TAMPEREEN YLIOPISTO Matematiikan pro gradu -ty Marko Vehmas Ryhmien perusominaisuuksista Matematiikan, tilastotieteen ja losoan laitos Matematiikka Hu

Transkriptio

1 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden laitos VEHMAS, MARKO: Ryhmien perusominaisuuksista Pro gradu -ty, 22 s. Matematiikka Huhtikuu 2002 TIIVISTELM T m n ty n luvussa 2 perehdyt n abstraktin algebran keskeiseen k sitteeseen ryhm n ja joihinkin sen perusominaisuuksiin. Ryhm on ep tyhj n joukon sek laskutoimituksen muodostama tietyt ehdot toteuttava algebrallinen struktuuri. Ryhm n lis ksi m ritell n puoliryhm, monoidi ja Abelin ryhm eli kommutatiivinen ryhm. Ryhm n ja puoliryhm n k sitteiden m rittelyn j lkeen esitet n kolme lausetta, joiden avulla voidaan todeta, onko puoliryhm ryhm. Ty n loppupuolella m ritell n ryhm n kertaluku, alkion potenssi ja alkion kertaluku. Lopuksi esitet n alkion kertalukuun liittyv lause. Lukijalta edellytet n k sitteen suurin yhteinen tekij sek jakoalgoritmin tuntemisen lis ksi perustietoja joukoista, relaatioista, kuvauksista ja laskutoimituksista (engl. binary operations). T m n ty n luvussa 1 on esitetty luettelonomaisesti ryhm k sittelev n tarkastelun kannalta keskeisi relaatioita, kuvauksia ja laskutoimituksia koskevia m ritelmi, lauseita ja esimerkkej. Tarvittaessa lukija voi perehty edell lueteltuihin esitietoina edellytettyihin asioihin luvussa 1 esitetty paremmin kirjan Fundamentals of Abstract Algebra [5] sivuilta T ss ty ss seurataan p osin kirjan Fundamentals of Abstract Algebra [5] esityst. Kirjan esityksest on poikettu niiss kohdin, miss sen on katsottu olevan tarkoituksenmukaista.

2 TAMPEREEN YLIOPISTO Matematiikan pro gradu -ty Marko Vehmas Ryhmien perusominaisuuksista Matematiikan, tilastotieteen ja losoan laitos Matematiikka Huhtikuu 2002

3 Sis lt Johdanto 1 1 Relaatio, kuvaus, laskutoimitus Bin rirelaation m ritelm Ekvivalenssirelaatio ja kongruenssi Ekvivalenssiluokka Ekvivalenssirelaation ja joukon osituksen yhteys Kuvaus ja laskutoimitus Ryhmien perusominaisuuksia Ryhm n m ritelm Joitakin perusominaisuuksia Puoliryhm vai ryhm? Potenssi Ryhm n kertaluku ja alkion kertaluku Viitteet 22

4 Johdanto T m n ty n luvussa 2 perehdyt n abstraktin algebran keskeiseen k sitteeseen ryhm n ja joihinkin sen perusominaisuuksiin. Ryhm on ep tyhj n joukon sek laskutoimituksen muodostama tietyt ehdot toteuttava algebrallinen struktuuri. Ryhm n lis ksi m ritell n puoliryhm, monoidi ja Abelin ryhm eli kommutatiivinen ryhm. Ryhm n ja puoliryhm n k sitteiden m rittelyn j lkeen esitet n kolme lausetta, joiden avulla voidaan todeta, onko puoliryhm ryhm. Ty n loppupuolella m ritell n ryhm n kertaluku, alkion potenssi ja alkion kertaluku. Lopuksi esitet n alkion kertalukuun liittyv lause. Lukijalta edellytet n k sitteen suurin yhteinen tekij sek jakoalgoritmin tuntemisen lis ksi perustietoja joukoista, relaatioista, kuvauksista ja laskutoimituksista (engl. binary operations). T m n ty n luvussa 1 on esitetty luettelonomaisesti ryhm k sittelev n tarkastelun kannalta keskeisi relaatioita, kuvauksia ja laskutoimituksia koskevia m ritelmi, lauseita ja esimerkkej. Tarvittaessa lukija voi perehty edell lueteltuihin esitietoina edellytettyihin asioihin luvussa 1 esitetty paremmin kirjan Fundamentals of Abstract Algebra [5] sivuilta Ennen nykyisen m ritelm n esitt mist ryhm n k sitteen kehittymiseen ovat vaikuttaneet lukuisat merkitt v t matemaatikot, kuten Joseph Louis Lagrange ( ), saksalainen Carl Friedrich Gauss ( ), ranskalainen A. Cauchy ( ), ranskalainen Evariste Galois ( ), Arthur Cayley ( ), Felix Klein ( ) ja Sophus Lie. Nykyisen m ritelm n esittiv t vuonna 1882 Heinrich Weber ( ) ja Felix Kleinin kanssa ty skennellyt Walter von Dyck ( ). Ryhm teoriaa k ytet n esimerkiksi fysiikassa ja kemiassa (kristallograa, spektroskopia, yleinen suhteellisuusteoria, molekyyliv r htelyt, molekyyliorbitaalit, kiinte n aineen fysiikka, alkeishiukkasteoria). (Ks. [1, s ], [2, s. 53], [5, s ] ja [7, s ]) T ss ty ss seurataan p osin kirjan Fundamentals of Abstract Algebra 1

5 [5] esityst. Kirjan esityksest on poikettu niiss kohdin, miss sen on katsottu olevan tarkoituksenmukaista. 1 Relaatio, kuvaus, laskutoimitus T ss luvussa on esitetty luettelonomaisesti luvussa 2 tapahtuvan ryhm k sittelev n tarkastelun kannalta keskeisi relaatioita, kuvauksia ja laskutoimituksia koskevia m ritelmi, lauseita ja esimerkkej. 1.1 Bin rirelaation m ritelm M ritelm (ks. [5, s. 21]) Bin rirelaatio R joukosta A joukkoon B on tulojoukon A B osajoukko. Bin rirelaatiota R voidaan kutsua lyhyemmin relaatioksi R. Olkoon R relaatio joukosta A joukkoon B. Olkoon x joukon A alkio ja y joukon B alkio. Jos (x y) 2 R, niinvoimme merkit joko xry tai R(x) =y. T ll in sanomme relaation R liitt v n alkion x alkioon y. Voimme my s sanoa alkioiden x ja y olevan kesken n relaatiossa R. Jos on ilmeist, mist relaatiosta kulloinkin on kysymys, voidaan relaation nimi, esimerkiksi R, j tt lausumatta. Jos A = B, niin sanomme relaation R olevan joukossa A m ritelty relaatio. (Ks. [5, s. 21]) M ritelm (ks. [5, s. 21]) Olkoon R relaatio joukosta A joukkoon B. T ll in relaation R m rittelyjoukko on f x j x 2 A ja on olemassa sellainen y 2 B, ett (x y) 2 R g. Sit merkit n symbolilla D(R). Relaation R arvojoukko on f y j y 2 B ja on olemassa sellainen x 2 A, ett (x y) 2 R g ja sit merkit n symbolilla I(R). Kyseist arvojoukkoa voidaan kutsua my s relaation R kuvaksi. 2

6 1.2 Ekvivalenssirelaatio ja kongruenssi M ritelm (ks. [5, s. 22]) Olkoon R relaatio joukossa A. Relaatio R on (i) reeksiivinen, jos xrx aina, kun x 2 A, (ii) symmetrinen, jos ominaisuudesta xry seuraa ominaisuus yrx aina, kun x y 2 A, (iii) transitiivinen, jos ominaisuuksista xry ja yrz seuraa ominaisuus xrz aina, kun x y z 2 A. M ritelm (ks. [5, s. 22]) Relaatiota E joukossa A sanotaan ekvivalenssirelaatioksi joukossa A, jos E on reeksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen. Esimerkki (ks. [5, s. 2223]) Olkoon n jokin positiivinen kokonaisluku. M ritell n joukossa Z relaatio n seuraavasti: jokaiselle x y 2 Z on voimassa x n y, jos ja vain jos nj(x ; y). Merkint nj(x ; y) tarkoittaa, ett on olemassa sellainen kokonaisluku k, ett x ; y = nk. Osoitetaan, ett n on ekvivalenssirelaatio joukossa Z. (i) Jokaiselle kokonaisluvulle x on voimassa x ; x = 0=0n. Siis x n x aina, kun x 2 Z. T ten n on reeksiivinen. (ii) Valitaan mielivaltaiset kokonaisluvut x ja y. Oletetaan, ett x n y. On siis olemassa sellainen kokonaisluku q, ett qn = x ; y. T ll in (;q)n = y ; x eli nj(y ; x). Siis y n x. N in ollen n on symmetrinen. (iii) Valitaan mielivaltaiset kokonaisluvut x y ja z. Oletetaan, ett x n y ja y n z. T ll in on olemassa sellaiset kokonaisluvut q ja r, ett qn = x ; y ja rn = y ; z. Siis (q + r)n = x ; z, miss q + r 2 Z. T m merkitsee, ett x n z. Siis n on transitiivinen. M ritelm n perusteella n on ekvivalenssirelaatio joukossa Z. M ritelty relaatiota n sanotaan relaatioksi kongruenssi modulo n. 3

7 1.3 Ekvivalenssiluokka M ritelm (vrt. [5, s. 23]) Olkoon E ekvivalenssirelaatio joukossa A ja olkoon x joukon A alkio. K ytet n merkint [x] joukolle [x] =fy 2 A j yex g. Joukko [x] on ekvivalenssiluokka, jonka m r v t relaatio E ja alkio x 2 A. Seuraava lause esittelee joitakin ekvivalenssiluokkien perusominaisuuksia. Lause (ks. [5, s. 23]) Olkoon E ekvivalenssirelaatio joukossa A. Silloin (i) [x] 6= aina, kun x 2 A, (ii) jos y 2 [x], niin [x] =[y], miss x y 2 A, (iii) [x] =[y] tai [x] \ [y] = aina, kun x y 2 A, (iv) A = [ x2a [x] eli kaikkien ekvivalenssiluokkien unioni on joukko A. Todistus (ks. [5, s. 23]) 1.4 Ekvivalenssirelaation ja joukon osituksen yhteys M ritelm (ks. [5, s. 23]) Olkoon A joukko ja olkoon P joukko, jonka alkioina ovat joukon A ep tyhj t osajoukot. Joukkoa P sanotaan joukon A ositukseksi, jos seuraavat ehdot toteutuvat: (i) B = C tai B \ C = aina, kun B C 2 P, (ii) A = [ B2PB. Toisin sanoen, jos P on joukon A ositus, niin seuraavat kolme ehtoa ovat voimassa: (i) B A aina, kun B 2 P, eli kaikki joukon P alkiot ovat joukon A osajoukkoja, (ii) tarkasteltaessa kahta joukon P alkiota ne ovat kesken n joko samat tai erilliset, (iii) unioni joukon P alkioista on joukko A. (Ks. [5, s. 24]) 4

8 Lause (vrt. [5, s. 24]) Olkoon E ekvivalenssirelaatio joukossa A. T ll in P = f [x] j x 2 A g on joukon A ositus. Todistus. Lause on suora seuraus lauseesta ja m ritelm st Esimerkki (vrt. [5, s. 24]) Tarkastellaan esimerkiss m ritelty ekvivalenssirelaatiota n. Olkoon Z n = f [x] j x 2 Z g. Lauseen perusteella Z n on joukon Z ositus. Olkoon n =6. Osoitetaan, ett Z 6 = f[0] [1] [2] [3] [4] [5]g ja [i] =f0 +i 6 +i 12 + i :::g = f 6q + i j q 2 Z g aina, kun i 2 Z. Olkoon 0 a < b < 6. Tehd n oletus, ett [a] = [b]. Nyt a 2 [b] eli a 6 b ja siten 6j(a ; b). Mutta t m on ristiriita, koska 0 <a; b<6. Siis ekvivalenssiluokat [0] [1] [2] [3] [4] [5] ovat erilliset. Osoitetaan, ettei ole olemassa muita ekvivalenssiluokkia. Valitaan mielivaltainen kokonaisluku k. Jakoalgoritmin perusteella on olemassa sellaiset kokonaisluvut q ja 0 r<6, ett k =6q + r (ks. tarvittaessa [5, s. 10]). Siis k ;r =6q ja siten 6j(k ;r).nytk 6 r, joten [k] =[r]. Koska 0 r<6, niin [r] 2 f[0] [1] [2] [3] [4] [5]g. N in ollen [k] 2 f[0] [1] [2] [3] [4] [5]g, joten Z 6 = f[0] [1] [2] [3] [4] [5]g. Valitaan mielivaltainen kokonaisluku i. Nytx 2 [i], jos ja vain jos 6j(x;i). Siis x 2 [i], jos ja vain jos on olemassa sellainen kokonaisluku q, ett 6q = x ; i, joten x 2 [i], jos ja vain jos on olemassa sellainen kokonaisluku q, ett x =6q + i. N in ollen [i] =f0 +i 6 +i 12 + i : : : g = f 6q + i j q 2 Z g 5

9 aina, kun i 2 Z. T ten [i] =[6q + i], miss i =0 1 ::: 5 ja q 2 Z. Siis a) kun i =0, niin [0] = [6] = [12] = =[;6] = [;12] = ::: b) kun i =1, niin [1] = [7] = [13] = =[;5] = [;11] = ::: c) kun i =2, niin [2] = [8] = [14] = =[;4] = [;10] = ::: d) kun i =3, niin [3] = [9] = [15] = =[;3] = [;9] = ::: e) kun i =4, niin [4] = [10] = [16] = =[;2]=[;8] = ::: f) kun i =5, niin [5] = [11] = [17] = =[;1]=[;7] = ::: 1.5 Kuvaus ja laskutoimitus M ritelm (ks. [5, s. 40]) Olkoot A ja B ep tyhji joukkoja. Relaatiota f joukosta A joukkoon B sanotaan kuvaukseksi (tai funktioksi) joukolta A joukkoon B, jos (i) D(f )=A ja (ii) ominaisuudesta x = x 0 seuraa ominaisuus y = y 0 aina, kun (x y) (x 0 y 0 ) 2 f. Kuvaukselle f joukolta A joukkoon B k ytet n merkint f : A! B. Merkinn n (x y) 2 f sijaan k ytet n usein merkint f (x) = y. Alkiota y sanotaan alkion x kuvaksi ja alkiota x alkion y alkukuvaksi (ks. [6, s. 91]). Kohta (ii) tarkoittaa, ett jokaisen alkion x 2 A kuva y 2 B on yksik sitteinen (ks. [7, s. 20]). (Vrt. [5, s.40]) M ritelm (vrt. [5, s. 52] ja [3]) Olkoon S ep tyhj joukko. Kuvausta tulojoukolta S S joukkoon S sanotaan laskutoimitukseksi (tai bin rioperaatioksi) joukossa S ja sit merkit n symbolilla. Laskutoimitus joukossa S liitt joukon S alkioista x ja y muodostetun j rjestetyn parin (x y) t sm lleen yhteen joukon S alkioon. T lle alkiolle k ytet n merkint xy (kuvauksen merkint j k ytt en olisi (x y)). (Vrt. [5, s. 52]) 6

10 M ritelm (vrt. [5, s. 52] ja [3]) Olkoon S ep tyhj joukko ja olkoon laskutoimitus joukossa S. T ll in j rjestetty paria (S ) sanotaan (yhden laskutoimituksen) algebralliseksi struktuuriksi. M ritelm (ks. [5, s. 52] ja [3]) Olkoon (S ) algebrallinen struktuuri. Laskutoimituksen sanotaan olevan (i) liit nn inen (eli assosiatiivinen), jos x (y z) =(x y) z aina, kun x y z 2 S, (ii) vaihdannainen (eli kommutatiivinen), jos x y = y x aina, kun x y 2 S. M ritelm (ks. [5, s. 53] ja [3]) Alkio e 2 S on algebrallisen struktuurin (S ) neutraalialkio, jos e x = x = x e aina, kun x 2 S. Esimerkki (ks. [5, s. 53]) Olkoon S = fe a bg. M ritell n laskutoimitus joukossa S kertotaulun avulla. Nyt e a = a = a e, e a b e e a b a a b e b b e a e b = b = b e ja e e = e = e e, joten e on algebrallisen struktuurin (S ) neutraalialkio. 7

11 2 Ryhmien perusominaisuuksia T ss luvussa perehdyt n ryhm n k sitteeseen ja joihinkin sen perusominaisuuksiin. 2.1 Ryhm n m ritelm Olkoon S = ff j f : A! Ag. T ll in (i) kuvausten f g 2 S yhdist minen,, yhdistetyksi kuvaukseksi f g on laskutoimitus joukossa S (ks. [3]), (ii) f (g h) =(f g) h aina, kun f g h 2 S, (iii) on olemassa sellainen i 2 S, ett f i = f = i f aina, kun f 2 S, (iv) jokaista alkiota f 2 S kohti on olemassa sellainen alkio f ;1 f f ;1 = i = f ;1 f. 2 S, ett N m ominaisuudet johtavat seuraavassa esitett v n ryhm n k sitteen m ritelm n. (ks. [5, s. 58]) M ritelm (ks. [5, s. 58]) Olkoon G ep tyhj joukko ja olkoon laskutoimitus kyseisess joukossa. J rjestetty paria (G ) nimitet n ryhm ksi, jos seuraavat ehdot toteutuvat: (G1) a (b c) =(a b) c aina, kun a b c 2 G (liit nt laki), (G2) on olemassa sellainen e 2 G, ett a e = a = e a aina, kun a 2 G (neutraalialkion olemassaolo), (G3) jokaista alkiota a 2 G kohti on olemassa sellainen b 2 G, ett a b = e = b a (k nteisalkion olemassaolo). Ryhm on aksioomat G1 G3 toteuttava algebrallinen struktuuri. Seuraava lause ilmaisee kaksi ryhm koskevaa t rke ominaisuutta. (Ks. [5, s. 58]) 8

12 Lause (ks. [5, s. 58]) Olkoon (G ) ryhm. Silloin (i) on olemassa sellainen yksik sitteinen alkio e 2 G, ett e a = a = a e aina, kun a 2 G, (ii) jokaista alkiota a 2 G kohti on olemassa sellainen yksik sitteinen b 2 G, ett a b = e = b a. Todistus (vrt. [5, s. 58, 54, osin virheellinen]) (i) Aksiooman G2 perusteella on olemassa sellainen e 2 G, ett e a = a = a e aina, kun a 2 G. Osoitetaan t m n alkion olevan yksik sitteinen. Oletetaan, ett on olemassa my s toinen alkio f 2 G, jolla on ominaisuus f a = a = a f aina, kun a 2 G. Koska e a = a aina, kun a 2 G, niin my s alkiolle f 2 G on e f = f. (1) Koska a f = a aina, kun a 2 G, niin my s alkiolle e 2 G on e f = e. (2) Yht l iden 1 ja 2 perusteella e = f, joten e on yksik sitteinen. (ii) Olkoon a joukon G alkio. Aksiooman G3 perusteella on olemassa sellainen b 2 G, ett a b = e = b a. Osoitetaan t m n alkion olevan yksik sitteinen. Oletetaan, ett on olemassa sellainen c 2 G, ett a c = e = c a. Nyt Siis b on yksik sitteinen. b = b e = b (a c) (e = a c) = (b a) c ( liit nn inen) = e c (b a = e) = c. Aksiooman G2 mukaista yksik sitteist alkiota e sanotaan ryhm n (G ) neutraalialkioksi. Olkoon a 2 G. Aksiooman G3 mukaista yksik sitteist alkiota b sanotaan alkion a k nteisalkioksi ja sit merkit n symbolilla a ;1. (Ks. [5, s. 59]) 9

13 M ritelm (vrt. [5, s. 59]) Jos ryhm n (G ) laskutoimitus on vaihdannainen eli kommutatiivinen, niin ryhm sanotaan Abelin ryhm ksi tai kommutatiiviseksi ryhm ksi. Norjalainen matemaatikko Niels Henrik Abel ( ) on saanut nimens kuvaamaan kommutatiivista ryhm (ks. [2, s. 54]). Jos (G ) ei ole kommutatiivinen, sit sanotaan ei-kommutatiiviseksi ryhm ksi (ks. [5, s. 59]). Esimerkki (vrt. [5, s. 59]) Tarkastellaan muodostaako kokonaislukujen joukko Z yhdess tavanomaisen yhteenlaskun + kanssa ryhm n (Z +). Tiedet n, ett + on liit nn inen eli G1 toteutuu. Nyt 0 on kokonaisluku ja a +0 = 0 = 0+a aina, kun a 2 Z, joten 0 on algebrallisen strukruurin (Z +) neutraalialkio. Siis G2 toteutuu. Jokaista alkiota a 2 Z kohti on olemassa alkio ;a 2 Z niin, ett a +(;a) =0=(;a) +a, joten ;a on alkion a k nteisalkio. My s G3 toteutuu, joten (Z +) on ryhm. Koska lis ksi a + b = b + a aina, kun a b 2 Z, niin+ on vaihdannainen ja (Z +) on Abelin ryhm. Samaan tapaan voidaan osoittaa, ett Abelin ryhmi ovat (Q +), (R +), (C +), (Q nf0g ), (Rnf0g ) ja (C nf0g ), miss + on tavallinen yhteenlasku ja tavallinen kertolasku. Ryhmien (Q nf0g ) (R nf0g ) ja (Q nf0g ) neutraalialkio on 1. Esimerkki (ks. [5, s. 59]) Olkoon a jokin kokonaisluku. Olkoon G = fna j n 2 Zg ja olkoon + tavallinen yhteenlasku. Silloin (G +) on Abelin ryhm. Carl Friedrich Gaussin ty tuotti monia uusia suuntia Abelin ryhmien tutkimuksessa. Seuraava esimerkki on Gaussin ty n seurausta. (Ks. [5, s. 59]) 10

14 Esimerkki (vrt. [5, s ]) Tarkastellaan esimerkeiss ja m ritelty joukkoa Z n. M ritell n laskutoimitus + n joukossa Z n s nn ll [a] + n [b] =[a + b] aina, kun [a] [b] 2 Z n. Osoitetaan, ett (Z n + n ) on Abelin ryhm. Osoitetaan aluksi, ett + n on laskutoimitus. Olkoot [a] [b] [c] [d] 2 Z n. On osoitettava, ett jos ([a] [b]) = ([c] [d]), niin[a + b] =[c + d]. On siis osoitettava, ett jos [a] =[c] ja [b] =[d], niin [a + b] = [c + d]. Oletetaan, ett [a] = [c] ja [b] = [d]. Koska [a] = [c], niin a n c eli nj(a ; c), ja koska [b] =[d], niin b n d eli nj(b ; d). Siis on olemassa sellaiset kokonaisluvut s ja t, ett ns = a ; c ja nt = b ; d. Nyt n(s + t) =((a + b) ; (c + d)), joten nj((a + b) ; (c + d)). Siisa + b n c + d ja siten [a + b] =[c + d]. N in ollen kuva [a + b] on yksik sitteinen, joten + n on laskutoimitus joukossa Z n. Osoitetaan, ett (Z n + n ) on ryhm. Nyt ([a] + n [b]) + n [c] = [a + b] + n [c] = [(a + b) +c] = [a +(b + c)] = [a] + n [b + c] = [a] + n ([b] + n [c]) aina, kun [a] [b] [c] 2 Z n. Siis + n on liit nn inen. Selv sti [0] 2 Z n ja [a]+ n [0] = [a +0] = [a] =[0+a] = [0] + n [a] aina, kun [a] 2 Z n, joten [0] on neutraalialkio. Osoitetaan k nteisalkion olemassaolo. Nyt [;a] 2 Z n ja [a] + n [;a] = [a +(;a)] = [0] = [;a + a] = [;a] + n [a] aina, kun [a] 2 Z n. Siis [;a] on alkion [a] k nteisalkio. Aksioomat G1 G3 toteutuvat, joten (Z n + n ) on ryhm. Koska [a] + n [b] = [a + b] = [b + a] = [b] + n [a] aina, kun [a] [b] 2 Z n, niin + n on vaihdannainen. T ten (Z n + n ) on Abelin ryhm. 11

15 Esimerkki (ks. [5, s. 61]) Olkoon p p Q [ 2] = fa + b 2 j a b 2 Qg. p p T ll in (Q [ 2] +) ja (Q [ 2] nf0g ), miss + on tavallinen yhteenlasku ja p tavallinen kertolasku, ovat Abelin ryhmi. Ryhm n (Q [ 2] +) neutraalialkio on eli 0 ja alkion p p p a + b 2 k nteisalkio on ;a +(;b) 2. p p Ryhm n (Q [ 2]nf0g ) neutraalialkio on eli 1 ja alkion p a + b 2 6= 0 k nteisalkio on a a 2 ; 2b ; b p 2. 2 a 2 ; 2b Joitakin perusominaisuuksia Seuraavissa lauseissa esitet n joitakin ryhm n perusominaisuuksia. Lause (vrt. [5, s. 62]) Olkoon (G ) ryhm. T ll in (i) (a ;1 ) ;1 = a aina, kun a 2 G, (ii)(a b) ;1 = b ;1 a ;1 aina, kun a b 2 G, (iii) (Supistuss nt (vrt. [7, s. 53])) jos a c = b c tai c a = c b, niin a = b aina, kun a b c 2 G. Todistus (vrt. [5, s. 63]) (i) Olkoon a joukon G alkio. Nyt a ;1 a = e = a a ;1, joten a on alkion a ;1 k nteisalkio. Koska ryhm n k nteisalkio on yksik sitteinen (lause 2.1.2) ja alkion a ;1 k nteisalkiota merkit n symbolilla (a ;1 ) ;1, niin (a ;1 ) ;1 = a. (ii) Olkoot a ja b joukon G alkioita. T ll in (a b) (b ;1 a ;1 ) = ((a b) b ;1 ) a ;1 = (a (b b ;1 )) a ;1 = (a e) a ;1 = a a ;1 = e. Vastaavasti voidaan todeta, ett (b ;1 a ;1 ) (a b) = e. T ten b ;1 a ;1 on alkion a b k nteisalkio. Koska ryhm n k nteisalkio on yksik sitteinen, niin (a b) ;1 = b ;1 a ;1. 12

16 (iii) Olkoot a,b ja c joukon G alkioita. Oletetaan, ett a c = b c. Koska laskutoimitus liitt joukon G kaksi alkiota yksik sitteisesti kolmanteen joukon G alkioon (tarvittaessa ks. m r ja m r ), niin yht l n molemmille puolille voidaan suorittaa oikealta puolelta laskutoimitus alkiolla c ;1. T ll in saadaan (a c) c ;1 = (b c) c ;1. Nyt (a c) c ;1 = a (c c ;1 )=ae = a ja (b c) c ;1 = b (c c ;1 )=be = b, joten a = b. Vastaavasti voidaan osoittaa ominaisuudesta c a = c b seuraavan ominaisuuden a = b. Seuraus (ks. [5, s. 63]) Olkoon (G ) ryhm ja olkoon a joukon G alkio. Jos a a = a, niin a = e. Todistus (vrt. [5, s.63])olkoon aa = a. Koska a = ae, niinaa = ae. Supistuss nn n perusteella saadaan a = e. Lause (vrt. [5, s. 62] ja [8, s.75]) Olkoon (G ) ryhm. T ll in yht l ill a x = b ja y a = b on yksik sitteiset ratkaisut x y 2 G aina, kun a b 2 G. N m ratkaisut ovat x = a ;1 b ja y = b a ;1. Todistus (vrt. [1, s. 21]) Oletetaan, ett a x = b. Koska laskutoimitus on yksik sitteinen, yht l n molemmille puolille voidaan vasemmalta suorittaa laskutoimitus alkiolla a ;1, joka on alkion a yksik sitteinen k nteisalkio. T ll in saadaan oletuksen kanssa yht pit v yht l a ;1 (ax) =a ;1 b. Koska a ;1 (ax) =(a ;1 a)x = ex = x, niin x = a ;1 b. Samaan tapaan osoitetaan yht l n y a = b yksik sitteisen ratkaisun olevan y = b a ;1. Seuraus (ks. [5, s. 63]) Ryhm n (G ) alkioille muodostetussa laskutoimitustaulussa (tarvittaessa ks. esim ) kukin alkio esiintyy jokaisella rivill ja jokaisessa sarakkeessa t sm lleen kerran. 13

17 Todistus (vrt. [5, s. 64]) Olkoon b joukon G sellainen alkio, joka esiintyy kahdesti alkiolla a merkityll rivill. T ll in on olemassa sellaiset joukon G ei-samat alkiot u ja v, ett au = b ja av = b.yht l ll ax = b on siis kaksi eri ratkaisua u ja v. T m on ristiriidassa lauseen kanssa, joten sama alkio voi esiinty samalla rivill korkeintaan kerran. Koska lis ksi rivej ja alkioita on yht monta, t ytyy kunkin alkion esiinty kullakin rivill v hint n kerran. Siis jokainen joukon G alkio esiintyy jokaisella rivill t sm lleen kerran. Sarakkeiden kohdalla todistaminen suoritetaan samalla tavalla. 2.3 Puoliryhm vai ryhm? Jotta on voitu osoittaa tietyn joukon ja tietyn laskutoimituksen muodostavan yhdess ryhm n, on t ytynyt osoittaa m ritelm n aksioomien G1 G3olevan voimassa t lle algebralliselle struktuurille. Olisi kuitenkin eduksi, jos k ytett viss olisi yksinkertaisempia menetelmi todeta, onko tietty algebrallinen struktuuri ryhm vai ei. Osittain t st syyst otetaan k ytt n k sitteet puoliryhm ja monoidi. (Ks. [5, s. 65]) M ritelm (ks. [5, s. 65]) Olkoon S ep tyhj joukko ja olkoon liit nn inen laskutoimitus joukossa S. T ll in j rjestetty paria (S ) sanotaan puoliryhm ksi. M ritelm (ks. [3]) Puoliryhm (S ), jolla on neutraalialkio, sanotaan monoidiksi. Selv sti jokainen ryhm on sek puoliryhm ett monoidi. Puoliryhm ja monoidia sanotaan kommutatiiviseksi, jos on vaihdannainen eli a b = b a aina, kun a ja b ovat joukon S alkioita. Jos puoliryhm tai monoidi ei ole kommutatiivinen, sit sanotaan ei-kommutatiiviseksi. (Ks. [5, s.65]) Esimerkki (vrt. [5, s. 65]) Tarkastellaan positiivisten kokonaislukujen joukkoa N. Positiivisten kokonaislukujen yhteenlasku tuottaa yksik sitteisen 14

18 positiivisen kokonaisluvun, joten + on laskutoimitus joukossa N. Koska + on my s liit nn inen ja vaihdannainen, niin (N +) on kommutatiivinen puoliryhm. Esimerkki (ks. [5, s.66])olkoon joukossa X v hint n kaksi alkiota ja olkoon S 0 joukko, jonka alkioina ovat kaikki ei-injektiiviset kuvaukset f : X! X. T ll in (S 0 ) on ei-kommutatiivinen puoliryhm. Esimerkki (ks. [5, s. 66]) Olkoon X joukko ja olkoon P(X) joukon X potenssijoukko (tarvittaessa ks. [5, s. 8]). T ll in (P [) ja (P \) ovat kommutatiivisia monoideja. Monoidin (P [) neutraalialkio on tyhj joukko ja monoidin (P \) neutraalialkio on joukko X. Seuraavat kolme lausetta ilmaisevat v ltt m tt m t ja riitt v t ehdot sille, ett puoliryhm on ryhm. Lause (ks. [5, s. 66]) Puoliryhm (S ) on ryhm, jos ja vain jos (i) on olemassa sellainen e 2 S, ett e a = a aina, kun a 2 S, (ii) jokaista alkiota a 2 S kohti on olemassa sellainen b 2 S, ett b a = e. Todistus (vrt. [5, s. 66]) Oletetaan, ett (S ) on sellainen puoliryhm, joka toteuttaa ehdot i ja ii. Olkoon a jokin joukon S alkio. Ehdon ii perusteella on olemassa sellainen alkio b 2 S, ett b a = e. Samoin ehdon ii perusteella on olemassa sellainen alkio c 2 S, ett c b = e. Nyt Edelleen a = e a (ehdon i mukaan) = (c b) a (c b = e) = c (b a) ( liit nn inen) = c e (b a = e). a b = (c e) b (a = c e) = c (e b) ( liit nn inen) = c b (ehdon i perusteella) = e. 15

19 Koska lis ksi ehdon ii perusteella b a = e, niin a b = e = b a. Siis m ritelm n aksiooma G3 toteutuu. Osoitetaan seuraavaksi, ett aksiooma G2 toteutuu. Nyt a e = a (b a) (b a = e) = (a b) a ( liit nn inen) = e a (a b = e) = a (ehdon i mukaan). Koska lis ksi ehdon i mukaan e a = a, niin a e = a = e a, joten G2 toteutuu. Koska puoliryhm n laskutoimitus on liit nn inen, niin aksiooma G1 toteutuu. Siis (S ) on ryhm. Oletetaan sitten, ett (S ) on ryhm. T ll in aksioomasta G2 seuraa ehto i ja aksioomasta G3 seuraa ehto ii. Lause (ks. [5, s. 66]) Puoliryhm (S ) on ryhm, jos ja vain jos yht l ill a x = b ja y a = b on ratkaisut x y 2 S aina, kun a b 2 S. Todistus (vrt. [5, s. 66]) Oletetaan, ett yht l ill a x = b ja y a = b on ratkaisut x ja y joukossa S. Olkoon a joukosta S mielivaltaisesti valittu alkio. Tarkastellaan yht l y a = a. Oletuksen perusteella yht l ll y a = a on ratkaisu joukossa S. Merkit n t t ratkaisua kirjaimella u. T ll in u a = a. Olkoon b joukosta S mielivaltaisesti valittu alkio. Tarkastellaan yht l a x = b. Oletuksen perusteella yht l ll a x = b on ratkaisu joukossa S. Merkit n ratkaisua kirjaimella c. Siis a c = b. Nyt u b = u (a c) (b = a c) = (u a) c ( liit nn inen) = a c (u a = a) = b. Koska b valittiin mielivaltaisesti joukon S alkioiden joukosta, niin u b = b aina, kun b on joukon S alkio. T ten (S ) toteuttaa lauseen ehdon i. Tarkastellaan yht l y a = u, miss a ja u ovat kuten edell. Olkoon d yht l n ratkaisu, jolloin d a = u. Siis (S ) toteuttaa lauseen ehdon ii. Lauseen perusteella (S ) on ryhm. 16

20 Oletetaan sitten, ett (S ) on ryhm. Lauseen perusteella yht l ill a x = b ja y a = b on ratkaisut. M ritelm (vrt. [5, s. 68]). Ryhm, monoidia tai puoliryhm (S ) sanotaan relliseksi, jos joukko S on rellinen. Muutoin (S ) on ret n. Lause (vrt. [5, s. 67]) rellinen puoliryhm (S ) on ryhm, jos ja vain jos (S ) toteuttaa supistuss nn n (eli jos a c = b c tai c a = c b, niin a = b aina, kun a b c 2 S). Todistus (vrt. [5, s. 67] Olkoon (S ) rellinen puoliryhm, joka toteuttaa supistuss nn n. Olkoot a ja b joukon S alkioita. Osoitetaan, ett yht l ll a x = b on ratkaisu joukossa S. Olkoon S = fa 1 a 2 ::: a n g, miss mik n alkio ei esiinny kahdesti. Koska on laskutoimitus, niin a a i 2 S aina, kun i = 1 2 ::: n. T ten fa a 1 a a 2 ::: a a n g S. Oletetaan, ett a a i = a a j, miss i 6= j. Supistuss nn n perusteella a i = a j, mik on ristiriita, koska a i 6= a j. T ten joukon faa 1 aa 2 ::: aa n g alkioissa ei ole samoja alkiota. Joukoissa S ja fa a 1 a a 2 a a n g kummassakin on n alkiota, joten S = fa a 1 aa 2 ::: aa n g. Nyt b 2 S, joten edell esitetyn perusteella on olemassa sellainen a k 2 S, ett aa k = b.siisyht l ll ax = b on ratkaisu joukossa S. Vastaavasti osoitetaan, ett yht l ll y a = b on ratkaisu joukossa S. Lauseen perusteella (S ) on ryhm. Oletetaan sitten, ett (S ) on ryhm. Lauseen kohdan iii perusteella supistuss nt toteutuu. 17

21 2.4 Potenssi Olkoon (G ) ryhm ja olkoot a b ja c joukon G alkioita. T ll in liit nt lain perusteella a(bc) =(ab)c, joten voidaan m ritell abc = a(bc) = (ab)c. Seuraavassa lauseessa t m laajennetaan koskemaan mink tahansa kokoista rellist lauseketta a 1 a 2 a n. (Ks. [5, s. 64]) Lause (Yleistetty liit nt laki) (vrt. [1, s. 19]) Olkoon (G ) ryhm ja olkoot a 1 a 2 ::: a n joukon G alkioita. Lausekkeen a 1 a 2 a n arvo ei riipu siit, miss j rjestyksess laskutoimitukset suoritetaan. Todistus (vrt. [5, s. 64]) Osoitetaan lause todeksi induktion avulla. Liit nt lain perusteella v ite on tosi, kun n = 3. Oletetaan nyt, ett v ite on tosi kokonaisluvulla m, kun 3 m < n. Olkoot a 1 a 2 ::: a n joukon G alkioita. Olkoon (a 1 a t ) (a t+1 a n ) alkioista a 1 a 2 ::: a n (t ss j rjestyksess ) muodostettu lauseke. Nyt t < n. Kun t = n ; 1, niin (a 1 a 2 a t )a t+1 = a 1 a 2 a t a t+1,koska sulut eiv t muuta laskuj rjestyst. Merkit n ominaisuutta symbolilla?. Oletetaan, ett t<n; 1. T ll in (a 1 a t ) (a t+1 a n ) = (a 1 a t ) ((a t+1 a n;1 ) a n ) = ((a 1 a t ) (a t+1 a n;1 )) a n = (a 1 a 2 a n;1 ) a n = a 1 a 2 a n : Yht suuruusketjussa ensimm inen ja viimeinen yht suuruus perustuu ominaisuuteen?, toinen laskutoimituksen liit nn isyyteen ja kolmas induktiooletukseen. On osoitettu, ett v ite on tosi kokonaisluvulle n. Induktioperiaatteen mukaan lause on tosi. 18

22 M ritelm (vrt. [5, s. 67]) Olkoon (G ) ryhm. Olkoon a joukon G alkio ja olkoon n kokonaisluku. Alkion a potenssi a n lasketaan a n = 8 < : e, jos n =0, a a n;1, jos n>0, (a ;1 ) ;n, jos n<0. Negatiivinen potenssi voidaan laskea my s a n = (a ;n ) ;1, miss n < 0 (ks. [5, s. 67]). Kun laskutoimitus on yhteenlaskun kaltainen, k ytet n potenssin sijaan nimityst alkion a monikerta (ks. [3]). (Vrt. [5, s. 67]) M ritelm (vrt. [5, s. 67]) Olkoon (G +) ryhm, jossa + on yhteenlaskun kaltainen. Olkoon a joukon G alkio ja olkoon n kokonaisluku. Alkion a monikerta na lasketaan na = 8 < : 0, jos n =0, neutraalialkiota merkit n symbolilla 0, a +(n ; 1)a, jos n>0, (;n)(;a), jos n<0. Ryhm ss (Z ) monikerta 2[3] lasketaan 2[3] = [3] + 6 [3] = [6] = [0]. Merkint na ei tarkoita, ett alkioille n ja a suoritetaan kertolasku, koska ryhm ss (Z ) ei ole kertolaskua edes m ritelty. (Ks. [5, s. 67]) 2.5 Ryhm n kertaluku ja alkion kertaluku M ritelm (vrt. [5, s. 68] ja [4, s. 14]) rellisen ryhm n (G ) kertaluku on joukon G alkioiden lukum r ja sit merkit n symbolilla jgj. rett m n ryhm n kertaluku on ret n. Esimerkin perusteella jokaista positiivista kokonaislukua n kohti on olemassa rellinen Abelin ryhm, jonka kertaluku on n. rett mi ryhmi alettiin tarkastella paljolti sen johdosta, ett Felix Klein ja Sophus Lie k yttiv t ryhm n k sitett geometrian parissa. Esimerkkien 2.1.4, ja ryhm t ovat rett mi, joten niiden kertaluvut ovat rett mi. (Ks. [5, s. 68]) 19

23 Olkoon (G ) rellinen ryhm ja olkoon a joukon G alkio. T ll in a 2 = a a on joukon G alkio. Induktioperiaatteen avulla voidaan osoittaa, ett a m 2 G aina, kun m 1. N in ollen fa a 2 ::: a m :::g G. Koska G on rellinen, joukon fa a 2 ::: a m :::g alkioista joidenkin t ytyy olla samoja. Siis on olemassa sellaiset kokonaisluvut k ja l, ett a k = a l ja k>l. T ll in on oltava a k;l = e. Merkit n n = k;l. T ten on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku n, ett a n = e. My s rett m n ryhm n alkiolle a voi olla olemassa sellainen kokonaisluku n, ett a n = e. (Ks. [5, s. 68]) M ritelm (vrt. [5, s. 68] ja [4, s. 14]) Olkoon (G ) ryhm ja olkoon a joukon G alkio. Alkion a kertaluku on pienin sellainen positiivinen kokonaisluku n, ett a n = e. Jos sellaista kokonaislukua ei ole, alkion a kertaluku on ret n. Alkion a kertalukua merkit n symbolilla (a). Alkion kertaluku on hyvin t rke ryhm teoriassa. Alkion kertalukuun liittyv tieto kertoo siit, millaisesta ryhm st kulloinkin on kyse. (Ks. [5, s. 68]) Esimerkki (vrt. [5, s. 68]) Tarkastellaan ryhm (Z ). Ryhm n kertaluku jz 6 j =6. Alkioiden [0] [1] [2] [3] [4] [5] kertaluvut ovat Esimerkiksi 3[2] = [2] + 6 [2] + 6 [2] = [6] = [0]. Alkion [2] kertaluku on 3, koska se on pienin sellainen positiivinen kokonaisluku n, jolla n[3] = [0]. Olkoon (G ) ryhm ja olkoon a joukon G alkio. Jos (a) on ret n, niin alkion kertaluvun m ritelm n perusteella my s (a k ) on ret n aina, kun k 1. Toisin sanoen jos (a) on ret n, niin alkion a positiivisen potenssin kertaluku on ret n. Jos (a) on rellinen, niin alkion a potenssin a k kertaluku voidaan laskea seuraavan lauseen mukaisesti. Lauseessa k ytet n symbolia syt(t n) (engl. gcd(t n)), jolla merkit n kokonaislukujen t ja n suurinta yhteist tekij (tarvittaessa ks. [5, s. 11]). (Vrt. [5, s. 68]) 20

24 Lause (ks. [5, s ]) Olkoon (G ) ryhm ja olkoon a joukon G sellainen alkio, ett (a) =n. T ll in: (i) jos on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku m, ett a m = e, niin n on luvun m tekij, (ii) (a t n )= aina, kun t on positiivinen kokonaisluku. syt(t n) Todistus (Vrt. [5, s. 69]) (i) Jakoalgoritmin perusteella on olemassa sellaiset kokonaisluvut q ja r, ett m = nq + r, miss 0 r < n. T ll in a r = a m;nq = a m a ;nq = a m (a n ) ;q = e (e) ;q = e. Koska lis ksi n on pienin sellainen positiivinen kokonaisluku, ett a n = e, ja r<n, niin r =0. T ten m = nq eli n on luvun m tekij. (ii) Olkoon (a t ) = k. T ll in a kt = e. Kohdan i perusteella n on luvun kt tekij. N in ollen on olemassa sellainen kokonaisluku r, ett kt = nr. Olkoon syt(t n) =d. T ll in on olemassa sellaiset kokonaisluvut u ja v, ett t = du ja n = dv sek syt(u v) =1. T ten yht l kt = nr saadaan muotoon kdu = dvr ja edelleen muotoon ku = rv. N in ollen v on luvun ku tekij. Koska syt(u v) =1,niinv on luvun k tekij. N in ollen n d Nyt (a t ) n d = a ndu d = a nu =(a n ) u = e u = e. on luvun k tekij. Koska (a t ) = k, niin k on luvun n tekij. Nyt n d d luvun n tekij, joten d k = n. N in ollen d on luvun k tekij ja k on (a t )=k = n d = n syt(t n). 21

25 Viitteet [1] David S. Dummit, Richard M Foote, Abstract Algebra, Prentice- Hall International, New Jersey, [2] John B. Fraleigh, A rst course in abstract algebra, 6th ed., Addison-Wesley, [3] Pentti Haukkanen, Algebraa, luentomonisteen luonnos, [4] Mika Kurki, Ryhmist, Pro gradu -tutkielma, Tampereen yliopisto, Matematiikan, tilastotieteen ja losoan laitos, [5] D. S. Malik, John N. Mordeson, M. K. Sen, Fundamentals of Abstract Algebra, WCB/McGraw-Hill, [6] Jorma Merikoski, Ari Virtanen, Pertti Koivisto, Diskreetti matematiikka I, Tampereen yliopisto, Matemaattisten tieteiden laitos, B42, Tampere, [7] Tauno Mets nkyl, Marjatta N t nen, Algebra, Jyv skyl n yliopisto, Matematiikan laitos, Luentomoniste 44, Jyv skyl, [8] Thomas A. Whitelaw, Introduction to Abstract Algebra, 3th ed., Chapman & Hall/CRC,