Algebra I. Jokke Häsä ja Johanna Rämö. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Algebra I Jokke Häsä ja Johanna Rämö Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Kevät 2011

Sisältö 1 Laskutoimitukset 6 1.1 Työkalu: Joukot ja kuvaukset..................... 6 1.1.1 Joukko.............................. 6 1.1.2 Kuvaukset............................ 11 1.2 Laskutoimituksen määritelmä..................... 18 1.2.1 Perusominaisuuksia....................... 18 1.2.2 Neutraali- ja käänteisalkiot................... 20 1.3 Ryhmä.................................. 24 1.3.1 Ryhmän määritelmä...................... 24 1.3.2 Merkintöjä........................... 26 1.3.3 Monoidit............................. 28 1.3.4 Ryhmien laskutoimitustaulut................. 29 1.3.5 Aliryhmä............................ 32 1.4 Symmetrinen ryhmä.......................... 36 1.4.1 Permutaatiot.......................... 36 1.4.2 Symmetrisen ryhmän määritelmä............... 38 1.4.3 Syklit.............................. 39 1.4.4 Ryhmä S 3............................ 42 1.4.5 Lisätieto: alternoiva ryhmä................... 46 2 Ryhmien teoriaa 48 2.1 Virittäminen............................... 48 2

SISÄLTÖ 3 2.1.1 Yhden alkion virittämät aliryhmät.............. 48 2.1.2 Useamman alkion virittämät aliryhmät............ 53 2.2 Työkalu: Lukuteoriaa.......................... 59 2.2.1 Jaollisuus............................ 59 2.2.2 Eukleideen algoritmi...................... 62 2.2.3 Alkuluvut............................ 64 2.2.4 Kongruenssi........................... 66 2.3 Sykliset ryhmät............................. 70 2.3.1 Jäännösluokkaryhmä Z n.................... 71 2.3.2 Syklisten ryhmien aliryhmät.................. 73 2.4 Työkalu: Ekvivalenssirelaatio..................... 80 2.5 Sivuluokat ja Lagrangen lause..................... 86 2.5.1 Sivuluokat............................ 86 2.5.2 Lagrangen lause......................... 92 2.5.3 Lagrangen lauseen sovelluksia................. 93 3 Renkaat 95 3.1 Rengas.................................. 95 3.1.1 Renkaiden ominaisuuksia.................... 99 3.1.2 Alirengas............................ 101 3.1.3 Yksiköt............................. 104 3.2 Kunta.................................. 107 3.3 Kokonaisalue.............................. 109 3.3.1 Karakteristika.......................... 111 4 Tekijärakenteet 113 4.1 Tekijäryhmä............................... 113 4.1.1 Sivuluokkien laskutoimitus................... 115 4.1.2 Normaali aliryhmä....................... 116 4.1.3 Tekijäryhmä........................... 118

4 SISÄLTÖ 4.1.4 Normaalien aliryhmien ominaisuuksia............. 122 4.1.5 Toinen lähestymistapa..................... 123 4.2 Tekijärengas............................... 125 4.2.1 Ideaali.............................. 126 4.2.2 Tekijärengas........................... 128 4.2.3 Toinen lähestymistapa..................... 131 4.3 Ideaalien teoriaa............................ 133 4.3.1 Virittäminen.......................... 134 4.3.2 Kunnat ja maksimaaliset ideaalit............... 135 5 Homomorfismit 139 5.1 Ryhmähomomorfismi.......................... 139 5.1.1 Ryhmien isomorfisuus..................... 139 5.1.2 Ryhmähomomorfismien ominaisuuksia............ 141 5.1.3 Syklisten ryhmien homomorfismeista............. 147 5.2 Ryhmien homomorfialause....................... 151 5.2.1 Miten homomorfismeista saadaan isomorfismeja....... 151 5.3 Rengashomomorfismi.......................... 158 5.3.1 Renkaiden isomorfisuus..................... 158 5.3.2 Rengashomomorfismien ominaisuuksia............ 160 5.3.3 Homomorfismit ja tekijärenkaat................ 163 6 Polynomit 165 6.1 Polynomirengas............................. 165 6.1.1 Polynomin määritelmä..................... 165 6.1.2 Polynomien ominaisuuksia................... 169 6.2 Polynomien jaollisuudesta....................... 172 6.2.1 Juuret ja jaollisuus....................... 173 6.2.2 Rationaalijuuret......................... 177

SISÄLTÖ 5 7 Liite: Symmetrioista 178 7.1 Neliön symmetriaryhmä........................ 178 7.2 Diedriryhmät.............................. 181 7.3 Platonin kappaleiden symmetriaryhmät................ 181

Luku 1 Laskutoimitukset 1.1 Työkalu: Joukot ja kuvaukset Algebralliset rakenteet muotoillaan joukko-opin käsitteiden avulla, joten niiden hallitseminen on algebran ymmärtämisen kannalta välttämätöntä. Tässä luvussa esitellään joukko-opin käsitteistä ja merkinnöistä erityisesti ne, joita tarvitaan algebrassa. Lukua ei välttämättä kannata lukea kokonaan heti aluksi, vaan siihen voi palata aina silloin, kun joukko-opin käsitteet tarvitsevat selvennystä. 1.1.1 Joukko Joukko on hyvinmääritelty kokoelma olioita, joita kutsutaan sen alkioiksi. Joukko on annettu, kun kaikki sen alkiot tunnetaan, eli jokaisesta oliosta tiedetään, kuuluuko se joukkoon vai ei. Esimerkiksi seuraavat ovat joukkoja: N (luonnolliset luvut eli luvut 0, 1, 2,... ) Z (kokonaisluvut) Q (rationaaliluvut) R (reaaliluvut) {0,1,2,3} (joukko, jonka alkioita ovat luvut 0, 1, 2 ja 3) {porkkana, lanttu, nauris} 6

1.1. TYÖKALU: JOUKOT JA KUVAUKSET 7 Olio voi olla jonkin tietyn joukon alkio vain yhden kerran. Joskus saatetaan jostakin syystä joutua kirjoittamaan jokin joukon alkio useampaan kertaan, esimerkiksi {0, 1, 2, 2}. Tämä ei kuitenkaan tarkoita, että joukossa olisi kaksi kakkosta, vaan kyseessä on joukko {0, 1, 2}. Olkoon A joukko. Jos a kuuluu joukkoon A, niin käytetään merkintää a A. Jos a ei kuulu joukkoon A, niin merkitään a / A. Esimerkiksi 1 N ja 1 / N. Joukot A ja B ovat samat, jos niissä on täsmälleen samat alkiot, eli a A jos ja vain jos a B. Tällöin merkitään A = B. Joukko B on joukon A osajoukko, jos kaikilla b B pätee b A. Tällöin merkitään B A. Vaihtoehtoisesti voidaan kirjoittaa A B. Jos joukko B ei ole A:n osajoukko, niin merkitään B A. Esimerkiksi N Z ja {0, 1, 2 } Z. Joukko 3 B on joukon A aito osajoukko, jos B A ja B A. Jos halutaan korostaa sitä, että B on aito osajoukko, voidaan käyttää merkintää B A. Jos on todistettava, että joukko B on joukon A osajoukko, niin otetaan mielivaltainen alkio joukosta B ja osoitetaan, että se on joukossa A. Jos halutaan todistaa, että joukot A ja B ovat samat, niin on osoitettava, että A B ja B A. Tyhjä joukko on joukko, joka ei sisällä yhtään alkiota. Se on jokaisen joukon osajoukko. Jos joukko ei ole tyhjä, sitä kutsutaan epätyhjäksi. Joukkoa, jossa on vain yksi alkio kutsutaan yksiöksi. Jos joukon alkiot voidaan määritellä jonkin ehdon avulla, voidaan joukolle käyttää merkintää {a ehto, jonka a toteuttaa}. Tällöin joukkoon kuuluvat kaikki ne alkiot, jotka toteuttavat annetun ehdon. Esimerkiksi joukko {x R x > 0} sisältää kaikki positiiviset reaaliluvut. Joukkoja voidaan ajatella ämpäreinä, joissa on tavaroita. (Tässä ajattelutavassa on tiettyjä puutteita, mutta emme huolehdi niistä nyt.) Tyhjä joukko on tyhjä ämpäri. Kolmen alkion joukko voi olla esimerkiksi ämpäri, jossa on porkkana, lanttu ja nauris. Jos ämpäristä otetaan vihanneksia pois, saadaan aikaan alkuperäisen joukon osajoukko. Eräs osajoukko on siis ämpäri, jossa on vain porkkana ja lanttu. Jos ämpäristä otetaan kaikki tavarat pois, niin jäljelle jää tyhjä ämpäri. Tyhjä joukko on siis jokaisen joukon osajoukko. Olkoon a joukon A alkio. On tärkeää ymmärtää ero merkintöjen a ja {a} välillä. Edellisessä merkinnässä on kyse alkiosta a ja jälkimmäisessä taas A:n osajoukosta, joka sisältää alkion a. Aivan kuten porkkana ja ämpäri, jossa on porkkana, ovat eri asioita. Samalla tavoin ja { } eivät ole sama asia. Edellinen on tyhjä ämpäri, ja jälkimmäinen saavi, jossa on tyhjä ämpäri. Myös merkintöjen a A ja a A ero on oleellinen. Tarkastellaan joukkoa A = {{0}, {1}}. Sen alkioita ovat siis joukot {0} ja {1}, joten {0} A ja {1} A.

8 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET Toisaalta {0} A. Jos nimittäin {0} A, niin silloin jokaisen joukon {0} alkion pitäisi olla myös joukon A alkio. Joukon {0} ainoa alkio on 0, mutta se ei ole joukon A alkio, ja siksi {0} A. Jos sen sijaan tutkimme joukkoa B = {0, 1}, niin {0} B, mutta {0} B. Ämpäreillä ilmaistuna merkintä a A tarkoittaa sitä, että ämpärissä A on tavara a. Merkintä a A puolestaan tarkoittaa, että a ja A ovat ämpäreitä, joissa on samoja tavaroita, mutta a:ssa niitä on mahdollisesti vähemmän kuin A:ssa. Joukko-operaatiot Joukkojen A ja B yhdiste on joukko A B = {x x A tai x B}. Joukkojen A ja B leikkaus on joukko A B = {x x A ja x B}. Joukkojen A ja B erotus on joukko A \ B = {x A x / B}. Esimerkiksi joukkojen A = {0, 1, 2} ja B = {1, 3} yhdiste on A B = {0, 1, 2, 3}, leikkaus A B = {1} ja erotus A \ B = {0, 2}. A B A B A B A B A B A \ B Kuva 1.1: Joukko-operaatioita. Usein tarkastellaan jotain tiettyä perusjoukkoa E sekä sen osajoukkoja. Tällöin joukon A E komplementti (joukon E suhteen) on joukko A C = E\A. Esimerkiksi joukon {0, 1, 2} komplementti joukon N suhteen on {3, 4, 5,... }. Yhdiste ja leikkaus voidaan yleistää koskemaan useampaa kuin vain kahta joukkoa. Olkoon I joukko, jota kutsutaan indeksijoukoksi, ja olkoon jokaista i I kohti annettu joukko A i. Joukkojen A i yhdiste on joukko A i = {a a A i jollakin i I}. i I

1.1. TYÖKALU: JOUKOT JA KUVAUKSET 9 E A C A Kuva 1.2: Komplementti. Joukkojen A i leikkaus on joukko A i = {a a A i kaikilla i I}. i I Jos indeksijoukko on muotoa I = {n, n + 1,..., m} joillakin n, m N, niin voidaan kirjoittaa m A i = A i. i I Jos esimerkiksi indeksijoukkona on I = {1, 2, 3} ja oletamme, että A 1 = {0, 1, 2}, A 2 = {0, 2, 4} ja A 3 = {1, 2, 3}, niin A i = i I i=n 3 A i = A 1 A 2 A 3 = {0, 1, 2, 3, 4} i=1 ja 3 A i = A i = A 1 A 2 A 3 = {2}. i I i=1 1.1.1 Esimerkki. Todistetaan esimerkin vuoksi seuraava joukkoja koskeva tulos: Jos B A, niin A B = A. Todistuksesta käy ilmi, kuinka joukkoja käsitellään. On siis osoitettava, että A B A ja A A B. : Oletetaan, että a A B, ja osoitetaan, että a A. Oletuksen nojalla a A tai a B. Jos a A, niin väite tietenkin pätee. Jos taas a B, niin ehdosta B A seuraa, että a A. Siten a A ja edelleen A B A.

10 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET : Oletetaan, että a A ja osoitetaan, että a A B. On siis osoitettava, että a A tai a B. Koska oletimme, että a A, niin väite on totta. Siten A A B. Koska A B A ja A A B, niin A B = A. Joukko-operaatioille pätevät seuraavat lait. 1.1.2 Lause (Osittelulait). A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) 1.1.3 Lause (de Morganin lait). (A B) C = (A C B C ) (A B) C = (A C B C ) Todistus. Lauseiden todistus jätetään harjoitustehtäväksi. Joukon A potenssijoukko P(A) on sen kaikkien osajoukkojen muodostama joukko. Esimerkiksi joukon {0, 1, 2} potenssijoukko on joukko {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}. Järjestetty pari (a, b) on alkioista a ja b muodostettu pari, jossa alkioiden a ja b järjestyksellä on väliä. Olkoot A ja B joukkoja. Niiden karteesinen tulo A B koostuu järjestetyistä pareista (a, b), missä a A ja b B. Esimerkiksi joukkojen {0, 1, 2} ja {1, 3} karteesinen tulo on joukko {(0, 1), (0, 3), (1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3)}. Yleisemmin voidaan määritellä useamman kuin kahden joukon karteesinen tulo. Jos A 1, A 2,..., A n ovat joukkoja, niin niiden karteesinen tulo A 1 A 2 A n koostuu n-jonoista (a 1, a 2,... a n ), missä a i A i kaikilla i {1, 2,..., n}

1.1. TYÖKALU: JOUKOT JA KUVAUKSET 11 1.1.2 Kuvaukset Kuvaukset ovat algebrassa tärkeitä, sillä monet algebralliset rakenteet koostuvat niistä. Lisäksi erilaisten algebrallisten rakenteiden välille halutaan usein määritellä kuvauksia, jotka saattavat esimerkiksi kuvastaa rakenteiden samankaltaisuutta. Siksi kuvauksiin liittyvät keskeiset käsitteet on hallittava hyvin. 1.1.4 Määritelmä. Oletetaan, että A ja B ovat epätyhjiä joukkoja. Kuvaus f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen A:n alkioon täsmälleen yhden joukon B alkion. Kuvauksia kutsutaan myös funktioiksi. Oletetaan, että f : A B on kuvaus. Olkoon a A, ja olkoon b se joukon B alkio, joka liitetään alkioon a. Alkiota b kutsutaan a:n kuvaksi, ja sille käytetään merkintää f(a). Voidaan myös merkitä a b. Joukkoa A kutsutaan kuvauksen f lähtojoukoksi tai määrittelyjoukoksi ja joukkoa B kuvauksen maalijoukoksi. Huomaa, että lähtö- ja maalijoukot ovat olennainen osa kuvausta. Vaikka kaksi kuvausta määriteltäisiin samalla ehdolla, niin ne eivät ole samat, jos lähtö- tai maalijoukko on eri. Esimerkiksi kuvaukset f : R R, f(x) = x 2 ja g : {0, 1, 2} R, g(x) = x 2 eivät ole samat. Kuva ja alkukuva Oletaan, että f : A B on kuvaus. Kuvauksen f kuvajoukko tai arvojoukko Im f koostuu kaikista niistä B:n alkioista, jotka ovat jonkin A:n alkion kuvia. Toisin sanoen Im f = {f(a) a A}. Merkintä Im tulee englannin kielen sanasta image. Kuvajoukkoa voidaan kutsua myös joukon A kuvaksi ja merkitä f[a]. Yleisemmin voidaan määritellä mielivaltaisen A:n osajoukon C kuva f[c]. Se koostuu kaikista niistä B:n alkoista, jotka ovat jonkin C:n alkion kuvia. Siis f[c] = {f(c) c C}. (Kirjallisuudessa käytetään usein hakasulkujen sijasta tavallisia kaarisulkuja. Tällöin merkintä saattaa kuitenkin sekoittua alkioiden kuville varattuun merkintään f(x).) Jos D on joukon B osajoukko, niin sen alkukuva f [D] muodostuu kaikista joukon A alkioista, joiden kuvat ovat joukossa D. Toisin sanoen f [D] = {a A f(a) D}.

12 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET (Kirjallisuudessa joukon D kuvauksessa f käytetään usein merkintää f 1 [D] tai f 1 (D). Tämä menee kuitenkin helposti sekaisin kohta esiteltävän käänteiskuvauksen merkinnän kanssa.) 1.1.5 Esimerkki. Määritellään kuvaus f : {0, 1, 2, 3} {4, 5, 6, 7.8} seuraavasti: f(0) = 4 f(1) = 5 f(2) = 5 f(3) = 7 Kuvauksen f lähtöjoukko on {0, 1, 2, 3}, maalijoukko {4, 5, 6, 7, 8} ja kuvajoukko Im f = {4, 5, 7}. Osajoukon C = {0, 1, 2} kuva on f[c] = {4, 5}. Osajoukon D = {4, 5, 6} alkukuva on g [D] = {0, 1, 2}. f C 0 1 4 5 f [C] 2 3 6 8 7 Kuva 1.3: Joukon C kuva kuvauksessa f. f f [D] 0 1 4 5 D 2 3 6 8 7 Kuva 1.4: Joukon D alkukuva kuvauksessa f.

1.1. TYÖKALU: JOUKOT JA KUVAUKSET 13 1.1.6 Esimerkki. Määritellään kuvaus g : R R, g(x) = x 2. Kuvauksen g lähtöja maalijoukko on R ja kuvajoukko Im g = {x R x 0}. Osajoukon A = [0, 2] kuva on g[a] = [0, 4]. Osajoukon B = [0, 4] alkukuva on g [B] = [ 2, 2]. Osajoukon B = [ 4, 4] alkukuva g [B ] on sama kuin osajoukon B alkukuva. 1.1.7 Esimerkki. Määritellään kuvaus h: N N, h(n) = n 2. Kuvauksen h lähtöja maalijoukko on N. Kuvaujoukko on Im h = {n N n on neliö}. Joukon A = {0, 1, 2} kuva on h[a] = {0, 1, 4}. Osajoukon B = {0, 1, 2, 3, 4} alkukuva on f [B] = {0, 1, 2}. 1.1.8 Esimerkki. Määritellään kokonaislukujen osajoukot ja E = {n Z n on parillinen} O = {n Z n on pariton}. Määritellään kuvaus p: Z {E, O} seuraavasti: { E jos n on parillinen p(n) = O jos n on pariton Alkioiden kuvat ovat siis joukkoja. Kuvauksen p lähtöjoukko on Z ja maali- ja kuvajoukko {E, O}. Osajoukon {0, 2, 4} kuva on yksiö {E}. Osajoukon {E} alkukuva puolestaan on parillisten lukujen joukko eli E. Injektiot, surjektiot ja bijektiot Seuraavaksi tarkastelemme erityyppisiä kuvauksia. Olkoon f : A B kuvaus. Kuvaus f on injektio, jos eri alkioilla on eri kuvat. Toisin sanoen kaikilla a, b A pätee f(a) = f(b) a = b. Kuvaus f on surjektio, jos jokaiselle joukon B alkiolle kuvautuu jokin A:n alkio. Toisin sanoen Im f = B. Kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Jokaisesta kuvauksesta saadaan surjektiivinen maalijoukkoa pienentämällä. Jos f : A B on kuvaus, niin kuvaus f : A Im f, f(a) = f(a) on surjektio.

14 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET 1.1.9 Esimerkki. Kuvaus g : R R, g(x) = x 2 ei ole injektio, sillä g( 1) = 1 = g(1). Se ei myöskään ole surjektio, sillä alkiolle 1 ei kuvaudu mitään. Kuvaus ei siis ole bijektio. Kuvaus g : R {x R x 0}, g(x) = x 2 on surjektio. Kuvaus h: N N, h(n) = n 2 on injektio, mikä nähdään seuraavasti. Olkoot n, m N. Jos h(n) = h(m), niin n 2 = m 2. Koska n ja m ovat epänegatiivisia, niin täytyy olla n = m. Siten kuvaus g on injektio. Kuvaus ei ole surjektio, sillä alkiolle 2 ei kuvaudu mitään. Kuvaus ei siis ole bijektio. Esimerkin 1.1.8 kuvaus p ei ole injektio, sillä esimerkiksi p(0) = E = p(2). Kuvaus on surjektio, sillä E = p(0) ja O = p(1). Kuvaus ei ole bijektio. Kuvaus h: R R, h(x) = 2x + 1 on injektio, sillä jos 2x + 1 = 2y + 1 joillakin x, y R, niin x = y. Kuvaus on myös surjektio, sillä jos y R, niin 1 y 1 R ja h( 1y 1 ) = y. Siten h on bijektio. 2 2 2 2 Yhdistetty kuvaus Olkoot f : A B ja g : B C kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : A C määritellään yhtälöllä (g f)(a) = g(f(a)) kaikilla a A. f g g f Kuva 1.5: Eräiden kuvausten f ja g yhdistetty kuvaus.

1.1. TYÖKALU: JOUKOT JA KUVAUKSET 15 1.1.10 Esimerkki. Määritellään h: N N, h(n) = n 2 ja j : N N, j(n) = 2n. Nyt yhdistetty kuvaus j h: N N määräytyy kaavasta (j h)(n) = j(h(n)) = j(n 2 ) = 2n 2, ja yhdistetty kuvaus h j : N N kaavasta (h j)(n) = h(j(n)) = h(2n) = 4n 2. Esimerkki osoittaa, että kuvausten yhdistäminen ei ole vaihdannainen operaatio. Kuvaukset j h ja h j eivät nimittäin ole samat. Kuvausten yhdistäminen on kuitenkin liitännäinen operaatio, eli sulkujen paikalla ei ole merkitystä. Tämän osoittaa seuraava lause. 1.1.11 Lause. Olkoon f : A B, g : B C ja h: C D. Tällöin h (g f) = (h g) f. Todistus. Oletetaan, että a A. Nyt Toisaalta Siten h (g f) = (h g) f. (h (g f))(a) = h((g f)(a)) = h(g(f(a)). ((h g) f))(a) = (h g)(f(a)) = h(g(f(a)). Identtinen kuvaus ja käänteiskuvaus Joukon A identtiseksi kuvaukseksi id A kutsutaan sellaista kuvausta A:lta itselleen, joka pitää kaikki A:n alkiot paikoillaan. Toisin sanoen id A : A A, f(a) = a kaikilla a A. Jos epäselvyyden vaaraa ei ole, voidaan alaindeksi jättää pois ja merkitä id = id A. Huomaa, että kaikilla kuvauksilla f : A B pätee f id A = f ja id B f = f.

16 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET 1.1.12 Määritelmä. Sanotaan, että kuvauksella f : A B on käänteiskuvaus, jos on olemassa kuvaus g : B A jolle pätee g f = id A ja f g = id B. Kuvaus g on f:n käänteiskuvaus ja sitä merkitään f 1. Toisin sanoen f 1 (f(a)) = a kaikilla a A ja f(f 1 (b)) = b kaikilla b B. Identtisellä kuvauksella on aina käänteiskuvaus, identtinen kuvaus itse. A f B A f -1 B Kuva 1.6: Erään funktion f käänteiskuvaus f 1. 1.1.13 Esimerkki. Esimerkiksi kuvauksen h: R R, h(x) = 2x + 1 käänteiskuvaus on kuvaus h 1 : R R, h 1 (x) = 1 2 x 1 2, sillä (h 1 h)(x) = h 1 (h(x)) = h 1 (2x + 1) = x ja kaikilla x R. ( 1 (h h 1 )(x) = h(h 1 (x)) = h 2 x 1 ) = x 2 1.1.14 Lause. Kuvauksella on käänteiskuvaus jos ja vain jos se on bijektio.

1.1. TYÖKALU: JOUKOT JA KUVAUKSET 17 Todistus. Olkoon f : A B kuvaus. Oletetaan ensin, että kuvauksella f on käänteiskuvaus f 1 : B A. Osoitetaan, että f on injektio. Jos on olemassa a, b A, joille pätee f(a) = f(b), niin f 1 (f(a)) = f 1 (f(b)). Oletuksen nojalla tästä seuraa, että a = b. Siten f on injektio. Osoitetaan sitten, että f on surjektio. Olkoon b B. Nyt f(f 1 (b)) = b, joten b on alkion f 1 (b) kuva. Siten f on surjektio. Oletetaan sitten, että f on bijektio, ja etsitään sille käänteiskuvaus. Määritellään kuvaus g : B A seuraavasti. Olkoon b B. Bijektiivisyyden nojalla on olemassa täsmälleen yksi a A, jolle pätee f(a) = b. Määritellään g(b) = a. Osoitetaan, että g on kuvauksen f käänteiskuvaus. Jos a A, niin (g f)(a) = g(f(a)) = a. Oletetaan sitten, että b B. Olkoon a A sellainen, että f(a) = b, jolloin kuvauksen g määritelmän mukaan g(b) = a. Nyt (f g)(b) = f(g(b)) = f(a) = b. Siten g f = id A ja f g = id B. Tämä tarkoittaa sitä, että g = f 1.

18 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET 1.2 Laskutoimituksen määritelmä Algebra tutkii laskutoimituksia ja niihin liittyviä rakenteita. Tuttuja esimerkkejä laskutoimituksista ovat kokonaislukujen yhteen- ja kertolasku, mutta laskutoimituksia voidaan määritellä paljon mielikuvituksellisemmillekin olioille ja siten saada aikaan kiinnostavia rakenteita. Mitä laskutoimitukset oikeastaan ovat? 1.2.1 Perusominaisuuksia 1.2.1 Määritelmä. Joukon S laskutoimitus on kuvaus, joka liittää jokaiseen S:n alkiopariin (x, y) jonkin kolmannen alkion joukosta S. Tätä alkiota kutsutaan laskutoimituksen tulokseksi ja merkitään x y. Joukkoa S, jossa on määritelty laskutoimitus, voidaan merkitä parina (S, ). Esimerkiksi kokonaislukujen joukko varustettuna yhteenlaskulla on pari (Z, +). Algebran näkökulmasta tämä ei ole sama olio kuin (Z, ) eli kokonaisluvut varustettuna kertolaskulla. 1.2.2 Esimerkki. Luonnollisten lukujen yhteenlasku on laskutoimitus, sillä kahden luonnollisen luvun summa on aina luonnollinen luku. Samoin luonnollisten lukujen kertolasku on laskutoimitus. Myös joukkojen Z, Q ja R yhteen- ja kertolaskut ovat laskutoimituksia. Luonnollisten lukujen vähennyslasku ei ole laskutoimitus, sillä esimerkiksi 1 2 = 1 ei ole luonnollinen luku. Myöskään kokonaislukujen jakolasku ei ole laskutoimitus. n n-matriisien yhteen- ja kertolasku ovat laskutoimituksia. Reaalifunktioiden joukossa kuvausten yhdistäminen on laskutoimitus. Jos f ja g ovat reaalifunktioita, voidaan määritellä f g = f g, missä f g on yhdistetty kuvaus. Tuttujen laskutoimitusten lisäksi esimerkiksi luonnollisille luvuille voidaan määritellä uusia laskutoimituksia. Jos n, m N, niin määritellään laskutoimitus seuraavasti: n m = n m + n + m. (Tässä + ja ovat luonnollisten lukujen tavallinen yhteenlasku ja kertolasku.) Toinen esimerkki luonnollisten lukujen laskutoimituksesta on n m = 0 kaikilla n, m N.

1.2. LASKUTOIMITUKSEN MÄÄRITELMÄ 19 Laskutoimitus on siis määritelty niin, että ainoa mahdollinen tulos on nolla. Olkoon A joukko ja P(A) sen osajoukkojen joukko. Jos B ja C ovat A:n osajoukkoja, niin myös B C on A:n osajoukko. Siten yhdiste on joukon P(A) laskutoimitus. Myös leikkaus on joukon P(A) laskutoimitus. Seuraavaksi käsittelemme laskutoimitusten perusominaisuuksia. Olkoon joukon S laskutoimitus. 1.2.3 Määritelmä. Laskutoimitus on vaihdannainen, jos x y = y x kaikilla x, y S liitännäinen, jos x (y z) = (x y) z kaikilla x, y, z S. Jos laskutoimitus on liitännäinen, ei sulkujen paikalla ole väliä, eikä niitä siis tarvitse välttämättä merkitä. Useimmat tutuista laskutoimituksista ovat liitännäisiä ja vaihdannaisia. Esimerkiksi kokonaislukujen, rationaalilukujen ja reaalilukujen yhteen- ja kertolasku ovat sekä vaihdannaisia että liitännäisiä. Kokonaislukujen vähennyslasku puolestaan ei ole vaihdannainen laskutoimitus, sillä esimerkiksi 1 2 2 1. Funktioiden yhdistäminen on liitännäinen mutta ei välttämättä vaihdannainen laskutoimitus. Sama pätee matriisien kertolaskuun. Tarkastellaan seuraavaksi Esimerkissä 1.2.2 esiintyvää luonnollisten lukujen laskutoimitusta n m = nm + n + m. Olkoot n, m, k N. Nyt n m = nm + n + m = mn + m + n = m n, joten laskutoimitus on vaihdannainen. Lisäksi ja n (m k) = n (mk + m + k) = nmk + nm + nk + n + mk + m + k (n m) k = (nm + n + m) k = nmk + nk + mk + nm + n + m + k. Luonnollisten lukujen yhteenlaskun vaihdannaisuudesta seuraa, että nämä tulokset ovat samat. Siten laskutoimitus on liitännäinen. Kokonaislukujen vähennyslasku ei ole liitännäinen laskutoimitus, sillä (1 2) 3 = 4, mutta 1 (2 3) = 2. Toinen esimerkki epäliitännäisestä laskutoimituksesta saadaan matriiseista. Olkoot A ja B n n-matriiseja. Määritellään

20 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET matriiseille laskutoimitus käyttämällä hyväksi matriisien yhteen- ja kertolaskua: A B = AB BA. Harjoitustehtäväksi jää osoittaa, että tämä laskutoimitus ei ole liitännäinen, kun n 2. Yllä olevissa esimerkeissä esiintyvät epäliitännäiset laskutoimitukset eivät ole myöskään vaihdannaisia. Onko olemassa laskutoimitusta, joka olisi vaihdannainen, mutta ei liitännäinen? Tutkitaan seuraavaa esimerkkiä. 1.2.4 Esimerkki. Oletetaan, että joukko S muodostuu kaikista origosta lähtevistä puolisuorista, jotka ovat positiivisen x-akselin ja positiivisen y-akselin välissä. Määritellään tämän joukon laskutoimitus seuraavasti. Jos r ja s ovat joukon S puolisuoria, niin r s on näiden välisen kulman puolittaja eli se r:n ja s:n välissä oleva puolisuora, joka on täsmälleen yhtä kaukana niistä molemmista. Selvästikin on vaihdannainen. Se ei kuitenkaan ole liitännäinen. Valitaan esimerkiksi alkioksi r positiivinen y-akseli, alkioksi s x-akseli ja alkioksi t puolisuora r s (kyseessä on siis puolisuora, jonka kulma x-akselin suhteen on π/4). Nyt (r s) t = t, mutta r (s t) on suora, jonka kulma x-akselin suhteen on 5π/16. Laskutoimitus ei siis ole liitännäinen. Siten liitännäisyys ei seuraa vaihdannaisuudesta. r r (s t) t = r s = ( r s) t s t s Kuva 1.7: Puolisuorille määritelty laskutoimitus ei ole liitännäinen. 1.2.2 Neutraali- ja käänteisalkiot Oletetaan jatkossa, että on joukossa S määritelty laskutoimitus. 1.2.5 Määritelmä. Joukon S alkiota e kutsutaan neutraalialkioksi, jos e x = x e = x kaikilla x S.

1.2. LASKUTOIMITUKSEN MÄÄRITELMÄ 21 Esimerkiksi kokonaislukujen yhteenlaskun neutraalialkio on 0 ja kertolaskun 1. Reaalifunktioiden yhdistämisen tapauksessa neutraalialkio on identtinen kuvaus, joka pitää kaikki reaaliluvut paikoillaan. Matriisikertolaskun neutraalialkio on puolestaan ykkösmatriisi. Joukon A kaikkien osajoukkojen joukossa P(A) laskutoimituksen neutraalialkio on, sillä B = B = B kaikilla B A. Jos laskutoimitus on vaihdannainen, niin yhtälöstä e x = x seuraa, että x e = x. Tällöin riittää siis tarkistaa vain toinen neutraalialkiota koskevista ehdoista. Tämä ei kuitenkaan ole totta yleisessä tapauksessa. Jos esimerkiksi määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus x y = x + 2y, niin x 0 = x kaikilla x Z. Nolla ei kuitenkaan ole laskutoimituksen neutraalialkio, sillä esimerkiksi 0 1 = 2 1 1. On siis ehdottoman tärkeää huolehtia siitä, että määritelmän molemmat ehdot täyttyvät. Neutraalialkiota ei välttämättä ole olemassa. Jos luonnollisten lukujen laskutoimituksella n m = 0 kaikilla n, m N olisi neutraalialkio e, niin silloin 1 e = 1. Kuitenkin 1 e = 0 1, joten neutraalialkiota ei ole. Myöskään esimerkin 1.2.4 puolisuorien laskutoimituksella ei ole neutraalialkiota. Seuraava lause osoittaa, että neutraalialkioita voi olla korkeintaan yksi. 1.2.6 Lause. Jos laskutoimituksella on neutraalialkio, niin se on yksikäsitteinen. Todistus. Olkoot e ja f laskutoimituksen neutraalialkioita. Koska e on neutraalialkio, niin e f = f. Toisaalta myos f on neutraalialkio, joten e f = e. Siten e = f. 1.2.7 Määritelmä. Oletetaan, että laskutoimituksella on neutraalialkio e. Olkoon x S. Alkiota x kutsutaan x:n käänteisalkioksi, jos x x = x x = e. Huomaa, että neutraalialkio on aina oma käänteisalkionsa. Rationaalilukujen kertolaskun tapauksessa luvun q käänteisalkio on 1/q. Ainoat kokonaisluvut, joilla on käänteisalkio kertolaskun suhteen ovat 1 ja 1. Kokonaislukujen yhteenlaskun tapauksessa luvun n käänteisalkio on puolestaan n. Luonnollisista luvuista ainoastaan nollalla on käänteisalkio yhteenlaskun suhteen. Kun reaalifunktioiden laskutoimituksena on funktioiden yhdistäminen, kutsutaan reaalifunktion käänteisalkiota sen käänteisfunktioksi. Matriisien kertolaskun tapauksessa käänteisalkio on käänteismatriisi. Liitännäisen laskutoimituksen tapauksessa kullakin alkiolla voi olla korkeintaan yksi käänteisalkio.

22 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET 1.2.8 Lause. Olkoon laskutoimitus liitännäinen. Jos alkiolla x S on käänteisalkio, niin se on yksikäsitteinen. Todistus. Oletetaan, että x ja x ovat alkion x käänteisalkioita, ja olkoon e neutraalialkio. Nyt x = x e = x (x x ) = (x x) x = e x = x. Siten x ja x ovat itse asiassa sama alkio. Tutkitaan vielä uudelleen Esimerkissä 1.2.2 esiintyvää luonnollisten lukujen laskutoimitusta n m = nm + n + m. Olkoon n N. Nyt ja n 0 = n 0 + n + 0 = n 0 n = 0 n + 0 + n = n joten laskutoimituksen neutraalialkio on 0. (Koska laskutoimitus on vaihdannainen, riittäisi itse asiassa osoittaa, että n 0 = n.) Tutkitaan sitten käänteisalkioita. Jos alkiolla n on käänteisalkio n, niin sen täytyy toteuttaa yhtälö nn +n+n = 0. Tästä seuraa, että n = n/(n + 1). Huomataan, että n on luonnollinen luku ainoastaan, jos n = 0 tai n = 2. Ainoa alkio, jolla on käänteisalkio on siis 0. Tilanne muuttuu, jos joukkoa, jossa laskutoimitus on määritelty, laajennetaan. Määritellään rationaalilukujen joukossa laskutoimitus kaavalla p q = pq+p+q kaikilla p, q Q. Laskutoimituksen neutraalialkio on edelleen 0. Oletetaan, että q Q \ { 1}. Koska q ( q/(q + 1)) = 0 ja ( q/(q + 1)) q = 0, niin alkion q käänteisalkio on q/(q + 1). Ainoastaan alkiolla 1 ei ole käänteisalkiota. Äärellisen joukon laskutoimituksen tulokset voidaan kirjoittaa niin kutsutuksi laskutoimitustauluksi. Taulun sarakkeet ja rivit nimetään joukon S alkioilla, ja taulukon riville x sarakkeeseen y kirjoitetaan tulos x y. 1.2.9 Esimerkki. Tutkitaan joukon {e, a, b} laskutoimitusta, joka on määritelty seuraavalla laskutoimitustaululla: e a b e e a b a a b e b b e a Taulusta nähdään, että alkio e on neutraalialkio. Alkion a käänteisalkio on b ja alkion b käänteisalkio a. Tarkistamalla jokaisen alkioparin tulos, huomataan, että laskutoimitus on vaihdannainen. Hieman enemmän työtä vaati nähdä, että laskutoimitus on myös liitännäinen.

1.2. LASKUTOIMITUKSEN MÄÄRITELMÄ 23 Laskutoimitustaulu määrittelee laskutoimituksen täydellisesti. Monien ominaisuuksien todistaminen on kuitenkin työlästä pelkän taulun perusteella. Jos joukon koko on n, niin esimerkiksi liitännäisyyden todistamiseksi on tarkastettava n 3 eri tapausta. Siksi on yleensä mukavampaa, jos laskutoimitus voidaan ilmaista kaavan avulla. Tiivistelmä Joukon S laskutoimitus on kuvaus, joka liittää jokaiseen S:n alkiopariin jonkin kolmannen alkion joukosta S. Olkoon joukon S laskutoimitus. Laskutoimitus on vaihdannainen, jos x y = y x kaikilla x, y S Laskutoimitus on liitännäinen, jos x (y z) = (x y) z kaikilla x, y, z S. Alkio e S on neutraalialkio, jos e x = x e = x kaikilla x S. Neutraalialkioita voi olla korkeintaan yksi. Alkio x S on alkion x S käänteisalkio, jos x x = x x = e.

24 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET 1.3 Ryhmä Eräs algebran perusrakenteista on ryhmä. Ryhmä, kuten lähes kaikki algebran rakenteet, määritellään yleensä aksiomaattisesti. Tämä tarkoittaa sitä, että mikä tahansa rakenne, joka toteuttaa listan annettuja ehtoja, on ryhmä. Ehdot, jotka ryhmän määritelmään valitaan, syntyvät tarpeesta ratkaista yhtälöitä. 1.3.1 Ryhmän määritelmä Tutkitaan yhtälöä ax = b, missä a, b R \ {0}. Ratkaistaan yhtälö kirjoittaen jokainen välivaihe tarkasti näkyviin. Huomataan, että ax = b a 1 (ax) = a 1 b (a 1 a)x = a 1 b 1 x = a 1 b x = a 1 b. Tämä tarkoittaa, että jos ratkaisu on olemassa, niin se on x = a 1 b. Koska a(a 1 b) = (aa 1 )b = 1 b = b, niin x = a 1 b todellakin on ratkaisu. Huomataan, että yhtälön ratkaisemiseen tarvitaan kertolaskun liitännäisyyttä, neutraalialkiota sekä käänteisalkioita. Näistä vaatimuksista syntyy ryhmän määritelmä. 1.3.1 Määritelmä. Joukko G laskutoimituksella varustettuna on ryhmä, jos seuraavat ehdot ovat voimassa: (G0) Joukko G on suljettu laskutoimituksen suhteen, eli kaikilla x, y G pätee x y G. (G1) Laskutoimitus on liitännäinen. (G2) Joukossa G on neutraalialkio. (G3) Jokaisella G:n alkiolla on käänteisalkio. Tarkalleen ottaen ryhmä on pari (G, ). Ryhmää kutsutaan vaihdannaiseksi, jos seuraava ehto toteutuu: (G4) Laskutoimitus on vaihdannainen.

1.3. RYHMÄ 25 Vaihdannaisia ryhmiä nimitetään myös Abelin ryhmiksi norjalaisen matemaatikon Niels Abelin mukaan. Huomaa, että ehto (G0) seuraa suoraan siitä, että on G:n laskutoimitus. Se on kirjattu määritelmään sen vuoksi, ettei opiskelija unohtaisi todistuksessa tarkistaa, että ehto pätee! Laskutoimituksen neutraalialkio on aina yksikäsitteinen, joten ryhmässä voi olla vain yksi neutraalialkio. Koska ryhmän laskutoimitus on liitännäinen, ovat myös käänteisalkiot yksikäsitteisiä. Ryhmän G kertaluku G on sen alkioiden lukumäärä. Kertaluvulle näkee toisinaan myös käytettävän merkintöjä #G ja card(g). 1.3.2 Esimerkki. Kokonaislukujen joukko varustettuna yhteenlaskulla on ryhmä. Myös (Q, +) ja (R, +) ovat ryhmiä. Luonnolliset luvut yhteenlaskulla varustettuna ei ole ryhmä. Yhteenlasku on liitännäinen ja neutraalialkiona on 0, mutta käänteisalkioita ei ole. (Paitsi tietenkin nollalla.) Esimerkiksi luvulla 1 ei ole käänteisalkioita, sillä ei ole olemassa sellaista luonnollista lukua n, että n + 1 = 0. Rationaaliluvut kertolaskulla varustettuna ei ole ryhmä, sillä luvulla 0 ei ole käänteisalkiota. Jos luku 0 poistetaan, niin saadaan aikaan ryhmä (Q\{0}, ). Samoin (R \ {0}, ) on ryhmä. Kääntyvät n n-matriisit muodostavat ryhmän, kun laskutoimituksena on matriisikertolasku. Neutraalialkiona on yksikkömatriisi ja käänteisalkioina käänteismatriisit. Kääntyvien matriisien muodostama ryhmä ei ole vaihdannainen. Ne reaalifunktiot, joilla on käänteiskuvaus, muodostavat ryhmän, kun laskutoimituksena on kuvausten yhdistäminen. Neutraalialkiona on identtinen kuvaus ja käänteisalkioina käänteiskuvaukset. Kyseessä ei ole vaihdannainen ryhmä. Rubikin kuution kaikkien mahdollisten siirtojen joukko on ryhmä. Siirrolla tarkoitetaan tässä yhteydessä mitä tahansa tahkojen kiertämisestä syntyvää sarjaa. Ryhmän laskutoimituksena on siirtojen tekeminen peräkkäin, eli kahden siirron tulo tarkoittaa niiden suorittamista toinen toisensa jälkeen. Neutraalialkio on siirto, jossa kuutiolle ei tehdä mitään. Siirron käänteisalkio on samojen operaatioiden tekeminen päinvaistaiseen suuntaan päinvastaisessa järjestyksessä.

26 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET 1.3.3 Lause. Olkoon (G, ) ryhmä ja a, b G. Nyt yhtälöllä a x = b on yksikäsitteinen ratkaisu, samoin yhtälöllä x a = b. Todistus. Todistus on samanlainen kuin luvun alussa oleva todistus sille, että yhtälöllä ax = b on ratkaisu, kun a, b R \ {0}. Ensimmäisen yhtälön ratkaisu on a b, missä a on alkion a käänteisalkio. Toisen yhtälön ratkaisu puolestaan on b a. 1.3.4 Esimerkki. Olkoot (G, ) ja (H, ) ryhmiä. Tällöin myös karteesinen tulo G H on ryhmä, kun sen laskutoimitus määritellään seuraavasti: kaikilla a, c G ja b, d H. (a, b) (c, d) = (a c, b d) Sanotaan, että yllä karteesiselle tulolle on määritelty laskutoimitus komponenteittain tai pisteittäin. Todistus. Lauseen todistus jätetään harjoitustehtäväksi. 1.3.2 Merkintöjä Mielivaltaisen ryhmän laskutoimitus merkitään tavallisesti kertolaskuna. Voidaan sanoa yksinkertaisesti, että G on ryhmä, ja tällöin tarkoitetaan ryhmää (G, ). Kertomerkki voidaan jättää kokonaan merkitsemättä ja kirjoittaa a b = ab. Alkion a käänteisalkiota merkitään a 1. Tästä lähin oletetaan, että jos ryhmän laskutoimituksen symbolia ei ole erikseen mainittu, on se kertomerkki. Ryhmässä G voidaan määritellä laskutoimituksen potenssi samaan tapaan kuin reaaliluvuille määritellään kokonaislukupotenssit. Olkoon n 1 kokonaisluku. Alkion x G n:s potenssi on x n = x } x {{ x}. n kpl Myös tapaus n = 0 sallitaan: x 0 = e, missä e on ryhmän neutraalialkio. Negatiiviset potenssit määritellään käänteisalkioiden avulla: x n = (x 1 ) n. Huomaa, että (x n ) 1 = (x 1 ) n. Tämä johtuu siitä, että x n (x 1 ) n = x } x {{ x} } x 1 x 1 {{ x 1 } = e n kpl n kpl

1.3. RYHMÄ 27 ja (x 1 ) n x n = x} 1 x 1 {{ x 1 } x } x {{ x} = e. n kpl n kpl Potensseille pätevät tutut laskusäännöt. 1.3.5 Lause. Olkoon G ryhmä. Oletetaan, että n ja m ovat kokonaislukuja. Tällöin a) x n x m = x n+m kaikilla x G b) (x n ) m = x (nm) kaikilla x G. Todistus. a) Väitteen osoittamiseksi on tarkistettava useita tapauksia sen mukaan, ovatko n, m ja n + m positiivisia, negatiivisia vai nollia. Tapaukset ovat hyvin samankaltaisia, joten todistamme niistä esimerkin vuoksi vain yhden. Oletetaan, että n > 0, m < 0 ja n + m < 0. Merkitään m = m. Nyt m > 0 ja n < m. Huomataan, että x n x m = x } x {{ x} n kpl x 1 x 1 x 1 } {{ } m kpl = (x 1 ) m n = x m +n = x n+m. = x 1 x 1 x 1 } {{ } m n kpl b) Myös tällä kertaa on tarkasteltava useita tapauksia. Todistamme väitteen siinä tapauksessa, että n > 0 ja m < 0. Nyt m = m on positiivinen ja tällöin (x n ) m = (x n ) m = ((x n ) 1 ) m = ((x 1 ) n ) m = x} 1 x 1 {{ x 1 } n kpl x 1 x 1 x 1 } {{ } n kpl } {{ } m kpl = x} 1 x 1 {{ x 1 } = (x 1 ) nm = x nm = x nm. nm kpl Huomaa, että esimerkiksi reaaliluvuille pätevä ehto a n b n = (ab) n ei päde kaikilla ryhmillä. Vaihdannaisilla ryhmillä ehto on voimassa. Toisinaan ryhmän laskutoimitus muistuttaa enemmän yhteenlaskua kuin kertolaskua, ja silloin laskutoimitusta voidaan merkitä symbolilla +. Tällöin käänteisalkioita kutsutaan vasta-alkioiksi. Jos laskutoimitus merkitään yhteenlaskuna, on ryhmä yleensä vaihdannainen.

28 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET Jos ryhmän laskutoimitusta merkitään yhteenlaskulla, niin potensseja kutsutaan monikerroiksi. Jos (G, +) on ryhmä, x G ja n on positiivinen kokonaisluku, niin merkitään nx = x } + x + {{ + x }. n kpl Kyseessä on siis alkion x n:s potenssi, mutta merkinnät vain ovat erilaiset. Nyt 0 x = e, missä e on ryhmän G neutraalialkio ja ( n)x = n( x), missä x on alkion x vasta-alkio. 1.3.6 Esimerkki. Reaalikertoimiset polynomit muodostavat ryhmän, kun laskutoimituksena on yhteenlasku. Neutraalialkio on nollapolynomi. Polynomin vasta-alkio saadaan vaihtamalla jokaisen termin merkki. Polynomit muodostavat vaihdannaisen ryhmän. Vektoriavaruus on ryhmä, jonka laskutoimituksena on yhteenlasku. Neutraalialkio on nollavektori ja vektorin v vasta-alkio on v. Vektoriavaruus on vaihdannainen ryhmä. Allaolevaan taulukkoon on vielä kerätty erityypisiin laskutoimituksiin liittyvät nimitykset ja merkinnät. kertolaskumerkintä yhteenlaskumerkintä laskutoimitus x y tai xy (tulo) x + y (summa) potenssimerkintä x n nx (monikerta) käänteisalkio x 1 x (vasta-alkio) 1.3.3 Monoidit Mielenkiintoisia rakenteita syntyy myös silloin, jos ei vaadita kaikkien ryhmän määritelmässä olevien ehtojen toteutumista. Esimerkiksi kokonaisluvut kertolaskulla varustettuna toteuttavat ehdot (G0) (G2), mutta eivät ehtoa (G3). Tällaista rakennetta kutsutaan monoidiksi. 1.3.7 Määritelmä. Joukko M laskutoimituksella varustettuna on monoidi, jos seuraavat ehdot ovat voimassa: (M0) Joukko M on suljettu laskutoimituksen suhteen, eli kaikilla x, y M pätee x y M.

1.3. RYHMÄ 29 (M1) Laskutoimitus on liitännäinen. (M2) Laskutoimituksella on neutraalialkio. Monet tutuista matemaattisista rakenteista, jotka eivät ole ryhmiä kertolaskun suhteen, ovat monoideja. Kokonaislukujen lisäksi niin rationaaliluvut, reaaliluvut kuin n n-matriisien joukkokin muodostavat monoidin, kun laskutoimituksena on kertolasku. Monoideja käsitellään lisää myöhemmin. 1.3.4 Ryhmien laskutoimitustaulut Aiemmin tutustuimme laskutoimitustauluihin, jotka määrittelevät laskutoimituksen täydellisesti. Jos laskutoimitusta merkitään kertomerkillä, voidaan laskutoimitustaulua kutsua myös kertotauluksi. 1.3.8 Lemma. Ryhmän laskutoimitustaulussa jokainen alkioista esiintyy täsmälleen kerran jokaisella rivillä ja jokaisessa sarakkeessa. Todistus. Olkoon G ryhmä. Oletetaan vastoin väitettä, että ryhmän G kertotaulun jollakin rivillä esiintyy alkio x kaksi kertaa. Toisin sanoen on olemassa alkiot a, b, c G joille pätee b c, x = ab ja x = ac. Saamme siis yhtälön ab = ac. Koska G on ryhmä, voidaan päätellä, että a 1 ab = a 1 ac ja edelleen b = c. Tämä on ristiriita, joten jokainen alkio esiintyy kullakin rivillä vain kerran. Sarakkeita koskeva väite osoitetaan samalla tavalla. Osoitetaan sitten, että jokainen ryhmän alkio esiintyy jokaisella rivillä. Olkoot g, a G. Alkio g voidaan kirjoittaa tulona a a 1 g, joten alkio g esiintyy rivillä a. Ryhmän laskutoimitustaulua voi siis ryhtyä täyttämään kuin sudokua. 1.3.9 Lause. Kolmialkioisia ryhmiä on täsmälleen yksi. Todistus. Olkoon G = {e, a, b} kolmialkioinen ryhmä, jonka neutraalialkio on e. Laskutoimitustaulun ensimmäinen rivi ja sarake ovat helppoja täyttää, sillä neutraalialkiolla kertominen ei tee alkioille mitään. Saadaan siis taulu e a b e e a b a a b b

30 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET Nyt paikassa (a, a) ei voi olla alkiota a, sillä tällöin a esiintyisi keskimmäisessä sarakkeessa kahdesti. Jos taas kyseisessä paikassa on alkio e, niin paikassa (a, b) on oltava alkio b, mikä on mahdotonta. Siten paikassa (a, a) on alkio b. Näin jatkamalla saadaan laskutoimitustaulu e a b e e a b a a b e b b e a On vielä osoitettava, että taulun määrittelemä laskutoimitus on todellakin ryhmälaskutoimitus. Olemme itse asiassa tarkastelleet kyseista laskutoimitusta jo Esimerkissä 1.9, mutta käymme todistukset tässä läpi hieman tarkemmin. Osoitetaan aluksi, että G on vaihdannainen, vaikkei sitä pyydettykään osoittamaan. Siitä tulee olemaan hyötyä muun muassa liitännäisyyden osoittamisessa. Oletetaan, että x, y G. Nyt tulo xy on taulun alkio (x, y). Koska taulu on symmetrinen lävistäjän suhteen, niin tämä alkio on sama kuin kohdassa (y, x) oleva alkio, joka on tulo yx. Siten xy = yx. Voidaankin todeta, että ryhmä on vaihdannainen täsmälleen silloin, kun sen laskutoimitustaulu on symmetrinen lävistäjän suhteen. Osoitetaan sitten liitännäisyys. Liitännäisyyttä todistettaessa on tarkasteltava kolmea alkiota. Jos yksi näistä on neutraalialkio, niin jäljelle jää vain kahden alkion tulo, jossa suluilla ei ole väliä. Esimerkiksi e(ab) = ab = (ea)b. Siten voimme tarkastella vain alkioita a ja b. Jos otamme vielä huomioon, että ryhmä on vaihdannainen, niin huomaamme, että a(aa) = (aa)a ja b(bb) = (bb)b. Jäljelle jää kaksitoista eri kombinaatiota. Riittää siis osoittaa seuraavat tulokset: a(ab) =(aa)b a(ba) =(ab)a a(bb) =(ab)b b(aa) =(ba)a b(ab) =(ba)b b(ba) =(bb)a Laskutoimitustaulusta nähdään helposti, että tulokset tosiaan pätevät. Esimerkiksi a(ab) = ae = a = bb = (aa)b. Siten laskutoimitus on liitännäinen. Neutraalialkio on e, koska taulun ensimmäinen rivi ja ensimmäinen sarake ovat pysyneet kertolaskussa muuttumattomina.

1.3. RYHMÄ 31 Tarkistetaan vielä käänteisalkioiden olemassaolo. Koska ab = e, niin vaihdannaisuuden nojalla ba = e. Siten b on a:n käänteisalkio ja a on b:n käänteisalkio. Neutraalialkio on luonnollisesti oma käänteisalkionsa. Koska muut taulut eivät ole mahdollisia, on kolmialkioisia ryhmiä täsmälleen yksi. Ryhmän alkiot voidaan toki nimetä toisin, jolloin saadaan eri joukko ja siten periaatteessa myös eri ryhmä. Tämä ei kuitenkaan muuta laskutoimituksen ominaisuuksia, joten ryhmän rakenne säilyy oleellisesti samana. Tutkitaan todistuksen kolmialkoisen ryhmän alkioiden potensseja. Huomataan, että a 2 = b ja a 3 = ab = e. Siten ryhmä voidaan kirjoittaa muodossa {a, a 2, a 3 }. Tällaista muotoa olevia ryhmiä kutsutaan syklisiksi ja niitä tutkitaan tarkemmin myöhemimmin. 1.3.10 Lause. Nelialkioisia ryhmiä on täsmälleen kaksi kappaletta. Todistus. Samalla tavoin kuin Lauseen 1.3.9 todistuksessa voidaan osoittaa, että neljästä alkiosta on mahdollista koota vain kaksi erilaista kertotaulua. Ne ovat e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e ja e a b c e e a b c a a b c e b b c e a c c e a b Pienellä työllä voidaan osoittaa, että molemmille pätevät ehdot (G0) (G3), joten ne ovat ryhmiä. Todistuksessa esiintyneistä ryhmistä ensimmäistä kutsutaan Kleinin neliryhmäksi saksalaisen matemaatikon Felix Kleinin mukaan. Toinen ryhmä voidaan puolestaan kirjoittaa muodossa {a, a 2, a 3, a 4 }. Siten myös neljän alkion tapauksessa törmäämme sykliseen ryhmään.

32 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET 1.3.5 Aliryhmä Ryhdymme nyt tutustumaan ryhmien rakenteeseen. Aloitamme tarkastelemalla ryhmiä, jotka löytyvät toisten ryhmien sisältä. 1.3.11 Määritelmä. Oletetaan, että (G, ) on ryhmä ja H G. Sanotaan, että (H, ) on (G, ):n aliryhmä, jos seuraavat ehdot toteutuvat: (H1) gh H kaikilla g, h H (H2) e H, missä e on G:n neutraalialkio (H3) g 1 H kaikilla g H, missä g 1 on g:n käänteisalkio G:ssä. Tällöin merkitään (H, ) (G, ) tai yksinkertaisemmin H G. Huomaa, että H:n laskutoimitus on liitännäinen. Tämä johtuu siitä, että G on ryhmä ja sen laskutoimituksena on liitännäinen. Siten H on ryhmä, joka sisältyy ryhmään G. Jos H G ja H G, niin sanotaan, että H on G:n aito aliryhmä ja merkitään H < G. Millä tahansa ryhmällä G on niin kutsutut triviaalit aliryhmät G ja {e}, missä e on neutraalialkio. 1.3.12 Esimerkki. Ryhmä (Z, +) on ryhmän (Q, +) aliryhmä, joka on edelleen ryhmän (R, +) aliryhmä. Ryhmä (Q \ {0}, ) on ryhmän (R \ {0}, ) aliryhmä. 1.3.13 Lause. Oletetaan, että (G, ) ja (H, ) ovat ryhmiä. Jos H on G:n osajoukko, niin se on G:n aliryhmä. Todistus. Väitteen todistamiseksi on osoitettava, että G:n ja H:n neutraali- ja käänteisalkiot ovat samat. Olkoon e H ryhmän H ja e G ryhmän G neutraalialkio. Valitaan x H, jolloin e H x = x. Kertomalla oikealta x:n käänteisalkiolla ryhmässä G, saadaan e H = e G. Myös käänteisalkiot ovat samat ryhmissä G ja H. Tämä seuraa suoraan siitä, että ryhmien neutraalialkiot ovat samat ja näihin liittyvät käänteisalkiot ovat yksikäsitteisiä.

1.3. RYHMÄ 33 1.3.14 Esimerkki. Tutkitaan joukkoa 3Z = {3z z Z} eli niiden lukujen joukkoa, jotka ovat jaollisia luvulla 3. Osoitetaan, että (3Z, +) on ryhmän (Z, +) aliryhmä. Selvästikin 3Z on joukon Z osajoukko. (H1) Oletetaan, että k, m 3Z. Nyt on olemassa luvut a, b Z, joille pätee k = 3a ja m = 3b. Siten k + m = 3(a + b) ja k + m 3Z. (H2) Ryhmän Z neutraalialkio 0 voidaan kirjoittaa muodossa 3 0. Siten se on joukon 3Z alkio. (H3) Olkoon m 3Z, jolloin m = 3a jollakin a Z. Alkion m vasta-alkio ryhmässä Z on m. Koska m = 3( a), niin m 3Z. Siten 3Z on ryhmän Z aliryhmä. Todistus voidaan yleistää koskemaan joukkoa nz = {nz z Z}, missä n Z. Kyseessä on siis kaikkien luvulla n jaollisten lukujen joukko. Samaan tapaan kuin yllä voidaan osoittaa, että nz on aina kokonaislukujen joukon aliryhmä. 1.3.15 Esimerkki. Olkoon G ryhmä, joka sisältää kaikki reaalikuvaukset f : R R, joilla on käänteiskuvaus. Laskutoimituksena on kuvausten yhdistäminen. Merkitään H = {f G f(0) = 0}. Nyt H on G:n aliryhmä, mikä nähdään seuraavasti. Ensinnäkin H G. Oletetaan sitten, että f, g H. Nyt (f g)(0) = f(g(0)) = f(0) = 0. Siten f g H. Ryhmän G neutraalialkio on id: R R, id(x) = x. Koska id(0) = 0, niin id H. Oletetaan vielä, että f H. Nyt f:n käänteisalkio on sen käänteiskuvaus. Koska f(0) = 0, niin f 1 (0) = 0, mistä seuraa, että f 1 H. Siten H on aliryhmä. 1.3.16 Esimerkki. Olkoon G ryhmä, joka sisältää kaikki (reaalikertoimiset) n nmatriisit, joilla on käänteismatriisit. Laskutoimituksena on siis matriisien kertolasku. Määritellään G:lle osajoukko ja osoitetaan, että se on aliryhmä. H = {A G det(a) = 1}, Oletetaan, että A, B H. Koska det(ab) = det(a) det(b) = 1, niin AB H. Olkoon I yksikkömatriisi. Koska det(i) = 1, niin I H. Oletetaan lopuksi, että A H. Koska det(a 1 ) = 1/ det(a) = 1, niin A 1 H. Siten H on ryhmän G aliryhmä. 1.3.17 Esimerkki. Tutkitaan ryhmää, jonka muodostavat kaikki Rubikin kuution siirrot. Tätä kutsutaan usein Rubikin ryhmäksi. Tarkastellaan yhtä kuution

34 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET tahkoista. Tämän yhden tahkon kaikki mahdolliset kierrot muodostavat Rubikin ryhmän aliryhmän. Aliryhmässä on neljä alkiota: kierto 0, kierto 90, kierto 180 ja kierto 270. 1.3.18 Esimerkki. Olkoon G vaihdannainen ryhmä ja n N. Osoitetaan, että sen osajoukko H = {g G g n = e} on aliryhmä. (Tässä e on G:n neutraalialkio.) (H1) Oletetaan, että a, b H. Koska G on vaihdannainen, niin (ab) n = a n b n = ee = e. Siten ab H. (H2) Koska e n = e, niin e H. (H3) Olkoon a H. Koska (a 1 ) n = (a n ) 1 = e 1 = e, niin a 1 H. Siten H on G:n aliryhmä. Toisinaan todistuksissa on hyödyksi seuraava aliryhmäkriteeri. 1.3.19 Lause (Aliryhmäkriteeri). Olkoon H ryhmän G epätyhjä osajoukko. Se on G:n aliryhmä jos ja vain jos ab 1 H kaikilla a, b H. Muista, että aliryhmäkriteeriä käytettäessä on todistettava, että H G ja H ei ole tyhjä. Todistus. Selvästikin aliryhmäkriteerin ehdot seuraavat aliryhmän määritelmästä. On siis osoitettava, että jos aliryhmäkriteerin ehdot ovat voimassa, niin kyseessä on aliryhmä. Oletuksesta seuraa suoraan, että H G. Tarkistetaan vielä, että ehdot (H1) (H3) pätevät. (H2) Oletetaan, että e on G:n neutraalialkio. Koska H on epätyhjä, niin on olemassa a H. Oletuksen nojalla e = aa 1 H. (H3) Olkoon a H. Koska tiedämme, että e H, niin a 1 = ea 1 H. (H1) Oletetaan, että a, b H. Edellisen kohdan nojalla b 1 H, joten oletuksesta seuraa, että ab = a(b 1 ) 1 H. Siten H G. 1.3.20 Lause. Oletetaan, että H 1 G ja H 2 G. Tällöin H 1 H 2 G.

1.3. RYHMÄ 35 Todistus. Käytetään todistuksessa aliryhmäkriteeriä. Oletuksen mukaan H 1, H 2 G, joten H 1 H 2 G. Olkoon e ryhmän G neutraalialkio. Nyt e H 1 ja e H 2, joten e H 1 H 2. Siten H 1 H 2 on epätyhjä. Oletetaan vielä, että a, b H 1 H 2. Nyt a, b H 1, joten ab 1 H 1. Samoin nähdään, että ab 1 H 2. Siten ab 1 H 1 H 2. Aliryhmäkriteerin nojalla H 1 H 2 G. Tiivistelmä Ryhmässä on määritelty liitännäinen laskutoimitus, jolla on neutraalialkio. Lisäksi jokaisella alkiolla on käänteisalkio. Aliryhmä on ryhmä, joka on toisen ryhmän osajoukko.

36 LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET 1.4 Symmetrinen ryhmä Seuraavaksi käsittelemme symmetrisiä ryhmiä, jotka muodostuvat niin kutsutuista permutaatioista. Symmetrisillä ryhmillä on ryhmäteoriassa tärkeä rooli. Tällä kurssilla ne tarjoavat yksinkertaisia esimerkkejä äärellisistä epävaihdannaisista ryhmistä. 1.4.1 Permutaatiot Matemaattisen määritelmän mukaan permutaatio on bijektio joukolta itselleen. Latinan sana permutatio tarkoittaa muutosta tai vaihtoa, ja permutaatio kuvaakin joukon alkioiden järjestyksen vaihtumista. Vastaostetussa korttipakassa kortit ovat tietyssä perusjärjestyksessä. Kun korttipakan ensimmäisen kerran sekoittaa, esimerkiksi herttaässän paikalle tulee joku toinen kortti, vaikkapa patakakkonen. Voidaan ajatella, että herttaässä muuttui tai kuvautui patakakkoseksi. On siis tapahtunut korttipakan permutaatio, jossa jokainen kortti on voinut vaihtua toiseksi, mutta yksikään kortti ei ole kadonnut eikä kortteja ole myöskään tullut lisää. Kuvaus on siksi välttämättä bijektio. Tarkastellaan esimerkkiä, jossa on yksinkertaisuuden vuoksi hiukan vähemmän kortteja. Otetaan korttipakasta neljä ässää, yksi kutakin maata. Laitetaan ne pöydälle järjestykseen hertta, ruutu, risti, pata. Jos nyt muutetaan korttien paikkoja niin, että ne ovat järjestyksessä hertta, risti, pata, ruutu, niin voidaan ajatella, että on tehty kuvaus hertta hertta ruutu risti risti pata pata ruutu. Koska jokainen kortti on jonkin vanhan kortin paikalla, on kuvaus surjektio. Mitkään kaksi korttia eivät myöskään kuvaudu samalle kortille, joten kyseessä injektio ja siten edelleen bijektio. Jos kuvitellaan kaikki uuden korttipakan kortit numeroiduiksi juoksevalla järjestysnumerolla, voidaan permutaation ajatella muuttavan näitä järjestysnumeroita, sen sijaan että se muuttaisi itse kortteja. Tämä helpottaa matemaattista tarkastelua, kun voidaan aina rajoittua johonkin lukujoukkoon ja sen bijektioihin tarvitsematta määritellä erikseen korttien tai muiden esineiden joukkoja. 1.4.1 Määritelmä. Olkoon n luonnollinen luku. Määritellään N n = {1, 2,..., n}. Joukon N n permutaatio on bijektio N n N n.