1.5 Polynomin jako alkutekijöihin

Transkriptio

1 1.5 Polyomi jako alkutekijöihi Käsky jakaa joki luku tai polyomi tekijöihi merkitsee sitä, että asiaomaie luku tai polyomi o esitettävä tulomuodossa. Astetta akarampi vaatimus jakaa alkutekijöihi edellyttää, että tulotekijät ovat jaottomia. Tekijöihi jakamie o oleellisesti vaikeampaa kui polyomie kertolasku, eikä tässä yhteydessä kyetä kovi pitkälle meemää. Jos ajattelet vaikkapa edellise jakoesimerki jaettavaa, ymmärrät, että ei ole kovi helppoa keksiä, että se yksi alkutekijä o + 4. Edellee olisi syytä kysyä, oko toisella tekijällä, polyomilla vielä tekijöitä, vai oko se jo jaoto. Suoritettaessa murtolukuje peruslaskutoimituksia täytyy osata jotaki kokoaislukuje jaollisuudesta. Muute o varsi hakalaa esimerkiksi muutaa murtolukuja samaimisiksi, mikä o välttämätö taito äide yhtee- ja väheyslaskuissa. Vastaavalla tavalla o perehdyttävä polyomie jaollisuusoppii, ee kui ryhdytää suorittamaa peruslaskutoimituksia ratioaalilausekkeilla. Nämä ovat murtolausekkeita, joide osoittaja ja vallaki imittäjä ovat polyomeja. Ku luku 6 jaetaa luvulla 9, saadaa osamääräksi 7. Saotaa, että jako mei tasa ja että luku 6 voidaa esittää jakaja ja osamäärä tuloa eli että luvut 9 ja 7 ovat luvu 6 tekijät. Jos sitte jaetaa polyomi toisella polyomilla ja jako meee tasa, saotaa että edellie polyomi o jaollie jälkimmäisellä. Tällöi jakajaa ollut polyomi sekä osamäärä ovat jaettavaa ollee polyomi tekijät, ja ytki o voimassa laskeosta tuttu säätö: jaettava = jakaja kertaa osamäärä. Kuulee joskus saottavat, että jokaie luku ja jokaie polyomi o jaollie ykkösellä ja itsellää sekä äide vastalausekkeilla, mutta ei tästä paljo jakoasiat parae. Luku tai polyomi o jaoto, ellei sillä ole muita tekijöitä, kui itsesä ja ykköe (vastalausekkeiee). Mikäli muitaki tekijöitä löytyy, polyomi o jaollie, ja se jaotota tekijää ( ±1) saotaa polyomi alkutekijäksi. Huomaa, että luvut 9 ja 7 eivät ole luvu 6 alkutekijät, sillä 9 o vielä jaollie. Ku kirjoitetaa 6 = 7, ii luku 6 o esitetty alkutekijöittesä tuloa eli o jaettu alkutekijöihisä. Muista, että ku puhutaa polyomista, tarkoitetaa summaa, jossa esiityy joki kirjaime (tai joideki kirjaimie) ei-egatiivisia potesseja kerrottua tietyillä luvuilla.

2 Esim y + 8z, 4a + 1, k ja 5 ovat jaottomia polyomeja. Esim. Polyomi ma + mb + mc o jaollie m:llä, sillä ma + mb + mc = a + b + c m ja osamäärä määritelmä mukaa ma + mb + mc = m(a + b + c). Näyttää siltä, että oikealla puolella olevat tekijät ovat jaottomia, jote polyomi o jaettu alkutekijöihisä. Korkeamma astee yhtälöide yhteydessä tullaa aja salliessa tutustumaa eräisii jaollisuusmeetelmii, joski teoriassa päästää vasta alkuu. Ei puhettakaa, että kaikki jaolliset polyomit kyettäisii tämä kurssi jälkee jakamaa tekijöihi, kuha tutustutaa asia yleisii omiaisuuksii. Polyomi alkutekijöihi jakamie o siis polyomie kertolasku vastaoperaatio ja todettii se edellä oleellisesti hakalammaksi kui polyomie kertomie. Kai tässä o aalogiaa siihe, että sykkää metsää voi kävellä syvälleki, mutta sieltä ei ole yhtä helppoa palata ihmiste ilmoille. Ku ryhdytää aettua polyomia jakamaa alkutekijöihisä, o aia esi katsottava, oko se termeillä yhteistä tekijää. Jos tällaie kaikille termeille yhteie tekijä löytyy, se erotetaa toiseksi tekijäksi ja toiseksi kirjoitetaa se polyomi, joka saadaa jakamalla alkuperäie polyomi (siis se jokaie termi) maiitulla yhteisellä tekijällä. Esim Ku jokaie termi esitetää alkutekijöittesä tuloa, saadaa 5 = 4 = = Ku äitä termie tekijöihijakoja tarkastellaa, ähdää, että o kaikille yhteie. Meetellää kirjoitetu ohjee mukaa: = ( 4 + ). Jää epäselväksi, oko jälkimmäie tekijä vielä jaollie. 4

3 Esim. 4 4 y 8 y + 6 y Ku meetellää, kute edellä, saadaa 4y = y 8y = yy 6y = yy Mikä o kaikille yhteistä??? Yksi kakkoe, kaksi :ää ja yksi y eli y. Siispä o 4 y 8 y + 6 y = y( 4y + y) Aetu polyomi alkutekijät ovat siis,,, y ja 4y + y. Esim. 5 a(a + b) + (a + b) = (a + b) [a + (a + b) ] = = (a + b)(a + 6a + b) = (a + b)(7a + b) Aetu biomi alkutekijät ovat a + b ja 7a + b. Käsiteltäessä polyomie kertolaskua johdettii eräille erikoistapauksille laskukaavat: (a + b) = (a + b)(a + b) = a + ab + b (a b) = (a b)(a b) = a ab + b (a + b)(a b) = a b Ku äissä s. ET-KAAVOISSA vaihdetaa puolet, saadaa a + ab + b = (a + b) a ab + b = (a b) a b = (a b)(a + b) LAUSE 1: Jos kolmitermie polyomi (triomi) o kahde luvu eliöitte summa lisättyä (väheettyä)samoje lukuje kaksikertaisella tulolla, ii tämä triomi o maiittuje lukuje summa (erotukse) eliö.

4 Jos kaksitermie polyomi (biomi) o kahde luvu eliöitte erotus, ii ko. biomi o äitte lukuje erotukse ja summa tulo. Esim. 6 k4 + 10k + 5 = k: eliö + viitose eliö + k: ja viitose kaksikertaie tulo = ( k ) + k = äide lukuje summa eliö = (k 5). Esim. 7 k 6 = k 6 = k: ja kuutose elose eliöitte erotus = äitte lukuje erotukse ja summa tulo = (k 6)(k + 6). Huom.! Kumpaisessakaa edellisessä esimerkissä polyomi termeillä ei ollut yhteistä tekijää!!! Asia tieteki tarkoi huomioitii, vaikka siitä ei tekstissä eriksee maiittu. Joskus tämä tekijä voi olla myös ykköse vastaluku. Esim. 8 z z + z = z(z z + 1) = z(m z 1 + 1) = z(z 1) + Esim. 9 ab a ab = a(a ab + b) = a(a b) Yhteiseksi tekijäksi erotettii a. Esim. 10 a4 b4 = (a) (b) = (a b)(a + b) = (a b)(a + b)(a + b). Oko alkutekijöissää??? Esim. 11 a6 b6 = (a) (b) = (a b)(a + b). Oko alkutekijöissää? Ovatko siis tulomuotoise esitykse molemmat biomit jaottomia? Mistäpä kukaa tietämätö tietäisi, että kumpiki biomi o vielä jaollie. Voidaa todistaa, että a b = (a b)(a + ab + b) a5 b5 = (a b)(a4 + ab + ab + ab + b4) ja ku tarkastellaa jälkimmäise tekijä muotoa, o aihetta otaksua, että a 1 b = (a b)(a + a b + a b ab + b ) (*) 1

5 Viimeksi kirjoitettu rivi voidaa todistaa oikeaksi suorittamalla oikea puole kertolasku allekkai. LAUSE 1: a b o aia jaollie biomilla (a b). Osamäärä o astelukua 1 oleva homogeeie polyomi, missä siirryttäessä termistä toisee a: ekspoetti aia yhdellä laskee ja b: ekspoetti yhdellä ousee. Jos o parito luku ja kaavaa (*) sijoitetaa b: paikalle b, saadaa 1 1 a + b = (a + b)(a a b + a b +... ab + b ). (**) LAUSE 14: a + b o jaollie (a + b):llä, jos o parito luku. Osamäärä o astelukua 1 oleva homogeeie polyomi, jossa ekspoetit käyttäytyvät kute lausee.1 tapauksessa, mutta termie etumerkit vuorottelevat plus ja miius. Esim = + = ( + )( 6 + 9) Esim. 1 6 = (5 15) = ( 1)( ) Tässä vaiheessa teoriaa eemmät polyomie tekijöihijakokeiot ovat vähissä. Joskus saattaa viedä päämäärää termie ryhmittely: jaetaa ryhmät tekijöihi ja äi saatuu summaa sovelletaa jotaki esitetyistä meetelmistä, lähiä yhteise tekijä ottoa taikka ET-kaavoja. Esim = ( + ) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) = = ( + 1)( + 1) Esim. 15 a + ac b + bc = a(a + c) b(b c), umpikuja. Toie yritys: a + ac b + bc = a b + ac + bc = (a b)(a + b) + c(a + b) = = (a + b)(a b + c)

6 Polyomie tekijöihi jakamise taito o välttämätö, jos aikoo hallita ratioaalilausekkeide peruslaskutoimituksia. Jo ratioaalilausekkee supistamie saattaa jäädä suorittamatta, sillä eihä aia ole kyse moomi jaosta moomilla. Supistamieha tarkoittaa osoittaja ja imittäjä jakoa samalla luvulla, tai lausekkeella, joka luoollisesti tulee olla osoittaja ja imittäjä yhteie tekijä. Erityiseä vaaraa aia vaaii summasta supistamie, joka varmasti vie tehtävä ollille. Moomie jakolaskussa o alustavasti jo tutustuttuki supistamisee, joka yleisesti voidaa esittää kaavaa ka a = kb b Esim. 16 ac acy ac( y) ac = = y ( y)( + y) + y. Supistettii ( y):llä. Esim ei supistu, vaikka varmaa tekisi mieli vetää siitä : eliöt + 1 valla yli. Tekisikö?? Supistamise ja ratioaalilausekkeilla laskemise yhteydessä yleesäki joudutaa usei käyttämää hyväksi seuraavaa lausetta, joka oikeastaa merkitsee murtolausekkee supistamisesta/lavetamista ykköse vastaluvulla: LAUSE 15: Ratioaalilauseke (murtoluku) säilyy arvoltaa muuttumattomaa, jos muutetaa sekä osoittaja että imittäjä merkki. jos muutetaa joko osoittaja tai imittäjä merkki ja samalla koko murtolausekkee etumerkki Esim = + =. Huomaa osoittaja merki muuttumie; se jokaise termi etumerkki muuttui!!!

7 Esim y 5 7y y 5 + y 1 = 7y + y Saattaisit joskus säästyä s. huolimattomuusvirheiltä, jos erityisesti moimutkaisempia esiastee yhtälöitä ratkaistessasi tukeutuisit lausee.15 oppeihi, erityisesti se jälkimmäisee momettii tilateessa, jossa murtolausekkee edessä o egatiivie etumerkki. Siitä seuraava esimerkki: Esim = = =...