Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 4 LUKUJONOT JA SUMMAT ALOITA PERUSTEISTA 45A. Määritetään lukujonon (a n ) kolme ensimmäistä jäsentä ja sadas jäsen a 00 sijoittamalla jäsenten järjestysluvut yleisen jäsenen a n lausekkeeseen. a) Yleisen jäsenen lauseke on a n = 4n +. a = 4 + = 7 a = 4 + = a = 4 + = 5 a 00 = 4 00 + = 40 Vastaus: a = 7, a =, a = 5 ja a 00 = 40 b) Yleisen jäsenen lauseke on a n = 4 n. a = 4 = a = 4 = 6 a = 4 = 08 a 00 = 4 00 =,06 0 48,06 0 48 Vastaus: a =, a = 6, a = 08 ja a 00 =,06 0 48 46A. a) Aritmeettisen lukujonon erotusluku d on peräkkäisten jäsen erotus, joten d = 8 = 7. Vastaus: d = 7 b) Geometrisen lukujonon suhdeluku q on peräkkäisten jäsenten osamäärä, joten q 6. Vastaus: q = 6
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 47A. Merkintä a = tarkoittaa, että lukujonon kolmas jäsen on, joten merkintä A ja kuvaus IV kuuluvat yhteen. Merkintä a = tarkoittaa, että lukujonon toinen jäsen on, joten merkintä B ja kuvaus I kuuluvat yhteen Merkintä a n = tarkoittaa, että lukujonon jokainen jäsen on, joten merkintä C ja kuvaus V kuuluvat yhteen Merkintä d = tarkoittaa, että lukujonon erotusluku on, joten merkintä D ja kuvaus II kuuluvat yhteen. Merkintä a n = n tarkoittaa, että lukujonon jäsen on sama kuin jäsenen järjestysluku, joten lukujono on,,, eli positiivisten kokonaislukujen jono. Merkintä E ja kuvaus III kuuluvat siis yhteen. Vastaus: A: IV, B: I, C: V, D: II ja E: III 48A. Määritetään jäsenet a, a ja a 4. a =,5 a =,5 a =,5 6 = 9 a =,5 a =,5 a =,5 9 =,5 a 4 =,5 a 4 =,5 a =,5,5 = 0,5 Vastaus: a = 9, a =,5 ja a 4 = 0,5
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 49A. a) Aritmeettisen lukujonon, 4, erotusluku on d = 4 =, joten sen yleinen termi on a n = a + (n ) d = + (n ) = + n = n. Lasketaan kymmenes termi sijoittamalla yleisen termin lausekkeeseen järjestysluku n = 0. a 0 = 0 = 8 Kymmenes termi on siis a 0 = 8. Vastaus: a 0 = 8 b) Geometrisen lukujonon, 4,... suhdeluku on 9 joten kolmas termi on a 4 8 aq. 9 7 Vastaus: a 8 7 4 4 q :, 9 9
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 50A. a) Aritmeettisen lukujonon yleinen jäsen on a n = a + (n ) d = 5 + (n ) ( ) = 5 n + = n + 7. Havainnollistetaan lukujonoa koordinaatistossa. Vastaus: a n = n + 7,
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 b) Muodostetaan yleisen jäsenen lausekkeen avulla yhtälö ja tutkitaan sen avulla, onko luku 8 lukujonon jäsen. 8 n 7 n 5 : n,5 Koska n =,5 ei ole positiivinen kokonaisluku, luku 8 ei ole lukujonon jäsen. Vastaus: ei ole
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 5B. a) Geometrisen lukujonon yleinen jäsen on a n = a q n = 5 n. Havainnollistetaan lukujonoa koordinaatistossa. Vastaus: a n = 5 n,
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 b) Muodostetaan yleisen jäsenen lausekkeen avulla yhtälö ja tutkitaan sen avulla, kuinka mones lukujonon jäsen luku 85 on. n 85 5 : n 5 65 n 4 5 5 Koska yhtälön vasemman ja oikean puolen potenssien kantaluvut ovat samat, on eksponenttienkin oltava samat. n 4 n 5 Luku 85 on lukujonon viides jäsen. Vastaus: viides 5B. a) Geometrisen lukujonon, 6,, 4, ensimmmäinen jäsen on a = 6 ja suhdeluku q, joten sen analyyttinen sääntö on a n = a q n = n. Vastaus: a n = n b) Geometrisen lukujonon, 6,, 4, ensimmäinen jäsen on a = ja a-kohdan perusteella suhdeluku q =. Lukujonon jäsen saadaan siis kertomalla edellinen jäsen luvulla, ja lukujonon rekursiivinen sääntö on a =, a n = a n, n =,, 4, Vastaus: a =, a n = a n, n =,, 4,
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 c) Määritetään lukujonon 0. jäsen taulukkolaskentaohjelmalla käyttäen b-kohdan sääntöä. Lasketaan ensin soluviittauksen avulla toinen jäsen. Kopioidaan kaava alemmille riveille. Lukujonon 0. jäsen on a 0 = 57 864. Vastaus: a 0 = 57 864
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 5B. a) Aritmeettisen lukujonon 4,, erotusluku on d = 4 = 8. Lasketaan lukujonon kolmas jäsen soluviittausta käyttäen. Kopioidaan kaava riveille 0. Määritetään lukujonon kymmenen ensimmäisen jäsenen summa. Lukujonon kymmenen ensimmäisen jäsenen summa on 400. Vastaus: S 0 = 400
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 b) Geometrisen lukujonon 4,, suhdeluku on q. Lasketaan 4 lukujonon kolmas jäsen soluviittausta käyttäen. Kopioidaan kaava riveille 0. Määritetään lukujonon kymmenen ensimmäisen jäsenen summa. Lukujonon kymmenen ensimmäisen jäsenen summa on 8 096. Vastaus: S 0 = 8 096
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 a a 54A. a) Aritmeettisen summan kaavan S 4 ensimmäinen yhteenlaskettava on, viimeinen yhteenlaskettava 4 ja yhteenlaskettavien määrä on. Summan arvo 4 6 on 56. Vastaus:, 4,, 56 n n n perusteella lausekkeessa b) Geometrisen summan kaavan ( n a q S ) n perusteella lausekkeessa q 8 5 ensimmäinen yhteenlaskettava on 5, suhdeluku ja yhteenlaskettavien lukumäärä 8. Summan arvo on 5 8 5 56 555 75. Vastaus: 5,, 8, 75
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 55A. a) Geometrisessa summassa + 6 + 8 + 54 + 6 + 486 + 458 + 474 + ensimmäinen yhteenlaskettava on a = ja yhteenlaskettavien lukumäärä n = 9. Vastaus: a =, n = 9 b) Suhdeluku on Vastaus: q = q 6. c) Lasketaan summa geometrisen summan kaavalla ( n a q S ) n, q ensimmäinen yhteenlaskettava on a =, suhdeluku q = ja yhteenlaskettavien määrä n = 9. kun S 9 9 ( ) 9 68 Vastaus: S = 9 68
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 56A. a) Aritmeettisessa summassa 4 + 7 + + ensimmäinen yhteenlaskettava on a = 4 ja viimeinen a n =. Vastaus: a = 4, a n = b) Yhteenlaskettavien lukumäärä on viimeisen yhteenlaskettavan a n = järjestysluku. Sijoitetaan aritmeettisen lukujonon yleisen jäsenen kaavaan jonon ensimmäinen jäsen a = 4, erotusluku d = 7 4 = ja n:s jäsen a n =. Ratkaistaan yhtälöstä viimeisen yhteenlaskettavan järjestysluku n. a n = a + (n ) d = 4 + (n ) = 4 + n n = 0 : n = 0 Vastaus: 0 a an c) Lasketaan summa aritmeettisen summan kaavalla Sn n, kun yhteenlaskettavien määrä on n = 0, ensimmäinen yhteenlaskettava a = 4 ja viimeinen yhteenlaskettava a 0 =. S 0 0 4 75 Vastaus: S 0 = 75
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 VAHVISTA OSAAMISTA 57A. Aritmeettisessa lukujonossa peräkkäisten jäsenten erotus on vakio. a) Lasketaan peräkkäisten jäsenten erotukset. a a = 9 = 8 a a = 7 9 = 8 Koska peräkkäisten jäsenten erotukset ovat yhtä suuria, lukujono voi olla aritmeettinen. Vastaus: voi b) Lasketaan peräkkäisten jäsenten erotukset. a a = 4 9 = 5 a a = 9 5 = 4 5 Koska peräkkäisten jäsenten erotukset eivät ole yhtä suuria, lukujono ei voi olla aritmeettinen. Vastaus: ei voi c) Lasketaan peräkkäisten jäsenten erotukset. a a = 4 4 = 0 a a = 4 4 = 0 Koska peräkkäisten jäsenten erotukset ovat yhtä suuret, lukujono voi olla aritmeettinen. Vastaus: voi
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 58A. Geometrisessä lukujonossa peräkkäisten jäsenten suhde on vakio. a) Lasketaan peräkkäisten jäsenten suhteet. a a a a 4 4 6 4 4 Koska peräkkäisten jäsenten suhteet ovat yhtä suuria, lukujono voi olla geometrinen. Vastaus: voi b) Lasketaan peräkkäisten jäsenten suhteet. a 5 5 a a 5 a Koska peräkkäisten jäsenten suhteet eivät ole yhtä suuria, lukujono ei voi olla geometrinen. Vastaus: ei voi c) Lasketaan peräkkäisten jäsenten suhteet. a a 6 a : a Koska peräkkäisten jäsenten suhteet ovat yhtä suuria, lukujono voi olla geometrinen. Vastaus: voi
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 59A. TAPA : Lukujonon 8, 6,, 64, ensimmäinen jäsen on a = 8 ja suhdeluku q 6, joten sen yleinen jäsen on 8 a n = 8 n = n = n = 4 + n = 4 n. Lukujono A ja sääntö II kuuluvat siis yhteen. Lukujonon 4,,,, ensimmäinen jäsen on a = 4 ja suhdeluku n q, joten sen yleinen jäsen on a 4 4 n. Lukujono B ja sääntö VI kuuluvat siis yhteen. Lukujonon, 4, 8, 6, ensimmäinen jäsen on a = ja suhdeluku 4 n n n q, joten sen yleinen jäsen on a. n Lukujono C ja sääntö I kuuluvat siis yhteen. Lukujonon,,,,... ensimmäinen jäsen on a ja suhdeluku 4 8 6 q :, joten sen yleinen jäsen on 4 4 n n n a n. Lukujono D ja sääntö IV kuuluvat siis yhteen. Lukujonon 4, 8, 6,, ensimmäinen jäsen on a = 4 ja suhdeluku q 8, joten sen yleinen jäsen on 4 n 4. a n Lukujono E ja sääntö III kuuluvat siis yhteen.
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 Lukujonon,,,, 4 ensimmäinen jäsen on a = ja suhdeluku q, joten sen yleinen jäsen on n n n 4 n a n Lukujono F ja sääntö V kuuluvat siis yhteen. Vastaus: A: II, B: VI, C: I, D: IV, E: III ja F: V TAPA : Lasketaan lukujonojen I VI ensimmäisiä jäseniä sääntöjen avulla ja yhdistetään säännöt jonoihin A F. Sääntö I a n = n a = = a = = 4 a = = 8 a 4 = 4 = 6 Joten lukujono C ja sääntö I kuuluvat yhteen. Sääntö II a 4 n n a 4 8 a 4 6 a 4 4 a 4 64 4 Joten lukujono A ja sääntö II kuuluvat yhteen.
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 Sääntö III 4 n a n 4 0 a 4 4 4 a 4 4 8 a 4 4 6 4 a 4 4 Joten lukujono E ja sääntö III kuuluvat yhteen. Sääntö IV n a n a a 4 a 8 4 a 4 6 Joten lukujono D ja sääntö IV kuuluvat yhteen. Sääntö V n a n 4 a 4 4 a 4 4 4 a 4 4 8 4 a 4 4 4 6 4 Joten lukujono F ja sääntö V kuuluvat yhteen.
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 Sääntö VI n a n 4 0 a 4 4 4 a 4 4 a 4 4 4 a 4 4 4 Joten lukujono B ja sääntö VI kuuluvat yhteen. Vastaus: A: II, B: VI, C: I, D: IV, E: III ja F: V 60A. a) Sievennetään lukujonon lauseke a n = 8 + (n ) 5 = 8 +5n 5 = + 5n. Huomataan, että lukujonon jäsenen arvo kasvaa aina 5:llä, kun järjestysluku kasvaa :llä. Lukujonon ensimmäinen jäsen on a = 8 + ( ) 5 = 8, joten lukujonon rekursiivinen sääntö on a = 8, a n = a n + 5. Vastaus: a = 8, a n = a n + 5 b) Huomataan, että lukujonon a n = 9 7 n jäsenen arvo tulee aina 7- kertaiseksi, kun järjestysluku kasvaa :llä. Ensimmäinen jäsen on a = 9 7 = 9 = 9, joten lukujonon rekursiivinen sääntö on siis a = 9, a n = 7a n. Vastaus: a = 9, a n = 7a n
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 6A. a) Aritmeettisen lukujonon yleinen jäsen on a n = a + (n ) d, joten neljäs jäsen on a 4 = a + (4 ) d = a + ( 4) = a. Toisaalta tehtävänannon tietojen mukaan neljäs jäsen on a 4 =. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä ensimmäinen jäsen a. a a 5 Lukujonon ensimmäinen jäsen on siis a = 5. Koska ensimmäinen jäsen on a = 5 ja erotusluku d = 4, yleinen jäsen on a n = 5 + (n ) ( 4) = 5 4n + 4 = 4n + 9. Vastaus: a = 5, a n = 4n + 9 b) Lasketaan lukujonon 80. jäsen sijoittamalla yleisen jäsenen lausekkeeseen järjestysluku n = 80. a 80 = 4 80 + 9 = 9 Vastaus: a 80 = 9 c) Muodostetaan yleisen jäsenen avulla yhtälö ja tutkitaan sen avulla, kuinka mones lukujonon jäsen luku 6 on. 4n 9 6 4n 9 : 4 n 48 Luku 6 on lukujonon 48. jäsen. Vastaus: 48. jäsen
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 6B. TAPA : Geometrisen lukujonon yleinen jäsen on a n = a q n ja sen peräkkäisten jäsenten suhde on q = 4, joten sen kolmas jäsen on a = a q = a q = a 4 = 6a. Toisaalta tehtävänannon mukaan kolmas jäsen on a = 96. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä lukujonon ensimmäinen jäsen a. 6a 96 :6 a 6 Lukujonon ensimmäinen jäsen on a = 6 ja sen peräkkäisten jäsenten suhde on q = 4, joten sen yleinen jäsen on a n = 6 4 n. Muodostetaan yleisen jäsenen avulla yhtälö ja tutkitaan sen avulla, onko luku 98 04 lukujonon jäsen. n 64 9804 :6 n 4 684 n log 46 84 n 7 n 8 Luku 98 04 on lukujonon 8. jäsen. Vastaus: on TAPA : Lasketaan taulukkolaskentaohjelmalla lukujonon jäseniä kolmannesta jäsenestä 96 eteenpäin kertomalla edellinen jäsen luvulla 4. Huomataan, että luku 98 04 lukujonon jäsen. Vastaus: on
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 6A. a) Kun aritmeettisen lukujonon viidenteen termiin a 5 = 9 lisätään erotusluku 5 = 8 kertaa, saadaan. termi a = 4. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä erotusluku d. 98d 4 8d :8 d 4 Lukujonon erotusluku on d = 4. Kun erotusluku d = 4 lisätään ensimmäiseen termiin a neljä kertaa, saadaan 5. termi a 5 = 9. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä ensimmäinen termi a. a 44 9 a 6 9 a 7 Lukujonon ensimmäinen termi on a = 7. Vastaus: d = 4, a = 7
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 b) Kun geometrisen lukujonon neljäs jäsen a 4 = 48 kerrotaan neljästi suhdeluvulla q, saadaan kahdeksas jäsen a 8 = 768. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä suhdeluku q. 4 48q 768 : 48 4 q q q 6 4 6 Suhdeluku on q = tai q =. Kun lukujonon ensimmäinen jäsen a kerrotaan suhdeluvulla q kolmesti, saadaan neljäs jäsen a 4 = 48. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä ensimmäinen jäsen a. Tutkitaan ensin tapaus q =. 48 a 8a 48 :8 a 6 Jos q =, niin ensimmäinen jäsen on a = 6. Tällöin yleinen jäsen on a n = a q n = 6 n. Tutkitaan sitten tapaus q =. a 48 8a 48 : 8 a 6 Jos q =, niin ensimmäinen jäsen on a = 6. Tällöin yleinen jäsen on a n = a q n = 6 ( ) n. Vastaus: q = ja a n = 6 n tai q = ja a n = 6 ( ) n.
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 64A. a) Lasketaan yrityksen liikevaihto syyskuussa, joka on vuoden 9. kuukausi. L(9) = 5 000 + 4000 9 = 6 000 Liikevaihto oli 6 000. Vastaus: 6 000 euroa b) Liikevaihdon lausekkeessa kuukauden järjestysluku kerrotaan luvulla 4000, joten liikevaihto kasvoi kuukaudessa 4000. Vastaus: 4000 euroa c) Tutkitaan yhtälön avulla, missä kuussa liikevaihto ylitti 50 000. 5 000 4000n 50 000 4000n 5 000 : 4000 n 6,5 Kuudentena kuukautena eli kesäkuussa liikevaihto oli vielä alle 50 000. Liikevaihto ylitti 50 000 seitsemäntenä kuukautena eli heinäkuussa. Vastaus: heinäkuussa
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 65A. a) Lasketaan summa geometrisen summan kaavalla, kun ensimmäinen jäsen on a =, suhdeluku q = 4 ja yhteenlaskettavien määrä n = 5. S 5 4 4 5 57 9 94 Vastaus: S 5 = 57 9 94 b) Lukujonon ensimmäinen jäsen on a = 4 ( ) = ja toinen jäsen a = 4 ( ) a = 6, joten suhdeluku on q 6. a Lasketaan summa geometrisen summan kaavalla, kun ensimmäinen jäsen on a =, suhdeluku q = ja yhteenlaskettavien määrä n = 5. S 5 5 Vastaus: S 5 = 4 046 74 4 04674 c) Kun geometrisen lukujonon ensimmäinen jäsen a kerrotaan suhdeluvulla q =, saadaan toinen jäsen a = 7. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä ensimmäinen jäsen a. a 7 : a 9 Lasketaan summa geometrisen summan kaavalla, kun ensimmäinen jäsen on a = 9, suhdeluku q = ja yhteenlaskettavien määrä n = 5. S 5 5 9( ) 64 570 077 Vastaus: S 5 = 64 570 077
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 d) Kun geometrisen lukujonon neljäs jäsen a 4 = 4 kerrotaan suhdeluvulla q kolmesti, saadaan seitsemäs jäsen a 7 =9. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä suhdeluku q. 4q 9 : 4 q 8 q 8 q Suhdeluku on siis q =. Kun lukujonon ensimmäinen jäsen a kerrotaan kolmesti suhdeluvulla q =, saadaan neljäs jäsen a 4 = 4. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä ensimmäinen jäsen a. 4 a 8a 4 :8 a Ensimmäinen jäsen on siis a =. Lasketaan summa geometrisen summan kaavalla, kun ensimmäinen jäsen on a =, suhdeluku q = ja yhteenlaskettavien määrä n = 5. S 5 5 ( ) 98 0 Vastaus: S 5 = 98 0
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 66A. a) Lukujonon ensimmäinen jäsen on a = 5 ja erotusluku d = 6, joten 0. jäsen on a 0 = 5 + (0 ) 6 = 79. Lasketaan 0 ensimmäisen jäsenen summa sijoittamalla aritmeettisen summan kaavaan yhteenlaskettavien lukumäärä n = 0, ensimmäinen jäsen a = 5 ja 0. jäsen a 0 = 79. S 0 0 5 79 760 Vastaus: S 0 = 760 b) Lukujonon ensimmäinen jäsen on a = 00 ja erotusluku on d = 00 00 = 00, joten 0. jäsen on a 0 = 00 + (0 ) ( 00) = 00. Lasketaan 0 ensimmäisen jäsenen summa sijoittamalla aritmeettisen summan kaavaan yhteenlaskettavien lukumäärä n = 0, ensimmäinen jäsen a = 00 ja 0. jäsen a 0 = 00. S 0 0 00 00 5 500 Vastaus: S 0 = 5 500 c) Lukujonon ensimmäinen jäsen on a = ja erotusluku on d =. Lukujonon 0. jäsen on a 0 = + (0 ) = 85. Lasketaan 0 ensimmäisen jäsenen summa sijoittamalla aritmeettisen summan kaavaan yhteenlaskettavien lukumäärä n = 0, ensimmäinen jäsen a = ja 0. jäsen a 0 = 85. S 0 0 85 45 Vastaus: S 0 = 45
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 67A. a) Aritmeettisen jonon erotusluku on d a a 7. Lukujonon yleinen jäsen on siis a ( ) n a n d n. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä, kuinka monta jäsentä lukujonossa on. n 7 n 4 n 4 n 8 4 n 4 : n Yhteenlaskettavien määrä on siis n =. Lasketaan summa sijoittamalla aritmeettisen summan kaavaan yhteenlaskettavien määrä n =, ensimmäinen yhteenlaskettava a ja viimeinen yhteenlaskettava a = 7. S 7 607 Kysytty summa on 607. 607 Vastaus: S
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 a an b) Sijoitetaan aritmeettisen summan kaavaan Sn n termien summa S n = 96, jonon ensimmäinen termi a = ja n:s termi a n = 6. Ratkaistaan saadusta yhtälöstä yhteenlaskettavien määrä n. 96 n 6 96 n 6 n 96 : n Luku 6 on siis jonon. termi. Sijoitetaan aritmeettisen jonon yleisen termin kaavaan a n = a + (n ) d termin järjestysluku n =, ensimmäinen termi a = ja. termi a = 6. Ratkaistaan saadusta yhtälöstä erotusluku d. 6 d 6 0d 0d 60 :0 d Jonon yleinen termi on siis a = a + d = + =, joten jonon toinen termi on a =. Vastaus: a =
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 68B. Koska ponnahduksen korkeus on 0,8-kertainen edelliseen ponnahdukseen verrattuna, ponnahdusten korkeudet muodostavat geometrisen lukujonon, jonka suhdeluku on q = 0,8. Kun pallo osuu kymmenennen kerran lattiaan, se on pudonnut alaspäin 0 kertaa ja pompannut lattiasta 9 kertaa. Pallo kulkee alaspäin pudotessaan metreinä yhteensä matkan + 0,8 + 0,8 + 0,8 9. Lasketaan summa sijoittamalla geometrisen summan kaavaan ensimmäinen yhteenlaskettava a =, yhteenlaskettavien määrä n = 0 ja suhdeluku q = 0,8. S 0 0,8 0,8 0 4,46... Pallo kulkee ylöspäin noustessaan metreinä yhteensä matkan 0,8 + 0,8 + 0,8 9. Lasketaan summa sijoittamalla geometrisen summan kaavaan ensimmäinen yhteenlaskettava a = 0,8, yhteenlaskettavien määrä n = 9 ja suhdeluku q = 0,8. S 0 0,8 0,8 0,8 9,46... Pallo kulkee yhteensä 4,46 m +,46 m = 7,96 m 8 m. Vastaus: 8 metriä
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 69A. Lukujen 000 ja 000 välissä olevien :lla jaolliset luvut muodostavat aritmeettisen lukujonon, koska peräkkäisten jäsenten erotus on luku. Pienin luvulla jaollinen, lukujen 000 ja 000 välissä oleva luku on 00 = 77 ja suurin 989 = 5. Yhteenlaskettavien lukumäärä on viimeisen yhteenlaskettavan a n = 989 järjestysluku. Sijoitetaan aritmeettisen lukujonon yleisen jäsenen kaavaan jonon ensimmäinen jäsen a = 00, erotusluku d = ja n:s jäsen a n = 989. Ratkaistaan yhtälöstä viimeisen yhteenlaskettavan järjestysluku n. a n = a + (n ) d 989 = 00 + (n ) 989 = 00 + n n = 00 : n = 77 Lasketaan summa sijoittamalla aritmeettisen summan kaavaan yhteenlaskettavien määrä n = 77, ensimmäinen yhteenlaskettava a = 00 ja viimeinen a 77 = 989. S 77 77 00989 55 Kysytty summa on 5 5. Vastaus: 5 5
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 70B. Rahaa siirtyy tilille euroina 00 + 00 + 00 + Joka vaiheessa tilille siirtyvien rahojen määrä kolminkertaistuu, joten siirretyt rahamäärät muodostavat geometrisen lukujonon, jonka suhdeluku on q =. TAPA : Muodostetaan n:ssä ensimmäisessä vaiheessa siirrettyjen rahamäärien summa sijoittamalla geometrisen summan kaavaan ensimmäinen yhteenlaskettava a = 00 ja suhdeluku q =. S n n n 00 00 n 50. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan sen avulla, kuinka monen vaiheen jälkeen tilillä oleva rahasumma ylittää 54 00 000 000 euroa. n 50 5400 000 000 : ( 50) n 08 000 000 n 08 000 00 ( ) n 08 000 00 n log08 000 00 n 8,94 Tilillä oleva rahasumma ylittää 54 00 000 000 euroa 9. vaiheen jälkeen. Vastaus: 9 vaiheen jälkeen
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 TAPA : Lasketaan taulukkolaskentaohjelmalla tilille siirtyvän rahan määrä jokaisessa vaiheessa kertomalla edellinen luku aina :lla. Lasketaan viereiseen sarakkeeseen tilille kertyvän rahan määrä. Havaitaan, että tilillä oleva rahasumma ylittää 54 00 000 000 euroa 9. vaiheen jälkeen. Vastaus: 9 vaiheen jälkeen
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 7B. a) TAPA : Lukujonon erotusluku on d a a, joten 5 5 5 lukujonon yleinen termi on a 0 8 n n n n. 5 5 5 5 5 5 Tällöin jonon sadas termi on a 8 08 00 00 40 4. 5 5 5 5 5 Lasketaan sadan ensimmäisen termin summa sijoittamalla aritmeettisen summan kaavaan yhteenlaskettavien määrä n = 00, ensimmäinen yhteenlaskettava a = ja viimeinen yhteenlaskettava a 08 00. 5 S 00 08 5 00 80 Jonon sadan ensimmäisen termin summa on 80. Vastaus: S 00 = 80 TAPA : Lasketaan taulukkolaskentaohjelmalla lukujonon 00 ensimmäistä jäsentä ja niiden summa. Havaitaan, että summa on 80. Vastaus: S 00 = 80
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 b) TAPA : a Lukujonon suhdeluku on q : 6. a 5 5 Lasketaan sadan ensimmäisen termin summa sijoittamalla geometrisen summan kaavaan ensimmäinen yhteenlaskettava a =, suhdeluku q 6 ja yhteenlaskettavien määrä n = 00. 5 S 00 6 00 5 6 5 8879 75, 0... Jonon sadan ensimmäisen termin summa on 88 79 75,0 88 000 000. Vastaus: S 00 = 88 000 000 TAPA : Lasketaan taulukkolaskentaohjelmalla lukujonon 00 ensimmäistä jäsentä ja niiden summa. Havaitaan, että summa on 88 79 75, 88 000 000. Vastaus: S 00 = 88 000 000
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 7A. a) Muodostetaan lukujonon (a n ) analyyttinen sääntö, kun a = 4 ja a n + = a n,5. Vähentämällä lukujonon jäsenestä,5 saadaan lukujonon seuraava jäsen, joten lukujono on aritmeettinen ja sen erotusluku on d =,5. Koska lisäksi lukujonon ensimmäinen jäsen on a = 4, niin lukujonon analyyttinen sääntö on a n = a + (n ) d = 4 + (n ) (,5) = 4,5n +,5 =,5n + 6,5. Vastaus: a n =,5n + 6,5 b) Muodostetaan lukujonon (a n ) analyyttinen sääntö, kun a = 0 ja a n + = a n. Kertomalla lukujonon jäsen luvulla saadaan lukujonon seuraava jäsen, joten lukujono on geometrinen ja sen suhdeluku on q =. 0 = a = a + = a, joten muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä lukujonon ensimmäinen jäsen a. a 0 : a 5 Koska lukujonon ensimmäinen jäsen on a = 5, niin lukujonon analyyttinen sääntö on a n = a q n = 5 n. Vastaus: a n = 5 n c) Muodostetaan lukujonon (a n ) analyyttinen sääntö, kun a = ja a n + = a n. Koska lukujonon jäsen on yhtä suuri kuin seuraava jäsen, lukujono on vakiojono,,, Lukujonon analyyttinen sääntö on siis a n =. Vastaus: a n =
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 7B. Koska lukujonon seuraava termi on 5 % edellistä termiä suurempi, lukujono on geometrinen ja sen suhdeluku on q =,05. Koska lisäksi ensimmäinen termi on, n:s termi on a n = a q n =,05 n. TAPA : Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan sen avulla, kuinka moni jonon termi on pienempi kuin 000 miljoonaa. n,05 000 000 000 : n,05 500 000 000 n log,05 500 000 000 n 40,55... n 4,55... Jonon 4 ensimmäistä termiä ovat pienempiä kuin 000 miljoonaa. Lasketaan näiden termien summa geometrisen summan kaavalla sijoittamalla siihen ensimmäinen termi a =, suhdeluku q =,05 ja yhteenlaskettavien määrä n = 4. S 4 4,05 0 4579406,... 0 500000 000,05 Kysytty summa on kolmen numeron tarkkuudella 0 500 000 000. Vastaus: 4 termiä, S 4 = 0 500 000 000
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 TAPA : Lasketaan taulukkolaskentaohjelmalla lukujonon termejä kertomalla aina edellinen termi luvulla,05, kunnes löydetään termi, joka ylittää luvun 000 miljoonaa. Havaitaan, että ensimmäinen termi, joka ylittää luvun 000 miljoonaa, on 4.termi. Siis 4 termiä ovat pienempiä kuin 000 miljoonaa. Lasketaan näiden summa. Havaitaan, että summa on 0 457 940 6, 0 500 000 000. Kysytty summa on kolmen numeron tarkkuudella 0 500 000 000. Vastaus: 4 termiä, 0 500 000 000
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 74B. Tutkitaan puun määrän kehitystä taulukkolaskentaohjelmalla. Lasketaan ensin soluviittauksen avulla puun määrä vuoden kuluttua. Puun määrä alkuperäiseen verrattuna on 00 % + 7 % = 7 %. Kasvun jälkeen puun määrä vähenee 6 m. Kymmenen vuoden kuluttua puuta on,9. Vastaus: m
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 75B. a) Alkuperäisen janan pituus l =. Seuraavassa kuviossa janan keskimmäinen kolmannes korvataan kahdella janalla, joista kummankin pituus on kolmasosa alkuperäisen janan pituudesta. Tällöin käyrän kokonaispituus kasvaa yhdellä kolmasosalla ja on 4 alkuperäisestä. Toisessa kuviossa käyrän pituus on l 4. Kolmannessa kuviossa jokaisen janan keskimmäinen kolmannes korvataan kahdella janalla, joista kummankin pituus on kolmasosa edellisen kuvionjanan pituudesta. Kolmannen kuvionkokonaispituus on 4 -kertainen edelliseen kuvioon verrattuna. Näin jatkamalla käyrien pituudet muodostavat geometrisen lukujonon n n l 4 4 n, missä n on kuvion järjestysnumero. n Vastaus: 4 b) Kirjoitetaan soluun A luku. Soluun A kirjoitetaan =4/ A ja kopioidaan solua A alaspäin. Pituus on yli 00-kertainen alkuperäiseen nähden 8. kuviossa. Vastaus: 8. kuviossa
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 76A. a) Summamerkintä ( 4 n) tarkoittaa summaa, jossa lasketaan n0 yhteen lukujonon a n = + 4n jäseniä. Ensimmäinen yhteenlaskettava on a 0 = + 4 0 =. Toinen yhteenlaskettava on a = + 4 = 7. Kolmas yhteenlaskettava on a = + 4 =. Viimeinen yhteenlaskettava a = + 4 = 9. Huomataan, että seuraava yhteenlaskettava saadaan, kun edelliseen lisätään luku 4, joten kyseessä on aritmeettinen summa. Koska summan laskeminen alkaa indeksistä n = 0 ja päättyy indeksiin, yhteenlaskettavien lukumäärä on + =. Lasketaan summa sijoittamalla aritmeettisen summan kaavaan yhteenlaskettavien määrä n =, ensimmäinen yhteenlaskettava a 0 = ja viimeinen yhteenlaskettava a = 9. S 9 08 Kysytty summa on 08. Vastaus: 08
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 b) Summassa 5 ( ) n lasketaan yhteen lukujonon a n = ( ) n jäseniä. n Ensimmäinen yhteenlaskettava on a = ( ) = 9. Toinen yhteenlaskettava on a = ( ) = 7. Kolmas yhteenlaskettava on a 4 = ( ) 4 = 8. Viimeinen yhteenlaskettava a 5 = ( ) 5 = 448907. Huomataan, että seuraava yhteenlaskettava saadaan, kun edellinen kerrotaan luvulla, joten kyseessä on geometrinen summa ja suhdeluku on q =. Koska summan laskeminen alkaa indeksistä n = ja päättyy indeksiin 5, yhteenlaskettavien lukumäärä on n = 5 = 4. Lasketaan summa sijoittamalla geometrisen summan kaavaan ensimmäinen yhteenlaskettava a = 9, suhdeluku q = ja yhteenlaskettavien määrä n = 4. S 4 9 4 0 76678 Kysytty summa on 0 76 678. Vastaus: 0 76 678
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 77B. a) Laskemalla taulukossa auton arvo edelliseen vuoden arvoon verrattuna huomataan, että auton arvo näyttää alenevan 0 % vuodessa. Vastaus: Auton arvo näyttää alenevan 0 % vuodessa. b) Koska auton arvo alenee joka vuosi 0 %:lla, on auton arvo 00 % 0 % = 80 % edellisen vuoden arvosta eli 0,80-kertainen edellisen vuoden arvoon nähden. Auton arvon vuonna n noudattaa siis geometrista lukujonoa. Lukujonon ensimmäinen jäsen on a 0 = 40 000 ja suhdeluku on q = 0,8. Auton arvon vuonna n on a n = 40 000 0,8 n. Vastaus: a n = 40 000 0,8 n
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 c) TAPA Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan sen avulla, kuinka monen vuoden jälkeen auton ostamisesta sen arvo on kaavan mukaan laskenut alle 000 euron. n 400000,8 000 40000 n 0,8 0, 05 n log0,8 0,05 n,45... Auton arvo on kaavan mukaan laskenut alle 000 euron 4 vuoden jälkeen auton ostamisesta. Vastaus: 4 vuoden jälkeen TAPA : Käyttämällä b-kohdan kaavaa ja taulukkolaskenta ohjelmaa havaitaan, että auton arvo on kaavan mukaan laskenut alle 000 euron 4 vuoden jälkeen auton ostamisesta. Vastaus: 4 vuoden jälkeen
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 78A. Geometrisen lukujonon peräkkäisten jäsenten suhde on vakio. a) Lukujonon ensimmäiset jäsenet ovat, x ja. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä x. x x x x 6 x 6 x 6 6 Kun x = 6, niin jonon suhdeluku on q. 6 Kun x = 6, niin jonon suhdeluku on q. Vastaus: x = 6 ja q =, tai x = 6 ja q =
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 b) Lukujonon ensimmäiset jäsenet ovat 4, x + ja 6. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä x. x 6 4 x xx46 x xx4 44 x 4x40 0 4 4 440 x x 4 6560 x 4 576 x 44 x 44 tai x 44 x0 x 4 Kun x = 0, lukujonon toinen jäsen on x + = 0 + =, joten q. 4 Kun x = 4, lukujonon toinen jäsen on x + = 4 + =, joten q. 4 Vastaus: x = 0 ja q =, tai x = 4 ja q =
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 c) Lukujonon ensimmäiset jäsenet ovat 8, x ja x. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä x. x x x 8 x x 8x x 8x6 8x60 8 8 46 x x 8 0 x 8 0 x 4 Koska x = 4, niin Vastaus: x = 4 ja q 4. 8 q
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 79B. a) Kun aritmeettisen lukujonon ensimmäiseen termiin a = 4 lisätään erotusluku d neljästi, saadaan viides termi a 5 =. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä erotusluku d. 44d 4d :4 d 4 Lukujonon yleinen termi on an a n d 4n 4 4 n 4 9 4 n. 4 4 Lasketaan lukujonon toinen, kolmas, neljäs ja kymmenes termi ohjelman avulla. a 4 a 5 a 7 4 4 a 0 4 Vastaus: a, a 5, a4 7 ja a0 4 4 4
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 b) Kun geometrisen lukujonon ensimmäinen termi a = 4 kerrotaan suhdeluvulla q neljästi, saadaan viides termi a 5 =. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä suhdeluku q ohjelman avulla. Suhdeluku on siis q tai q Jos an q niin lukujonon yleinen termi on n n a q 4. Lasketaan ohjelman avulla lukujonon toinen, kolmas, neljäs ja kymmenes termi tässä tapauksessa. a 4 a 4 a a 4 0 4 4 0 4 8 Jos an q, niin lukujonon yleinen termi on n n aq 4.
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 Lasketaan lukujonon toinen, kolmas, neljäs ja kymmenes termi tässä tapauksessa. a 4 a 4 a a 4 0 4 4 0 4 8 Vastaus: q, a, a, a4, a0 8 tai q, a, a, a4, a0 8 80A. a) Lukujonon jäsen, jonka järjestysluku on n, on a n = k(n ) + b = kn k + b. Vastaus: a n = kn k + b b) Lasketaan lukujonon (a n ) peräkkäisten jäsenten erotus. a n a n = (kn + b) (kn k + b) = kn + b kn + k b = k Koska peräkkäisten jäsenten erotus on vakio, lukujono (a n ) on aritmeettinen. Vastaus:
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 a 8B. a) Geometrisen lukujonon suhdeluku on q x. a x Lasketaan lukujonon kahdenkymmenen ensimmäisen jäsenen summa sijoittamalla geometrisen summan kaavaan ensimmäinen yhteenlaskettava a = x, suhdeluku q = ja yhteenlaskettavien määrä n = 0. S 0 x 0 048 575x Vastaus: S 0 = 048 575x a b) Geometrisen lukujonon suhdeluku on q x x. Lasketaan a lukujonon kahdenkymmenen ensimmäisen jäsenen summa sijoittamalla geometrisen summan kaavaan ensimmäinen yhteenlaskettava a =, suhdeluku q = x ja yhteenlaskettavien määrä n = 0. S 0 x x x x 0 0 Vastaus: S 0 x x 0
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 8A. a) Lasketaan ensin lukujonojen (a n ) ja (b n ) toinen ja kolmas jäsen. a = 5a = 5 4 = 0 a = 5a = 5 0 = 00 b = b = = 6 b = b = 6 = Lasketaan lukujonon (c n ) kolme ensimmäistä jäsentä. c = a b = 4 = c = a b = 0 6 = 0 c = a b = 00 = 00 Vastaus: c =, c = 0 ja c = 00 b) Kertomalla lukujonon (a n ) jäsen luvulla 5 saadaan lukujonon (a n ) seuraava jäsen, joten lukujono (a n ) on geometrinen ja sen suhdeluku q = 5. Lukujonon (a n ) analyyttinen sääntö on siis a n = a q n = 4 5 n. Kertomalla lukujonon (b n ) jäsen luvulla saadaan lukujonon (b n ) seuraava jäsen, joten lukujono (b n ) on geometrinen ja sen suhdeluku q =. Lukujonon (b n ) analyyttinen sääntö on siis b n = b q n = n. Vastaus: a n = 4 5 n ja b n = n c) Lukujonon (c n ) analyyttinen sääntö on c n = a n b n = 4 5 n n = 4 (5 ) n = 0 n. Vastaus: c n = 0 n.
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 8B. Aritmeettisen lukujonon yleinen jäsen on a n = a + (n ) d. Muodostetaan lausekkeet lukujonon ensimmäisille jäsenille. a = a + ( ) d = a + d a = a + ( ) d = a + d a 4 = a + (4 ) d = a + d a 5 = a + (5 ) d = a + 4d a 6 = a + (6 ) d = a + 5d Kolmen ensimmäisen jäsenen summa on 9, joten a + (a + d) + (a + d) = 9. Kolmen seuraavan jäsenen summa on 9, joten (a + d) + (a + 4d) + (a + 5d) = 9. Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan siitä erotusluku d. aad ad 9 ad a4d a5d 9 d 9 a d 9 a d 9 a d 9 9d 8 :9 d Sijoitetaan d = yhtälöön a + d = 9. a 9 a 49 a 5 : a 5 Yhtälöpari voidaan ratkaista myös ohjelman avulla.
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 Merkitään ohjelmaan a = a. Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen jäsen on a = 5 ja erotusluku d =, joten sen yleinen jäsen on a n = 5 + (n ) = 5 + n = n 7. Vastaus: a n = n 7
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 84A. Luvut,,,, m muodostavat aritmeettisen lukujonon, jonka erotusluku on =. Muodostetaan lauseke summalle + + + + m sijoittamalla aritmeettisen summan kaavaan yhteenlaskettavien määrä m, ensimmäinen yhteenlaskettava a = ja viimeinen yhteenlaskettava m. S m m m Muodostetaan edellisen lausekkeen avulla epäyhtälö ja ratkaistaan sen avulla suurin luonnollinen luku m, jolle + + + + m 46 4. m m m 46 4 m m 94 48 mm 94 48 m 94 48 0 Ratkaistaan vastaava yhtälö. m m9448 0 4 ( 9448) m 69799 m m 9 m 9 = 96 tai m 9 96 Negatiivinen luku ei tule kysymykseen, koska m on luonnollinen luku. Kun m = 96, summa on 46 4. Summa kasvaa, kun siihen lisätään positiivisia yhteenlaskettavia, joten 96 on suurin sellainen luonnollinen luku m, että + + + + m 46 4. Vastaus: m = 96
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 85B. a) Ensimmäisen kuution särmän pituus on m. Toisen kuution särmän pituus on 0,5 m = 0,5 m. Kolmannen kuution särmän pituus on 0,5 0,5 m = 0,5 m. n:nnen kuution särmän pituus on 0,5 n m. Vastaus: m, 0,5 m, 0,5 m ja 0,5 n m b) Kuutioiden pituudet muodostavat geometrisen jonon, jonka suhdeluku on q = 0,5. TAPA : Lasketaan 0 ensimmäisen kuution muodostaman pinon korkeus sijoittamalla geometrisen summan kaavaan ensimmäinen yhteenlaskettava a =, suhdeluku q = 0,5 ja yhteenlaskettavien määrä n = 0. S 0 0,5 0,5 0,9980... Pinon korkeus on,9980 m,998 m. Vastaus:,998 m TAPA : Lasketaan 0 ensimmäisen kuution muodostaman pinon korkeus taulukkolaskentaohjelman avulla. Havaitaan, että pinon korkeus on,9980 m,998 m. Vastaus:,998 m
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 c) TAPA : Lasketaan vastaavalla tavalla niiden pinojen korkeudet, joissa on,, ja 4 kuutiota. S S S S 4 0,5,9990...,9990 0,5 0,5,9995...,9995 0,5 0,5,99975...,9998 0,5 4 0,5,99987...,9999 0,5 Pinon korkeuden arvot ovat,9990 m;,9995 m;,9998 m ja,9999 m. Kun kuutioiden lukumäärä kasvaa rajatta, pinon korkeus näyttää lähestyvän lukua m. Vastaus:,9990 m;,9995 m;,9998 m ja,9999 m; lukua m
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 TAPA : Lasketaan taulukkolaskentaohjelman niiden pinojen korkeudet, joissa on,, ja 4 kuutiota. Pinon korkeuden arvot ovat,9990 m;,9995 m;,9998 m ja,9999 m. Kun kuutioiden lukumäärä kasvaa rajatta, pinon korkeus näyttää lähestyvän lukua m. Vastaus:,9990 m;,9995 m;,9998 m ja,9999 m; lukua m
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 86B. Lasketaan luvun 9 likiarvoja taulukkolaskentaohjelmalla eli jonon x 9 x ( x ) jäseniä. n n n Jonon ensimmäinen jäsen on tehtävänannon mukaan x =. Lasketaan toinen jäsen soluviittauksia käyttäen. Kopioidaan kaava alemmille riveille. Indeksin arvolla n = 7 pitää ensimmäisen kerran paikkansa, että lukujen x n = x 7 ja x n + = x 8 seitsemän ensimmäistä desimaalia ovat samat. Vastaus: n = 7
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 87B. a) Kun lääkkeestä häviää 5 %, jäljelle jää 00 % 5 % = 65 %. Tutkitaan taulukkolaskentaohjelmalla, kuinka paljon lääkettä on elimistössä toisen annoksen ottamisen jälkeen. Kopioidaan kaava alemmille riveille. Toisen lääkkeenottokerran lääkettä on elimistössä 99 mg ja viidennen kerran jälkeen 5,57 mg 50 mg. Vastaus: 99 mg ja 50 mg
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 b) Taulukoidaan lääkkeen määriä välittömästi lääkkeen oton jälkeen. Lääkkeenottokerta Lääkkeen määrä (mg) 60 0,65 60 + 60 0,65(0,65 60 + 60) + 60 = 0,65 60 + 0,65 60 + 60 4 0,65 (0,65 60 + 0,65 60 + 60) + 60 = 0,65 60 + 0,65 60 + 0,65 60 + 60 n 0,65 n 60 + 0,65 n 60 + + 0,65 60 + 60 Taulukon viimeisellä rivillä on välittömästi n:nnen lääkkeenottokerran jälkeen elimistössä olevan lääkkeen määrä ja se saadaan laskettua geometrisena summana, jossa a = 60 ja q = 0,65. S a ( q ) 60 ( 0,65 ) 60 ( 0,65 ) mg mg q 0,65 0,5 n n n n Vastaus: 60 ( 0,65 n ) mg 0,5 c) Lasketaan taulukkolaskentaohjelmalla lisää lukujonon jäseniä. Lääkkeen määrä näyttää lähestyvän arvoa 7,48 mg 7 mg. Vastaus: 7 mg
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 88A. Yhtälöissä = l + ja = + + 5 oikealla puolella on vasemman puolen kantaluvun verran peräkkäisiä parittomia luonnollisia lukuja, joten vastaava yhtälö luvulle 4 on 4 = + + 5 + 7. Parittomat luvut ovat muotoa a n = n, jossa n =,,, Todistetaan, että n = + + 5 + + (n ). Summassa + + 5 + + (n ) on peräkkäisiä parittomia luonnollisia lukuja, joten summa on aritmeettinen ja sen erotusluku on d =. Lasketaan summa sijoittamalla aritmeettisen summan kaavaan yhteenlaskettavien määrä n, ensimmäinen yhteenlaskettava a = ja viimeinen yhteenlaskettava a n = n. n Sn n n n n n nn n, mikä oli osoitettava. Vastaus: 4 = + + 5 + 7
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 89B. a) Esitetään lukujonon rekursiivinen sääntö f = f =, f n + = f n + + f n, n =,, sanallisesti: Lukujonon kaksi ensimmäistä jäsentä ovat molemmat, ja lukujonon jäsen on kahden edellisen jäsenen summa. Lasketaan taulukkolaskentaohjelmalla soluviittausten avulla lukujonon kolmas jäsen. Kopioidaan kaava alemmille riveille. Kysytyt jäsenet ovat f =, f 4 =, f 5 = 5, f 6 = 8, f 7 =, f 8 =, f 9 = 4 ja f 0 = 55. Vastaus: f =, f 4 =, f 5 = 5, f 6 = 8, f 7 =, f 8 =, f 9 = 4 ja f 0 = 55
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 b) TAPA : Kun n =, niin kaava saa muodon f ( ). 5 5 5 Sijoitetaan tähän kaavaan 5 ja sievennetään. ) f 5 5 5 5) ) 5 5 5 5 5 4 5 5 5 5 55 4 5 5 5 6 5 4 5 5 5 0 5 5 5 0 5 5 5 0 5 5 5 50 5 5 5 0 5 0 Koska f =, kaava pitää paikkansa. 5 Kun n =, kaava saa muodon f ( ).
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 Sijoitetaan tähän kaavaan 5 f ja sievennetään. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 5 4 5 4 5 5 5 6 5) 6) 6 5 4 5 4 6 5 6 5 5 0 6 5 46 5 46 5 6 4 5 06 5 46 5 40 4 5 4 5 6 5 40 4 5 4 5 8 5 4 5 40 4 5 40 Koska f =, kaava pitää paikkansa.
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 TAPA : Kun n =, niin kaava saa muodon f ( ). 5 5 5 Sijoitetaan tähän kaavaan 5 ja sievennetään. Sievennetään lauseke sopivalla ohjelmalla muotoon. Koska f =, kaava pitää paikkansa. 5 Kun n =, kaava saa muodon f Sijoitetaan tähän kaavaan 5 ( ). ja sievennetään. 5 Sievennetään lauseke 5 5 ohjelmalla muotoon. Koska f =, kaava pitää paikkansa. Vastaus: sopivalla
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 c) TAPA : Ratkaistaan yhtälö x x = 0 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. 4 x x 5 x 5 Yhtälön ratkaisut ovat siis 5 ja Sievennetään lauseke ) 5 5) 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 4 5 4 4 5 5,. 5. jonka jo todettiin olevan yhtälön x x = 0 toinen ratkaisu.
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 TAPA : Ratkaistaan yhtälö x x = 0 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla. 4 x x 5 x 5 Yhtälön ratkaisut ovat siis 5 ja Sievennetään lauseke Sievennetään lauseke. ) 5 5. sopivalla ohjelmalla muotoon 5, jonka jo todettiin olevan yhtälön x x = 0 toinen ratkaisu. Vastaus: