Lineaarialgebran laskumoniste Osa1 : vektorit A. Sinin, kosinin ja tangentin laajennetut määritelmät 1. Määritä ao. yksikköympyrän avulla a) sin(120 o ) b) cos(180 o ) (piirrä kulman kylki, ja lue kuvasta sin ja cos yhden desim. tarkkuudella, tarkista laskimella, pitääkö paikkansa) 2. a) Mikä on se terävä kulma, jolle sin(α) = 0.707 b) Mikä on tylppä kulma jonka sini on 0.707 Laske kulmat laskimella. Merkitse kulmat yksikköympyrään.
B. Vektorien peruslaskutoimitukset 3. Kuvan suuntaissärmiön virittävät kärkipisteestä A lähtevät vektorit, joista käytetään seuraavia lyhennysmerkintöjä: a = AB, b = AC ja c = AD. Esitä vektorit a) KF ja b) EK vektorien a, b ja c avulla 4. Olkoot vektorit a = ( 5, 2) ja b = (2, -3). Laske a) summa a + b b) vektorien a ja b pituudet a ja b c) erotus a - b d) lineaariyhdistelmä 2a + 3b C. Vektorit koordinaatistossa 5. Määritä koordinaattipisteiden A(200, 50) ja B(280, 120) välivektori AB. 6. Suunnistuskilpailun rasti 5 on koordinaattipisteessä (1200, 450) ja rasti 6 on koordinaattipisteessä (900, 320). Määritä a) rastien 5 ja 6 välisen vektorin koordinaatit b) rastien 5 ja 6 välimatka 7. Muuntaja A on kartalla koordinaattipisteessä (420, 380). Muuntajalta A vedetään sähkölinja toiselle muuntajalle B, joka sijaitsee 200 m länteen ja 250 m pohjoiseen muuntajasta A (ts. linja on vektorina (-200, 250). Mitkä ovat muuntajan B koordinaatit (Piirrä kuva). 8. Suorakulmion muotoisen maapalstan kolme peräkkäistä kärkipistettä ovat A(250, 340), B(310, 200) ja C(380, 230). a) Määritä neljännen kärkipisteen D koordinaatit b) Määritä tontin pinta-ala (ala = sivu * sivu)
D. Vektorit koordinaatistossa - napakoordinaattiesitys 9. a) Mitkä ovat kuvan vektorien a, b ja c pituudet ja suuntakulmat b) Laske vektorien x- ja y-komponentit (2 des. tarkkuus) c) Laske vektorien summavektori s = a + b + c komponenttimuodossa d) laske summavektorin s pituus ja suuntakulma 10. Suunnistaja juoksee 400 m, kääntyy sen jälkeen 20 astetta vastapäivään ja juoksee 200 m, jonka jälkeen hän kääntyy 45 astetta myötäpäivään ja juoksee suoraan 500 m. Kuinka kaukana hän on lähtöpisteestään. (Laske tämä lasku vektorisummana. Määritä ensin kunkin pätkän absoluuttinen suuntakulma) 11, Matti lähtee koordinaattipisteestä (420, 100). Hän kävelee ensin 550 m tietä pitkin kompassisuuntaan 70 o. Sitten hän kävelee 800 m sähkölinjaa pitkin, jonka kompassisuunta on 355 o. Piirrä kuva. a) mitkä ovat kompassisuuntia vastaavat matemaattiset suuntakulmat? b) Mihin koordinaattipisteeseen hän lopuksi tulee? c) Kuinka kaukana Matti on lopussa lähtöpisteestä? (Kompassissa pohjoinen on 0 o, itä on 90 o, etelä 180 o ja länsi 270 o )
E. Vektoreiden pistetulo, vektoreiden välinen kulma 12. a) Laske vektoreiden a = ( 1, 2) ja b = (4, 1) pistetulo b) Laske vektoreiden c = ( -5, 3) ja d = ( -1, -2) pistetulo 13. Laske vektoreiden a = ( 5, 2) ja b = (2, -3) välinen kulma 14. Kolmion kärkipisteet ovat A(2,1), B(6,2) ja C(3, 7). Laske a) kolmion sivujen pituudet b) kolmion kulmat (käyttämällä pistetuloa) c) kolmion ala 15. Kaksi vektoria on kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun niiden pistetulo = 0 Mikä on vektorin b y-koordinaatin arvon (y) oltava, kun tiedetään, että vektorit a ja b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Vektorit ovat a = ( 1, 2) ja b = (4, y) F. 3D vektorit 16. Laske vektorin a = ( 1, 2, 4) pituus ( 1- desim. tarkkuus) 17. Laske vektorien a = ( 1, 2, 4) ja b = ( 5, 1, 0) a) pistetulo b) välinen kulma 18. Kolmion kärkipisteet ovat A(2,1,1), B(5,6,2) ja C(4, 3, 7). Laske a) kolmion sivujen pituudet b) kolmion kulmat (käyttämällä pistetuloa) c) kolmion ala G. Skalaari- ja vektoriprojektiot 19. Laske vektorin a = ( 10, 6) skalaariprojektio vektorin b = (2, 5) suunnassa. 20. Laske vektorin a = ( 10, 6) vektoriprojektio vektorin b = (2, 5) suunnassa. 21. Kuvassa on kaksi sähkölinjaa, jotka leikkaavat pisteessä Z. Sähkölinjoilta tunnetaan lisäksi pisteet A ja B. Pisteestä A vedetään kohtisuora kaapeli linjalle ZB pisteeseen P. Määrää pisteen P koordinaatit ja AP:n pituus.
H. Janan keskipiste, janan jakopiste ja kolmion painopiste 22. Laske kolmion A(1,1,1), B(6,3,4)C(2,7,3) painopiste. 23. Sähkölinjan päätepisteet ovat P(450,100) ja Q(850,320). Laske sähkölinjan keskipisteen koordinaatit. 24. Tienpätkän päätepisteet ovat A(300, 100) ja B(600, 280). Määritä tien kohta, joka sijaitsee 2/5 matkaa A :sta B:n suuntaan. I. Vektoriyhtälön ratkaiseminen 25. Kuvassa on kolme voimavektoria, joista tiedetään että niiden summa = 0. Vektoreiden suunnat on merkitty kuvaan ja alaspäin suuntautuvan vektorin pituus on 20. Ratkaise muiden vektoreiden pituudet F1 ja F2. (Käytä voimakolmiomenetelmää, jonka mukaan vektorit peräkkäin asetettuna muodostavat suljetun kolmion, jonka ratkaisussa voi käyttää esimerkiksi sinilausetta)
26. Ratkaise edellinen tehtävä siten, että jokainen vektori jaetaan x- ja y- komponentteihin, jonka jälkeen muodostetaan summavektori komponenttimuodossa. Summavektorin kumpikin komponentti = 0, josta saadaan kahden yhtälön muodostama yhtälöpari. J Determinantti ja vektorien ristitulo 27. Laske seuraavien determinanttien arvot a) 2 3 1 4 b) 1 3 3 2 2 2 6 1 1 28. Laske vektorien ovat a = ( 1, 2,3) ja b = (2, 4, 1) ristitulovektori a x b K Ristitulon sovelluksia pinta-alalaskuihin 29. Samasta pisteestä lähtevät vektorit a = ( 1, 2,3) ja b = (2, 4, 1) määrittävät kolmion. Laske kolmion ala ristitulon avulla. 30. Määritä kolmion A(1,2,1) B(4,1,2) C(1,1,6) pinta-ala ristitulon avulla 31. Eräässä kaupungissa on kolmion muotoinen puisto. Kolmion kärkipisteiden koordinaatit ovat A(450, 200) B(800, 250) C(600, 700). Määritä puiston pintaala ristitulon avulla.
32. Maanmittari sai tehtäväkseen arvioida epäsäännöllisen muotoisen niittyaukion pinta-ala. Hän kulki aukion ympäri ja merkitsy ylös viiden reunapisteen A,B, C, D ja E koordinaatit (ks.kuva). Tämän jälkeen hän laski pinta-alan kolmen kolmion avulla. Mikä oli tulos? L Skalaarikolmitulo suuntaissärmiön tilavuus 33. Samasta pisteestä lähtevät vektorit a = ( 1, 3,2), b = (2, 6, 1) ja c = (2, 4, 7) virittävät suuntaissärmiön. Laske sen tilavuus 34. Suuntaissärmiön eräs kärkipiste on A(1,2,1). Sen viereiset kärkipisteet ovat B(4,1,2), C(1,1,6) ja D(2,9,2). Määritä suuntaissärmiön tilavuus.
Vastauksia vektorilaskuihin: 1a) 0.9 1B) -1 2a) 45 o 2b) 135 o 3a) ½ c- a - ½ b 3b) ½ a + b + ½ c 4a) (7,-1) 4b) 29 5.4, 13 3.6 4c) (3.5) 4d) (16,-5) 5) (80,70) 6a) (-300,-130) 6b) 327 7) (220,630) 8a) (320,370) 8b) 11600 9a) 9<65 o, 12<205 o, 7<-45 o (tai 315 o ) 9b) a=(3.8,8.16),b=(-10.88, -5.07), c=(4.95,-4.95) 9c) (-2.12,-1.86) 9d) 2.82<221.3 o 10) 1050.85 11a) 20 o ja 95 o 11b) (867, 1085) 11c) 1081.8 12a) 6 12b) -1 13) 78.1 o 14a) 17, 37, 34 des. 4.12, 6.08, 5.83 14b) 66.5 o, 73.1 o,40.4 o 14c) 11.5 15) -2 16) 4.6 17a) 7 17b) 72.6 o 18a) 35, 44, 35 18b) 55.9 o, 68.2 o,55.9 o 18c) 16.2 19) 9.3 des. 5.9, 6.6, 5.9 20) (3.45, 8.62) 21) P=214.7, 144.3) linjan pit. 195.3 m 22) (3, 11/3, 8/3) desim. (3. 3.7, 2.7) 23) (650, 210) 24) (420, 172) 25-6) F1=19.3, F2=15.0 27a) 5 27b) 9 28) (-10, 5,0) 29) 5.59 30) 7.9 31) 83750m 2 = 8.4ha 32) 70510m 2 = 7.1 ha 33) 6 34) 112
Lineaarialgebran laskumoniste, osa2 M. Matriisien laskutoimituksia Tehtävissä käytetään seuraavia matriiseja 34. Suorita seuraavat matriisien yhteenlaskut: a) A + B b) D + F 35. Suorita seuraavat matriisien vähennyslaskut: a) B - A b) G C 36. Laske seuraavat matriisit a) 2C b) 3A c) 2G + 3C 37. Laske seuraavat matriisiulot a) CG b) AB c) GH d) AE N. Matriisin determinantin laskeminen 38. Laske seuraavat 2 x 2 determinantit- Laske seuraavat 3 x 3 determinantit
39. Laske vektorin a ja b ristitulovektori a x b ilman laskinta, kun a = (2, 1, 3) ja b = (5,2,2). O. Determinantin kehittämien nollarivejä tai sarakkeita hyödyntäen 40. Laske determinantti (hyödynnä nollat rivillä 2) 41. Laske determinantti P. Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen determinanteilla 42. Ratkaise determinantteja käyttäen seuraavat 2x2 lineaariset yhtälöryhmät a) 2x 5y 11 x 3y 2 b) 0.5F N 8.5 F 0.7N 3.2 43. Ratkaise determinantteja käyttäen seuraava 3x2 lineaarinen yhtälöryhmä 5x y 2z 12 x 3y z 7 3x y 9z 2
44. Ratkaise seuraava lineaarinen yhtälöryhmä determinantteja käyttäen. Muunna se ensin normaalimuotoon. jossa muutujat ovat vasemmalla puolella ja vakiot oikealla puolella- 2 6u 3v v u 2 Q. Lineaarisen yhtälöryhmän muita ratkaisumenetelmiä 45. Ratkaise lineaariset yhtälöryhmät annetulla menetelmällä a) 2x 5y 1 x 3y 5 käytä eliminoimismenetelmää b) x 2y 7 4x 3y 6 käytä sijoitusmenetelmää c) x 2y 6 4x 3y 2 käytä käänteismatriisimenetelmää X=A.1 B (käytä laskimen matriisitoimintoja tai wolframalphaa) R. Epälineaarinen yhtälöryhmä 46. Ratkaise seuraava epälineaarinen yhtälöryhmä (sijoitusmenetelmä) x y 8 2 2 x y 16 S. Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälö 47. Ratkaise yhtälöt a) 2 x = 5 b) 50 = 12*1.5 x 48. Kerrostalo-osakkeen hinta v. 2010 oli 55000 Euroa. Oletetaan, että arvo nousee tasaisesti 1.5% vuodessa. a) Mikä on arvo v. 2017? b) Mikä oli arvo v.1995?
c) Milloin arvo ylittää 65000 Euron rajan? 49. Eräs käytetty VW Golf 04 maksoi v. 2014 alussa 5000 Euroa, Oletetaan, että sen arvo putoaa tasaisesti 12% vuodessa. a) Mikä on arvo v. 2017 alussa? b) Mikä oli autona arvo uutena v. 2004? c) Milloin autosta saa enää 1500 Euroa? 50. Radioaktiivisen Jodin puoliintumisaika on 7 vrk. Oletetaan, että ydinonnettomuuden jälkeen erään lammen veden radiioaktiivisuus oli 10000 Bq (Becquereliä) litrassa vettä johtuen vedessä olevasta Jodista. a) Kuinka suuri on vesilitran aktiivisuus 30 vrk:n kuluttua tästä? b) Milloin veden aktiivisuus on alle 200 Bq per litra T. Logaritmin ominaisuuksia 51. Oletetaan seuraavat logaritmifunktion arvot tunnetuksi log(2) = 0.301 log(3) = 0.477 log(5) = 0.699 Laske ilman laskinta käyttämällä pelkästään logaritmin laskusääntöjä a) log(4) b) log(10) c) log(16) d) log(30) U. Logaritmiset asteikot 52. Kuinka monikertainen on 7.8 magnitudin maanjäristys verrattuna 6.5 magnitudin järistykseen absoluuttisella asteikolla. 53. Yksi kone tehtaassa aiheuttaa 82 db melun, Kuinka suuren melun aiheuttaa 5 konetta samassa tilassa. 54. Kuinka monen desibelin saa aikaa 500 hengen kuoro, jos sen jokainen laulaja yksin aiheuttaa 85 sb äänenvoimakkuuden? 55. Montako samanlaista äänilähdettä pitää olla, jotta melutaso nousisi 6 db verrattuna yhden äänilähteen melutasoon?
Vastauksia: 34a) b) 35a) b) 36a) b) c) 37a) b) 37c) d) 38a) 10 b) 1 c) 40 d) 42 39) (-4, 11, -1) 40) 38 41) 38 42a) x = 43/11 3.91 y = 7/11 0.64 b) F = -4.23, N = -10.62 43) x = 43/16 2.69, y = 115/112 1.03, z = 69/56 1.23 44) u = 8/3 = 2.6, v = 14/3 = 4.7 45a) (2,-1) b) (3,2) c) (2,2) 46) (5,3) 47a) 2.32 b) 3.52 48a) 61042 b) 43992 c) v.2021 49a) 3407 b) 17953 c) 2023 50a) 513 Bq b) 39.5 vrk 51a) 0.602 b) 1 c) 1.204 d) 1.477 52) n. 20 kertainen 53) 89 db 54) 112 db 55) 4 äänilähdettä