KJR-00 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti (esimerkki) 1. Liikemäärän momentin taseen periaatteen soeltaminen kappalealkioon johtaa lokaaliin muotoon σ θ ( ρ r ) < 0, jossa alaindeksi tarkoittaa akiota derioinnin suhteen. Osoita suoraan laskemalla Karteesisessa koordinaatistossa, että ehdosta seuraa jännitksen smmetria. Kätä Karteesisen koordinaatiston esitksiä i i θ θ θ r < j < j θ θ k k ja θ i / θ < j /. θ k /. Kappaleen liikkeen kuaus Karteesisessa koordinaatistossa on < (1 ktx ), < (1 kt) Y ja < Z, jossa k on akio. Laske nopeuden ja kiihtden komponentit Lagrangen ja Eulerin esitksissä. 3. Kaksi aunua on kuan mukaisesti kiskoilla. Vaunujen ja kiskojen älissä ei ole kitkaa. Ylempi aunu kulkee akionopeudella aunuun. Massairta u ja siitä aluu hiekkaa alempaan λ on akio. Kirjoita alemman aunun massaa ja auhtia koskea alkuarotehtää. Hetkellä t < 0 alempi aunu on leossa ( 0 < 0) ja aunun massa on M 0. u 4. Määritä kuan ulokepalkin normaalioima N, leikkausoima Q ja taiutusmomentti M aksiaalikoordinaatin funktioina. Kätä palkkialkion liikemäärän taseen ja liikemäärän momentin taseen lokaaleja muotoja. f L P 45 5. Määritä irtausnopeus ( ) ja paine p ( ) kuan len leitetssä tasapaksussa maalipinnassa (tihes θ ja iskositeetti λ akioita) lähtien Naier-Stokes htälöistä. Oletetaan, että < < 0. Ilmanpaine on akio p 0 ja ilman iskositeetti λ <. 45 h ilma 0 g p 0
Liikemäärän momentin taseen periaatteen soeltaminen kappalealkioon johtaa lokaaliin muotoon σ θ ( ρ r ) < 0, jossa alaindeksi tarkoittaa akiota derioinnin suhteen. Osoita suoraan laskemalla Karteesisessa koordinaatistossa, että ehdosta seuraa jännitksen smmetria. Kätä Karteesisen koordinaatiston esitksiä i i θ θ θ r < j < j θ θ k k ja θ i / θ < j /. θ k / Suunnattu deriaatta on differentiaalioperaattori joka aikuttaa kaikkeen termissä sen sijainnin oikealla puolella. Muutoin operaattoria käsitellään kuten ektoria tensorilausekkeessa. Karteesisen koordinaatiston kantaektorit oat akioita ja tässä mös jännits on akio derioinnin suhteen. Aukikirjoitettuna (sulut osoittaat laskujärjestksen) / i i ρ ρ ρ i i σ θ θ θ θ θ ( ρ r) < / ( j j ) ρ ρ ρ ( j j ) < 0 / θ θ θ θ k k ρ ρ ρ k k / ρ ρ ρ 0 k, j σ θ ( ρ r) < / ρ ρ ρ (, k 0 i ) < 0 / ρ j i 0 ρ ρ, / ρ ρ ρ k, j σ θ ( ρ r ) < / ( ρ ρ ρ, k i ) < 0 / ρ j i ρ ρ, / ρ( k j) ρ ( i k) ρ ( j i),,, σ θ ( ρ r ) < / ρ( k, j) ρ( i, k) ρ( j, i) < 0 / ρ( k, j) ρ ( i, k) ρ ( j, i) σ ( ρ r) < ( ρ, ρ ) k ( ρ, ρ ) j ( ρ, ρ ) i < 0 ρ ρ < ρ, < ρ ja ρ < ρ.
Kappaleen liikkeen kuaus Karteesisessa koordinaatistossa on < (1 ktx ), < (1 kt) Y ja < Z, jossa k on akio. Laske nopeuden ja kiihtden komponentit Lagrangen ja Eulerin esitksissä. Kappaleen liikkeen kuaus on kappaleen partikkelien ratojen parametriesits (aika on käräparametri). Kappalekoordinaatit ( XYZ,, ) identifioiat partikkelin. ässä kappaleen liikkeen kuaus ja sen käänteiskuaus oat 1 kt 0 0 X < 0 (1 kt) 0 Y 0 0 1 Z X 1/(1 kt) 0 0 Y < 0 1/(1 kt) 0. Z 0 0 1 θ Nopeuden ja ja kiihtden komponentit saadaan kappaleen paikkaektorin r < i θ j θ k θ osittaisderiaattoina ajan suhteen. Kiinteän koordinaatiston kantaektorit oat akioita, joten deriaatta puree ain komponentteihin. Nopeuden ja kiihtden Lagrange esitksen komponentit oat 1 kt 0 0 X k 0 0 X 0 (1 kt) 0 Y 0 k(1 kt) 0 < < Y, t 0 0 1 Z 0 0 0 Z a 1 kt 0 0 0 0 0 X X a < 0 (1 kt) 0 Y 0 k 0 Y <. t a 0 0 1 Z 0 0 0 Z Nopeuden komponentit Eulerin esitksessä saadaan laskemalla ensiksi komponentit Lagrange esitksessä ja eliminoimalla tämän jälkeen ainekoordinaatit kappaleen liikkeen käänteiskuauksen aulla 0 0 1/(1 ) 0 0 k kt 1 0 0 k 0 k(1 kt) 0 0 1/(1 kt) 0 0 0 < <, 1 kt 0 0 0 0 0 1 0 0 0 a 0 0 0 1/(1 kt) 0 0 0 0 0 k a 0 k 0 0 1/(1 kt) 0 0 0 < <. (1 kt) a 0 0 0 0 0 1 0 0 1
Kaksi aunua on kuan mukaisesti kiskoilla. Vaunujen ja kiskojen älissä ei ole kitkaa. Ylempi aunu kulkee akionopeudella u ja siitä aluu hiekkaa alempaan aunuun. Massairta λ on alkio. Kirjoita alemman aunun massaa ja auhtia koskea alkuarotehtää. Hetkellä t < 0 alempi aunu on leossa ( 0 < 0) ja aunun massa on M 0. u arkastellaan kappaletta, joka koostuu aunusta, sen sisällä oleista hiekasta ja aikaälissä aunuun tuleasta hiekasta. Kappaleeseen ei kohdistu ulkoisia oimia. Olkoon aunun ja sen sisältämän hiekan massa M() t ja aunun nopeus t (). Oheinen kua esittää tilanteita ajanhetkillä t ja t Χt Χt λχt u M M ΧM Χ Massan tase alitulle kappaleelle M Χ M, M, λχ t < 0 Χ M < λχt dm dt < λ. Liikemäärän tase alitulle kappaleelle ( M ΧM)( Χ ), M, λχ tu < 0 ΧM MΧ ΧMΧ, λχ tu < 0 ΧM Χ ΧM Χ M Χ t, λu < 0. Χt Χt Χt Χt Lopuksi tarkastellaan raja-aroa Χt 0. Liikemäärän tasehtälön iimeinen termi häiää ja saadaan aunun liikehtälö dm d d M, λu < ( M), λu < 0. dt dt dt Vaunun liikkeen alkuarotehtää koostuu massan ja liikemäärän taseista ja tunnetuista aunun massan ja nopeuden alkuaroista d ( M ), λ u < 0, dt dm dt < λ t = 0 ja M < M0, < 0 t < 0.
Määritä kuan ulokepalkin normaalioima N, leikkausoima Q, ja taiutusmomentti M aksiaalikoordinaatin funktioina. Kätä palkkialkion liikemäärän taseen ja liikemäärän momentin taseen lokaaleja muotoja. Palkin differentiaalihtälöt seuraaat liikemäärän taseen ja liikemäärän momentin taseen periaatteista soellettuina palkkialkioon. asopalkille dn f 0 d <, dq f d < 0 ja dm Q d, < 0. Ulokepalkin leikkausrasitukset saadaan differentiaalihtälöiden ratkaisuna. Ensimmäisen kertaluun differentiaalihtälön ksikäsitteinen ratkaisu edellttää htä reunaehtoa, joka kuaa tilannetta palkin apaassa päässä. Reuna-arotehtää normaalioimalle ja sen ratkaisu dn 0 d < ja N( L) < P N( ) < a ja N( L) < a < P, joten N( ) Reuna-arotehtää leikkausoimalle ja sen ratkaisu < P. dq f 0 d, < ja Q( L) <, P Q( ) < f a ja Q( L) < fl a <, P a <, P, fl, joten Q( ) < f(, L), P. Reuna-arotehtää momentille ja sen ratkaisu dm f ( L ) P 0 d,, < ja M( L ) < 0 1 M( ) < f(, L), P a ja f L P 45 1 M( L) <, f L, PL a < 0 1 a < f L PL, joten 1 M( ) < f(, L), P(, L).
Määritä irtausnopeus ( ) ja paine p ( ) kuan len leitetssä tasapaksussa maalipinnassa (tihes θ ja iskositeetti λ akioita) lähtien Naier-Stokes htälöistä. Oletetaan, että < < 0. Ilmanpaine on akio p 0 ja ilman iskositeetti λ ilma < 0. ehtäässä tarkastellaan Newtonin nesteen ajasta riippumatonta tasoirtausta Karteesisessa koordinaatistossa, jolloin päädtään jatkuuushtälön ja liikemäärän taseen, ja, suuntaisiin komponentteihin (Naier-Stokes htälöt) 45 g h p 0 < 0, p λ θ( ), ( ), f < 0, p λ θ( ), ( ), f < 0. ehtään kuauksen perusteella f < f <, /, p, ( ) ( ) ja < 0, joten jatkuuushtälö toteutuu automaattisesti ja liikemäärän taseet, ja, suunnissa p < 0,, λ < 0. ädennetään saadut htälöt irtausnopeutta ja painetta koskeaksi reuna-arotehtääksi. Virtausnopeus kiinteän seinämän kohdalla häiää. Neste-ilma rajapinnalla ilman nesteesen kohdistaman traktion tangentiaalikomponentti (iskoosi osuus) häiää, koska ilman iskositeetti oletetaan häiään pieneksi suhteessa nesteen iskositeettiin. Ilman nesteeseen kohdistaman traktion normaalikomponentti seuraa ilmanpaineesta. ehtäät paineelle ja irtausnopeudelle (huomaa, että osittaisderiaatat :n suhteen muuttuat taallisiksi deriaatoiksi, koska p, ( ) ( )) Reuna-arotehtää paineelle ja sen ratkaisu dp θ g < 0 ]0, h[ ja p( h) < p0 d p< a ja p( h) < h a< p0 a< p0, h, joten p< p0 (, h). Reuna-arotehtää nopeudelle ja sen ratkaisu
d θ g d, λ < 0 ]0, h[, (0) < 0 ja λ ( h) < 0 d d 1 d ( ) < a b ja (0) < b< 0 ja λ ( h) < λ( h a) < 0 λ d λ a<, h, λ joten θ g 1 ( ) < (, h). λ