HENRI RIIHIMÄKI VIRRANSIIRTOPITUUDEN MALLINTAMINEN VIRTAKONTAKTI- SUPRAJOHDE-LIITOKSESSA. Kandidaatintyö

Transkriptio

1 HENRI RIIHIMÄKI VIRRANSIIRTOPITUUDEN MALLINTAMINEN VIRTAKONTAKTI- SUPRAJOHDE-LIITOKSESSA Kandidaatintyö Tarkastajat: Aki Korpela Antti Stenvall Jätetty tarkastettavaksi

2 II TIIVISTELMÄ TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Sähkötekniikan koulutusohjelma HENRI RIIHIMÄKI: Virransiirtopituuden mallintaminen virtakontakti-suprajohdeliitoksessa Kandidaatintyö, 24 sivua, 3 liitesivua Huhtikuu 2009 Pääaine: Teknillinen matematiikka Tarkastajat: Aki Korpela, Antti Stenvall Avainsanat: virransiirtopituus, suprajohde, mallintaminen Suprajohtavan järjestelmän stabiilisuuden kannalta oleellista on tarkastella järjestelmässä kehittyvää lämpöä. Yksi mahdollisuus lämmön syntymiselle ovat resistiiviset häviöt. Niitä muodostuu muun muassa virtakontaktiliitoksissa, joissa suprajohteeseen siirrettävän virran on kuljettava resistiivisen kontaktin ja matriisimetallin läpi. Virransiirtotapahtuman aikana generoituvaa lämpötehoa voidaan arvioida, kun tunnetaan virtakontaktiliitoksen pituus. Työssä johdetaan lausekkeet matriisimetallin jännitteelle ja suprajohteen virralle. Lausekkeista saadaan kvalitatiivista tietoa virransiirtopituuteen vaikuttavista parametreista. Saaduista lausekkeista ratkaistaan edelleen virransiirtopituus sähkökenttäja virtakriteerien avulla. Ratkaisu on tehtävä numeerisesti, koska tarkkaa lauseketta virransiirtopituudelle ei pystytä määrittämään. Saatujen tulosten käyttöä stabiilisuuden kannalta sopivan kontaktipituuden arvioimiseksi esitellään esimerkinomaisesti.

3 III ALKUSANAT Tulevaa kandidaatintyötä miettiessäni esitin Aki Korpelalle toivomuksen matemaattisesti suuntautuneesta aiheesta. Aihe löytyi Joonas Järvelän ja Antti Stenvallin tutkimusten pohjalta. Haluan kiittää kaikkia kolmea sopivan haastavan työn tarjoamisesta. Joonakselle kiitokset kuvista ja saamastani avusta työtä tehdessä. Joonaksen diplomityö, johon liittyen tämä kandidaatintyö tehtiin, oli myös korvaamaton apu. Akia ja Anttia kiitän tarkasta ja kattavasta työn kommentoinnista. Keskustelut Antin kanssa saivat myös ajattelemaan uudella tarkkuudella sähköfysiikan ja -tekniikan perusasioita ja niiden käsittelyä työtä kirjoittaessani. Tampereella Henri Riihimäki

4 IV SISÄLLYS 1. Johdanto Virransiirron lyhyt esittely Teoriaa Virransiirto suprajohteissa Virransiirron mallintaminen ja virransiirtopituuden ratkaiseminen Tarvittavien yhtälöiden johtaminen Virransiirtopituuden selvittäminen johdetuista yhtälöistä Tulosten esittely Yhteenveto Lähteet A.Käytetyt MATLAB-koodit

5 V TERMIT JA SYMBOLIT CTL E CTL h con h m I I 0 I con I m I sc I CTL R b R c U 1 U 2 U con U m U sc w x ρ con ρ m ρ sc Current Transfer Length, virransiirtopituus sähkökenttäkriteeri virransiirtopituudelle virtakontaktin paksuus matriisikerroksen paksuus virta suprajohteeseen syötettävä virta virtakontaktissa kulkeva virta matriisimetallissa kulkeva virta suprajohdefilamentissa kulkeva virta virtakriteeri virransiirtopituudelle matriisin ja suprajohdefilamentin välisen reaktiokerroksen kontaktiresistanssi kontaktiresistanssi johtimen 1 potentiaali johtimen 2 potentiaali virtakontaktin potentiaali matriisin potentiaali suprajohteen potentiaali suprajohdenauhan leveys differentiaalinen kontaktimatka virtakontaktin resistiivisyys matriisin resistiivisyys suprajohteen resistiivisyys

6 1 1. JOHDANTO Virransiirrolla tarkoitetaan tässä työssä virran kulkeutumista materiaalista toiseen materiaaliliitoksessa esiintyvien kontaktiresistanssien läpi. Suprajohtavissa järjestelmissä virransiirtoa tapahtuu virtasyötön liitäntäpisteiden lisäksi myös suprajohdesuprajohde-liitoksissa. Näitä liitoksia muodostuu useita varsinkin käytettäessä HTSsuprajohteita, joiden yksikköpituudet ovat vielä tällä hetkellä korkeintaan muutaman kilometrin luokkaa [1, 3]. Tässä työssä keskitytään virransiirtoon normaalijohtavasta virtakontaktista suprajohteeseen. Tutkittaessa virransiirtoa suprajohteeseen täytyy huomioida myös suprajohdefilamenttien pinnalla mahdollisesti oleva reaktiokerros, joka muodostaa yhden resistiivisen kerroksen lisää filamenttiin syötettävän virran kulkureitille. Reaktiokerros muodostetaan suprajohteisiin, joissa suprajohdemateriaali reagoi matriisimetallin kanssa, esimerkkinä MgB 2. Kun tunnetaan matka, jolla virta siirtyy suprajohdefilamenttiin [2], voidaan arvioida edellä mainituissa resistansseissa virransiirron aikana generoituvaa lämpötehoa [3]. Virransiirto normaalijohtavasta virtakontaktista suprajohteeseen on täten yksi suprajohtavan järjestelmän stabiilisuussuunnitteluun vaikuttava seikka [2]. Tässä työssä muodostetaan matemaattinen malli virransiirtopituudelle tasavirtatilanteessa. Mallin avulla saadaan tietoa virransiirtopituuteen vaikuttavista parametreista. Mallin avulla voidaan myös arvioida virransiirrossa muodostuvaa lämpötehoa suunniteltaessa virtaterminaaleja [4, 3]. Mallinnusta on tehty TTY:llä aiemmin ja tämän työn tarkoituksena on myös tarkistaa näitä tuloksia. Luvussa 2 virransiirtoa esitellään hieman tarkemmin. Luvussa 3 rakennetaan matemaattinen malli virransiirtopituudelle. Luvussa 4 esitetään tällä mallilla tehtyjen simulointien tuloksia, analysoidaan johdettuja lausekkeita ja arvioidaan hieman liitoksessa generoituvaa lämpötehoa. Lopuksi luvussa 5 vedetään yhteen työn tärkeimmät johtopäätökset.

7 2 2. VIRRANSIIRRON LYHYT ESITTELY Tässä luvussa havainnollistetaan aluksi virransiirtoa ilmiönä periaatekuvan avulla. Tämän jälkeen esitellään muutamia erityispiirteitä, jotka täytyy huomioida tai jotka ilmenevät virransiirrossa suprajohteiden yhteydessä. 2.1 Teoriaa Kuvassa 2.1 on havainnollistettu virransiirtoa johtimesta 1 johtimeen 2 kontaktiresistanssin R c läpi. Kontaktiresistanssi voi aiheutua esimerkiksi johtimien yhteenjuottamisesta. Kuva 2.1: Periaatteellinen kuva virransiirtotapahtumasta johtimien 1 ja 2 välillä. Virta siirtyy johtimesta 1 johtimeen 2 kontaktiresistanssin R c läpi matkalla x. Johdin 1 on kuvassa kytketty korkeampaan potentiaaliin U 1, jolloin virta siis kulkee kuvan mukaisesti. Kirchhoffin virtalain mukaan johtimissa 1 ja 2 kulkee sama virta I virransiirtotapahtuman jälkeen. Kontaktiresistanssin R c kohdalla virta ei kuitenkaan heti liitosalueen alussa siirry kokonaisuudessaan johtimeen 2. Kuvaan merkityllä x:n pituisella osuudella voidaan arvioida potentiaalien U 1 ja U 2 pysyvän vakioina. Tällöin potentiaalieron U 1 U 2 johdosta pieni määrä virrasta siirtyy matkalla x kontaktiresistanssin läpi johtimeen 2 ja loput virrasta kulkee vielä johtimessa 1 [5, 6]. Seuraavalla x:n pituisella matkalla johtimessa 1 jäljellä olevasta virrasta siirtyy taas osa johtimeen 2. Tätä virran osittaista siirtymistä on kuvassa 2.1 havainnollistettu nuolien avulla [6]. Virransiirtopituuden x aikana virta siirtyy kokonaisuudessaan johtimeen 2 [2]. Virransiirtopituudelle käytetään julkaisuissa lyhennettä CTL englannin kielen sanoista Current Transfer Length, ja tätä lyhennettä

8 2. Virransiirron lyhyt esittely 3 käytetään tässäkin työssä. 2.2 Virransiirto suprajohteissa Siirrettäessä virtaa normaalijohteisesta virtakontaktista suprajohteeseen on virran kuljettava kontaktin ja suprajohteen välisen kontaktiresistanssin, matriisimetallin ja suprajohdefilamentin ympärillä olevan reaktiokerroksen läpi [3]. Niitä on esitelty kuvissa 2.2 ja 2.3. Näissä normaalijohtavissa alueissa syntyy resistiivisistä häviöistä suprajohtavan järjestelmän stabiilisuudelle haitallista lämpöä. Lämpöä muodostuu sitä suuremmassa tilavuudessa, mitä pidempi on virransiirtopituus [2, 6]. Toisaalta kontaktin pidentäminen pienentää liitoksen resistanssia ja siten lämmön generoitumista. Tarpeettoman pitkäksi tehty kontakti kuitenkin hukkaa materiaalia ja kasvattaa nykyään vielä kalliiden suprajohdejärjestelmien hintaa. Virransiirtopituuden tunteminen auttaa kustannusten ja stabiilisuuden kannalta optimaalisten liitosten suunnittelussa. Kuva 2.2: Suprajohdenauha on juotettu jykevään kupariliittimeen virran syöttämistä varten. Kuvassa on myös selkeästi nähtävissä kontaktiresistanssin aiheuttavaa juotosta.

9 2. Virransiirron lyhyt esittely 4 i Kuva 2.3: MgB 2 -suprajohdenauhan poikkileikkaus. Virran on kuljettava resistiivisen matriisimetallin läpi päästäkseen itse suprajohdefilamentteihin. Filamenttien ympärillä on lisäksi kontaktiresistanssia kasvattava reaktiokerros. Kerros muodostetaan valmistusvaiheessa estämään suprajohteen reagointi matriisimetallin kanssa. Yleisimmin MgB 2 - suprajohteilla kerros muodostetaan niobiumista tai tantaalista. [3]

10 5 3. VIRRANSIIRRON MALLINTAMINEN JA VIRRANSIIRTOPITUUDEN RATKAISEMINEN Tässä luvussa johdetaan tarvittavat yhtälöt virransiirtopituuden määrittämistä varten. Lähteessä [5] on annettu virransiirtopituudelle seuraava määritelmä: Virransiirtopituus on virtakontaktin alusta mitattu matka pisteeseen, jossa täyttyy valittu kriteeri. Kriteeriksi voidaan valita toinen seuraavista: (1) Matriisimetallin pinnalta mitattu sähkökenttä virransiirtopituuden kohdalla on haluttu E CTL >0. (2) Suprajohteessa kulkeva virta on haluttu osa syötetystä virrasta s.e. I CTL = Isc(CT L) I 0 [0, 1), missä I CTL on virtakriteeri, I sc (CT L) on suprajohteessa kulkeva virta virransiirtopituuden kohdalla ja I 0 on suprajohteeseen syötettävä virta. Tietyllä välillä oleva keskimääräinen sähkökenttä voidaan määrittää suprajohteen pinnalta mittaamalla jännitettä, joten kriteerin (1) toteutumista on mahdollista arvioida. Kriteerin (2) toteutumista on mittauksin hankala selvittää. Matriisimetallin jännitteelle U m ja suprajohteen virralle I sc johdetaan seuraavassa lausekkeet, joista voidaan ratkaista virransiirtopituus esitettyjen kriteerien avulla.

11 3. Virransiirron mallintaminen ja virransiirtopituuden ratkaiseminen Tarvittavien yhtälöiden johtaminen Kuvassa 3.1 on esitys mallinnustilanteen geometriasta. Siitä voidaan johtaa seuraavat mallinnuksessa tarvittavat yhtälöt U sc = 0 du sc = 0, (3.1) dx du con dx = ρ con h con w I con, (3.2) du m dx = ρ m h m w I m, (3.3) di con dx = w (U con U m ), R c (3.4) di sc dx = w U m, R b (3.5) I 0 = I con + I m + I sc x, (3.6) di m dx = di con dx di sc dx. (3.7) Kuva 3.1: Mallinnettavan tilanteen geometria. ρ con, ρ m ja ρ sc ovat virtakontaktin, matriisin ja suprajohteen resistiivisyydet. h con, h m ja h sc ovat kyseisten kerrosten paksuudet. R c ja R b ovat kontaktia ja reaktiokerrosta vastaavat kontaktiresistanssit (b=barrier). I 0 on suprajohteeseen syötettävä virta. x on lyhyt kontaktimatka.

12 3. Virransiirron mallintaminen ja virransiirtopituuden ratkaiseminen 7 Reunaehdot ovat lim I sc(x) = I 0 (3.8) x I sc (0) = 0 (3.9) I m (0) = 0 (3.10) lim U m(x) = 0 (3.11) x Katsotaan, kuinka yhtälöt (3.1)- (3.11) on johdettu. Suprajohteen resistiivisyys ρ sc on nolla. Suprajohteessa ei tällöin ole sähkökenttää, joten sen potentiaali on vakio. Täten suprajohde on valittu vertailupotentiaaliksi. Näistä saadaan suoraan yhtälö (3.1). Oletetaan kontaktin virran I con olevan matkalla x vakio. Virtakontaktissa tapahtuva jännitteenalenema on siten Ohmin lain mukaan x U con = R con I con = ρ con h con w I con, (3.12) missä U con on kontaktin potentiaali, w on suprajohdeteipin leveys ja R con, ρ con ja h con ovat kontaktin resistanssi, resistiivisyys ja paksuus. Jos nyt annetaan x 0, saamme differentiaaliyhtälön (3.2) virtakontaktin jännitteelle. Miinusmerkki seuraa jännitteen pienemisestä suurenevan x:n suunnassa, jolloin jännitteen derivaatta on tietenkin negatiivinen. Vastaavasti on johdettu yhtälö (3.3) matriisin jännitteelle. Oletetaan nyt potentiaalien U con ja U m olevan vakioita matkalla x. Kontaktin ja matriisin välinen potentiaali-ero kohdassa tällä matkalla on U con U m. Tämä aiheuttaa matkalla x pienen virtamäärän siirtymisen matriisiin kontaktiresistanssin R c läpi. Samalla kontaktissa kulkeva virta I con pienenee tällä määrällä. Jälleen Ohmin lain mukaan saadaan yhtälö I con = (U con U m ) w x R c. (3.13) Kertomien w x:llä johtuu kontaktiresistanssin yksiköstä Ωm 2. Jos taas annetaan x 0, saadaan differentiaaliyhtälö (3.4) virtakontaktin virralle. Miinusmerkki seuraa taas virran pienemisestä kontaktissa. Vastaavasti on johdettu (3.5) käyttäen yhtälöstä (3.1) tietoa, että suprajohteen potentiaali on U sc = 0. Suprajohteen virran I sc derivaatta on nyt positiivinen, koska virta kasvaa pisteestä x = 0 eteenpäin. Yhtälössä (3.6) on kirjoitettuna Kirchhoffin virtalaki ja yhtälö (3.7) on saatu tästä

13 3. Virransiirron mallintaminen ja virransiirtopituuden ratkaiseminen 8 derivoimalla. Ensimmäisen reunaehtoyhtälön mukaan x:n kasvaessa koko syötetty virta I 0 siirtyy kulkemaan suprajohteessa. Yhtälöiden (3.9) ja (3.10) mukaan pisteessä x = 0 syötetty virta kulkee vielä kokonaisuudessaan virtakontaktissa. Viimeinen reunaehtoyhtälö sanoo, että matriisin jännite katoaa x:n kasvaessa, koska matriisissa ei kulje virtaa yhtälön (3.8) mukaan. Nyt tarvittavat yhtälöt ja reunaehdot ovat koossa, joten voidaan lähteä johtamaan lausekkeita jännitteelle U m ja virralle I sc. Sijoittamalla yhtälöt (3.4) ja (3.5) yhtälöön (3.7) saadaan di m dx = U w con + U m R c ( wrc wrb ). (3.14) Derivoimalla (3.2) ja sijoittamalla tulokseen yhtälö (3.4) saadaan d 2 U con dx 2 = (U con U m ) ρ con h con R c. (3.15) Derivoidaan sitten (3.3) ja sijoitetaan tulokseen (3.14), jolloin saadaan d 2 U m dx 2 = ρ m U con ρ ) m h m R c h m w U m ( wrc wrb. (3.16) Siirtämällä termejä ja tekemällä mahdolliset supistukset saadaan yhtälö (3.16) muotoon U con = h mr c ρ m Derivoidaan tämä kahteen kertaan, jotta saadaan d 2 U con dx 2 = h mr c ρ m ( d 2 U m R ) c U dx 2 m. (3.17) R b ( d 4 U m R ) c d 2 U m dx 4 R b dx. (3.18) 2 Nyt voimme sijoittaa yhtälöt (3.17) ja (3.18) yhtälöön (3.15). Sieventämällä saadaan matriisin jännitteelle U m differentiaaliyhtälö d 4 U m dx 4 α d2 U m dx 2 + βu m = 0, (3.19) missä ρ m ρ m ρ con α = + + h m R c h m R b h con R c ρ m ρ con β =. h m h con R c R b ja (3.20) Yhtälö (3.19) voidaan ratkaista yritteellä U m = Ce rx. Käyttämällä sijoitusta k = r 2

14 3. Virransiirron mallintaminen ja virransiirtopituuden ratkaiseminen 9 karakteristinen yhtälö yksinkertaistuu muotoon k 2 αk + β = 0, (3.21) joka toteutuu vain, jos k = α 2 ± α 2 4 β. Juuriksi r i saadaan nyt ) 1 2 ( α α r 1 = β ( α α r 2 = β ( α α r 3 = β ( α α r 4 = β ) 1 2 ) 1 2 ) 1 2 (3.22) Ainoastaan negatiiviset juuret toteuttavat reunaehdon (3.11), joten matriisijännitteelle saadaan lauseke U m = C 3 e r 3x + C 4 e r 4x. (3.23) Seuraavaksi ratkaistaan tuntemattomat vakiot C 3 ja C 4 sekä virran I sc lauseke. Sijoittamalla (3.23) yhtälöihin (3.5) ja (3.3) saadaan di sc dx = w R b (C 3 e r 3x + C 4 e r 4x ) ja (3.24) I m = h mw ρ m (C 3 r 3 e r 3x + C 4 r 4 e r 4x ). (3.25) Integroimalla yhtälö (3.24) puolittain saadaan I sc :n lauseke: I sc = w R b (C 3 e r 3x r 3 + C 4 e r4x r 4 ) + K. (3.26) Käyttämällä reunaehtoa (3.8) ratkeaa integroimisvakion arvoksi K = I 0. Reunaehdon (3.10) ja yhtälön (3.25) avulla saadaan C 3 = C 4 r 4 r 3. (3.27) Käyttämällä vielä reunaehtoa (3.9) yhtälöön (3.26) saadaan I sc (0) = w R b ( C 4 r 4 r 3 1 r 3 + C 4 1 r 4 ) + I 0 = 0, (3.28)

15 3. Virransiirron mallintaminen ja virransiirtopituuden ratkaiseminen 10 josta vakion C 4 arvoksi voidaan ratkaista C 4 = R br 2 3r 4 I 0 w(r 2 4 r 2 3) (3.29) ja edelleen sijoittamalla tämä yhtälöön (3.27), saadaan vakion C 3 arvoksi C 3 = R br 3 r 2 4I 0 w(r 2 4 r 2 3). (3.30) Lopulliset lausekkeet, joista virransiirtopituus voidaan haluttua kriteeriä käyttäen ratkaista: U m (x) = R br 3 r 4 I 0 w(r 2 4 r 2 3) (r 3e r 4x r 4 e r 3x ), (3.31) I sc (x) = I 0 (r r4 2 r 3e 2 r4x r4e 2 r3x ) + I (3.32) 3.2 Virransiirtopituuden selvittäminen johdetuista yhtälöistä Virransiirtopituuden ratkaisemista varten yhtälö (3.31) on derivoitava, koska sähkökenttä matriisissa on E m (x) = dum. Tuloksena saadaan dx E m (x) = R br 2 4r 2 3I 0 w(r 2 4 r 2 3) (er 3x e r 4x ). (3.33) Nyt voidaan käyttää haluttua sähkökenttäkriteerin (1) arvoa: E m (CT L) = R br 2 4r 2 3I 0 w(r 2 4 r 2 3) (er 3CT L e r 4CT L ) = E CTL. (3.34) Yhtälöstä (3.34) ei voi kuitenkaan ratkaista virransiirtopituudelle tarkkaa lauseketta sähkökenttäkriteerin funktiona, joten muokataan se numeerista ratkaisua varten muotoon R b r 2 4r 2 3I 0 w(r 2 4 r 2 3) (er 3CT L e r 4CT L ) E CTL = 0. (3.35) Virtakriteerin käyttöä ajatellen I sc :n lauseke sijoitetaan kriteeriin (2). Jälleen saadaan yhtälö, joka on ratkaistava numeerisesti: 1 (r r4 2 r 3e 2 r 4CT L r4e 2 r 3CT L ) I 3 2 CTL + 1 = 0. (3.36) Luvussa 4 on esitetty huomioita yhtälöistä (3.35) ja (3.36) sekä simulointituloksia eri sähkökenttä- ja virtakriteerien arvoilla.

16 11 4. TULOSTEN ESITTELY Yhtälöistä (3.35) ja (3.36) ratkaistiin virransiirtopituus eri sähkökenttä- ja virtakriteerien arvoilla käyttäen MATLAB-ohjelmistoa. Käytetyt koodit ovat Liitteessä 1. Lausekkeissa esiintyvien parametrien arvot otettiin lähteestä [3] ja ne on koottu taulukkoon 4.1. Kuvassa 4.1 on sähkökenttäkriteerin mukaisten simulointien tuloksia eri syöttövirran I 0 arvoilla. Kuvassa 4.2 on virransiirtopituus esitetty eri virtakriteerien arvoilla. Taulukko 4.1: Simuloinneissa käytettyjen parametrien arvot. [3] ρ m 2.34e-9 nωm ρ con 0.17e-9 nωm h m 0.5 mm h con 0.5 mm w 3 mm R b µωmm 2 R c µωmm A I A 350 A E CTL µv/cm I CTL 0,9...1 Eksponentiaalista muotoa olevien yhtälöiden (3.35) ja (3.36) käyttäytyminen on suurimmalta osalta sidoksissa eksponentteihin r 3 CT L ja r 4 CT L. Jos esimerkiksi yhtälössä (3.35) kasvatetaan juuria r 3 ja r 4, voidaan virransiirtopituutta CTL saada pienemmäksi siten, että yhtälö (3.35) toteutuu. Lausekkeista (3.20) ja (3.22) havaitaan, että juurten r 3 ja r 4 kasvattaminen onnistuu pienentämällä paksuuksia h m ja h con sekä resistansseja R b ja R c, mikä on tietenkin aivan ilmeistä virran estotonta kulkua ajatellen. Täysin ilmeistä ei ole, että virransiirtopituutta on mahdollista pienentää kasvattamalla resistiivisyyksiä ρ m tai ρ con. Suurempi resistiivisyys tarkoittaa kuitenkin suurempaa jännitettä virtaa kuljettavassa materiaalissa. Jos siis kasvatetaan esimerkiksi virtakontaktin resistiivisyyttä, kasvaa myös kontaktista matriisiin matkalla x siirtyvän virran määrä yhtälön (3.4) mukaan. Matriisin resistiivisyyden kasvattaminen aiheuttaa samalla lailla virran nopeamman siirtymisen matriisista suprajohteeseen yhtälön (3.5) mukaan. Lyhyen virransiirtopituuden kannalta

17 4. Tulosten esittely 12 olisi siis edullista käyttää korkean resistiivisyyden omaavaa matriisimetallia. Toisaalta tämä aiheuttaa ongelmia tilanteissa, joissa virta siirtyy kulkemaan matriisissa suprajohteeseen syntyneen normaalialueen ohi. Lämmön generoitumisen kannalta pienempi resistiivisyys on myös aina edullisempi. Liitosten tarkka suunnittelu vaatii siten optimointia halutun liitospituuden ja sallitun lämmön muodostumisen välillä. Liitosten huolellinen suunnittelu kasvaa merkittävään osaan muun muassa suurien magneettien sisällä olevissa suprajohde-suprajohde-liitoksissa. Näitä liitoksia muodostuu suurissa magneeteissa helposti kymmeniä, jopa satoja, johtuen suprajohteiden pienistä yksikköpituuksista. Pitkät liitokset aiheuttavat epäideaalisuutta magneetin geometriaan ja siten kenttäprofiiliin. Esimerkiksi MRI-laitteissa homogeeninen magneettikenttä on välttämätöntä kuvantamisen onnistumiseksi [1]. Kuvaajien 4.1 ja 4.2 avulla voidaan arvioida kontaktipituutta suprajohteen stabiilisuuden näkökulmasta. Tässä tehdään vain esimerkinomaista arviointia. Tavallisesti sähkökenttäkriteerin arvona käytetään 1 µv/cm [1]. Tällä arvolla johtimessa kulkeva virta vastaa johtimen kriittistä virtaa. Kuvasta 4.1 nähdään, että sähkökenttäkriteerin 1 µv/cm saavuttaminen vaatii käytetyillä syöttövirran arvoilla melko pitkää, mm:n, kontaktipituutta. Toisaalta näillä pituuksilla yli 99% syöttövirrasta kulkee jo suprajohteessa (kuva 4.2). Tehohäviöitä voidaan arvioida lausekkeella P = U I. Virtakontaktin lyhentäminen joustamalla sähkökenttäkriteeristä ei välttämättä ole suprajohteen stabiilisuuden kannalta vielä haitallista. Esimerkiksi virtakriteerin arvolla 0,98 virransiirtopituus on 45 mm. Syöttövirralla 350 A tätä vastaava sähkökenttäkriteeri on noin 6 µv/cm. Senttimetrin matkalla syntyvä häviöteho on siten noin 40 µw, joka ei välttämättä vielä siirrä suprajohdetta normaalitilaan. Stabiilisuustarkastelussa on kuitenkin huomioitava koko virransiirtomatkalla tapahtuvat tehohäviöt.

18 4. Tulosten esittely 13 Kuva 4.1: Virransiirtopituus eri sähkökenttäkriteerin E CTL ja syöttövirran I 0 arvoilla

19 4. Tulosten esittely 14 i Kuva 4.2: Virransiirtopituus virtakriteerin funktiona

20 15 5. YHTEENVETO Virransiirtoa tapahtuu suprajohtavissa järjestelmissä normaalijohteisten virtakontaktien liitäntäpisteissä ja suprajohde-suprajohde-liitoksissa. Samalla virransiirto aiheuttaa resistiivisiä häviöitä liitosalueella. Liitosten huolellinen suunnittelu on siten oleellista järjestelmän stabiilisuuden kannalta. Liian pitkäksi tehdyt liitokset myös hukkaavat materiaalia ja nostavat jo valmiiksi kalliiden suprajohdejärjestelmien hintaa. Pitkät suprajohde-suprajohde-liitokset isoissa magneeteissa aiheuttavat myös magneettigeometriaan ja siten kenttäprofiiliin epäideaalisuutta. Tässä työssä mallinnettiin virransiirtoa normaalijohteisesta virtakontaktista suprajohteeseen. Mallinnuksen lähtökohtana olivat tilanteen geometria ja piirianalyysin peruslait, Kirchhoffin virtalaki ja Ohmin laki. Matriisimetallin jännitteelle ja suprajohteen virralle johdettiin lausekkeet kontaktin alkupisteestä mitatun etäisyyden funktiona. Johdetuista lausekkeista saatiin edelleen sähkökenttä- ja virtakriteerien avulla yhtälöt, joista voitiin määrittää virransiirtopituus. Yhtälöistä ei kuitenkaan pystynyt ratkaisemaan virransiirtopituudelle tarkkaa lauseketta. MATLAB- ohjelmistolla määritettiin virransiirtopituus kriteerien eri arvoilla. Simuloiduista yhtälöistä saatiin kvalitatiivista tietoa virransiirtoon vaikuttavista parametreista. Osoittautui, että virransiirtopituutta on mahdollista lyhentää muun muassa virtakontaktin tai matriisimetallin resistiivisyyttä kasvattamalla. Pieni resistiivisyys on kuitenkin lämmön generoitumisen kannalta aina paras vaihtoehto. Liitosten tarkka suunnittelu vaatii siten optimointia halutun liitospituuden ja sallitun lämmön muodostumisen välillä. Simulointitulosten perusteella voitiin esimerkinomaisesti arvioida stabiilisuuden kannalta turvallista kontaktipituutta. Matriisimetallin pinnalta mitattuna sähkökenttäkriteerin arvona käytetään tavallisesti 1 µv/cm. Simulointitulosten perusteella tämän saavuttaminen vaatii melko pitkää kontaktipituutta, mm riippuen suprajohteeseen syötettävän virran suuruudesta. Virtakriteerin mukaisista simuloinneista nähtiin kuitenkin, että näillä pituuksilla yli 99% syöttövirrasta kulkee jo suprajohteessa. Liitoksen lyhentäminen on siten mahdollista resistiivisten häviöiden kasvamatta liian suuriksi.

21 16 LÄHTEET [1] Mikkonen, R., Suprajohtavuus sähköverkossa, luentomoniste, syksy 2008, Tampereen teknillinen yliopisto, Sähkömagnetiikan laitos [2] Holúbek, T., Kováč, P. ja Huek, I., Relation between Current Transfer Length and Stability of Fe/MgB 2 and Fe/Nb/MgB 2 Conductors, ACTA PHYSICA POLONICA A, Vol.113(2008)No.1, pp [3] Järvelä, J., 2007, Experimental verification of thermal stability in MgB 2 superconductor, Diplomityö, Tampere, Tampereen teknillinen yliopisto, Sähkömagnetiikan laitos. [4] Shigue, C.Y., Baldan, C.A., Filho, E.R., Evaluation of current transfer in Bi 2223/Ag composite tapes, Physica C, (2004), pp [5] Stenvall, A., Korpela, A., Lehtonen, J. ja Mikkonen, R., Current transfer length revisited, Superconductor Science and Technology, 20(2007), pp [6] Dhalle, M., et al. Current Transfer Lengths in Multifilamentary Superconductors with Composite Sheath Materials, IEEE TRANSACTIONS ON APPLIED SUPERCONDUCTIVITY, Vol.9(1999)No.2, pp

22 17 A. KÄYTETYT MATLAB-KOODIT Virransiirtopituuden simuloinneissa käytetyt MATLAB-koodit: % % Virransiirtopituus käyttäen sähkökenttäkriteeriä % % Lausekkeissa esiintyvien vakioiden määrittelyt, yksiköt on muutettu % SI-yksiköiden mukaisiksi roo_m = 2.34e-9; roo_con = 0.17e-9; h_m = 0.5e-3; h_con = 0.5e-3; w = 3e-3; R_b = 31.54e-6*1e-6; R_c = e-6*1e-6; I_0 = 150; % Tässä työssä simuloitiin virran arvoilla 150A, 250A ja 350A alfa = roo_m/(h_m*r_c)+roo_m/(h_m*r_b)+roo_con/(h_con*r_c); beeta = (roo_m*roo_con)/(h_m*h_con*r_c*r_b); r3 = -(alfa/2+sqrt(alfa^2/4-beeta))^0.5; r4 = -(alfa/2-sqrt(alfa^2/4-beeta))^0.5; % Halutut sähkökenttäkriteerin arvot yksikössä uv/m E_CTL = linspace(0,6e-6*100,1000); % Ratkaistaan virransiirtopituus johdetusta lausekkeesta % nollanetsintäalgoritmilla, alkuarvaus 50mm for i=1:length(e_ctl) F_E=@(x)((R_b*r4^2*r3^2*I_0)/(w*(r4^2-r3^2)))*(exp(r3*x)-exp(r4*x))-E_CTL(i); CTL(i)=fzero(F_E,0.05);

23 A. Käytetyt MATLAB-koodit 18 end % Tulostetaan virransiirtopituus sähkökenttäkriteerin funktiona halutuilla % tulostusasetuksilla figure1 = figure( PaperSize,[ ]); axes( Parent,figure1, YGrid, on ); xlim([1e-007 6e-006]); ylim([0 90]); box( on ); hold( all ); % Piirretään sähkökenttäkriteeri yksikössä uv/cm ja virransiirtopituus % millimetreinä plot(e_ctl/100,1000*ctl, LineWidth,2, Color,[1 0 0]); xlabel({ E_{CTL} \muv/cm }, FontWeight, bold, FontSize,12,... FontName, Times New Roman ); ylabel({ CTL, mm }, FontWeight, bold, FontSize,12,... FontName, Times New Roman ); title( Virransiirtopituus sähkökenttäkriteerin funktiona, I_0 = 150 A,... FontWeight, bold,... FontSize,12,... FontName, Times New Roman ); % % Virransiirtopituus käyttäen virtakriteeriä % % Lausekkeissa esiintyvien vakioiden määrittelyt, yksiköt on muutettu % SI-yksiköiden mukaisiksi roo_m = 2.34e-9; roo_con = 0.17e-9; h_m = 0.5e-3; h_con = 0.5e-3; w = 3e-3; R_b = 31.54e-6*1e-6; R_c = e-6*1e-6; alfa = roo_m/(h_m*r_c)+roo_m/(h_m*r_b)+roo_con/(h_con*r_c); beeta = (roo_m*roo_con)/(h_m*h_con*r_c*r_b);

24 A. Käytetyt MATLAB-koodit 19 r3 = -(alfa/2+sqrt(alfa^2/4-beeta))^0.5; r4 = -(alfa/2-sqrt(alfa^2/4-beeta))^0.5; % Virtakriteerin arvot väliltä [0,9;1] I_CTL = linspace(0.9,1,1000); % Ratkaistaan virransiirtopituus johdetusta lausekkeesta % nollanetsintäalgoritmilla, alkuarvaus 50mm for i=1:length(i_ctl) F_I=@(x)(1/(r4^2-r3^2))*(r3^2*exp(r4*x)-r4^2*exp(r3*x))-I_CTL(i)+1; CTL(i)=fzero(F_I,0.05); end % Tulostetaan virransiirtopituus virtakriteerin funktiona halutuilla % tulostusasetuksilla figure1 = figure( PaperSize,[ ]); axes( Parent,figure1, YGrid, on ); xlim([ ]); ylim([0 100]); box( on ); hold( all ); % Piirretään virransiirtopituus millimetreinä plot(i_ctl,1000*ctl, LineWidth,2, Color,[1 0 0]); xlabel({ I_{CTL} I_{SC}/I_0 }, FontWeight, bold, FontSize,12,... FontName, Times New Roman ); ylabel({ CTL, mm }, FontWeight, bold, FontSize,12,... FontName, Times New Roman ); title( Virransiirtopituus virtakriteerin funktiona,... FontWeight, bold,... FontSize,12,... FontName, Times New Roman );