rakenteiset päättelyketjut.

Transkriptio

1 Jämsänkosken lukion ensimmäisen lukioluokan matemaatikko Janne Järvinen laskemassa taululle kotilaskua käyttäen rakenteiset päättelyketjut-formaattia. Rakenteiset päättelyketjut Mauri Toivonen, vanhempi lehtori, Jämsänkosken lukio Lukiomatematiikka rämpii epätäsmällisyyden heikoilla hangilla Lukiomatematiikan rooli täsmällisenä oppiaineena on kadonnut. Laskut lasketaan ylimalkaisesti, perustelematta, todistukset on unohdettu lähes tyystin. Oppikirjoissa on valtava määrä tehtäviä. Opettajalle ja opiskelijoille tulee ahdistava olo, kun tehtäviin ei ehditä paneutua. Jokaisen lukion matematiikan opettajan olisi syytä olla huolestunut asiantilasta. Opettajat nostakaa tuntosarvet koholle, haistelkaa matemaattista ilmaa. Lukioon ja myös yläkouluun on pyrkimässä ylivertainen matemaattinen opetusmenetelmä, rakenteiset päättelyketjut. Tällä hetkellä se hapuilee marginaaleissa, katujen varjoisilla kujilla, se on nouseva sieltä, tämä matematiikan pedagokiikan menninkäinen ei päivänvaloa pelkää. Rakenteiset päättelyketjut (Structured derivations)- menetelmän ovat kehittäneet Ralph-Johan Back ja Joachim von Wright. Menetelmän kehittämisyksikkö on Learning and Reasoning Laboratory (Åbo Akademi, Turun Yliopisto ja Imped). Tämän menetelmän opetusmateriaalia, ohjelmistotukea ja lisäinformaatiota löytyy Imped- sivustoilta, jonne pääsee esim. Googlen avustuksella. Menetelmän tueksi D i m e n s i o 1/

2 Matemaattisten opettajien syyspäivät järjestettiin Naantalin lukion ja kylpylän tiloissa, kuvassa Naantalin kylpylän julkisivua. on kehitetty ja edelleen kehitetään matemaattista LYX-tekstinkäsittelyohjelmaa, jota päivitetään jatkuvasti paremmaksi. LYX-ohjelma on ladattavissa ilmaiseksi esim. IMPED-sivuilta. Tätä menetelmää on kokeiltu lukion pitkän matematiikan opetuksessa Turun Kupittaan lukiossa. Kokeilun toteuttaja on Mia Peltomäki, jonka artikkeli rakenteisista päättelyketjuista oli vuoden 2009 Dimensiossa numero 6. Hänen vetämänsä pitkän matematiikan opetusryhmä menestyi merkittävästi paremmin kuin vastaava verrokkiryhmä jokaisessa pitkän matematiikan kurssissa sekä pitkän matematiikan ylioppilaskokeessa. MAOL- syyspäivät Naantalissa Syyspäivät alkoivat dramaattisesti, avauspuheessa ilmoitettiin Naantalissa sattuneesta tulipalosta, jossa menehtyi mm. Naantalin lukion oppilaita, yksi heistä piti olla narikassa meitä syyspäivien osallistujia varten. Esko Valtaoja sen sijaan valoi kuulijoihin yltiöoptimistiaan ja väitti 1900-luvun olleen onnellisin vuosisata ihmiskunnan historiassa, myös 1940-luvulla, ja onnellisuus kasvaa vääjäämättömästi eksponenttifunktion mukaisesti. Syyspäivillä matemaattisista marginaaleista kömpi esille myös Ralph-Johan Back luennoimaan rakenteisista päättelyketjuista. Samana päivänä oli samasta aiheesta työpaja, vetäjänä oli Petri Sallasmaa, Ralph-Johan Backin kisällipoika. Rakenteisen päättelyketjun vallankumous ei vielä alkanut, sillä kuulijoita oli vain 2 kappaletta. Matemaattisten aineiden opettajat eivät vielä tiedä, että marginaaleissa asustaa matematiikan pedagogiikan prinsessa. Siksi minä tämän artikkelini kirjoitin. Tutustukaa tähän kauniiseen prinsessaan, tuokaa se päivänvaloon. Rakenteiset päättelyketjutformaatti Tämä marginaaleissa asustava rakenteiset päättelyketjut- formaatti pakottaa opiskelijan ajattelemaan. Matemaattisen tehtävän ratkaisu 28 D i m e n s i o 1/2010

3 Kuvassa Petri Sallasmaa, joka toimi Naantalin syyspäivillä rakenteiset päättelyketjut- formaatin työpajan vetäjänä. etenee loogisesti askel askeleelta formaatin mukaisesti ja formaattiin kuuluu, että jokainen askel on perusteltava. Jos oppilas ei pysty perustelemaan ottamaansa askelta, niin perustelukohtaan aaltosulkeiden sisään jää tyhjä paikka aivan kuin Gogolin Nenä - novellissa novellin päähenkilö heräsi aamulla ja huomasi nenänsä kohdalla tyhjän paikan. Tällöin sekä opiskelija että opettaja huomaavat milloin ollaan eksyksissä, milloin pallo on hukassa. Perinteisesti oppilaan perustelut ovat epämääräisiä, siellä täällä paperia ja opettaja etsii niitä suurennuslasilla ja hyväntahtoisesti yrittää ymmärtää oppilaan ajatuksenkulkua. Tämä uusi formaatti pakottaa selkeyteen ja johdonmukaiseen etenemiseen. Formaatti on kuin kainalosauvat, sokean valkea keppi, joka johtaa opiskelijan matematiikan ratkaisujen ymmärryksen iloihin. Loogisen johdonmukaisuutensa vuoksi formaatin kiinteänä osana on logiikka, sen loogiset konnektiivit sekä kvanttorit Ralph-Johan Back (Professor of Computer Science, Abo Akademi) luennoimassa Naantalin syyspäivillä rakenteisista päättelyketjuista., joita käsitellään syventävässä MAA 11 kurssissa. Formaatissa on alipäättelyitä, jotka tekstissä ja tietokoneen kuvaruudulla ovat sisennyksinä. Jos alipäättely tuntuu selviöltä, se voidaan piilottaa yhdellä näppäimen painalluksella ja näin ohittaa alipäättely ja jatkaa varsinaista päättelyä. Tämä on keino nopeuttaa tehtävän käsittelyä, piilottamalla alipäättelyt, mutta tarvittaessa voimme palata alipäättelyyn ymmärryksen syventämiseksi. Olen laatinut MFKA:lle koepaketin MAA 2 rakenteiset päättelyketjut formaatilla. Koepaketin loppuun on lisätty kysymyslomake, johon toivon jokaisen koepakettiin tutustuneen vastaavan. Vastaamisenne on tärkeää rakenteiset päättelyketjut-formaatin edelleen kehittämiselle. Tämän koepaketin tekemiseen käytin matemaattista LYX-tekstinkäsittelyohjelmaa, jolla juuri voidaan piilottaa ja uudelleen esiin tuoda alipäättelyt. LYX-ohjelman voi ladata ilmaiseksi Imped- sivustoilta. D i m e n s i o 1/

4 Tämä esimerkki on ratkaistu täydellisenä alipäättelyineen. 2 + = = 4 2 = ( 21) ( 0) ( 11) ( ) 1 (2 ) 2 = (4 ) (4 0 ( 21 ) 0) ( 11) ( ) 0, 21 (2 2 2 = ) 2 0 (4 0 a 2 = a ( 0) ( (8 ) 2 = (21 ) 2 ( 0) ( 21 (4 = ) 0 (4 8 4 (8 = 21 ) 0 (16 ) (8 = 21 ) 0) (16 ) T 0 (8 ) 2 = (21 ) 2 (8 0 (T p) p (21 0) 0) (16 ) ( 0) ( 0) ( 21 (8 0) (21 0) 0) (16 ) ( 0) (8 0) (21 0) 0) (16 ) ( 0) ( 21) ( 0) ( 11) ( ) 1 = ( 146) ( 146) ( = = 1)... ( = = 1) ( 0) ( 21 = 1 (8 2 2 = () 2 ) ( 0) ( 21 ( = = 1)} = 1 (8 2 2 = () 2 (8 2 2 = () 2 a 2 = a 64 ( ) = = a 2 + b + c = 0 ( = 0 = ( 146) + ( 146) Tähän LYX-ohjelmaan on tulossa 0, 21 parannuksia, se huomauttaa, jos emme ole kurinalaisia ( 0) (formaatin 21 suhteen ja vielä enemmän; suunnitteilla on, että ohjelma pystyy itse ratkaisemaan joitakin matemaattisia tehtäviä, n = a (ab) tämä n b n olisi ensimmäinen koneellinen matemaattinen (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 tehtävien ratkaisumenetelmä. ( = = 1)} 30 D i m e n s i o 1/2010 ( 21 ) 0) ( 11) ( )... (8 ) 2 = (21 ) 2 ( 0) ( 21 (8 2 2 = () 2 ) ( 0) ( 21 (8 2 2 = () 2 Esimerkkitehtävä Esimerkkinä ratkaisemme yhtälön rakenteisilla päättelyketjuilla. Yhtälön ratkaisu etenee ekvivalenssiketjuna, jossa kaarisulkeiden sisällä perustelemme jokaisen ekvivalenssiaskeleen. Jos oppilaamme ei pysty askelta perustelemaan, hän on eksyksissä, ja mikä tärkeintä, hän itse sen myös tietää ja voi vetää siitä tarvittavat johtopäätökset. Juuri tässä on eräs formaattimme hienous. Ratkaisussa jouduimme tilanteeseen, jossa meidän on ratkaistava useiden epäyhtälöiden kon-

5 Tässä esimerkissä alipäättelyt on piilotettu. 2 + = = 4 (8 2 2 = () 2 ) ( 0) ( 21 ( = = 1)... ( = = 1) ( 0) ( 2 = 1 2 = 4 = 1 (2 ) 2 = (4 ) (4 0 (2 2 2 = ) 2 0 (4 0 a 2 = a (4 = ) 0 (4 8 4 (8 = 21 ) 0 (16 ) (8 = 21 ) 0) (16 ) T 0 p) p (T (8 ) 2 = (21 ) 2 (8 0 (21 0) ( 0) (16 ) ( 0) ( 0) ( (8 ) 2 = (21 ) 2 ( 0) ( 21 junktio. Tätä konjunktioryhmää on työläs kuljettaa koko tehtävän ajan mukana, joten ratkaisemme sen alipäättelyllä. Alipäättely on esimerkissämme sisennetty. Jos emme halua tai tarvitse alipäättelyä, me voimme piilottaa sen yhdellä näppäimen lyönnillä ja jatkaa ekvivalenssiketjuamme. Jos taas haluamme nähdä epäyhtälöryhmän ratkaisun yksityiskohtaisesti, voimme palata alipäättelyyn. Näin voimme tehdä, kun olemme matemaattisen LYXohjelmiston sisällä. Dimensiossa oleva versio on PDF-tuloste, jossa alipäättelyitä ei voi piilottaa. Juuri tämän takia olen tehnyt dimensioon esimerkkiratkaisun kahdella tavalla, ilman alipäättelyitä ja alipäättelyiden kanssa täydellisenä ratkaisuna. Näin ollen tämän artikkelin lukija saa paremman käsityksen alipäättelyiden merkityksestä. Myöhemmin, kun esimerkkimme ekvivalenssiketju etenee joudumme ratkaisemaan yhtälön Tämän yhtälön ratkaisun olemme tehneet myös alipäättelyssä, joten tarpeemme mukaan voimme sen ohittaa tai katsoa se läpi yksityiskohtaisesti ymmärryksen syventämiseksi. Alipäättelyiden ohittaminen on keino nopeuttaa tehtävän ratkaisua esimerkiksi koululuokassa kertausten yhteydessä. Silloin meidän ei tarvitse eksyä yksityiskohtien viidakkoon, vaan voimme kulkea pääteitä pitkin nopeasti perille, pysymme juonessa mukana, mutta jos näyttää, että opiskelija ei ymmärrä, palaamme kiireen vilkkaa alipäättelyn kauniille sivupolulle. Tämä esimerkki on tehty ehkä tarpeettomankin yksityiskohtaisesti. Rakenteiset päättelyketjut sallii kyllä yksinkertaisten lausekkeiden sieventämisen ja itsestäänselvyyksien ohittamisen kevyemmin. Aaltosulkeissa perusteluna voisimme mainita vain {ratkaise yhtälö } tai {sievennä lauseke }. Esimerkissämme käytimme ekvivalenssiketjua, joten yhtä hyvin yhtälön ratkaisu olisi pätevä myös alhaalta ylöspäin eli tehtävän lopusta alkuun. Rakenteiset päättelyketjut voi käyttää yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisuissa ekvivalenssimerkin sijasta myös implikaatiota ( ), jolloin ratkaisu ei toimi lopusta alkuun. Lausekkeiden sieventämisessä ekvivalenssimerkin sijasta käytämme yhtäsuuruusmerkkiä sekä tie- D i m e n s i o 1/

6 tysti kaarisulkuja askeleiden perustelemisessa. Logiikan konnektiiveja ( ) käyttäen voimme Implikaatio rakenteisilla päättelyketjuilla. 2 = 1 = 1 myös luontevasti suorittaa matemaattisia 2 = 1 = 1 todistuksia ekvivalens- (p q) (p q) simerkintää käyttäen. Esimerkiksi ( 2 = 1) ( = 1) voimme ottaa logiikan eväspussistamme epäsuoran todistusme- netelmän. Kun meidän on todistettava, ( = 1 = 1) ( = 1) että, todistam- (p q) p q mekin ekvivalentin todistuksen (( = 1) ( = 1)) ( = 1) Lopuksi pohdimme väitteen jos = 1, niin ² = 1 totuutta käyttäen logiikan eväspussimme = 1 tautologiaa. Viereisestä implikaatioesimerkistämme ilmenee, että väite on tosi kaikilla reaaliluvuilla paitsi luvulla 1. Jämsänkoskella oppikirjojen puute. Menetelmä vaatisi myös avuksensa tietokonetta ja dessa, silloin oppikirjojen tekemi- saa kannatusta opettajien keskuu- Minä olen myös jonkun verran käyttänyt Jämsänkosken lukion ensimmäisen luokan opetuksessani rakenteiset päättelyketjut- formaattia. Oma kokemukseni on, että se auttaa oppilaita ymmärtämään paremmin matemaattisia tehtäviä sekä myös perustelemaan tehtävät johdonmukaisemmin ja selkeämmin. Ongelmana on tällä menetelmällä tehtyjen mallilaskujen ja videotykkiä, joita ei läheskään joka koulussa ole tarjolla matematiikan opetukseen. Mutta uskon, että kun opettajat huomaavat rakenteiset päättelyketjut- formaatin ylivertaisuuden matematiikan pedagogiikassa, niin ongelmat ovat ratkaistavissa ja oppikirjakustannusyhtiötkin innostuvat asiasta. Heitä asia kiinnostaa vasta, kun menetelmä nen on taloudellisesti kannattavaa. Toivoisin, että oppikirjakustantajilla olisi riskinottokykyä ja näkemystä, mutta tähän mennessä sitä ei ole ollut. Matematiikan prinsessa, kutsun sinut päivänvaloon pimeistä marginaaleista luomaan matemaattisen täsmällisyyden kauneutta. Mustat lampaat Tähtitietelijä, fyysikko ja matemaatikko olivat matkalla Skotlannin nummilla. Nummella laidunsi joukko mustia lampaita. Tähtitieteilijä: Kaikki lampaat Skotlannissa ovat mustia! Fyysikko: Ei, näinhän emme voi sanoa. Voimme sanoa, että vain nämä lampaat, jotka nyt näemme, ovat mustia. Matemaatikko: Eihän se nyt ihan noinkaan ole. Varmuudella voimme sanoa ainoastaan, että noiden lampaiden tänne tielle näkyvät puoliskot ovat mustia. 32 D i m e n s i o 1/2010