Matematiikan ohjelmointi. Joakim von Wright

Transkriptio

1 Matematiikan ohjelmointi Joakim von Wright

2 Formaali menetelmä käytännössä miten todistetaan ohjelman oikeellisuus? miltä todistus näyttn yttää? isot ohjelmat? miljoona riviä koodia nykyajan ohjelmat? rinnakkaisuus, vuorovaikutteisuus,...

3 Todistamisen asema todistaminen on formaalin menetelmän n ydin mitä tarkoittaa todistus? matematiikan epäformaali todistus geometrian aksiomaattinen todistus logiikan formaali todistus

4 Epäformaali ja formaali todistus matematiikan kuva todustuksesta vakuuttava periaatteessa formalisoitavissa havainnollinen (surveyable) täysin formaali todistus matematiikassa? ei käytk ytännöllistä

5 Miiksi formaali todistus? ohjelman oikeellisuustodistus on erilainen todistuksen luotettavuus tärket rkeämpi kuin kauneus todistus pitää saada heti oikeaksi todistukset suuria......mutta sisält ltävät t paljon pieniä rutiinitodistuksia

6 Ohjelma matemaattisena oliona ohjelmointikielen näkökulman kulma i := 1 s := 0 while i <= n: s := s+i i := i+1 algebrallinen näkökulman kulma i=1 ; s=0 ; while (i n) (s=s+i ; i=i+1)

7 Ohjelmointilogiikka ohjelmia varten tarvitaan ohjelmointilogiikka tavoitteena oikeellisuuden todistaminen pohjalla klassinen logiikka lisäksi erikoispiirteet muuttujan käsite k erilainen kuin matematiikassa

8 Ohjelmointilogiikan perusideat oikeellisuusväitt ittämä (ns Hoare-logiikka) {pre} program {post} jos pre pätee alussa niin ohjelman suoritus päättyy tilassa jossa post pätee eri ohjelmointirakenteille omat sääs äännöt todistus jakautuu pienempiin osatodistuksiin pohjatason osatodistukset usein triviaaleja

9 Ohjelmointilogiikan sääs äännöt sijoitussää ääntö pre post[x:=e] {pre} x=e {post} sekvenssisää ääntö {pre} S1 {mid} {mid} S2 {post} {pre} S1;S2 {post} toistosää ääntö p inv {C & inv} S {inv} inv & C q {C & inv} S {inv} {p} while C S {q}

10 Osatodistukset i:=0 ; s:=0 ; while (i n) (s:=s+i ; i:=i+1) i:=0 s:=0 while (i n) (s:=s+i ; i:=i+1) s:=s+i ; i:=i+1 s:=s+i i:=i+1

11 Oikeellisuustodistus todistettava: {n 0} s:=0;i:=0;while(i n)(s:=s+i;i:=i+1) {s= n} sekvenssisää ääntö: : kolme osatodistusta {n 0} s:=0 {n 0 0 & s=0} {n 0 0 & s=0} i:=0 {n 0 0 & s=0 & i=0} {n 0 0 & s=0 & i=0} while(i n)(s:=s+i;i:=i+1) {s= n} väliin tulevat väiittv iittämät t täytyy t keksiä itse

12 Osatodistus 1 {n 0} s:=0 {n 0 0 & s=0} sijoitussää äännön n avulla saadaan n 0 n 0 0 & 0=0 peruslogiikka todistaa tämänt ensimmäinen inen osatodistus hoidettu, rutiininomaisesti

13 Todistuksen esittäminen voiko todistus samalla olla formaali ja ihmiselle ymmmärrett rrettävä? ryhmäss ssämme kehitetty esitysmuoto: rakenteinen johto (structured derivation)

14 Rakenteisten johtojen selailu html-teknologia teknologia todistusta voi katsoa webiltä todistusta voi selailla osatodistus avataan: yksityiskohdat nakyvät todistusta voi kehittää

15 Rakenteisten johtojen käyttk yttö sopiva matemattisten ratkaisujen esitysmuoto ryhmäss ssämme kehitetää ään n ratkaisumetodiikkaa joka käyttk yttää logiikkaa ja rakenteisia johtoja yhtälöiden ratkaiseminen lausekkeiden sievennys analyysi, ym testaus: yo-matematiikan tehtävi viä

16 Koulumatematiikka-projekti yhteisprojekti ÅA - TY - Kupittaan lukio pitkän n matematiikan ryhmä käyttää metodiikkaa läpi l koko lukion (op. Mia Peltomäki) vertausryhmäll llä perinteinen opetus kokeilu aloitetty syksyllä 2001, alustavat tulokset lupaavia

17 Ohjelmointimetodiikka suuren ohjelman oikeaksi todistaminen jälkeenpäin (verifiointi) ei onnistu todistaminen on osa ohjelman rakentamista ryhmäss ssämme kehitetää ään n tarkennuskalkyyli Dijkstran weakest precondition-käsitteeseen perustuva ohjelmointilogiikka ja -metodiikka voimaakkaampi kuin Hoare-logiikka

18 Tarkennuskalkyyli ohjelmointiilogiikassa määm ääritellään tarkennusrelaatio (refinement, ) S1 S2 tarkoittaa että S2:lla on kaikki S1:n S oikeellisuusominaisuudet S2 on S1:n S uusi/parannettu/laajennettu versio kalkyylin sääs äännöt t kertovat miten saadaan S2S kun tiedetää ään n S1S ja toivottu lisäys

19 Tarkennusmetodiikka OhjelmaV.2 lisäominaisuuksien oikeellisuustodistus tarkennusaskeleen todistus OhjelmaV.1 perusominaisuuksien oikeellisuustodistus

20 Käsin todistamisen rajat käsin voidaan todistaa yleisiä sääntöjä pieniä esimerkkejä erityisen vaativia yksityiskohtia nykypäiv ivän n haasteet ohjelmat ovat suuria rinnakkaisuus, vuorovaikutteisuus, jne...

21 Todistaminen tietokoneella miten hallitaan suuret todistukset? tarvitaan tietokoneen apua tietokoneen käyttk yttö todistustyöss ssä: kertakäytt yttöohjelma (esim 4-väriteoreema, ) todistusjärjestelm rjestelmä (mekanisoitu logiikka)

22 Mikä on todistusjärjestelm rjestelmä? interaktiivinen ohjelma joka manipuloi kaavoja tietyt kaavat saavat statuksen teoreema pieni ydin: aksiomat + pääp äättelysäännöt teoreema todistetaan aina formaalisti todistusstrategioita voi ohjelmoida teoreemoja voi sääs äästää,, käyttk yttää,,... mahdollistaa todistusten teollista tuotantoa

23 Todistusjää äärjestelmän n rakenne todistusjärjestelmä ydin thm ax

24 Mekanisoitu ohjelmointilogiikka HOL-järjestelm rjestelmä sisält ltää peruslogiikan x y x = y ohjelmointikäsitteet formalisoidaan ; =... while =... todustussää äännöt t todistetaan oikeiksi todistusstrategiat ohjelmoidaan

25 Mekanisoitu oikeellisuustodistus syötet tetään n todistettava (goal) HOL hyväksyy ja odottaa valitaan sääs ääntö HOL näyttn yttää mitä pitää viellä todistaa (subgoals) tarvittaessa annetaan sääs äännön n argumentit invariantti tämä interaktio vaatii osaamista

26 Kohti automatisoitua todistusta tarkennuskalkyyli on mekanisoitu (HOL) inkrementaalinen ohjelmointi: osatodistukset sopivan kokoisia todistusta ohjaava tieto sijoitetaan ohjelmatekstiin: esim. invariantit HOL todistaa sen minkä voi ja näyttn yttää mitä vielä tarvitsee todistaa

27 Nykyajan ohjelmistot rinnakkaisuus useita pankiiautomaattia käytk ytössä yhtaikaa vuorovaikutteisuus käyttäjä ohjaa automaattia, valitsee toimintoja olio-ohjelmointii ohjelmointii jne...

28 Rinnakkaisuus samanaikainen ohjelmansuoritus rinnakkaiset toiminnot tulkitaan toisensa jälkeen tapahtuviksi (jossain järjestyksessj rjestyksessä) uusi käsite: k epämääräisyys (nondeterminism)

29 Rinnakkaisuus SA SB? SA SB SB SA

30 Rinnakkaisuus ohjelmointilogiikassa epämää ääräinen valintaoperaattori ( tai( tai ) rinnakkaisuutta ilmaistaan valinnalla SA;SB SB;SS ;SA uudentyyppisiä todistusehtoja sopivasti laajennettu ohjelmointilogiikka toimii yhä

31 Vuorovaikutteisuus perinteinen ohjelma laskee tuloksen suorituksen lopputulos riippuu vain lähtl htöarvoista nykypäiv ivän n ohjelma palvelee käyttk yttäjiä käyttäja voi olla ihminen, kone, toinen ohjelma... ohjelmointilogiikan täytyy t huomioida eri osapuolia ja niiden tavoitteet, oikeudet, jne lisätää ään n käsite k peli

32 Vuorovaikutteisuus ohj.logiikassa oikeellisuusväitt ittämä {pre} prog {post} klassinen tulkinta: ohjelma saavuttaa aina post pelitulkinta: tekemäll llä oikeat valinnat käyttk yttäjä voi varmistaa sen että post saavutetaan sopivasti laajennettu ohjelmointilogiikka toimii yhä

33 Päätelmät virheettömi miä ohjelmia voi rakentaa formaaleilla menetelmillä on tulevaisuus käytännön n ohjelmistotyöss ssä tavoitteena ohjelmointiympärist ristö jonka yhdessä valikossa on vaihtoehto todista