Tilastollinen ajattelu ja johdantoa koesuunnitteluun
|
|
- Jutta Nurmi
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Tilastollinen ajattelu ja johdantoa koesuunnitteluun Tilastollinen ajattelu 1. Tutkimussilmukka PPDAC Problem > Plan > Data > Analysis > Conclusions (MacKay, Oldford 2000) Tilastollisen tutkimuksen malli, jossa dataperusteisesti tehdään johtopäätökset Sisältyy usein tieteelliseen tutkimustyöhön, vaikka PPDAC sellaisenaan ei välttämättä ole tieteellinen menetelmä 1
2 2. Osaalueet Tilastollinen ajattelu Datan tarpeen tunnistaminen, tyypillistä kokeellisessa tutkimuksessa Numeerinen muuntaminen dataanalyysivaiheessa tapahtuva tietojen luokittelu tai uudelleenjärjestely Tilastollinen ajattelu Vaihtelu mitä keskeisin kysymys: mallin konstruointi ja satunnaisvaihtelu säännöllisen vaihtelun syiden eliminointi; tavoitearvon ympäristössä vallitsevan vaihtelun supistaminen on laadun parantamisen pääteemoja Soveltuvat mallit matemaattiset mallit laajennettuna satunnaiskomponentilla 2
3 Tilastollinen ajattelu Menetelmätuntemus, tilastollinen osaaminen poikkitieteellinen ymmärrys Tekniikoiden soveltaminen ongelman hahmottaminen siten, että sen ratkaisu onnistuu tunnetuilla menetelmillä 3. Valmisteleva luokittelu epäilevyys mielikuvitus uteliaisuus avomielisyys Mihin tilastollisten menetelmien käyttö puree? Tyypillisiin tutkimus ja kehitystyöhön liittyviin ongelmiin: 1. Koejärjestelyn virhe (engl. experimental error, noise) 2. Syyseuraus suhteen hämärtyminen 3. Tutkittavien vaikutusten monimutkaisuus 3
4 Koejärjestelyn virhe, kohina Tunnettujen tai tuntemattomien häiritsevien tekijöiden koejärjestelyyn tuoma epätoivottu vaihtelu Tavallisesti vain pieni osa tästä vaihtelusta on suoraan luettavissa mittausvirheen tiliin Tärkeät vaikutukset voivat joko osittain tai peräti kokonaan peittyä tämän epätoivotun vaihtelun alle Kokeilija voi harhautua uskomaan vaikutuksiin, joita itse asiassa ei ole olemassa Koejärjestelyn virhe, kohina Kohinan aiheuttamaa tekijöiden sekoittumista voidaan tehokkaasti estää tilastollisen koesuunnittelun ja analyysin avulla Tilastollisen analyysi: esimerkiksi keskimääräisten tasojen vertailu tai muutoksen asteen selvittäminen, jotta saadaan perusteltu ja oikea näyttö tekijöiden vaikutuksista Koesuunnittelu lisää kokeilijan mahdollisuuksia pysyä oikealla tiellä 4
5 Syyseuraus suhteen hämärtyminen Joskus kokeilija vetää varsin suoraviivaisia johtopäätöksiä kahden muuttujan välisistä vaikutuksista: muuttujan A arvojen kasvaessa muuttujan B arvot kasvavat, asiaa voi tukea esim. kahden muuttujan välinen hajontakuvio, jossa korrelaatio on havaittavissa Johtopäätökset ovat vääriä, jos on olemassa taustalla kolmas tekijä C, joka itse asiassa vaikuttaa kumpaankin tekijään A ja B Syyseuraus suhteen hämärtyminen Vankkoja koesuunnitteluperiaatteita noudattaen ja satunnaistamalla saadaan aikaan tiedot, joiden analyysin perusteella ilmenevät syyseuraus suhteet ovat perusteltuja 5
6 Tutkittavien vaikutusten monimutkaisuus Peruskysymys: ovatko tekijöiden vaikutukset lineaarisia ja additiivisia? BHH s.9: tutkittiin ajosimulaattorin avulla kahvin ja alkoholin vaikutuksia ihmisen reaktioaikoihin Havaittiin seuraavaa: jos kahvia ei nautittu, yksi alkoholiannos kasvatti reaktioaikaa keskimäärin 0,45 s jos alkoholia ei nautittu, yksi kahviannos lyhensi reaktioaikaa keskimäärin 0,20 s Tutkittavien vaikutusten monimutkaisuus Useiden alkoholi ja kahviannosten vaikukset, myös niiden yhdysvaikutukset voitaisiin yksinkertaisesti yleistää, jos tekijöiden vaikutukset olisivat lineaarisia ja additiivisia Lineaarisuus: kaksi alkoholiannosta kasvattaisi reaktioaikaa 2 x 0,45 = 0,90 s kolme kahviannosta lyhentäisi reaktioaikaa 3 x 0,20 = 0,60 s 6
7 Tutkittavien vaikutusten monimutkaisuus Additiivisuus: Yhden alkoholiannoksen ja yhden kahviannoksen vaikutus olisi 0,45 0,20 = 0,25 s Lineaarisuus ja additiivisuus: 10 alkoholiannoksen ja 23 kahviannoksen vaikutus olisi [(10 x 0,45) (23 x 0,20)] = 0,10 s Tutkittavien vaikutusten monimutkaisuus On kuitenkin ilmeistä, että yksittäisen alkoholiannoksen vaikutus riippuu 1.jo nautittujen alkoholiannosten lukumäärästä (alkoholin vaikutus on epälineaarinen) ja 2.jo nautittujen kahviannosten lukumäärästä (kahvin ja alkoholin yhdysvaikutus) Koesuunnittelun keinoin voidaan data generoida siten, että lineaaristen ja additiivisten vaikutusten lisäksi yhdysvaikutuksia ja epälineaarisuuksia voidaan arvioida hyvin 7
8 Miten laatu rakennetaan tuotteisiin ja prosessiin koesuunnittelun avulla? Perinteinen malli: Idea Prototyyppi Tuotannon valmistelu Tuotanto 8
9 Suositeltava malli: Idea Prototyyppi Koetoiminta Suunnittelun parantaminen Koetoiminta: suorituskyky robustisuus luotettavuus herkkyys komponenttien vaihtelulle huollettavuus yksinkertaisuus Tuotannon valmistelu Koetoiminta: tuotantokelpoisuus komponenttikomponentti vaihtelu valmistusnormeeraus kustannukset Valmistusprosessin kehittäminen Koetoiminta: saanto tuotteen ja prosessin laatu prosessin luotettavuus prosessin yksinkertaistaminen kustannukset Valmistusprosessin parantaminen Koetoiminta: saanto kustannukset luotettavuus Suunnitellut kokeet Kokeillaan asioita luovaa ajattelua käyttäen rakennetaan prototyyppejä Hetken mielijohteesta tapahtuvassa koetoiminnassa ei ole mitään väärää Jopa epätavanomaisten tekijöiden ja tasojen kokeilu on joskus suotavaa 9
10 Suunnitellut kokeet Kuitenkin pitää muistaa: luovuutta ei pidä koesuunnittelulla kahlita, keksijöitä tarvitaan: Bell Edison Diesel Ford ym Koesuunnittelu on ymmärrettävä tehokkaaksi välineeksi, joka eritoten teknisillä toimialoilla kiihdyttää oppimista Prosessin mallin yleistys?1?2?p Input Prosessi Output y? 1? 2? q 10
11 Kokeellinen laadun parannus Kysymysasettelu: Mitkä tekijät vaikuttavat prosessiin? Miten nämä tekijät tulisi säätää? Miten kokeet tulisi tehdä? JOUSI Esimerkki: jousien valmistus. Haasteena on suunnitella jousen valmistus siten, että karkaisuprosessin aikana syntyvien karkaisusäröjen määrä minimoituu. Mikä on paras teräksen lämpötila (T) upotushetkellä? Mikä on paras teräksen hiilipitoisuus (C)? Mikä on karkaisuöljyn paras lämpötila (O)? OIL 11
12 Tekninen käsikirja kertoo: T=1525 C=0,5 O=70 Ovatko nämä asetukset kuitenkaan parhaat? Toteuttamisvaihtoehtoja Arvauskokeilu silmukka Yksi tekijä kerrallaan menetelmä Tilastollisesti suunnitellut kokeet 12
13 Vanha dogmi: Vaihtele yhtä tekijää kerrallaan ja pidä muut vakiona. Arvauskokeilu silmukka perinteinen ja vieläkin yllättävän yleinen tapa parantaa prosessia tekniseen päättelykykyyn perustuen arvataan tekijöille paremmat tasot parivertailu lähtötilanteen kanssa silmukkaa toistetaan, kunnes parannusta ei enää havaita tapahtuneen, asetettu tavoite saavutetaan tai taloudelliset voimavarat ovat ehtyneet menetelmä on onnenkauppaa, tehotonta ja ajan tuhlausta 13
14 14 Yksi tekijä kerrallaan menetelmä Esimerkki koekaaviosta: G F E D C B A Trial run Yksi tekijä kerrallaan menetelmä länsimaisessa teollisuudessa vielä kymmenen vuotta sitten ehkä käytetyin monimuuttujainen kokeilumenetelmä kokeilija muuttaa vain yhtä tekijää kerrallaan muiden tekijöiden pysyessä kiinteinä esimerkiksi taulukon mukaisessa tilanteessa ainoa muutos kokeiden 1 ja 2 välillä on tekijän A tason vaihtuminen tasolta tasolle kokeet jatkuvat, kunnes kaikkia tekijöitä on muutettu kerran
15 Yksi tekijä kerrallaan menetelmä menetelmän suosio on sen näennäisessä yksikertaisuudessa, tasomuutosten läpikäyntiin tarvitaan k1 koetta, jos tekijöitä on k kpl yksinkertaisuus kuitenkin on harhaanjohtavaa ja menetelmälle ominaisten epäluotettavien tulosten seurauksena voi olla väärät johtopäätökset Yksi tekijä kerrallaan menetelmä jos tarkastellaan erotusta A() ja A() eli tekijän A vaikutusta, niin se joudutaan estimoimaan datasta olosuhteissa, jossa muut tekijät B,, G ovat kiinteitä eli tässä tapauksessa tasolla olkoon estimoinnin tarkkuus miten hyvä tahansa, niin yleistettävyyttä ei ole, mitään takeita vaikutuksesta muissa olosuhteissa ei ole käytännössä tuotantoolosuhteet usein vaihtelevat 15
16 Yksi tekijä kerrallaan menetelmä pahin puute voimavarojen tuhlauksen ohella on se, että tekijöiden väliset yhdysvaikutukset jäävät havaitsematta menetelmän toteutus usein keskeytyykin vain muutaman tekijän tutkimisen jälkeen taloudellisten syiden ja kokeilijan kärsivällisyyden loppumisen tähden seurauksena vain osittaista laadun paranemista huomattavin kustannuksin Yksi tekijä kerrallaan 16
17 Teräksen lämpötilat Avg 73.5% 78.5% => erotus 5%yksikköä Taulukon perusteella saatetaan vetää johtopäätös, että 1600 on paras lämpötila... Mutta, miten onkaan? Kaikkien kokeiden (8) jälkeen voimme sanoa, että näyttää olevan parempi käyttää korkeampaa teräksen lämpötilaa, jos hiilipitoisuus on 0.5 ja karkaisuöljyn lämpötila on 70. Jos kuitenkin herää kysymys, supistuuko karkaisuvikojen määrä yhtä paljon, jos hiilipitoisuus olisi esimerkiksi 0.7 ja karkaisuöljyn lämpötila olisi 120, rehellinen vastaus on: Emme tiedä. 17
18 Jos samaa menettelytapaa noudattaen tutkittaisiin hiilipitoisuuden muutoksen vaikutuksia, vaatisi se neljä koetta lisää. Näiden kokeiden jälkeen voisimme sanoa: kiinnitetyillä teräksen ja öljyn lämpötiloilla saamme aikaan vasteen muutoksen, kun hiilipitoisuutta muutetaan. Öljyn lämpötilan vaikutusten selvittäminen vaatisi neljä koetta vielä lisäksi. Yksitekijäkerrallaan järjestelmä vaatisi siis 16 koetta. Edelleenkään meillä ei olisi mitään tietoa yhdysvaikutuksista. Sir Ronald A. Fisher (1920luvulla): Vary all factors simultaneously Koesuunnittelu: Kahdeksalla kokeella saadaan tutkituksi kaikki kolme kaksitasoista tekijää Saadaan vieläpä enemmän tietoa 18
19 Seuraavassa taulukossa on kuvattuna koeasetelma, jolla voidaan tutkia Fisherin ajatusten mukaisesti (simultaanisesti) kolmen kaksitasoisen tekijän vaikutukset. Standard order T Steel Temp C Carbon O Oil Temp Springs w/o cracks % Taulukon jokainen rivi vastaa yhtä koetta. T, C ja O sarakkeista nähdään, mille tasolle kukin tekijä tulee asettaa. 19
20 Mitä on koesuunnittelu? Mihin koesuunnittelua käytetään? Mitkä ovat koesuunnittelun vaiheet? Mitä on koesuunnittelu? Koesuunnittelu on taloudellinen tapa maksimoida informaatio koetoiminnassa tarkoituksellisesti muutetaan yhtä tai useampaa prosessimuuttujaa (tekijää, faktoria) siten, että vastemuuttuja saadaan muuttumaan koetoiminta on projektimuotoista toimintaa, johon liittyy tavoiteasetanta ja tutkittavien tekijöiden valinta koesuunnittelussa laaditaan yksityiskohtainen suunnitelma ennen kokeiden toteuttamista 20
21 Mitä on koesuunnittelu? hyvin laadittu koesuunnitelma maksimoi informaation määrän suhteessa panoksiin koesuunnittelun taustalla oleva tilastollinen teoria perustuu prosessin mallintamiseen Prosessin mallinnus Häiriötekijät (CoFactors) Ohjaustekijät (Factors) Prosessi Diskreetit Jatkuvat Vastemuuttujat (Responses) 21
22 Prosessin mallinnus Yleisimmät mallit, joita sovitetaan koeaineistoihin, ovat joko lineaarisia tai kvadraattisia. Kahden tekijän X1 ja X2 lineaarinen malli voidaan kirjoittaa: Y = X 2 β β X β X β X ε Y on vastemuuttujan arvo valituilla tekijöiden X1 ja X2 tasoilla ß1 ja ß2 ovat tekijöiden päävaikutukset ß12 on tekijöiden X1 ja X2 välinen yhdysvaikutus ß0 on vakio, vastemuuttujan Y arvo, kun molemmat päävaikutukset ovat nollia Prosessin mallinnus Hieman monimutkaisempi esimerkki; lineaarinen kolmen tekijän malli, jossa kaikki mahdolliset termit ovat mukana: Y = β β 13 0 X β X 1 X β β 23 X 2 2 X X 2 3 β X β X β 1 X 2 12 X X 3 1 X 2 ε Yksittäisiin tekijöihin Xi, i=1, 2, 3, liittyvät ßtermit ovat päävaikutuksia. Mallissa on lisäksi kolme kahden tekijän välistä yhdysvaikutusta ja 1 kolmen tekijän välinen yhdysvaikutustermi (joka usein jätetään huomiotta mallin yksinkertaistamispyrkimysten vuoksi). Koeaineiston analyysissä tuntemattomat ßparametrit estimoidaan ja termien Xi kertoimet testataan, jotta saadaan selville mitkä niistä ovat nollasta poikkeavia. 22
23 Prosessin mallinnus Toisen asteen (kvadraattinen) malli ei sisällä kolmen tekijän yhdysvaikutustermiä, sen sijaan malli rakennetaan lineaarisesta mallista lisäämällä siihen kolme seuraavaa termiä: β X1 β 22 X 2 β 33 X 3 Huom. Selvästikin täysi malli sisältäisi useita ristitulo (yhdysvaikutus) termejä neliöityihin Xtermeihin liittyen. Kuitenkaan näitä termejä ei käytännön sovelluksissa yleensä tarvita. Esim. DOEohjelmistot käsittelevät asiaa niin, että oletusarvoisesti jättävät ne mallista pois. Käyttökohteet Koesuunnittelu on monikäyttöinen työkalu, joka voi auttaa esimerkiksi seuraavissa tilanteissa: vaihtoehtojen valinnassa vastemuuttujaan vaikuttavien avaintekijöiden löytämisessä vastepintamallinnuksessa tavoitearvoon osuminen vaihtelun supistaminen vasteen minimointi tai maksimointi robustisuuden tavoittelu monitahoisten tavoitteiden saavuttaminen regressiomallinnuksessa 23
24 Vaihtoehdon valinta, vertailevat kokeet Kokeet suunnitellaan tiedon keräämiseksi päätöksenteon tueksi, kun halutaan valita jokin kahdesta tai useammasta vaihtoehdosta, esimerkiksi: toimittaja A vai toimittaja B vai? mikä uusista lisäaineista on tehokkain? Vaihtoehdon valinta, vertailevat kokeet Tämän tyyppiset ja lukemattomat muut vaihtoehtovalinnat muistuttavat helposti loppumatonta suota. Joskus valinnan tekeekin puolestamme jokin ulkopuolinen tekijä, johon emme voi vaikuttaa. Joskus taas itse joudumme valitsemaan ja tämän päätöksenteon tueksi tarvitaan dataa. 24
25 Vaihtoehdon valinta, vertailevat kokeet Vertailevan kokeen elementit: hyväksytty mittausjärjestelmä, jolla vaihtoehtojen vertailu voidaan tehdä otoksen generointi jokaisesta vaihtoehdosta keskimääräisten tulosten vertailu parasta keskiarvoa suositaan Vaihtoehdon valinta, vertailevat kokeet Vertailevat kokeet toteutetaan tavallisesti vakiintuneissa olosuhteissa jolloin näkökulma on suhteellisen kapea. Tällöin vain joitakin yksilöityjä vaihtoehtoja tarkastellaan lukuisten mahdollisuuksien joukosta. Toinen tapa on tutkia yhden vaihtoehdon käyttäytymistä hyvin vaihtelevien olosuhteiden vallitessa, jolloin vaihtelu on tarkoituksellista ja järjestelmällistä. Vaihtoehtoa tarkastellaan laajasta näkökulmasta. 25
26 Vasteeseen vaikuttavien avaintekijöiden valinta, seulonta (engl. Screening experiments) Prosessiin vaikuttaa lukuisa joukko tekijöitä, joista vain pieni osa on jollakin tapaa kriittisiä, lopuilla on vain vähäistä merkitystä. On toivottavaa ja jopa oma tavoitteensa, että vaikuttavien tekijöiden joukko saadaan rajatuksi (25), jolloin prosessin ohjauksessa voidaan keskittyä näihin tekijöihin. Vasteeseen vaikuttavien avaintekijöiden valinta, seulonta (engl. Screening experiments) Seulontakokeet ovat tehokas tapa löytää tärkeät tekijät. Seulontakokeet ovat myös ensimmäinen askel, mikäli lopullinen päämäärä on esim. vastepintamallinnus. 26
27 Vastepintamallinnus Joitakin syitä mallintaa prosessia: tavoitearvoon osuminen vaihtelun supistaminen vasteen minimointi tai maksimointi robustisuuden tavoittelu monitahoisten tavoitteiden saavuttaminen Yhteistä näille kaikille on, että koetoiminnan avulla sovitetaan malli, joka paikallisesti approksimoi todellista vastepintaa. Tavoitearvoon osuminen Usein prosessia halutaan hienosäätää, jotta tuloksena olisi jatkuvasti haluttuja tavoitearvoja. Prosessissa kokeillaan erilaisia asetuskombinaatioita, kunnes jatkuvista osumista saadaan näyttö. 27
28 Tavoitearvoon osuminen Tyypillinen esimerkki voisi olla työstökone, joka on vastikään huollettu. Huollon jälkeen kone saattaa vaatia edelleen joitakin säätöjä, jotta se toimisi halutusti. Vaihtelun supistaminen Prosessi voi olla tavoitearvossaan keskimääräisesti ottaen, mutta silti siinä voi olla liikaa vaihtelua. Liian suuri sisäinen vaihtelu aiheuttaa kiusallista epävakautta. Syitä voi olla lukuisia: puutteita toimintaohjeissa tai jotkut prosessiin vaikuttavat tekijät voivat olla työläitä ohjattavia. 28
29 Robustisuuden tavoittelu Mitä vähemmän prosessiin tai tuotteeseen vaikuttavat ulkopuoliset olosuhteet, sitä parempi se on > robustisuus. Tutkittavaa yksikköä on mahdollista kuormittaa laboratoriossa ja siten voidaan saada selville yksikön suorituskykyyn vaikuttavat kriittiset komponentit. Oikea tekijöiden kombinaatio voidaan löytää vain kokeilemalla. 29
30 Monitahoisten tavoitteiden saavuttaminen Usein prosessissa tai tuotteessa on harvoin vain yksi kiinnostava laatuominaisuus. Usein niitä on monia ja ne ovat tavallisesti riippuvuussuhteissa toisiinsa. Tämä riippuvuussuhde on tyypillisesti vielä sellainen, että yhden ominaisuuden parantaminen heikentää jonkin toisen ominaisuuden käyttäytymistä. Regressiomallinnus Joskus karkea, lokaali approksimaatio ei riitä ilmiön mallinnuksessa. Aiemmin kuvatut ensimmäisen tai toisen asteen standardimallit eivät ehkä tyydytä. Lisäpontta ja tarkkuutta mallinnukseen tuo regressiotekniikka. 30
31 Koesuunnittelun vaiheet Hyvien koesuunnittelutulosten saavuttamiseksi tulee käydä läpi seuraavat avainkohdat: 1. Tavoitteen asetanta 2. Prosessimuuttujien valinta 3. Koeasetelman valinta 4. Kokeiden toteutus 5. Koetoiminnan oletusten tarkistus 6. Kerättyjen tietojen analysointi ja tulosten tulkinta 7. Tulosten hyödyntäminen Muistilista käytännön toteutukseen Mittausjärjestelmän tarkistus Pyrkimys koejärjestelyn yksinkertaisuuteen Yksittäisten kokeiden kelvollisuuden tarkistus Pitää olla varuillaan prosessin liukumien ja muutosten varalta kokeen aikana Suunnittelemattomien muutosten välttäminen (esim. operaattorin vaihto) 31
32 Muistilista käytännön toteutukseen Hankitaan tilaus kaikilta osapuolilta Kaikilla koejärjestelyjen vaiheilla tulee olla omistaja Säilytä kaikki data Tapahtumien kirjaus Kokeiden jälkeen palautetaan prosessin alkuperäiset asetukset Yksi iso järjestely vai useita pieniä? On virhe luulla, että yksi iso koejärjestely antaa kaikki vastaukset. Toiminta kannattaa suunnitella siten, että vaiheittain toteutetaan useita pieniä koesarjoja ja hyödynnetään matkan varrella esiin saatuja tietoja. 32
33 Oletukset Kaikkeen mallinrakennukseen liittyy oletuksia eli odotetaan, että tietyt olosuhteet vallitsevat, jotta estimointi on ylipäänsä mahdollista toteuttaa. mittausjärjestelmän suorituskyky kaikkien kiinnostavien vastemuuttujien osalta prosessin stabiilisuus vasteiden approksimointi suhteellisen yksinkertaisten mallien avulla jäännösten käyttäytyminen Mittausjärjestelmä Mittausjärjestelmän suorituskyky on avaintekijä koetoiminnassa. On turhauttavaa huomata koesarjan toteutuksen jälkeen, että valitulla mittausjärjestelmällä ei voidakaan havaita muutoksia, joita toivottiin nähtävän. 33
34 Mittausjärjestelmä Mittausjärjestelmän kyvykkyys pitää selvittää ennen kokeiden toteutusta. Kyvykkyyden selvittämiseen on oma menettelynsä olemassa. Mittausjärjestelmäanalyysi itsessäänkin on tilastollinen koejärjestely! Mittausjärjestelmä Prosessin tuotosten mittaustuloksiin sisältyy aina vaihtelua. Vaihtelun lähteitä on kaksi: mitattavat yksiköt ovat aina erilaisia suhteessa toisiinsa mikä tahansa mittaustekniikka on aina epätäydellinen ( > toistettaessa saman yksikön mittausta saadaan erilaisia tuloksia) Yksiköiden välisen vaihtelun hallintaan käytetään SPCtekniikkaa, mutta ennen sen toteuttamista pitää varmistua, että mittausjärjestelmästä johtuva vaihtelu ei ole liiallista. 34
35 Mittausjärjestelmä Terminologiaa: accuracy: kyky mitata todellista arvoa keskimäärin (~ kuvaa todellisen arvon ja mittauksen erotusta) precision repeatability, mittalaitteesta johtuva vaihtelu, joka tulee esiin, kun sama operaattori toistaa saman yksikön mittauksia samalla laitteella reproducibility, mittausjärjestelmästä johtuva vaihtelu, joka tulee esiin, kun eri operaattorit mittaavat samaa yksikköä samalla laitteella Mittausjärjestelmä high accuracy low low precision high 35
36 Mittausjärjestelmä Kokonaisvaihtelun komponentit: Overall variation Parttopart variation Measurement system variation Variation due to gage Variation due to operators Repeatability Reproducibility Operator Operator by part Esimerkki 1: Data Mittausjärjestelmä 36
37 Mittausjärjestelmä Gage R&R %Contribution Source VarComp (of VarComp) Total Gage R&R 0, ,67 Repeatability 0, ,10 Reproducibility 0, ,56 Operator 0, ,19 Operator*Part 0, ,37 PartToPart 0, ,33 Total Variation 0, ,00 Look at the %Contribution column in the Gage R&R Table. The percent contribution from PartTo Part (89.33) is larger than that of Total Gage R&R (10.67). This tells you that most of the variation is due to differences between parts; very little is due to measurement system error. 37
38 In the Components of Variation graph (located in the upper left corner), the percent contribution from PartToPart is larger than that of Total Gage R&R, telling you that most of the variation is due to differences between parts; little is due to the measurement system. In the By Part graph (located in upper right corner), there are large differences between parts, as shown by the nonlevel line. In the By Operator graph (located in the middle of the right column), there are small differences between operators, as shown by the nearly level line. In the Xbar Chart by Operator (located in lower left corner), most of the points in the and R chart are outside the control limits, indicating variation is mainly due to differences between parts. The Operator*Interaction graph is a visualization of the pvalue for Oper*Part in this case indicating a significant interaction between each Part and Operator. Esimerkki 2: Data Mittausjärjestelmä 38
39 Mittausjärjestelmä Gage R&R Source %Contribution VarComp (of VarComp) TotalGage R&R 7304,7 84,36 Repeatability 7304,7 84,36 Reproducibility 0,0 0,00 Operator 0,0 0,00 PartToPart 1354,5 15,64 TotalVariation 8659,2 100,00 Look at the %Contribution column in the Gage R&R Table. The percent contribution from Total Gage R&R (84.36) is larger than that of PartToPart (15.64). Thus, most of the variation arises from the measuring system; very little is due to differences between parts. 39
40 In the Components of Variation graph (located in the upper left corner), the percent contribution from Total Gage R&R is larger than that of ParttoPart, telling you that most of the variation is due to the measurementsystem primarily repeatability; little is due to differences between parts. In the By Part graph (located in upper right corner), there is little difference between parts, as shown by the nearly level line. In the Xbar Chart by Operator (located in lower left corner), most of the points in the and R chart are inside the control limits, indicating the observed variation is mainly due to the measurement system. In the By Operator graph (located in the middle of the right column), there are no differences between operators, as shown by the level line. The Operator*Interaction graph is a visualization of the pvalue for Oper*Part in this case indicating the differences between each operator/part combination are insignificant compared to the total amount of variation. Prosessin stabiilisuus Prosessin stabiilisuuden tutkiminen on osa koetoimintaa. Koejärjestelyyn on hyvä sisällyttää vertailukokeita, jotka toteutetaan käyttämällä prosessin vakioasetuksia. Hyvä tapa voisi olla aloittaa ja lopettaa koejärjestely vertailukokein, jolloin mahdolliset prosessiliukumat tai muut muutokset saadaan esiin. 40
41 Prosessin stabiilisuus Ihannetilanne on toteuttaa koejärjestely stabiilissa prosessissa. Kuitenkin jos stabiilisuus ei vallitse, asiantila pitää jollakin tapaa huomioida koeaineiston analyysissä. Esimerkiksi tilanteessa, jossa prosessi on taipuvainen liukumaan keskiarvoltaan, trendikomponentin lisäys malliin voi tuoda tarkkuutta arviointiin. Esimerkiksi aikamuuttuja tai kokeiden järjestysmuuttuja voi tulla kyseeseen. Jäännöstarkastelut Jäännöksiksi kutsutaan koevirheen (engl. experimental error) estimaatteja, jotka saadaan laskemalla todellisten havaintojen ja ennustettujen arvojen väliset erotukset. Ennustetut arvot saadaan laskemalla valittua mallia käyttäen sen jälkeen, kun tuntemattomat mallin parametrit on estimoitu koeaineistosta. 41
42 Jäännöstarkastelut Jäännöstarkastelut ovat osa kaikkea tilastollista mallinnusta. Tarkastelujen perusteella voidaan vetää johtopäätökset oletusten voimassaolosta. Jäännösten voidaan ajatella olevan vaihtelukomponentti, jota käytettävä ja sopiva malli ei pysty selittämään. Yleisiä jäännöksiä koskevia oletuksia sovelletaan tässä tilanteessa: jäännösten oletetaan olevan riippumattomia ja normaalijakautuneita keskiarvolla 0 ja 2 vakiovarianssilla s. Jäännöstarkastelut Jäännöstarkastelu toteutetaan graafisin tarkasteluin, joista yleisimmät ovat: 1. histogrammi 2. todennäköisyyspiirros 3. pistekuvaaja Havaitut poikkeamat mallista tarkoittavat, että jäännökset sisältävät rakenteita, joita ei ole huomioitu mallissa. Malli on tällöin huono ja malliin sisältyviä termejä tulee tarkastella uudelleen. 42
Laadunkehityksen virstanpylväitä. Laadunkehityksen virstanpylväitä. Laadunkehityksen virstanpylväitä
Laadunkehityksen virstanpylväitä n. 700900 875 90090 90 907908 908 9599 90luku Laatu ymmärretään yksilön aikaansaannokseksi Frederick W. Taylor, periaatteet työn jakamisesta pieniin, helposti ohjattaviin
LisätiedotVertailutestien tulosten tulkinta Mikä on hyvä tulos?
Vertailutestien tulosten tulkinta Mikä on hyvä tulos? Pertti Virtala PANK-menetelmäpäivä 29.1.2015 Sisältö Mittaustarkkuuden käsitteitä Mittaustarkkuuden analysointi Stabiilius Kohdistuvuus Toistettavuus
Lisätiedot2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1
2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta
LisätiedotVertailutestien tulosten tulkinta Mikä on hyvä tulos?
Vertailutestien tulosten tulkinta Mikä on hyvä tulos? Pertti Virtala PANK-menetelmäpäivä 28.1.2016 Sisältö Mittaustarkkuuden käsitteitä Mittaustarkkuuden analysointi Stabiilius Kohdistuvuus Toistettavuus
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotVastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1
Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,
LisätiedotOsafaktorikokeet. Heliövaara 1
Osafaktorikokeet Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Kun faktorien määrä 2 k -faktorikokeessa kasvaa, tarvittavien havaintojen määrä voi ylittää kokeentekijän resurssit. Myös estimoitavien korkean asteen yhdysvaikutustermien
LisätiedotKemometriasta. Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka
Kemometriasta Matti Hotokka Fysikaalisen kemian laitos Åbo Akademi Http://www.abo.fi/~mhotokka Mistä puhutaan? Määritelmiä Määritys, rinnakkaismääritys Mittaustuloksen luotettavuus Kalibrointi Mittausten
LisätiedotKojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto
Kojemeteorologia Sami Haapanala syksy 2013 Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Mittalaitteiden staattiset ominaisuudet Mittalaitteita kuvaavat tunnusluvut voidaan jakaa kahteen luokkaan Staattisiin
LisätiedotKeskipisteen lisääminen 2 k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6)
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit kevät Keskipisteen lisääminen k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6) Esim (Montg. ex. 9-, 6-): Tutkitaan kemiallisen prosessin saannon Y riippuvuutta faktoreista
Lisätiedotpitkittäisaineistoissa
Puuttuvan tiedon ongelma p. 1/18 Puuttuvan tiedon ongelma pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto mtl.uta.fi/tilasto/sekamallit/puupitkit.pdf
LisätiedotIdentifiointiprosessi
Alustavia kokeita Identifiointiprosessi Koesuunnittelu, identifiointikoe Mittaustulosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - Transientti-, korrelaatio-, taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi
LisätiedotOsafaktorikokeet. Kurssipalautetta voi antaa Oodissa Kuusinen/Heliövaara 1
Osafaktorikokeet Kurssipalautetta voi antaa Oodissa 27.4.-25.5. Kuusinen/Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Kun faktorien määrä 2 k -faktorikokeessa kasvaa, tarvittavien havaintojen määrä voi ylittää kokeen
Lisätiedotpitkittäisaineistoissa
Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas LUENNOT Luento Paikka Vko Päivä Pvm Klo 1 L 304 8 Pe 21.2. 08:15-10:00 2 L 304 9 To 27.2. 12:15-14:00 3 L 304 9 Pe 28.2. 08:15-10:00 4 L 304 10 Ke 5.3.
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
Lisätiedot1. Tilastollinen malli??
1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen
LisätiedotMittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus
Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus Kalibrointi kalibroinnin merkitys kansainvälinen ja kansallinen mittanormaalijärjestelmä kalibroinnin määritelmä mittausjärjestelmän kalibrointivaihtoehdot
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n
LisätiedotMatemaatikot ja tilastotieteilijät
Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matematiikka/tilastotiede ammattina Tilastotiede on matematiikan osa-alue, lähinnä todennäköisyyslaskentaa, mutta se on myös itsenäinen tieteenala. Tilastotieteen tutkijat
LisätiedotVastepintamenetelmä. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Vastepintamenetelmä Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Varianssianalyysissa tutkitaan tekijöiden vaikutusta vasteeseen siten, että tekijöiden tasot on ennalta valittu. - Esim. tutkitaan kemiallisen prosessin
Lisätiedot7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa. Lohkominen (Blocking)
7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa Lohkominen (Blocking) Lohkotekijät muodostuvat faktoreista, joiden suhteen ei voida tehdä (täydellistä) satunnaistamista. Esimerkiksi faktorikokeessa raaka-aine-erät
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas Itse arvioidun terveydentilan ja sukupuolen välinen riippuvuustarkastelu. Jyväskyläläiset 75-vuotiaat miehet ja naiset vuonna 1989.
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
LisätiedotOtoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654
1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustulokset ovat aina todellisten luonnonvakioiden ja tutkimuskohdetta kuvaavien suureiden likiarvoja, vaikka mittauslaite olisi miten
Lisätiedotr = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.
A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotMat 2.4177 Operaatiotutkimuksen projektityöseminaari
Mat 2.4177 Operaatiotutkimuksen projektityöseminaari Kemira GrowHow: Paikallisen vaihtelun korjaaminen kasvatuskokeiden tuloksissa 21.2.2008 Ilkka Anttila Mikael Bruun Antti Ritala Olli Rusanen Timo Tervola
LisätiedotTässä harjoituksessa käydään läpi R-ohjelman käyttöä esimerkkidatan avulla. eli matriisissa on 200 riviä (havainnot) ja 7 saraketta (mittaus-arvot)
R-ohjelman käyttö data-analyysissä Panu Somervuo 2014 Tässä harjoituksessa käydään läpi R-ohjelman käyttöä esimerkkidatan avulla. 0) käynnistetään R-ohjelma Huom.1 allaolevissa ohjeissa '>' merkki on R:n
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
LisätiedotOletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen
Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä
Lisätiedot3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka
3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä
Lisätiedotetunimi, sukunimi ja opiskelijanumero ja näillä
Sisällys 1. Algoritmi Algoritmin määritelmä. Aiheen pariin johdatteleva esimerkki. ja operaatiot (sijoitus, aritmetiikka ja vertailu). Algoritmista ohjelmaksi. 1.1 1.2 Algoritmin määritelmä Ohjelmointi
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi
LisätiedotHarjoitukset 4 : Paneelidata (Palautus )
31C99904, Capstone: Ekonometria ja data-analyysi TA : markku.siikanen(a)aalto.fi & tuuli.vanhapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 4 : Paneelidata (Palautus 7.3.2017) Tämän harjoituskerran tarkoitus on perehtyä
LisätiedotOtannasta ja mittaamisesta
Otannasta ja mittaamisesta Tilastotiede käytännön tutkimuksessa - kurssi, kesä 2001 Reijo Sund Aineistot Kvantitatiivisen tutkimuksen aineistoksi kelpaa periaatteessa kaikki havaintoihin perustuva informaatio,
LisätiedotHAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT
HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT F: E: Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies (1) 59 28 4 91 Nainen (2) 5 14 174 193 Yhteensä 64 42 178 284 Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies
LisätiedotVastepintamenetelmä. Heliövaara 1
Vastepintamenetelmä Kurssipalautteen antamisesta saa hyvityksenä yhden tenttipisteen. Palautelomakkeeseen tulee lähiaikoina linkki kurssin kotisivuille. Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotKaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisessa malli voidaan esittää seuraavassa muodossa:
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Aritmeettinen keskiarvo, Estimointi, F-testi,
LisätiedotHierarkkiset koeasetelmat. Heliövaara 1
Hierarkkiset koeasetelmat Heliövaara 1 Hierarkkiset koeasetelmat Kaksiasteista hierarkkista koeasetelmaa käytetään tarkasteltaessa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan kahden tekijän
LisätiedotHarjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy 2006. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1
Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen säätötekniikkaan Takaisinkytkennän
LisätiedotSurveytutkimusksen Suunnittelu ja Teoreettisten Konstruktioiden Validointi. Seppo Pynnönen Vaasan yliopisto Menetelmätieteiden laitos
Surveytutkimusksen Suunnittelu ja Teoreettisten Konstruktioiden Validointi Seppo Pynnönen Vaasan yliopisto Menetelmätieteiden laitos Teoreettiset konstruktiot Todellisuus Teoria Todellisuuden jäsentely
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
LisätiedotMittausepävarmuudesta. Markku Viander Turun yliopisto Lääketieteellinen mikrobiologia ja immunologia 02.11.2007
Mittausepävarmuudesta Markku Viander Turun yliopisto Lääketieteellinen mikrobiologia ja immunologia 02.11.2007 Mittausepävarmuus on testaustulokseen liittyvä arvio, joka ilmoittaa rajat, joiden välissä
LisätiedotLatinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt
TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,
LisätiedotDynaamisten systeemien identifiointi 1/2
Dynaamisten systeemien identifiointi 1/2 Mallin rakentaminen mittausten avulla Epäparametriset menetelmät: tuloksena malli, joka ei perustu parametreille impulssi-, askel- tai taajusvaste siirtofunktion
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotMännyn laaturajojen integrointi runkokäyrän ennustamisessa. Laura Koskela Tampereen yliopisto 9.6.2003
Männyn laaturajojen integrointi runkokäyrän ennustamisessa Laura Koskela Tampereen yliopisto 9.6.2003 Johdantoa Pohjoismaisen käytännön mukaan rungot katkaistaan tukeiksi jo metsässä. Katkonnan ohjauksessa
LisätiedotSovelletun fysiikan laitos E-mail: Marko.Vauhkonen@uku.fi. Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 1
Marko Vauhkonen Kuopion yliopisto Sovelletun fysiikan laitos E-mail: Marko.Vauhkonen@uku.fi Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 1 Sisältö Mallintamisesta mallien käyttötarkoituksia
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotTilastolliset mallit hakkuukoneen katkonnan ohjauksessa. Tapio Nummi Tampereen yliopisto
Tilastolliset mallit hakkuukoneen katkonnan ohjauksessa Tapio Nummi Tampereen yliopisto Runkokäyrän ennustaminen Jotta runko voitaisiin katkaista optimaalisesti pitäisi koko runko mitata etukäteen. Käytännössä
LisätiedotHarjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin
LisätiedotTilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi. Esimerkit laskettu JMP:llä
Tilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi Esimerkit laskettu JMP:llä Antti Hyttinen Tampereen teknillinen yliopisto 29.12.2003 ii Ohjelmien
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 2A
Tilastollinen päättely II, kevät 07 Harjoitus A Heikki Korpela 3. tammikuuta 07 Tehtävä. (Monisteen tehtävä.3 Olkoot Y,..., Y n Exp(λ. Kirjoita vastaava tilastollisen mallin lauseke (ytf. Muodosta sitten
LisätiedotTilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 ja mittaaminen >> Tilastollisten aineistojen kerääminen Mittaaminen
LisätiedotAineistokoko ja voima-analyysi
TUTKIMUSOPAS Aineistokoko ja voima-analyysi Johdanto Aineisto- eli otoskoon arviointi ja tutkimuksen voima-analyysi ovat tilastollisen tutkimuksen suunnittelussa keskeisimpiä asioita. Otoskoon arvioinnilla
LisätiedotMittaustulosten tilastollinen käsittely
Mittaustulosten tilastollinen käsittely n kertaa toistetun mittauksen tulos lasketaan aritmeettisena keskiarvona n 1 x = x i n i= 1 Mittaustuloksen hajonnasta aiheutuvaa epävarmuutta kuvaa keskiarvon keskivirhe
LisätiedotASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI. Mikko Kylliäinen
ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI Mikko Kylliäinen Insinööritoimisto Heikki Helimäki Oy Dagmarinkatu 8 B 18, 00100 Helsinki kylliainen@kotiposti.net 1 JOHDANTO Suomen rakentamismääräyskokoelman
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
Lisätiedot1. Algoritmi 1.1 Sisällys Algoritmin määritelmä. Aiheen pariin johdatteleva esimerkki. Muuttujat ja operaatiot (sijoitus, aritmetiikka ja vertailu). Algoritmista ohjelmaksi. 1.2 Algoritmin määritelmä Ohjelmointi
LisätiedotMetsämuuronen: Tilastollisen kuvauksen perusteet ESIPUHE... 4 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 2. AINEISTO...
Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 1.1 KESKEISTEN KÄSITTEIDEN KERTAUSTA...9 1.2 AIHEESEEN PEREHTYMINEN...9 1.3
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista
LisätiedotLohkoasetelmat. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Lohkoasetelmat Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 1/3 Kaksisuuntaisella varianssianalyysilla voidaan tutkia kahden tekijän A ja B vaikutusta sekä niiden yhdysvaikutusta tutkimuksen kohteeseen Kaksisuuntaisessa
LisätiedotVaikutusten mittaaminen. Hannes Enlund Fimea Lääkehoitojen arviointi
Vaikutusten mittaaminen Hannes Enlund Fimea Lääkehoitojen arviointi Vaikutusten mittaamisen ydin Vaikeinta on oikean kysymyksen esittäminen ei niinkään oikean vastauksen löytäminen! Far better an appropriate
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
LisätiedotVARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE
VARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE 1 Suomalaisten aikuisten pituusjakauma:.8.7.6.5.4.3.2.1 14 15 16 17 18 19 2 21 Jakauma ei ole normaali, sen olettaminen sellaiseksi johtaa virheellisiin päätelmiin.
Lisätiedotxi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n =
1. Tutkitaan paperin ominaispainon X(kg/dm 3 ) ja puhkaisulujuuden Y (m 2 ) välistä korrelaatiota. Tiettyä laatua olevasta paperierästä on otettu satunnaisesti 10 arkkia ja määritetty jokaisesta arkista
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotTilastotieteellisiä malleja välimatka- ja suhdeasteikollisten preferenssien mittaamiseen. Pekka Leskinen ja Tuomo Kainulainen Metla
\esitelm\hki0506.ppt 18.5.2006 Tilastotieteellisiä malleja välimatka- ja suhdeasteikollisten preferenssien mittaamiseen Pekka Leskinen ja Tuomo Kainulainen Metla FORS-iltapäiväseminaari 24.5.2006: Operaatiotutkimus
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Sisältö Regressioanalyysissä tavoitteena on tutkia yhden tai useamman selittävän muuttujan vaikutusta selitettävään muuttujaan. Sen avulla
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kerääminen Mittaaminen ja mitta-asteikot TKK (c)
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
LisätiedotSPSS-pikaohje. Jukka Jauhiainen OAMK / Tekniikan yksikkö
SPSS-pikaohje Jukka Jauhiainen OAMK / Tekniikan yksikkö SPSS on ohjelmisto tilastollisten aineistojen analysointiin. Hyvinvointiteknologian ATK-luokassa on asennettuna SPSS versio 13.. Huom! Ainakin joissakin
Lisätiedot1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Päättely yhden selittäjän lineaarisesta regressiomallista Ennustaminen, Ennuste, Ennusteen luottamusväli, Estimaatti, Estimaattori,
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
LisätiedotUSEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI
TEORIA USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI Regressiomalleilla kuvataan tilanteita, jossa suureen y arvot riippuvat joukosta ns selittäviä muuttujia x 1, x 2,..., x p oletetun funktiomuotoisen
LisätiedotDemo 1: Simplex-menetelmä
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 3 Ehtamo Demo 1: Simplex-menetelmä Muodosta lineaarisen tehtävän standardimuoto ja ratkaise tehtävä taulukkomuotoisella Simplex-algoritmilla. max 5x 1 + 4x
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
LisätiedotHarjoitus 6 -- Ratkaisut
Harjoitus 6 -- Ratkaisut 1 Ei kommenttia. 2 Haetaan data tiedostosta. SetDirectory"homeofysjmattas" SetDirectory "c:documents and settingsmattasdesktopteachingatk2harjoitukseth06" netnfstuhome4ofysjmattas
Lisätiedot1 PID-taajuusvastesuunnittelun esimerkki
Enso Ikonen, Oulun yliopisto, systeemitekniikan laboratorio 2/23 Säätöjärjestelmien suunnittelu 23 PID-taajuusvastesuunnittelun esimerkki Tehtävänä on suunnitella säätö prosessille ( ) = = ( +)( 2 + )
Lisätiedot7 Osa 7: Pidempiä esimerkkejä R:n käytöstä
7 Osa 7: Pidempiä esimerkkejä R:n käytöstä R:n pääasiallinen käyttö monelle on tilastollisten menetelmien suorittaminen. Käydään nyt läpi joitain esimerkkitilanteita, alkaen aineiston luvusta ja päättyen
LisätiedotRahastosalkun faktorimallin rakentaminen
Teknillinen korkeakoulu Mat 2.177 Operaatiotutkimuksen projektityöseminaari Kevät 2007 Evli Pankki Oyj Väliraportti 28.3.2007 Kristian Nikinmaa Markus Ehrnrooth Matti Ollila Richard Nordström Ville Niskanen
LisätiedotIdentifiointiprosessi
Alustavia kokeita Identifiointiprosessi Koesuunnittelu, identifiointikoe Mittaustulosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - Transientti-, korrelaatio-, taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
LisätiedotDynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II
Dynaamisten systeemien teoriaa Systeemianalyysilaboratorio II 15.11.2017 Vakiot, sisäänmenot, ulostulot ja häiriöt Mallin vakiot Systeemiparametrit annettuja vakioita, joita ei muuteta; esim. painovoiman
Lisätiedot3 Yleistä estimointiteoriaa. Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin
3 Yleistä estimointiteoriaa Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin 3.1 Johdanto Tähän mennessä olemme tarkastelleet estimointia
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
LisätiedotSosiaalisten verkostojen data
Sosiaalisten verkostojen data Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-09 2. luento - 17.10.2008 Antti Kortemaa, TTY/Hlab Wasserman, S. & Faust, K.: Social Network Analysis. Methods and Applications. 1 Mitä
LisätiedotAki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO
Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...
LisätiedotKemiallisten menetelmien validointi ja mittausepävarmuus Leena Saari Kemian ja toksikologian tutkimusyksikkö
Kemiallisten menetelmien validointi ja mittausepävarmuus Leena Saari Kemian ja toksikologian tutkimusyksikkö Validointi Validoinnilla varmistetaan että menetelmä sopii käyttötarkoitukseen ja täyttää sille
Lisätiedot