Venymämitat kontinuumimekaniikassa Fingerin ja Piolan mukaan

Rakenteiden Mekaniikka Vol. 50, Nro 4, 2017, s. 451 462 http://rakenteidenmekaniikka.journal.fi/index https://doi.org/10.23998/rm.66414 c Kirjoittajat 2017. Vapaasti saatavilla CC BY-SA 4.0 lisensioitu. Venymämitat kontinuumimekaniikassa Fingerin ja Piolan mukaan Martti Mikkola Tiivistelmä. Suhteellinen muodonmuutos kontinuumimekaniikassa voidaan määrittää usealla tavalla. Tavallisimmin käytetyt venymämitat johtavat kovariantteihin tensoreihin (Green- Lagrange, Almansi-Euler). Finger ja Piola ovat esittäneet venymämitat, joiden tensorit ovat kontravariantteja. Artikkelissa tarkastellaan näiden venymämittojen johtamista ja ominaisuuksia sekä niihin liittyviä jännityksiä. Sovelluksina tarkastellaan vedettyä sauvaa ja yksinkertaista leikkausta. Avainsanat: muodonmuutos, Fingerin ja Piolan venymämitat, venymänopeus, jännitysmitta. Vastaanotettu 19.10.2017. Hyväksytty 13.12.2017. Julkaistu verkossa 14.12.2017. Johdanto Tässä esityksessä vektoreita merkitään vinoilla lihavoiduilla kirjaimilla ja niiden dyadituloa x y. Toisen kertaluvun tensoreita merkitään pystyillä lihavoiduilla kirjaimilla T = T kl g k g l = T kl g k g l. Vektorit ja tensorit ovat koordinaatistosta riippumattomia, mutta ne voidaan esittää joko kovariantin tai kontravariantin kantajärjestelmän avulla. Kovariantti kantajärjestelmä on { g k } ja kontravariantti vastaavasti { g k }. Niillä on ominaisuus g k g l = δk l. On tapana nimittää komponenttimuodossa T kl esitettyä tensoria kovariantiksi, ts. tensori on esitetty kontravariantin kannan avulla, ja komponenttimuodossa T kl esitettyä kontravariantiksi, jolloin se siis on esitetty kovariantin kannan avulla. Kun halutaan korostaa kumpaa esitysmuotoa käytetään, kovariantille tensorille käytetään merkintää T ja kontravariantille merkintää T. Voidaan käyttää myös sekamuotoista esitystä T = T k l g k g l = Tk lg k g l. Suorakulmaisessa yksikkökantajärjestelmässä { e k } kovariantit ja kontravariantit kantavektorit tietenkin yhtyvät. Esitystapa noudattaa melko tarkasti G.A. Holzapfelin kirjaa [8 ja osittain myös Başarin ja Weichertin teosta [1. Myös A.Cemal Eringenin [2 kinematiikan esitystä on hyödynnetty. Tarkastellaan kontinuumikappaletta, joka sijaitsee kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa (kuva 1). Peruskoordinaatisto on kiinteä suorakulmainen koordinaatisto, jonka koordinaattiakselien suuntaiset yksikkökantavektorit ovat { e k }. Ainepisteen paikkavektori tässä koordinaatistossa on alkutilassa P = Z K e K ja deformoituneessa lopputilassa p = z k e k. Paikkavektorit referoidaan samaan karteesiseen koordinaatistoon, mutta 451

Z 3, z 3 x 3 X 3 X 2 g 3 dx C t G 2 G 3 P 0 dx P t g 2 g 1 x 2 C 0 G 1 x 1 e 3 O e 1 e 2 X 1 Z 2, z 2 Z 1, z 1 Kuva 1. Deformoituva kappale koordinaatistoineen alkutilassa C 0 ja lopputilassa C t. selvyyden vuoksi alkutilaan viitataan isoilla kirjaimilla ja deformoituneeseen tilaan pienillä. Käytetään myös käyräviivaista koordinaatistoa X K, (K = 1, 2, 3) siten, että Z K = Z K (X 1, X 2, X 3 ). Deformoituneessa tilassa voi olla toinen käyräviivainen koordinaatisto x k, (k = 1, 2, 3) siten, että z k = z k (x 1, x 2, x 3 ). Deformaation tapahtuessa käyräviivaisen koordinaatiston koordinaattiviivat, jotka käsittävät samat ainepisteet, myös deformoituvat, niin että deformoituneessa tilassa niitä esittävät konvektiiviset koordinaattiviivat x k = x k (X 1, X 2, X 3 ). Ainepisteisiin kiinnittyvät koordinaatit X K ja Z K ovat materiaalikoordinaatteja ja paikkakoordinaatit x k ja z k 1spatiaalikoordinaatteja. Alkutilassa käyräviivaisen koordinaatiston koordinaattiviivojen tangenttivektorit G K = ZM X K e M (1) muodostavat kovariantin kantajärjestelmän { G K }. Niitä vastaava kontravariantti kanta on G K = XK Z M e M. (2) Nämä kantavektorit ovat toistensa suhteen resiprookkiset (duaaliset), mitä kuvaa yhtälö Deformoituneessa tilassa vastaavat kantavektorit ovat G K G M = δ M K. (3) g k = zm x k e m, (4) jotka muodostavat kovariantin kantajärjestelmän { g k }, ja vastaavasti g k = xk z m e m, (5) 452

jotka muodostavat kontravariantin kantajärjestelmän { g k }. Konvektiivisten koordinaattiviivojen tangenttivektorit ovat g K = xm X K g m, (6) jotka ovat kovariantteja. Vastaava kontravariantti kanta on g K = XK x m g m. (7) Näiden vektorien indekseinä käytetään isoja kirjaimia osoittamassa, että ne liittyvät materiaalikoordinaatteihin. Niillä on myös resiprookkisuusominaisuus g K g M = δ M K. (8) Deformoituvan kappaleen paikallinen venymätila määritetään tavallisesti deformaatiogradientin F avulla. Deformaatiogradientti sisältää informaation paitsi viiva-alkioiden venymistä ja niiden välisten kulmien muutoksista myös paikallisesta jäykän kappaleen kiertymästä. Venymiä voidaan mitata eri tavoilla: yleensä tarkastellaan viiva-alkioiden neliöiden muuttumista, jolloin päädytään Greenin-Lagrangen, Almansin-Eulerin, Piolan ja Fingerin venymämittoihin [1, 2, 3, 8, 12. Muita venymämittoja ovat esim. logaritminen venymä [6 ja ns. yleistetyt venymät [7, 14. Vielä yleisempään venymätilan määrittelyyn tullaan ottamalla huomioon siirtymien korkeammat derivaatat, esim. venymän 1. tai 2. gradientti [10. Tässä artikkelissa tarkastellaan vain Fingerin ja Piolan venymämittoja, jotka harvoin esitetään kontinuumimekaniikan oppikirjoissa. Deformaatiogradientti ja sen käänteistensori Alkutilan viiva-alkion dp = dx pituuden neliö on dx dx = dx K G K G L dx L = dx K G KL dx L. (9) Tensori G = G KL G K G L on alkutilan metrinen tensori. Deformaatiossa viiva-alkio dx kuvautuu viiva-alkioksi dp = dx = FdX deformaatiogradientin F avulla, ks. kuva 1, F = xk X M g k G M = F k Mg k G M = g M G M. (10) Deformoituneen viiva-alkion pituuden neliö on ds 2 = dx dx = dx k g kl dx l = dx F T FdX = dx CdX. (11) Muodonmuutostensori C on Cauchyn-Greenin oikeanpuoleinen muodonmuutostensori C = F T F = xk X g x l M kl X N GM G N = F k Mg kl F l NG M G N = C MN G M G N. (12) Tensori g = g kl g k g l on deformoituneen tilan metrinen tensori. Vastaavalla tavalla deformoituneen tilan koordinaattiviivat x k esittävät niitä materiaalipartikkeleita, jotka ovat peräisin alkutilan pisteistä X K (x 1, x 2, x 3 ). (Tämä käänteinen yhtälö voidaan muodostaa, sillä det(f) > 0). Ne muodostavat alkutilassa käyräviivaiset koordinaatit, joiden tangenttivektorit ovat G k = XM x k G M. (13) 453

Vastaava kontravariantti kanta on G k = xk X K GK. (14) Näiden vektorien indekseinä käytetään pieniä kirjaimia osoittamassa, että ne liittyvät spatiaalikoordinaatteihin. Ne toteuttavat tietenkin yhtälöt G k G m = δ m k. (15) Deformoituneen tilan viiva-alkio dx on lähtöisin alkutilan viiva-alkiosta dx = F 1 dx deformaatiogradientin käänteistensorin F 1 avulla (ks. [8 s.71) Alkutilan viiva-alkion pituuden neliö on F 1 = XK x m G K g m = G m g m. (16) ds 2 = dx dx = dx F T F 1 dx = dx b 1 dx. (17) Muodonmuutostensori b on Cauchyn-Greenin vasemmanpuoleinen muodonmuutostensori b = FF T = xk xl X M GMN X g N k g l = F MG k MN F Ng l k g l = b kl g k g l. (18) Huomataan, että tensori C on kovariantti, kun taas tensori b on kontravariantti. Kuten johdannossa mainitaan, kovarianttia tensoria merkitään usein yläindeksillä ja kontravarianttia vastaavasti yläindeksillä. Voidaan näyttää, että RC R T = b ja että R(C 1 ) R T = (b 1 ), jossa R on polaarihajoitelmassa esiintyvä rotaatiotensori. Polaarihajoitelma Tunnetusti deformaatiogradientille pätee polaarihajoitelma, jonka mukaan se on kahden tensorin tulo F = RU = vr, (19) Tensori R on rotaatiotensori, joka voidaan esittää muodossa Rotaatiotensori toteuttaa yhtälöt R = R k Mg k G M, R T = R K mg K g m. (20) R T R = R K mδ m k R k NG K G N = R K mr m NG K G N = G K G K = G, RR T = R k Mδ M KR K mg k g m = R k KR K mg k g m = g k g k = g. Metriset tensorit G ja g ovat samalla yksikkötensorit alkutilassa ja deformoituneessa tilassa. Tensorit U ja v ovat symmetriset venytystensorit U = U K LG K G L = U KL G K G L, v = v k lg k g l = v kl g k g l. (21) 454

Fingerin muodonmuutostensori Deformoituneen tilan viiva-alkio dx = dx k g k kierretään alkutilaan dx = R T dx. Tämä alkutilan viiva-alkio siirretään deformoituun tilaan deformaatiogradientin avulla Tämän viiva-alkion pituuden neliö on dx = FdX = vrdx = vrr T dx = vdx. dx dx = dx v T vdx = dx vv T dx = dx FF T dx = dx bdx. (22) Alkutilan viiva-alkion neliö on dx dx = dx RR T dx = dx dx = dx k g kl dx l. Deformoituneen ja alkutilan viiva-alkioiden neliöiden erotus on Tensori a on Fingerin muodonmuutostensori [3, [4 dx (b g)dx = 2dx adx. (23) a = 1 2 (b g) = akl g k g l = 1 2 ( xk xl X M GMN X N gkl )g k g l. (24) Huomataan, että Fingerin muodonmuutostensori on kontravariantti ja että se on määritelty deformoituneessa tilassa. Se on objektiivinen siinä mielessä, että se häviää identtisesti jäykän kappaleen liikkeessä. Macvean [9 huomauttaa, että Fingerin muodonmuutostensori saadaan myös tulkitsemalla se Greenin-Lagrangen muodonmuutostensoriksi deformoituneesta tilasta käsin ( the Green measure of deformation in final state ). Näin voidaan todella ajatella: Deformoituneesta tilasta viiva-alkio dx = dx k g k kuvataan alkutilaan dx = F T dx, minkä jälkeen muodostetaan viiva-alkioiden neliöiden erotus dx dx dx dx = dx (FF T g)dx. Piolan muodonmuutostensori Alkutilan viiva-alkio dx = dx K G K kierretään deformoituneeseen tilaan dx = RdX. Tämä deformoituneen tilan viiva-alkio siirretään alkutilaan deformaatiogradientin käänteistensorin avulla dx = F 1 dx = U 1 R T dx = U 1 R T RdX = U 1 dx. Tämän viiva-alkion pituuden neliö on dx dx = dx U T U 1 dx = dx F 1 F T dx = dx C 1 dx. (25) Deformoituneen tilan viiva-alkion neliö on dx dx = dx R T RdX = dx dx = dx K G KL dx L. Deformoituneen ja alkutilan viiva-alkioiden neliöiden erotus on dx (G C 1 )dx = 2dX AdX. (26) 455

Tensori A on Piolan muodonmuutostensori [11, [12, [13 A = 1 2 (G C 1 ) = A KL G K G L = 1 2 (GKL XK XL gmn xm x )G n K G L. (27) Huomataan, että Piolan muodonmuutostensori on kontravariantti ja että se on määritelty alkutilassa. Se on objektiivinen, ts. se on nollatensori jäykän kappaleen liikkeessä. Macveanin [9 mukaan Piolan muodonmuutostensori voidaan myös tulkita Almansin muodonmuutostensoriksi alkutilasta lähtien ( Almansischer Verzerrungstensor im Ausgangszustand ). Silloin alkutilan viiva-alkio dx = dx K G K kuvataan deformoituneeseen tilaan dx = F T dx, minkä jälkeen muodostetaan viiva-alkioiden neliöiden erotus dx dx dx dx = dx (G F 1 F T )dx. Muodonmuutostensorien vertailu Havainnollistetaan muodonmuutostensorien keskinäistä suhdetta seuraavalla tavalla: Green-Lagrange: Alkutila: dx = dx K G K, Deformoitunut tila: dx = dx k g k = FdX, Almansi-Euler: Alkutila: dx = dx K G K = F 1 dx, Deformoitunut tila: dx = dx k g k, Piola: Alkutila: dx = dx K G K, Deformoitunut tila: dx = dx k g k = F T dx, Finger: Alkutila: dx = dx K G K = F T dx, Deformoitunut tila: dx = dx k g k. Pinta-alkioiden muodonmuutos Truesdell ja Toupin [15 ovat esittäneet, kuinka Fingerin ja Piolan muodonmuutostensorit liittyvät pinta-alkioiden muodonmuutokseen. Haupt [5 puolestaan on tulkinnut ne pinta-alkioiden normaalien muutosten kuvaajiksi. Esitetään tässä Truesdellin ja Toupinin mukainen tulkinta. Nansonin kaavan (ks. [8) mukaan alkutilan pinta-alkion da ja deformoituneen tilan pinta-alkion da välinen muunnos on da = JF T da, da = J 1 F T da. (28) J on deformaatiogradientin determinantti J = det F. Pinta-alkioiden neliöt ovat da da = J 2 da F 1 F T da, da da = J 2 da FF T da. (29) Edellä olevasta nähdään, että pinta-alkioiden neliöiden erotus on da da da da = da (J 2 C 1 G)dA, (30) da da da da = da (g J 2 b)da. (31) Truesdell ja Toupin esittävät viiva-alkioita ja pinta-alkioita koskevan duaalisuuslauseen ( Second principle of duality ), jonka sisältö on seuraava: Jos viiva-alkioiden muutoksia koskevissa yhtälöissä, jotka on lausuttu tensoreiden C ja b 1 avulla dx dx dx dx = dx (C G)dX, dx dx dx dx = dx (g b 1 )dx, sana viiva-alkio ja tensorit C ja b 1 korvataan sanalla pinta-alkio ja tensoreilla J 2 C 1 ja J 2 b niin saadaan pätevät yhtälöt. 456

Venymänopeudet Johdetaan seuraavaksi Fingerin ja Piolan tensorien venymänopeudet. Piolan muodonmuutostensorin lausekkeesta (27) saadaan derivoimalla ajan suhteen joten Ȧ = 1 2 [ (F 1 ) F T F 1 (F T ) = 1 2 (F 1 lf T + F 1 l T F T ) = 1 2 F 1 (l + l T )F T, Ȧ = F 1 df T. (32) Tensori l on nopeustensori l = ḞF 1 ja d = (l + l T )/2 venymänopeustensori. Fingerin muodonmuutostensori (24) on lausuttu deformoituneessa tilassa, joten kuvataan se ensin alkutilaan. Aluksi a = 1 2 (FFT g) = 1 2 R(U2 R T gr)r T = 1 2 R(C G)RT = RER T. E on Greenin-Lagrangen muodonmuutostensori. Siirretään sitten tensori a alkutilaan ja derivoidaan ajan suhteen E = R T ar Ė = R T (ȧ + RṘ T a + aṙr T )R = R T (ȧ + Ω (R)T a + aω (R) )R. Antisymmetrinen tensori Ω (R) on rotaationopeus Ω (R) = ṘR T. Siirrytään sitten takaisin deformoituneeseen tilaan ȧ c = ȧ Ω (R) a + aω (R) = RĖR T = RF T dfr T = v T dv. (33) Lauseke (33) on Fingerin tensorin konvektiivinen venymänopeus (ks. [8 s.66 ja 193). Piolan ja Fingerin tensoreita vastaavat jännitykset Jännitysten määrittämiseksi niiden tehot asetetaan yhtä suureksi deformoidun tilan jännitystehon σ : d dv kanssa. Merkitään Piolan jännitystä S P = S P KL GK G L. Jännitysten teho on S P : Ȧ dv 0 = σ : d dv = Jσ : FȦF T dv 0 = J tr (FȦ T F T σ) dv 0 = JF T σf : Ȧ dv 0. Nähdään, että Piolan muodonmuutostensoria vastaava jännitys lausuttuna Cauchyn jännityksen avulla on S P = JF T σf = Jσ kl G k G l. (34) Tämä on samanmuotoinen kuin Greenin-Lagrangen venymää vastaava jännitys (Piolan- Kirchhoffin 2. jännitys), mutta tässä tapauksessa kovarianttien suureiden välillä. Merkitään Fingerin jännitystä T f = T f kl g k g l. Jännitysten teholausekkeessa käytetään konvektiivista venymänopeutta T f : ȧ c = σ : d = σ : v T ȧ c v 1 = tr(v T (ȧ c ) T v 1 σ) = v 1 σv T : ȧ c. Fingerin muodonmuutostensoria vastaava jännitys on silloin Cauchyn jännityksen funktiona T f = v 1 σv T = (v 1 ) ḳ iσ ij (v 1 ).l j g k g l. (35) 457

X 2, x 2 K e 2 K a 0 O e 1 X 1, x 1 a 0 Kuva 2. Vedetty sauva. Esimerkki 1. Vedetty sauva Otaksutaan, että karteesisen koordinaatiston X 1 -akseli yhtyy sauvan akseliin. Kantavektoreita merkitään {e k = e k }. Deformaatio on muotoa x 1 = λ 1 X 1, x 2 = λx 2, x 3 = λx 3, jossa positiiviset luvut λ 1 ja λ kuvaavat venytyksiä koordinaattiakselien suunnissa. Silloin deformaatiogradientti on F = λ 1 e 1 e 1 + λe 2 e 2 + λe 3 e 3. Polaarihajoitelman rotaatiotensori on yksikkötensori, joten F = U = v, (kuva 2). Nopeusgradientti on l = ḞF 1 = λ 1 λ 1 1 e 1 e 1 + λλ 1 (e 2 e 2 +λe 3 e 3 ) = λ 1 λ 1 1 e 1 e 1 + λλ 1 (e 2 e 2 +λe 3 e 3 ). Piolan ja Fingerin muodonmuutostensorit ovat kaavojen (27) ja (24) mukaan Venymänopeudet ovat A = 1 [(1 λ 2 1 )e 1 e 1 + (1 λ 2 )(e 2 e 2 + e 3 e 3 ), 2 a = 1 2 [(λ2 1 1)e 1 e 1 + (λ 2 1)(e 2 e 2 + e 3 e 3 ). Ȧ = λ 3 1 λ 1 e 1 e 1 + λ 3 λ(e 2 e 2 + e 3 e 3 ), ȧ = λ 1 λ1 e 1 e 1 + λ λ(e 2 e 2 + e 3 e 3 ), d = 1 2 (l + lt ) = λ1 1 λ 1 e 1 e 1 + λ 1 λ(e 2 e 2 + e 3 e 3 ). Jännitystensorit ovat kaavojen (34) ja (35) mukaan S P = Jλ 2 1σ 11 e 1 e 1 + λ 2 (σ 22 e 2 e 2 + σ 33 e 3 e 3 ), T f = λ 2 1 σ 11 e 1 e 1 + λ 2 (σ 22 e 2 e 2 + σ 33 e 3 e 3 ). Tilavuussuhde J on J = λ 1 λ 2. Otaksutaan, että poikittaiset jännityskomponentit σ 22 ja σ 33 ovat nollia. Tällöin Piolan ja Fingerin venymämittoja vastaavat aksiaaliset jännitykset ovat S11 P = λ 3 1λ 2 σ 11, T f 11 = λ 2 1 σ 11. Esimerkki 2. Yksinkertainen leikkaus Tarkastellaan muodonmuutosta, jota kuvaa yhtälö x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 = (X 1 + kx 2 )e 1 + X 2 e 2 + X 3 e 3, 458

X 2, x 2 X 2 kx 2 X 2, x 2 X 2 kx 2 G 2 = e 2 G 1 O X 1, x 1 e 1 (a) g 2 = e 2 O X 1, x 1 e 1 g 1 (b) Kuva 3. Yksinkertainen leikkaus. 1 (a) Konvektiiviset kantavektorit G k = F T e k alkutilassa. (b) Konvektiiviset kantavektorit g k = F T e k deformoituneessa tilassa. jossa k on positiivinen vakio. Kysymyksessä on X 1 X 2 -tasossa tapahtuva deformaatio, joten käsitellään sitä kaksidimensioisena. Suorakulmainen karteesinen koordinaatisto ja siihen kuuluva ortonormeerattu kanta { e k = e k } valitaan sekä alku- että lopputilan kannaksi, jonka suhteen sekä venymät että jännitykset referoidaan (kuvat 3a ja b). Deformaatiogradientin lauseke on F = e 1 e 1 + ke 1 e 2 + e 2 e 2 (36) Konvektiivisen koordinaatiston kovariantit kantavektorit ovat g 1 = e 1, g 2 = ke 1 + e 2. Kontravariantit vektorit ratkaistaan helposti yhtälöstä [ 1 0 [g 1 g 2 = [g 1 g 2 T = k 1 josta nähdään, että ne ovat g 1 = e 1 ke 2, g 2 = e 2. Määritetään aluksi tavanomaiset muodonmuutosmitat, jotka saadaan suoraan deformaatiogradientin (36) avulla. Käytetään tensorien asemesta 2x2-matriiseja, joiden alkiot referoidaan ortonormeeratun kannan { e k } suhteen. Deformaatiogradientin matriisi, sen käänteismatriisi, nopeusgradientin ja venymänopeuden matriisi ovat [ [ [ [ 1 k 1 k [F =, [F 1 0 k/2 0 k/2 =, [l =, [d =. (37) 0 1 0 1 0 0 k/2 0 Cauchyn-Greenin oikeanpuoleinen ja vasemmanpuoleinen muodonmuutostensori ovat [ [ 1 k 1 + k [C = [F T F = k 1 + k 2, [b = [FF T 2 k =. (38) k 1 Fingerin muodonmuutostensori a (24) on tällöin a = 1 2 (b i) = akl e k e l, [a = 1 2 459, [ k 2 k k 0 1, (39)

ja edelleen Piolan muodonmuutostensori A (27) on A = 1 2 (I C 1 ) = A KL e K e L, [A = 1 2 [ k 2 k k 0. (40) Venymänopeudet ovat kaavojen (33) ja (32) mukaan [ [ȧ c = [ȧ [Ω (R) [a + [a[ω (R) = k tan θ(1 + sin 2 θ) (1 + 2 sin 2 θ)/2 (1 + 2 sin 2 θ)/2 sin θ cos θ, (41) ja Ȧ = 1 2 (I C 1 ) = F T df 1, [Ȧ = k [ 2k 1 2 1 0. (42) Tasotapauksessa rotaatiotensorin ja rotaationopeuden matriisit ovat [ [ cos θ sin θ [R =, [Ω (R) = sin θ cos θ θ 0 1. (43) 1 0 θ on kiertymäkulma X 3 -akselin ympäri ja parametrin k ja θ:n välinen yhteys on tan θ = k/2. Se seuraa Biot n venymätensorin U = R T F symmetriasta [ [ cos θ k cos θ + sin θ cos θ sin θ [U = [R T F = = sin θ cos θ k sin θ sin θ (1 + sin 2. θ)/ cos θ Venytystensorin v matriisi on [ (1 + sin [v = [FR T 2 θ)/ cos θ sin θ = sin θ cos θ. (44) Määritetään vielä sen käänteismatriisi [ cos θ sin θ [v 1 = sin θ (1 + sin 2 θ)/ cos θ. Fingerin muodonmuutostensoria vastaava jännitys Cauchyn jännityksen funktiona on kaavan (35) mukaan [ T f [T f 11 T f 12 = T f 21 T f = [v 1 [σ[v T, (45) 22 jossa jännityskomponenttien lausekkeet ovat T f 1 11 = 1 + (k/2) 2 [σ11 (k/2)(σ 12 + σ 21 ) + (k/2) 2 σ 22, T f k/2 { 12 = σ 11 + (k/2)(σ 12 + σ 21 ) [1 + 2(k/2) 2 σ 22} + σ 12, (46) 1 + (k/2) 2 T f k/2 { 21 = σ 11 + (k/2)(σ 12 + σ 21 ) [1 + 2(k/2) 2 σ 22} + σ 21, 1 + (k/2) 2 T f 1 { 22 = (k/2) 2 σ 11 (k/2)[1 + 2(k/2) 2 (σ 12 + σ 21 ) + [1 + 2(k/2) 2 2 σ 22}. 1 + (k/2) 2 460

Piolan muodonmuutostensoria vastaava jännitys Cauchyn jännityksen avulla lausuttuna on kaavan (34) mukaan [ [S P = J[F T σ [σ[f = 11 kσ 11 + σ 12 kσ 11 + σ 21 k 2. (47) σ 11 + k(σ 12 + σ 21 ) + σ 22 Pinta-alkioiden muodonmuutos noudattaa kaavoja (30) ja (31). Esimerkiksi alkutilan pinta-alkion ollessa da = he 2 saadaan da da da da = h 2 h 2 = 0, joka esittää samalla X 1 -akselin suuntaisen viiva-alkion neliöiden erotusta Greenin-Lagrangen mukaan. Pinta-alkion ollessa da = he 1 saadaan da da da da = h 2 k 2, joka esittää myös X 2 -akselin suuntaisen viiva-alkion neliöiden erotusta Greenin-Lagrangen mukaan. Vastaavasti deformoituneen tilan pinta-alkion ollessa da = he 2 saadaan da da da da = h 2 h 2 = 0, joka esittä samalla x 1 -akselin suuntaisen viiva-alkion neliöiden erotusta Almansin-Eulerin mukaan. Pinta-alkion ollessa da = he 1 saadaan da da da da = h 2 k 2, joka esittää x 2 -akselin suuntaisen viiva-alkion neliöiden erotusta Almansin-Eulerin mukaan. Yhteenveto Artikkelissa on tarkasteltu Fingerin ja Piolan venymämittoja sekä niihin liittyviä jännitysmittoja. Ne on esitetty yli sata vuotta sitten, mutta niitä käytetään äärimmäisen harvoin teoreettisissa tarkasteluissa puhumattakaan sovelluksista. Tuloksia on havainnollistettu kahdella yksinkertaisella esimerkillä: vedetty sauva ja yksinkertainen leikkaus. Viitteet [1 Y. Başar and D. Weichert. Nonlinear Continuum Mechanics of Solids. Fundamental mathematical and physical concepts. Springer-Verlag, Berlin, 2000. [2 A.C. Eringen. Nonlinear theory of continuous media. McGraw-Hill, 1962. [3 J. Finger. Das Potential der inneren Kräfte und die Beziehungen zwischen den Deformationen und den Spannungen in elastisch isotropen Körpern bei Berücksichtigung von Gliedern, die bezüglich der Deformationselemente von dritter, beziehungsweise zweiter Ordnung sind. Sitzgsber. Akad. Wiss. Wien (IIa), 103:163 200, 1894. [4 J. Finger. Über die allgemeinsten Beziehungen zwischen endlichen Deformationen und den zugehörigen Spannungen in aelotropen und isotropen Substazen. Sitzgsber. Akad. Wiss. Wien (IIa), 103:1073 1100, 1894. 461

[5 P. Haupt. Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer-Verlag, 2000. [6 H. Hencky. Über die Form des Elastizitätsgesetzes bei ideal elastischen Stoffen. Zeitschrift für Technische Physik, 9:215 220, 457, 1928. [7 R. Hill. Aspects of invariance in solid mechanics. Advances in Applied Mechanics, Vol. 18:1 75, 1978. [8 G.A. Holzapfel. Nonlinear Solid Mechanics - A Continuum Approach for Engineering. John Wiley & Sons, 2000. [9 D.B. Macvean. Elementararbeit in einem Kontinuum und die Zuordnung von Spannungs- und Verzerrungstensoren. Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik, 19:157 185, 1968. [10 R.D. Mindlin. Second gradient of strain and surface-tension in linear elasticity. International Journal of Solids and Structures, 1(4):417 438, 1965. ISSN 0020-7683. doi:https://doi.org/10.1016/0020-7683(65)90006-5. URL http://www. sciencedirect.com/science/article/pii/0020768365900065. [11 G. Piola. La meccanica de corpi naturalmente estesi trattata col calcolo delle variazioni. Opuscoli matematici e fisici di diversi autori, pages 201 236, 1833. [12 G. Piola. Nuova analisi per tutte le questioni della meccanica molecolare. Memorie di matematica e fisica della Società italiana delle scienze, XXI:155 321, 1836. [13 G. Piola. Intorno alle equazione fondamentali del movimento di corpi qualsivogliono, considerati secondo la naturale loro forma e costituzione. Memorie di matematica e fisica della Società italiana delle scienze, XXIV:1 186, 1848. [14 B.R. Seth. Generalized strain measure with applications to physical problems. In M. Reiner and D. Abir, editors, Second-Order Effects in Elasticity, Plasticity and Fluid Dynamics,IUTAM Symposium, Haifa, Israel, 23-27.4.1963, 1964. [15 C. Truesdell and R.A. Toupin. The Classical Field Theories. S. Flügge ed., Encyclopedia of Physics, Volume III/1, Springer-Verlag, Berlin, 1960. Martti Mikkola Aalto-yliopisto Insinööritieteiden korkeakoulu, Rakennustekniikan laitos Rakentajanaukio 4 A, PL 12100, 00076 Aalto martti.mikkola@aalto.fi 462