J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / Jonoverkot 1

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / Jonoverkot 1"

Transkriptio

1 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / Jonoverkot JONOVERKOT Useasta jonosta muodostuva verkko Queueing network Network of queues Esimerkiksi Asiakkaita siirtyy postin, pankin, kaupan jonoista toiseen Datapaketteja kulkee reititinverkon reitittimeltä toiselle Historiaa Burken teoreema, Burke (957), Reich (957) Jackson (957, 963): avoimet jonoverkot, tulomuotoinen ratkaisu Gordon ja Newell (967): suljetut jonoverkot Baskett, Chandy, Muntz, Palacios (975): jonotyypin yleistykset Reiser ja Lavenberg (980, 982): keskiarvoanalyysi, MVA

2 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / Jonoverkot 2 Jacksonin jonoverkko (avoin jonoverkko) Jacksonin avoin jonoverkko muodostuu M solmusta (jonosta) seuraavin oletuksin: Solmu i on FIFO-jono rajaton määrä odotuspaikkoja Palveluaika jonossa noudattaa jakaumaa Exp( i ) kussakin jonossa asiakkaan palveluaika saa arvon riippumatta ajasta muissa jonoissa huom. pakettiverkossa paketin lähetysaika todellisuudessa on sama kaikissa jonoissa (tai poikkeaa vain vakiotekijällä, linjanopeuden käänteisarvolla) tämä riippuvuus ei käytännössäkuitenkaanvaikuta merkittävästijärjestelmänkäyttäytymiseen (ns. Kleinrockin riippumattomuusoletus) Poistuttuaan jonostai asiakasvalitseeseuraavanjonon j satunnaisesti todennäköisyydellä q i,j tai poistuu systeemistä todennäköisyydellä q i,d mallia voidaan laajentaa siten, että sidotut reitit ovat mahdollisia Verkko on avoin ulkopuolisille saapumisille lähteestä s saapuu asiakkaita Poisson-virtana intensiteetillä λ niistä osaq s,i saapuu jonoon i (intensiteetti λq s,i )

3 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / Jonoverkot 3 Jacksonin verkon solmu i s d N i = source, ulkoinen lähde = destination, nielu = asiakkaiden lukumäärä jonossa i λq s, i λ q N i i, d λ q, i λ i i λ i λ i q. i, i... λ M q M, i Exp( i ) λ i q i, M Ilman komplikaatioita voitaisiin olettaa tilariippuva palvelunopeus i = i (N i ). Tämän avulla voitaisiin kuvata mm. usean palvelimen solmuja. Merkintöjen keventämiseksi seuraavassa oletetaan vakio i. Jacksonin verkko Verkon avoimuus edellyttää, että jokaisesta jonosta on ainakin yksi polku ( 0) nieluun d eli että jokainen verkkoon saapunut asiakas lopulta poistuu siitä todennäköisyydellä. lähde s λ λq s, λq s, 2 λq s, 3 λ 3 3 λ 3 q 3, 2 λ λ 3 q 3, 4 λ 2 2 λ q, 2 λ 2 q 2, 4 λ q, d λ 2 q 2, d λ q, 4 λ 4 q 4, nielu d λ λ 4 4

4 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / Jonoverkot 4 Virtojen säilymisyhtälö Merkitään λ i =keskimääräinen asiakasvirta solmun i läpi. Vaikka ulkoiset saapumisvirrat eri solmuihin ovat poissonisia, mikään ei takaa, että virrat verkon sisällä solmujenvälillä olisivat myös poissonisia. Yleensä neeivät olekaan. poikkeuksena tapaukset, joissa verkossa ei ole silmukoita eli asiakas ei koskaan palaa solmuun, jossa on jo vieraillut; tällöin poissonisuus seuraa Burken teoreemasta. Virta λ i on peräisin suoraan lähteestä tulevasta virrasta ja muista solmuista haarautuvista virroista. Säilymisehdot muodostavat lineaarisen yhtälöryhmän, josta λ i :t voidaan ratkaista. λ i = λq s,i + M j= λ j q j,i i =,...,M Vastaava yhtälö pätee nielulle d. Koska koko verkosta poistuvan virran täytyy olla yhtäsuuri kuin saapuva virta, pätee (q s,d = 0): λ = M j= λ j q j,d Esimerkki λ = λ + qλ λ λ q -q λ = λ q Huom. λ ei ole poissoninen vaikka λ onkin.

5 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / Jonoverkot 5 Jacksonin teoreema Asiakkaiden lukumäärät N i verkon eri solmuissa, i =,...,M, ovat toisistaan riippumattomia. Jono i käyttäytyy ikään kuin saapumisvirta λ i olisi poissoninen. Tilavektori Verkon tilan määrää vektori N =(N,...,N M ). Sen mahdollisia arvoja merkitään n =(n,...,n M ). Verkko on tilassa n, kunn = n eli N = n,...,n M = n M. Tilatodennäköisyys p(n) =P{N = n} Määritellään p(n) =0, jos jokin n i < 0 Jacksonin teoreema p(n) =p (n ) p M (n M )= M p i (n i ) missä p i (n i )=( ρ i )ρ n i i ρ i = λ i / i Verkko käyttäytyy ikään kuin se muodostuisi joukosta riippumattomia M/M/-jonoja. Tilatodennäköisyys on tulomuotoinen riippumattomuus. Jos jossain solmussa on paljon asiakkaita, siitä ei seuraa mitään sen suhteen paljonko esim. naapurisolmuissa on asiakkaita. Jos palvelunopeus on tilariippuva i (n i ), niin p i (n i )=p i (0) n i λ n i i j= i (j) missä p i (0) määräytyy normiehdosta

6 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / Jonoverkot 6 Jacksonin teoreeman todistus Merkitään e i =(0,...,0, }{{}, 0,...,0). i:s alkio Tällöinonesimerkiksi p(n e i )=p(n,...,n i,n i,n i+,...,n M ) Nyt voidaan kirjoittaa globaali tasapainoehto verkon tilalle n (yksi yhtälö jokaista mahdollista tilaa n, n i 0 i, kohti): n 2 λp(n)+ M i ni >0 p(n) = λ M + M + M M j= q i,d i p(n + e i ) q s,i p(n e i ) q j,i j p(n + e j e i ) missä vasen puoli edustaa todennäköisyysvirtaa pois tilasta n (kun ollaan tilassa n ja verkkoon tulee mikä tahansa saapuminen tai mistä tahansa verkon jonosta tapahtuu poistuminen, siirrytään uuteen tilaan) ja oikea puoli virtaa tilaan n (vrt. kuvan siirtymäkaavio). n jonoon 2 saapuu asiakas ulkopuolelta jonosta 2 poistuu asiakas ulkopuolelle jonoon saapuu asiakas ulkopuolelta jonosta poistuu asiakas ulkopuolelle asiakas siirtyy jonosta 2 jonoon asiakas siirtyy jonosta jonoon 2 Huom. Jälleen voitaisiin sallia tilariippuvuus i = i (n i ).

7 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / Jonoverkot 7 Jacksonin teoreeman todistus (jatkoa) Kirjoitetaan oikean puolen ensimmäisessätermissäolevatekijä λq s,i toiseen muotoon virtojen säilymisehdon avulla: λq s,i = λ i M λ j q j,i.yhtälö saa muodon λp(n)+ M i ni >0 p(n) = M + M + M M j= λ i p(n e i ) M q i,d i p(n + e i ) M j= q j,i j p(n + e j e i ) λ j q j,i p(n e i ) Sijoitetaan tähän Jacksonin teoreeman (väite) mukainen tulomuotoinen ratkaisu yritteenä ja osoitetaan, että yhtälö toteutuu. Kyseiselle tulomuotoiselle yritteelle pätee λ i p(n e i ) = i ni >0 p(n) λ j p(n e i ) = j p(n e i + e j ) λ i p(n) = i p(n + e i ) Sijoitetaan nämä relaatiot tässä järjestyksessä oikean puolen kolmeen ensimmäiseen termiin.

8 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / Jonoverkot 8 Jacksonin teoreeman todistus (jatkoa) Yhtälö on nyt saatu muotoon λp(n)+ M i ni >0 p(n) = M + M + M M j= i ni >0 p(n) M q i,d λ i p(n) M j= q j,i j p(n + e j e i ) q j,i j p(n e i ) Yhtälössä menevät vastakkain vasemman puolen toinen ja oikean puolen ensimmäinen termi, samoin oikean puolen toinen ja neljäs termi. Jäljelle jää λp(n) = M q i,d λ i p(n) = p(n) M q i,d λ i mikä toteutuu, koska verkkoon tuleva ja siitä lähtevä virta ovat yhtäsuuret, λ = M λ i q i,d. Siten on osoitettu, että Jacksonin teoreeman mukaiset tulomuotoiset tilatodennäköisyydet todellakin toteuttavat verkkoa kuvaavan Markovin prosessin globaalit tasapainoyhtälöt.

9 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / Jonoverkot 9 Esimerkki λ = λ + λ 2 λ 2 = q λ ρ = λ /, ρ 2 = λ 2 / 2 λ λ = q λ 2 = λ q q p(n,n 2 )=( ρ )ρ n ( ρ 2 )ρ n 2 2 Keskimääräiset jononpituudet λ λ CPU I/O 2 λ λ 2 λ 2 =qλ (-q)λ N = ρ ρ, N2 = ρ 2 ρ 2, N = N + N = ρ ρ + ρ 2 ρ 2 Keskimääräinen aika systeemissä T = N λ = ρ λ( ρ ) + ρ 2 λ( ρ 2 ) = λ / λ( λ / ) + λ 2 / 2 λ( λ 2 / 2 ) = S λs + S 2 λs 2 Ekvivalentti systeemi CPU /S I/O /S 2 missä S = λ λ = q keskimääräinen CPU-aika S 2 = λ 2 2 λ = q q keskimääräinen I/O-aika 2

10 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / Jonoverkot 0 Jacksonin verkon keskiarvotuloksia Oletetaan tilasta riippumattomat palvelunopeudet i. Keskimääräinen asiakkaiden lukumäärä solmussa i Keskimääräinen viipymisaika solmussa i N i = ρ i ρ i Keskimääräinen odotusaika solmussa i W i = T i i = ρ i ρ i i Solmuun i saapuneen asiakkaan keskimääräinen viipymisaika verkossa T i = N i λ i = ρ i i = i λ i T i,d = T i + M q i,j Tj,d j= vrt. virtojen säilymisyhtälö Tästä yhtälöryhmästä (i =,...,M) voidaan T i,d :t ratkaista. Asiakkaan keskimääräinen viipymisaika verkossa (keskiarvo koko asiakaspopulaation yli) Littlen tuloksen perusteella λ λ T = N λ = λ M λ i i λ i

11 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / Jonoverkot Optimaalinen kapasiteetin jako Halutaan minimoida keskimääräinen viipymisaika T verkossa tai, mikäonsamaasia,keskimääräinen asiakkaiden lukumäärä N verkossa. Oletetaan, että kapasiteetit i ovat muuten vapaasti valittavissa, mutta niitä rajoittaa ehto (kustannusehto) M i = C. N = M λ i M =min!, i = C i λ i Käytetään Lagrangen kerroinmenetelmää ja minimoidaan H = M λ i + x( M i C) i λ i parametrien i suhteen ja määrätään x siten, että minimipiste toteuttaa rajoitusehdon H λ i = i ( i λ i ) + x =0 2 i = λ i +(λ i /x) /2 Sijoittamalla tämä ehtoyhtälöön, saadaan x = λ j C j i = λ i + λj j j λi λj (C j λ j ) Ensin allokoidaan pakollinen kapasiteetti λ i ; ylijäämäraha jaetaan λ i :den suhteessa.

12 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / Jonoverkot 2 Avoimen verkon saapumislause (Random Observer Property, vrt. PASTA) Avoimessa jonoverkossa mihin tahansa solmuun saapuvan asiakkaan näkemät tilatodennäköisyydet (todennäköisyys, että systeemi on tilassa n juuri ennen saapumista) ovat samat kuin tasapainotodennäköisyydet p(n). Todistus. Tarkastellaan jonosta i jonoon j siirtyvää asiakasta. Sijoitetaan näiden jonojen väliin kuvitteellinen jono 0, jossa palvelunopeus 0 on hyvin suuri. Rajalla 0 lisätty jono ei mitenkään vaikuta systeemin käyttäytymiseen: jonosta i jonoon j siirtyvät asiakkat viipyvät vain häviävän pienen hetken lisätyssä välijonossa. i 0 j Lisätty jono kuitenkin mahdollistaa siirtyvän asiakkaan vangitsemisen. Siirtyminen tapahtuu juuri sinä lyhyenähetkenä, jolloin jonossa 0 on asiakas eli kun N 0 (t) =. Siirtyvän asiakkaan näkemä verkon tilajakauma on muiden jonojen (muiden kuin jono 0) yhteisjakauma ehdolla N 0 =. Nyt käytetään hyväksi sitä, että myös laajennettu systeemi muodostaa Jacksonin jonoverkon ja sen tilajakauma on tulomuotoinen. Merkitään laajennetun systeemin tilavektoria n :lla eli n =(n 0,n,...,n M ). Pätee p (n )=P{N = n } = p 0 (n 0 )p (n ) p M (n M )=p 0 (n 0 )p(n). P{N = n,...,n M = n M N 0 =} = P{N 0 =,N = n,...,n M = n M } = p(n) P{N 0 =}

13 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / Jonoverkot 3 Suljettu jonoverkko (Gordonin ja Newellin verkko) Suljettu jonoverkko muodostuu M solmusta. Se eroaa avoimesta jonoverkosta siinä, että ulkoista lähdettä ja nielua ei ole. Verkon sisällä kiertää K:n asiakkaan vakiopopulaatio. Kukin solmu i muodostaa FIFO-jonon, jossa palveluaika arvotaan muista riippumatta jakaumasta Exp( i ). Jälleen voitaisiin sallia tilariippuvat palvelunopeudet i (n i ). Jonosta i poistuva asiakas valitsee solmun j seuraavaksi kohteeksi todennäköisyydellä q i,j. Eri solmujen läpi kulkevat asiakasvirrat λ i toteuttavat virtojen säilymisehdon λ i = M j= λ j q j,i i =,...,M 2 λ λ λ 2 λ λ 3 λ λ 4 λ 4 4 Nämä muodostavat homogeenisen lineaarisen yhtälöryhmän. Yksi yhtälö on muista lineaarisesti riippuva, ja ratkaisu on vakiotekijää vaille yksikäsitteisesti määrätty. Olkoon (ˆλ,...,ˆλ M )yhtälöryhmän jokin ratkaisu. Yleinen ratkaisu on muotoa α (ˆλ,...,ˆλ M ), missä α on vakio. Se mitä α:n arvoa todelliset virrat vastaavat, jää toistaiseksi määräämättä. Asia selviää ns. keskiarvoanalyysin yhteydessä. Merkitään kyseistä arvoa ˆα:lla, ts. λ i =ˆαˆλ i. Merkitään ˆρ i = ˆλ i / i.nämä suureet ovat vastaavasti verrannollisia jonojen todellisiin kuormiin ρ i = λ i / i, nimittäin ρ i =ˆαˆρ i.

14 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / Jonoverkot 4 Gordonin ja Newellin lause Suljetun jonoverkon tasapainotodennäköisyydet ovat p(n) = M ˆρ n i i, G(K, M) kun i n i = K 0, kun i n i K missä G(K, M) = n: i n i =K M ˆρ n i Todistus on samantapainen kuin avoimessa jonoverkossa. Yksityiskohdat sivuutetaan. Todennäköisyysjakauma on siis tässäkin tapauksessa tulomuotoinen alueessa i n i = K (mutta ei kaikkialla!). Huom. Vaikka tekijöissä ˆρ i on määräämätön kerroin, itse ratkaisu on täysin määrätty, koska sama tekijä korotettuna potenssiin K esiintyy sekä tulossa että nimittäjän normitekijässä. Suljetun jonoverkon saapumislause (Lavenberg) Suljetussa jonoverkossa, jossa on K asiakasta, mihin tahansa solmuun saapuvan asiakkaan näkemät tilatodennäköisyydet ovat samat kuin tasapainotodennäköisyydet p[k ](n)verkossa, jossa on K asiakasta (Vrt. asiakkaan näkemä jakauma Engsetin järjestelmässä; mielivaltainen asiakas on ikään kuin ulkopuolisen tarkkailijan roolissa). Lause voidaan todistaa samalla tavalla apujonon avulla kuin avoimen jonoverkon tapauksessa. Yksityiskohdat sivuutetaan.

15 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / Jonoverkot 5 Keskiarvoanalyysi MVA, Mean Value Analysis (Reiser ja Lavenberg) Halutaan selvittää asiakkaiden keskimääräiset lukumäärät Ni [K] sekä viipymisajat T i [K] samoin kuin asiakasvirtojen λ i absoluuttiset tasot eri jonoissa. Analyysi perustuu keskeisesti edellä esitettyyn saapumislauseeseen. Laskenta tapahtuu rekursiivisesti lisäten askelittain asiakkaiden lukumäärää verkossa. Tämän vuoksi asiakkaiden kokonaismäärä merkitään eksplisiittisesti näkyviin hakasuluissa. Keskimääräiselle viipymisajalle jonossa i pätee T i [K] = i }{{} oma palveluaika + N i [K] i }{{} edessä olevien asiakkaiden palveluun kuluva aika missä N i [K] onjonooni saapuvan asiakkaan keskimäärin näkemä miehitys jonossa. Saapumislauseen perusteella pätee N i [K] = N i [K ] missä N i [K ] on tavallinen tasapainojakaumasta laskettu miehitys. Siten on T i [K] =(+ N i [K ]) i

16 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / Jonoverkot 6 Keskiarvoanalyysi (jatkoa) Keskimääräinen miehitys jonossa i on N i [K] =K M j= ˆλ i T i [K] ˆλ j T j [K] Todistus. Todelliset asiakasvirrat ovat λ i =ˆαˆλ i. Laventamalla lauseke ˆα:lla ja soveltamalla Littlen lausetta nähdään K M j= ˆλ i T i [K] ˆλ j T j [K] = K M j= λ i [K] T i [K] λ j [K] T j [K] = K M j= N i [K] N j [K] = K N i [K] K = N i [K] Soveltamalla Littlen lausetta toiseen suuntaan saadaan todellinen asiakasvirta jonon i läpi: λ i [K] = N i [K] T i [K] = K M j= ˆλi ˆλ j T j [K]

17 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / Jonoverkot 7 MVA-algoritmi Tulokset voidaan koota seuraavaksi rekursiiviseksi laskentamenetelmäksi. Rekursion alku: N i [0] = 0 Kunverkkoontyhjä, kaikki keskiarvot ovat nollia. Rekursioaskel: T i [K] = (+ N i [K ]) i N i [K] = K M j= λ i [K] = N i [K] T i [K] ˆλ i T i [K] ˆλ j T j [K] Keskimmäisessä kaavassa ˆλ i :t ovat mikä tahansa virtausyhtälöiden λ i = j λ j q j,i ratkaisu.

18 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / Jonoverkot 8 Esimerkki. Syklinen verkko λ... = 2 = = M = Virtausyhtälöiden eräs ratkaisu on: ˆλ = ˆλ 2 = = ˆλ M = Koska kaikki jonot ovat samanlaisia, voidaan indeksit jättää pois. Rekursioyhtälöt ovat nyt T [K] = (+ N[K ]) N[K] = K/M λ[k] = N[K]/ T [K] Lähtien alkuarvosta N[0] = 0 ratkaistaan keskiarvot suuremmille populaatioille T [] = N[] = M λ[] = M T [2] = M+ M N[2] = 2 M λ[2] = 2 M+ T [3] = M+2 M N[2] = 3 M λ[2] = 3 M+2 Kun K M niin λ[k] K (kierrokseen kuluva aika on M/, K kiertäjää). M... T [K] = M+K M N[K] = K M λ[k] = K M+K Kun K M niin λ[k] (kaikki jonot täynnä; asiakkaita lähtee keskim. / väliajoin).

19 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / Jonoverkot 9 Esimerkki 2. 2/3 /3 λ λ 2 K =3 Virtausyhtälöiden eräs ratkaisu on: ˆλ =2, ˆλ 2 = Lähtien alkuarvoista N [0] = N 2 [0] = 0 ratkaistaan keskiarvot suuremmille populaatioille K = T [] = N [] = λ [] = 2 3 2/ 2/+/ = 2 3 T 2 [] = N 2 [] = λ 2 [] = 3 / 2/+/ = 3 K =2 T [2] = ( ) = 5 3 N [2] = 2 λ [2] = /3 2 5/3+ 4/3 = 0 7 T 2 [2] = ( + 3 ) = 4 3 N 2 [2] = 2 λ 2 [2] = 3 7 4/3 2 5/3+ 4/3 = 4 7 K =3 T [3] = ( ) = 7 7 N [3] = 3 λ [3] = /7 2 7/7+ /7 = 34 5 T 2 [3] = ( ) = 7 N 2 [3] = 3 λ 2 [3] = 7 5 /7 2 7/7+ /7 = 5

20 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / Jonoverkot 20 Nortonin teoreema Jonoverkoille voidaan johtaa samantapainen Nortonin teoreema kuin mitä käytetään lineaaristen piirien analyysissä. Jonoverkkojen tapauksessa teoreema voidaan todistaa käyttäen hyväksi verkon tunnettua tasapainojakaumaa. Kun ollaan kiinnostuneita vain verkon jonkun osan, esim. jonon i käyttäytymisestä, muu osa verkkoa voidaan korvata ekvivalentilla jonolla. N-n N asiakasta koko verkossa. N n asiakasta jonossa i. n asiakasta muussa osassa verkkoa. T(n) Lasketaan läpäisy (virta) T (n) oikosuljetulle systeemille asiakkaiden lukumäärän n funktiona. n =T(n) n N-n Muun verkon korvaavalla ekvivalentilla jonolla on tilariippuva palvelunopeus T (n). Jono i käyttäytyy samoin kuin alkuperäisessä verkossa.

J. Virtamo Jonoteoria / Jonoverkot 1

J. Virtamo Jonoteoria / Jonoverkot 1 J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Jonoverkot 1 JONOVERKOT Useasta jonosta muodostuva verkko Queueing network Network of queues Esimerkiksi Asiakkaita siirtyy postin, pankin, kaupan jonoista toiseen Datapaketteja

Lisätiedot

J. Virtamo Jonoteoria / Prioriteettijonot 1

J. Virtamo Jonoteoria / Prioriteettijonot 1 J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Prioriteettijonot 1 Prioriteettijonot Tarkastellaan M/G/1-jonojärjestelmää, jossa asiakkaat on jaettu K:hon prioriteettiluokkaan, k = 1,..., K: - luokalla 1 on korkein prioriteetti

Lisätiedot

Estynyt puheluyritys menetetään ei johda uusintayritykseen alkaa uusi miettimisaika: aika seuraavaan yritykseen Exp(γ) pitoaika X Exp(µ)

Estynyt puheluyritys menetetään ei johda uusintayritykseen alkaa uusi miettimisaika: aika seuraavaan yritykseen Exp(γ) pitoaika X Exp(µ) J Virtamo 383143 Jonoteoria / Engsetin järjestelmä 1 Äärellinen lähdepopulaatio: M/M/s/s/n-järjestelmä Tarkastellaan estojärjestelmää (ei odotuspaikkoja) tapauksessa, jossa saapumiset tulevat äärellisestä

Lisätiedot

Vuonohjaus: ikkunamekanismi

Vuonohjaus: ikkunamekanismi J. Virtamo 38.3141 Teleliikenneteoria / Ikkunointiin perustuva vuonohjaus 1 Vuonohjaus: ikkunamekanismi Kuittaamattomina liikkeellä olevien segmenttien (data unit) lkm W (ikkuna) Lähetyslupien kokonaismäärä

Lisätiedot

J. Virtamo Jonoteoria / Prioriteettijonot 1

J. Virtamo Jonoteoria / Prioriteettijonot 1 J. Virtamo 38.143 Jonoteoria / Prioriteettijonot 1 Prioriteettijonot TarkastellaanM/G/1-jonojärjestelmää, jossaasiakkaaton jaettu K:hon prioriteettiluokkaan, k =1,...,K: - luokalla 1 on korkein prioriteetti

Lisätiedot

Estojärjestelmä (loss system, menetysjärjestelmä)

Estojärjestelmä (loss system, menetysjärjestelmä) J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Estojärjestelmä 1 Estojärjestelmä (loss system, menetysjärjestelmä) Tarkastellaan perinteistä puhdasta estojärjestelmää, jossa on annettu n = johtojen (varattavien elementtien)

Lisätiedot

Demonstraatiot Luento 7 D7/1 D7/2 D7/3

Demonstraatiot Luento 7 D7/1 D7/2 D7/3 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos S-8.45 Liikenneteorian perusteet, Kevät 2008 Demonstraatiot Luento 7 7.2.2008 D7/ Tarkastellaan piirikytkentäisen järjestelmän n-kanavaista

Lisätiedot

käännetty prosessi. Tarkastellaan pelkistymätöntä stationaarista stokastista prosessia X t.

käännetty prosessi. Tarkastellaan pelkistymätöntä stationaarista stokastista prosessia X t. J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Ajan kääntö 1 AJAN KÄÄNTÖ JA KÄÄNTYVÄT PROSESSIT Käännetty prosessi Tarkastellaan pelkistymätöntä stationaarista stokastista prosessia X t. Tähän prosessiin voidaan liittää

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

Syntymä-kuolema-prosessit

Syntymä-kuolema-prosessit J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / SK-prosessit Syntymä-kuolema-prosessit Yleistä Syntymä-kuolema-prosessiksi (SK-prosessi) kutsutaan Markov-prosessia, jonka - tila-avaruus on iskreetti

Lisätiedot

Liikenneongelmien aikaskaalahierarkia

Liikenneongelmien aikaskaalahierarkia J. Virtamo 38.3141 Teleliikenneteoria / HOL-esto 1 Liikenneongelmien aikaskaalahierarkia AIKASKAALAHIERARKIA Kiinnostavat aikaskaalat kattavat laajan alueen, yli 13 dekadia! Eri aikaskaaloissa esiintyvät

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Littlen tulos. Littlen lause sanoo. N = λ T. Lause on hyvin käyttökelpoinen yleisyytensä vuoksi

Littlen tulos. Littlen lause sanoo. N = λ T. Lause on hyvin käyttökelpoinen yleisyytensä vuoksi J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Littlen tulos 1 Littlen tulos Littlen lause Littlen tuloksena tai Littlen lauseena tunnettu tulos on hyvin yksinkertainen relaatio järjestelmään tulevan asiakasvirran, keskimäärin

Lisätiedot

Odotusjärjestelmät. Aluksi esitellään allaolevan kuvan mukaisen yhden palvelimen jonoon liittyvät perussuureet.

Odotusjärjestelmät. Aluksi esitellään allaolevan kuvan mukaisen yhden palvelimen jonoon liittyvät perussuureet. J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / M/M/ /-jonot 1 Odotusjärjestelmät Siirrytään tarkastelemaan odotusjärjestelmiä. Nämä ovat aitoja jonojärjestelmiä siinä mielessä, että niissä on odotuspaikkoja ja asiakkat

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Poisson-prosessi 1

J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Poisson-prosessi 1 J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Poisson-prosessi 1 Poisson-prosessi Yleistä Poisson-prosessi on eräs keskeisimmistä jonoteoriassa käytetyistä malleista. Hyvin usein asiakkaiden saapumisprosessia jonoon

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen

Lisätiedot

Syntymä-kuolema-prosessit

Syntymä-kuolema-prosessit J. Virtamo 38.343 Jonoteoria / SK-prosessit Syntymä-kuolema-prosessit Yleistä Syntymä-kuolema-prosessiksi (SK-prosessi) kutsutaan Markov-prosessia, jonka - tila-avaruus on iskreetti - tilat voiaan järjestää

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Yleistä. Esimerkki. Yhden palvelimen jono. palvelin. saapuvat asiakkaat. poistuvat asiakkaat. odotushuone, jonotuspaikat

Yleistä. Esimerkki. Yhden palvelimen jono. palvelin. saapuvat asiakkaat. poistuvat asiakkaat. odotushuone, jonotuspaikat J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Jonojärjestelmät 1 JONOJÄRJESTELMÄT Yleistä Jonojärjestelmät muodostavat keskeisen mallinnuksen välineen mm. tietoliikenne- ja tietokonejärjestelmien suorituskyvyn analysoinnissa.

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 13 Ti 30.4.2019 Timo Männikkö Luento 13 Simuloitu jäähdytys Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Ositus ja rekursio Rekursion toteutus Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 13 Ti 30.4.2019

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa 179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Jatkuva-aikaisten Markov-prosessien aikakehitys

Jatkuva-aikaisten Markov-prosessien aikakehitys 5A Jatkuva-aikaisten Markov-prosessien aikakehitys Tämän harjoituksen tavoitteena on harjoitella jatkuva-aikaisiin Markov-prosesseihin liittyviä hetkittäisiä jakaumia ja tutkia niien muutoksia ajassa.

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Avaruuden R n aliavaruus

Avaruuden R n aliavaruus Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla

Lisätiedot

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,

Lisätiedot

ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.

ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa. BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Miten osoitetaan joukot samoiksi?

Miten osoitetaan joukot samoiksi? Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin

Lisätiedot

Ennakkotehtävän ratkaisu

Ennakkotehtävän ratkaisu Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Esimerkki: Tietoliikennekytkin

Esimerkki: Tietoliikennekytkin Esimerkki: Tietoliikennekytkin Tämä Mathematica - notebook sisältää luennolla 2A (2..26) käsitellyn esimerkin laskut. Esimerkin kuvailu Tarkastellaan yksinkertaista mallia tietoliikennekytkimelle. Kytkimeen

Lisätiedot

Generoivat funktiot, Poisson- ja eksponenttijakaumat

Generoivat funktiot, Poisson- ja eksponenttijakaumat 4A Generoivat funktiot, Poisson- ja eksponenttijakaumat Tämän harjoituksen tavoitteena on edelleen tutustua generoivien funktioiden sovelluksiin ja lisäksi harjoitella ratkaisemaan Poisson- ja eksponenttijakaumiin

Lisätiedot

Demo 1: Simplex-menetelmä

Demo 1: Simplex-menetelmä MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 3 Ehtamo Demo 1: Simplex-menetelmä Muodosta lineaarisen tehtävän standardimuoto ja ratkaise tehtävä taulukkomuotoisella Simplex-algoritmilla. max 5x 1 + 4x

Lisätiedot

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A

Lisätiedot

Markov-kustannusmallit ja kulkuajat

Markov-kustannusmallit ja kulkuajat 2B Markov-kustannusmallit ja kulkuajat Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia laskemaan Markov-kustannusmallien kustannuskertymiä ja -vauhteja, ketjujen odotettuja kulkuaikoja sekä todennäköisyyksiä osua

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Erilaisia Markov-ketjuja

Erilaisia Markov-ketjuja MS-C2 Stokastiset prosessit Syksy 207 3A Erilaisia Markov-ketjuja Tuntitehtävät 3A Lepakoiden rengastaja (tai kuponkien keräilijä) Lepakkoluolassa on lepakkoa, joista jokainen lentää luolasta ulos joka

Lisätiedot

1 p p P (X 0 = 0) P (X 0 = 1) =

1 p p P (X 0 = 0) P (X 0 = 1) = Mat-2.3 Stokastiset rosessit Syksy 2007 Laskuharjoitustehtävät 3 Poroudas/Kokkala. Tarkastellaan Markov-ketjua, jonka tilajoukko on {0, } ja tilansiirtotodennäköisyysmatriisi P Olkoon alkujakauma α 0 a

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä

Lisätiedot

Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä

Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä 1 / 25 : Se on menetelmä lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Sitä käytetään myöhemmin myös käänteismatriisin määräämisessä. Ideana on tiettyjä rivioperaatioita käyttäen muokata yhtälöryhmää niin,

Lisätiedot

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

f(n) = Ω(g(n)) jos ja vain jos g(n) = O(f(n))

f(n) = Ω(g(n)) jos ja vain jos g(n) = O(f(n)) Määritelmä: on O(g(n)), jos on olemassa vakioarvot n 0 > 0 ja c > 0 siten, että c g(n) kun n > n 0 O eli iso-o tai ordo ilmaisee asymptoottisen ylärajan resurssivaatimusten kasvun suuruusluokalle Samankaltaisia

Lisätiedot

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C =

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C = BMA58 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 6, Syksy 5. Olkoon [ 6 6 A =, B = 4 [ 3 4, C = 4 3 [ 5 Määritä matriisien A ja C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Näytä lisäksi että matriisilla B

Lisätiedot

Järjestelmässä olevien asiakkaiden lukumäärä N(t) ei muodosta enää Markov-prosessia.

Järjestelmässä olevien asiakkaiden lukumäärä N(t) ei muodosta enää Markov-prosessia. J. Virtamo 38.143 Jonoteoria / M/G/1/-jono 1 M/G/1-jono M (memoryless): Poisson-saapumisprosessi, intensiteetti λ G (general): yleinen palveluaikajakautuma, keskiarvo S =1/µ 1 : yksi palvelin, kuorma ρ

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua

Lisätiedot

Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Similaarisuus. Määritelmä. Huom. Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP

Lisätiedot

T Rinnakkaiset ja hajautetut digitaaliset järjestelmät Stokastinen analyysi

T Rinnakkaiset ja hajautetut digitaaliset järjestelmät Stokastinen analyysi T-79.179 Rinnakkaiset ja hajautetut digitaaliset järjestelmät Stokastinen analyysi 12. maaliskuuta 2002 T-79.179: Stokastinen analyysi 8-1 Stokastinen analyysi, miksi? Tavallinen Petri-verkkojen saavutettavuusanalyysi

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot

MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42

MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).

Lisätiedot

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1). HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u. DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 ari.vesanen (at) oulu.fi 5. Rekursio ja induktio Rekursio tarkoittaa jonkin asian määrittelyä itseensä viittaamalla Tietojenkäsittelyssä algoritmin määrittely niin,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 5 Mikko Salo 5.9.2017 The natural development of this work soon led the geometers in their studies to embrace imaginary as well as real values of the variable.... It came

Lisätiedot

Markov-ketjut pitkällä aikavälillä

Markov-ketjut pitkällä aikavälillä 2A Markov-ketjut pitkällä aikavälillä Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia lukemaan siirtymämatriisista tai siirtymäkaaviosta, milloin Markov-ketju on yhtenäinen ja jaksoton; oppia tunnistamaan, milloin

Lisätiedot

ATM-VERKON KUTSUTASON ESTO

ATM-VERKON KUTSUTASON ESTO J. Virtamo 38.3141 Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 1 ATM-VERKON KUTSUTASON ESTO Kutsutasolla tehtävän resurssivarauksen kannalta vaihtuvanopeuksinenkin lähde näyttää vakionopeuslähteeltä. Sen nopeus

Lisätiedot

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1 Mat-214 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1 1 a) Sekoitussäiliöön A virtaa puhdasta vettä virtauksella v A, säiliöstä A säiliöön B täysin sekoittunutta liuosta virtauksella v AB ja säiliöstä

Lisätiedot

Demonstraatiot Luento

Demonstraatiot Luento TEKNILLINEN KORKEAKOULU Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos S-8.45 Liikenneteorian perusteet, Kevät 8 Demonstraatiot Luento 8..8 D/ Tarkastellaan seuraavaa yksinkertaista piirikytkentäistä (runko)verkkoa.

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

3. Esimerkkejä luento03.ppt S Liikenneteorian perusteet - Kevät

3. Esimerkkejä luento03.ppt S Liikenneteorian perusteet - Kevät luento03.ppt S-38.1145 - Liikenneteorian perusteet - Kevät 2006 1 Sisältö Puhelinliikenteen malli Pakettitason malli dataliikenteelle Vuotason malli elastiselle dataliikenteelle Vuotason malli virtaavalle

Lisätiedot

s = 11 7 t = = 2 7 Sijoittamalla keskimmäiseen yhtälöön saadaan: k ( 2) = 0 2k = 8 k = 4

s = 11 7 t = = 2 7 Sijoittamalla keskimmäiseen yhtälöön saadaan: k ( 2) = 0 2k = 8 k = 4 BM0A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 05. (a) i. Jotta vektori c sijaitsisi a:n ja b:n virittämällä tasolla, c on voitava esittää a:n ja b:n lineaarikombinaationa. c ta + sb

Lisätiedot

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z

Lisätiedot

6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio

6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio 6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.

Tehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8. HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot

Lisätiedot

2. Teoriaharjoitukset

2. Teoriaharjoitukset 2. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 2.1 Todista Gauss-Markovin lause. Ratkaisu. Oletetaan että luentokalvojen standardioletukset (i)-(v) ovat voimassa. Huomaa että Gauss-Markovin lause ei vaadi virhetermien

Lisätiedot