optisessa kaviteetissa olevien atomien avulla) Ioniloukut (atomiytimen spin, vuorovaikutus värähtelytilojen/fononien avulla) Ydinmagneettinen resonanssi (atomiytimen spin, vuorovaikutus sidosten avulla) Johdatus kvantti-informatiikkaan Sami Kujala Kevät 2018 Elektroniikan ja nanotekniikan laitos