Tässä työssä mitataan metallilangassa esiintyviä lämpötilan ja geometrian muutoksia, jotka saadaan aikaan lankaa mekaanisesti kuormittamalla tai lämmittämällä. 1 Adiabaattisen venytyksen vaikutus langan lämpötilaan Termofysiikassa on johdettu kaava palautuvassa adiabaattisessa prosessissa paineen lämpötilariippuvuudelle P T S S S. (1) T P P T Lämpökapasiteetin määritelmän C p S T ja termofysiikan Maxwell-yhtälön T P S P T V T P avulla voidaan yhtälö (1) kirjoittaa muotoon joten P CP T S T æ dt = T öæ ç V ö ç èc P øè T ø P V T P, (2) dp (S = vakio) (3) Kaava (3) ilmoittaa järjestelmän lämpötilan muutoksen riippuvuuden paineesta adiabaattisessa prosessissa. Tulosta sovelletaan tutkimukseen, jossa lankaa kuormitetaan. Tällöin lanka venyy ja sen lämpötila laskee. Suoritetaan muunnos P F ja V L, missä F on lankaa venyttävä voima ja L on langan pituus. Voiman etumerkki on perusteltu, koska kaasun tilavuus pienenee paineen kasvaessa, kun taas langan pituus kasvaa venyttävän voiman kasvaessa. Kun kirjoitetaan dp = - F, missä A on langan A poikkipinta-ala, ja dv = A dl, saadaan yhtälö
2 æ dt = - T öæ ç L ö ç èc F øè T ø F F (S = vakio) (4) Miinusmerkki tässä yhteydessä merkitsee sitä, että metallilankaa venytettäessä sen lämpötila laskee. Fysikaalinen tulkinta asialle on se, että aiheutettaessa isentrooppisessa prosessissa tilavuuden kasvua (lankaa venytetään) järjestelmän tilavuusentropia kasvaa. Jotta kokonaisentropia pysyisi vakiona, pienenee liike-entropia, mikä ilmenee järjestelmän lämpötilan laskuna. Vastaavasti lanka lämpenee, jos kuormitusta kevennetään. Lämpötilan kokonaismuutos on 0,1 K:n suuruusluokkaa ja siten hyvin pieni huoneen lämpötilaan T ( 293 K) verrattuna, joten voidaan kirjoittaa T L T F C (5) F T F Pituuden lämpötilakerroin on L L, (6a) T F eli L L. (6b) T F Riittävällä tarkkuudella pätee C F = C P, joten T TLF C P (S = vakio). Kokeellisia havaintoja varten tämä kaava voidaan muuntaa seuraavasti: T TLF c m, P T T c m F. (7) P 1 Edellä olevissa kaavoissa on käytetty merkintöjä: C c P P c P m = langan ominaislämpökapasiteetti vakiopaineessa m = langan massa = 2 r L m1l m1 langan massa pituusyksikköä kohti
3 r = langan poikkileikkausympyrän säde ja langan tiheys. Pituuden lämpötilakerroin voidaan havaintoja varten kirjoittaa muotoon L T L (8) 2 Langan venytyksessä tehty työ Kun dw on palautuvassa prosessissa järjestelmään tehty työ, sen suuruus on kaasunäytteen tapauksessa dw = -PdV ja langan tapauksessa dw = F dl. On huomattava, että langan kimmoisuusrajaa ei saa ylittää ja että lisäksi langan jännitysvoima pysyy harmonisena voimana. Langan venytyksessä tapahtuu tosin pieniä langan muidenkin dimensioiden muutoksia (esim. kuroutumista), jotka tarkastelun yksinkertaistamiseksi jätetään huomiotta. Kuormitettuun lankaan vaikuttaa venyttävä vakiovoima F ja likimain harmoninen jännitysvoima. Näiden langalle tekemä kokonaistyö on L W F. (9) 2 Vastakkaisessa tilanteessa, kun kuormitus poistetaan, on työ negatiivinen edelliseen nähden. Huomautettakoon, että tehdyn työn merkillä ei ole välitöntä yhteyttä langan lämpötilan muutoksen kanssa. Määritelmän mukaan kimmokerroin on h = L A pinta-ala. Havaintoarvojen perusteella voidaan laskea kaavasta: df, missä A = langan poikkileikkauksen dl L F. (10) A L Kimmokertoimen lausekkeesta saadaan L LF. Siten työ on A 2 LF W, (11) 2 A
4 josta nähdään, että työ on verrannollinen voiman neliöön. 3 Termodynaamiset suureet Adiabaattisessa vaiheessa syntyy lämpötilaero langan ja ympäristön välille. Tämä tasaantuu lämmönjohtumisen vuoksi. Lankaan siirtyy lämpömäärä voidaan laskea kaavasta Q C p T, joka Q c m LT. (12) p 1 Jos järjestelmän lämpötila nousee tasaantumisvaiheessa, on lämpömäärä positiivinen, sillä sopimuksen mukaan järjestelmän absorboima lämpömäärä > 0, järjestelmän luovuttama puolestaan < 0. Samanaikaisesti tapahtuva entropian muutos on käytännöllisesti katsoen vakio, niin on S saadaan kaavasta Q = T ds. Kun tässä T Q S. (13) T Järjestelmän sisäisen energian muutos koko prosessin aikana saadaan termofysiikan 1. pääsäännön mukaan kaavasta E Q Wsis Q W, (14) eli sisäenergian muutos on järjestelmän saaman lämpömäärän ja tekemän työn erotus. W sis on siis adiabaattisessa vaiheessa järjestelmän tekemä työ ja Q on sen jälkeen absorboitunut lämpömäärä. Kun kuormitusta lisätään, on E Q W. Tasaantumisvaiheessa tapahtuu myös langan pituuden muuttumista lämpötilan muutoksen takia, mutta ilmiön prosentuaalinen osuus on niin pieni, että sillä ei ole merkitystä. 4 Mittausjärjestelmä Tutkittava metallilanka sekä sen kanssa identtinen vertailulanka on ripustettu telineeseen ja sijoitettu akryyliputkiin ympäristön lämpövaikutusten hidastamiseksi, ks. kuva 1.
5 Lankojen lämpötilaero mitataan kupari-konstantaani-termoelementillä. Termoelementtien välinen tila on rauhoitettu sulkemalla liitoskohdat rasiaan. Vertailulangassa oleva termoelementin liitoskohta on referenssilämpötilassa, eli T = T h = huoneen lämpötila ( 293 K), jonka pitäisi työn aikana pysyä vakiona tai muutos on otettava huomioon. Termoelementin antama jännite viedään mittausvahvistimen kautta piirturina toimivalle tietokoneelle. Mekaaninen kuormitus tapahtuu vipulaitteen avulla. Punnus (2,5 kg) voidaan asettaa kolmeen lovella merkittyyn kohtaan vipuvarrella, jolloin tutkittavaa lankaa venyttävät voimat ovat kaksin-, kolmin- tai nelinkertaiset punnukseen nähden, eli 49 N, 74 N tai 98 N. Vertailulangan kuormitus on vakio. Tutkittavan langan lämmittämiseen käytetään sähkövirtaa. Lanka on kytketty verkkomuuntajan matalajännitteiseen toisiopiiriin. Työssä lanka lämpenee korkeintaan 25 K yli ympäristön lämpötilan. Tutkittavassa langassa tapahtuvat pituuden muutokset ovat yhden millimetrin suuruusluokkaa. Ne havaitaan optisella lukemalaitteella, ks. kuva 2. Laite mittaa venymät vertailulangan suhteen. Vertailulangan tehtävänä on eliminoida ripustuspisteen siirtymisen aiheuttama virhe. Lukemalaitteen muodostaa optinen järjestelmä, jossa valolähteestä saatava valonsädekimppu suunnataan lankojen varassa olevaan ja tutkittavan langan pituuden muutosten mukana kääntyvään peiliin. Peili heijastaa sädekimpun mitta-asteikolle. Suurennus on 100-kertainen. Kuvassa 2 esitetty valonsäteen kulku noudattaa sekstantin periaatetta: heijastuskulma = 2 peilin kääntymiskulma. Mittauksissa fokusoidaan laser-säde varjostimelle ja seurataan saadusta terävästä valopisteestä saman kohdan liikettä. Venymän ( L ) laskemiseksi sekstantin periaatteen mukaisesti saadaan y / d tan2 2tan /(1 tan ) 2tan ( 6). Peili on kiinnitetty kantaan, joten molemmat kääntyvät samaan kulmaa, 2 tan L / e. Peilin kanta e = 21.0 mm ja mitta-asteikon etäisyys peilistä on 50 e = 105 cm (tarkista!). Siten on e y L y. (15) 250 e 100
6 Kuva 1. Mittausjärjestelmä.
7 Kuva 2. Venymän mittauslaite. 5 Mittaukset 5.1 Mittauksen alkuvalmistelut Fokusoi tarvittaessa laserin valosuihku teräväksi. Fokusointivälineen saat ohjaavalta assistentilta. Kohdista laserin valo peiliin ja peilistä heijastunut valo varjostimelle. Tarkista varjostimen etäisyys peilistä. Tarkista vipulaitteen nollakohta. Valopisteen on palauduttava mitta-asteikolla aina samaan paikkaan kun vipuvartta on jonkin verran kädellä kuormitettu. Varo kuitenkin katkaisemasta lankaa! Mittalaitteen stabiloimiseksi kytke laitteet päälle ajoissa ennen varsinaista mittausta. Aseta tietokone mittaamaan jännitettä (Capstone, voltage sensor).
8 Mittausvahvistinta ei tarvitse kalibroida, vaan luotetaan laitteen sisäiseen kalibraatioon. Vahvistimessa voidaan valita kuhunkin mittaukseen sopiva vahvistus (10 1,, 10 5 ). Ota huomioon, että mittaus vaatii suurta herkkyyttä. Tällöin pienetkin häiriöt ympäristössä, työntekijän liikkuminen, sähköiset häiriöt ym. häiritsevät työn tekemistä. Suuri herkkyys on kuitenkin ehdoton edellytys mittauksen onnistumiselle, sillä lämpötilan muutokset ovat adiabaattisessa venytyksessä hyvin pieniä. 5.2 Adiabaattinen venytys Adiabaattinen langan venytys suoritetaan ennen pituuden lämpötilakertoimen mittaamista. Asetetaan mittausvahvistimen vahvistukseksi 10 5. Käynnistetään datankeruu Capstonessa ja annetaan sen mitata noin minuutin ajan. Järjestelmän ollessa termisessä tasapainossa (nollataso on vakaa) otetaan y 0 muistiin. On syytä asettaa varjostin siten, että lukema y 0 osuu varjostimen alalaitaan, jotta kuva pysyy varjostimella venytyksen aikana. Tämän jälkeen suoritetaan 1. venytysvaihe: käynnistetään datankeruu uudelleen, ja asetetaan punnus paikalleen vipuvarren 98 N vastaavaan loveen. Punnuksen paikalleen asettaminen on suhteellisen kriittinen vaihe, joten sen täytyy tapahtua nopeasti, ei kuitenkaan pudottamalla! Annetaan lämpötilan langassa tasaantua, jolloin piirturina toimiva tietokone piirtää kuvan 3 mukaisen pistejoukon. Varjostimelta luetaan nyt y 1 ja merkitään mittauspöytäkirjaan. Odotetaan 5-10 min, jolloin venytetty lanka palaa tasapainotilaan. Kun tasapaino on saavutettu, voidaan seuraavat kuormitukset (74 N ja 49 N) suorittaa samoin kuin edellä.
9 Kuva 3. Adiabaattinen venytys 98 N kuormalla. Dataa on muokattu Capstonessa niin, että kaikki mittauspisteet ovat y-akselin positiivisella puolella. 5.3 Pituuden lämpötilakertoimen α määrittäminen Työn tässä osiossa lankaa kuormittaa pelkkä vipuvarsi. Vahvistimen herkkyysalueena käytetään langan lämmitysvaiheessa skaalaa 10 4. Lämmitysmuuntajan ensiöjännite 200 V syötetään Variacin kautta. Lämpötilakertoimen määritystä varten tarvitaan maksimipoikkeamat varjostimen mitta-asteikon ja vahvistimen näyttämistä. Aluksi luetaan vahvistimen lukema ja samanaikaisesti varjostimelta vastaava lukema y 0. Tämän jälkeen kytketään lämmitysvirta. Stationaarisen tilan saavuttamisen jälkeen ei ole syytä jatkaa koetta pitempään, sillä muuten tutkittavan langan lämpötila alkaa vaikuttaa vertailulangassa olevaan termoelementin referenssiliitoskohtaan häiritsevästi. Ennen lämmitysvirran katkaisua otetaan varjostimelta lukema y 1 ja tätä vastaava jännitelukema. Venymä lasketaan kaavan (15) mukaisesti.
10 6 Tulosten käsittely Kalibraatiopisteisiin sovitetaan sopiva yhtälö (tässä tapauksessa suora), jonka avulla tietokoneella mitattu jännite voidaan muuttaa todelliseksi jännitteeksi. Adiabaattiseen venytykseen liittyvän lämpötilanmuutoksen selville saamiseksi sovitetaan kuvan 3 pistejoukkoon eksponenttifunktio ja ekstrapoloidaan tämä funktio ajan hetkeen t = t 0, jolloin punnus asetettiin vipuvarrelle. Lukeman muutos nollatasoon nähden antaa tehdyn kalibraation avulla termoelementin smv:n muutoksen. Kupari-konstantaani-termoelementissä 1 K muutos lämpötilassa vastaa 41,7 μv. Tutkittavan kuparilangan mitat ja ominaisuudet: r = 0,56 mm L = 1,45 m Tuloksina ilmoitetaan havaintoarvojen ja teorian kaavojen avulla lasketut seuraavat suureet virheineen: Langan pituuden lämpötilakerroin α. Teorian mukainen T langan adiabaattisessa venytyksessä. Graafisesti määritetty T:n arvo. Langan venytyksessä tehty työ. Lankaan venytyksen jälkeen siirtynyt lämpömäärä. Samanaikaisesti tapahtunut entropian muutos Järjestelmän sisäisen energian muutos E = Q + W. Kimmokerroin (vain 98 N kuormalla).