Vastaukset:. taskulaskimen funktionäppäimet, pankkiautomaatti, postimerkkiautomaatti,.... a) 0 b) 0 c) ( a 3) 3. 0 5 8 3 4 4 4. a) 7 b) -7 c) d) 5 5. - 8-7 0 6 5 4 6. a) Tbsjub b) Eino c) - 7. a) b) 5 c) a 3 d) 8. 06
9. {5, 3,, -} 0. syöte 3 5 8 30 96 tuloste 5 7 9 34 00. {, 6,, 0, 0,, 6}. kyllä 3. a) 9.00 b).00 c).00 d) 9.00 4. 5.00 5. x x 7 6. x x 8 7. a) 3 F b) 73,4 F c) 5 F 8. a) 7,8 C b) 37,8 C c) 7,8 C 9. -89, C 0. 07
syöte -5 tuloste 4 4 5 0 0 3 3 9-9 5 4 4 5. x x 0. A =, B = 6, C = 5, D = -5 3. a) x x b) x x c) x x 4. a) x x b) x x c) x x 5 5. {-,, 3, 8} 6. ei 7. a) X b) E c) a ja b d) y 8. a) 3 b) 4 c) - 9. muuttujan arvo funktion arvo merkintä 3 0 f(3) = 0 8 45 f(8) = 45 7 9 f(7) = 9-34 f(-) = 34-63 f() = -63-9 78 f(-9) = 78 3-5 f(3) = -5 08
30. a) f(3) = b) g(0) = -3 3. a) b) c) 3. a) Funktio lisää lukuun kolme. b) Funktio ilmoittaa luvussa olevien numeroiden määrän. 33. a) 6 b) 4 c) 0 d) 4 e) 6 34. a) b) 3 c) 7 d) 6 35. kyllä 36. - 37. a) 0 b) 3a 4 c) 3b + 5 d) 8 38. f ( x), 80x 39. a) b) c) ei voi laskea 40. {-6, -, -6, -} 09
4. a) 3 b) 8 c) ei voi laskea 4. a) 85 b) 83 43. a) 99 mm b) 38 cm c) 3 m 44. f ( x) x 45. {, 4, 6} 46. a) 4 b) 5 c) 3 d) 3 47. f ( x) 48. a) kaikki reaaliluvut b) oltava x 0 c) oltava x 0 49. a) f ( x) x b) g( x) 3x 50. a) x b) x 0 c) x 5. x 4 5. 0
a) {, 5, 8} b) {-7, -4, -} 53. 5 f ( ) f (3) 6 54. f ( x) ( x ( x ( x x 3 3 3 4x 7x 7x 3x 5 3x )( x 4) ( x 4x 8) ( x 4x 8 x x x 8) ( x 3 3 7x 7x 5x 4)( x ) 4x 8) 4x 8 x 5x 0x 4x 8) 0 Funktio on vakiofunktio 0, joten sen kaikki arvot ovat nollia. Vastaus: f ( x) 0 ja arvot kohdissa 0, ja 4 ovat nollia. 55. x f ( x) 56. a) b) c) 5 d) 4 e) 0 57. a) 9 b) c) 3 58. a) 0 b) c) 0 d) 3 e) - 59. B 60. a) m/s b) 5 s kuluttua lähdöstä c) noin 6 m/s 3
6. a) 4 b) 6 cm 6. c) koska siinä jokaista x:n arvoa vastaa täsmälleen yksi y:n arvo 63. a) 3 3 64. A ja E, B ja F, C ja D 65. 66. A( r) r 4 ja 4 V ( r) r 3 67. 750000 f ( x) ja f ( 50) 5000 x 68. 3
a) D b) A c) F d) C e) B f) E 69. a) F b) D c) A 70. 7. p( d) d 7. 73. y-akselin suuntaiset suorat eivät ole minkään funktion kuvaajia, koska funktiolla saa olla jokaisessa pisteessä ainoastaan yksi arvo 74. 3
75. 76. a) 5 b) c) - 77. x = 0 4
78. a) x = b) x = 79. a) vähenevä d) kasvava e) vähenevä f) kasvava 80. f(x) = - 8. a) 0 C b) laskee 3 m/s c) 330 m/s 8. f(x) = 6 83. 5
84. s 0,7r 5, f ( r) 0,7r 5 85. k 67n 40, f ( n) 67n 40 86. 87. f ( x) x 88. a) t b) t c) t 89. a) x = 3 b) x = 0 c) ei nollakohtaa 90. a) 9, b) 45 km 9. 6
palkka [ ] a) x b) 3 x 9. a) x 9 b) t = - c) y = 93. nollakohta 4 x, x = 3 94. ei yhtään tai yksi 95. x = 0 96. a) x = a b) x a 3 c) x a 4 97. ei yhtään, yksi tai kaksi 98. 0 6 8 4 0 0 3 4 5 aika [h] 7
kuukausipalkka [ ] 99. 550 55 500 475 450 45 400 0 50 00 50 00 50 300 350 400 450 500 550 myynti [ ] 00. Yhdellä eurolla saa 0,8 dollaria, 0,6 frangia ja 0, rialia. 0. f ( x) 0, 007x 0. Valuuttakurssien välillä vallitsee lineaarinen riippuvuus ja myös, jos tapahtumasta peritään prosentuaalinen osuus. Jos vaihtopiste ottaa aina tietyn vakiosumman välityspalkkiota, on silloinkin kyseessä lineaarinen riippuvuus. 03. f ( x) 0x 30 a) 50 kpl b) 0 kpl 04. a) 6+ b) 8- c) 7 pistettä 05. -4,3, -3,3, 0, 3,3 ja 4,3 06. Lineaarisen funktion malli on y ax, missä x on päivämäärän lisäys ja y nousuajan muutos minuutteina. Kun x 7, on y 3, jolloin a. 3 7 3 Nousuajan muutosta kuvaa siten yhtälö f ( x) y x. 7 3 f ( ) 39 7 Vastaus: Aurinko nousee 4.4. kello 5.57. 8
07. 08. Piirretään alkuperäisen - ja uuden palkkafunktion kuvat samaan koordinaatistoon. Funktio leikkaavat toisensa pisteessä x 6. Jos Minna aikoo työskennellä alle kuusi tuntia päivässä, kannattaa hänen suostua uuteen järjestelyyn, muussa tapauksessa ei. 09. Bensiinikäyttöisen auton polttoaineen kulutus on 0,079 litraa kilometrillä ja dieselkäyttöisen auton 0,054 litraa kilometrillä. Merkitään x:llä ajettavien kilometrien määrää, jolloin vuotuiset kustannusfunktiot ovat: f bensiini ( x) 0,079,05 x 0, 0895x f disel ( x) 0,054 0,70 x 450 0,0378x 450 Vuodessa on vähintään ajettava 0000 km, jotta dieselauto tulisi edullisemmaksi. 9
0. a) Ei b) kyllä.. a) f ( x) b) 4 f ( x) 3 4 c) f ( x), kun, kun, kun, kun - x x x,kun x, kun, kun x x x 3 3. a) 4.30 b) 4.00 c) noin 5.0, 70 km Porista, Lauri oli menossa Poriin päin d) noin 34 km e) Turusta Poriin f) ei 4. a) - x f ( x) x 3 b) 3x 3 f ( x) x, for, for, for x, for x x 0 x 5. x a) f ( x) x, kun, kun x 0 x 0 0
b) x 3 f ( x) x 4, kun, kun x 0 x 0 6. a-kohdassa on jatkuva, b-kohdassa funktio on epäjatkuva 7. on jatkuva 8. a) noin 7.6 ja 8.34 b) 5 km c) aikaväleillä 7.0-7.33 ja 8.8-8.39 d) Esimerkiksi auto käydään tankkaamassa. 9. Esimerkiksi automatkaa kotoa mummolaan. A: Lähtö kotoa. AB: Ajetaan ensimmäiselle pysähdyspaikalle. BC: Syödään lounas. CD: Jatketaan autoilua, kunnes saavutaan huoltoasemalle. DE: Täytetään bensatankki. EF: Pidetään kahvitauko. FG: Jatketaan ajamista kohti mummolaa. G: Saavutaan perille. 0.. a) 3.07 b) 3.45 c) d) 3.30-3.45 e) 0 km/h. 7 funktiosta
3. 4. Sijoitetaan arvo, jossa funktio vaihtuu toiseksi, molempiin funktioihin. Jos funktion arvoksi saadaan molemmista sama tulos, on funktio jatkuva kyseisessä kohdassa. 5. on jatkuva 6. ei ole jatkuva 7. on jatkuva 8. 9.
AB: Lentokoneesta hypättyä saavutetaan suurin kiihtyvyys noin 0 m/s. BC: Ilmanvastus pienentää kiihtyvyyttä. CD: Ilmanvastus vastustaa pudotusta samalla voimalla kuin maa vetää hyppääjää alaspäin, tällöin nopeus säilyy vakiona. DE: Laskuvarjo aukeaa, jolloin ilmanvastuksesta tulee erittäin suuri ja vauhti hidastuu nopeasti. EF: Laskuvarjoon kohdistuva ilmanvastus on lopulta yhtä suuri kuin hyppääjän ja laskuvarjon yhteispaino, jolloin hidastuvuus lakkaa, ja laskuvarjohyppääjä liitää vakionopeudella kunnes koskettaa maata. 30. aika matka nopeus Kun s 45(km), on nopeus 4 km/h, joten aika s t. 4 45 Kun s 45 (km), on kuljettu jo 45 km:n matka nopeudella 4 km/h, mihin on kulunut aikaa (h). 4 Loppumatkalla s 45 nopeus on 8 km/h, jolloin loppumatkaan kuluu aikaa s 45 (h). Koko mat- 8 45 45 kaan kuluva aika (tunteina) on s. 4 8 Funktioksi t(s) siten saadaan: s, kun s 45 4 t ( s) 45 s 45, kun 45 s 60 4 8 3
3. 3. Havaintopisteikköön voidaan sovittaa suora ja suoran yhtälöksi saadaan y 0,6x 6, 4. Havaintoarvot poikkeavat suorasta aika paljon, joten suoran antaman tuloksen suhteen täytyy olla kriittinen. 33. 34. 35. - 4
pituus [cm] 36. - 37. - 38. a) e) y 0,5x 37 f) - 39. Ei minkäänlaista. Korkeudella toki lienee vaikutusta lämpötilaan, mutta enemmän siihen näyttää vaikuttavan jokin muu tekijä, koska arvot heittelevät niin suuresti. 40. 90 80 70 60 50 40 30 0 0 0 0 3 4 5 6 7 8 9 Havaintopisteisiin liittyvän suoran yhtälö on y 8,55x 9, 48. -vuotiaana hauki on 7 cm ja -vuotiaana cm. 4. a) 4, 7, 0, 3, 5 b), 4, 8, 6, 3 c) 3, -7, -, -5, -9 d),,,, ikä [vuosi] 5
4. a) 3, 38, 45 b) 36, 30, 4 c) 5, 048, 89 d) 9, 3, 43. a) 8, 0,, 4 b) 3, 34, 36, 38 c) 80, 8, 84, 86 44. a) 5, 7, 9, b) 69, 7, 73, 75 c) 0, 03, 05, 07 45. a) 0 000, 00 000, 000 000 b) 3,,9 c) 56, 04, 4096 d) 3, 64, 8 46. a) 80, 40, 0 b) 8, 54, 6 c) 5, 7, 65 d) 6, 8, 47. a) 5 b) 48. 3, 8, 3, 8, 3 49. 3, 5, 9 ja 05 50. a) 7, 0, 3, lisätään edelliseen termiin kolme b) 40 000, 400 000, 4000 000, kerrotaan edellinen termi kymmenellä c) 00, 00, 50, jaetaan edellinen termi kahdella d) 3, 64, 8, kerrotaan edellinen termi kahdella 5. 3 4 5 6 n 4 7 0 3 6 9 3n+ 5. 6
a), 4, 6, 8 b) 30, 3, 34, 36 c) 00, 0, 04 06 53. a), 3, 5, 7 b) 57, 59, 6, 63 c) 03, 05, 07, 09 54. a) 5 b) 00 c) n 55. a) 0, 4 b) 8, 3 c) 3, 8 d) 6, 36 56.,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33, 377, 60, 987, 597, 584, 48, 6765 57. 4, 7, 0 58. a) 0004 b) a n = n + 4 59. 7 9 3,, 4,, 5 lukujonon 60. termi on 80 60. a) 9 b) 499 c) a n = 5n 6. a) 6 b) 3 c) 5 d) 3n + 6. a) b) c) 0 d) n + 7
63. a) 6 b) 50 64. 40000, a n = n 65. a) 4n 3 b) 7 66. 400 67. a) b) 4 c) 8 d) n+ 68. 3 4 5 6 n 5 8 4 7 0 3n + 69. a) b) c) 64 70. a) b) 0 04 n c) d) - 7. a) 4 b) 6 c) 88 7. 3 4 5 6 7 n 4 9 6 5 36 49 n 0 3 8 5 4 35 48 n - 4 9 6 5 36 49 64 (n+) 8
73. a) 5 b) 8 c) 3 d) 6765 vaihtoehtojen lukumäärä saadaan Fibonaccin lukujonosta. 74. n Omenapuiden lukumäärä Havupuiden lukumäärä 8 4 6 3 9 4 4 6 3 5 5 40 Omenapuiden määrä saadaan lasketuksi potenssilla n ja havupuiden määrä kaavalla 8n. Suurilla n:n arvoilla potenssi antaa suurempia tuloksia kuin kahdeksalla kertominen. Esimerkiksi 00 riviä antaa omenapuiden määräksi 0000 ja havupuita tarvitaan vain 800. 75. a) ei b) ei c) on d) on 76. a) 3, 5, 7, 9, b),, 7, 4, 3 77.,,, 3, 5, 8, 3,, Fibonaccin lukujono 78. - 79. kyllä, esimerkiksi,,,... 80. a) 4 b) 44 c) 404 8. a) 4 b) 0 4n 8. 9
a) 6, 8, 0, b), -, -5, -7 c) 4, 5, 5, 6 83. a) vähenevä b) vähenevä c) kasvava 84. a) b) 5 c) - 85. a) a n n b) 5n 5 a n c) n a n 86. a) Ei b) kasvava 87. 60x 88. 5. 89. a) ( x y), ( x 3y), ( x 4y) b) ( x 3y), ( x 5y), ( x 7y) 90. 50 9. 5 9. 96 hyppyä 93. 3 ja 36, jono on kasvava 94. 30
95. 0, 3, 6, 9,, 5 96. keskiviikko 97. 0 98. Seitsemällä jaolliset luvut muodostavat aritmeettisen lukujonon 7, 4,,..., 994. Ratkaistaan termin 994 järjestysluku aritmeettisen jonon yleisen termin lauseketta hyväksi käyttäen, jossa a 7 d 7 a n a n 994 a 994 7 ( n ) 7 7n 7 7 994 994 n 7 n 4 ( n ) d Vastaus: Lukuja on 4. 99. Lausutaan erotus d kahdella tavalla, eli a n+ - a n = d ja a n - a n- = d. Nämä ovat yhtä suuria, joten a saadaan yhtälö a n - a n- = a n+ - a n, ratkaistaan tästä a n, eli n an a n. 00. a) 5050 b) 75 0. 6,5 % 0. 945 km 03. a) 4, 96, 384, 536 b), 4, -48, 96 3 3 3 c) 3,,, 4 8 3
9 7 8 43 d),,, 8 3 8 04. a) 3 b) c) 05. a) a 3 n n b) c) a n a n 06. - ja n 07. a) geometrinen b) geometrinen c) aritmeettinen d) aritmeettinen e) geometrinen n 08. kyllä, esimerkiksi, -,, -,,... 09. kyllä 0. a) 4 b) 3 c) a. x 9 kun x 0. 3 ja 89 3. 4576 4. 3
6 ja 3 04 8 5. 7 ja 5309 3 6. a) 6,48 b) 66,77 7. 5 8.,5 9. a) Aritmeettisessa lukujonossa peräkkäisten termien erotus on vakio. a a a a 3 x 8 x x 4 ( x 8) x 30 b) Geometrisessa lukujonossa peräkkäisten termien suhde on vakio. a a3 a a x 8 x 4 x x 8 ( x 8) x(x 4) x 30x 64 0 30 x 30 ( ) x tai x 3 0. a) 03 b) 555. a) 5 b) 3. 8 miljoonaa 3. a),, 4, 6, 8 4 ( ) 64 33
b), 3, 9, 7, 8 4. voi 5. a) 790 b) 495 000 6. - 7. Sijoitetaan leikkauspisteen arvot molempiin yhtälöihin ja tutkitaan pitävätkö ne paikkaansa. 8. y 5x 9 y 4x 9. a) kulmakerroin, leikkauspiste (0, 4) b) kulmakerroin, leikkauspiste (0, -4) c) kulmakerroin -5, leikkauspiste (0, 6) d) kulmakerroin 8, leikkauspiste (0, 0) 30. 3. a) y x 3 b) y x 3. 34
33. (-, -4) 34. Yhtälöpari toteutuu, kun x ja y = 6. 35. a) b) 5 36. x = 3 ja y = 4 37. Koska yhdensuuntaiset suorat eivät leikkaa missään pisteessä. 38. - 39. x = ja y = 5 40. - 35
4. x = ja y = -3 4. ratkaisuja on äärettömän monta 43. x 3 44. a) on b) ei c) on 45. y 3 3x y 5 Ratkaisu: x = 3, y = 3 46. y x x y 5 Ratkaisu: x =, y = 4 47. - 48. (, -) 49. a) esim. b) 4 50. x = 3 ja y = 5. a) ei b) on 5. a) x = 4 b) x 9 c) x = 53. 36
a) x =, y = 6 b) x = 3, y = 6 54. a) x =, y = b) x =, y = c) x = 0, y = 55. x = 3, y = - 56. x = 3, y = - 57. a) x =, y = b) x = -, y = 3 c) x = 6, y = 5 58. a) a = 0, b = - b) a =, b = 59. kyllä 60. a) x = 8, y = b) x =, y = c) x = -, y = -3 6. y 5x, y 5x, 5x y 6, 5x y 6 4y 0x 8 y 0x 4 4y 0x 8 y 0x 4 6. 3 x ja y, 0 3 4 3 x ja y, x ja y, x ja y 9 0 5 5 63. a) x = ja y = b) a = 3 ja b = - 64. a) ei ratkaisua b) yhtälöparilla on ääretön määrä ratkaisuja 65. a, y 6 37
66. a) x =, y = 8 b) x = 0, y = c) x =, y = 67. a) m =, n = 0 b) p = 6, q = 9 68. a) x = 4, y = 7 b) x = 4, y = c) x = 0, y = 0 69. a) e = 3, f = b) a = 6, b = 5 70. 5 x, y 7. t 6, v 4 7. a = 9, b = 3 73. x = 4, y = 74. 3 x, y 75. x = 4, y = 3 76. 3 5 x, y 8 8 77. 5 x, y 7 7 78. a =, b = - 38
79. - 80. Naisia on 80 ja miehiä 70. 8. 5 ja 9 8. Jenni on 4 vuotta ja Siiri 9 vuotta. 83. 8 ja 5 84. kengät 54 ja sukat,8 85. Merilohta 7 kg ja kuhaa 0 kg. 86. 48,0 m ja 9,0 m 87. nautaa 643 g ja sikaa 357 g 88. 5 cm ja cm 89. 0-senttisiä 3 kpl ja 0-senttisiä 4 kpl 90. Äiti käyttää 50 ja tyttäret 00 kumpikin. 9. Antti 4, Jarkko 0 ja Miika 7 9. molempia on 0,5 kg 93. Tina on ja veljekset ovat 0 ja 7. 94. kanta on cm ja kyljet 8 cm 39
95. osien pituudet ovat 6 cm ja 80 cm 96. α = 7 ja β = 09 97. a) 0,8 l vettä ja 0, l mehutiivistettä b) 9,6 l vettä ja,4 l mehutiivistettä 98. 4 kg 99. tiivistettä,5 litraa ja vettä 4,5 litraa 300. Merkitään kirjoittimien tulostusnopeuksia seuraavasti: A: a kpl/min ja B: b kpl/min. Kummatkin vaihtoehdot tulostavat 00 mainoslehtistä, jolloin saadaan yhtälöpari: 5a 90b 00 30a 80b 00 Alemmasta yhtälöstä saadaan ratkaistuksi a 8 0 5( b ) 90b 00 3 3 50 800 b 3 3 b 7, Sijoitetaan saatu ratkaisu ylempään yhtälöön. 5a 90 7, 00 5a 00 648 a 4,8 8 3 0 b, joka sijoitetaan ylempään yhtälöön. 3 Kirjoitin B on nopeampi ja sillä kuluisi aikaa koko mainosmäärään 00 kpl 66,7 min h 47 min. 7, kpl/min Vastaus: kirjoittimen A nopeus on 4,8 kpl/min ja kirjoittimen B 7, kpl/min. Jos kaikki tulostettaisiin B:llä, kuluisi aikaa h 47 min. 30. a) < tarkoittaa aidosti pienempää ja merkinnällä sallitaan joko pienempi tai yhtä suuri luku. b) > tarkoittaa aidosti suurempaa ja merkinnällä sallitaan joko suurempi tai yhtä suuri luku. 30. a) x 5 b) x 4 40
c) x 7 303. a) x 0 b) x 0 c) x 0 304. 305. 306. 4
307. a) 0 x 5 b) x 4 c) x 4 tai 5 x 8 308. 309. d) x e) y 30. - 3. a) x b) x 3 c) x 3 d) x 8 3. 33. x 34. kun x < -4 4
35. 36. 37. a) x y 0 b) x y 38. 43
39. a) x 0 b) x c) x 3 30. a) < 5 b) 7 > (-) c) 3 > 0 d) 3 < 0 e) 0 f) hinta 50 g) matka 0 km h) lämpötila -5 o C, tai pakkasta 5 o C i) 0 o C lämpötila 5 o C 3. - 3. a) 0,,, 3 b) 0,,, 3 c) 0,,, 3, 4 d) ei mikään 33. 3, 4, 5 44
34. 35. - 36. x tai x 37. kyllä 38. a) x 7 b) mahdoton 39. - 330. 33. x 5, x 3, y 4 ja y. 33. - 333. a) 3 y 3 b) 3 x 334. x 4, x 3, y 3, y 45
335. - 336. 337. - 338. x 4 ja y 339. a) x 4 b) 5 x 7 c) 5 x 3 d) 0 x 3 340. a) 4, -3 b), -, 0,,, 3, 4, 5 c), d) ei mikään 34. Alue on suoran x vasemmalla puolella, joten alueen pisteet toteuttavat epäyhtälön x. Alue on suoran y x alapuolella, joten alueen pisteet toteuttavat epäyhtälön y x. Alue on suoran y 3 0 eli y 3 yläpuolella, joten alueen pisteet toteuttavat epäyhtälön y 3. Vastaus: Alueen määräävät epäyhtälöt x, y x ja y 3. 34. 46
Suorat leikkaavat y-akselin kohdissa y = 4 ja y = -. Suorien leikkauspisteen x-koordinaatti on oltava sama kummallekin suoralle, jolloin saadaan x 4 x x 8 x 4 3x x 3 x 4 Kolmion kannan pituus (y-akselilla) on 4 + = 6 ja kolmion korkeus on leikkauspisteen x- koordinaatti 4, jolloin ala on 6 4. Vastaus: Kolmion pinta-ala on. 343. Epäyhtälö x 3 toteutuu, kun x 3 tai ( x ) 3 eli x 4 tai x. Epäyhtälö x x toteutuu, kun x 4 4. Jos x on esimerkiksi, toteuttaa se edellisen epäyhtälön, muttei jälkimmäistä. Vastaus: ei 344. {-5, -4, -3} 345. a) f() = b) g(5) = 3 346. a) C b) A 347. a) kasvava b) vähenevä c) vakiofunktio 348. a) B b) C c) D d) A 349. 47
350. a) x = 6 b) x = 0 35. a) x = ja x = 8 b) x = 3 c) kun x 8 35. a) b) a + 4 c) x = - d) x 353. 5 a) x 3 b) t = 3 9 c) y 8 354. x = 3 48
355. a) 44999 b) a n =0n - 356. 450, a n = 3n 357. a) b) -5 c) - 358. 4 ja 5 359. x = 4, y = 6 360. a) x = 4, y = - 9 b) x, y 3 3 36. - 36. a) x =, y = - b) x = -3, y = -4 c) x = 8, y = 6 363. - 364. 0 ja 6 365. Oskari 4 v ja Iina 7 v 366. Lasse on 0 vuotta ja Liisa 5 vuotta. 367. a) x > b) x c) x 49
368. - 369. - 370. 50